ankara üniversitesi fen bilimleri enstitüsü yüksek lisans tezi morrey

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MORREY UZAYLARINDA HARDY-LITTLEWOOD MAKSİMAL
OPERATÖRÜ ve RIESZ POTANSİYELİNİN SINIRLILIĞI
Ferit GÜRBÜZ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2011
Her hakkı saklıdır
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
MORREY UZAYLARINDA HARDY-LITTLEWOOD MAKSİMAL
OPERATÖRÜ ve RIESZ POTANSİYELİNİN SINIRLILIĞI
Ferit GÜRBÜZ
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman : Prof. Dr. Ayhan Şerbetçi
Bu çalışmada, M maksimal operatörünün ve Iα Riesz potansiyelinin L p,λ (ℝⁿ) Morrey
uzaylarında varlık ve sınırlılık koşulları incelenmiştir.
Bu tez çalışması dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmıdır. İkinci
bölümde, temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, klasik maksimal
fonksiyon ve Riesz potansiyeli tanıtılmış ve bu operatörlerin varlık ve sınırlılığı Lp(ℝⁿ)
Lebesgue uzaylarında gösterilmiştir. Son bölüm olan dördüncü bölümde ilk önce,
0≤λ≤n olmak üzere, L p,λ (ℝⁿ) Morrey uzayı tanıtılmış, bu uzay üzerinde tanımlanan
norm ve λ nın durumlarına göre L p,λ (ℝⁿ) uzayının yapısı hakkında bazı sonuçlar
verilmiştir. Daha sonra, L p,λ (ℝⁿ) uzaylarında Hardy-Littlewood
maksimal
operatörünün sınırlılığı Guliyev (2009) tarafından verilmiş olan teorem yardımıyla
gösterilmiştir. L p,λ (ℝⁿ) uzaylarında Iα Riesz potansiyelinin sınırlılığı iki farklı yönden
Spanne ve Adams tipi sınırlılık olarak gösterilmiştir. Bunun için Guliyev (2009)
tarafından verilmiş olan iki farklı teorem kullanılmıştır. Son olarak L p,λ (ℝⁿ) Morrey
uzaylarında M maksimal operatörünün ve Iα Riesz potansiyelinin sınırlılığı için
Chiarenza ve Frasca (1987) tarafından verilmiş olan alternatif ispatlar verilmiştir.
Ocak 2011, 56sayfa
Anahtar Kelimeler : Lp(ℝⁿ) uzayı, L p,λ (ℝⁿ) Morrey uzayı, Hardy-Littlewood maksimal
fonksiyonu, Riesz potansiyeli, kuvvetli ve zayıf tip sınırlılık.
i
ABSTRACT
Master Thesis
THE BOUNDEDNESS OF HARDY-LITTLEWOOD MAXIMAL OPERATOR AND
RIESZ POTENTIAL IN MORREY SPACES
Ferit GÜRBÜZ
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Science
Department of Mathematics
Supervisor: Prof. Dr. Ayhan Şerbetçi
In this study, existence and boundedness conditions of M maximal operator and Iα Riesz
potential in the L p,λ (ℝⁿ) Morrey spaces are investigated.
This thesis consists of four chapters. The first chapter is devoted to introduction. In the
second chapter, basic definitions and theorems take place. In the third chapter, classical
maximal function and Riesz potential are introduced and existence and boundness of
these operators are showed in the Lp(ℝⁿ) Lebesgue spaces. In the fourth chapter which is
the last chapter firstly, for 0≤λ≤n, L p,λ (ℝⁿ) space is introduced and the norm which is
introduced on this space and some results of according to the states of λ about structre
of L p,λ (ℝⁿ) space are given. Then, the boundedness of Hardy-Littlewood maximal
operator in the L p,λ (ℝⁿ) spaces is showed with the help of the theorem which was given
by Guliyev (2009). The boundedness of Iα Riesz potential in the L p,λ (ℝⁿ) spaces is
showed as Spanne and Adams type boundness with two different ways. For this aim two
different theorems which were given by Guliyev (2009) is used. Finally, alternative
proofs which were given for boundedness of M maksimal operator and Iα Riesz
potential in the L p,λ (ℝⁿ)
January 2011, 56 pages
Key Words : Lp(ℝⁿ) space, L p,λ (ℝⁿ) Morrey space, Hardy-Littlewood maximal
function, Riesz potential, strongly and weakly type boundedness.
ii
TEŞEKKÜR
Bana bu konuda çalışma ve ilerleme imkanı veren, yardımlarını esirgemeyen tez
danışmanım sayın Prof. Dr. Ayhan ŞERBETÇİ 'ye (Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi,
Matematik Bölümü) ve her türlü desteği ve yardımı esirgemeyen aileme saygı ve
teşekkürlerimi sunarım.
Ferit GÜRBÜZ
Ankara, Ocak 2011
iii
I·ÇI·NDEKI·LER
ÖZET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
TEŞEKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
SI·MGELER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
1. GI·RI·Ş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. TEMEL KAVRAMLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3. Lp (Rn ) LEBESGUE UZAYLARINDA MAKSI·MAL FONKSI·YON
ve RIESZ POTANSI·YELI· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1 Maksimal Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Riesz Potansiyeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......22
4. Lp; (Rn ) MORREY UZAYLARINDA HARDY-LITTLEWOOD
MAKSI·MAL OPERATÖRÜ ve RIESZ POTANSI·YELI·.....................32
4.1 Lp; (Rn ) Morrey Uzaylar¬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Lp; (Rn ) Uzaylar¬nda Maksimal Operatörün S¬n¬rl¬l¬g
¼¬........................33
4.3 Lp; (Rn ) Uzaylar¬nda Riesz Potansiyelinin S¬n¬rl¬l¬g
¼¬............................37
iv
4.3.1 Spanne tipi s¬n¬rl¬l¬k................................................................................37
4.3.2 Adams tipi s¬n¬rl¬l¬k.................................................................................41
4.4 Lp; (Rn ) Morrey Uzaylar¬nda M Maksimal Operatörünün ve I Riesz
Potansiyelinin S¬n¬rl¬g
¼¬I·çin Alternatif I·spatlar......................................43
KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
ÖZGEÇMI·Ş
v
SI·MGELER DI·ZI·NI·
m
Lebesgue ölçüsü
Lp (Rn )
Lebesgue uzay¬
Supp f
f nin deste¼
gi
L1loc (Rn )
Rn de lokal integrallenebilen fonksiyonlar¬n uzay¬
Sn
1
Rn de birim küre
wn
1
Birim kürenin yüzey alan¬
f^
f
f fonksiyonunun fourier dönüşümü
g
A
f ile g nin konvolüsyonu
A n¬n karakteristik fonksiyonu
S
Schwarz uzay¬
B (x; r)
Rn de x merkezli r yar¬çapl¬aç¬k yuvar
f
f fonksiyonunun da¼
g¬l¬m fonksiyonu
M
Maksimal operatör
I
Riesz potansiyel operatörü
Lp; (Rn )
Morrey uzay¬
Gamma fonksiyonu
B c (x; r)
Rn de x merkezli r yar¬çapl¬aç¬k yuvar¬n tümleyeni
vi
1. GI·RI·Ş
Maksimal fonksiyon ve Riesz potansiyeli harmonik analizin önemli konular¬aras¬ndad¬r. Özellikle k¬smi türevli denklemler teorisi ve matematiksel …zikte birçok uygulamalar¬vard¬r. Maksimal fonksiyon Rn nin standart kümelerinde n = 1 için HardyLittlewood taraf¬ndan tan¬mlanm¬ş ve Wiener taraf¬ndan n- boyutlu Rn Öklid uzay¬na genişletilmiştir. Ayr¬ca f 2 L1loc (Rn ) olmak üzere M f Hardy-Littlewood mak-
simal fonksiyonu
Z
1
M f (x) = sup
r>0 jB (x; r)j
jf (y)j dy
B(x;r)
ve 0 <
< n olmak üzere I f Riesz potansiyeli
Z
1
I f (x) =
( )
Rn
f (y)
jx yjn
dy
olarak tan¬mlan¬r. Burada
n
2
( )=
2
2
n
2
2
şeklindedir.
Morrey uzaylar¬Morrey taraf¬ndan 1938 y¬l¬nda eliptik k¬smi diferensiyel denklemler
ve varyasyonlar analizi teorisindeki problemlerle ilgilenirken ortaya ç¬kar¬lm¬şt¬r.
Daha sonra Navier-Stokes ve Schrödinger denklemleri, süreksiz katsay¬l¬eliptik problemler ve potansiyel teorisine önemli uygulamalar¬ortaya ç¬km¬şt¬r.
Lp; (Rn ) Morrey uzaylar¬, 0
1 ve f 2 Lploc (Rn ) olmak üzere
n, p
0
B1
kf kp; = sup @
r
r>0
n
x2R
Z
B(x;r)
1 p1
C
jf (y)jp dy A
normu sonlu olan fonksiyonlar¬n tüm s¬n¬‡ar¬n¬n uzay¬d¬r, burada B (x; r) x merkezli r yar¬çapl¬yuvar¬belirtmektedir. Bugün Morrey uzaylar¬nda Hardy-Littlewood
maksimal fonksiyonu ve Riesz potansiyelinin varl¬k ve s¬n¬rl¬l¬k koşullar¬, Morrey
(1938), Peetre (1969), Fe¤erman ve Stein (1971), Adams (1975), Chiarenza ve Frasca
1
(1987), Fazio ve Ragusa (1993), Guliyev (2009) gibi birçok matematikçi taraf¬ndan
çal¬ş¬lmaktad¬r.
Tezin amac¬, M maksimal operatörünün ve I Riesz potansiyelinin Lp; (Rn ) Morrey
uzaylar¬nda varl¬k ve s¬n¬rl¬l¬k koşullar¬n¬incelemektir.
Tez dört bölümden oluşmaktad¬r. Birinci bölüm giriş k¬sm¬na ayr¬lm¬şt¬r. I·kinci
bölüm di¼
ger bölümler için gerekli olan temel tan¬m ve teoremleri içermektedir.
Üçüncü bölümde, klasik maksimal fonksiyon ve Riesz potansiyeli tan¬t¬lm¬ş ve bu
operatörlerin varl¬k ve s¬n¬rl¬l¬g¼¬ ile ilgili çal¬şmalar yer alm¬şt¬r. Son bölüm olan
dördüncü bölümde 0
n olmak üzere, Lp; (Rn ) Morrey uzay¬ tan¬t¬lm¬ş,
n¬n durumlar¬na göre Lp; (Rn ) uzay¬n¬n
bu uzay üzerinde tan¬mlanan norm ve
yap¬s¬hakk¬nda baz¬sonuçlar verilmiştir. Daha sonra, Lp; (Rn ) uzaylar¬nda HardyLittlewood maksimal operatörünün s¬n¬rl¬l¬g¼¬Guliyev (2009) taraf¬ndan verilmiş olan
teorem yard¬m¬yla gösterilmiştir. Lp; (Rn ) uzaylar¬nda I Riesz potansiyelinin s¬n¬rl¬l¬g¼¬iki farkl¬yönden Spanne ve Adams tipi s¬n¬rl¬l¬k olarak gösterilmiştir. Bunun
için Guliyev (2009) taraf¬ndan verilmiş olan iki farkl¬ teorem kullan¬lm¬şt¬r. Son
olarak Lp; (Rn ) Morrey uzaylar¬nda M maksimal operatörünün ve I Riesz potansiyelinin s¬n¬rl¬l¬g¼¬için Chiarenza ve Frasca (1987) taraf¬ndan verilmiş olan alternatif
ispatlar verilmiştir.
2
2. TEMEL KAVRAMLAR
Tan¬m 2.1. X bir K cismi üzerinde bir vektör uzay¬olsun. E¼
ger bir
k:k : X ! R
x ! kxk
dönüşümü 8x; y 2 X ve 8a 2 K için
(N 1) kxk
0 ve kxk = 0 , x =
(N 2) kaxk = jaj kxk
(N 3) kx + yk
kxk + kyk
özelliklerini sa¼
gl¬yorsa bu dönüşüme X üzerinde norm ad¬verilir. (X; k:k) ikilisine
bir normlu vektör uzay¬denir. (X; k:k) normlu uzay¬k¬saca X ile gösterilir.
Tan¬m 2.2. X ve Y iki lineer uzay ve T : DT
X ! Y bir fonksiyon olsun. T
fonksiyonuna operatör denir. Burada DT , T nin tan¬m kümesi ve T (DT )
nin görüntü kümesidir. Burada DT , T nin tan¬m kümesi ve T (DT )
Y de T
Y de T nin
görüntü kümesidir. E¼
ger DT , X in bir lineer alt uzay¬ve T bir lineer dönüşüm ise
her ,
2 R (veya C) ve x, y 2 X için
T ( x + y) = T (x) + T (y)
dir.
Tan¬m 2.3. Bir T : X ! Y lineer dönüşüm ve X ve Y , K cismi üzerinde iki vektör
uzay¬olsun. Her
2 R+ ve her x, y 2 X için
T (x + y)
T ( x)
Tx + Ty
=
Tx
sa¼
glan¬yorsa T ye “ alt lineer operatör ”denir.
Tan¬m 2.4. X ve Y normlu uzaylar ve D (T )
X olmak üzere, T : D (T ) ! Y
lineer operatör olsun. E¼
ger her x 2 D (T ) için, kT xk
reel say¬s¬varsa, T operatörüne s¬n¬rl¬d¬r denir.
Bir T operatörünün normu kT k = sup
x2D(T )
x6=0
kT xk
kxk
3
A kxk olacak şekilde bir A
olarak tan¬mlan¬r.
Tan¬m 2.5. E¼
ger bir f (x) fonksiyonu için hemen her yerde T f (x)
0 ise T
operatörüne pozitif operatör denir.
Tan¬m 2.6. X ve Y normlu uzaylar, D (T )
X olmak üzere, T : D (T ) ! Y bir
operatör ve x0 2 D (T ) olsun. E¼
ger verilen her " > 0 say¬s¬na karş¬l¬k, kx
koşulunu gerçekleyen her x 2 D (T ) için, kT x
x0 k <
T x0 k < " olacak şekilde bir
>0
Tan¬m 2.7. (Süreklilik ve S¬n¬rl¬l¬k) X ve Y normlu uzaylar ve D (T )
X
say¬s¬varsa T ye x0 da süreklidir denir.
olmak üzere, T : D (T ) ! Y lineer operatör olsun. Bu durumda T nin sürekli
olmas¬için gerek ve yeter koşul T nin s¬n¬rl¬olmas¬d¬r.
Tan¬m 2.8. (Cebir ve - Cebiri) X bir küme olsun. E¼
ger X in alt kümelerinin
bir A s¬n¬f¬için aşa¼
g¬daki özellikler sa¼
glan¬yorsa bu durumda A s¬n¬f¬na X üzerinde
bir cebirdir denir:
(i) X 2 A
(ii) Her E 2 A için E c = XnE 2 A
n
(iii) k = 1; 2; :::; n için Ek 2 A ise [ Ek 2 A
k=1
E¼
ger (iii) şart¬yerine
1
”Her n 2 N için En 2 A ) [ En 2 A”
n=1
şart¬konulursa A cebirine bir
cebiri ad¬verilir.
Tan¬m 2.9. (Borel Cebiri) Bir K s¬n¬f¬n¬ kapsayan
-cebirlerinin en küçü¼
güne
K n¬n üretti¼
gi (do¼
gurdu¼
gu) -cebiri denir. Rn deki bütün aç¬k (a; b) aral¬klar¬n¬n
do¼
gurdu¼
gu -cebirine Borel cebiri denir ve B(Rn ) ile gösterilir. n = 1 olmas¬halinde
B(R1 ) Borel cebiri B(R) ile gösterilir. B(R) nin her bir eleman¬na Borel kümesi
denir.
Tan¬m 2.10. X bir küme ve A; X üzerinde bir
cebiri olsun. Bu durumda
(X; A) ikilisine bir ölçülebilir uzay, A daki her bir kümeye de A-ölçülebilir küme
veya k¬saca ölçülebilir küme ad¬verilir.
4
Tan¬m 2.11. Ölçülebir Fonksiyon (X; A) bir ölçülebilir uzay ve f : X ! R
bir fonksiyon olsun. E¼
ger 8 2 R için
1
f
(] ; +1[) = fx 2 X : f (x) > g 2 A
oluyorsa f ye ölçülebilir fonksiyon denir. X üzerindeki ölçülebilir fonksiyonlar¬n
ailesi M (X; A) ile.gösterilir.
Tan¬m 2.12. (X; A) bir ölçülebilir uzay olsun. A üze-rinde tan¬ml¬ genişletilmiş
reel de¼
gerli bir
(i)
fonksiyonu
(;) = 0
(ii) Her A 2 A için
(A)
0
1
S
(iii) Her ayr¬k (An ) dizisi için
An
=
n=1
1
P
(An )
n=1
özelliklerini sa¼
gl¬yorsa bu fonksiyona ölçü denir. E¼
ger her A 2 A için
ye sonlu ölçü ad¬verilir.
Tan¬m 2.13.
Ölçü Uzay¬ Bir X kümesi, X in alt kümelerinin bir A -cebiri
ve A üzerinde tan¬ml¬bir
ölçüsünden oluşan (X; A; ) üçlüsüne bir ölçü uzay¬ad¬
verilir.
Tan¬m 2.14.
D¬ş Ölçü X bir küme ve P (X) de X in kuvvet kümesi olsun.
P (X) üzerinde tan¬ml¬, genişletilmiş reel de¼
gerli bir
(i)
(A) < 1 ise
fonksiyonu
(;) = 0
(ii) Her E 2 P (X) için
(iii) A
B
X için
(E)
0
(A)
(B)
1
S
(iv) Her bir n 2 N için An 2 P (X) ise
şartlar¬n¬sa¼
glarsa
1
P
An
n=1
(An )
n=1
fonksiyonuna X üzerinde bir d¬ş ölçüdür denir.
Tan¬m 2.15. Lebesgue D¬ş Ölçüsü (Ik ), R nin s¬n¬rl¬ve aç¬k alt aral¬klar¬n¬n
bir dizisi,
A
olsun. P (R) üzerinde
n
= (Ik ) : A
m (A) = inf
(1
X
k=1
[
Ik
o
l (Ik ) : (Ik ) 2
5
A
)
biçiminde tan¬mlanan m bir d¬ş ölçüdür. Bu d¬ş ölçüye Lebesgue d¬ş ölçüsü denir.
Lebesgue d¬ş ölçüsü R nin her bir alt aral¬g¼¬na onun uzunlu¼
gunu karş¬l¬k getirir.
n boyutlu Rn uzay¬nda Lebesgue d¬ş ölçüsünü tan¬mlamak için
I = fx : ai
xi
bi ;
i = 1; :::; ng
n boyutlu kapal¬aral¬klar¬n¬göz önüne alal¬m. Bu aral¬klar¬n hacimleri
v (I) =
n
Y
(bi
ai )
i=1
biçimindedir. Key… bir E
m (E) = inf
Rn kümesinin Lebesgue d¬ş ölçüsü
(1
X
1
[
v (Ik ) : E
k=1
ile tan¬mlan¬r. 8A
)
Ik ; Ik bir aral¬k
k=1
Rn için e¼
ger
m (A) = m (A \ E) + m (A \ (Rn
E))
Caratheodary Ölçümü
ise E kümesine Lebesgue ölçülebilirdir denir.
Teorem 2.1. Rn üzerindeki Lebesgue d¬ş ölçüsü, her bir aral¬g¼a onun hacmini
karş¬l¬k getirir.
Sonuç 2.1. A say¬labilir bir küme ise m (A) = 0 d¬r.
Sonuç 2.2. [0; 1] kümesi say¬lamayan bir kümedir.
Tan¬m 2.16. Lebesgue Ölçüsü M (R; m ), m d¬ş ölçüsüne göre ölçülebilen R
nin alt kümelerinin s¬n¬f¬olsun. m Lebesgue d¬ş ölçüsünün M (R; m ) s¬n¬f¬na da
B (R) s¬n¬f¬na da olan k¬s¬tlanmas¬na Lebesgue ölçüsü denir, m ile gösterilir.
Tan¬m 2.17. (X; A; ) bir ölçü uzay¬olsun. E¼
ger bir önerme(özellik) ölçüsü s¬f¬r
olan bir küme d¬ş¬nda do¼
gru ise, o önerme (özellik) hemen her yerde do¼
grudur denir.
Tan¬m 2.18. (LP Uzay¬) (X;
; ) bir ölçü uzay¬olsun. 0 < p < 1 olmak üzere
8
9
Z
<
=
p
Lp = f 2 M (X; ) : jf j d < 1
:
;
X
6
kümesine p- inci kuvvetten integrallenebilen fonksiyonlar s¬n¬f¬denir. Lp uzay¬nda
bir f fonksiyonunun normu
kf kp =
ile tan¬mlan¬r.
8 0
1 p1
>
Z
>
>
>
< @ jf jp d A ; 1
>
>
>
>
:
p<1
X
ess sup jf (x)j ; p = 1
x2X
ess sup jf (x)j = inf f : m (x 2 X : jf (x)j > ) = 0g
x2X
dir.
Tan¬m 2.19.
(Örtü) Birleşimleri A kümesini kapsayan Ui kümeler ailesine A
kümesinin bir örtüsüdür denir. Bu Ui kümelerinin her biri aç¬ksa bu halde Ui , A
kümesinin aç¬k örtüsüdür denir. Birleşimleri A kümesini kapsayan alt topluluklar
ailesine verilen örtünün alt örtüsü ismi verilir. E¼
ger bu topluluklar ailesi sonlu say¬da
kümelerden oluşuyorsa, bu örtüye sonlu alt örtü denir.
Tan¬m 2.20. X kümesinin her aç¬k örtüsünün sonlu say¬da bir alt örtüsü varsa, X
kümesine “kompaktt¬r” denir. Kapal¬ve s¬n¬rl¬her kümenin aç¬k örtüsünün sonlu
say¬da bir alt örtüsü vard¬r. Yani, kapal¬ve s¬n¬rl¬her küme kompaktt¬r.
Tan¬m 2.21. Bir f fonksiyonunun deste¼
gi f (x) 6= 0 şart¬n¬sa¼
glayan x noktalar¬n¬n
kapan¬ş¬d¬r ve Supp f = fx : f (x) 6= 0g ile gösterilir. E¼
ger f fonksiyonunun deste¼
gi
kompakt bir küme ise bu durumda f kompakt destekli fonksiyon ad¬n¬al¬r.
Tan¬m 2.22. f ölçülebilir bir fonksiyon olmak üzere her kompakt K kümesi üzerinde
Z
jf j d < 1
K
ise f fonksiyonuna lokal (yerel) integrallenebilirdir denir ve
8
9
< Z
=
L1loc (Rn ) = f : jf j d < 1 ; K Rn ; K kompakt
:
;
K
yaz¬l¬r. Ayr¬ca,
7
9
>
=
n
R ; K kompakt ile gösterilir.
>
;
8 0
1 p1
>
Z
<
Lploc (Rn ) = f : @ jf jp d A < 1; K
>
:
Lploc (Rn )
Tan¬m 2.23. (Hölder eşitsizli¼
gi) p > 1 ve
1
p
K
Teorem 2.2. E¼
ger 1
p
1 ise Lp (Rn )
+
1
q
g 2 Lq olsun. Bu durumda f g 2 L1 ve
kf gk1
L1loc (Rn ) dir.
= 1 olmak üzere f 2 Lp ,
kf kp kgkq
sa¼
glan¬r (Neri 1971).
1 için e¼
ger f , g 2 Lp ise
Tan¬m 2.24. (Minkowski eşitsizli¼
gi) p
(f + g) 2 Lp ve
kf + gkp
kf kp + kgkp
dir (Neri 1971).
Tan¬m 2.25. (Schwarz eşitsizli¼
gi) f (x) 2 L2 ve g(x) 2 L2 olsun.
Zb
f (x) g(x) dx
a
8 b
<Z
:
jf (x)j2 dx
a
eşitsizli¼
gine Schwarz eşitsizli¼
gi denir.
9 12 8 b
= <Z
; :
jg(x)j2 dx
a
9 12
=
;
Tan¬m 2.26. Rn ile n boyutlu Öklid uzay¬n¬gösterelim.
x = (x1 ; :::; xn ), y = (y1 ; :::; yn ) 2 Rn ve
jxj =
q
x21 + ::: + x2n x 2 Rn ; jxj
0
olsun. Tüm Rn de veya Rn in bir alt kümesinde tan¬ml¬bir fonksiyon
g(x) = g (x1 ; :::; xn ) ve f , [0; 1) da hemen her yerde tan¬ml¬tek de¼
gişkenli fonksiyon
olsun. E¼
ger n- de¼
gişkenli bir g(x) fonksiyonu herhangi bir tek de¼
gişkenli f (x) fonksiyonunun yard¬m¬yla g(x) = f (jxj) şeklinde gösterilebiliyorsa
g ye radyal fonksiyon denir. Yani
q
g (x1 ; :::; xn ) = f
8
x21 + ::: + x2n
dir.
Teorem 2.3. (Fubini) f , Rm+n üzerinde ölçülebilir bir fonksiyon ve
Z
I1 =
jf (x; y)j dxdy
Rn+m
Z
I2 =
Rm
I3
0
@
Z
n
1
jf (x; y)j dxA dy
0R
1
Z
Z
@ jf (x; y)j dy A dx
=
Rn
Rm
integrallerinden en az biri mevcut ve sonlu olsun. I2 için bu Rn üzerinde bir g integrallenebilen fonksiyonu vard¬r öyleki g (y) hemen her y için içteki integrale eşittir
anlam¬ndad¬r ve I3 için de ayn¬s¬geçerlidir. Bu durumda
(a) Hemen her y 2 Rm için f (:; y) 2 L1 (Rn ) dir.
(b) Hemen her x 2 Rn için f (x; :) 2 L1 (Rm ) dir.
R
(c)
f (:; y) dy 2 L1 (Rn )
RRm
(d) f (x; :) dx 2 L1 (Rm )
Rn
(e) I1 = I2 = I3
elde edilir.
Tan¬m 2.27. x = (x1 ; :::; xn ) ve y = (y1 ; :::; yn ), Rn de vektörler olmak üzere Rn ,
n
X
n- boyutlu Öklidyen uzay¬ (x; y) =
xj yj iç çarp¬m¬ile donat¬lm¬ş Rn ; n- boyutlu
j=1
reel uzayd¬r.
Burada x in mutlak de¼
geri jxj =
n
X
j=1
x2j
! 21
ile tan¬mlan¬r.
Rn üzerinde dx = dx1 :::dxn ile Lebesgue ölçüsünü gösterece¼
giz. Rn uzayŸzerinde
f fonksiyonunun (Lebesgue) integrali
Z
f (x)dx =
Z
Z
::: f (x1 ; :::; xn )dx1 :::dxn
ile gösterilir.
9
Çok katl¬integrali kutupsal koordinatlarda ifade etmek ço¼
gu kez kullan¬şl¬olmaktad¬r. r = jxj olsun ve S n
1
Z
= fx : jxj = 1g ile birim küreyi gösterilim.
f (jxj)dx;
dx = dx1 :::dxn
Rn
integralinin hesab¬için;
r < 1; 0
0
1 ; :::; n 2
; 0
n 1
2
olmak üzere
x1 = r cos
1
x2 = r sin
1
cos
2
x3 = r sin
1
sin
2
1
sin
2 ::: sin n 1
cos
3
:::
xn = r sin
dönüşümü yap¬l¬r. Bu dönüşümün Jakobiyeni
J (r;
1 ; :::;
n 1)
=r
n 1
n
Y1
(sin
n 1 j
j)
j=1
olarak hesaplan¬r.
Z
Rn
f (jxj)dx =
Z1Z Z
0 0 0
Z2
::: f (r)J(r; )drd 1 :::d
0
Z1
Z Z Z2 nY1
n 1
=
r f (r)dr
:::
(sin
0
n 1
0 0
0
j=1
Z1
= wn 1 f (r)rn 1 dr
0
elde edilir, burada wn 1 , birim kürenin yüzey alan¬d¬r.
10
n 1 j
j)
d 1 :::d
n 1
Genel olarak
Z
f (jxj)dx
=
Rn
Z1 Z
0 Sn
=
Z1 Z
0 Sn
f (r sin
1;
:::; r sin
1 ::: sin n 1 ) r
n 1
drd 1 :::d
n 1
1
f (r; )rn 1 d dr
1
biçimde yaz¬l¬r. Burada d ; S n
1
üzerinde dx taraf¬ndan belirlenen yüzey ölçüsüdür.
Tan¬m 2.28. x 2 Rn ve f (x) ve g(x) ölçülebilir fonksiyonlar olsunlar. Bu durumda
Z
f (y)g(x
y)dy =
Z
f (x
y)g(y)dy
Rn
Rn
integraline f ile g nin konvolüsyonu denir ve f
g ile gösterilir.
Teorem 2.4. E¼
ger f , g 2 L1 ise bu durumda h = f
g hemen her yerde vard¬r ve
1
L e aittir. Ayr¬ca
khk1
kf k1 kgk1
sa¼
glan¬r (Neri 1971).
Teorem 2.5. (Young ) 1
h=f
1 olsun. E¼
ger f 2 Lp ve g 2 L1 ise bu durumda
p
g hemen her yerde vard¬r ve Lp uzay¬na aittir. Ayr¬ca
khkp
kf kp kgk1
eşitsizli¼
gi gerçeklenir (Neri 1971).
Teorem 2.6. (Young ) f 2 Lp ve g 2 Lq olsun,
Bu durumda h = f
1
p
+ 1q
g olmak üzere h 2 Lr dir ve
khkr
kf kp kgkq
sa¼
glan¬r (Neri 1971).
Tan¬m 2.29. (Fourier Dönüşümü) f 2 L1 (Rn ) olsun.
f^ (x) =
1
(2 )n
Z
Rn
11
f (y) e
i(x;y)
dy
1 ve
1
r
=
1
p
+ 1q
1 olsun.
ile verilen f^ fonksiyonu f fonksiyonunun Fourier dönüşümü olarak adland¬r¬l¬r.
Burada (x; y) = x1 y1 + ::: + xn yn dir. Fourier dönüşümü
f^ (x) = (2 )
Z
n
2
f (y) e
i(x;y)
dy
Rn
veya
f^ (x) =
Z
f (y) e
2 i(x;y)
dy
Rn
olarak da al¬nabilir. E¼
ger n = 1 ve f 2 L1 (R1 ) ise bu durumda
1
f^ (x) =
2
Z+1
f (y) e
ixy
dy
1
olur.
Lemma 2.1. E¼
ger f (x) = f1 (x1 ) f2 (x2 ) :::fn (xn ) ise
f^ (x) = f^1 (x1 ) f^2 (x2 ) :::f^n (xn )
sa¼
glan¬r.
Teorem 2.7. (Riemann-Lebesgue) E¼
ger f 2 L1 (Rn ) ise bu durumda f^ s¬n¬rl¬ve
düzgün süreklidir. Ayr¬ca jxj ! 1 iken fb(x) ! 0 d¬r.
g ise bu durumda b
h =fbgb d¬r
Teorem 2.8. f , g 2 L1 olsun. E¼
ger h = f
(Neri 1971).
Teorem 2.9. f , g 2 L1 olsun. Bu durumda
Z
dir (Neri 1971).
fb(x)g(x)dx =
Z
f (x)b
g (x)dx
Teorem 2.10. (Parseval-Plancherel) f 2 L2 (Rn ) olsun. Bu durumda
fb(x) = (2 )
n
Z
Rn
12
f (y)e
i(x;y)
dy
Fourier dönüşümü vard¬r: Ayr¬ca
dir. E¼
ger Fourier dönüşümünü
fb
= (2 )
2
fb(x) =
Z
f (y)e
n
2
kf k2
2 i(x;y)
dy
Rn
ile tan¬mlarsak bu durumda
fb
2
= kf k2
(Parseval formülü)
< fb; g^ >=< f; g > (Plancherel formülü)
olur. Burada < f; g >, f ile g nin iç çarp¬m¬n¬göstermektedir ve
< f; g >=
Z
f gdx
dir.
Tan¬m 2.30. f 2 L1 (Rn ) ve f nin Fourier dönüşümü
fb(y) = (2 )
n
Z
f (x)e
i(x;y)
dx
Rn
şeklinde verilsin. Bu durumda
f (x) =
Z
Rn
fb(y)ei(x;y) dy
formülüne Fourier dönüşümleri için invers formülü denir
Tan¬m 2.31. (Homojen Fonksiyon)
ve
reel say¬lar olmak üzere
f ( x) = j j f (x)
oluyorsa f ye : dereceden homojen fonksiyon denir.
13
Rn olsun.
Tan¬m 2.32. (Karakteristik Fonksiyon) A
A
ile tan¬mlanan
A
8
< 1 ; x2A
=
: 0 ; x2
=A
fonksiyonu A n¬n karakteristik fonksiyonu olarak adland¬r¬l¬r.
Tan¬m 2.33. Bir s fonksiyonunun görüntü kümesi sonlu elemandan meydana geliyorsa s ye bir basit fonksiyondur denir.
s
X ! fa1 ; a2;:::; an g
:
x ! s (x) = ak ;
Tan¬m 2.34. Bir
=(
1 ; :::;
n)
1
R
k
negatif olmayan
n
j
tamsay¬lar¬n¬n s¬ral¬n-lisine
katl¬-indis denir.
j j=
1
+ ::: +
n
dir. E¼
ger
dir. Benzer şekilde, Dj =
D =
@
@xj
ve
iki katl¬-indis ise
+
=(
1
+
1 ; :::;
n
+
n)
olmak üzere
@j j
@ 1 + 2 +:::+ n
=
= D1 1 D2 2 :::Dn n
@x1 1 @x2 2 :::@xnn
@x1 1 @x2 2 :::@xnn
j j. mertebeden bir diferensiyel operatördür. Özel olarak D(0;:::;0) f = f dir. Bir
boyutlu durumda D ,
Örnek olarak R3 te
d
dx
e indirgenir.
= (2; 0; 5) ise
D =
@7
= D12 D35
@x21 @x53
biçimindedir.
Tan¬m 2.35. (Schwarz Uzay¬) Rn uzay¬nda sonsuz kez diferensiyellenebilir ve
istenilen
ve
katl¬-indisleri için
sup x D f (x) < 1
x2IRn
14
koşulunu sa¼
glayan fonksiyonlar¬n s¬n¬f¬na Schwarz Uzay¬denir. Schwarz Uzay¬“S”
ile gösterilir. K¬saca
f : Rn ! C ; f 2 C1 : sup
S=
x D f (x)
x2Rn
dir. Di¼
ger yandan
ve
j,
j
ve
katl¬-indisler oldu¼
gundan
=(
1;
:::;
< 1
n ),
=(
1;
:::;
n)
2 N [ f0g, j = 1; 2; ::: dir. Burada
x = x1 1 :::xnn ; x = (x1 ; :::; xn ) ;
D =
@
1
@x1 1
:::
@
=(
1;
:::;
n)
n
@xnn
dir.
E¼
ger f 2 S ise bu durumda f s¬n¬rl¬d¬r, f 2 Lp (Rn ), f sonsuz kez diferensiyellenebilirdir, f^ (x) 2 S, f^ (x) sonsuz kez diferensiyellenebilirdir.
Teorem 2.11. E¼
ger 1
yo¼
gundur.
p < 1 ise Lp deki basit fonksiyonlar¬n kümesi Lp de
Tan¬m 2.36. (Kuvvetli ve Zay¬f Tip S¬n¬rl¬l¬k) 1
p; q
1 olmak üzere
T : Lp (Rn ) ! Lq (Rn )
bir operatör olsun. E¼
ger 8 f 2 Lp (Rn ) için
kT f kq
A kf kp
olacak biçimde f den ba¼
g¬ms¬z bir A > 0 sabiti varsa T operatörüne kuvvetli (p; q)
tipindedir denir.
bir ölçü olmak üzere e¼
ger 8
> 0 için
fx : jT f (x)j > g
olacak şekilde
A kf kp
q
;q < 1
ve f den ba¼
g¬ms¬z bir A sabiti varsa T dönüşümüne zay¬f (p; q)
tipindendir denir (Sadosky 1979).
15
Teorem 2.12. (Riesz-Torin) 1
1 olmak üzere T; (p0 ; q0 ) ve
p0 ; p1 ; q0 ; q1
(p1 ; q1 ) tipli bir operatör olsun. Bu durumda
1
1
=
p
p0
+
p1
,
1
1
=
q
q0
+
q1
(0 <
< 1)
olmak üzere T; kuvvetli (p; q) tipli bir operatördür.
Teorem 2.13. (Marcinkiewicz Ara De¼
ger Teoremi) p0 < q0 ; p1
q1 ve q0 6= q1
olmak üzere T operatörü zay¬f (p0 ; q0 ) ve zay¬f (p1 ; q1 ) tipli operatör olsun. Ayr¬ca
p ve q
1
1
=
p
p0
+
p1
,
1
1
=
q
q0
+
q1
(0 <
< 1)
biçiminde tan¬mlans¬n. Bu durumda T operatörü (p; q) tipli operatördür.
Tan¬m 2.37. Vitali Örtü Lemmas¬ E, s¬n¬rl¬çapl¬olan fBj g küreler ailesinin
birleşimi taraf¬ndan örtülen Rn nin ölçülebilir bir alt kümesi olsun.
O halde, B1, B2 , ..., Bk ,...(sonlu veya sonsuz) ayr¬k dizilerini seçtikten sonra öyle ki
X
m(Bk )
Cm(E )
k
sa¼
glan¬r.
Buradaki C sadece n ye ba¼
gl¬olan pozitif bir sabittir.
C=5
n
olacakt¬r (Stein 1970).
Tan¬m 2.38. (Da¼
g¬l¬m Fonksiyonu) (X, ) bir ölçü uzay¬ve f : X ! R (veya C)
ölçülebilir bir fonksiyon olsun.
f
( )=
(fx 2 X : jf (x)j > g)
şeklinde tan¬mlanan
f
: (0, 1) ! [0, 1]
fonksiyonuna f fonksiyonunun da¼
g¬l¬m fonksiyonu denir.
16
3. Lp (Rn ) LEBESGUE UZAYLARINDA MAKSI·MAL FONKSI·YON
ve RIESZ POTANSI·YELI·
Maksimal fonksiyon ve Riesz potansiyeli harmonik analizin önemli konular¬aras¬ndad¬r. Özellikle k¬smi türevli denklemler teorisi ve matematiksel …zikte birçok uygulamalar¬vard¬r.
Bu bölümde klasik maksimal fonksiyon ve Riesz potansiyeli tan¬mlanarak, bu operatörlerin varl¬k ve s¬n¬rl¬l¬k özellikleri incelenecektir.
3.1 Maksimal Fonksiyon
f 2 L1loc (Rn ) olsun. Temel Lebesgue Teoremi’ne göre
1
lim
r7!0 m(B(x; r))
Z
f (y)dy = f (x)
B(x;r)
ifadesi hemen her x için geçerlidir, burada
B(x; r) = fy 2 Rn : jx
yj < rg
x merkezli r yar¬çapl¬aç¬k yuvard¬r. Yukar¬daki limit yerine supremum ve f yerine
jf j al¬narak f nin maksimal fonksiyonu tan¬mlan¬r.
Maksimal fonksiyon Rn nin standart kümelerinde n = 1 için Hardy Littlewood
taraf¬ndan tan¬mlanm¬ş ve Wiener taraf¬ndan n- boyutlu Rn Öklid uzay¬na genişletilmiştir
(Stein 1970).
Tan¬m 3.1.1. f : Rn 7 ! R lokal integrallenebilir bir fonksiyon olsun. f nin
maksimal fonksiyonu;
1
M f (x) = sup
r>0 m(B(x; r))
Z
jf (y)j dy
B(x;r)
biçiminde tan¬mlan¬r.
Rn üzerinde bir g fonksiyonu için
m fx : jg(x)j > g = g ( )
17
olsun. g 2 Lp iken
Z
Rn
sa¼
glan¬r. Gerçekten
R1
p
Z1
jg(y)jp dy =
p
dg ( )
0
dg ( ) integraline k¬smi integrasyon uygulan¬rsa;
0
Z1
p
dg ( ) =
0
p
lim
7 !1
g( )
Z1
p 1
g ( )p
d =
0
=
fx 2 Rn : jg(x)j > g dxd
=
Z Z1
fx 2 Rn : jg(x)j > g d
0 Rn
Rn 0
=
Rn
Z
Rn
p
p 1
p 1
d
p
Rn
Z
d dx =
dx
p
p
dx
0
p
Rn
0
p
Z jg(x)j
Z
d
dx =
fx2Rn+ :jg(x)j> g
Z jg(x)j
Z
p
=
d
g ( )p
0
Z1 Z
Z
Z1
p
jg(x)j
j0
dx =
Z
Rn
jg(x)jp dx
oldu¼
gu görülür ve istenilen eşitlik elde edilir.
Teorem 3.1.1. Rn üzerinde tan¬mlanan f fonksiyonu için
(i) f 2 Lp (Rn ), 1
p
1 ise M f maksimal fonksiyonu hemen her yerde sonludur.
(ii) E¼
ger f 2 L1 (Rn ) ise 8 > 0 için
m fx : M f (x) > g
A
Z
Rn
jf (x)j dx
sa¼
glan¬r, burada A sadece boyuta ba¼
gl¬bir sabittir ve m Lebesgue ölçüsüdür.
(iii) f 2 Lp (Rn ), 1 < p
1 ise M f 2 Lp (Rn ) ve
kM f kp
Ap kf kp
eşitsizli¼
gi gerçeklenir (Stein 1970).
18
I·spat: Öncelikle teoremin (ii) ifadesini ispatlayal¬m. E = fx : M f (x) > g olsun.
8x 2 E için Bx = B(x; r), x merkezli yuvar¬E da bulunsun. Bu durumda
1
M f (x) = sup
r>0 m(Bx )
Z
jf (y)j dy
Bx
oldu¼
gundan
)
M f (x) >
Z
jf (y)j dy > m(Bx )
(3.1.1)
Bx
1
elde edilir. Buradan m(Bx ) <
kf k1 elde ederiz. fBk g, E da bulunan ayr¬k
yuvarlar¬n bir dizisi olsun. Bu durumda Vitali Örtü Lemmas¬ndan
1
X
m(Bk )
(3.1.2)
cm(E )
k=0
olur.
(3:1:1) eşitsizli¼
ginde Bx yerine
S
Bk al¬n¬rsa bu durumda
k
kf k1 >
Z
S
jf (y)j dy >
Bk
k
X
m(Bk )
cm(E )
k
elde edilir. Bu eşitsizlikten
Z
Rn
jf (y)j dy > cm(E )
elde edilir ve burada E = fx : M f (x) > g yerine yaz¬l¬rsa
1
m fx : M f (x) > g <
c
oldu¼
gu görülür. Burada A =
Şimdi 1 < p
Z
Rn
jf (y)j dy
1
c
seçilerek (ii) in ispat¬tamamlan¬r.
R
1 için (i) ve (iii) ifadelerini ispatlayal¬m.
jM f jp dx in sonlu
Rn
oldu¼
gunu gösterelim. Rn üzerinde tan¬ml¬bir g(x) fonksiyonunun da¼
g¬l¬m fonksiyonu
g ( ) = m fx 2 Rn : jg(x)j > g
19
ile tan¬mlan¬r. g 2 Lp (Rn ) iken
Z
Rn
jg(y)jp dy =
Z1
p
dg ( )
0
d¬r. Şimdi
m(E ) = m fx : jM f (x)j > g = g ( )
ve g = M f al¬n¬rsa
kM f kpp
=
Z
p
(M f ) dx = p
Rn
Z1
p 1
(3.1.3)
m(E )d
0
elde edilir. Bu integrali hesaplayabilmek için m(E ) için bir eşitsizlik elde edelim.
Bunun için f1 fonksiyonunu
8
< f (x) ; jf (x)j
f1 (x) =
: 0
; jf (x)j <
2
2
olarak tan¬mlayal¬m. Bu durumda
jf (x)j
jf1 (x)j +
2
) M f (x)
M f1 (x) +
2
sa¼
glan¬r. Buradan
E = fx : M f (x) > g
n
x : M f1 (x) >
2
o
oldu¼
gundan
m(E ) = m fx : M f (x) > g
20
n
m x : M f1 (x) >
2
o
elde edilir. Dolay¬s¬yla (ii) den
m(E )
n
m x : M f1 (x) >
2
o
2A
Z
Rn
jf1 (x)j dx
oldu¼
gu görülür. Sonuç olarak
Z
2A
m(E )
jf (x)j dx
jf j> 2
eşitsizli¼
gi sa¼
glan¬r. Bu son eşitsizli¼
gi (3:1:3) de yerine yazarsak
kM f kpp = p
Z1
p 1
m(E )d
Z1
p
0
p 1
0
0
B 2A
@
Z
jf j> 2
1
C
jf (x)j dxA d
elde edilir. Fubini Teoreminden bu çift katl¬ integralin de¼
gerini hesaplamak için
integrasyon s¬ras¬n¬de¼
giştirelim. p > 1 oldu¼
gundan
2jf
Z (x)j
p 1
p 2
d =
p
2jf (x)j
1
j0
=
1
p
1
j2f (x)jp
Z
jf jp dx
1
0
elde edilir. Bu çift katl¬integralin de¼
geri
2Ap
p 1
Z
Rn
p 1
jf j j2f j
p
dx = (Ap )
Rn
olarak bulunur. Sonuç olarak
kM f kpp
p
(Ap )
Rn
elde edilir ve eşitsizli¼
gin her iki taraf¬nda
kM f kp
Z
1
p
jf jp dx
inci dereceden kuvvet al¬n¬rsa
0
1 p1
Z
Ap @ jf jp dxA
Rn
= Ap kf kp
21
bulunur. Böylece teoremin (i) ve (iii) ifadeleri ispatlanm¬ş olur. Burada Ap sabiti
hesapland¬g¼¬nda
1
p
5n p p
2
p 1
Ap =
= 2
,
1<p<1
,
1<p<1
1
p
5n p
p 1
bulunur.
3.2 Riesz Potansiyeli
f yeterince düzgün bir fonksiyon olmak üzere f fonksiyonunun Laplasyeni;
f=
n
X
@2f
j=1
@x2j
biçiminde tan¬mlan¬r.
f 2 S olmak üzere
F
f^(x) = f (x) =
1
1
(2 )
n
2
Z
ei(xy) f^(y)dy
Rn
dir. ei(xy) = ei(x1 y1 +:::+xn yn ) olmak üzere
(
) f (x) =
=
=
1
(2 )
n
2
n
2
Z
Rn
1
(2 )
ei(xy) f^(y)
Rn
1
(2 )
Z
n
2
Z
Rn
@ ix1 y1
e
@x21
@ ix2 y2
e
@x22
::: +
@ ixn yn ^
e
f (y)dy
@x2n
jyj2 ei(xy) f^(y)dy
I f =F
1
jyj
F,
f 2S
(3.2.1)
oldu¼
gundan
)(
)f = F
1
jyj2 F f
yaz¬labilir. Bilindi¼
gi gibi Laplace operatörü eliptik operatördür. P. Seeley göster22
miştir ki e¼
ger bir eliptik L operatörü için
1
Lf = F
(x)F f
formülü mevcut ise o zaman onun istenilen kompleks kuvveti için
1 z
Lz f = F
(x)F f
geçerlidir. Dolay¬s¬yla bu teoreme göre Laplace operatörü için
)z f = F
(
yaz¬labilir. Dolay¬s¬yla görünür ki z =
(
)
2
2
1
jyj2z F f
için
f =F
1
jyj
(3.2.2)
Ff
geçerlidir. Yani (3:2:1) ve (3:2:2) den görünür ki Riesz potansiyelinin ve
n¬n
negatif kesir kuvvetinin genelleşmiş anlamda Fourier dönüşümleri ayn¬d¬r. Bu durumda
I =(
)
, 0<
2
(3.2.3)
<n
ifadesi yaz¬labilir. (3:2:3) formülü Riesz potansiyelinin ne kadar önemli bir operatör
oldu¼
gunu gösterir. Çünkü (3:2:2) in yard¬m¬yla Laplace operatörünün negatif kesir
kuvvetleri tan¬mlanabilir, burada 0 <
< n ve
n
2
( )=
2
2
olmak üzere
1
(I f ) (x) =
( )
n
2
Z
Rn
2
f (y)
jx yjn
dy
I operatörüne Riesz potansiyeli denir.
Teorem 3.2.1.
(Riesz Potansiyeli I·çin Hardy-Littlewood-Sobolev Teo-
remi)
o<
< n, 1
p < q < 1 ve
1
q
=
1
p
n
olsun.
23
(i) E¼
ger f 2 Lp (Rn ) ise
1
(I f ) (x) =
( )
Z
Rn
jx
yj
n+
f (y)dy
integrali hemen her x için mutlak yak¬nsakt¬r.
(ii) E¼
ger p > 1 ise bu durumda
kI f kq
Ap;q kf kp
eşitsizli¼
gi gerçeklenir.
(iii) E¼
ger f 2 L1 (Rn ) ise bu durumda
A kf k1
m fx : jI f (x)j > g
Yani, f ! I f dönüşümü (1; q) zay¬f tiptir
I·spat: K (x) =
1
jxjn
olsun. f ! I
1
q
q
, Tüm
=1
n
lar için
(Stein 1970).
f dönüşümü yerine f ! K
göz önüne alal¬m (I·ki dönüşüm aras¬nda bir sabitle
1
( )
f dönüşümünü
çarp¬m kadar fark vard¬r).
K y¬K1 + K2 olarak ayr¬şt¬ral¬m. Burada
8
8
< K(x) ; jxj
< K(x) ; jxj >
K1 (x) =
K2 (x) =
: 0
: 0
; jxj >
; jxj
biçimindedir. Burada herhangi bir pozitif sabittir. Buradan
K
f = K1 f + K2 f
elde edilir. K1 f ve K2 f nin hemen her x için mutlak yak¬nsak oldu¼
gu gösterilirse
K
f nin hemen her x için mutlak yak¬nsak oldu¼
gu, dolay¬s¬yla I f nin hemen her
x için mutlak yak¬nsak oldu¼
gu gösterilmiş olur.
(K1 f ) (x) =
Z
K1 (x
t)f (t)dt =
jxj
Z
jxj
24
f (t)
jx tjn
dt
Young Teoreminden;
kK1 f kp
kf kp
Z
1
tjn
jx
jxj
= kf kp wn
1
Z
1
dt
d
0
= kf kp wn
<1
1
) K1 f hemen her x için mutlak yak¬nsakt¬r.
(K2 f ) (x) =
Z
K2 (x
t) f (t)dt =
jxj>
0
(K2 f ) (x) =
f (t)
jx tjn
jxj>
f (t)
jx tjn
jxj>
dir. p , p nin dualini belirtmek üzere
Z
Z
1
p
+
1
p0
= 1 oldu¼
gundan, Hölder eşitsizli¼
ginden
2
6
4
dt
dt
Z
3 10
p
1
tjn
jx
jxj>
7
kf kp
0 dt5
p
0
elde edilir. Parantez içindeki integralin yak¬nsak olmas¬için (n
) p > n olmas¬
gerekir.
(n
)p
0
= n 1
0
n
= kf kp @wn
n
p0
1 1
+
p q
1 10
0
p =n 1
1
(n
c1 kf kp
) kK2 f k1
Z1
d A
)p;
)=n
p =n
0
p
p =n 1+
q
0
p
n 1
(n
1
1
0 +
p
q
0
1
p0
0
= kf kp c wn
1+
1
p
1
q
=
1
n (n
n
q
n
q
c1 kf kp
n
q
) kK2 f k1 < 1 olup
) K2 f hemen her x için mutlak yak¬nsakt¬r. O halde
) K
f = K1 f + K2 f oldu¼
gundan
) K
f hemen her x için mutlak yak¬nsakt¬r.
25
0
)p
1
0
p
>n
Böylece I f nin hemen her x için mutlak yak¬nsak oldu¼
gu elde edilir.
Dolay¬s¬yla teoremin (i) ifadesi ispatlanm¬ş olur. Şimdi (iii) yi ispatlayal¬m:
Z
f (y)
jx yjn
Rn
f (x + y)
dy
jyjn
1
( )
(I f ) (x) =
Rn
1
( )
=
1
( )
=
Z
Z
jyj
(y ! x + y)
dy
1
f (x + y)
dy +
n
( )
jyj
Z
jyj>
f (x + y)
dy
jyjn
(3.2.4)
= (I 1 f ) (x) + (I 2 f ) (x)
elde edilir. (3:2:4) den
fx : j(I f )(x)j > 2 g
fx : j(I 1 f ) (x)j > g [ fx : j(I 2 f )(x)j > g
gerçeklenir. O halde yukar¬daki kümenin ölçüsü
m fx : j(I f )(x)j > 2 g
m fx : j(I 1 f ) (x)j > g+m fx : j(I 2 f )(x)j > g (3.2.5)
şeklindedir. Şimdi bu ifadeleri ayr¬ayr¬hesaplayal¬m:
Z
m fx : j(I 1 f ) (x)j > g =
mfx:j(I
mfx:j(I
1
p
Z
Rn
=
1
p
1f
Z
1f
1p dx
)(x)j> g
(I 1 f ) (x)
p
dx
)(x)j> g
j(I 1 f ) (x)jp dx
kI 1 f kpp
elde edilir. Young teoreminden
m fx : j(I 1 f ) (x)j > g
1
p
kI 1 f kpp =
26
1
p
p
p A kK1 f kp
AP
P
kK1 kp1 kf kpp
bulunur. Buradan
0
B
kK1 kp1 = @
Z
1
jxjn
jxj
0
= @wn
=
1
p
p
1
0
p
0
Z Z
C
dxA = @
Z
wnp 1
p
c1
m fx : j(I 1 f ) (x)j > g
1p
= cp
Sn
1p
d A =
1
n 1
n
0
1p
d dx; A
p
wn
1
j0
p
p
kf kpp = c1
(3.2.6)
kf kp
elde edilir. Ayr¬ca Hölder eşitsizli¼
ginden
A
m fx : j(I 2 f )(x)j > g
0
kK2 kp0 kf kp
eşitsizli¼
gi gerçeklenir.
0
B
kK2 kp0 = @
Z
jxj>
1 10
p
1
jxjn
0
p
C
dxA
n
q
= c2
oldu¼
gundan ve
kK2 kp0 kf kp = c2
seçilirse kK2 f k1
n
q
kf kp =
ve böylece m fx : jK2 f j > g = 0 elde edilir.
)
n
q
=
c2 kf kp
)
=
(3:2:5),(3:2:6) (3:2:4) de kullan¬l¬r ve (3:2:5) de
27
c2 kf kp
q
n
(3.2.7)
nun yerine (3:2:7) deki ifadesi
yaz¬l¬rsa
m fx : j(I f )(x)j > 2 g
kf kp
c1
kf kpp
= cp;q
1
p
=
n
kf kp
p
!p
q p
n
1
qp
)
=q
q
n
kf kpp kf kp q
= cp;q
q
n
c2 kf kp
p
p
p
= cp;q
kf kp
q
bulunur. Yukar¬daki ifadede p = 1 için f 2 L1 (Rn ) al¬nd¬g¼¬nda I f Riesz potansiyeli
1
q
=1
n
olmak üzere zay¬f (1; q) tipinde operatördür. Böylece (iii) ifadesi
ispatlanm¬ş olur.
Şimdi (ii) yi ispatlayal¬m. I·spat¬yaparken Marcinkiewicz I·nterpolasyon
Teoremi’nden yararlanaca¼
g¬z. (iii) den dolay¬I zay¬f (1; q0 ) = 1; 1 1
ratördür. (p1 ; q1 ) =
p1 ;
1
1
p1
tipli open
tipli operatör, (p0 ; p1 ), (q0 ; q1 ) say¬lar¬n¬Marcinkiewicz
n
I·nterpolasyon Teoremi’ne uygun olarak seçelim. I zay¬f (p0 ; qo ) ve (p1 ; q1 ) tipli
operatördür. Bu durumda Marcinkiewicz Teoremi’nden
0<
1
1
=
p
p0
< 1 ve
+
p1
1
1
=
q
q0
,
+
q1
olmak üzere I kuvvetli (p; q) tipli operatördür.
1
1
=
q
q0
= 1
+
q1
= (1
+
n
= 1
n
+
1
=1
p
=
1
p
n
veya
n
) 1
+
p1
n
1
p1
+
n
p1
+
n
p1
=
oldu¼
gundan
1
p
1
q
oldu¼
gundan Marcinkiewicz I·nterpolasyon Teoremi’nden
kI f kq
c kf kp ,
28
1
1
=
q
p
n
n
elde edilir. Böylece teoremin ispat¬tamamlanm¬ş olur.
Önerme 3.2.1.
> 0, 0 <
M f 2 Lq (E), E
Rn olsun. Bu durumda
p
n, 1 < p <
p
, 1
q
p
kI f kLr (E)
gerçeklenir, burada
1
r
=
1
p
p
+
C M f
p
( p)
( q)
Lq (E)
kf kp1
1, ve f 2 Lp (Rn ),
p
(3.2.8)
ve C, f ve E den ba¼
g¬ms¬z bir sabittir
(Adams 1975).
I·spat: I·spat¬yaparken Hedberg (1972) in Riesz Potansiyelleri için uygulam¬ş oldu¼
gu
temel düşünceyi takip edece¼
giz. Bu durumda f 6= 0 için, I f (x) kümesi > 0 olmak
üzere
Z
I f (x) =
jx yj<
= I +I
f (y)
jx yjn
0
dy +
Z
jx yj
f (y)
jx yjn
şeklinde yaz¬labilir.
k 2 Z ve ak (x) = y : 2k
I =
jx
Z
jx yj<
=
1
X
k=1
a
yj < 2k+1
f (y)
jx yjn
k (x)=
fy:2
olsun. O takdirde
dy
k
Z
jx yj<2k+1
dir. Buradan
29
g
f (y)
jx yjn
dy
dy
Z
1
X
jIj
k=1 a
1
X
jx
n
yj
jf (y)j dy;
k(x)
2
n
k
2
1
n
k+1
a
0
B
@M f (x) = sup r
Z
n
r!0
2n
=
)n
k+1
(2
k=1
2n
1
X
k=1
1
X
2
k
2
k
< n oldu¼
gundan
0<
Z
jf (y)j dy
k(x)
jf (y)j dy,
1
C
n oldu¼
gundanA
0
jx yj<r
n+n
M0 f (x)
M0 f (x)
k=1
M0 f (x) ,
= C
0<
<n
elde edilir. Benzer şekilde,
I
0
Z
=
f (y)
jx yjn
jx yj>
=
1
X
k=0
ak (x)=fy:2k
dy
Z
jx yj<2k+1
g
f (y)
jx yjn
dy
dir. Buradan,
I
0
1 Z
X
k=0
jx
n
yj
jf (y)j dy
ak (x)
1
X
2
n
(2k+1 )n
k=0
M f (x) = sup r
2k+1
n
k
n
r!0
Z
p
p
Z
jf (y)j dy
ak (x)
jf (y)j dy,
n oldu¼
gundan
0
jx yj<r
p
1
X
2k
n
2k+1
k=0
30
n
p
M f (x)
p
=
1
X
p
2k
kn+kn k p +n
p
k=0
=
p
n
2
1
X
p
2k(
p
!
) M f (x)
k=0
0<
= C
elde edilir.
M f (x)
=
(x) =
p
M0 f (x)
< n, 1 < p <
p
M f (x)
p
p
p
oldu¼
gundan
p
<0
M f (x)
p
p
seçilirse hipotezimiz gere¼
gi
(x) sonlu ve hemen her yerde
pozitiftir. Bu seçim kolayca,
jI f (x)j
jIj + I
C
0
M0 f (x) + C
p
M f (x)
p
p
p
M f (x)
M f (x)
p
= C
+C
p
(M0 f (x))
p
(M0 f (x))
p
p
M f (x)
M f (x)
p
= C
p
+C
p
(M0 f (x))
1
(M0 f (x))
p
(M0 f (x))
p
p
M f (x)
= C
p
p
(M0 f (x))
1
p
(M0 f (x))1
= C M f (x)
p
p
oldu¼
gunu gösterir. Yani,
p
jI f (x)j
C M f (x)
p
(M0 f (x))1
dir.
Teorem 3.1.1. deki (iii) özelli¼
ginden ve Hölder eşitsizli¼
ginden
p
kI f kLr (E)
C M f
p
eşitsizli¼
gi elde edilir. Bu da ispat¬tamamlar.
31
Lq (E)
kf kp1
p
p
1
4. Lp; (Rn ) MORREY UZAYLARINDA HARDY-LITTLEWOOD
MAKSI·MAL OPERATÖRÜ ve RIESZ POTANSI·YELI·
Lp; (Rn ) Morrey uzaylar¬ Morrey taraf¬ndan 1938 y¬l¬nda eliptik k¬smi diferensiyel denklemler ve varyasyonlar analizi teorisindeki problemlerle ilgilenirken ortaya
ç¬kar¬lm¬şt¬r. Daha sonra Navier-Stokes ve Schrödinger denklemleri, süreksiz katsay¬l¬eliptik problemler ve potansiyel teorisine önemli uygulamalar¬ortaya ç¬km¬şt¬r.
n olmak üzere, Lp; (Rn ) Morrey uzay¬tan¬t¬lacak,
Bu bölümde ilk önce, 0
n¬n durumlar¬na göre Lp; (Rn ) uzay¬n¬n
bu uzay üzerinde tan¬mlanan norm ve
yap¬s¬hakk¬nda baz¬sonuçlar verilecektir. Daha sonra, Lp; (Rn ) uzaylar¬nda HardyLittlewood maksimal operatörünün s¬n¬rl¬l¬g¼¬Guliyev (2009) taraf¬ndan verilmiş olan
teorem yard¬m¬yla gösterilecektir. Lp; (Rn ) uzaylar¬nda I Riesz potansiyelinin
s¬n¬rl¬l¬g¼¬ iki farkl¬ yönden Spanne ve Adams tipi s¬n¬rl¬l¬k olarak gösterilecektir.
Bunun için Guliyev (2009) taraf¬ndan verilmiş olan iki farkl¬ teorem kullan¬lacakt¬r. Son olarak Lp; (Rn ) Morrey uzaylar¬nda M maksimal operatörünün ve I Riesz
potansiyelinin s¬n¬rl¬l¬g¼¬ için Chiarenza ve Frasca (1987) taraf¬ndan verilmiş olan
alternatif ispatlar verilecektir.
4.1 Lp; (Rn ) Morrey Uzaylar¬
Tan¬m 4.1. 0
uzaylar¬
n, 1
n
n
p < 1 ve f 2 Lloc
p (R ) olmak üzere Lp; (R ) Morrey
kf kLp; = kf kLp;
(Rn )
= sup r
x2Rn
r>0
p
kf kLp (B(x;r))
C<1
(4.1.1)
olacak biçimdeki fonksiyonlar¬n uzay¬d¬r. Burada C sabiti sadece f ye ba¼
gl¬d¬r ve
B (x; r), merkezi x ve yar¬çap¬ r olan aç¬k yuvar¬ göstermektedir. Böyle tan¬mlanan kf kLp; , Lp; (Rn ) uzay¬nda bir yar¬normdur ( f sabit oldu¼
gunda kesin olarak
kf kLp; = 0 d¬r). Lp; (Rn ) uzaylar¬ndaki fonksiyonlar bir sabit fark¬yla eşit fonksiy-
onlar olarak al¬nd¬g¼¬nda (4:1:1) de verilen norm ile Lp; (Rn ) uzay¬bir Banach uzay¬d¬r.
Lp; (Rn ) uzaylar¬n¬n yap¬lar¬hakk¬nda baz¬sonuçlar aşa¼
g¬da verilmiştir:
32
a)
= 0 oldu¼
gunda Lp;0 (Rn ) = Lp (Rn ), yani bilinen Lebesgue uzay¬d¬r.
Z
jf (x)jp dx
C<1
B(x;r)
dir.
b)
= n oldu¼
gunda Lp;n (Rn ) = L1 (Rn ) dir. Gerçekten,
f 2 Lp;n (Rn ) olsun. Temel Lebesgue Teoremi’ne göre
Z
1
lim
r!o m (B (x; r))
jf (y)jp dy = jf (x)jp
B(x;r)
dir. Bu durumda
0
Z
1
r!o m (B (x; r))
B
jf (x)j = @lim
B(x;r)
elde edilir. Böylece f 2 L1 (Rn ) dir ve
1 p1
C
jf (y)jp dy A
1
! n p1 kf kLp;n
1
! n p1 kf kLp;n
kf kL1
eşitsizli¼
gi gerçeklenir.
c)
< 0 veya
> n ise, o halde Lp; (Rn ) =
olup burada , Rn de 0 a denk olan
fonksiyonlar¬n kümesini belirtmektedir.
4.2 Lp; (Rn ) Uzaylar¬nda Maksimal Operatörün S¬n¬rl¬l¬g
¼¬
Şimdi de Guliyev (2009) taraf¬ndan Lp; (Rn ) uzaylar¬nda M maksimal operatörü
için verilen eşitsizli¼
gi ispatlayaca¼
g¬z.
n
n
Teorem 4.2.1. 1 < p < 1 ve f 2 Lloc
p (R ) alal¬m. Bu durumda C; f , x 2 R ve
t > 0 dan ba¼
g¬ms¬z olmak üzere p > 1 için
kM f kLp(B(x;t))
Z1
r
Ct
n
p
t
eşitsizli¼
gi gerçeklenir (Guliyev 2009).
33
n
p
1
kf kLp (B(x;r)) dr
(4.2.1)
I·spat: 1 < p < 1 alal¬m. f fonksiyonu
f = f1 + f2 , f1 (y) = f (y)
B(x;2t)
(y),
f2 (y) = f (y)
B c (x;2t)
(y), t > 0 olarak
tan¬mlan¬rsa
kM f kLp (B(x;t)) = kM (f1 + f2 )kLp (B(x;t))
= kM f1 + M f2 kLp (B(x;t))
kM f1 kLp (B(x;t)) + kM f2 kL
p (B(x;t))
elde edilir. 1 < p < 1 olmak üzere Teorem 3.1.1. deki (iii) özelli¼
ginden
kM f1 kLp (B(x;t))
kM f1 kLp (Rn )
C kf1 kLp (Rn )
= C kf kLp (B(x;2t))
(4.2.2)
elde edilir. Burada C, f den ba¼
g¬ms¬z bir sabittir. (4:2:2) den ve kf kLp (B(x;2t)) normu
t ye göre azalmayan oldu¼
gundan kolayca
Z1
Ct
r
n
p
kM f1 kLp (B(x;t))
n
Ct p
2t
Z1
r
n
p
1
kf kLp (B(x;r)) dr
n
p
1
kf kLp (B(x;r)) dr
(4.2.3)
t
elde edilir.
M f2 nin s¬n¬rl¬l¬g¼¬için ilk olarak aşa¼
g¬daki eşitsizli¼
gi ispatlayaca¼
g¬z:
Z
jx
yj
n
jf (y)j dy
B c (x;t)
Bu ispat¬yapabilmek için
Z1
C s
n
p
1
kf kLp (B(x;s)) ds,
0<t<1
t
>
n
p
seçilirse, Hölder eşitsizli¼
ginden
34
(4.2.4)
Z
jx
yj
n
jf (y)j dy
B c (x;t)
Z
=
jx
B c (x;t)
Z1
yj
1
s
n+
jf (y)j dy
1
s
ds
jx yj
Z
ds
Z1
jx
n+
yj
jf (y)j dy
fy2Rn :t jx yj sg
t
Z1
C s
1
kf kLp (B(x;s)) jx
t
0
Z1
= C s
B
1
kf kLp (B(x;s)) @
t
n+
yj
p
0
kf kLp (B(x;s)) @
1
1
t
Z Zs
Sn
Z1
C s
1
kf kLp (B(x;s)) sn
Z1
= C s
1
s
1
1 10
p
Z
)p0
t
)p0
(n
1
p0
1 10
p
n 1
(n
C
dy A ds
p0
yjn
jx
t jx yj s
Z1
= C s
ds
L 0 (B(x;s))
d dx0 A ds
ds
t
n
p
s kf kLp (B(x;s)) ds
t
Z1
= C s
n
p
1
kf kLp (B(x;s)) ds
t
elde edilir.
z 2 B (x; t) için
M f2 (z) = sup jB (z; r)j
r>0
C sup
Z
1
Z
B(z;r)
r 2t
(B c (x;2t)\B(z;r))
C sup
Z
r 2t
(B c (x;2t)\B(z;r))
35
jf2 (y)j dy
jy
zj
n
jf (y)j dy
jx
yj
n
jf (y)j dy
C
Z
jx
yj
n
jf (y)j dy
B c (x;2t)
elde edilir. Bu durumda C; x, t den ba¼
g¬ms¬z bir sabit olmak üzere (4:2:4) den
Z1
C s
M f2 (z)
C
2t
Z1
s
n
p
1
kf kLp (B(x;s)) ds
n
p
1
kf kLp (B(x;s)) ds
t
dir. Böylece, sabit x ve t için M f2 (z) fonksiyonu z ye ba¼
gl¬olmayan bir ifadeyle
s¬n¬rlan¬r. Bu durumda
0
k1kLp (B(x;t)) = @
Z Zt
Sn
= Ct
1
n 1
x
n
p
1 p1
d dx0 A
oldu¼
gu için
kM f2 kLP (B(x;t))
Z1
C s
n
p
1
kf kLp (B(x;s)) k1kLp (B(x;t)) ds
(4.2.5)
t
dir. Sonuç olarak (4:2:3) ve (4:2:5) den (4:2:1) elde edilir. Bu da ispat¬tamamlar.
Teorem 4.2.2. 1 < p < 1 ve 0 <
< n olmak üzere
kM f kp;
C kf kp;
d¬r.
I·spat: Teorem 4.2.1. den
36
kM f kp;
= sup t
kM f kLP (B(x;t))
p
r>o
x2Rn
Z1
C sup t p t
r
n
p
r>o
x2Rn
n
p
1
kf kL
P (B(x;r))
dr
t
n
C sup t
Z1
r
kf kp;
p
r>o
x2Rn
n
p
1
r p dr
t
n
C sup t
kf kp; lim
p
a!1
r>o
x2Rn
n
C sup t
kf kp; t p
p
r>o
x2Rn
1
n
q
p
n
q
n
rp
n
q
jat
o
C kf kp;
elde edilir. Böylece ispat tamamlanm¬ş olur. Bu ispat, bölüm sonunda da de¼
gindi¼
gimiz
gibi Chiarenza ve Frasca (1987) taraf¬ndan M maksimal operatörü için verilmiş olan
Teorem 4.4.1. in alternatif bir ispat¬d¬r.
4.3 Lp; (Rn ) Uzaylar¬nda Riesz Potansiyelinin S¬n¬rl¬l¬g
¼¬
4.3.1 Spanne tipi s¬n¬rl¬l¬k
Bu kesimde Lp; (Rn ) uzaylar¬nda I Riesz potansiyeli için Guliyev (2009) taraf¬ndan verilen s¬n¬rl¬l¬k koşuluyla ilgili iki farkl¬teoremi ispatlayaca¼
g¬z. Bu teoremler
yard¬m¬yla I n¬n Spanne tipi ve Adams tipi s¬n¬rl¬l¬g¼¬n¬ayr¬ayr¬ispatlayaca¼
g¬z.
< np ,
Teorem 4.3.1.1. 1 < p < 1 , 0 <
durumda
kI f kLq (B(x;t))
Z1
Ct
r
n
q
1
q
=
n
q
1
1
p
n
n
ve f 2 Lloc
p (R ) olsun. Bu
kf kLp (B(x;r)) dr
(4.3.1.1)
t
eşitsizli¼
gi gerçeklenir (Guliyev 2009).
I·spat: 1 < p < 1 alal¬m. f fonksiyonu
f = f1 + f2 , f1 (y) = f (y)
B(x;2t)
(y), f2 (y) = f (y)
tan¬mlan¬rsa
I f (x) = I f1 (x) + I f2 (x)
37
B c (x;2t)
(y), t > 0 olarak
elde edilir.
< np ,
1 < p < 1, 0 <
1
q
=
1
p
n
olmak üzere Teorem 3.2.1. deki (ii) özelli¼
ginden
kI f1 kLq (B(x;t))
kI f1 kLq (Rn )
C kf1 kLp (Rn )
= C kf kLp (B(x;2t))
elde edilir. Burada C, f den ba¼
g¬ms¬z bir sabittir. Ayr¬ca,
kf kLp (B(x;2t))
Z1
Ct
r
n
q
n
q
1
kf kLp (B(x;r)) dr
2t
oldu¼
gu göz önüne al¬n¬rsa
kI f1 kLq (B(x;t))
Z1
r
Ct
n
q
n
q
1
kf kLp (B(x;r)) dr
2t
elde edilir.
jx
zj
t, jz
yj
2t oldu¼
gunda jx
jx
zj
yj = jx
jx
t
jz yj
2
z+z
zj + jz
dir. Dolay¬s¬yla
yj
yj
t + jz yj
3
jz yj
2
ve
jz
yj = jz
jz
x+x
xj + jx
t + jx yj
jz yj
+ jx
2
jz yj
)
jx
2
dir. Sonuç olarak,
38
yj
yj
yj
yj
(4.3.1.2)
1
jz
2
jx
yj
3
jz
2
yj
yj
elde edilir. Böylece
kI f2 kLq (B(x;t))
Z
f (y)
jz yjn
Z
jf (y)j
dy
jx yjn
B c (x;2t)
C
B c (x;2t)
elde edilir.
Z
B c (x;2t)
n
q
>
jf (y)j
jx yjn
Lq (B(x;t))
(B(x;t)) Lq (Rn )
seçilerek, Hölder eşitsizli¼
ginden
dy
Z
=
jx
B c (x;2t)
=
dy
Z1
s
1
Z1
C s
1
n+
yj
B
jf (y)j @
1
2t
Z
B
@
jx
kf kLp (B(x;s)) jx
yj
0
B
kf kLp (B(x;s)) @
1
kf kLp (B(x;s)) sn
1
s
s
n+
kf kLp (B(x;s))
@
Z Zs
Sn
n
p
s
+
ds
1
p
(n
kf kLp (B(x;s)) ds
39
A ds
0 d dx
)p
0
1 10
p
0
2t
)p
C
ds
0 dy A
p
yjn
jx
n 1
(n
2t
1 10
1
2t jx yj s
0
1
C
jf (y)j dy A ds
n+
yj
Z
C
= C
C
dsA dy
0
p (B(x;s))
1
2t
Z1
1
L
Z1
= C s
s
1
s
jx yj
0
2t
2t
Z1
Z1
fy2Rn :2t jx yj sg
2t
Z1
= C s
0
1
0
p
ds
Z1
=C s
n
p
1
kf kLp (B(x;s)) ds
(4.3.1.3)
2t
elde edilir.
Di¼
ger yandan
1
q
=
1
p
n
ise
n
q
=
n
p
d¬r. Bu de¼
ger (4:3:1:3) de yerine yaz¬l¬rsa,
Z1
C s
kI f2 kLq (B(x;t))
= C
( nq + )
2t
Z1
n
q
s
1
1
kf kLp (B(x;s)) ds
kf kLp (B(x;s)) ds
2t
Z1
s
Ct
n
q
n
q
1
kf kLp (B(x;s)) ds
(4.3.1.4)
2t
elde edilir. Sonuç olarak, (4:3:1:2) ve (4:3:1:4) den (4:3:1:1) ispatlan¬r.
Teorem 4.3.1.2. (Spanne) 0 <
=
n
(n
)
,
1
q
=
1
p
n
ve
p
=
q
< n, 0 <
< n
p, 1 < p <
diyelim. Bu durumda
kI f kq;
C kf kp;
eşitsizli¼
gi gerçeklenir.
I·spat. Teorem 4.3.1.1. den ve
kI f kq;
p
=
q
= sup t
eşitli¼
gi kullan¬larak
q
r>0
x2Rn
kI f kLq (B(x;t))
Z1
C sup t q t
r
n
q
r>0
x2Rn
C sup t
r>0
x2Rn
n
q
1
kf kLp (B(x;r)) dr
t
n
q
kf kp;
Z1
r
t
40
n
q
1
r p dr
n
olsun.
C sup t
n
q
a!1
r>0
x2Rn
C sup t
n
q
kf kp; t p
q
kf kp; t q
r>0
x2Rn
= C sup t
1
kf kp; lim
n
r>0
x2Rn
n
q
p
n
rp
n
q
jat
o
n
q
n
q
= C kf kp;
elde edilir. Böylece ispat tamamlanm¬ş olur.
4.3.2 Adams tipi s¬n¬rl¬l¬k
Teorem 4.3.2.1. 1 < p < 1, 0 <
<
n
p
f , x ve t den ba¼
g¬ms¬z olmak üzere
jI f j
n
ve f 2 Lloc
p (R ) olsun. Bu durumda C;
Z1
Ct M f (x) + C r
n
p
1
kf kLp (B(x;r)) dr
(4.3.2.1)
t
eşitsizli¼
gi gerçeklenir (Guliyev 2009).
I·spat: 1 < p < 1 alal¬m. f fonksiyonu
f = f1 + f2 , f1 (y) = f (y)
B(x;2t)
(y), f2 (y) = f (y)
B c (x;2t)
(y), t > 0 olarak
tan¬mlan¬rsa
I f (x) = I f1 (x) + I f2 (x)
elde edilir.
jI f1 (x)j
Ct M f (x) eşitsizli¼
gi Hedberg (1972) taraf¬ndan gösterilmiştir (Bak¬n¬z
Teorem 4.4.2.).
I f2 için ise Hölder eşitsizli¼
ginden,
41
Z
jI f2 (x)j
jx
yj
n
jf (y)j dy
B c (x;2t)
Z
C
jf (y)j dy
B c (x;2t)
C
Z1
2t
C
Z1
t
= C
C
Z1
t
Z1
Z1
n 1
r
jx yj
0
Z
B
@
2t<jx yj<r
dr
1
C
jf (y)j dy A r
0
B
kf kLp (B(x;r)) @
Z
kf kLp (B(x;r)) @
Z Zr
Sn
kf kLp (B(x;r)) rn(1
1
1
p
dr
1 10
p
C
1dxA r
t<jx yj<r
0
n 1
n 1
t
)r
0
n 1
dr
1 10
p
d dx A r
n 1
n 1
dr
dr
t
Z1
= C r
n
p
1
kf kLp (B(x;r)) dr
t
dir. Böylece (4:3:2:1) ispatlan¬r.
Teorem 4.3.2.2. (Adams) 0 <
< n, 1 < p <
n
,0<
<n
p olsun. Bu
durumda
kI f kq;
gerçeklenir, burada
1
q
dir ve C sadece n, , p,
I·spat: r r
n
p
C r
1
p
n
ya ba¼
gl¬d¬r.
n
p
=
C kf kp;
p
q
den, r > 0 olmak üzere r
x merkezli t yar¬çapl¬aç¬k yuvar olmak üzere
42
n
p
=
M f (x)
kf kp;
seçilirse ve B (x; t)
kI f kq;
0
B1
= sup @
t
t>0
n
x2R
= sup t
q
t>0
x2Rn
1 1q
Z
C
jI f (y)jq dy A
B(x;t)
0
B
@
1 1q
Z
B(x;t)
sup t
q
t>0
x2Rn
0
B
@
sup t
q
t>0
x2Rn
B
@
sup t
q
t>0
x2Rn
B
@
Z1
@Cr M f (x) + C t
n
p
Z
1
r
0
Z
B(x;t)
0
Teorem 4.3.2.1. den
0
Z
B(x;t)
0
C
jI f (y)jq dy A
@Cr M f (x) + C kf k
p;
C r
n
p
p
q
C
kf kLp (B(x;r)) dtA dxA
Z1
t t
n
p
r
1
M f (x) + C r
n
p
1q
1 1q
dt A
C
dxA
t
p
q
q
kf kp;
B(x;t)
= sup t
q
t>0
x2Rn
0
B
@
0
Z
B(x;t)
= sup t
q
t>0
x2Rn
0
B
@
Z
@C
M f (x)
kf kp;
! pq
p
B(x;t)
1
= C kf kp;
p
q
p
q
1
p
q
C kf kp;
p
sup t
q
t>0
x2Rn
1
= C kf kp;
1
M f (x) + C
1
C (M f (x)) q kf kp;
kM f kLq p (B(x;t))
p
q
q
1 1q
1q
1 1q
M f (x)
kf kp;
! pq
1 1q
C
dxA
1q
C
kf kp; A dxA
C
dxA
p
kM f kp;q
Teorem 4.2.2. den
p
q
kf kp;
= C kf kp;
elde edilir. Böylece ispat tamamlan¬r.
4.4 Lp; (Rn ) Morrey Uzaylar¬nda M Maksimal Operatörünün ve I Riesz
Potansiyelinin S¬n¬rl¬g
¼¬ I·çin Alternatif I·spatlar
Bu kesimde Lp; (Rn ) Morrey uzaylar¬nda M maksimal operatör ve I Riesz Potansiyeli için kesim 4.2. ve 4.3. de verilen s¬n¬rl¬l¬k teoremlerinin ispatlar¬na alternatif
43
1 1q
olarak Chiarenza ve Frasca (1987) taraf¬ndan verilen s¬n¬rl¬l¬k teoremlerini ispatlayaca¼
g¬z .
Teorem 4.4.1. 1 < p < 1 , 0 <
< n olsun. Bu durumda
kM f kp;
c kf kp;
(4.4.1)
gerçeklenir, burada c, f den ba¼
g¬ms¬z bir sabittir.
p = 1 olsun. Bu durumda
t jfM f > tg \ Br (x)j
cr kf k1;
(4.4.2)
gerçeklenir, burada c sabiti x, r, t ve f den ba¼
g¬ms¬zd¬r.
1
p
< n için M f , Rn de h.h.y. sonludur
1, f 2 Lp; , 0 <
(Chiarenza ve Frasca 1987).
I·spat: I·spat¬yapabilmek için öncelikle bir lemma verelim.
Lemma 4.4.1. f ve ; Rn üzerinde pozitif reel de¼
gerli fonksiyonlar olsun. r > 1
için,
Z
r
(f (x))
(x) dx
Br
Rn
Z
Rn
jf (x)jr
(x) dx
eşitsizli¼
gi gerçeklenir.
Uyar¬4.4.1. f = (f1 ; f2 ; :::) Rn üzerinde bir fonksiyon dizisi olsun. f ¬n k: terimi,
yani fk ; fk n¬n maksimal fonksiyonudur. fk maksimal fonksiyonu
1
fk (x) = sup
jQj
Z
jfk (y)j dy;
Q
ile verilir; burada supremum, merkezi x olan tüm küpler üzerinden al¬n¬r.
44
Lemma 4.4.1. deki eşitsizlik kullan¬larak,
yonlar¬için
Z
p
(M f )
dx
c
Z
Rn
Rn
0 olmak üzere herhangi f ve
fonksi-
jf jp (M ) dx
(4.4.3)
elde edilir (Fe¤ermann ve Stein 1971).
Bu durumda Br = B (x0 ; r) yuvar¬n¬n
karakteristik fonksiyonu ve f 2 Lp; alarak
(4:4:3) den aşa¼
g¬daki eşitsizlik elde edilir.
Z
(M f )p
Br dx
=
Rn
Z
(M f )p dx
c
RnB2r
fx : jx
:
jf jp (M ) dx +
>
:
B2r
Br
B2r
8
>
<Z
x0 j
x0 j
) (jx
r
x0 j
)
B2k+1 r nB2k r
r
r)n
rn
(jx
rn
x0 j
= sup
r>0
1
r)n
dir. Ayr¬ca
B(x;r)
jf jp (M ) dx
2rg
olur.
M
k=1
Z
x0 j < 2rg
= fx : jx
) jx
1
X
Z
1
jB(x;r)j
B( x0 ;r)
(y) dy
Br B(x0 ;r)
8
>
>
>
>
>
<
B( x0 ;r) =>
>
>
>
>
:
=
1
sup jB(x;r)j
r>0
1 ; x0 2 Br
0 ; x0 2
= Br
Z
dy = c
B(x;r)\B(x0 ;r)
dir. Dolay¬s¬yla
M
Z
Br
(M f )p dx
B(x;r)
c
8
>
<Z
>
:
B2r
(jx
rn
xo j
jf jp dx +
1 dir. Buradan,
r)n
1
X
k=1
Z
B2k+1 nB2k r
45
jf jp
(jx
rn
x0 j
r)n
dx
9
>
=
>
;
9
>
=
>
;
dir. Di¼
ger taraftan jx
x0 j
2k 1 r oldu¼
gundan
r
rn
x0 j
(jx
rn
r)n
1
(2k 1 r)n
dir. Son olarak
Z
(M f )p dx
c
8
>
<Z
>
:
jf jp dx +
B2r
Br
1
X
k=1
Z
rn
(2k 1 r)n
jf jp dx
B2k+1 r
elde edilir. Buradan norma geçilirse
r kM f kpp;
(
1
X
2k+1
p
c (2r) kf kp; +
kf kpp;
k 1 r)n
(2
k=1
(
)
1
k+1
X
2
= c kf kpp; (2r) +
(2k 1 r)n
k=1
9
>
=
>
;
)
olur. Parantezdeki toplam¬aç¬larak,
1
X
2k+1
= r
(2r) +
(2k 1 r)n
k=1
= r
2 +4
1
X
k=1
0
1
(2k 1 )n
2 +4
2n
2n
0<
!
k
(
2n
1
1
k!1
;
1
1
= r @2 + 4 lim
= r
!
1
X
2k 1 4
2 +
(2k 1 )n
k=1
1
2n
;
;
1
) A
;
0<
<n
0<
<n
0<
<n
<n
cr
elde edilir. Dolay¬s¬yla,
r kM f kpp;
c kf kpp; r
dir. Böylece
kM f kpp;
c kf kpp; ) kM f kp;
c kf kp;
bulunur.
p = 1 için ispat, zay¬f tahmine karş¬l¬k gelen (4:4:3) ile ayn¬d¬r. Gerçekten (4:4:3)
46
de p = 1 için
Z
(M f ) dx
c
Z
Rn
Rn
jf j (M ) dx
dir. Benzer şekilde
Z
(M f )
Br dx
=
Rn
Z
(M f ) dx
c
c
c
>
:
B2r
8
>
<Z
>
:
>
:
jf j (M ) dx +
B2r
Br
8
>
<Z
8
>
<Z
jf j dx +
jf j dx +
B2r
Z
1
X
k=1
jf j
B2k+1 nB2k r
1
X
k=1
rn
(2k 1 r)n
Z
B2k+1 r
elde edilir. Burdan norma geçersek,
r kM f k1;
(jx
Z
1
X
k=1
jf j (M ) dx
B2k+1 r nB2k r
rn
x0 j
jf j dx
r)n
dx
9
>
=
9
>
=
9
>
=
>
;
>
;
>
;
(
1
X
2k+1
c (2r) kf k1; +
kf k1;
(2k 1 r)n
k=1
(
)
1
X
2k+1
= c kf k1; (2r) +
(2k 1 r)n
k=1
)
c kf k1; r
elde edilir.
kM f k1;
c kf k1; ) kM f k1;
c kf k1; ) t jfM f > tg \ Br (x)j
olup buradan M f nin Rn de h.h.y. de sonlu oldu¼
gu görülür.
Teorem 4.4.2. 0 <
< n, 1 < p < nq , 0 <
kI f kq;
<n
c kf kp;
cr kf k1;
p alal¬m. Bu durumda
(4.4.4)
gerçeklenir, burada
1
1
=
q
p
n
dir.
47
(4.4.5)
p = 1 için
t jfjI f j > tg \ Br j
cr kf k1;
(4.4.6)
elde edilir.
(26) ve (28) de c sadece n, , p,
ya ba¼
gl¬d¬r (Adams 1975 ).
I·spat: I·spat¬ Hedberg (1972) de Riesz potansiyelleri için kullan¬lan yöntemden
hareketle yapaca¼
g¬z: p > 1, f 2 Lp; olsun. Bu durumda f 6= 0 için, I f kümesi
> 0 olmak üzere
I f (x) =
Z
f (y)
jx yjn
jx yj
dy +
şeklinde yaz¬labilir. k 2 Z ve ak (x) = y : 2
k 1
O zaman
I1 =
jx yj
f (y)
jx yjn
dy =
1
X
k=o
f (y)
jx yjn
jx yj>
I1 + I2
Z
Z
2
k 1
< jx
yj
Z
k
<jx yj 2
2
dy
k
f (y)
jx yjn
dir. Buradan
1
X
jI1 j
k=0
2
1
X
Z
jx
k 1
<jx yj 2
k
k
2
2
1
X
n
Z
jx yj 2
2
k
jf (y)j dy
k
k=0
=
n
yj
M f (x);
jf (y)j dy
k
0<
<n
k=0
= cn M f (x);
0<
<n
) jI1 j cn M f (x) eşitsizli¼
gi elde edilir (Hedberg 1972).
(n
p+
)
I·kinci integral için, =
; p > 1 ve p1 + p10 = 1 olsun.
2
I2 =
Z
jx yj>
f (y)
jx yjn
48
dy
olsun.
dy
olmak üzere Hölder eşitsizli¼
ginden
0
B
@
jI2 j
Z
p
1 p1 0
Z
jf (y)j
C B
dy A @
jx yj
p
jx
(p+
yj
I3 I4
0
n)p
jx yj>
jx yj>
1 10
C
dy A
elde edilir.
I3 için
I3
0
1
BX
= @
k=0
0
Z
2k <jx yj 2k+1
Z
BX
@
1
k=0
0
B
= @
k=0
1
(2k
)
jf (y)j
C
dy A
jx yj
1 p1
jx yj 2k+1
1
X
jf (y)jp C
dy A
j2k j
Z
jx yj 2k+1
0
1
k+1
1
BX 2
= @
(2k ) (2k+1 )
k=0
1
X
=
k=0
= c
elde edilir.
=
n
p
p+
2
2k+1
(2k )
kf kp;
1 p1
p
! p1
p
1 p1
C
jf (y)jp dy A
Z
jx yj 2k+1
0
B
@
1
(2k+1 )
1 p1
C
jf (y)jp dy A
Z
jx yj 2k+1
C
jf (y)jp dy A
için parantez içindeki toplam aç¬l¬rsa 0 <
üzere
49
1 p1
<n
p olmak
! p1
1
X
2k+1
(2k )
k=0
1
X
=
k=0
0
= @
(2k )
n
1
X
2k
k=0
p+
2
1 p1
2
2
(2k )
1
X
= 2p
! p1
2k+1
n
p
2
1
(2k )
k=0
A
n
! p1
p
2
= c<1
elde edilir.
0
B
Son olarak I4 ü hesaplan¬rsa, I4 = @
Z
p
0
n)p
(p+
jx
yj
jx yj>
eşitli¼
ginde kutupsal koordinatlara geçilerek
0
Z1
= @ r( p +
I4
0
n)p
elde edilir. Buradan
p
+
n+
=
r
0
=
1
c
n
p+
2
n 1
p+ p
=
+
n+
C
dy A
1 10
p
r
lim
0
0
b!1 p + p
p
p
p
1 10
0
drA
0
np +n
! 10
p
b
np0 + n
j
n
0
p
için
n
n
n (p 1)
=
+
+
n+
0
p
2p 2 2p
p
+ p n
=
,
0< <n
p)
2p
+ p
oldu¼
gundan
) I4 =
1
c
+ p n
2p
elde edilir. Dolay¬s¬yla
jI2 j
I3 I4
c00
+ p n
p
kf kp; = c00
50
(
n)
p
kf kp;
n<0
elde edilir. Buradan hareketle
+ p n
p
c0 M f + c00
jI f j
(
kf kp; = c0 M f + c00
n)
kf kp;
p
elde edilir.
p
=
Mf
kf kp;
(
n)
jI f j
için
c0
!(
Mf
kf kp;
(
= c
0 (M f )
(
+c
p
n)
kf kp;(
= c (M f )
M f + c00
n+ p)
n)
(
= c000 (M f )
p
n)
(
(
p)
)
kf kp;(
p
n)
1+
p
kf kp;(n
Mf
kf kp;
n+ p)
n)
kf kp; kf kp;(
n+ p)
(
n)
(n
(n
(M f )
00
!
Mf
kf kp;
!(
p
n)
p
n)
1
kf kp;
!
)
elde edilir. Sonuç olarak
kI f kq;
0
B1
= sup @
r
r>0
n
x2R
= sup r
q
r>0
x2Rn
sup r
1 1q
Z
B(x;r)
0
B
@
Z
C
jI f jq dy A
1 1q
B(x;r)
q
r>0
x2Rn
0
B
@
Z
(M f )1
r>0
x2Rn
1
p
p
(n
q
p
)
kf kp;(n
)
B(x;r)
p
= sup r
C
jI f jq dy A
q
kf kp;n
0
B
@
Z
(M f )q
B(x;r)
pq
n
1 1q
C
dxA
C
dxA
1
q p
(n
= )
=
) pq =
q
n
pq
n
0
1 1q
Z
p
B
C
= sup r q kf kp;(n ) @
(M f )q (q p) dxA
r>0
x2Rn
B(x;r)
51
1 1q
) (q
p)
0
p
= sup r
kf kp;n
q
r>0
x2Rn
0
@
B
@
1 1q
Z
B(x;r)
1
p
1
q
=
1
q
)
n
)
q
=
=
n
p
= sup r
p
r (n
)
r>0
x2Rn
kf kp;(n
)
kf kp;(n
)
)
n
Z
B
@
0
B
kM f kp; @
kM f kp; sup r (n
r>0
x2Rn
(n
p=
1
= kf k
)
(n
)
;
)
1
kM f k
(n
0
C
(M f )p dxA
Z
B
@
B(x;r)
seçilirse r
)
p
(n
)
n
1
n
C
(M f )p dxA
elde edilir. Buradan
= rn
kM f k
;
1 p1
C
(M f )p dxA
Z
p
)
A
p
0
B(x;r)
kf kp;(n
1
1
p
B(x;r)
p
= r (n
C
(M f )p dxA
(n
)
,
;
(4:4:1) den
= c kf kp;
elde edilir ki bu da ispat¬tamamlar.
Teorem 4.4.3. (Spanne) 0 <
1
q
=
1
p
n
ve
p
=
q
< n, 0 <
<n
p, 1 < p <
n
olsun.
=
n
(n
)
diyelim. Bu durumda
kI f kq;
c kf kp;
eşitsizli¼
gi gerçeklenir.
I·spat: E¼
ger p1 =
(n
(n
)p
)
seçilerek Teorem 4.4.2. uygulan¬rsa sadece Lp;
oldu¼
gunu göstermek yeterli olacakt¬r. Di¼
ger yandan e¼
ger
p
ise Lp;
p1 ;
(
n)
p
=
(
n)
1
p1
Lp1 ; gerçeklenir (Peetre 1969). Dolay¬s¬yla
Lp;
Lp1 ; , kf kp1 ;
52
kf kp;
Lp1 ;
,
dir. Buradan
kI f kq;
c kf kp1 ;
elde edilir. Böylece ispat tamamlan¬r.
53
c kf kp;
KAYNAKLAR
Adams, D.R. 1975. A note on Riesz potentials, Duke Math. J. 42, 765-778.
Bennett, C., Devore, R.A. and Sharpley, R. 1981. Weak-L1 and BM O, Annals of
Math. 113, 601-611.
Chiarenza, F. and Frasca, M. 1987. Morrey spaces and Hardy-Littlewood
maximal function, Rend. Math., 7, 273-279.
Coifman, R.C. and Fe¤ermann, C. 1974. Weighted norm inequalities for maximal
functions and singular integrals, Studia Mathematica, 51, 241-250.
Coifman, R. and Rochberg, R. 1980. Another characterization of BMO, Proc. Amer.
Math. Soc. 79, 249-254.
Fazio, G.D. and Ragusa, M.A. 1993. Interior estimates in Morrey spaces for strong
solutions to nondivergence form equations with discontinuous coe¢ cients,
J. Funct. Anal. 112, 241-256.
Fe¤ermann, C. and Stein, E.M. 1971. Some maximal inequalities, Amer . J. Math.
93, 107-115.
Garcia- Cuerva, J. and Rubio de Francia, J. L. 1985. Weighted norm inequalities
and related topics, North-Holland Mathem. Studies 116 Amsterdam.
Guliyev, V.S. 2009. Boundedness of the maximal, potential and singular
operators in generalized Morrey spaces.J. Inequal. Appl., Art. ID 503948,
20 pp.
Hedberg, L.I. 1972. On certain convolution inequalies, Proc. Amer. Math. Soc. 36,
505-510.
Mizuhara, T. 1991. Boundedness of some classical operators on generalized
Morrey spaces,} Harmonic Analysis (S. Igari, Editor), ICM 90 Satellite
Proceedings, Springer - Verlag, Tokyo, 183-189.
Morrey, C.B. 1938. On the solutions of quasi-linear elliptic partial di¤erential
equations, Trans. Amer. Math. Soc., 43, 126-166.
Muckenhoupt, Benjamin 1972. "Weighted norm inequalities for the Hardy
maximal function". Transactions of the American Mathematical Society,
54
vol. 165: 207–26.
Neri, U. 1971. Singular Integrals, Springer Verlag, New York.
Peetre, J. 1969. On the theory of Lp; spaces, Jour. Funct. Anal. 4, 71-87.
Peetre, J. 1966. On convolution operators leaving Lp; spaces invariant, Ann. Mat.
Pura e Appl. (IV) 72, 295-304.
Sadosky, C. 1979. Interpolation of operators and singular integrals. Marcel Dekker
Inc., 375 p., New York.
Stein, E.M. and Weiss, G. 1971. Introduction to Fourier Analysis on
Euclidean Spaces, Princeton Univ. Press.
Stein, E.M. 1970. Singular Integrals and Di¤erentiability Properties of Functions,
Princeton University press Princeton, New Jersey.
Stein, E.M. 1993. Harmonic Analysis. Princeton University Press.
Torchinsky, A. 1986. Real-Variable Methods in Harmonic Analysis, Academic Press,
Orlando.
55
ÖZGEÇMI·Ş
Ad¬Soyad¬:
Ferit GÜRBÜZ
Do¼
gum Yeri: Ayval¬k
Do¼
gum Tarihi: 02.04.1984
Medeni Hali: Bekar
Yabanc¬Dili: I·ngilizce
E¼
gitim Durumu (Kurum ve Y¬l)
Lise
: Ankara Başkent Anadolu Lisesi (2002)
Lisans
: Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi
Matematik Bölümü (2008)
Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal¬(Şubat 2008-Ocak2011)