T ¨urev Kuralları

Bölüm 3
Türev Kuralları
Kural 1.
Sabitle Çarpım Kuralı c bir sabit ve f türevlenebilir bir fonksiyonsa,
d
d
[cf (x)] = c f (x)
dx
dx
dir.
Kural 2.
Toplam-Fark Kuralı f ve g türevlenebilir ise,
d
d
d
[f (x) ± g(x)] =
f (x) ±
g(x)
dx
dx
dx
dir.
Kural 3.
Çarpım Kuralı f ve g türevlenebilir ise,
d
d
d
[f (x)g(x)] = f (x) [g(x)] + g(x) [f (x)]
dx
dx
dx
dir.
Kural 4.
Bölüm Kuralı f ve g türevlenebilir fonksiyonlarsa,
g(x) d [f (x)] − f (x) d [g(x)]
d f (x)
dx
dx
=
dx g(x)
[g(x)]2
dir.
1
2
BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI
Kural 5.
Sabit Fonksiyon Türevi :
d
(c) = 0
dx
Kural 6.
Kuvvet Kuralı Her n gerçel sayısı için,
d n
(x ) = nxn−1
dx
dir.
Örnek 1.
d
d
d
d
(10x3 − 6x + 5) = 10 (x3 ) − 6 (x) +
(5)
dx
dx
dx
dx
= 10(3x2 ) − 6(1) + 0
= 30x2 − 6
Örnek 2.
Aşağıdaki türevleri alınız.
1
(a) f (x) = 2
x
(b) y =
√
3
x2
Çözüm. İki durumda da, fonksiyonu x in üssü olarak yeniden yazarız.
(a) f (x) = x−2 olduğundan, n = −2 için Kuvvet Kuralını uygularız:
f 0 (x) =
(b)
d −2
2
(x ) = −2x−2−1 = −2x−3 = − 3
dx
x
dy
d √
d 2/3
2
2
3
=
( x2 ) =
(x ) = x(2/3)−1 = x−1/3
dx
dx
dx
3
3
Örnek 3.
y = x4 − 6x2 + 4 eğrisi üzerindeki, teğet doğrusunun yatay olduğu noktaları bulunuz.
Çözüm. Yatay teğetler, türevin 0 olduğu noktalardaki teğetlerdir. Öncelikle,
dy
d 4
d
d
=
(x ) − 6 (x2 ) +
(4) = 4x3 − 12x + 0 = 4x(x2 − 3)
dx
dx
dx
dx
3
elde ederiz.
dy
= 4x(x2 − 3)
dx
√
Dolayısıyla, √
x = 0 ve x2 √
− 3 denkleminin kökleri olan x = ± 3 için dy/dx = 0 olur. Bu nedenle, verilen
eğri
√
x√= 0, x = 3 ve x = − 3 için yatay teğetlere sahiptir. Bu değerlere karşılık gelen noktalar (0, 4), (− 3, −5) ve
( 3, −5) dir.
Şekil 3.1:
Örnek 4.
f (t) =
√
t(1 − t) fonksiyonunun türevini alınız.
Çözüm. 1. Yol: Çarpım kuralını kullanarak,
f 0 (t) =
√ d
√
√
d √
1
1−t
1 − 3t
t (1 − t) + (1 − t) ( t) = t(−1) + (1 − t) t−1/2 = − t + √ = √
dx
dx
2
2 t
2 t
2. Yol : Üs kuralını kullanarak, f (t) fonksiyonunu yeniden yazarsak, türevini çarpım kuralını kullanmadan da
alabiliriz. Böylece,
√
√
1
3
f (t) = t − t t = t1/2 − t3/2 ⇒ f 0 (t) = t−1/2 − t1/2
2
2
elde edilir. Bu örnek, bazen fonksiyonların çarpımını sadeleştirmenin, çarpım kuralını kullanmaktan daha kolay
olduğunu göstermektedir.
Örnek 5.
g(4) = 2 ve g 0 (4) = 3 olmak üzere, f (x) =
√
x . g(x) ise, f 0 (4) değerini bulunuz.
Çözüm. Çarpım kuralını uygulayarak,
f 0 (x) =
=
=
√
d √
d
d √ x . g(x) = x .
(g(x)) + g(x) .
x
dx
dx
dx
√
√
x . g 0 (x) + g(x) .
g(x)
x . g 0 (x) + √
2 x
1 −1/2
.x
2
4
BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI
elde ederiz. Dolayısıyla, f 0 (4) =
√
g(4)
2
4 . g 0 (4) + √ = 2 . 3 +
= 6.5 olur.
2.2
2 4
Örnek 6.
y=
x2 + x − 2
olsun. Bu durumda,
x3 + 6
y0 =
(x3 + 6)
d
d 2
(x + x − 2) − (x2 + x − 2) (x3 + 6)
dx
dx
(x3 + 6)2
=
(x3 + 6)(2x + 1) − (x2 + x − 2)(3x2 )
(x3 + 6)2
=
(2x4 + x3 + 12x + 6) − (3x4 + 3x3 − 6x2 )
(x3 + 6)2
=−
−x4 − 2x3 + 6x2 + 12x + 6
(x3 + 6)2
elde edilir.
Not :
√
3x2 + 2 x
F (x) =
x
fonksiyonunun türevini bölüm kuralını kullanarak almak mümkündür. Ancak, önce bölmeyi yapmak ve fonksiyonu
F (x) = 3x + 2x−1/2
biçiminde yazdıktan sonra türevi almak çok daha kolaydır.
Kural 7.
Doğal Üstel Fonksiyonun Türevi :
d x
(e ) = ex
dx
Kural 8.
Üstel Fonksiyonun Türevi :
a > 0, a 6= 1 gerçel sayısı için
d x
(a ) = ax ln a
dx
dır.
Örnek 7.
f (x) = ex − x, ise f 0 ve f 00 fonksiyonlarını bulunuz.
5
Çözüm. Fark kuralını kullanarak,
f 0 (x) =
d x
d x
d
(e − x) =
(e ) −
(x) = ex − 1
dx
dx
dx
elde ederiz. İkinci türevi, f 0 nün türevi olarak tanımladık. Bu nedenle,
f 00 (x) =
d x
d x
d
(e − 1) =
(e ) −
(1) = ex
dx
dx
dx
elde ederiz.
Örnek 8.
y = ex eğrisinin hangi noktasındaki teğet doğrusu y = 2x doğrusuna paraleldir?
Çözüm. y = ex olduğundan, y 0 = ex dir. Sorudaki noktanın x koordinatı a olsun. Bu noktadaki teğet doğrusunun
eğimi ea olur. Teğet doğrusu, eğimi, y = 2x doğrusunun eğimiyle aynı, başka bir deyişle 2 olduğunda, bu doğruya
paralel olacaktır. Eğimleri eşitlersek,ea = 2 ⇒ a = ln 2 elde ederiz. Dolayısıyla, aranılan nokta (a, ea ) = (ln 2, 2)
dir.
Şekil 3.2:
Örnek 9.
a. f (x) = xex ise, f 0 (x) i bulunuz.
b. f nin n-inci türevi, f (n) (x) i bulunuz.
Çözüm.
a. Çarpım kuralından,
f 0 (x) =
d
d
d
(xex ) = x (ex ) + ex (x) = xex + ex . 1 = (x + 1)ex
dx
dx
dx
elde ederiz.
b. Çarpım kuralını ikici kez kullanarak,
f 00 (x) =
d
d
d
[(x + 1)ex ] = (x + 1) (ex ) + ex (x + 1)
dx
dx
dx
= (x + 1)ex + ex . 1 = (x + 2)ex
6
BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI
elde ederiz. Çarpım kuralının art arda uygulanmasıyla,
f 000 (x) = (x + 3)ex
f (4) (x) = (x + 4)ex
elde edilir. Aslında, art arda gelen her türev alma ile başka bir ex terimi eklenir, bu nedenle
f (n) (x) = (x + n)ex
olur.
Örnek 10.
y = ex /(1 + x2 ) eğrisinin (1, e/2) noktasındaki teğet doğrusunun denklemini bulunuz.
Çözüm. Bölüm kuralından,
dy
dx
(1 + x2 )
=
d
d x
(e ) − ex (1 + x2 )
(1 + x2 )ex − ex (2x)
ex (1 − x)2
dx
dx
=
=
2
2
2
2
(1 + x )
(1 + x )
(1 + x2 )2
elde ederiz. Dolayısıyla, (1, e/2) deki teğet doğrusunun eğimi,
dy =0
dx x=1
dır.
Bu, (1, e/2) noktasındaki teğet doğrusunun yatay ve denkleminin y = e/2 olduğunu ifade etmektedir. [Foksiyonun artan olduğuna ve (1, e/2) deki teğet doğrusunu keserek geçtiğine dikkat ediniz.]
Şekil 3.3:
Kural 9.
Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri :
d
(sin x) = cos x
dx
d
(sec x) = sec x tan x
dx
d
(cos x) = − sin x
dx
d
(csc x) = − csc x cot x
dx
d
(tan x) = sec2 x
dx
d
(cot x) = − csc2 x
dx
7
Örnek 11.
f (x) =
vardır?
sec x
fonksiyonunun türevini alınız. Hangi x değerleri için f nin grafiğinin yatay teğeti
1 + tan x
Çözüm. Bölüm kuralı
f 0 (x) =
=
(1 + tan x)
d
d
(sec x) − sec x (1 + tan x)
dx
dx
(1 + tan x)2
(1 + tan x) sec x tan x − sec x sec2 x
(1 + tan x)2
f 0 (x) =
=
sec x [tan x + tan2 x − sec2 x]
(1 + tan x)2
sec x (tan x − 1)
(1 + tan x)2
verir. Yanıtı sadeleştirmek için, tan2 x + 1 = sec2 x özdeşliğini kullandık. sec x hiç sıfır olmadığından, yalnız
tan x = 1 için f 0 (x) = 0 olduğunu görürüz ve bu n tamsayı olmak üzere x = nπ + π/4 değerinde gerçekleşir.
Örnek 12.
cos x fonksiyonunun 27 inci türevini bulunuz.
Çözüm. f (x) = cos x fonksiyonunun ilk bir kaç türevi aşağıdaki gibidir:
f 0 (x) = − sin x
f 00 (x) = − cos x
f 000 (x) = sin x
f (4) (x) = cos x
f (5) (x) = − sin x
Ardışık türevlerin, dört adımda bir yinelendiğini ve n, 4 ün bir katı olmak üzere, f (n) (x) = cos x olduğunu görürüz.
Bu nedenle,
f (24) (x) = cos x
olur ve üç kez daha türev alırsak
f (27) (x) = sin x
elde ederiz.
8
3.1
BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI
Zincir Kuralı
p
F (x) =
x2 + 1 fonksiyonunun türevini almanızın istendiğini varsayalım. Daha önce öğrendiğimiz türev alma
kuralları ile F 0 (x) i hesaplamanız olanaklı değildir. F nin bir bileşke fonksiyonu olduğunu gözlemleyiniz. Gerçekten
√
de y = f (u) = u ve u = g(x) = x2 + 1 ise y = F (x) = f (g(x)), bir başka deyişle F = f ◦ g yazabiliriz. f ve
g’nin her ikisinin de türevlerinin nasıl alınacağını biliyoruz, dolayısıyla F = f ◦ g fonksiyonunun türevinin, f ve g
nin türevleri cinsinden nasıl bulunduğunu söyleyen bir kural yararlı olacaktır. f ◦ g bileşke fonksiyonunun türevi, f ve
g nin türevlerinin çarpımıdır. Bu, türev alma kurallarının en önemlilerinden biridir ve Zincir Kuralı olarak adlandırılır.
Bu, türevleri değişim hızları olarak ele aldığımızda, akla yatkın görünmektedir. du/dx i, u nun x e göre değişim
hızı, dy/du yu, y nin u ya göre değişim hızı ve dy/dx i, y nin x e göre değişim hızı olarak düşününüz. u, x in
iki katı bir hızla değişiyorsa ve y, u nun üç katı hızla değişiyorsa, y nin x in altı katı bir hızla değişmesi mantıklı
görünmektedir ve bu nedenle
dy
dy du
=
dx
du dx
olmasını bekleriz.
Theorem 1.
f ve g türevlenebilir fonksiyonlar ve F = f ◦ g fonksiyonu, F (x) = f (g(x)) biçiminde tanımlanan
bileşke fonksiyonu ise, F türevlenebilir bir fonksiyondur ve F 0 ,
F 0 (x) = f 0 (g(x))g 0 (x)
(3.1)
çarpımı ile verilir. Leibniz gösteriminde, y = f (u) ve u = g(x) türevlenebilir fonksiyonlarsa,
dy
dy du
=
dx
du dx
dir.
(3.2)
Örnek 13.
F (x) =
√
x2 + 1 ise F 0 (x) i bulunuz.
Çözüm. (Denklem (3.1)’yi kullanarak): Bu bölümün başında F fonksiyonunu f (u) =
üzere F (x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)) biçiminde ifade etmiştik.
1
1
f 0 (u) = u−1/2 = √
2
2 u
ve
g 0 (x) = 2x
olduğundan,
F 0 (x) = f 0 (g(x)) g 0 (x)
x
1
√
2x = √
=
2
2
2 x +1
x +1
√
elde ederiz. (Denklem (3.2)’ü kullanarak): u = x2 + 1 ve y = u ise
F 0 (x) =
=
dy du
1
= √ 2x
du dx
2 u
1
x
√
2x = √
dir.
2
2
2 x +1
x +1
√
u ve g(x) = x2 + 1 olmak
3.1. ZINCIR KURALI
9
Not : Zincir Kuralı’nı kullanırken, dışarıdan içeriye doğru hesap yaparız. Formül (3.1), önce dıştaki f fonksiyonunun (içteki g(x) fonksiyonunda) türevini aldığımızı ve daha sonra bunu, içteki fonksiyonun türeviyle çarptığımızı
söyler.
Örnek 14.
(a) y = sin(x2 ) ve (b) y = sin2 x fonksiyonlarının türevini alınız.
Çözüm. (a) y = sin(x2 ) ise, dıştaki fonksiyon sinüs ve içteki fonksiyon kare alma fonksiyonudur, dolayısıyla Zincir
Kuralı’ndan
dy
dx
=
d
d 2
sin(x2 ) = cos(x2 ) ·
x
dx
dx
= 2x cos(x2 )
elde ederiz.
(b) sin2 x = (sin x)2 olduğuna dikkat ediniz. Burada, dıştaki fonksiyon kare alma ve içteki fonksiyon sinüs
fonksiyonudur. Dolayısıyla,
d
dy
=
(sin x)2 = 2 sin x · cos x
dx
dx
olur. Yanıt, 2 sin x cos x olarak bırakılabilir ya da (yarım açı formülü olarak bilinen trigonometrik özdeşlik kullanılarak) sin 2x olarak yazılabilir.
Örnek 15.
y = (x3 − 1)100 fonksiyonunun türevini alınız.
Çözüm. Zincir Kuralı kullanılarak
dy
dx
=
d 3
d
(x − 1)100 = 100(x3 − 1)99 (x3 − 1)
dx
dx
= 100(x3 − 1)99 · 3x2 = 300x2 (x3 − 1)99
elde edilir.
Örnek 16.
g(t) =
t−2
2t + 1
9
fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm. Zincir Kuralı ve Bölüm Kuralı’nı birleştirerek
t−2 8 d
t−2
0
g (t) = 9
2t + 1
dt 2t + 1
t − 2 8 (2t + 1) · 1 − 2(t − 2)
45(t − 2)8
= 9
=
2
2t + 1
(2t + 1)
(2t + 1)10
elde ederiz.
10
BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI
Örnek 17.
y = esin x fonksiyonunun türevini alınız.
Çözüm. Burada içteki fonksiyon g(x) = sin x ve dıştaki fonksiyon f (x) = ex üstel fonksiyonudur. Dolayısıyla,
Zincir Kuralı’ndan,
dy
d sin x
d
=
(e
) = esin x (sin x) = esin x cos x
dx
dx
dx
olur.
Örnek 18.
y = esec 3θ fonksiyonunun türevini alınız.
Çözüm. Dıştaki fonksiyon üstel fonksiyon, ortadaki fonksiyon sekant fonksiyonu ve en içteki fonksiyon üç katını
alma fonksiyonudur. Dolayısıyla,
dy
dθ
= esec 3θ
d
d
(sec 3θ) = esec 3θ sec 3θ tan 3θ (3θ) = 3esec 3θ sec 3θ tan 3θ
dθ
dθ
elde ederiz.
3.1.1
Parametrik Eğrilerin Teğetleri
x = f (t), y = g(t) parametrik denklemleriyle verilen eğriyi ele alalım: f ve g türevlenebilir fonksiyonlar ve y,
x in türevlenebilir bir fonksiyonu olmak üzere, eğri üzerindeki bir noktadaki teğet doğrusunu bulmak istediğimizi
dy
varsayalım. Eğimi yani
i bulmamız gerek. Zincir Kuralından
dx
dy dx
dy
=
·
dt
dx dt
elde ederiz.
dy
dy dx
=
·
dt
dx dt
dx
6= 0 ise, eşitlikten dy/dx’i çekebiliriz.
dt
dx
6= 0 ise
dt
dy
dy
= dt
dx
dx
dt
dir.
Eğriyi bir parçacığın izlediği yol olarak düşünürsek, dy/dt ve dx/dt parçacığın düşey ve yatay hızları olur.
Örnek 19.
x = 2 sin 2t
bulunuz.
y = 2 sin t
√
parametrik eğrisinin ( 3, 1) noktasındaki teğet doğrusunun denklemini
(3.3)
3.1. ZINCIR KURALI
11
Çözüm. t parametre değerine karşılık gelen noktada, eğim
d
dy
(2 sin t)
dy
2 cos t
cos t
=
= dt = dt
=
dx
d
dx
2(cos 2t)(2)
2 cos 2t
(2 sin 2t)
dt
dt
√
dir. ( 3, 1) noktası t = π/6 parametre değerine karşılık gelir, bu yüzden bu noktadaki teğetin eğimi
√
√
cos(π/6)
dy 3/2
3
=
=
=
dx t=π/6 2 cos(π/3)
2(1/2)
2
olur. Dolayısıyla, teğet doğrusunun denklemi
√
√
3
y−1=
(x − 3) ya da
2
3.1.2
√
y=
3
1
x−
2
2
dir.
Kapalı Fonksiyonların Türevleri
Şimdiye kadar karşılaştığımız fonksiyonlar, bir değişkenin bir başka değişken cinsinden açık olarak ifade edilmesiyle
tanımlanabiliyordu. Örneğin,
p
y = x3 + 1 ya da y = x sin x
veya genel olarak, y = f (x) gibi. Buna karşılık, bazı fonksiyonlar
x2 + y 2 = 25
(3.4)
x3 + y 3 = 6xy
(3.5)
veya
gibi x ve y arasındaki bir bağıntı aracılığıyla kapalı olarak tanımlanır. Bazı durumlarda, böyle bir denklemden y yi x
e bağlı√bir fonksiyon (veya fonksiyonlar) olarak elde etmek olanaklıdır. Örneğin, Denklem (3.4)’den y yi çekersek,
y = ± 25 − x2 elde ederiz, ve böylece kapalı Denklem (3.4)’in belirlediği iki fonksiyon
p
p
f (x) = 25 − x2 ve g(x) = − 25 − x2
dir.
Şekil 3.4:
f ve g nin grafikleri x2 + y 2 = 25 çemberinin alt ve üst yarı-çemberleridir. Denklem (3.5)’dan elle hesap yaparak
y yi, x e bağlı bir fonksiyon olarak elde etmek kolay değildir. Yine de (3.5), Descartes folyumu olarak adlandırılan,
şekilde gösterilen eğrinin denklemidir, ve kapalı olarak y yi x e bağlı çeşitli fonksiyonlar olarak tanımlar. f nin
Denklem (3.5) ile kapalı olarak tanımlanan bir fonksiyon olduğunu söylediğimizde,
x3 + [f (x)]3 = 6xf (x)
eşitliğinin, f nin tanım kümesindeki her x değeri için doğru olduğunu kastederiz. Neyse ki y nin türevini bulmak
için verilen denklemde y yi x cinsinden çözme gereksinimi duymayız. Onun yerine kapalı türev alma yöntemini
kullanabiliriz. Bu, denklemin iki tarafının x e göre türevini almayı ve sonuçtaki denklemlerden y 0 nü çekmeyi içerir.
Bu bölümdeki örnekler ve alıştırmalarda her zaman, verilen denklemin kapalı bir biçimde y yi x e bağlı türevlenebilir
bir fonksiyon olarak tanımladığı ve dolayısıyla, kapalı türev alma yönteminin uygulanabildiği varsayılmıştır.
12
BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI
Şekil 3.5:
Şekil 3.6:
Örnek 20.
a. x2 + y 2 = 25 ise
dy
i bulunuz.
dx
b. x2 + y 2 = 25 çemberinin (3, 4) noktasındaki teğetinin denklemini yazınız.
Çözüm. 1. Yol:
a. x2 + y 2 = 25 denkleminin iki tarafının türevini alalım:
d 2
d
(x + y 2 ) =
(25)
dx
dx
d 2
d 2
(x ) +
(y ) = 0
dx
dx
y nin x e bağlı bir fonksiyon olduğunu anımsayarak ve Zincir Kuralı’nı kullanarak,
d 2
d 2 dy
dy
(y ) =
(y )
= 2y
dx
dy
dx
dx
elde ederiz. Dolayısıyla
2x + 2y
dy
=0
dx
dır. Şimdi bu denklemi dy/dx için çözeriz:
dy
x
=−
dx
y
3.1. ZINCIR KURALI
13
b. (3, 4) noktasında x = 3, y = 4 dür. Buradan
dy
3
=−
dx
4
elde ederiz. Dolayısıyla çemberin (3, 4) noktasndaki teğetinin denklemi
3
y − 4 = − (x − 3) ya da 3x + 4y = 25 dir.
4
√
√
2 elde ederiz. (3, 4) noktası y =
25
−
x
25 − x2 üst yarı2. Yol: x2 + y 2 = 25 denkleminden, y =
±
√
2
çemberinin üzerinde olduğundan, f (x) = y = 25 − x fonksiyonunu ele alırız. Zincir Kuralı’nı kullanarak türev
alırsak
1
d
f 0 (x) =
(25 − x2 )−1/2 (25 − x2 )
2
dx
=
elde ederiz. Böylece f 0 (3) = − √
1
x
(25 − x2 )−1/2 (−2x) = − √
2
25 − x2
3
3
= − olur ve birinci çözümde olduğu gibi teğetin denklemi 3x + 4y = 25
2
4
25 − 3
dir.
Not : Az önceki örnek, denklemden y yi x cinsinden çekmek olanaklı olsa bile kapalı türev almanın daha
kolay olabildiğini göstermektedir. dy/dx = −x/y ifadesi türevi, x ve y nin her ikisi cinsinden vermektedir.√Bu ifade
denklem tarafından hangi fonksiyonunun belirlendiğinden bağımsız olarak doğrudur. Örneğin, y = f (x) = 25 − x2
için
x
x
dy
= − = −√
dx
y
25 − x2
√
ve y = g(x) = − 25 − x2 için
dy
x
x
x
=− = √
=√
2
dx
y
− 25 − x
25 − x2
elde ederiz.
Örnek 21.
(a) x3 + y 3 = 6xy ise, y 0 nü bulunuz.
(b) x3 + y 3 = 6xy denklemiyle verilen Descartes folyumu eğrisinin (3, 3) noktasındaki teğetini bulunuz.
Çözüm. (a) y yi x e bağlı bir fonksiyon olarak düşünerek, y 3 terimi için zincir ve 6xy terimi için çarpım kuralını
kullanarak, x3 + y 3 = 6xy denkleminin iki tarafının x e göre türevini alırsak,
3x2 + 3y 2 y 0 = 6y + 6xy 0
ya da
x2 + y 2 y 0 = 2y + 2xy 0
elde ederiz.
x2 + y 2 y 0 = 2y + 2xy 0
Bu denklemden y 0 nü çekersek:
y 2 y 0 − 2xy 0 = 2y − x2
(y 2 − 2x)y 0 = 2y − x2
y0 =
2y − x2
y 2 − 2x
14
BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI
elde ederiz. x = y = 3 için
2 · 3 − 32
= −1
32 − 2 · 3
dir. Bu nedenle folyumun (3, 3) noktasındaki teğetinin denklemi
y0 =
y − 3 = −1(x − 3)
ya da
x+y =6
dır.
Örnek 22.
sin(x + y) = y 2 cos x ise y 0 nü bulunuz.
Çözüm. x e göre kapalı türev alarak ve y nin x e bağlı bir fonksiyon olduğunu anımsayarak,
cos(x + y) · (1 + y 0 ) = 2yy 0 cos x + y 2 (− sin x)
elde ederiz. (Sol tarafta zincir kuralını ve sağ tarafta çarpım ve zincir kurallarını kullandığımıza dikkat ediniz.)
cos(x + y) · (1 + y 0 ) = 2yy 0 cos x + y 2 (− sin x)
y 0 içeren terimleri bir araya toplarsak,
cos(x + y) + y 2 sin x = (2y cos x)y 0 − cos(x + y) · y 0
elde ederiz. Bu nedenle,
y0 =
cos(x + y) + y 2 sin x
2y cos x − cos(x + y)
olur.
3.1.3
Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi
Ters trigonometrik fonksiyonların türevlenebilir olduklarını varsayarak, bunların türevlerini almak için kapalı türev
alma yöntemini kullanabiliriz. arcsin fonksiyonunun tanımını anımsayınız:
π
π
y = sin−1 x ⇔ sin y = x ve − 6 y 6
2
2
anlamına gelir. sin y = x in x e göre kapalı türevini alırsak,
cos y ·
dy
= 1 veya
dx
dy
1
=
dx
cos y
elde ederiz.
dy
1
=
dx
cos y
−π/2 6 y 6 π/2 olduğundan, cos y > 0 dır, bu yüzden
q
p
cos y = 1 − sin2 y = 1 − x2
olur. Dolayısıyla,
dy
1
1
=
=√
dir.
dx
cos y
1 − x2
d
1
(sin−1 x) = √
dx
1 − x2
y = arctan x fonksiyonunun türevinin formülü de benzer bir yolla elde edilir:
d
1
(tan(−1) (x)) =
.
dx
1 + x2
3.1. ZINCIR KURALI
15
Örnek 23.
f (x) = x arctan
√
x fonksiyonunun türevini alınız.
Çözüm.
f 0 (x)
1
=x·
√ 2·
1 + ( x)
1 −1/2
x
2
+ arctan
√
x
√
=
3.1.4
√
x
+ arctan x
2(1 + x)
Logaritma Fonksiyonlarının Türevi
d
1
(loga x) =
dx
x ln a
(3.6)
1
d
(ln x) = .
dx
x
(3.7)
özel olarak a = e alırsak
Örnek 24.
y = ln(x3 + 1) fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm. Zincir kuralını kullanmak için u = x3 + 1 diyelim. Bu takdirde y = ln u ve
dy
dy du
1 du
1
3x2
=
·
= ·
= 2
· (3x2 ) = 3
dx
du dx
u dx
x +1
x +1
Genel olarak örnekte verilen zincir kuralı ile formül 3.7 yi birleştirirsek
d
1 du
(ln u) =
dx
u dx
veya
d
g 0 (x)
(ln g(x)) =
dx
g(x)
elde ederiz.
Örnek 25.
f (x) =
√
ln x fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm. Burada logaritma fonksiyonu iç fonksiyon olduğundan Zincir kuralını kullanarak
1
d
1
1
1
(ln x) = √
· = √
f 0 (x) = (ln x)−1/2 ·
2
dx
2 ln x x
2x ln x
elde edilir.
(3.8)
16
BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI
Örnek 26.
f (x) = ln |x| ise f 0 (x) türevini bulunuz.
Çözüm.
f (x) =
ln x
,
ln(−x) ,
x>0
x<0
olduğundan
f 0 (x) =

1



 x
,
x>0


1
1


(−1) =
−x
x
,
x<0
olarak elde edilir. Böylece her x 6= 0 için f 0 (x) = 1/x olur.
Örnek 27.
√
x3/4 x2 + 1
y=
fonksiyonunun türevini bulunuz.
(3x + 2)5
Çözüm. Denklemin her iki tarafının logaritmasını alıp, basitleştirmek için logaritmanın özelliklerini kullanalım:
1
3
ln x + ln(x2 + 1) − 5 ln(3x + 2)
4
2
ln y =
kapalı olarak tanımlanan bu fonksiyonun x e göre türevini alırsak
dy
dx
y
=
olur.
3 1 1
2x
3
· + · 2
−5·
4 x 2 x +1
3x + 2
dy
dx
y
=
3
x
15
+ 2
−
4x x + 1 3x + 2
Buradan dy/dx i çözersek
dy
dx
=y
3
x
15
+ 2
−
4x x + 1 3x + 2
√
x
15
x3/4 x2 + 1 3
+
−
=
(3x + 2)5
4x x2 + 1 3x + 2
elde ederiz.
Not: Taban değişken, üs sabit olduğunda, Kuvvet kuralı [(xn )0 = nxn−1 ] ile; taban sabit, üs değişken olan
[(ax )0 = ax ln a] üstel fonksiyonların türev alma kurallarını, birbirinden dikkatlice ayırt etmelisiniz. Genel olarak üs
ve tabanlar için dört durum söz konusudur.
1.
d b
(a ) = 0
dx
2.
d
[f (x)b ] = b[f (x)]b−1 f 0 (x)
dx
3.
d g(x)
[a ] = ag(x) (ln a)g 0 (x)
dx
(a ve b sabittir.)
3.2. DOĞRUSAL YAKLAŞTIRIMLAR VE DIFERANSIYELLER
4.
17
d
[f (x)]g(x) türevini bulmak için aşağıdaki örnekte olduğu gibi logaritmik türev kullanılabilir.
dx
Örnek 28.
√
y=x
x
fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm. 1. Yol : Logaritmik türevi kullanırsak
√
ln y = ln x
y0
y
=
y0
elde ederiz.
√
2. Yol : Diğer yöntem için x
x
√
x·
=y
= e
ln x
x
=
√
x ln x
1
1
+ (ln x) √
x
2 x
ln x
1
√ + √
x 2 x
√x
√
=x
x
2 + ln x
√
2 x
yazalım.
√
d √x ln x d √
d √x =
= e x ln x ( x ln x)
x
e
dx
dx
dx
√
2 + ln x
√
.
=x x
2 x
3.2
Doğrusal Yaklaştırımlar ve Diferansiyeller
y = f (x) eğrisinin (a, f (a)) noktasındaki teğet doğrusunun denklemi
y = f (a) + f 0 (a)(x − a)
dir.
f (x) ≈ f (a) + f 0 (a)(x − a)
(3.9)
yaklaştırımına f fonksiyonunun a noktasındaki doğrusal yaklaştırımı ya da teğet doğrusu yaklaştırımı denir.
L(x) = f (a) + f 0 (a)(x − a)
(3.10)
fonksiyonuna f fonksiyonunun a noktasındaki doğrusallaştırılması denir. x, a ya yakın olduğunda f (x) ≈ L(x)
doğrusal yaklaştırımı gerçek değere yakındır.
Örnek 29.
√
f√(x) = √x + 3 fonksiyonunun a = 1 noktasındaki doğrusallaştırılmasını bulunuz ve bunu kullanarak
3.98 ve 4.05 sayılarının yaklaşık değerlerini hesaplayınız.
Çözüm. f (x) = (x + 3)1/2 fonksiyonunun türevi
1
1
f 0 (x) = (x + 3)−1/2 = √
2
2 x+3
18
BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI
Şekil 3.7:
dür. Buradan f (1) = 2 ve f 0 (1) =
1
4
elde ederiz. Bu değeri denklem 3.10 de yerine koyarsak doğrusallaştırmanın
1
7 x
L(x) = f (x) + f 0 (1)(x − 1) = 2 + (x − 1) = +
4
4 4
olduğunu görürüz.
L(x) =
7 x
+
4 4
Buna karşılık gelen (3.9) doğrusal yaklaştırımı
√
dür. Özel olarak,
√
3.98 ≈
x+3≈
7 0.98
+
= 1.995
4
4
7 x
+
4 4
√
ve
4.05 ≈
7 1.05
+
= 2.0125
4
4
olur.
√
√
3.98 = 1.99499 . . .
4.05 = 2.01246 . . .
Şekil 3.8:
Örnekteki doğrusal yaklaştırım şekilde gösterilmiştir. Gerçekten x, 1 e yakın iken √
teğet doğru
√ yaklaştırımının
verilen fonksiyona iyi bir yaklaştırım olduğunu görebilirsiniz. Elbette bir hesap makinesi 3.98 ve 4.05 in yaklaşık
değerini bize verir, fakat doğrusal yaklaştırımlar tüm bir aralık üzerinde kullanılabilecek bir yaklaştırım verir.
Türevlenebilir bir f fonksiyonu için, y = f (x) ise, dx diferansiyeli bağımsız bir değişkendir. Diğer bir deyişle,
dx e herhangi bir gerçel sayı değeri verilebilir. Buradan dy diferansiyeli
dy = f 0 (x)dx
(3.11)
denklemi ile dx cinsinden tanımlanır. Sonuç olarak dy bir bağımlı değişkendir; dy değişkeni x ve dx değerlerine
bağlıdır. Eğer dx e özel bir değer verilir ve x, f nin tanım bölgesinden özel bir sayı olarak alınırsa, dy nin sayısal
değeri bulunur. Diferansiyellerin geometrik anlamı aşağıda gösterilmiştir.
3.2. DOĞRUSAL YAKLAŞTIRIMLAR VE DIFERANSIYELLER
19
Şekil 3.9:
P (x, f (x)) ve Q(x + ∆x, f (x + ∆x)), f nin grafiği üzerindeki noktalar ve dx = ∆x olsun. y deki değişimin
karşılığı
∆y = f (x + ∆x) − f (x)
dir. P R teğet doğrusunun eğimi f 0 (x) türevidir. Dolayısıyla, S den R ye olan yönlü uzaklık f 0 (x)dx = dy dir. Sonuç
olarak, x değeri dx miktarı kadar değiştiğinde, ∆y, y = f (x) eğrisinin artma yada azalma miktarını, dy ise teğet
doğrusunun artma yada azalma miktarını (doğrusallaştırmadaki değişimi) göstermektedir. Şekilden ∆x küçüldükçe
∆y ≈ dy yakalaşımının daha iyi olduğunu söyleyebiliriz. Eğer dx = x − a yazarsak, x = a + dx olur ve (3.9) deki
doğrusal yaklaştırımları diferansiyel gösterimi ile yeniden yazarsak
f (a + dx) ≈ f (a) + dy
olur.
√
Örneğin f (x) = x + 3 fonksiyonu için
dx
dy = f 0 (x)dx = √
2 x+3
elde edilir. Eğer a = 1 ve dx = ∆x = 0.05 alırsak,
dy =
ve
√
0.05
√
= 0.0125
2+ 1+3
4.05 = f (1.05) ≈ f (1) + dy = 2.0125
değerini buluruz.
Örnek 30.
Bir kürenin yarıçapı en fazla 0.05 cm lik ölçüm hatası ile 21 cm olarak ölçülmüştür. Yarıçap için bu değer
kullanılırsa kürenin hacim hesabında yapılan maksimum hata ne olur?
Çözüm. Kürenin yarıçapına r dersek, havim V = 34 πr3 dür. Eğer r nin ölçüm hatası dr = ∆r ile gösterilirse, V nin
hacim hesabında buna karşı gelen hata ∆V dir ve
dV = 4πr2 dr
diferansiyeli ile yaklaştırılabilir. r = 21 ve dr = 0.05 alınırsa,
dV = 4π(21)2 (0.05) ≈ 277
olur. Hacim hesabındaki maksimum hata yaklaşık 277 cm3 tür.
20
BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI
Not: Örnekteki mümkün olabilecek hata oldukça büyük gözükmesine rağmen, bu hatanın büyüklüğü, hatanın
toplam hacime bölünmesi ile elde edilen göreli hata ile daha iyi anlaşılır:
∆V
dr
dV
4πr2 dr
≈
= 4 3 =3 .
V
V
r
3 πr
Böylece, hacimdeki göreli hata, yarıçaptaki göreli hatanın yaklaşık 3 katı olur. Örnek te yarıçaptaki göreli hata
yaklaşık olarak dr/r = 0.05/21 ≈ 0.0024 hacimdeki göreli hata ise yaklaşık 0.007 dir. Hatalar yarıçapta %0.24 ve
hacimde %0.7 olmak üzere yüzdelik hata olarak da ifade edilebilir.