Bölüm_04_S Ü REKL İ L İ K.qxp

BÖLÜM 4
FONKSÝYONLARIN SÜREKLÝLÝÐÝ
~ Bir Noktada Süreklilik
~ Taným Kümesinde Süreklilik
~ Saðdan ve Soldan Süreklilik
~ Süreksizlik Çeþitleri
~ Alýþtýrmalar
~ Test 1 - 2
~ ÖSYM Sorularý
Çocuk Zekasý
Dev bir kamyon bir üst geçidin altýndan geçerken yüksekliði fazla geldiði için
sýkýþmýþtý; bir türlü oradan çýkaramýyorlardý. Polis sorunu çözmek için hemen
kentin en parlak mühendislerini getirtti. Mühendisler yanlarýnda getirdikleri bilgisayarlarla hesaplar yaptýlar, saatlerce aralarýnda tartýþýp uðraþtýlar; ne var ki, bir
türlü üst geçide zarar vermeden kamyonu oradan nasýl çýkaracaklarýna karar
veremediler.
Uzun süredir onlarý izlemekte olan yedi yaþlarýnda küçük bir çocuk yanlarýna
gelip, pantolonunu çekiþtirdi ve saygýlý bir ses tonuyla “Bayým” dedi. “Lastiklerin
havasýný biraz indirseniz...” Böylece, bacak kadar çocuðun aklýyla koca problem
çözülmüþ oldu!
Uçak Yolculuðu
Ýki matematikçi bir uçak seyahatine baþlarlar. Havalandýktan bir saat sonra bir
anons duyulur:
- Sayýn yolcularýmýz, uçaðýmýzýn dört motorundan biri arýzalanmýþtýr. Endiþe
etmeyiniz. Üç motorla uçuþu tamamlayabiliriz. Fakat beþ saat sürecek yolculuðumuz yedi saate uzamýþtýr.
Yola devam ederler. Kýsa bir süre sonra yeni bir anons duyulur:
- Sayýn yolcularýmýz, saðlam olan üç motordan biri arýzalanmýþtýr. Endiþe
etmeyiniz. Ýki motorla uçuþu tamamlayabiliriz. Fakat yolculuðumuz on saate uzamýþtýr.
Derken az bir vakit sonra üçüncü anons:
- Sayýn yolcularýmýz, motorlardan biri daha arýzalanmýþtýr. Fakat paniðe kapýlmayýnýz. Tek motorla da uçuþu tamamlayabiliriz. Ancak yolculuðumuz on sekiz
saate uzamýþtýr.
Bu anons üzerine matematikçilerden biri þöyle der:
- Umarým bu son motor da arýzalanmaz. Yoksa sonsuza kadar burada kalacaðýz.
Süreklilik
iii)
SÜREKLÝLÝK
d)
A)
i)
ii)
iii)
f(0) ≠ 1/3 olduðundan fonksiyon x = 0
noktasýnda sürekli deðildir.
x = 1 noktasýnda :
BÝR NOKTADA SÜREKLÝLÝK
i) f(1) = 1 fonksiyon bu noktada tanýmlý
Taným :
ii)
f(x) fonksiyonu x = a noktasýnda aþaðýdaki
üç þartý saðlýyorsa süreklidir denir.
iii)
lim f(x) = lim f(x) = 1 limiti var .
x →1+
f(1) = 1 = lim f(x)
x →1
f(x) fonksiyonu x = a noktasýnda tanýmlý
olmalý
Sonuç 1
x →a−
f(x) = a n x n + a n−1 x n−1 + ...... + a 1 x + a o
þeklindeki polinom fonksiyonlarý ∀ a ∈ R
için süreklidir.
lim f(x) = f(a) = L olmalýdýr.
x →a
Çünkü ∀ a ∈ R için lim f(x) = f(a) dýr.
(veya kýsaca lim f(x) = f(a) olmalýdýr.)
x →a
x →a
Sonuç 2
Süreklilik için aþaðýdaki örneði inceleyelim.
Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarý her noktada
süreklidir. Yalnýz,
~ tanx =
Örnek 1
y
1
3
_1
~ cotanx =
1
2
x
Çözüm
tanýmlý
f ve g fonksiyonlarý x = a noktasýnda sürekli iki fonksiyon olsun. Buna göre;
x = − 1 noktasýnda :
i) f(−1) = 0 fonksiyon bu noktada tanýmlý
ii)
lim f(x) = 0 , lim f(x) = 1
x →−1−
x →−1+
x = −1 de f(x) in limiti olmadýðýndan
fonksiyon bu noktada sürekli deðildir.
c)
1)
α ∈ R olmak üzere, α.f fonksiyonu da
x = a noktasýnda süreklidir.
2)
f + g , f − g , f.g fonksiyonlarý da x = a
noktasýnda süreklidir.
3)
g(a) ≠ 0 olmak üzere,
f 1
,
, −g
g g
x = 0 noktasýnda :
i) f(0) = 1 fonksiyon bu noktada tanýmlý
ii)
lim f(x) = lim f(x) =
x →0−
x →0 +
olduðundan cotanjant
BÝR NOKTADA SÜREKLÝ FONKSÝYONUN
ÖZELLÝKLERÝ
x = − 2 noktasýnda :
x = 2 noktasýnda fonksiyon
olmadýðý için sürekli deðildir.
b)
cos x
sin x
fonksiyonu sinx = 0 yapan deðerlerde
tanýmsýz olduðundan süreksiz, bunun
dýþýndaki bütün noktalarda süreklidir.
Yukarýdaki grafiði verilen f(x) fonksiyonunun x = − 2, x = − 1, x = 0, x = 1
noktalarýnda sürekliliðini inceleyiniz.
a)
sin x
olduðundan tanjant fonksicos x
yonu cosx = 0 yapan deðerlerde tanýmsýz olduðundan süreksiz, bunun dýþýndaki bütün noktalarda süreklidir.
1
_2
olduðundan fonksiyon
x = 1 noktasýnda süreklidir.
lim f(x) = lim f(x) = L limiti olmalý
x → a+
x →1−
fonksiyonlarý da
x=a
nokta-
sýnda süreklidir.
4)
1
limiti var.
3
133
fog , | f | , n f , f n fonksiyonlarý da x = a
noktasýnda süreklidir.
Süreklilik
Örnek 2
f : R → R,
Örnek 4
⎧⎪ x − 1 , x > 1
f(x) = ⎨
⎪⎩ x + 1 , x ≤ 1
fonksiyonu x = 1 noktasýnda sürekli
midir?
fonksiyonu her yerde sürekli ise, a nýn
deðeri kaçtýr?
Çözüm
Çözüm
f(x) fonksiyonu x = 1 kritik noktasýnýn dýþýnda her yerde süreklidir. O halde biz x = 1
noktasýnda inceleme yapalým.
i)
f(x) fonksiyonu sürekliliðin üç þartýný da
saðlamalýdýr.
i)
iii)
f(x) fonksiyonu x = 2 de tanýmlýdýr.
f(1) = 2
ii)
ii)
⎧2x 2 + 3 , x < 2
⎪
f(x) = ⎨
⎪⎩ax + 5 , x ≥ 2
f : R → R,
lim (x − 1) = 1 − 1 = 0
x →1+
y
lim f(x) ≠ lim f(x)
x →1+
lim f(ax + 5) = lim f(2x 2 + 3)
1
_1
_1
x →1−
1
x →2 −
x → 2+
y=x−1
2
lim (x + 1) = 1 + 1 = 2
x →1−
y=x+1
lim f(x) = lim f(x)
x → 2+
x →2 −
2a + 5 = 2.2 2 + 3
x
2a + 5 = 11
2a = 6 ⇒ a = 3 bulunur.
olduðundan x = 1 de limiti yoktur dolayýsýyla süreksizdir.
Örnek 3
Örnek 5
f : R → R fonksiyonu,
f : R → R fonksiyonu,
⎧ 2x − 5 ,
⎪
f(x) = ⎨
5,
⎪ 2
⎩ x − 20,
x>5
x = 5 için
⎧ x +1, x < 0
⎪⎪
f(x) = ⎨
a, x = 0
⎪ 3
⎪⎩ x + 1, x > 0
x <5
f(x) fonksiyonu x = 5 noktasýnda sürekli
midir?
þeklinde tanýmlanan f(x) fonksiyonu x = 0
noktasýnda sürekli olmasý için a kaç
olmalýdýr?
Çözüm
i)
ii)
Çözüm
x = 5 için f(x) tanýmlýdýr.
i)
lim f(x) = lim (2x − 5) = 5
x →5+
x →5+
ii)
2
lim f(x) = lim (x − 20) = 5
x →5−
iii)
x →5−
lim f(x) = f(5) = 5
lim f(x) = lim (x 3 + 1) = 1
x →0+
x →0 +
lim f(x) = lim (x + 1) = 1
f(5) = 5 dir. O halde,
x →5
f(x) , x = 0 noktasýnda tanýmlýdýr.
x →0−
olduðundan f(x) fonksiyonu
iii)
x = 5 noktasýnda süreklidir.
x →0 −
f(0) = a = lim f(x) = 1
x →0
eþitliðinde a = 1 olmalýdýr.
134
Süreklilik
Örnek 6
iii)
f : R → R ,
⎧ ax + 2
, x<2
⎪
f(x) = ⎨ x
⎪ ax − 1 , x ≥ 2
⎩
x = 2 için, f(2) = a.2 + b = 12 − 7 = 5 = L
olduðundan a + b = 6 − 7 = −1 dir.
f(x) fonksiyonunun x = 2 noktasýnda
sürekli olmasý için a ne olmalýdýr?
Örnek 8
Çözüm
⎧ x
⎪ 3 −1 , x ≥ 1
⎪
f(x) = ⎨
⎪ 2 , x <1
⎪⎩ x 2 − 9
f(x) fonksiyonu sürekliliðin üç þartýný da
saðlamalýdýr.
i)
ii)
f(x) , x = 2 de noktasýnda tanýmlýdýr.
f(x) fonksiyonu hangi noktada süreksizdir?
lim f (x) = lim f (x)
x → 2+
x →2 −
Çözüm
⎛ ax + 2 ⎞
lim (ax − 1) = lim ⎜
+
−
x ⎟⎠
x →2
x →2 ⎝
a.2 − 1 =
Bir fonksiyonun tanýmsýz olduðu noktalarda süreksiz olduðunu biliyoruz. O halde,
x 2 − 9 =0 ⇒ x = 3 , x = −3 noktalarýnda
fonksiyon tanýmsýz olup x < 1 olduðundan
x = −3 noktasýnda f(x) fonksiyonu tanýmsýz,
dolayýsýyla bu noktada süreksizdir.
a.2 + 2
2
2a − 1 = a + 1 ⇒ a = 2 bulunur.
Ayrýca x = 1 kritik noktasýnda saðdan ve soldan limitleri farklý olduðundan süreksizdir.
Örnek 7
⎧ax 2 − 4, x < −1
⎪⎪
f : R → R, f(x) = ⎨ x + 3, − 1 ≤ x < 2
⎪
⎪⎩ ax + b, x ≥ 2
Örnek 9
⎧2 sinax + 3 , x > 1
⎪
f(x) = ⎨ 2bx + 5 , x = 1
⎪
2x − 1 , x < 1
⎩
fonksiyonu her yerde sürekli ise, a+b
nin deðeri kaçtýr?
Çözüm
f(x) fonksiyonu ∀x ∈ R için sürekli ise
f(x) fonksiyonu kritik noktalarda da sürekli
olmalýdýr. Buna göre,
i)
ii)
x = −1 için, f(−1) = −1 + 3 = 2 = L
a + b toplamý kaçtýr? (0 < a < 2π)
x = −1 de ve x = 2 de tanýmlý,
Çözüm
lim f(x) = lim f(x) olmalý
i)
x →−1−
x →−1+
f(1) = 2b . 1 + 5 = 2b + 5 dir.
2
lim (ax − 4) = lim (x + 3)
x → −1−
ii)
x → −1+
a( −1) − 4 = −1 + 3
x →1+
lim f(x) = lim (2x − 1) = 2.1 − 1 = 1
x →1−
a−4 = 2 ⇒ a = 6
x →1−
Bu limitler eþit olmalýdýr.
lim f(x) = lim f(x) olmalý,
x →2 −
2.sina + 3 = 1
2.sina = −2 ⇒ sina = −1 ise a = 3π/2
lim (ax + b) = lim x + 3
x → 2+
lim f(x) = lim (2.sinax + 3) = 2.sina + 3
x →1+
2
x → 2+
x = 1 için f(x) tanýmlýdýr.
x → 2−
iii) f(1) = 2b + 5 = 1 olmalýdýr.
2a + b = 2 + 3
2b = −4 ⇒ b = −2 bulunur.
2.6 + b = 2 + 3
O halde a + b =
12 + b = 5 ⇒ b = −7
135
3π
3π − 4
−2 =
dir.
2
2
Süreklilik
Örnek 10
x . (x − 6) = 0 ⇒ x = 0 ve x = 6
⎧m + sgn(2 − x) , x > 2
⎪⎪
f(x) = ⎨
3 , x =2
⎪
c
f
e −2x h − n , x < 2
⎪⎩
x ≤ 2 olduðundan x = 0 apsisli noktada
fonksiyon tanýmsýzdýr, dolayýsýyla bu noktada süreksizdir. (Çk = {0})
f(x) fonksiyonu x = 2 noktasýnda sürekli ise
m + n toplamý kaçtýr?
Çözüm
f(x) fonksiyonu x = 2 de sürekli ise süreklilik aksiyomlarýnýn üçünü de saðlamasý
gerekir.
i)
ii)
~
x = 2 kritik noktasýnda sürekliliðini inceleyelim.
i)
x = 2 de f(x) tanýmlýdýr.
ii)
⎛ 2x − 3 ⎞
2.2 − 3
1
1
lim ⎜
=
=
⎟=
−
x
.(x
6)
2.(2
6)
2.(
4)
8
−
−
−
−
x →2 ⎝
⎠
f(x) fonksiyonu x = 2 de tanýmlýdýr.
lim f(x) = lim ⎡⎣m + sgn(2 − x) ⎦⎤
+
x → 2+
lim f(x) ≠ lim f(x)
x →2
x → 2+
= lim (m − 1) = m − 1
lim f(x) = lim ce −2x fh − n = lim ( −4 − n)
−
−
x →2
x →2 −
olduðundan x = 2 de f(x) in limiti yoktur,
dolayýsýyla bu noktada süreksizdir.
x →2 +
x → 2−
4
⎛ 2x ⎞ 2.2
= =1
lim ⎜
⎟=
⎝ x+2⎠ 2+2 4
x → 2+
O halde f(x) in süreksiz olduðu noktalarýn
apsisler toplamý 0 + 2 = 2 dir.
x →2
= −4 − n
sað ve sol limitler eþit olmalý.
B)
m − 1 = −4 − n buradan
m + n = −3 bulunur.
TANIM KÜMESÝNDE SÜREKLÝLÝK
Taným :
A ⊂ R ve f : A → R
∀ x ∈ A için f(x) fonksiyonu sürekli ise,
f(x) fonksiyonu taným kümesinde süreklidir
denir.
Örnek 11
⎧
⎪
⎪
f(x) = ⎨
⎪
⎪
⎩
2x
x+2
, x > 2 ise
Örnek 12
2x − 3
, x ≤ 2 ise
x.(x − 6)
f(x) =
f(x) fonksiyonunun süreksiz olduðu noktalarýn apsisler toplamý kaçtýr?
sürekli
A = R − {3} tür.
∀ c ∈ A için,
2x
f(x) =
⇒ x+2= 0
x+2
lim
x →c
2
2
2
olduðundan
ve f(c) =
=
x−3 c−3
c−3
lim f(x) = f(c) dir.
x > 2 olduðundan −2 deðeri fonksiyonda
yerine konulamaz. (Çk = ∅)
x ≤ 2 ise
kümesinde
f(x) fonksiyonunun taným kümesi,
x = −2 bulunur.
~
taným
Çözüm
f(x) fonksiyonu tanýmsýz olduðu noktalarda
süreksizdir. Buna göre, kesirli fonksiyonlar
paydayý sýfýr yapan x deðerlerinde tanýmsýzdýr.
x > 2 ise
2
x −3
fonksiyonu
midir?
Çözüm
~
fonksiyonu verilsin.
x →c
O halde f(x) fonksiyonu taným kümesi
üzerindeki her noktada süreklidir.
2x − 3
f(x) =
buradan
x.(x − 6)
136
Süreklilik
Örnek 13
Çözüm
lim f(x) = 3 ve f(2) = 3 ise,
x → 2+
f(x) = 9 − x 2 + Sgn(x 2 − 4x − 5)
lim f(x) = f(2) olduðundan f(x) fonksiyonu
fonksiyonunun en geniþ taným aralýðýný
ve bu aralýkta sürekliliðini inceleyiniz.
x → 2+
x = 2 noktasýnda saðdan süreklidir.
Çözüm
lim f(x) = 1 ve 1 ≠ f(2) olduðundan f(x) fonk-
f(x) in taným aralýðý 9 − x 2 ≥ 0 olmalý
x → 2−
x 2 ≤ 9 ise, |x| ≤ 3 ⇒ −3 ≤ x ≤ 3 tür.
siyonu x = 2 noktasýnda soldan süreksiz.
en geniþ taným aralýðý A = { −3 ≤ x ≤ 3 }
dir.
O halde bu fonksiyon x = 2 de süreksizdir.
Ayrýca y = Sgn(x 2 − 4x − 5) ifadesinde,
x
−∞
5
−1
+
−
+∞
+
Örnek 15
y
olduðundan x = −1 ve x = 5 noktasýnda
süreksizdir.
2
Burada, −1 ∈ A ve 5 ∉ A dir.
1
O halde f(x) fonksiyonu x = −1 noktasýnda süreksiz bunun dýþýnda taným kümesinin diðer yerlerinde süreklidir.
C)
x
_1
x
Yukarýdaki fonksiyon incelendiðinde x = −1
noktasýnda soldan süreklidir. Saðdan süreksizdir.
SAÐDAN VE SOLDAN SÜREKLÝLÝK
A ⊂ R ve f : A → R ye tanýmlý fonksiyon
olsun.
~
lim f(x) = f(a) ise,
x → a+
Örnek 16
⎧ 3x − 1 , x > 1
⎪⎪
f : R → R, f(x) = ⎨
2 , x =1
⎪
x
3
, x <1
+
⎪⎩
fonksiyon x = a noktasýnda saðdan süreklidir.
~
lim f(x) = f(a) ise,
x → a−
fonksiyonunun saðdan veya soldan
sürekli olup olmadýklarýný bulunuz.
fonksiyon x = a noktasýnda soldan süreklidir.
Çözüm
Bir f(x) fonksiyonunun x = a noktasýnda
sürekli olabilmesi için saðdan ve soldan
sürekli olmasý gerekir.
lim f(x) = lim (3 x − 1) = 3 1 − 1 = 2
x →1+
lim f(x) = lim (x + 3) = 1 + 3 = 4
x →1−
Örnek 14
Yanda f(x) fonksiyonun
grafiði verilmiþtir.
Buna göre, x = 2 de
sürekliliðini inceleyiniz.
f(x)
y
x →1+
x →1−
f(1) = 2 olduðundan
3
lim f(x) = f(1) dir.
x →1+
1
2
x
Buna göre f(x) fonksiyonu x = 1 noktasýnda
süreksiz ama sadece saðdan süreklidir.
137
Süreklilik
Örnek 18
SÜREKSÝZLÝK ÇEÞÝTLERÝ
f : R → R,
1)
Kaldýrýlabilir Süreksizlik
⎧ x −1 , x < 1
⎪
f(x) = ⎨
1, x =1
⎪
2 , x >1
⎩
fonksiyonunun x = 1 noktasýnda süreksizlik türünü belirleyiniz.
A ⊂ R ve f : A → R fonksiyonu verilsin.
f(x) fonksiyonu x = a noktasýnda tanýmlý ve
limiti de var fakat bu noktadaki limit deðeri
fonksiyon deðerine eþit deðilse kaldýrýlabilir süreksizliði vardýr denir.
Bu süreksizlik,
Çözüm
i)
ii)
x = 1 de f(1) = 1 dir.
lim f(x) = lim 2 = 2
x →1+
x →1+
lim f(x) = lim (x − 1) = 1 − 1 = 0
x →1−
f(a) = lim f(x) eþitliði oluþturularak bu sürekx →a
x →1−
lim f(x) ≠ lim f(x)
x →1+
sizlik kaldýrýlabilir.
x →1−
olduðundan fonksiyon bu noktada süreksizdir.
Örnek 17
y
⎧ x +2 , x >1
⎪
f(x) = ⎨
2 , x =1
⎪
⎩ 4x − 1 , x < 1
f : R → R,
2
1
fonksiyonu x = 1 noktasýnda süreklilik
durumunu inceleyiniz.
_1
Çözüm
i)
ii)
lim f(x) = lim (x + 2) = 1 + 2 = 3
x →1+
f(x) in grafiðinden de görüldüðü gibi bu
süreksizlik türüne sýçrama süreksizliði
denir.
x →1+
lim f(x) = lim (4x − 1) = 4.1 − 1 = 3
x →1−
lim f(x) ≠ f(1)
x →1
3)
olduðundan sürekli deðildir.
Eðer f(x) fonksiyonu x = 1 noktasýnda
f(1) = 3 þeklinde tanýmlanýrsa süreksizlik
kaldýrýlmýþ olur. Bundan dolayý bu süreksizlik çeþidine kaldýrýlabilir süreksizlik denir.
2)
x
f(x) x = 1 de tanýmlý, f(1) = 2
x →1−
iii)
1
Sonsuz Süreksizliði
A ⊂ R ve f : A → R ye tanýmlý bir fonksiyon olsun.
x → a için fonksiyonun saðdan ya da soldan limitlerinin en az biri +∞ veya −∞ oluyorsa f fonksiyonunun x = a noktasýnda
sonsuz süreksizliði vardýr denir.
Sýçrama Süreksizliði
A ⊂ R ve f : A → R ye tanýmlý bir fonksiyon olsun.
f(x) fonksiyonu x = a noktasýnda tanýmlý
fakat saðdan ve soldan limitleri farklý ise
x = a noktasýnda sýçrama süreksizliði
vardýr denir.
Örnek 19
f :R → R , f(x) =
1
x −2
fonksiyonu x = 2 noktasýndaki süreksizlik türünü inceleyiniz.
138
Süreklilik
Çözüm
y
d)
_
2
2
2+
lim f(x) = 5 olup f(2) ≠ 5
x
x →2
olduðundan x = 2 de kaldýrýlabilir süreksizlik vardýr.
f(2) = 5 þeklinde tanýmlanýrsa fonksiyon
sürekli olur, süreksizlik ortadan kalkmýþ
olur.
Yukarýdaki grafiði inceleyiniz.
lim f(x) = lim
x → 2+
x →2 +
⎧x2 + 1 , x > 2
⎪⎪
f(x) = ⎨
3, x=2
fonksiyonunda,
⎪
⎪⎩3x − 1 , x < 2
1
1
= = +∞
x −2 0
Örnek 21
1
1
= = −∞
lim f(x) = lim
−
−
−
x
2
0
x →2
x →2
c x − 1f
g + Sgn(x − 5) + 4
f(x) = dd
g
x −2
ed 3 hg
olduðundan f(x) fonksiyonunun x = 2 noktasýnda sonsuz süreksizliði vardýr.
− 1, 6] aralýðýnda kaç tam
fonksiyonu [−
sayý deðeri için süreksizdir?
Çözüm
Örnek 20
Aþaðýdaki fonksiyonlarýn
çeþitleri incelenmiþtir.
a)
f(x) =
~
süreksizlik
x −1
=0
3
x −1
=1
3
x −1
=2
3
2x − 3
2
x +2
fonksiyonu ∀ a ∈ R için paydasý sýfýrdan
farklýdýr. O halde ∀ a ∈ R için tanýmlý ve
süreklidir.
b)
~
lim ⎣⎡x + Sgn(x − 2) ⎦⎤ = 2 + 1 = 3
~
lim ⎣⎡x + Sgn(x − 2) ⎦⎤ = 2 − 1 = 1
f(x) in x = 2 noktasýndaki saðdan ve soldan limitleri farklý olduðundan sýçrama
süreksizliði vardýr.
x+3
x −1
x =1
ise
x=4
ise
x = 7 ∉ [ −1, 6]
Ýþaret fonksiyonunun içini sýfýr yapan noktada süreksizdir.
Kesirli fonksiyon paydayý sýfýr yapan noktada süreksizdir.
x − 2 = 0 ise x = 2
x → 2−
f(x) =
ise
x − 5 = 0 ise x = 5
f(x) = x + Sgn(x − 2) fonksiyonunda,
x → 2+
c)
Tamdeðer fonksiyonunun içini tam sayý
yapan deðerlerde süreksizdir.
O halde f(x)’in [−1, 6] aralýðýnda süreksiz
olduðu noktalarýn kümesi {1, 4, 5, 2} dir.
fonksiyonunda,
f(x) fonksiyonu x = 1 noktasýnda sað ve
sol limitleri +∞ veya −∞ olduðundan sonsuz sürekliliði vardýr.
139
ALIÞTIRMALAR
1.
f(x) =
Süreklilik
7.
x2 − 1
2
x −x −2
fonksiyonunun süreksiz olduðu noktalarý
bulunuz.
Cevap: {−1, 2}
2.
f(x) fonksiyonu x = 0 noktasýnda sürekli ise,
a nýn deðeri kaçtýr?
Cevap : 2
⎧ 1
, x > −2
⎪ 2
⎪x − 4
f(x) = ⎨
⎪ 1
, x ≤ −2
⎪⎩ x 2 − 9
8.
fonksiyonunun süreksiz olduðu noktalarý
bulunuz.
Cevap: {2, −3}
3.
f(x) =
⎧ 1 + cos x , x > 0
⎪
f : R → R, f(x) = ⎨
2 , x =0
⎪
⎩ a + sin x , x < 0
f : ( −∞, 0 ⎤⎦ → R ve f(x) =
x −3
x 2 − x − 12
fonksiyonunun süreksiz olduðu noktalarý
bulunuz.
Cevap : {−3}
2x 2 + 5x − 1
3x − c
9.
fonksiyonu x = 2 noktasýnda süreksiz ise, c nin
deðeri kaçtýr?
Cevap: 6
⎧ 5x − 1
, x>2
⎪
f(x) = ⎨ x + 1
⎪ ax − 1 , x ≤ 2
⎩
fonksiyonu her yerde sürekli ise a kaçtýr?
Cevap : 2
4.
f(x) = x 2 − 2x + m
fonksiyonu her yerde sürekli olmasý için m
kaç olmalýdýr?
Cevap : 1 ≤ m
5.
f(x) =
1
tan x − 3
10.
, 0 ≤ x ≤ 90
⎧ sin3x
⎪ 2x , x < 0
⎪
⎪
f : R → R, f(x) = ⎨
m , x =0
⎪
⎪ x −n , x > 0
⎪
⎩ x+2
fonksiyonu tüm reel sayýlar için sürekli ise,
m + n toplamý kaçtýr?
ise f(x) in süreksiz olduðu noktalarý bulunuz.
Cevap : −
⎧π π⎫
Cevap : ⎨ , ⎬
⎩3 2⎭
6.
f(x) =
x −3 +2
x2 − 4
+
11.
1
x +1
3
2
⎧ x+4 , x <2
⎪⎪
f(x) = ⎨ x 2 + k , 2 ≤ x ≤ 4
⎪
⎪⎩ 5x − 2 , x > 4
f(x) fonksiyonu her yerde sürekli ise k kaçtýr?
ise f(x) fonksiyonu hangi noktalarda süreksizdir?
Cevap : {−2, 2, −1}
Cevap : 2
140
Süreklilik
ALIÞTIRMALAR
12.
16.
⎧ ax + b ,
x <1
⎪⎪
f(x) = ⎨
3,
x =1
⎪c
⎪⎩ e x + 1fh + b , x > 1
f(x) fonksiyonu x = 1 de sürekli ise, a + b nin
deðeri kaçtýr?
Cevap : 3
x
⎧
, x<0
⎪ 2
⎪ x − 2x − 3
⎪
ce2x fh , 0 < x < 2
f(x) = ⎨
⎪
4
⎪
, x>2
⎪
x −1
⎩
fonksiyonu hangi noktalarda süreksizdir?
1
3⎫
⎧
Cevap : ⎨ −1 , , 1 , ⎬
2
2⎭
⎩
13.
⎧ cd
3f
x − gg
,
⎪
⎪ ded
2 hg
f(x) = ⎨
⎪
6 − m − x2 ,
⎪
⎩
x<2
17.
x≥2
f(x) fonksiyonu x = 2 noktasýnda sürekli ise, m
nin alacaðý deðerleri bulunuz.
⎧ a+x
⎪ sgn( −3x) , x < 0
⎪
⎪
f(x) = ⎨
3, x=0
⎪
c
⎪ b + e x fh
⎪⎩ 3x − 2 , x > 0
fonksiyonu x = 0 da sürekli ise,
a + b nin deðeri kaçtýr?
Cevap : {−2, 10}
Cevap : −3
18.
14.
y
fonksiyonu x = 2 da sürekli ise, a nin deðeri
kaçtýr?
Cevap : 4 < a ≤ 5
3
f(x)
2
_2
⎧sgn(x − 2) , x < 2
⎪⎪
f(x) = ⎨ 3x − 7 , x = 2
⎪ c
⎪⎩ e 2x − afh , x > 2
1
_1
1
2
3
x
−3, 4) aralýðýnda
Yukarýdaki f(x) fonksiyonu (−
hangi noktalarda süreksizdir?
19.
f(x) =
3x − 1
1 − cel o g3 x fh
fonksiyonunun süreksiz
kümesini bulunuz.
Cevap : {−2, −1, 2 , 3}
olduðu
noktalar
Cevap : {3 ≤ x < 9}
15.
f(x) =
2x + 3
20.
2
x − 5x + c
fonksiyonunun süreksiz olduðu noktalardan biri
x = 1 ise, diðer noktanýn apsisi kaçtýr?
f(x) =
(x + 1)n − 1
x
fonksiyonunun her yerde sürekli olmasý için
f(0) kaç olarak tanýmlanmalýdýr?
Cevap : n
Cevap : x = 4
141
TEST 1
1.
f(x) =
Süreklilik
x2 − 3
2
x − 4x + 2
6.
fonksiyonunun süreksiz olduðu noktalarýn
apsisler toplamý kaçtýr?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
⎧2x + a , x = 2 ise
⎪
f(x) = ⎨ 2
x −4
⎪
, x ≠ 2 ise
⎩ x−2
f(x) fonksiyonu x = 2 de sürekli ise, a nýn deðeri
kaçtýr?
E) 6
A) −1
2.
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
f(x) = 4 − x 2
fonksiyonunun süreksiz olduðu noktalarýn
apsisler toplamý kaçtýr?
A) 0
3.
f(x) =
B) 4
C) 16
D) 32
7.
E) ∞
⎧ x3 − 1
,
x <1
⎪
⎪ x −1
⎪
f(x) = ⎨
a ,
x =1
⎪ 2
⎪x − x + 3 , x > 1
⎪
⎩
f(x) fonksiyonu R de sürekli ise, a nýn deðeri
kaçtýr?
x
3x
+
x
x −3
A) −1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
fonksiyonunun süreksiz olduðu x deðerlerinin
toplamý kaçtýr?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
8.
4.
f(x) =
x2 − 9
fonksiyonu ∀ x ∈ R için sürekli ise,
a.b çarpýmý kaçtýr?
2
x − 2x − 3
fonksiyonu x = 3 de sürekli olabilmesi için
f(3) kaç olarak tanýmlanmalýdýr?
A)
1
2
B)
1
3
C)
2
3
D)
3
2
E)
A) 4
f(x) =
sgn(x − 3) + x 2 + 3
x +1
B) −1
C) 0
C) 8
D) 9
E) 10
⎛ x +1 ⎞
f(x) = log5 ⎜
⎟
⎝ x −3⎠
fonksiyonunun süreksiz olduðu noktalar
kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?
2
fonksiyonu hangi x deðerinde süreksizdir?
A) −2
B) 6
5
3
9.
5.
⎧ax + 2 , x < 1
⎪
f(x) = ⎨2x + 4 , x = 1
⎪
⎩ax + b , x < 1
D) 2
A) −1 ≤ x ≤ 3
C) x > 3
E) 3
B) 0 < x < 3
D) x > −1
E) −3 < x < 3
142
Süreklilik
TEST 1
10.
y
14.
⎧x2 − 1 , x > 3
⎪⎪
f(x) = ⎨2x + c , x = 3
⎪
2x , x < 3
⎪⎩
2
1
fonksiyonu x = 3 de sürekli ise, c nin deðeri
kaçtýr?
A) −2
B) −1
C) 0
D) 2
x
2
f(x)
Yukarýda f(x) fonksiyonunun grafiði verilmiþtir.
E) 3
g(x) =
2x
ise
f(x) − 1
g(x) fonksiyonu kaç noktada süreksizdir?
11.
A) 2
⎧−2x + 1 , x < −1
⎪
f(x) = ⎨ 3
, x ≥ −1
⎪
⎩x −m
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
fonksiyonu sadece x = −1 de sürekli ise, m nin
deðeri kaçtýr?
A) 2
B) 1
C) 0
D) −1
E) −2
15. x ∈ [0, 2π] olmak üzere,
f(x) =
tan x
sin x − cos x
fonksiyonu kaç noktada süreksizdir?
⎧ sin 3x
⎪
12. f(x) = ⎨ x
⎪
⎩
A) 2
, x≠0
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
3 , x=0
fonksiyonunun sürekli olduðu noktalar kümesi
aþaðýdakilerden hangisidir?
A) R
D) Z+
B) R − {0}
E) N+
C) R − {3}
16.
y
3
f(x)
2
13.
1
⎧ 3.3 x , x ≤ 1
⎪
f(x) = ⎨
⎩⎪2a + 3x , x > 1
−2
1
x
2
f(x) fonksiyonu x = 1 de sürekli ise, a nýn deðeri
kaçtýr?
Yukarýdaki grafiði verilen f(x) fonksiyonu
−3, 4) aralýðýnda kaç tamsayýda süreksizdir?
(−
A) 5
A) 1
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
B) 2
C) 3
D) 4
Cevaplar: 1-C 2-A 3-D 4-D 5-E 6-B 7-E 8-C 9-A 10-D 11-E 12-A 13-C 14-E 15-C 16-D
143
E) 5
TEST 2
1.
Süreklilik
f:R →R,
f(x) =
6.
x2 + 3
2
x + 4x + m
fonksiyonu ∀ x ∈ R için sürekli ise m aþaðýdakilerden hangisidir?
A) m > 4
B) m < 2
D) 1 < m < 6
2.
f(x) =
⎧ 1
, x ≤ −1 ise
⎪ 2
⎪x −9
f(x) = ⎨
x
⎪
, x > −1 ise
⎪⎩
8
f(x) fonksiyonu x in hangi deðeri için süreksizdir?
C) 0 < m < 4
E) −4 < m < 4
A) −3
B) −1
C) 0
D) 1
E) 3
x+3
2
x − 3x − 10
fonksiyonunun süreksiz olduðu noktalarýn
apsisler toplamý kaçtýr?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
7.
⎧ x 3 + a , x < 1 ise
⎪⎪
f : R → R , f(x) = ⎨
3 , x = 1 ise
⎪
⎪⎩2x + b , x > 1 ise
f(x) ∀ x ∈ R için sürekli ise a+b nin deðeri
kaçtýr?
3.
⎧ x
, x > 2 ise
⎪ 2
⎪ x −1
f(x) = ⎨
⎪ 1
⎪⎩ x − 3 , x ≤ 2 ise
A) 1
f(x) fonksiyonunun süreksiz olduðu x deðeri
aþaðýdakilerden hangisidir?
A) −2
B) −1
C) 1
D) 2
E) 3
8.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
⎧ sin2x
, x ≠ 0 ise
⎪
f(x) = ⎨ x
⎪
2 , x = 0 ise
⎩
f(x) fonksiyonu için aþaðýdakilerden hangisi
yanlýþtýr?
4.
⎧ax + 2 , x < 1 ise
⎪
f(x) = ⎨
5 , x = 1 ise
⎪
⎩ax + b , x > 1 ise
A) lim f(x) = 2
D)
f(x) fonksiyonu ∀ x ∈ R için sürekli ise a.b
çarpýmý kaçtýr?
A) 4
5.
B) 5
f(x) =
C) 6
D) 7
2x + 1
9.
fonksiyonu ∀ x ∈ R için sürekli ise m aþaðýdakilerden hangisidir?
B) m > 4
D) 0 < m < 8
⎛π⎞
C) f ⎜ ⎟ = 0
⎝2⎠
lim f(x) = lim f(x) E) f(x), x = 0 da sürekli.
x →0+
x →0−
E) 8
x 2 + mx + 4
A) 0 < m < 4
B) f(2) = 0
x →0
⎧ x −1
, x ≠ 1 ise
⎪
f(x) = ⎨ x − 1
⎪
m , x = 1 ise
⎩
f(x) fonksiyonu x = 1 de sürekli ise m kaçtýr?
C) −4 < m < 4
A) 2
E) −4 < m < 0
144
B) 1
C)
1
3
D)
1
2
E)
2
3
Süreklilik
TEST 2
10.
13.
⎧ x3 − 1
, x < 1 ise
⎪
f(x) = ⎨ x − 1
⎪ 2
⎩ x − 2x + 4 , x > 1 ise
y
3
2
f(x) fonksiyonu x = 1 de sürekli olabilmesi için
f(1) kaç olarak tanýmlanmalýdýr?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
1
−2
3
1
−1
x
2
E) 5
−3, 5)
Yukarýda grafiði verilen f(x) fonksiyonu (−
aralýðýnda kaç tamsayýda süreksizdir?
A) 2
11.
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
y
2
1
−1
1
14. f(x) = sgn(x2 − 3x) fonksiyonu (−4, 4) açýk
x
2
aralýðýnda kaç noktada süreksizdir?
A) 0
Yukarýda f(x) fonksiyonunun grafiði verilmiþtir.
Buna göre, aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr?
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
A) lim f(x) = 1
x → −1
B) lim f(x) = 2
x →1+
C) lim f(x) = 2
15.
x →0
D) f(x) , x = −1 de süreklidir.
E) f(x) , x = 1 de süreksizdir.
⎧ 2x − a
,
x < 1 ise
⎪ c x + 1f
h
⎪ e
⎪
f(x) = ⎨
c
,
x = 1 ise
⎪
+
log
(3x
5)
,
x > 1 ise
2
⎪
⎪
⎩
f(x) fonksiyonu x = 1 de sürekli ise a +c
toplamý kaçtýr?
A) −1
12.
⎧ x2 − 4
, x < 2 ise
⎪
⎪ x −2
⎪
f : R → R , f(x) = ⎨ 6 − a , x = 2 ise
⎪
⎪ ax + b , x > 2 ise
⎪
⎩
16.
B) −10
C) −4
D) 16
f(x) =
C) 1
D) 2
E) 3
x 2 + 2x − 1
celog3 x fh − 2
fonksiyonunun süreksiz olduðu noktalarýn
kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? (x ∈ Z+)
f(x) fonksiyonu x = 2 de sürekli ise, a + b nin
deðeri kaçtýr?
A) −14
B) 0
A) 0 < x < 3
B) 3 ≤ x < 9
D) 6 ≤ x < 18
E) 35
E) 9 ≤ x < 27
Cevaplar: 1-A 2-B 3-D 4-C 5-C 6-A 7-C 8-B 9-D 10-C 11-D 12-A 13-C 14-C 15-D 16-E
145
C) x > 0
TEST 3
Süreklilik
1.
4.
y
y
3
2
−2
2
−1
1
3
1
2
x
4
1
−1
2
3
5
x
−2
Yukarýdaki grafiði verilen f(x) fonksiyonunun
süreksiz olduðu noktalarýn kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?
A) {0}
B) {3}
D) {−2, 0, 3}
Grafiði yukarýda verilen f(x) fonksiyonu için
aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr?
A)
C) {−2, 3}
E) {−2, 0, 1, 3}
B)
lim f(x) = −2
x → −1+
lim f(x) = 3
x →3+
C) f(x) , x = −1 noktasýnda süreksizdir.
D) f(x) , x = 2 noktasýnda süreksizdir.
E) f(x) , x = 3 noktasýnda limiti var, fakat sürekli
deðildir.
2.
f(x) = sgn(x − 1) +
x2
x 2 + 3x − 2
fonksiyonunun süreksiz olduðu tamsayýlarýn
kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?
A) {1,
2}
D) { − 2, 2}
B) {0, − 1}
C) { 2 }
5.
E) { − 4, −2, − 1, 1}
⎧ ln(e.x) , x > e ise
⎪⎪
f(x) = ⎨
a , x = e ise
⎪
2
⎪⎩ ln(x ) , x < e ise
f(x) fonksiyonu x = e de sürekli ise a nýn
deðeri kaçtýr?
A) 0
3.
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
c
⎛
3f
x ⎞
f(x) = ⎜ sgn(x 2 − 9) + ddx − gg +
⎟
2
x
−1⎠
d
g
e
h
⎝
fonksiyonu verildiðine göre aþaðýdakilerden
hangisi yanlýþtýr?
3
A) lim f(x) =
−
2
x →3
6.
f(x) =
⎛ x +1 ⎞
log2 ⎜
⎟
⎝ 2x − 1 ⎠
B) lim f(x) = 1
fonksiyonunun sürekli olduðu noktalarýn
kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?
C) f(x) , x = 1 de süreksizdir.
A)
x →2
D) f(x) , x = 2 de süreksizdir.
1
<x≤2
2
C) x < 2
D) 2 < x < 5
E) −1 < x < 5
E) f(x) , x = 3 de süreksizdir.
146
B) −1 < x < 2
Süreklilik
TEST 3
7.
⎧
⎪sgn(x) ,
⎪
cxf
d g ,
⎪
d g
f(x) = ⎨
ed 3 hg
⎪
1
⎪
,
⎪ 1− x 2
⎪⎩
11.
x ≤ −3
3
− 3 < x ≤ −1
2
x > −1
1
−3
fonksiyonu aþaðýdaki hangi x deðerinde
süreksizdir?
B) 2
A) 1
y
C) 3
D) 1/2
−2
1 2
E) 0
B) (–3, –2)
D) (–3, –2, 1)
⎧⎪ x + 3 ,
f(x) = ⎨ 2
⎪⎩mx + 1 ,
5
x
−4, 5) aralýGrafikte verilen f(x) fonksiyonu (−
ðýndaki süreksiz olduðu noktalarýn kümesi
aþaðýdakilerden hangisidir?
A) (–2, 1)
8.
4
C) ( 1 )
E) (–3, –2, 0)
x ≤1
x >1
fonksiyonu her yerde sürekli ise m nin deðeri
kaçtýr?
⎧mx 2 − 4
⎪⎪
f(x) = ⎨x + 3
⎪mx + n
⎪⎩
12.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
,
x < −1
,
−1 ≤ x < 2
,
x ≥2
fonksiyonu her yerde sürekli ise, m+n nin deðeri
kaçtýr?
9.
⎧sgn(x + 5)
⎪
f(x) = ⎨ 1
⎪ 2
⎩x − 4
fonksiyonunun
,
x <0
,
x >0
süreksiz
A) −1
olduðu
B) −2
D) 7
E) 13
noktalar
hangileridir?
A) {−2, 2}
C) 6
y
B) {2, −2, 0}
D) {2, 0, 5}
13.
C) {−5, −2}
2
E) {−5, 0, 2}
1
−1
1 2
x
y
10.
Yukarýda verilen f(x) fonksiyonunun grafiði için
aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr?
2
1
−3 −2 −1
1
A) lim f(x) = −∞
x
3
x → 2+
B) lim f(x) = 0
x →∞
−4, 4]
Yukarýdaki grafikte verilen f(x) fonksiyonu [−
aralýðýnda kaç tam sayýda süreksizdir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
C) f(x) , x=–1 noktasýnda süreksizdir.
D) f(x) , x=1 noktasýnda süreklidir.
E) f(X) , x=2 noktasýnda tanýmsýzdýr.
E) 5
Cevaplar: 1-E 2-E 3-D 4-E 5-C 6-A 7-A 8-C 9-E 10-D 11-D 12-A 13-D
147