˙Içindekiler

Içindekiler
BIRINCI BÖLÜM
Fonksiyonlar
Bag nt
Fonksiyon
Fonksiyonel Denklemlere Giriş
Fonksiyonun Gra gi
Fonksiyon Çeşitleri
Bir Fonksiyonun Tersi
Bileşke Fonksiyon
Tek ve Çift Fonksiyon
Periyodik Fonksiyon
Artan ve Azalan Fonksiyon
Polinom Fonksiyon
Üstel ve Logaritmik Fonksiyon
Çok Degişkenli Fonksiyonlar
Kar ş k Örnekler
ÇÖZÜMLÜ TEST
ÇÖZÜMLER
TÜBITAK SORULARI (Fonksiyonlar)
TÜBITAK SORULARININ ÇÖZÜMLERI
ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI
11
12
14
17
18
20
23
25
26
26
28
28
30
34
45
59
55
58
64
IKINCI BÖLÜM
Polinomlar
Polinomlar n Eşitligi
Polinomlar n Katsay lar ve Terim Say s Ile Ilgili Sorular
Horner Metodu Ile Bölme
Bölme Işlemlerinde Kalan n Bulunmas
Bir Polinomun Türevi
Kar ş k Örnekler
ÇÖZÜMLÜ TEST
ÇÖZÜMLER
69
73
76
78
82
87
96
99
TÜBITAK SORULARI (Polinomlar)
TÜBITAK SORULARININ ÇÖZÜMLERI
ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI
105
107
111
ÜÇÜNCÜ BÖLÜM
Denklemler ve Denklem Sistemleri
Ikinci Dereceden Denklemler
Ikinci Dereceden Bir Denklemin Sanal Kökleri
Ikinci Dereceden Denklemlere Dönüştürülebilen Denklemler
Köklü Denklemler
Üçüncü Dereceden Denklemler
Üçüncü Dereceden Bir Denklemin Çözümü
Yüksek Dereceden Polinom Denklemler
Kökler ve Katsay lar Aras ndaki Bag nt lar (Vieta Formülleri)
Bir Bilinmeyenli Polinom Eşitsizlikler
Türevi Kullanarak Köklerin Yorumlanmas
Bir Polinom Denklemin Reel Köklerinin Üst S n r n n Bulunmas
Tamsay Köklerin Bulunmas
Tamsay Köklerin Bulunmas Için Newton Metodu
Tamsay Köklerin Bulunmas Için Başka Bir Yöntem
Reel Köklerin Işaret Incelemesi
Decartes'in Işaret Degişim Kural
Rasyonel Köklerin Bulunmas
Mutlak Degerli Denklem ve Eşitsizlikler
Gra kler Yard m yla Denklem Çözümü
Köklerin Kuvvetleri Toplam n n Hesaplanmas
Denklem Sistemleri
Kar ş k Örnekler
ÇÖZÜMLÜ TEST
ÇÖZÜMLER
TÜBITAK SORULARI (Denklemler ve Denklem Sistemleri)
TÜBITAK SORULARININ ÇÖZÜMLERI
ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI
113
118
120
122
126
127
130
132
141
144
148
149
151
152
152
154
156
158
160
162
167
185
195
204
223
230
245
DÖRDÜNCÜ BÖLÜM
Diziler
Aritmetik Dizi
Geometrik Dizi
Fibonacci Dizisi
Bir Dizinin Genel Teriminin Bulunmas
Dizilerin Homojen Yineleme Bag nt lar ve Genel Teriminin Bulunmas
Dizilerin Homojen Olmayan Yineleme Bag nt lar ve Genel Teriminin
Bulunmas
Yard mc Genel Terim Kullanma
Dizinin Tüm Terimlerinin Tamsay Oldugunu Gösterme
Dizinin Limiti
Kar ş k Örnekler
ÇÖZÜMLÜ TEST
ÇÖZÜMLER
TÜBITAK SORULARI (Diziler)
TÜBITAK SORULARININ ÇÖZÜMLERI
ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI
YANIT ANAHTARI
251
255
258
261
264
266
271
273
274
284
297
302
312
316
329
332
Fonksiyonlar
1.1
Bag nt
A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, birinci bileşeni A kümesinden, ikinci
bileşeni B kümesinden al narak oluşturulan tüm ikililerinin kümesine A ile B'nin
kartezyen çarp m denir. A B şeklinde gösterilir.
B = f(x; y) : x 2 A ve y 2 Bg :
A
A B kümesinin herhangi altkümesine A'dan B'ye bag nt denir. s (A) = n
ve s (B) = m ise s (A B) = nm olur. A'dan B'ye bag nt say s da 2mn 'dir.
Bir = f(x; y)jx 2 A; y 2 Bg bag nt s n n elemanlar na düzlemde karş gelen
noktalar n kümesine bag nt s n n gra gi denir.
Örnek 1
= f(x; y) : jxj + jyj = 2; x; y 2 Rg bag nt s n n gra gini çizelim.
Çözüm : x ve y'nin negatif veya pozitif olmas na göre
incelenirse,
x < 0; y < 0 için, x y = 2;
x > 0; y < 0 için, x y = 2;
x < 0; y > 0 için, x + y = 2;
x > 0; y > 0 için, x + y = 2
dogrular elde edilir. Buna göre gra k yandaki gibi olur.
2
-2
2
-2
Örnek 2 dbjxjce, x say s ndan büyük olmayan en büyük tamsay y göstermek üzere,
= f(x; y) : dbjxjce dbjyjce = 2; x; y 2 Rg
bag nt s n n gra gini çizelim.
Çözüm : dbjxjce dbjyjce = 2 için dört durum olabilir.
i) dbjxjce = 1 ve dbjyjce = 2 ise,
1
x < 2 ve 2
ii) dbjxjce = 2 ve dbjyjce = 1 ise,
1
iii) dbjxjce =
1
x < 0 ve
iv) dbjxjce = 2 ve dbjyjce =
gra k şekildeki gibi olur.
2
y < 3;
1
1
y < 2 ve 2
1 ve dbjyjce =
3
x < 3;
3
-2
-3
2 ise,
2
2
-1
y<
1 ise,
2
1;
x <
1 ve
1
y < 0 olur. Buna göre,
12
Matematik Olimpiyatlar na Haz rl k 4
Denklik ve S ralama Bag nt s
; A'dan A'ya bir bag nt olsun. Her bag nt aşag da verilen bu özellikleri saglamak zorunda degildir.
1.Yans ma Özelligi : Her x 2 A için, (x; x) 2 ise, yans ma özelligine
sahiptir denir.
2. Simetri Özelligi : Her (x; y) 2 için, (y; x) 2 ise, simetri özelligine
sahiptir denir.
3. Ters simetri Özelligi : x 6= y ve (x; y) 2 iken (y; x) 62 ise, ters simetri
özelligine sahiptir denir.
4. Geçişme Özelligi : Her (x; y) 2 ve (y; z) 2 iken, (x; z) 2 ise,
geçişme özelligine sahiptir denir.
Yans ma, simetri ve geçişme özelliklerini sagl yan bag nt s na denklik bag nt s , yans ma, ters-simetri ve geçişme özelliklerini saglayan bag nt s na da s ralama
bag nt s denir.
Örnegin, Z kümesinde, tan mlanan
= f(x; y) : 3 j x yg
bag nt s bir denklik bag nt s d r. Bu denklik bag nt s n n elemanlar ,
(1; 1) ; (2; 5) ; (11; 56) ; :::
şeklindedir. Yani, (x; y) ikilisinde, x ve y, 3 ile bölündügünde ayn kalan veren iki
tamsay olmal d r. 3 ile bölündügünde kalan 0, 1 veya 2 olabileceginden, bu bag nt ya
göre birbirine denk olan say lar 3 k s ma ay rmak mümkündür. 3 ile bölündügünde 0
kalan n verenler, 1 kalan n verenler ve 2 kalan n verenler. Bu üç kümeye denklik
bag nt s n n denklik s n ar denilir.
0 = f:::; 6; 3; 0; 3; 6; :::g ; 1 = f:::; 5; 2; 1; 4; 7; :::g ve
2 = f:::; 4; 1; 2; 5; 8; :::g
şeklinde gösteririz.
1.2
Fonksiyon
A kümesinin her eleman n , B kümesinin yaln z bir eleman na götüren f bag nt s na fonksiyon denir. f : A ! B ile gösterilir. A kümesine tan m kümesi, B kümesine deger kümesi ve f (A) kümesine de görüntü kümesi denir. Reel degişkenli bir
fonksiyon, y = f (x) biçiminde verilip tan m kümesi aç kça verilmemişse, bu durumda tan m kümesi olarak fonksiyonun anlaml oldugu en geniş reel say lar kümesi
fonksiyonun tan m kümesi olarak al n r.
Örnegin, f (x) = 1= (x 2) fonksiyonunda, tan m kümesi p
olarak, paydan n 0
olamayacag göz önüne al narak R f2g alabiliriz. Yine, f (x) = x 3 fonksiyonu
denildiginde, tan m kümesi verilmemişse, x 3
0 olmas gerektiginden, tan m
kümesini [3; 1] kapal aral g olarak al r z.
Fonksiyonlar
13
Örnek 3 Aşag daki bag nt lar n fonksiyon olup olmad klar n oldugunu aç klay n z.
a) f1 : Z ! N, f1 (x) = x 1
x (x + 1) (2x + 1)
b) f2 : Z ! Z, f2 (x) =
6
1
c) f3 : R ! R, f3 (x) = + x
x
d) f4 : Q ! Z+ ; f4 (x) = x2
Çözüm : a) f1 fonksiyon degildir. Çünkü, x = 0 eleman n n görüntüsü 1 'dir ve
deger kümesinde görüntüsü yoktur.
b) f2 bir fonksiyondur. Her x tamsay s için, x (x + 1) (2x + 1) =6 yine bir tamsay d r (ispatlay n z).
c) f3 fonksiyon degildir. Çünkü, x = 0 say s n n görüntüsü yoktur. x = 0'da tan ml
degildir. f3 : R f0g ! R şeklinde tan mlanm ş olsayd bir fonksiyon olacakt .
d) f4 fonksiyon degildir. Çünkü, örnegin x = 1=2 gibi bir kesir alsak, görüntüsü
tamsay degildir.
Özellik : s (A) = n ve s (B) = m olsun. Bu durumda A kümesinden B kümesine
tan mlanabilecek fonksiyon say s mn olur.
Ispat : A = fa1 ; a2 ; :::; an g ve B = fb1 ; b2 ; :::; bm g olsun. A kümesindeki her bir
eleman, B kümesinden m tane farkl elemana gidebilir. Yani, A kümesinin her bir
eleman için m tane seçenek vard r. O halde, m m m m = mn degişik fonksiyon
tan mlanabilir.
Fonksiyonlarda işlemleri aşag daki gibi tan mlar z.
f : A ! R ve g : A ! R fonksiyonlar verilsin. Her x 2 A için
f (x) + g(x) = (f + g)(x) : A ! R
fonksiyonuna, f ile g fonksiyonlar n n toplam denir ve f + g ile gösterilir. Benzer
şekilde,
f (x) g(x) = (f g)(x) : A ! R
fonksiyonuna f ile g fonksiyonlar n n fark , .
f (x) g (x) = (f g) (x) : A ! R
fonksiyonuna f ile g fonksiyonlar n n çarp m , ve her x 2 A için g (x) 6= 0 olmak
üzere,
f (x)
f
= (x) : A ! R
g (x)
g
fonksiyonuna da f ile g'nin bölümü denir.
14
Matematik Olimpiyatlar na Haz rl k 4
Örnek 4 f (n) = n3 ve g (n) = f (n + 1)
f (n) olduguna göre,
g (0) ; g (1) ; :::; g (99)
say lar n n ortalamas kaçt r?
3
Çözüm : g (n) = (n + 1)
g (0) +g (1) +
n3 ise,
+ g (100)
= 13 03 +23 13 +33 23 +
= 1003 03
= 106
+ 1003 993
oldugundan ortalamas 106 =100 = 104 elde edilir.
1.3
Fonksiyonel Denklemlere Giriş
Çözümü fonksiyon olan denklemlere fonksiyonel denklemler denir. Bu bölümde, fonksiyonel denklemler konusu basit düzeyde ele al nacakt r. Aşag daki örneklerde oldugu gibi, bir çok soruda fonksiyonun herhangi bir noktadaki degeri istendiginden, fonksiyonu bulmaya gerek kalmadan çözüme ulaşabiliriz. Bunun için, çogunlukla, istenilen degeri bulmak için fonksiyona uygun degerler verilebilir. Fakat, bazen
fonksiyonu bulmam z gerekebilir. Bunun için, fonksiyonel denklemlerle ilgili basit
sorular bu bölümde verilip, karş laşabilecek daha zor sorular daha sonra fonksiyonel
denklemler bölümünde ayr nt l olarak verilecektir.
Bir fonksiyonu ald g degerlerden dolay tahmin etmek mümkündür. Fakat, matematikte tahmine yer yoktur. Bu nedenle tahminimizi ispatlamak gerekir. Tümevar m
bu konuda s kça kullan r z. Aşag daki örneklerden, Örnek 12 ve Örnek 13'te fonksiyonu tahmin etsekte, tümevar mla bu tahminimizin dogru oldugunu gösterdik.
Örnek 5 f : R f0g ! R
koşulunu sagl yorsa, f (1=3) =?
f0g fonksiyonu f (1=x) + (1=x) f ( x) = x=3
Çözüm : x yerine s ras yla x = 3 ve x = 1=3 yazarsak,
f (1=3) + (1=3) f ( 3) = 1 ve f ( 3) 3f (1=3) =
1=9
elde edilir. Bu denklemlerin çözümünden de, f (1=3) = 14=27 bulunur.
Örnek 6 Her x 2 R için, f (x) fonksiyonu 3f (x) + 2f (1
sagl yorsa, f (2) =?
x) = 2x + 9 eşitligini
Çözüm : S ras yla, x = 2 ve x = 1 yaz l rsa,
3f (2) + 2f ( 1) = 13 ve 3f ( 1) + 2f (2) = 7
denklemleri elde edilir. Buradan, f ( 1) yok edilirse, f (2) = 5 bulunur.
15
Fonksiyonlar
Örnek 7 x 2 R
f0; 1g için, f (x) + f (1= (1
Çözüm : Denklemde, x yerine s ras yla, 2;
x)) = x olduguna göre, f (2) =?
1 ve 1=2 yaz l rsa,
f (2) + f ( 1) = 2;
f ( 1) + f (1=2) =
1;
f (1=2) + f (2) = 1=2
denklem sistemi elde edilir. Birinci ve üçüncü denklemi toplay p, ikinci denklemi
ç kar rsak,
f (2) =
2+
1
2
+1
2
=
7
4
bulunur.
Örnek 8 f (x) : R ! R fonksiyonu,
f (x) + f (1
x) = 101 ve f (1 + x)
f (x) = 92
eşitliklerini saglad g na göre, f (x) + f ( x) =?
Çözüm : Ikinci eşitlikte, x yerine
f (1
x yazarsak,
x)
f ( x) = 92
olur. Buradan, iki denklem taraf tarafa ç kar l rsa, f (x) + f ( x) = 9 elde edilir.
Örnek 9 f ( 1) = f (1) = 1 ve her x; y 2 Z için,
f (x) + f (y) = f (x + 2xy) + f (y
2xy)
olduguna göre, f (101) =?
Çözüm : Eşitlikte, s ras yla x = 1 ve y = 1 yazarsak, s ras yla
1 + f (y) = f (1 + 2y) + f ( y)
f (x) + 1 = f ( x) + f ( 1 + 2x)
denklemleri elde edilir. Bu iki denklemden, ikinci denklemde x yerine y yaz p denklemlerin birbirinden ç kart lmas yla,
f (1 + 2y) = f ( 1 + 2y)
elde edilir. Bu eşitlikte, y yerine (y
Buna göre,
1) =2 yazarsak, f (y) = f (y
f (101) = f (99) = f (97) =
olur.
= f (3) = f (1) = 1
2) bulunur.
16
Matematik Olimpiyatlar na Haz rl k 4
Örnek 10 f (x) : R ! R fonksiyonu her x 2 R
f (x) + 2f
x + 2009
x 1
f1g için,
= 2010
x
eşitligini saglad g na göre, f (2011) =?
Çözüm : Eşitlikte, s ras yla x = 2 ve x = 2011yaz l rsa,
f (2) + 2f (2011) = 2008 ve f (2011) + 2f (2) =
1
elde edilir. Buradan, f (2011) = 1339 bulunur.
Örnek 11 2f (x) + 3f (1
Çözüm : 2f (x) + 3f (1
x) = x2 ise, f (x) =?
x) = x2 eşitliginde, x yerine 1
2f (1
olur. Buradan, f (1
x) + 3f (x) = (1
x yazarsak,
2
x)
x) yok edilirse,
f (x) =
x2
6x + 3
5
bulunur.
Örnek 12 f : Z+ ! Z fonksiyonu, f (0) = 0; f (5) = 980 ve
f (x + 1) + f (x
1) = 2f (x) + 2
eşitliklerini sagl yorsa f (10) =?
Çözüm : f (x + 1) = 2f (x) + 2 f (x 1) eşitliginde, f (1) = k + 1 yaz p,
f (0) = 0 oldugunu kullanarak x = 1; 2; 3; ::: için, f (x) degerlerini hesaplayal m.
Buna göre,
x = 1 yazarsak, f (2) = 2f (1) + 2 = 2k + 4
x = 2 yazarsak, f (3) = 2f (2) + 2 f (1) = 2 (2k + 4) + 2 (k + 1) = 3k + 9
x = 3 yazarsak, f (4) = 2f (3) + 2 f (2) = 2 (3k + 9) + 2 (2k + 4) = 4k + 16
bulunur. Bu sonuçlara göre, f (x) = kx + x2 oldugunu iddia ediyoruz. Iddiam z
tümevar mla ispatlayal m. x n için dogru olsun. x = n + 1 için yaparsak,
f (n + 1)
=
2f (n) + 2
f (n
=
2 kn + n2 + 2
1)
k (n
1) + (n
2
1)
2
= k (n + 1) + (n + 1)
oldugundan iddiam z dogrudur. O halde, f (5) = 980 oldugundan,
f (5) = 5 k + 52 = 980
denkleminden, k = 191 bulunur. Böylece, f (10) = 10 191+102 = 2010 elde edilir.
17
Fonksiyonlar
Örnek 13 f : Z+ ! Z fonksiyonu, f (0) = 0; f (1) = 1 ve n
f (n)
2f (n
1) + f (n
n
2) = ( 1) (2n
2 için,
4)
eşitliklerini saglad g na göre, f (n) fonksiyonunu bulunuz.
n
Çözüm : f (n) 2f (n 1) + f (n 2) = ( 1) (2n 4) eşitligini kullanarak
küçük degerler için fonksiyonun degerini hesaplayal m. f (0) = 0; f (1) = 1 oldugundan,
f (2) = 2; f (3) = 1; f (4) = 4, f (5) = 1; f (6) = 6:::
bulunabilir. Bu degerlerden,
f (n) =
1;
n,
n tek say ise
n çift say ise
oldugu tahmin edilebilir. Şimdi, bu tahminimizi tümevar mla ispatlayal m.
0; 1; 2; :::; k 1 degerleri için, bu fonksiyonun dogru oldugunu kabul edelim.
Eger, k tek say ise, f (k 1) = k 1 ve f (k 2) = 1 oldugundan,
f (k) = 2f (k 1) f (k 2) (2k 4) = 2 (k 1) 1 (2k 4) = 1
ve k çift say ise, f (k 1) = 1 ve f (k 2) = k 2 oldugundan,
f (k) = 2f (k 1) f (k 2) + (2k 4) = 2 (k 2) + (2k
4) = k
oldugundan iddiam z dogrudur.
F Fonksiyonel denklemler konusu beşinci ciltte ayr nt l olarak ele al nacakt r.
1.4
Fonksiyonun Gra gi
f : A ! B fonksiyonu verilsin. f = f(x; y)jy = f (x); x 2 Ag kümesinin
elemanlar na düzlemde karş gelen noktalar n kümesine f fonksiyonunun gra gi
denir.
Bir bag nt n n, fonksiyon olup olmad g n gra ginden
y
anlayabiliriz. Bunun için, x-eksenine çizilen her dik
dogru egriyi sadece bir noktada kesiyorsa, bu egri,
bir fonksiyon gra gi olarak düşünülebilir. Eger xeksenine çizilen dik dogrulardan herhangi biri, egriyi
x
birden fazla noktada kesiyorsa bu egri bir fonksiyon gra gi olamaz. Örnegin aşag da gra gi verilen
egrinin bir fonksiyon olmad g n y eksenine paralel
bir çizgi çizerek görebiliriz.
18
Matematik Olimpiyatlar na Haz rl k 4
1.5
Fonksiyon Çeşitleri
Sabit Fonksiyon
f : A ! B fonksiyonu için, her x 2 A için, f (x) = c ve c 2 B ise, yani A
kümesinin her eleman n n, B'de ki görüntüsü ayn ise, f 'ye sabit fonksiyon denir.
Birim Fonksiyon
f : A ! A fonksiyonu için, her x 2 A için, f (x) = x ise, yani, her eleman n n
görüntüsü , kendisine eşit ise, f 'ye birim fonksiyon denir.
Örnek 14 Negatif olmayan tamsay larda tan ml , f fonksiyonu, her x; y için,
xf (y) + yf (x) = (x + y) f x2 + y 2
eşitligini saglad g na ve f (99) = 5 olduguna göre, f (100) =?
Çözüm : xf (y) + yf (x) = (x + y) f x2 + y 2 denkleminde, x = 0 yazarsak,
yf (0) = yf y 2 eşitliginden, f y 2 = f (0)
elde edilir. Bu ifadeden, f fonksiyonunun sabit bir fonksiyon olabilecegi düşünülebilir.
Bu düşüncemizi ispatlamaya çal şal m. Bunun için, x 6= 0 ve y 6= 0 olmak üzere,
f (x) < f (y) kabul edelim. Bu durumda,
(x + y) f (x) < xf (y) + yf (x) < (x + y) f (y)
olur. Böylece, f (x) < f x2 + y 2 < f (y) olur. Fakat bu mümkün degildir. Çünkü,
benzer şekilde devam ederek, f (x) ve f (y) degerleri aras nda sonsuz say da farkl
deger bulunur. Fakat, f (1) = f (0) : Böylece, her x > 1 için, f (x) = f (1) olur.
Dolay s yla f sabit fonksiyondur ve f (100) = f (99) = 5 olur.
Bire-bir Fonksiyon
f : A ! B fonksiyonu verilsin. Eger,
her x1 ; x2 2 A ve x1 6= x2 için f (x1 ) 6= f (x2 )
ise f fonksiyonuna bire-bir fonksiyon denir. Diger bir ifadeyle, tan m kümesinin
herhangi farkl iki eleman n n görüntüleri farkl ise fonksiyon bire-bir olur.
Örnegin, f (x) = x2 fonksiyonu bire-bir degildir. Çünkü, 2 6= 2 oldugu
halde, f ( 2) = f (2) olmaktad r. Bir fonksiyonun bire-bir olup olmad g n aşag daki
verecegimiz kural yard m yla ya da gra gini çizerek görmek de mümkündür.
F f : A ! B fonksiyonu verilsin. Eger,
her x1 ; x2 2 A ve f (x1 ) = f (x2 ) oldugunda, x1 = x2
oluyorsa, f fonksiyonu bire – birdir.
19
Fonksiyonlar
Örnek 15 f : R ! R, f (x) = x2
gösteriniz.
4x + 5 fonksiyonunun bire-bir olup olmad g n
Çözüm : Her x1 ; x2 2 A ve f (x1 ) = f (x2 ) oldugunda, x1 = x2 olacag n göstermeliyiz. Bunun için,
x21
f (x1 ) = f (x2 )
4x1 + 5 = x22 4x2 + 5
eşitliginden, x21 x22
4 (x1 x2 ) = 0 veya (x1 x2 ) (x1 + x2 4) = 0 elde
edilir. Buna göre, x1 = x2 veya x1 + x2 = 4 olmal d r. Ikinci eşitlige göre, x1 = 1
ve x2 = 3 al nd g nda, f (x1 ) = f (x2 ) oldugu halde, x1 = x2 olmad g na bir örnek
bulunmuş olacag ndan, fonksiyonun bire-bir olmad g n görürüz.
Gra kle Fonksiyonun Bire-bir Olup Olmad g n n Incelenmesi
Bir fonksiyonun gra ginde, eger x eksenine paralel olarak çizilen her dogru
gra gi en çok bir noktada keserse fonksiyon bire-birdir. Eger apsisler eksenine paralel
olarak çizilen dogrulardan herhangi biri gra gi birden fazla noktada keserse fonksiyon
bire-bir degildir.
Yandaki ilk gra kte, y eksenine
paralel çizilen bir dogru görüldügü
gibi fonksiyonu birden fazla noktada
kesmektedir. Bu nedenle bu fonksiyon
bire-bir degildir. Ikinci gra kte ise, y
eksenine paralel çizilen herhangi bir
dogru görüldügü gibi fonksiyonu birden fazla noktada kesemez. Bu nedenle bu fonksiyon bire-bir'dir.
y
y
x
x
Örnek 16 f : R ! R; f (x) = x3 fonksiyonun bire-bir olup olmad g n gra gini
çizerek gösteriniz.
y
Çözüm : y = x3 fonksiyonunun gra gi şekildeki gibidir.
Herhangi bir dogru fonksiyonu birden fazla noktada kesemez. O halde, y = x3 fonksiyonu bire-birdir.
x
20
Matematik Olimpiyatlar na Haz rl k 4
Örten Fonksiyon
f : A ! B fonksiyonu verilsin. Eger f (A) = B ise yani deger kümesindeki herhangi bir eleman tan m kümesindeki en az bir eleman n görüntüsü ise, f fonksiyonuna
örten fonksiyon denir. Başka bir ifadeyle, B deger kümesinden al nan herhangi bir b
eleman na karş l k, f (a) = b olacak şekilde A tan m kümesinden en az bir a eleman
bulunabiliyorsa , f fonksiyonu örtendir.
Örnegin, f : R ! R, f (x) = x2 fonksiyonu örten degildir. Deger kümesinden
alacag m z herhangi bir b negatif say s , hiçbir say n n karesine eşit olamayacag ndan,
f (a) = b olacak şekilde tan m kümesinden bir a eleman bulunamaz.
f : R ! R fonksiyonu örten degildir. Çünkü, y eksenine
b noktas ndan paralel çizilen şekilde dogru görüldügü gibi
fonksiyonu kesmez. Yani, b = f (a) olacak şekilde fonksiyonun bir a degeri yoktur. O halde bu fonksiyon örten
degildir.
Not : Gra kteki fonksiyon için, görüntü kümesi olarak R
yerine R+ al nm ş olsayd , fonksiyon örten olacakt . Ayr ca
bu fonksiyon bire-bir fonksiyondur
y
f(x)
x
b
Permütasyon Fonksiyonu
A kümesinden A kümesine tan ml , bier-bir ve örten her fonksiyona permütasyon fonksiyonu denir. n elemanl bir A kümesinde tan ml permütasyon fonksiyonlar n n say s n! tanedir.
Örnegin, A = fa; b; c; d; eg kümesinde, tan ml 5! = 120 tane permütasyon
fonksiyonu vard r.
abcd
abcd
f1 =
, f2 =
bcda
dbac
abcd
gösterimi,
bcda
f1 = f(a; b) ; (b; c) ; (c; d) ; (d; a)g
fonksiyonlar bunlardan ikisidir. f1 =
demektir.
1.6
Bir Fonksiyonun Tersi
f : A ! B fonksiyonu bire-bir ve örten fonksiyon olmak üzere, f 1 : B ! A
şeklinde tan mlanan fonksiyona f fonksiyonunun tersi denir.
Bir y = f (x) fonksiyonunun tersini bulmak için, fonksiyondan x degeri y
cinsinden hesaplan r ve, bulunan eşitlikte y yerine x ve x yerine f 1 (x) yaz larak
tersi bulunur.
21
Fonksiyonlar
Örnek 17 Aşag daki fonksiyonlardan hangilerinin tersi vard r?
a) f : Z ! Z; f (x) = 2x + 3
b) f : R ! R; f (x) = x3 1
c) f : R ! R f (x) = x2 + 1
p
3x + 1
p
d) f : R ! R f (x) =
2
e) A = f1; 2; 3g, f : A ! A ve f = f(1; 2) ; (2; 3) ; (3; 1)g
f ) A = f1; 2g ve B = fa; b; cg ; f : A ! B; f = f(1; a) ; (2; b)g
Çözüm : a) Fonksiyon bire-birdir fakat örten degildir. Örnegin, görüntü kümesindeki
y = 2 degeri için, tan m kümesinde bir x 2 Z degeri yoktur. O halde, bu fonksiyonun
tersi yoktur.
p
b) f (x) fonksiyonu bire-bir ve örtendir. Tersi ise, f 1 (x) = 3 x + 1 olur.
c) f (x) fonksiyonu bire-bir ve örten degildir. Bu nedenle tersi yoktur.
d) Bu fonksiyon da bire-bir ve örtendir ve tersi,
p
2x 1
p
f 1 (x) =
3
olur.
e) Bu fonksiyon bire-bir ve örten bir fonksiyondur. Tersi ise,
f
1
= f(2; 1) ; (3; 2) ; (1; 3)g
olur.
f ) Bu fonksiyon bire-bir'dir fakat örten degildir. Çünkü, görüntü kümesindeki c eleman için, f (x) = c olacak şekilde tan m kümesinde bir eleman yoktur. O halde, bu
fonksiyonun da tersi yoktur.
Örnek 18 f (x) = x3
Çözüm : y = x3
6x2 + 12x fonksiyonunun tersini bulunuz.
6x2 + 12x ifadesinde x 'i y türünden yazal m. Buna göre,
y
y
eşitliginden, (x
3
2) = y
bulunur. Böylece, x =
p
3
y
= x3
= (x
6x2 + 12x
3
2) + 8
8 olur. Buradan da,
p
x 2= 3 y 8
8 + 2 olacag ndan f
8+8
1
(x) =
p
3
y
8 + 2 elde edilir.
Not : Ayn koordinat sisteminde f 1 ters fonksiyonunun gra gi, f fonksiyonunun
gra ginin y = x dogrusuna göre simetrigidir.
22
Matematik Olimpiyatlar na Haz rl k 4
y
f -1(x)
y=x
b
f(x)
a
a
f
1
b
x
ters fonksiyonunun gra gi, f fonksiyonunun gra ginin y = x dogrusuna
göre simetrigidir.
Örnek 19 f (x) = x3 x2 3x + 4 olduguna göre, f
saglayan x degerlerini bulunuz.
1
(x) = f (x) denklemini
Çözüm : f 1 ters fonksiyonunun gra gi, f fonksiyonunun gra ginin y = x dogrusuna
göre simetrigi oldugundan, f 1 (x) = f (x) denkleminin çözümü olmas için, f 1 (x)
ve f (x) fonksiyonlar n n gra gi kesişmelidir. Kesiştikleri noktalar y = x dogrusu
üzerinde olacag ndan,
x3 x2 3x + 4 = x
eşitligi saglanmal d r. Buradan,
x3 x2 4x + 4 = (x
oldugundan, x = 1; x = 2 ve x =
1) (x
2) (x + 2) = 0
2 bulunur.
Teorem : f; X'den Y 'ye bir fonksiyon ve A; B Y olmak üzere aşag daki özellikler
saglan r.
i) A B ise, f 1 (A) f 1 (B)
ii) f 1 (A \ B) = f 1 (A) \ f 1 (B)
iii) f 1 (A [ B) = f 1 (A) [ f 1 (B)
iv) f 1 (AnB) = f 1 (A) nf 1 (B)
v) f 1 (?) = ?
Sadece ii)'yi ispatlayal m.
x 2 f 1 (A \ B) ise, ters fonksiyon tan m geregi, f (x) 2 A \ B ve buradan da,
f (x) 2 A ve f (x) 2 B
olur.
23
Fonksiyonlar
Buna göre, yine ters fonksiyon tan m geregince,
1
x2f
(A) ve x 2 f
1
(B)
olacag ndan, x 2 f 1 (A) \ f 1 (B) elde edilir. Yani, f 1 (A \ B) kümesinin her
eleman f 1 (A) \ f 1 (B) kümesinin bir eleman d r. O halde,
1
f
(A \ B)
f
olur. Şimdi de, tersini gösterelim. x 2 f
x2f
1
ve ters fonksiyon tan m geregince,
1
1
1
(A) \ f
(A) \ f
(A) ve x 2 f
1
1
( )
(B)
(B) olsun, bu durumda,
(B)
f (x) 2 A ve f (x) 2 B
olur. Buradan, f (x) 2 A\B olur. Ters fonksiyon tan m geregince, x 2 f
oldugundan,
1
f
(A) \ f
olur. ( ) ve ( ) ifadelerinden, f
1.7
1
1
(B)
f
(A \ B) = f
1
(A) \ f
(A \ B)
( )
(A \ B)
1
1
1
(B) bulunur.
Bileşke Fonksiyon
f : A ! B ve g : B ! C fonksiyonlar için, g f (x) = g (f (x)) : A ! C
şeklinde tan mlanan fonksiyona f ile g'nin bileşke fonksiyonu denir.
A
B
f
x
C
g
f(x)
g(f(x))
gof
Şimdi de, bileşke fonksiyonlar n özelliklerini verelim.
1. Bileşke fonksiyonun degişme özelligi yoktur. gof (x) 6= f og (x) :
2. Bileşke işleminin birleşme özelligi vard r. (f g) h = f (g h) :
3. I (x) = x bileşke işleminin birim eleman d r. f I (x) = I f (x) = f (x) :
4. f f 1 (x) = f 1 f (x) = I (x) oldugundan, f (x) fonksiyonun bileşke işlemine
göre tersi f 1 (x)'dir.
5. (f
g)
1
(x) = g
1
f
1
(x) eşitligi vard r.
Örnek 20 f (x) : R ! R fonksiyonu,
f (f (x)) (1 + f (x)) = 3 + f (x)
denklemini saglad g na göre, f (11) =?