ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BLEIMANN, BUTZER VE HAHN OPERATÖRÜNÜN BAZI ÖZELLİKLERİ Dilek SÖYLEMEZ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2009 Her hakkı saklıdır ÖZET Yüksek Lisans Tezi BLEIMANN, BUTZER VE HAHN OPERATÖRÜNÜN BAZI ÖZELLI·KLERI· Dilek SÖYLEMEZ Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal¬ Dan¬şman: Doç.Dr. Gülen TUNCA Bu tez dört bölümden oluşmaktad¬r. I·lk bölüm giriş k¬sm¬na ayr¬lm¬şt¬r. I·kinci bölümde, tez içinde kullan¬lacak temel kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde, Önce CB [0; 1) uzay¬n¬n bir alt uzay¬ olan H! uzay¬ tan¬mlan¬p Bleimann, Butzer ve Hahn operatör dizisinin H! uzay¬ndaki fonksiyonlar için [0; 1) aral¬g¼¬nda düzgün yak¬nsakl¬g¼¬incelenmiştir. Daha sonra bu operatörün n ye göre monotonlu¼ gu bölünmüş farklar yard¬m¬yla verilmiştir. Dördüncü bölümde, q- tamsay¬s¬na dayal¬Bleimann, Butzer ve Hahn operatorlerinin tan¬m¬ verilip bu operatör dizisinin düzgün yak¬nsakl¬g¼¬ incelenmiştir, ayr¬ca yaklaş¬m h¬z¬; önce fonksiyonun süreklilik modülü ile, ard¬ndan, Lipschitz tipli maksimal fonksiyonlar uzay¬ndaki fonksiyonlar için hesaplanm¬şt¬r. Son olarak operatörün n ye göre monotonlu¼ gu verilmiştir. Temmuz 2009, 55 sayfa Anahtar Kelimeler : Lineer pozitif operatör, Bleimann Butzer ve Hahn operatörü, Süreklilik modülü, Bölünmüş farklar, Korovkin teoremi. i ABSTRACT Master Thesis SOME PROPERTIES OF THE BLEIMANN, BUTZER VE HAHN OPERATOR Dilek SÖYLEMEZ Ankara University Graduate School of Natural And Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Asst. Prof. Dr. Gülen TUNCA This thesis consists of four chapters. The …rst chapter is devoted to the introduction. The second chapter, basic consepts which will be used in further chapters are given. In the third chapter, previously, H! space which is a subspace of CB [0; 1) has been de…ned, later, uniform convergency of the sequence of Bleimann, Butzer and Hahn operators on [0; 1) for those functions belonging to H! space is investigated. Moreover monotonicity of BBH operator has been obtained with the help of divided di¤erences. In the last chapter, the de…nition of Bleimann, Butzer ve Hahn operator based on q-integer has been given, moreover uniform convergency of the sequence of these operators has been examined, moreover, the rate of convergence has been calculated …rstly, by means of modulus of continuity of the function and subsequently, for the functions in the space of Lipschitz type maximal functions. Finally monotonicity of the operator with respect to n has been given. July 2009, 55 pages Key Words: Linear positive operator, Bleimann Butzer and Hahn operator, Modulus of continuity, Divided di¤erences, Korovkin’s theorem. ii TEŞEKKÜR Bu çal¬şma konusunu bana veren ve araşt¬rmalar¬m¬n her aşamas¬nda en yak¬n ilgi ve önerileriyle beni yönlendiren dan¬şman hocam, Say¬n Doç. Dr. Gülen TUNCA (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’ya en içten sayg¬ve minnetlerimi sunar¬m. Çal¬şmalar¬m esnas¬nda ö¼ grendi¼ gim bilgiler tüm kariyerim boyunca bana ¬ş¬k tutacakt¬r. Haftal¬k çal¬şmalar¬m¬zda bulunan ve bilgilerinden faydaland¬g¼¬m hocalar¬m Say¬n Yrd. Doç. Dr. H. Gül I·LARSLAN(Gazi Üniversitesi Fen Fakültesi)’a ve Say¬n Doç. Dr. Fatma YEŞI·LDAL(Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’a ve bana her zaman destek olan aileme en içten teşekkürlerimi sunar¬m. Bu tez çal¬şmas¬"TÜBI·TAK-2210 Yüksek Lisans Burs Program¬" taraf¬ndan desteklenmiştir. TÜBI·TAK’na en içten teşekkürlerimi sunar¬m. Dilek SÖYLEMEZ Ankara, Temmuz 2009. iii I·ÇI·NDEKI·LER ÖZET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii TEŞEKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii SI·MGELER DI·ZI·NI· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v 1. GI·RI·Ş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. TEMEL KAVRAMLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.1 Lineer Pozitif Operatör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2 Korovkin Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3 Lipschitz S¬n¬f¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4 Süreklilik Modülü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.5 Bölünmüş Farklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3. BLEIMANN, BUTZER VE HAHN OPERATÖRLERI· 14 3.1 BBH Operatörlerinin Tan¬m¬ 14 3.2 H! Uzay¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3 BBH Operatör Dizisinin Düzgün Yak¬nsakl¬g ¼¬ . . . . . . . 15 3.4 BBH Operatörlerinin Monotonluk Özelli¼ gi . . . . . . . . . . . 27 4. q-TAMSAYISINA DAYALI BLEIMANN, BUTZER VE HAHN OPERATÖRLERI· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.1 q-BBH Operatörleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2 q-BBH Operatör Dizisinin Düzgün Yak¬nsakl¬g ¼¬ . . . . . . 37 4.3 Süreklilik Modülü Fonksiyonu ile Yaklas¬m H¬z¬ . . . . . 40 4.4 Lipschitz Tipli Maksimal Fonksiyonlar Uzay¬nda . . . . . Yaklaş¬m H¬z¬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.5 q- BBH Operatörlerinin Monotonluk Özelli¼ gi . . . . . . . . 47 KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ÖZGEÇMI·Ş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 iv SI·MGELER DI·ZI·NI· C [a; b] [a; b] aral¬g¼¬ndaki sürekli, reel de¼ gerli fonksiyonlar¬n uzay¬. CB [0; 1) [0; 1) aral¬g¼¬ndaki s¬n¬rl¬, sürekli reel de¼ gerli fonksiyonlar¬n uzay¬. !(f ; ) f fonksiyonunun süreklilik modülü. N do¼ gal say¬lar kümesi R reel say¬lar kümesi Ln (f ; x) n yinci BBH operatörü Ln;q (f ; x) n yinci q d (x; E) x noktas¬n¬n E kümesine uzakl¬g¼¬ L (f ; x) L operatörünün f fonksiyonuna uygulanmas¬. LipM ( ) Lipschitz s¬n¬f¬. [x0 ; x1 ;:::; xn ; f ] f fonksiyonun x0 ; x1 ;:::; xp noktalar¬ndaki BBH operatörü n-yinci bölünmüş fark¬. v 1. GI·RI·Ş Bleimann, Butzer ve Hahn (1980), [0; 1) aral¬g¼¬nda tan¬ml¬, reel de¼ gerli fonksiyonlar için lineer pozitif Ln operatörlerini n X 1 Ln (f ; x) = f (1 + x)n k=0 n k k+1 n k x ; n 2 N , x 2 [0; 1) k şeklinde tan¬mlam¬şlard¬r. Bu operatörün [0; 1) aral¬g¼¬nda düzgün yak¬nsakl¬g¼¬n¬, CB [0; 1) uzay¬n¬n bir alt s¬n¬f¬ndaki fonksiyonlar için Gadjiev ve Çakar (1999) elde etmişlerdir. Bir çok lineer pozitif operatör dizisinin, konveks fonksiyonlar için monoton azalarak yak¬nsak oldu¼ gu bilinmektedir. (Bu do¼ grultuda, tek ve çok de¼ gişkenli operatörler için, örne¼ gin Cheney ve Sharma (1964) ve Cao, Ding ve Xu (2005) nun çal¬şmalar¬na bak¬labilir). Bleimann, Butzer ve Hahn (BBH) operatörlerinin s¬n¬rl¬ ve konveks fonksiyon için n ye göre monotonlu¼ gunu Della Vecciha (1991) incelemiştir. Son zamanlarda Philips (1997), Bernstein polinomlar¬n¬n q-tamsay¬lara dayal¬genelleştirmesini inşa etmiş ve bu operatörler için, yaklaş¬m teorisinin baz¬klasik problemlerini incelemiştir. Aral ve Do¼ gru (2007) Bleimann, Butzer ve Hahn operatörlerinin q-genelleştirmesini tan¬mlam¬şlar (q-BBH) ve Gadjiev ve Çakar’¬n (1999) çal¬şmas¬n¬ bu operatörlere genişletmişlerdir. q-BBH operatörlerinin n ye göre monotonlu¼ gunu Do¼ gru ve Gupta (2005) göstermişlerdir. Bu tezde, BBH ve q-BBH operatör dizilerinin yukar¬da bahsetti¼ gimiz; düzgün yak¬nsama, monotonluk gibi özelliklerini inceleyece¼ giz. Yukar¬daki çal¬şmalara ek olarak, Bleimann, Butzer ve Hahn operatörleri ile ilgili aşa¼ g¬daki önemli çal¬şmalar¬kaynak olarak verebiliriz. Adell, De la Cal ve San Miguel(1994), Khan (1988), Abel, Ivan (1999) 1 2. TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde öncelikle lineer pozitif operatörler tan¬t¬lacak ve sa¼ glad¬g¼¬temel özellikler incelenecektir. Ayr¬ca daha sonraki bölümlerde kullan¬lacak olan baz¬tan¬mlar verilip, Korovkin teoremi ifade ve ispat edilecektir. 2.1 Lineer Pozitif Operatör Tan¬m 2.1.1. X ve Y lineer fonksiyon uzaylar¬olmak üzere L:X!Y şeklindeki L operatörü e¼ ger, her f; g 2 X ve her ; 2 R için L ( f + g) = L (f ) + L (g) eşitli¼ gini sa¼ gl¬yorsa L ye lineer operatör denir. Şimdi, I reel eksenin bir aral¬g¼¬n¬ göstersin. I da tan¬ml¬, reel de¼ gerli tüm fonksiyonlar¬n uzay¬n¬F (I) ile gösterelim. X, F (I) nin lineer bir alt uzay¬olmak üzere L : X ! F (I) lineer operatörünü f 2 X, x 2 I için L (f ; x) = (L (f )) (x) olarak yazaca¼ g¬z ve L için aşa¼ g¬daki tan¬m¬ ve ard¬ndan L nin temel özelliklerini gösteren iki temel lemmay¬verece¼ giz. Tan¬m 2.1.2. Her f 2 X için f 0 iken L (f ) oluyorsa L ye pozitif operatör denir. 2 0 L, ayn¬zamanda lineerlik şart¬n¬da sa¼ gl¬yorsa L ye lineer pozitif operatör denir. Lemma 2.1.1. L Lineer pozitif operatörü, f; g 2 X için f g iken L (f ) L (g) eşitsizli¼ gini gerçekler. I·spat: f; g 2 X için f g oldu¼ gunu kabul edelim. Bu durumda g f 0 olaca¼ g¬ndan ve L operatörü pozitif oldu¼ gundan L (g f) (2.1.1) 0 yaz¬labilir. Di¼ ger taraftan L operatörü lineer oldu¼ gundan L (g f ) = L (g) L (f ) olup bunun (2:1:1) de kullan¬lmas¬yla ispat tamamlan¬r. Lemma 2.1.2. L lineer pozitif operatörü; f; jf j 2 X için jL (f )j L (jf j) eşitsizli¼ gini gerçekler. I·spat: Herhangi bir f fonksiyonu için jf j f 3 jf j (2.1.2) gerçeklenir. Lemma 2.1.1 ve (2:1:2) den L ( jf j) L (f ) L (jf j) (2.1.3) yaz¬labilir. L lineer oldu¼ gundan L ( jf j) = L (jf j) gerçeklenir. Son eşitli¼ gin (2:1:3) de kullan¬lmas¬yla L (jf j) L (f ) L (jf j) elde edilir, böylece jL (f )j L (jf j) oldu¼ gundan ispat tamamlan¬r. Çal¬şma boyunca, C [0; 1) ve CB [0; 1), s¬ras¬ile C [0; 1) = ff : [0; 1) ! R, süreklig ve CB [0; 1) = ff 2 C [0; 1) : f s¬n¬rl¬g uzaylar¬n¬gösterecektir. CB deki norm, kf kCB = sup jf (x)j x 0 ile verilebilir. Teorem 2.1.1. C [a; b] uzay¬n¬n elemanlar¬ndan oluşan bir ffn g1 n=1 dizisinin ayn¬ uzay¬n bir f eleman¬na C [a; b] uzay¬nda yak¬nsamas¬için gerek ve yeter koşul ffn g dizisinin f ye [a; b] aral¬g¼¬nda düzgün yak¬nsamas¬d¬r. 4 Şimdi, bir yo¼ gunluk teoremi olan aşa¼ g¬daki teoremi verelim. 2.2 Korovkin Teoremi fLn g1 n=1 , C [a; b] den C [a; b] ye giden lineer pozitif operatörlerin bir dizisi olmak üzere, i = 0; 1; 2 için lim Ln ti ; x = xi (2.2.1) n!1 yak¬nsamas¬[a; b] de düzgün olsun. Bu durumda her f 2 C [a; b] için lim Ln (f ; x) = f (x) n!1 yak¬nsamas¬[a; b] aral¬g¼¬nda düzgündür. I·spat: f [a; b] de sürekli oldu¼ gundan düzgün sürekli ve s¬n¬rl¬d¬r. Bu durumda her pozitif say¬s¬na karş¬l¬k jt xj iken jf (t) f (x)j < olacak şekilde bir ( ) say¬s¬vard¬r. jt xj > oldu¼ gunda ise f s¬n¬rl¬ oldu¼ gundan ve üçgen eşitsizli¼ ginden, M pozitif sabit olmak üzere, jf (t) jf (t)j + jf (x)j f (x)j yaz¬labilir. Di¼ ger taraftan e¼ ger, jt xj > jt xj ise 5 >1 2M (2.2.2) olaca¼ g¬ndan (t x)2 2 (2.2.3) >1 sa¼ glan¬r. (2:2:2) ve (2:2:3) den jf (t) f (x)j 2M x)2 (t 2 yaz¬labilir. Bu durumda jt xj için jf (t) f (x)j < jt xj > için jf (t) f (x)j 2M (t x)2 2 elde edilir. Dolay¬s¬yla her t 2 R ve her x 2 [a; b] için jf (t) f (x)j + 2M (t x)2 2 gerçeklenir. E¼ ger, (2:2:1) koşullar¬n¬sa¼ glayan fLn g1 n=1 operatör dizisinin lim kLn (f ) f kC[a;b] = 0 n!1 limitini sa¼ glad¬g¼¬gösterilirse Teorem 2.1.1 den ispat tamamlan¬r. 6 (2.2.4) Lemma 2.1.1 den ve üçgen eşitsizli¼ ginden jLn (f (t) ; x) f (x)j = jLn (f (t) ; x) f (x) + Ln (f (x) ; x) + Ln (f (x) ; x)j = jLn (f (t) ; x) = jLn ((f (t) jLn ((f (t) Ln (jf (t) Ln (f (x) ; x) + Ln (f (x) ; x) f (x)) ; x) + f (x) (Ln (1; x) 1)j f (x)) ; x)j + jf (x)j j(Ln (1; x) f (x)j ; x) + jf (x)j j(Ln (1; x) f (x)j 1)j 1)j bulunur. (2:2:4) den ve f s¬n¬rl¬oldu¼ gundan yukar¬daki eşitsizlikten jLn (f (t) ; x) f (x)j Ln + 2M (t x)2 2 elde edilir. 7 ;x ! + M j(Ln (1; x) 1)j (2.2.5) Di¼ ger taraftan Ln + 2M (t 2 x) 2 ;x ! = Ln ( ; x) + Ln 2M = Ln (1; x) + = Ln (1; x) + 2M 2 2M 2 2 (t x) 2 Ln t2 [Ln t2 ; x ;x ! 2xt + x2 ; x x2 x2 + 2x2 2xLn (t; x) +x2 Ln (1; x)] = Ln (1; x) + 2M +x2 (Ln (1; x) 2 [ Ln t2 ; x x2 + 2x (Ln (t; x) x) 1)] yaz¬labilir. Son bulunan ifadenin (2:2:5) de kullan¬lmas¬yla jLn (f (t) ; x) f (x)j Ln (1; x) + 2M 2 [ Ln t2 ; x +x2 (Ln (1; x) +M j(Ln (1; x) x2 + 2x (Ln (t; x) 1)] 1)j elde edilir. (2:2:1) koşullar¬n¬n (2:2:6) da kullan¬lmas¬yla jLn (f (t) ; x) 8 x) f (x)j < (2.2.6) bulunur. Böylece lim max jLn (f (t) ; x) n!1 a x b f (x)j = 0 gerçeklenir. Bu da ispat¬tamamlar. 2.3 Lipschitz S¬n¬f¬ Tan¬m 2.3.1. f , A R kümesinde tan¬ml¬, sürekli ve reel de¼ gerli bir fonksiyon olsun. E¼ ger, her x; y 2 A için 2 (0; 1] olmak üzere jf (x) f (y)j M jx yj eşitsizli¼ gi sa¼ glanacak şekilde bir M > 0 say¬s¬ varsa f ye Lipschitz sürekli fonksiyon denir. y¬nc¬ basamaktan y¬nc¬ basamaktan Lipschitz sürekli fonksiyon- lar¬n s¬n¬f¬LipM ( ) ile gösterilir (Cao, Ding and Xu 2005). 2.4 Süreklilik Modülü Tan¬m.2.4.1. f 2 C [a; b] olsun, her > 0 için ! (f ; ) = sup jf (t) f (x)j x;t2[a;b] jt xj ile tan¬mlanan ! fonksiyonuna f fonksiyonunun süreklilik modülü denir. f fonksiyonunun süreklilik modülü aşa¼ g¬daki özellikleri sa¼ glar: i. ! (f ; ) ii. 1 2 0 ise ! (f ; 1) ! (f ; iii. m 2 N için ! (f ; m ) iv. v. 2 R+ için ! (f ; ) 2) yani; ! (f ; ) m! (f ; ) ( + 1) ! (f ; ) lim+ ! (f ; ) = 0 !0 vi. jf (t) vii. jf (t) f (x)j f (x)j ! (f ; jt xj) jt xj + 1 ! (f ; ) I·spat: 9 ya göre azalmayand¬r. i. f nin süreklilik modülü, tan¬m¬gere¼ gince bir mutlak de¼ gerin supremumu oldu¼ gundan ispat aç¬kt¬r. ii. 1 2 için jt xj 2 bölgesinin jt xj 1 bölgesinden daha büyük oldu¼ gu aç¬kt¬r. Bölge büyüdükçe al¬nan supremum büyüyece¼ ginden ispat tamamlan¬r. iii. Süreklilik modülünün tan¬m¬ndan dolay¬ ! (f ; m ) = sup jf (t) f (x)j x;t2[a;b] jt xj m yaz¬labilir. jt xj m t m ise x olup t = x + mh seçimiyle jhj x+m ve ! (f ; m ) = sup jf (x + mh) f (x)j x2[a;b] jhj şeklinde yaz¬labilir. Di¼ ger taraftan sup jf (x + mh) f (x)j = sup x2[a;b] m X1 [f (x + (k + 1) h) f (x + kh)] x2[a;b] k=0 jhj jhj olup sa¼ g tarafa üçgen eşitsizli¼ gi uygulan¬rsa sup jf (x + mh) x2[a;b] jhj f (x)j m X1 sup jf (x + (k + 1) h) k=0 x2[a;b] jhj ! (f ; ) + ::: + ! (f ; ) m! (f ; ) 10 f (x + kh)j elde edilir. iv. 2 R+ say¬s¬n¬n tam k¬sm¬n¬[j j] ile gösterilirse bu durumda [j j] < < [j j] + 1 eşitsizliklerinin geçerli oldu¼ gu aç¬kt¬r. Şimdi bu eşitsizliklerden ve (ii) den ! (f ; eşitsizli¼ gi yaz¬labilir. ! (f ; ([j j] + 1) ) ) [j j] pozitif bir tamsay¬ oldu¼ gundan üstteki eşitsizli¼ gin sa¼ g taraf¬na (iii) özelli¼ gini uygulayabiliriz. Bu durumda ! (f ; ([j j] + 1) ) eşitsizli¼ gi elde edilir. Ayr¬ca her ([j j] + 1) ! (f ; ) 2 R+ için [j j] + 1 < +1 oldu¼ gundan ! (f ; ([j j] + 1) ) ( + 1) ! (f ; ) bulunur ve sonuç olarak ! (f ; ) ( + 1) ! (f ; ) yaz¬labilir ki bu da ispat¬tamamlar. v. jt xj eşitsizli¼ gindeki n¬n s¬f¬ra yaklaşmas¬t ! x olmas¬anlam¬na gelir. f fonksiyonu sürekli oldu¼ gundan süreklilik tan¬m¬na göre t ! x için jf (t) oldu¼ gundan ispat aç¬kt¬r. vi. ! (f ; ) ifadesinde = jt ! (f ; jt xj seçilirse xj) = sup jf (t) x2[a;b] 11 f (x)j f (x)j ! 0 elde edilir. O halde jf (t) f (x)j lerin supremumu ! (f ; jt xj) olaca¼ g¬ndan ispat aç¬kt¬r. vii. (vi) den jf (t) f (x)j ! f; jt xj yaz¬labilir. (iv) den jf (t) jt f (x)j xj + 1 ! (f ; ) bulunur böylece ispat tamamlan¬r. Tan¬m 2.4.2. !, [0; 1) aral¬g¼¬nda tan¬ml¬, sürekli, negatif olmayan reel de¼ gerli bir fonksiyon olsun. E¼ ger !, a) azalmayan, yani her 1 b) alt toplamsal, yani ! ( 2 1 + iken ! ( 1 ) 2) ! ( 2) ; ! ( 1 ) + ! ( 2 ), c) lim+ ! ( ) = 0 !0 ise ! ya süreklilik modülü fonksiyonu denir. 2.5 Bölünmüş Farklar Tan¬m 2.5.1. f sonlu bir [a; b] kapal¬ aral¬g¼¬nda tan¬mlanm¬ş bir fonksiyon, x0; x1; x2 ; :::; xn ler de x0< x1 < x2 ::: < xn olacak şekilde bu aral¬g¼¬n key… noktalar¬ olsunlar. f (x0 ) = [x0 ; f ] ; de¼ gerine f fonksiyonunun s¬f¬r¬nc¬bölünmüş fark¬ denir. Ayr¬ca [x0 ; x1 ; f ] = f (x1 ) x1 f (x0 ) x0 ifadesine f fonksiyonunun birinci bölünmüş fark¬ denir. Benzer olarak [x0 ; x1 ; x2 ; f ] = [x0 ; x1 ; f ] x0 12 [x1 ; x2 ; f ] x2 ifadesine f fonksiyonunun ikinci bölünmüş fark¬, bu şekilde devam edilirse [x0 ; x1 ; ...,xn ; f ] = [x0 ; x1,..., xn 1 ; f ] x0 [x1 ; x2 ; ...,xn ; f ] xn ifadesine f fonksiyonunun n yinci bölünmüş fark¬ denir (Lorentz 1953) : Tan¬m 2.5.2. f [0; 1) aral¬g¼¬nda sürekli bir fonksiyon olsun herhangi x1 ; :::; xn 2 [0; 1) ve negatif olmayan 1 olmak üzere f n X i=1 1;..., + ::: + i xi ! n say¬lar¬için n =1 n X if i=1 şart¬sa¼ glan¬yorsa f ye [0; 1) da konvekstir denir. 13 (xi ) 3. BLEIMANN BUTZER VE HAHN OPERATÖRLERI· Bu bölümde öncelikle BBH operatörlerinin tan¬m¬verilecek ve CB [0; 1) un bir alt uzay¬olan H! uzay¬tan¬t¬lacakt¬r. Daha sonra pozitif yar¬m eksende lineer pozitif operatör dizileri için Korovkin tipli bir teorem verilip, ard¬ndan Bleimann, Butzer ve Hahn (BBH) operatör dizisinin düzgün yak¬nsakl¬g¼¬, bu teoreme göre incelenecektir. Son olarak bölünmüş farklar kullan¬larak operatör dizisinin monotonluk özelli¼ gi incelenecektir. 3.1 BBH Operatörlerinin Tan¬m¬ 1980 y¬l¬nda Bleimann, Butzer ve Hahn, [0; 1) aral¬g¼¬nda tan¬ml¬, reel de¼ gerli her hangi bir fonksiyon için Ln (f ; x) = n X 1 f (1 + x)n k=0 n k k+1 n k x ; n 2 N , x 2 [0; 1) k (3.1.1) şeklindeki lineer, pozitif Ln operatörlerini tan¬mlam¬şlard¬r. f 2 C [0; 1) için n ! 1 iken Ln (f ; x) in f (x) e, [0; 1) aral¬g¼¬nda noktasal, [0; 1) aral¬g¼¬n¬n her kompakt alt aral¬g¼¬nda düzgün yak¬nsad¬g¼¬n¬ispat etmişlerdir (Bleimann, Butzer ve Hahn 1980). Çal¬şma boyunca, Ln ; n 2 N; ile gösterilen operatör ile (3:1:1) de tan¬mlanan Bleimann, Butzer ve Hahn operatörü anlaş¬lacakt¬r 3.2 H! Uzay¬ !; süreklilik modülü fonksiyonu olsun. Her x; y 2 [0; 1) için jf (x) f (y)j ! x 1+x y 1+y (3.2.1) şart¬n¬sa¼ glayan f fonksiyonlar¬n¬n s¬n¬f¬n¬H! ile gösterelim. Tan¬m 2.4.2 den, H! uzay¬ndaki her fonksiyon [0; 1) aral¬g¼¬üzerinde süreklidir, ayr¬ca her x jf (x)j jf (0)j + ! (1) 0 için (3.2.2) eşitsizli¼ gini sa¼ glar. Dolay¬s¬ile her f 2 H! fonksiyonu [0; 1) aral¬g¼¬üzerinde s¬n¬rl¬d¬r. 14 Böylece CB [0; 1) H! kapsamas¬gerçeklenir. H! uzay¬ndan olan fonksiyonlara örnek olarak aşa¼ g¬daki f1 fonksiyonunu verebiliriz: ! (t) = t iken f1 (x) = ! (t) = M t ; 0 < 1 + 2x : 1+x 1 olmas¬ durumunda H! uzay¬n¬ H ile gösterece¼ giz. Bu durumda jf (x) f (y)j ! = M = M x 1+x x 1+x y 1+y y 1+y jx yj (1 + x) (1 + y) oldu¼ gundan H LipM ( ) gerçeklenir (Gadjiev and Çakar 1999). 3.3 BBH Operatör Dizisinin Düzgün Yak¬nsakl¬g ¼¬ Bu k¬s¬mda BBH operatör dizisinin, CB [0; 1) uzay¬n¬n baz¬ alt s¬n¬‡ar¬ndan olan fonksiyonlar için [0; 1) aral¬g¼¬nda düzgün yak¬nsakl¬g¼¬, Gadjiev ve Çakar taraf¬ndan ispatlanan aşa¼ g¬daki Korovkin tipli teorem ile incelenecektir. Teorem 3.3.1. fAn g1 n=1 ; H! dan CB [0; 1) uzay¬na giden lineer pozitif operatörv x lerin bir dizisi olsun. E¼ ger v = 0; 1; 2 için, ev (x) = olmak üzere 1+x lim kAn (ev ) n!1 15 ev kCB = 0 (3.3.1) koşullar¬sa¼ glan¬rsa, her f 2 H! için lim kAn (f ) n!1 f kC B = 0 (3.3.2) gerçeklenir (Gadjiev and Çakar 1999). I·spat: f 2 H! olsun. Bu durumda (3:2:1) den her > 0 için t 1+t olacak şekilde bir x < 1+x iken jf (t) (3.3.3) f (x)j < > 0 say¬s¬vard¬r. Çünkü; t 1+t x < 1+x iken (3:2:1) ve Tan¬m 2.4.2 nin (a) ş¬kk¬ndan jf (t) f (x)j t 1+t ! x 1+x < !( ) gerçeklenir ve Tan¬m 2.4.2 nin (c) ş¬kk¬ndan jf (t) f (x)j < olur. Ayn¬zamanda f s¬n¬rl¬oldu¼ gundan t 1+t x 1+x iken jf (t) f (x)j < 2M 2 t x (1 + t) (1 + x) 2 (3.3.4) olacak şekilde pozitif bir M sabiti vard¬r. Gerçekten, e¼ ger, t 1+t x 1+x ise t x (1 + t) (1 + x) t x (1 + t) (1 + x) 2 16 1 olaca¼ g¬ndan; 2 1 (3.3.5) sa¼ glan¬r, ayr¬ca f s¬n¬rl¬oldu¼ gundan; jf (t) jf (t)j + jf (x)j f (x)j (3.3.6) 2M eşitsizli¼ gi vard¬r. Böylece (3:3:5) ve (3:3:6) dan jf (t) f (x)j < 2M t x (1 + t) (1 + x) 2 2 oldu¼ gundan eşitsizlik vard¬r. Bu durumda her t; x 2 [0; 1) için (3:3:3) ve (3:3:4) den jf (t) f (x)j < + t x (1 + t) (1 + x) 2M 2 yaz¬labilir. Şimdi (3:3:1) şartlar¬ndan; n ! 1 iken n kAn (1) 1kCB < kAn (e1 ) e1 kCB < n kAn (e2 ) e2 kCB < n 2 (3.3.7) ! 0 olmak üzere n (3.3.8) yazabiliriz. Bu eşitsizlikleri kullanarak, C; n’den ba¼ g¬ms¬z sabit olmak üzere, aşa¼ g¬daki eşitsizli¼ gi elde ederiz. An t x (1 + t) (1 + x) 2 ;x ! (3.3.9) < C n: CB Gerçekten, An t x (1 + t) (1 + x) 2 ;x ! = sup An x 0 CB 17 t 1+t x 1+x 2 ;x ! olarak yaz¬labilir. Di¼ ger taraftan Lemma 2.1.2. den t 1+t An 2 x 1+x ;x ! t 1+t An x 1+x + An t 1+t x ;x 1+x 2 t 1+t = An şeklinde yaz¬labilir. x (3:3:10) da 2 1+x üçgen eşitsizli¼ ginden, 2 ;x ! 2 ! x An 1+x t 1+t ;x 2 (3.3.10) An (1; x) 2 ekleyip ç¬kartal¬m An lineer pozitif operatör oldu¼ gundan ve 2 x ;x 1+x ! An 2 + 2 t 1+t x 1+x x 1+x ;x ! x 1+x t 1+t ;x (An (1; x) 1) An 2 x 1+x 2 bulunur. (3:3:8) den (3:3:9) eşitsizli¼ ginin sa¼ gland¬g¼¬görülür. O halde lim kAn (f ) n!1 f kC B = 0 oldu¼ gunu gösterirsek ispat tamamlan¬r. Lemma 2.1.1 ve Lemma 2.1.2 dikkate al¬narak 18 kAn (f ) f kCB = sup jAn (f (t) f (x) ; x) + f (x) An (1; x) f (x)j x 0 f (x)) ; x)j + jf (x)j j[An (1; x) sup (jAn ((f (t) x 0 kAn (jf (t) f (x)j ; x)kCB + kf kCB kAn (1; x) = In + Im bulunur. kf kCB M oldu¼ gundan ve (3:3:8) den lim Im = 0 n!1 gerçeklenir. (3:3:7) eşitsizli¼ gini In de dikkate al¬rsak ve (3:3:9) u kullan¬rsak In = kAn (jf (t) < < An + f (x)j ; x)kCB 2M t x (1 + t) (1 + x) 2 kAn (1; x)kCB + < kAn (1; x) = kAn (1) < (1 + n) 2M 2 1kCB + + + 2M 2 C 2M 2M 2 n 19 ;x ! CB t x (1 + t) (1 + x) An 1 + 1kCB + 2 2 C C n n 2 ;x ! CB 1]j) 1kCB bulunur. Böylece lim In = 0 n!1 gerçeklenir. Bu durumda ispat tamamlan¬r. Teorem 3.3.1 i kullanarak Bleimann, Butzer ve Hahn operatör dizisinin düzgün yak¬nsakl¬g¼¬n¬ elde edebiliriz, çünkü H! CB oldu¼ gundan Ln , n 2 N; operatörleri CB uzay¬ndan CB uzay¬na tan¬ml¬iken ayn¬zamanda H! uzay¬ndan CB uzay¬na tan¬ml¬d¬r. Şimdi her f 2 H! fonksiyonu için fLn (f ; x)g1 ¼¬nda f (x) e n=1 dizisinin [0; 1) aral¬g düzgün yak¬nsakl¬g¼¬n¬aşa¼ g¬daki teorem ile verelim. Teorem 3.3.2. Her f 2 H! için lim kLn (f ) n!1 f kCB = 0 gerçeklenir (Gadjiev and Çakar 1999). I·spat: Teorem 3:3:1 i kullanarak (3:3:8) şartlar¬n¬n Ln için sa¼ gland¬g¼¬n¬göstermek v x yeterli olacakt¬r yani; ev (x) = olmak üzere v = 0; 1; 2 için 1+x lim kLn (ev ) n!1 ev kCB = 0 oldu¼ gunu göstermeliyiz. (1 + x)n in Binom aç¬l¬m¬ndan n X n k (1 + x) = x k k=0 n (3.3.11) bulunur. Böylece (3:3:11) den Ln (1; x) = 1 (3.3.12) olur Dolay¬s¬yla lim kLn (1) n!1 1kCB = 0 olur v = 0 için (3:3:8) şart¬sa¼ glanm¬ş oldu. v = 1 için sa¼ gland¬g¼¬n¬göstermek için 20 her x 2 [0; 1) için x <1 1+x (3.3.13) eşitsizli¼ ginin do¼ gru oldu¼ gunu göz önünde bulundural¬m. Di¼ ger taraftan Ln t 1+t n X 1 = (1 + x)n k=0 ;x = k n k n k+1 x k k 1+ n k+1 n X k n! 1 xk n (1 + x) k=1 n + 1 (n k)!k! n X n 1 (n 1)! = xk n (1 + x) k=1 n + 1 (n k)! (k 1)! n X n 1 n = n n + 1 (1 + x) k=1 k 1 k x 1 (3.3.14) elde edilir. (3:3:14) de k yerine k + 1 yazarsak Ln t 1+t ;x n 1 X n 1 n 1 k+1 = x n n + 1 (1 + x) k=0 k n = n+1 x 1+x n n+1 x 1+x = 1 (1 + x)n 1 n 1 X n k=0 1 k xk (3.3.15) oldu¼ gundan kLn (e1 ) e1 kCB = sup x 0 n n+1 = sup x 0 x 1+x x 1+x x 1+x 1 n+1 bulunur. (3:3:13) den kLn (e1 ) e1 kCB 21 1 n+1 (3.3.16) oldu¼ gundan lim kLn (e1 ) e1 kCB = 0 n!1 gerçeklenir. Son olarak v = 2 durumunu inceleyelim ve k 2 = k (k 1) + k eşitli¼ gini göz önünde bulundural¬m Ln t 1+t 2 ;x ! = n X n k 1 k2 x n 2 (1 + x) k=1 (n + 1) k n X 1 k (k 1) n k = x n (1 + x) k=2 (n + 1)2 k n X 1 n k k + x n 2 (1 + x) k=1 (n + 1) k = n X n (n 1) 1 n n 2 (n + 1) (1 + x) k=2 k 2 k x 2 n X 1 n n + n 2 (n + 1) (1 + x) k=1 k 1 k x 1 (3.3.17) elde edilir (3:3:17) nin sa¼ g taraf¬ndaki ilk toplamda k yerine k + 2; ikinci toplamda k yerine k + 1 al¬n¬rsa Ln t 1+t 2 ;x ! = n 2 X n (n 1) 1 n 2 k+2 x n 2 k (n + 1) (1 + x) k=0 n 1 X n 1 n 1 k+1 + x n 2 k (n + 1) (1 + x) k=0 x 1+x n (n 1) = (n + 1)2 + = n (n + 1)2 n (n 1) (n + 1)2 2 x 1+x x 1+x 22 1 (1 + x)n 1 (1 + x)n 2 + 2 1 n (n + 1)2 n 2 X n k=0 n X1 x 1+x xk 1 xk k n k=0 2 k bulunur. Bu durumda kLn (e2 ) n (n 1) = sup 2 x 0 (n + 1) e2 kCB + n (n + 1)2 x 1+x x 1+x 2 x 1+x 2 eşitli¼ gi elde edilir. Di¼ ger taraftan n (n 1) (n + 1)2 x 1+x 2 + n (n + 1)2 x 1+x x 1+x 2 x 1+x + 2 n (n + 1)2 (3n + 1) (n + 1)2 x 1+x bulunur. (3:3:13) den n (n 1) (n + 1)2 x 1+x 2 + x n 2 (n + 1) 1 + x x 1+x 2 n (3n + 1) 2 + (n + 1) (n + 1)2 = 4n + 1 (n + 1)2 yazabiliriz. Böylece kLn (e2 ) e2 kCB 4n + 1 (n + 1)2 (3.3.18) bulunur. Bu durumda lim kLn (e2 ) n!1 e2 kCB = 0 elde edilir. (3:3:16), (3:3:18) eşitsizlileri ve (3:3:12) eşitli¼ gi, (3:3:8) koşullar¬n¬n sa¼ gland¬g¼¬n¬gösterir ve teorem 3.3.1 den ispat tamamlan¬r. H uzay¬için aşa¼ g¬daki sonucu verebiliriz. Sonuç 3.3.1. Her f 2H ; 0 < 1; için lim kLn (f ) n!1 23 f kCB = 0 gerçeklenir (Gadjiev and Çakar 1999). Şimdi, genel yaklaş¬m teoremi olan Teorem 3.3.1 in CB [0; 1) uzay¬ndaki bütün fonksiyonlar için geçerli olmad¬g¼¬n¬gösteren bir teorem verelim. Teorem 3.3.3. lim kAn (f ? ) n!1 f ? kC B > 0 olacak şekilde, CB [0; 1) uzay¬ndan ayn¬uzaya dönüşüm yapan ve (3:3:8) koşullar¬n¬ ? sa¼ glayan bir fAn g1 n=1 lineer pozitif operatör dizisi ve bir f 2 CB [0; 1) fonksiyonu vard¬r (Gadjiev and Çakar 1999). I·spat: 8 x > 1 > > n > > < f (x) + n + 1 An (f ; x) = > > > > > : x+ 3 2 f x+ 1 2 (x + 1) f (x) ; 0 f (x) ; x n x>n olsun. Öncelikle An operatörlerinin (3:3:8) koşullar¬n¬sa¼ glad¬g¼¬n¬gösterelim. x > n için An operatörlerinin (3:3:8) koşullar¬n¬sa¼ glad¬g¼¬aç¬kt¬r. 0 1 nx An (1; x) = 1 + n+1 = 1+ x+ 3 2 x n için inceleyelim (x + 1) 1 n x 2 n (n + 1) oldu¼ gundan kAn (1) 1kCB = sup 0 x n 1 n x 2 n (n + 1) (3.3.19) Di¼ ger taraftan 0 x n iken 1 n x 2 n (n + 1) 24 1 n 1 = 2 n (n + 1) 2 (n + 1) (3.3.20) elde edilir. (3:3:20) deki eşitsizlik (3:3:19) da kullan¬l¬rsa kAn (1) 1 2 (n + 1) 1kCB yaz¬labilir böylece lim kAn (1) 1kCB = 0 n!1 sa¼ glan¬r. Di¼ ger taraftan An 1 nx x = + 1+x n+1 t ;x 1+t = " x + 12 1+ x+ 3 x+ 2 1 2 x (x + 1) 1+x # 1 n x x + 1 + x 2 n (n + 1) elde edilir. (3:3:20) den kAn (e1 ) e1 kCB = sup 0 x n 1 2 (n + 1) 1 n x 2 n (n + 1) bulunur, bu durumda lim kAn (e1 ) n!1 e1 kCB = 0 gerçeklenir. Son olarak An t 1+t 2 ;x ! x 1+x = + = x n 2 2 1 4 x+ 3 n+1 2 1 2 x+ 1+ x+ (x + 1) 3 1 2 5 1 2 x + x+ n x 6 x 4 4 7 6 2 7 + 3 5 1+x n (n + 1) 4 (1 + x) x + 2 25 2 1 2 !2 x 1+x 2 3 5 (3.3.21) bulunur. (3:3:21) de 1 2 5 1 x + x+ 4 4 g (x) = 2 3 (1 + x) x + 2 x+ 0 g (x) = al¬n¬rsa 5 4 2 5 3 x2 + x + 2 2 >0 oldu¼ gundan g; her x 2 [0; 1) için monoton artan fonksiyondur. lim g (x) = x!1 1 , 2 dolay¬s¬ile 1 2 g (x) ve bu eşitsizli¼ gi (3:3:21) de kullanarak; An t 1+t 2 ;x ! x 1+x 2 1 n x 2 n (n + 1) eşitsizli¼ gini yazabiliriz (3:3:20) den kAn (e2 ) e2 kCB 1 2 (n + 1) eşitsizli¼ gi bulunur, burada n ! 1 iken limite geçilirse lim kAn (e2 ) n!1 olur. Böylece An operatörünün 0 e2 kCB = 0 n için de (3:3:8) koşullar¬n¬ sa¼ glad¬g¼¬n¬ x göstermiş olduk. Şimdi f ? (x) = cos 2 x 26 n için f ? 2 CB [0; 1) dur ve fonksiyonunu dikkate al¬rsak, 0 x An f ? (x) 1 nx n+1 f ? (x) = cos 2 x + x+ 3 2 cos ( + 2 x) (x + 1) cos 2 x cos 2 x 1 nx 5 = ( cos 2 x) 2x + n+1 2 bulunur. Norma geçilerek kAn (f ? ) f ? kC B 1 nx n n+1 sup 0 x 2x + 5 2 jcos 2 xj 2n + 52 jcos n j n+1 eşitsizli¼ gi elde edilir. Bu da ispat¬tamamlar. 3.4 BBH Operatörlerinin Monotonluk Özelli¼ gi Bu k¬s¬mda amac¬m¬z Ln ; n 2 N operatörünün bölünmüş farklar yard¬m¬yla n ye göre monotonlu¼ gunu göstermektir. Bu amaç için aşa¼ g¬daki tan¬m ve teoremleri ve bölünmüş farklar kullan¬larak yap¬lan konvekslik tan¬m¬n¬verelim. Tan¬m 3.4.1. f , [0; 1) da tan¬ml¬, reel de¼ gerli bir fonksiyon olmak üzere f nin [0; 1) daki ayr¬k üç noktadaki (x0 < x1 < x2 ) 2. bölünmüş fark¬negatif olmayan ise f konveks (konkav olmayan ) fonksiyondur. Teorem 3.4.1. n konveks ve s¬n¬rl¬ise f = ng n+1 , n ve 2 n artmayand¬r, n 1 X (n + 1) = n n ! 0 ve 2 n n=0 serisin¬n toplam¬ 0 lim n dir (Zygmund 1959). 27 n+1 olmak üzere e¼ ger, f ng Teorem 3.4.2. E¼ ger, f [0; 1) aral¬g¼¬üzerinde konveks bir fonksiyon ve ayr¬ca f (n) ise her x sbt; n2N (3.4.1) 0 ve her n 2 N için Ln (f ; x) Ln+1 (f ; x) gerçeklenir (Della Vecchia 1991). I·spat: (3:1:1) den Ln+1 (f ; x) aşa¼ g¬daki gibi yaz¬l¬r: n+1 X 1 Ln+1 (f ; x) = f (1 + x)n+1 k=0 n n+1 k x k k k+2 (3.4.2) (3:4:2) deki operatörün n + 1: terimi ç¬kar¬larak n X xn+1 1 Ln+1 (f ; x) = f (n + 1) + f (1 + x)n+1 (1 + x)n+1 k=0 28 n k k+2 n+1 k x k elde edilir. Böylece Ln+1 (f ; x) Ln (f ; x) = xn+1 f (n + 1) (1 + x)n+1 + n X 1 f (1 + x)n+1 k=0 n X 1 f (1 + x)n+1 k=0 = n+1 n+1 k n! xk (n k)!k! n k k+1 n k x (1 + x) k xn+1 f (n + 1) (1 + x)n+1 + n X 1 n k x n+1 k (1 + x) k=0 (1 + x) f = n k k+2 n n+1 n+1 k f n k k+2 k k+1 xn+1 f (n + 1) (1 + x)n+1 n X 1 n k + x n+1 k (1 + x) k=0 n+1 n+1 k n X 1 n k x f n+1 k (1 + x) k=0 1 (1 + x)n+1 n X k=0 f n n k k+1 f n k k+2 k k+1 0 @ n k 1 A xk+1 (3.4.3) olarak yaz¬labilir. Di¼ ger taraftan (3:4:3) ifadesindeki son toplamda n: terim ç¬kar¬l¬p 29 k yerine k 1 al¬n¬rsa xn+1 f (n) (1 + x)n+1 + n X 1 n xk f n+1 k 1 (1 + x) k=1 k n 1 k+2 xn+1 = f (n) (1 + x)n+1 n X n k 1 x + n+1 k (1 + x) k=0 k n+1 k f k n 1 k+2 (3.4.4) elde edilir ve (3:4:4) ün (3:4:3) de yerine yaz¬lmas¬yla Ln+1 (f ; x) n X 1 n k Ln (f ; x) = x n+1 k (1 + x) k=0 f + n k k+1 n+1 n+1 k k n+1 xn+1 [f (n + 1) (1 + x)n+1 k f f (n)] bulunur. Gerekli düzenlemeler yap¬larak yukar¬daki eşitlik 30 f k n n 1 k+2 k k+2 Ln+1 (f ; x) n n+1 X k n k x n+1 2 2 (1 + x) (n + 1 k) (n + 2 k) k k=0 2 k f 6 n k+1 6 4 k k k k 1 n+1 k n+2 k n+1 k n k+2 Ln (f ; x) = f + k n+2 k k n+1 f + k n + 1 k+2 n xn+1 [f (n + 1) (1 + x)n+1 k n + 1 ; k+2 n n k n+2 k k n k k+1 n n+1 X (1 + x)n+1 k=0 (n + 1 = k k+2 n 1 k+2 k 1 n k+2 k k) (n + 2 2 k n+2 3 k 7 7 5 2 k) n k x k k ;f k+1 f (n)] şekline indirgenir. Teorem 3.4.1 den ispat tamamlan¬r. 31 k 1 k+2 f (n)] k ; k+2 n xn+1 [f (n + 1) (1 + x)n+1 k (3.4.5) 4. q-TAMSAYISINA DAYALI BLEIMANN, BUTZER VE HAHN OPERATÖRLERI· Bu bölümde öncelikle Aral ve Do¼ gru taraf¬ndan inşa edilen Bleimann, Butzer ve Hahn operatörlerinin q- tamsay¬s¬na dayal¬yeni bir genelleştirilmesi verilecektir (q-BBH). Daha sonra, Korovkin tipli bir teorem ile bu operatör dizisinin düzgün yak¬nsakl¬g¼¬ incelenip, ard¬ndan yaklaş¬m h¬z¬; önce süreklilik modülü fonksiyonu ile, sonra Lipschitz tipli maksimal fonksiyonlar uzay¬ndaki fonksiyonlar için hesaplanacakt¬r. Son olarak q-BBH operatörünün monotonluk özelli¼ gi araşt¬r¬lacakt¬r. 4.1 q-BBH Operatörleri Bu k¬s¬mda, öncelikle q-tamsay¬s¬ile ilgili baz¬temel bilgiler verilip, ard¬ndan q-BBH operatörleri tan¬t¬lacakt¬r. q > 0 seçilmiş her hangi bir reel say¬ve r , negatif olmayan bir tamsay¬olmak üzere, r say¬s¬n¬n q-tamsay¬s¬ [r] = 8 < 1 qr 1 q ; q 6= 1 r ; q=1 : (4.1.1) olarak tan¬mlan¬r. Ayr¬ca [0] = 0 d¬r. q-faktoriyel ve n r 8 < [r] [r 1] ::: [1] ; r = 1; 2; :::; [r]! = : 1 ; r=0 (4.1.2) 0 tamsay¬lar¬için q-binom katsay¬lar¬ n [n]! = [r]! [n r]! r (4.1.3) olarak tan¬mlan¬r. Şimdi, aşa¼ g¬daki Euler özdeşli¼ gini dikkate alal¬m. n Y1 k=0 k 1+q x = n X k=0 q k(k 1)=2 n k x ; k (4.1.4) burada; q = 1 oldu¼ gu zaman, q-binom katsay¬lar¬n¬n bilinen binom katsay¬lar¬na indirgendi¼ gi aç¬kt¬r. q-BBH operatörleri Aral ve Do¼ gru (2007) taraf¬ndan aşa¼ g¬daki 32 şekilde tan¬mlanm¬şt¬r: x 2 [0; 1) ve n 2 N olmak üzere [0; 1) aral¬g¼¬nda tan¬ml¬ reel de¼ gerli f fonksiyonlar¬ için q-tamsay¬lara dayal¬ Bleimann, Butzer ve Hahn operatörleri (q-BBH) Ln;q ile gösterilir ve 1 X f `n (x) k=0 n Ln;q (f ; x) = [k] k + 1] q k [n q k(k 1)=2 n k x k (4.1.5) ile tan¬mlan¬r, buradaki `n (x); `n (x) = n Y1 (1 + q s x) (4.1.6) s=0 şeklindedir. Çal¬şma boyunca Ln;q , (4:1:5) de tan¬mlanan q-BBH operatörlerini [k] [k] gösterecektir. f yerine f alarak q-tamsay¬s¬na dak [n k + 1] q [n k + 1] yal¬genel Bleimann, Butzer ve Hahn operatörlerini elde ederiz. Fakat bu durumda, tv ve v t , 1+t v = 0; 1; 2 için aç¬k formülleri elde etmek imkans¬zd¬r. E¼ ger Bleimann, Butzer ve Hahn tipli operatörler (4:1:5) deki gibi tan¬mlan¬rsa v t , 1+t v = 0; 1; 2 için aç¬k formülleri elde edilebilir. q-tamsay¬s¬n¬n tan¬m¬(4:1:1) dikkate al¬narak q k [n k + 1] = [n + 1] [k] ; q [k 1] = [k] eşitlikleri aşa¼ g¬daki şekilde bulunabilir: q k [n k + 1] = q k = = qk 1 1 k+1 q q n+1 + 1 1 q q n+1 1 q = [n + 1] 33 qn 1 1 1 [k] 1 qk q 1 (4.1.7) q [k 1] = q = = 1 qk 1 q q qk + 1 1 q 1 1 qk q = [k] 1 1 1 1: (4:1:4) ; (4:1:5) ve (4:1:7) den 1 X k(k q Ln;q (1; x) = `n (x) k=0 n = n X k=0 n X 1)=2 q k(k 1)=2 n k xk q k(k 1)=2 n k xk n k x k k=0 (4.1.8) = 1 ve Ln;q t 1+t 1 X [k] k(k q = `n (x) k=1 [n + 1] n ;x 1)=2 n k x k 1 X [n] [n 1]! q k(k = `n (x) k=1 [n + 1] [n k]! [k 1]! n [n] 1 X k(k = q [n + 1] `n (x) k=1 n 34 1)=2 n k 1 k x 1 1)=2 k x (4.1.9) bulunur, (4:1:9) da k yerine k + 1 yaz¬l¬p (4:1:4) dikkate al¬narak Ln;q t 1+t [n] 1 X n 1 k(k+1)=2 k+1 = q x [n + 1] `n (x) k=0 k n 1 ;x x [n] X n 1 k(k = q `n (x) [n + 1] k=0 k n 1 = x n Y2 1)=2 (qx)k 1 + q k (qx) [n] k=0 [n + 1] nY1 (1 + q s x) s=0 = elde edilir. 2 t 1+t Şimdi, Ln;q [n] x 1 + x [n + 1] (4.1.10) ; x durumunda kullan¬lacak olan aşa¼ g¬daki eşitlik verilebilir: [k] 2 = 1 1 qk q = 1 1 qk q = 1 1 qk q = q [k] [k 2 = 1 q 1 1 1 1 qk + q 1 q 1 qk 1 q 1] + [k] : 35 qk q qk q q 1 +1 (4.1.11) Böylece (4:1:11) dikkate al¬narak Ln;q t 1+t 2 ;x ! 1 X [k]2 k(k q = `n (x) k=1 [n + 1]2 n 1)=2 1 X q [k] [k 1] k(k = q `n (x) k=2 [n + 1]2 n k x k n 1 X [k] q k(k `n (x) k=1 [n + 1]2 n + 1)=2 1 X q [k] [k 1] k(k = q `n (x) k=2 [n + 1]2 n k x k n 1 X [k] + q k(k `n (x) k=1 [n + 1]2 1)=2 n 1)=2 [n] [n 1] 1 X k(k qq [n + 1]2 `n (x) k=2 n k x k 1)=2 [n]! xk [n k]! [k]! [n]! xk [n k]! [k]! n = [n] 1 X k(k + q [n + 1]2 `n (x) k=1 1)=2 n 1)=2 n k n k 2 k x 2 1 k x 1 (4.1.12) elde edilir. (4:1:12) nin sa¼ g taraf¬ndaki ilk toplamda k yerine k+2 ve ikinci toplamda k yerine k + 1 al¬n¬rsa 36 Ln;q t 1+t 2 ;x ! 2 2 [n] [n = q x 1] [n + 1] 2 1 X k(k q `n (x) k=0 n 2 1 X k(k [n] q [n + 1]2 `n (x) k=0 n 1 +x = q 2 x2 n Y3 n 1)=2 1)=2 2 k n 1 k q2x k (qx)k 1 + q k (q 2 x) [n] [n 1] k=0 n Y1 [n + 1]2 (1 + q s x) s=0 +x n Y2 1 + q k (qx) [n] k=0 [n + 1]2 nY1 (1 + q s x) s=0 = [n] [n 1] 2 x2 [n] q + 2 (1 + x) (1 + qx) [n + 1]2 [n + 1] x 1+x (4.1.13) olarak bulunur. E¼ ger, q = 1 seçilirse, Ln;q operatörleri klasik Bleimann, Butzer ve Hahn operatörlerine dönüşür. Ayr¬ca fLn;q g1 ¼¬n¬garantilemek için n=1 operatör dizisinin yak¬nsakl¬g q = qn ; n 2 N, 0 < qn < 1, al¬p qn i n ! 1 iken qn ! 1 koşulunu sa¼ glayan bir dizi olarak kabul edece¼ giz. 4.2 q-BBH Operatör Dizisinin Düzgün Yak¬nsakl¬g ¼¬ Bu k¬s¬mda fLn;q g1 n=1 operatör dizisinin CB [0; 1) uzay¬n¬n bir alt uzay¬ndaki fonksiyonlar için [0; 1) da düzgün yak¬nsakl¬g¼¬n¬inceleyece¼ giz. Bu amaç için, Aral ve Do¼ gru (2007) (3:1) de verilen H! uzay¬n¬kullanm¬şlard¬r !; süreklilik modülü tipli bir fonksiyon olsun. H! , her x; y 2 [0; 1) için (3:2:1) koşulunu sa¼ glayan f fonksiyonlar¬n¬n s¬n¬f¬n¬göstersin, bu durumda H! CB [0; 1) 37 oldu¼ gunu daha önce görmüştük. Tan¬m 2.4.2 nin (b) koşulundan, n 2 N için !; ! (n ) eşitsizli¼ gini sa¼ glar ve (4.2.1) n! ( ) > 0 için Tan¬m 2.4.2 nin (a) koşulundan ve (4:2:1) den !( bulunur, buradaki [j j] ; ! (1 + [j j] ) ) (4.2.2) (1 + ) ! ( ) n¬n tam de¼ gerini göstermektedir. Uyar¬: Ln;q ; n 2 N, H! uzay¬ndan CB [0; 1) a dönüşüm yapan lineer pozitif sürekli operatörlerdir. Teorem 4.2.1. 0 < qn < 1 olmak üzere q = qn ; n 2 N; alal¬m ve n ! 1 iken qn ! 1 olsun. Her f 2 H! için, lim kLn;q (f ) n!1 f kC B = 0 (4.2.3) gerçeklenir (Aral ve Do¼ gru 2007). I·spat: Teorem 3:3:1 i kullanarak (3:3:8) koşullar¬n¬n Ln;q ; n 2 N operatörleri için sa¼ gland¬g¼¬n¬n gösterilmesi yeterlidir yani; v = 0; 1; 2 için, ev (x) = lim kLn;q (ev ) ev kCB = 0 lim kLn;q (1) 1kCB = 0 n!1 olmal¬d¬r. (4:1:8) den n!1 38 v x 1+x olmak üzere bulunur, böylece v = 0 durumunun sa¼ gland¬g¼¬aç¬kt¬r. v = 1 için (3:3:13) den kLn;q (e1 ) e1 kCB = sup x 0 [n] [n + 1] [n] [n + 1] = sup x 0 [n] [n + 1] = 1 qn elde edilir. x 1+x 1 x 1+x x 1+x 1 1 qn [n + 1] 1 (4.2.4) n ! 1 iken qn ! 1 ve [n + 1] ! 1 oldu¼ gundan, v = 1 için de (3:3:8) koşulu sa¼ glan¬r. Son olarak v = 2 durumunu inceleyelim. Bunun için, önce aşa¼ g¬daki eşitlikleri verelim: sup x 0 1+x 1 + qx = 1 q (4.2.5) oldu¼ gu aç¬kt¬r. Ayr¬ca 1 [n] [n 1] 2 = 3 1 qn [n + 1] 1 + qn 2 + qn + [n + 1] [n + 1]2 (4.2.6) eşitli¼ gini göstermek için (4:1:7) dikkate al¬narak 1] + 1; (4.2.7) [n + 1] = q [n] + 1 (4.2.8) [n] = q [n yaz¬labilir. (4:2:7) ve (4:2:8) den [n 1] = [n + 1] 1 q2 39 q bulunur, buradan da [n+1] 1 q q2 [n+1] 1 q [n] [n 1] = [n + 1]2 [n + 1]2 1 = 3 qn [n + 1]2 1 1 qn3 = Böylece (4:2:6) eşitli¼ gi elde edilir. 2 [n + 1] q [n + 1] + 1 + q [n + 1]2 ! 2 + qn 1 + qn + : [n + 1] [n + 1]2 Şimdi v = 2 durumunu gösterelim. (3:3:13) ve (4:2:5) den kLn;q (e2 ) e2 kCB = sup x 0 [n] [n 1] 2 x2 q n (1 + x) (1 + qx) [n + 1]2 [n] + [n + 1]2 = sup x 0 x 1+x x 1+x 2 2 [n] [n 1] 2 1 + x qn 1 + qn x [n + 1]2 [n] [n 1] 2 1 qn qn [n + 1]2 = x 1+x + 1 1 + [n] [n + 1]2 [n] [n + 1]2 x 1+x (4.2.9) bulunur. (4:2:6) ve (4:2:8) ; (4:2:9) da kullan¬l¬rsa kLn;q (e2 ) e2 kCB 1 qn2 1 qn2 2 1 + [n + 1] [n + 1]2 (4.2.10) eşitsizli¼ gine ulaş¬l¬r. n ! 1 iken qn ! 1, [n + 1] ! 1 oldu¼ gundan v = 2 için de (3:3:8) koşulu sa¼ glanm¬ş olur. Teorem 3:3:1 den ispat tamamlan¬r. 4.3 Süreklilik Modülü ile Yaklaş¬m H¬z¬ Bu k¬s¬mda süreklilik modülü fonksiyonu kullan¬larak q-BBH operatör dizisinin yaklaş¬m h¬z¬incelenecektir. Teorem 4.3.1. 0 < qn < 1 olmak üzere q = qn ve n ! 1 iken qn ! 1 olsun. Her 40 bir x 0 ve herhangi bir f 2 H! için jLn;q (f ; x) eşitsizli¼ gi gerçeklenir, buradaki x 1+x n (x) = + n f (x)j p n (4.3.1) (x) (x) 2 1 [n] [n + 1]2 2! 2 [n] [n] [n 1] 2 1 + x + qn [n + 1] 1 + qn x [n + 1]2 x 1+x (4.3.2) şeklindedir (Aral ve Do¼ gru 2007). I·spat: Ln;q (1; x) = 1 oldu¼ gundan f (x) = Ln;q (f (x) ; x) yaz¬labilir, buradan ve Lemma 2.1.2 den jLn;q (f ; x) f (x)j = jLn;q ((f (t) Ln;q (jf (t) f (x)) ; x)j f (x)j ; x) (4.3.3) eşitsizli¼ gi elde edilir. Di¼ ger taraftan (3:2:1) ve (4:2:2) eşitsizlikleri dikkate al¬narak jf (t) f (x)j t 1+t ! 1+ elde edilir. 41 t 1+t x 1+x x 1+x ! ! !( ) (4.3.4) (4:3:4) eşitsizli¼ gi dikkate al¬narak (4:3:3) jLn;q (f ; x) 1 ! ( ) 1 + Ln;q f (x)j t 1+t x ;x 1+x (4.3.5) şekline indirgenir. Cauchy-Schwarz eşitsizli¼ ginden Ln;q t 1+t " x ;x 1+x t 1+t Ln;q x 1+x 2 ;x !#1=2 (4.3.6) bulunur. (4:3:6) dikkate al¬narak (4:3:5) jLn;q (f ; x) 0 ! ( ) @1 + f (x)j 1 " t 1+t Ln;q x 1+x 2 ;x !#1=2 1 A (4.3.7) eşitsizli¼ gine indirgenir. (4:3:7) nin sa¼ g taraf¬(4:1:8) (4:1:9) ve (4:1:13) den Ln;q t 1+t x 1+x 2 ;x ! t 1+t = Ln;q x 1+x +Ln;q = 2 ;x ! 2 ;x 2 x Ln;q 1+x t 1+t ;x ! [n] [n 1] 2 x2 (1 + x)2 q (1 + x) (1 + qx) (1 + x)2 [n + 1]2 + [n] [n + 1]2 + x 1+x x 1+x = + 2 x 1+x [n] [n + 1] x 1+x 2 2 [n] [n + 1]2 42 x 1+x 1 2 x 1+x [n] [n] [n 1] 2 1 + x qn + [n + 1] 1 + qn x [n + 1]2 olarak elde edilir. n (x) (4:3:2) ile verilen fonksiyon olmak üzere, son eşitlikten t 1+t Ln;q yaz¬labilir. Böylece = p n x 1+x 2 ;x = n (x) (x) al¬narak (4:3:5) (4:3:6) ve (4:3:7) den jLn;q (f ; x) f (x)j 2! elde edilir. (3:3:13) ve (4:2:5) i kullanarak ve [n [n + 1] ! p n (x) 1] qn + 1 = [n] ve [n] = qn < 1 oldu¼ gunu göz önünde bulundurarak, yeterince büyük n ler için sup x 0 n (x) 1 = 2 [n] [n] + ([n [n + 1] [n + 1]2 [n + 1] [n] [n + 1] 2 1] qn + 1) 1 [n + 1]2 (4.3.8) elde edilir. Böylece Teorem 4.3.1 in koşullar¬alt¬nda (4:1:5) ile verilen fLn;q g1 n=1 q-BBH operatör 1 dizisinin f ye yaklaşma h¬z¬ [n+1] dir ve bu, en iyi durumda klasik BBH operatör dizisininde oldu¼ gu gibi oldu¼ gundan, h¬z; 1 1 (n+1) qn = 1 n+2 dir. Örne¼ gin e¼ ger, qn = 1 1 (n+2) 1 e n!1 1 fqn gn=1 dizisinin al¬n¬rsa lim qnn = bulunur, yani; q-genelleştirmede seçimine ba¼ gl¬olarak kontrol edilebilen bir durum ortaya ç¬kmaktad¬r. 4.4 Lipschitz Tipli Maksimal Fonksiyonlar Uzay¬nda Yaklaş¬m H¬z¬ Bu k¬s¬mda öncelikle W ;E uzay¬tan¬mlanarak, bu uzaydaki fonksiyonlar için fLn;q g1 n=1 operatör dizisinin yaklaş¬m h¬z¬hesaplanacakt¬r. Şimdi, yaklaş¬m h¬z¬ile ilgili olan bir eşitsizlik verelim. Bu do¼ grultuda; E [0; 1) üzerinde W ;E ile gösterilen, genel Lipschitz tipli maksimal fonksiyonlar uzay¬aşa¼ g¬daki gibi tan¬mlanmaktad¬r: W ;E = f : sup (1 + x) f (x; y) M 1 ; (1 + y) x 0; y 2 E (4.4.1) buradaki f; [0; 1) aral¬g¼¬ üzerinde s¬n¬rl¬ ve sürekli bir fonksiyon, M pozitif sabit, 43 1 ve f ; 0< jf (t) jx f (x; t) = ile tan¬mlanan fonksiyondur. f (x)j tj (4.4.2) Ayr¬ca d (x; E) ; x in E kümesine olan uzakl¬g¼¬n¬ göstersin yani; d (x; E) = inf fjx yj ; y 2 Eg (4.4.3) (Aral ve Do¼ gru 2007). Teorem 4.4.1. Ln;q, n 2 N, operatörleri ve olmak üzere her f 2 W ;E n (x) (4:3:2) ile verilen fonksiyon için =2 jLn;q (f ; x) f (x)j M n (4.4.4) (x) + 2d (x; E) eşitsizli¼ gini gerçekler (Aral ve Do¼ gru 2007). I·spat: E; E kümesinin kapan¬ş¬n¬göstersin. Bu durumda x 2 [0; 1) iken jx x0 j = d (x; E) olacak şekilde bir x0 2 E vard¬r. Şimdi, jf (t) f (x)j jf (t) f (x0 )j + jf (x0 ) (4.4.5) f (x)j şeklinde bir eşitsizlik yazal¬m. n 2 N için Ln;q lineer, pozitif operatör ve f 2 W ;E oldu¼ gundan (4:4:5) ; eşitsizli¼ gi kullan¬larak jLn;q (f ; x) f (x)j Ln;q (jf (t) f (x)j ; x) Ln;q (jf (t) f (x0 )j ; x) + Ln;q (jf (x0 ) = Ln;q (jf (t) bulunur. Şimdi, f 2 W ;E f (x0 )j ; x) + jf (x0 ) f (x)j ; x) f (x)j (4.4.6) oldu¼ gu dikkate al¬narak aşa¼ g¬daki eşitsizlikler elde 44 edilebilir: (4:4:1) ve (4:4:2) den (1 + x0 ) jf (t) jf (t) f (x0 )j jx0 tj f (x0 )j M M 1 (1 + t) jx0 tj (1 + x0 ) (1 + t) t 1+t x0 1 + x0 (4.4.7) jx x0 j (1 + x0 ) (1 + x) (4.4.8) = M eşitsizli¼ gi bulunur. Benzer olarak jf (x0 ) f (x)j M vard¬r. (4:4:7) ve (4:4:8) in (4:4:6) da yerine yaz¬lmas¬yla jLn;q (f ; x) f (x)j elde edilir. 0 < M Ln;q t 1+t 1 olmak üzere a x0 1 + x0 0 ve b (a + b) ; x +M jx x0 j (1 + x0 ) (1 + x) (4.4.9) 0 için a +b eşitsizli¼ gi göz önünde bulundurularak t 2 [0; 1) için t 1+t x0 1 + x0 t 1+t x 1+x + x 1+x x0 1 + x0 (4.4.10) yaz¬labilir. Sonuç olarak Ln;q t 1+t x0 1 + x0 ;x Ln;q t 1+t x 1+x ;x + jx x0 j (1 + x0 ) (1 + x) yaz¬labilir. Ln;q (1; x) = 1 oldu¼ gundan üstteki eşitsizli¼ ge p = 2= ve q = 2= (2 45 ) olmak üzere Hölder eşit- sizli¼ gi uygulanarak Ln;q t 1+t x 1+x ;x Ln;q + 2 t 1+t x ;x 1+x ! =2 jx x0 j (1 + x0 ) (1 + x) elde edilir ve son ifade (4:4:9) da dikkate al¬n¬rsa jLn;q (f ; x) f (x)j M Ln;q +M t 1+t x 1+x 2 ;x ! =2 +M jx x0 j (1 + x0 ) (1 + x) jx x0 j (1 + x0 ) (1 + x) (4.4.11) sonucuna ulaş¬l¬r. (4:3:2) ve (4:4:3) den (4:4:11) jLn;q (f ; x) f (x)j M =2 n (x) + 2d (x; E) şeklinde ifade edilebilir, böylece ispat tamamlan¬r. Teorem 4.4.1 in özel bir durumunu alarak E = [0; 1) iken aşa¼ g¬daki sonuç vard¬r: Sonuç 4.4.1. E¼ ger, f 2 W ;[0;1) ise n (x), (4:3:2) ile verilen fonksiyon olmak üzere =2 jLn;q (f ; x) f (x)j eşitsizli¼ gi gerçeklenir (Aral ve Do¼ gru 2007). 46 M n (x) 4.5 q-BBH Operatörlerinin Monotonluk Özelli¼ gi Bu k¬s¬mda Ln;q operatörlerinin n ye göre monotonlu¼ gu incelenecektir. Önce (4:1:2) den n+1 k+1 = n k = n k+1 = [n + 1] [n] n 1 [n k] [k + 1] k [n] [n n k] 1 (4.5.1) k [n] n 1 [k + 1] k eşitlikleri yaz¬labilir. Şimdi, bu k¬s¬mdaki as¬l teoremin ispat¬nda kullan¬lacak olan aşa¼ g¬daki lemmay¬verelim. Lemma 4.5.1. 1 = qn k [k + 1] ; [n + 1] olmak üzere 1 0, 2 2 = [n k] ; [n + 1] 1 = + 2 [k] ; ve k + 1] q k [n 2 = [k + 1] [n k] q k+1 0 ve 1 (4.5.2) =1 dir. Ayr¬ca [n [k + 1] = k + 1] q k+1 1 1 + 2 (4.5.3) 2 gerçeklenir (Do¼ gru and Gupta 2005). I·spat: (4:1:1) den [k + 1] = 1 q k+1 ; 1 q [n 47 k] = 1 qn 1 q k (4.5.4) gerçeklenir ve böylece 1 + = 2 qn q k [k + 1] + [n [n + 1] n k 1 = k] q k+1 1 qn + 1 q 1 q [n + 1] k q n+1 1 q [n + 1] 1 = = 1 elde edilir. Di¼ ger taraftan 1 1+ 2 2 = = qn qn k [n k] [k + 1] [k] + k k + 1] q [n + 1] [n k] q k+1 k [k + 1] [k] + k k + 1] q [n + 1] q k+1 [k + 1] [n + 1] [n [k + 1] [n + 1] [n = [k + 1] [n + 1] q k+1 q n k+1 [k] +1 [n k + 1] [k + 1] [n + 1] q k+1 qn k+1 = k + 1] = q n k+1 [k] + [n k + 1] [n k + 1] (4.5.5) Ayr¬ca (4:1:1) kullan¬larak qn k+1 [k] + [n = 1 1 1 qk q + qn 1 1 k+1 q q n+1 1 q = [n + 1] (4.5.6) bulunur ve (4:5:6) n¬n (4:5:5) te yerine konulmas¬yla (4:5:3) elde edilir bu durumda 48 ispat tamamlan¬r. Şimdi, Ln;q nun monotonlu¼ gunu inceleyelim: Teorem 4.5.1. E¼ ger, f [0; 1) da konveks ve artmayan fonksiyon ise Ln;q her x 0 ve her n 2 N için Ln;q (f ; x) Ln+1;q (f ; x) gerçeklenir (Do¼ gru and Gupta 2005). I·spat: Ln+1;q (f ; x) Ln;q (f ; x) = 1 `n+1 (x) n+1 X f [n k=0 1 X f `n (x) k=0 [k] k + 2] q k n [n q k(k [k] k + 1] q k 1)=2 q k(k n+1 k x k 1)=2 n k x k (4.5.7) (4:5:7) ifadesinde eşitli¼ gin sa¼ g taraf¬ndaki ifadenin ikinci toplam 1 + q n x ile çarp¬l¬p bölünürse Ln+1;q (f ; x) Ln;q (f ; x) = 1 `n+1 (x) n+1 X f [n k=0 1 `n+1 (x) n X f [n k=0 1 `n+1 (x) n X [k] k + 2] q k f q k(k [k] k + 1] q k [k] [n k+1]q k q k(k k=0 1)=2 q k(k n+1 k x k 1)=2 1)=2 n q n k x k n k+1 x k (4.5.8) elde edilir ve (4:5:8) ifadesinde eşitli¼ gin sa¼ g taraf¬nda birinci ve üçüncü toplam¬n son terimleri ile birinci ve ikinci toplam¬n k = 0: terimleri ç¬kar¬larak 49 Ln+1;q (f ; x) Ln;q (f ; x) 1 = + `n+1 (x) 1 `n+1 (x) q n(n+1)=2 xn+1 f n X `n+1 (x) `n+1 (x) [n k=1 1 1 f n 1 X n X f f [n k=0 [k] k + 2] q k [n k=1 [n + 1] q n+1 q k(k [k] k + 1] q k [k] k + 1] q k n+1 k x k 1)=2 q k(k q k(k [n] qn f n k x k 1)=2 1)=2 n q n k+1 x k bulunur ve eşitli¼ gin sa¼ g taf¬ndaki birinci ve ikinci toplamda k yerine k + 1 al¬n¬rsa Ln+1;q (f ; x) Ln;q (f ; x) 1 = + `n+1 (x) 1 `n+1 (x) n 1 X f 1 `n+1 (x) 1 `n+1 (x) [k + 1] k + 1] q k+1 [n k=0 n 1 X k=0 n 1 X k=0 elde edilir. 50 [n + 1] q n+1 q n(n+1)=2 xn+1 f f f [n q k(k [k] k + 1] q k [k + 1] [n k] q k+1 q k(k f 1)=2 k q q k(k n + 1 k+1 x k+1 1)=2 n q 1)=2 k q [n] qn n k+1 x k n xk+1 k+1 (4:5:1) eşitlikleri kullan¬larak aşa¼ g¬daki eşitlik yaz¬labilir Ln+1;q (f ; x) Ln;q (f ; x) = 1 `n+1 (x) + 1 `n+1 (x) qn n 1 X f k [k + 1] f [n + 1] [n f [n] qn [k + 1] k + 1] q k+1 [n k=0 [n k] f [n + 1] qk [n + 1] q n+1 q n(n+1)=2 xn+1 f [k] k + 1] q k [k + 1] [n k] q k+1 [n + 1] [n] n 1 k+1 x k [n k] [k + 1] (4.5.9) [n + 1] q n+1 [n] 1 = n+1 n q q 0 ve f artmayan fonksiyon oldu¼ gundan f [n + 1] q n+1 f [n] qn (4.5.10) 0 gerçeklenir ve f konveks oldu¼ gundan (4:5:2) ve(4:5:3) den f [n [k + 1] k + 1] q k+1 qn k [k + 1] f [n + 1] [n [k] k + 1] q k (4.5.11) [n k] f [n + 1] [k + 1] [n k] q k+1 0 eşitsizli¼ gi vard¬r. (4:5:10) ve (4:5:11) (4:5:9) da kullan¬larak ispat tamamlan¬r. E¼ ger f lineer ise f [n [k + 1] k + 1] q k+1 qn k [k + 1] f [n + 1] [n [k] k + 1] q k (4.5.12) [n k] f [n + 1] 51 [k + 1] [n k] q k+1 =0 eşitli¼ gi vard¬r. (4:5:12) ifadesini kullanarak aşa¼ g¬daki sonuç yaz¬labilir Sonuç 4.5.1. (4:1:5) de tan¬mlanm¬ş Ln;q ; n 2 N, operatörleri için aşa¼ g¬daki monotonluk özellikleri i ve ii de verildi¼ gi gibidir. i. E¼ ger f lineer ve artmayan fonksiyon ise her x 0 için Ln;q da n ye göre art- mayand¬r. ii. E¼ ger f lineer ve azalmayan fonksiyon ise her x azalmayand¬r (Do¼ gru and Gupta 2005). 52 0 için Ln;q da n ye göre KAYNAKLAR Abel, U. and Ivan, M. 1999. Some identities for the operator of Bleimann, Butzer ve Hahn involving divided di¤erences, Calcolo 36, no.3, pp. 143-160. Adell, J.A. , de la Cal, J. and San Miguel, M. 1994. Inverse Beta and Generalized Bleimann, Butzer and Hahn operators, Journ. Approx. Theory. 76, 54-64. Aral, A. and Do¼ gru, O. 2007. Bleimann, Butzer and Hahn Operators Based on the q-Integers, Hindawi Publishing Corporation Journ. of Ineq. and Appl. Vol 2007, Article I D 79410. Bleimann, G. , Butzer, P. L. and Hahn, L. 1980. A Bernstein-type operator approximating continuous functions on the semi axes. Proc. Netherl. Sc. 83 (Indag. Math: 42) 255-262. Cao, F. , Ding, C. and Xu, Z. 2005. On multivariate Baskakov operator, J. Math. Anal. Appl. 307 no. 1, 274–291. Cheney, E. W. and Charma, A. 1964. Bernstein power series, Can. J. Math. 16 241-252. Della Vecciha, B. 1991. Some Properties of a Rational Operator of Bernstein- Type, Istituto per Applicazioni della Matematica-C.N.R. Via P. Castellino 111-80131 Napoli, Italy. Do¼ gru, O. and Gupta, V. 2005. Monotonicity and the asymptotic estimate of Bleimann Butzer and Hahn Operators Based On q-Integers, Georgian Math. Journ. Vol 12, no. 3, 415-422. Gadjiev, A. D. and Çakar, Ö. 1999. On uniform approximation by Bleimann, Butzer and Hahn operators on all positive semiaxis, Transactions of AS Azerbaijan. Series of Physical Technical and Mathematical Sciences, vol 19, no. 5, pp. 21-26. Khan, R.A. 1988. A note on a Bernstein-type operator of Bleimann, Butzer and Hahn, Journ. Approx. Theory. 53, 295-303. Lorentz, G.G. 1953. Berstein Polynomials, University of Toronto Press. Philips, G. M. 1997. Bernstein polynomials based on the q-integers, Annals of Numerical Mathematics, vol 4, no. 1-4, pp.511-518. 53 Zygmund, A. 1959. Trigonometric Series, Vol. Cambridge, UK. 54 1, Cambridge Univ. Press, ÖZGEÇMI·Ş Ad¬Soyad¬ : Dilek SÖYLEMEZ Do¼ gum Yeri : Sivas Do¼ gum Tarihi : 03. 10. 1983 Medeni Hali : Bekar Yabanc¬Dili : I·ngilizce E¼ gitim Durumu (Kurum ve Y¬l) Lise : Sivas Lisesi (2001) Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü (2007) Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal¬(Eylül 2007 55 Temmuz 2009)