MAT103 Konu: Türev 1. Tanımı kullanarak asa˘gıdaki fonksiyonların

ÇALIŞMA SORULARI-3
Ders: MAT103
Konu: Türev
1. Tanımı kullanarak aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz ve verilen noktalardaki
değerlerini hesaplayınız.
(a) f (x) = (x − 1)2 + 1; f 0 (−1), f 0 (0), f 0 (2)
1 ; f 0 (−1), f 0 (2).
(b) f (x) = √
3
x
(c) f (x) = cos(2x + 1)
1
(d) f (x) = √ ; f 0 (1), f 0 (1/2)
x
2. Aşağıdaki fonksiyonların x = 0’da türevli olduğunu gösteriniz.
√
(a) f (x) = |x| sin x
(c) f (x) = 3 x (1 − cos x)
(
(d) h(x) =
(b) f (x) = x2/3 sin x
3. f (x) =
√
x



x2 sin(1/x), x 6= 0
0
, x=0
0≤x≤1
fonksiyonu x = 1’de türevli midir ? Tanımı kullanarak
2x − 1
neden gösteriniz.


x>1
4. a ve b sabitlerini



ax + b
x<0

2 sin x + 3 cos x
x≥0
f (x) = 
fonksiyonu x = 0 ’da türevli olacak şekilde belirleyiniz.
(
5. (a)
f (x) =
3
√x x < 1
x x ≥ 1.
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
(c) f fonksiyonu x = 1’de türevli midir?
(b) f fonksiyonu x = 1’de sürekli midir?
Cevaplarınız için neden gösteriniz.



x+b
x<0

cos x
x≥0
6. f (x) = 
fonksiyonu veriliyor.
(a) b sabitinin f (x)’i x = 0 ’da sürekli yapacak bir değeri var mıdır? Varsa nedir ? Yoksa
neden yoktur ?
(b) b sabitinin f (x)’i x = 0 ’da türevli yapacak bir değeri var mıdır? Varsa nedir ? Yoksa
neden yoktur ?
1
√
7. y = 2 x eğrisinin yatay bir teğeti var mıdır? Yanıtınızı açıklayınız.
8. y = 2x2 − 13x + 5 parabolünün eğimi -1 olan bir teğet doğrusu var mıdır? Varsa, teğet
için bir denklem ve değme noktası bulunuz. Yoksa, nedenini açıklayınız.
9. (a) f (x), −1 ≤ x ≤ 1 aralığında |f (x)| ≤ x2 koşulunu sağlayan bir fonksiyon olsun. f (x)
fonksiyonunun x = 0’da türevlenebilir olduğunu gösteriniz ve f 0 (0) değerini bulunuz.
(b) (a) şıkkından yararlanarak,
f (x) =



x2 sin x1
x 6= 0


0
x=0
fonksiyonunun f 0 (0) türevini hesaplayınız.
10. Aşağıdaki fonksiyonların birinci ve ikinci mertebeden türevlerini bulunuz.
(a) y = (x2 + 1)(x + 5 + x1 )
(b) y = (1 − x)4 (1 + sin2 x)−5
√
√x ) 4
(c) y = ( 1−
1+ x
(d) y =
1
(x2 +1)(x2 +x+1)
11. u ve v türevlenebilir fonksiyonlar ve u(1) = 2, u0 (1) = 0, v(1) = 5, v 0 (1) = −1 ise,
(a)
d
(uv)
dx
=?
(b)
d u
( )
dx v
=? (c)
d v
( )
dx u
=? (d)
d
(7v
dx
− 2u) =?
(
12. m sabitinin hangi değeri/değerleri için (varsa), f (x) =
sin 2x, x ≤ 0
fonksiyonu
mx , x > 0.
(a) x = 0’da süreklidir?
(b) x = 0’da türevlidir?
13. a ve b’nin hangi değerleri için
(
f (x) =
ax + b
, x ≤ −1
ax3 + x + 2b, x > −1
fonksiyonu her x değerinde türevli olur ?
14.



3x, , x < 0
f (x) =  −(2 − x)2 , 0 ≤ x ≤ 2

x2 − 4 , x > 2
fonksiyonu veriliyor.
(a) f (x), x = 0 ve x = 2’de sürekli midir ?
(b) f (x), x = 0 ve x = 2’de türevli midir ?
15. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.
2
√
1
7x − π +
1
(b) y = (x + 1)2 (x2 + 2x),
(c) y = (2x − 5)(4 − x)−1
(a) y = x7 +
θ − θ2
(d) y = −1 − csc
2
4
(e) y = 2 tan2 x − sec2 x
(f) y = x−3 sec(2x)2
2
(g) y = 5 cot x2
16. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.
(a) y = √ t ,
t+1
2
1 4,
(f) y = x8 + x − x
1 5
(g) y = ( x
5 + 5x ) ,
(b) y = (sec x + tan x)(sec x − tan x),
sin t ,
(c) y = 1 −
cos t
tan x ,
(d) y = 1 +
tan x
1/4
(h) y = x2 + 3x + 1
,
sin x )2 ,
(i) y = ( 1 +
cos x
√
(j) y = 4 sin( x).
(e) y = sin x3 ,
17. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.
√
x
√ + ( sec x + tan x)5 .
(a) y(x) =
1+ x
(b) y(x) = sin(x +
√
x3 2
x+1)+ 1−
2x2 + 5
18. y = 2x3 − 3x2 − 12x + 20 eğrisi üzerinde teğet doğrusunun
x doğrusuna dik olduğu
(a) y = 1 − 24
√
(b) y = 2 − 12x doğrusuna paralel olduğu noktaları bulunuz.
19. y = ax2 +bx+c eğrisi (1, 2) noktasından geçmektedir ve y = x doğrusuna orijinde teğettir.
a, b, c sayılarını bulunuz.
20. f fonksiyonu her yerde sürekli ise ve her x ve y reel sayıları için
(a) f (x + y) = f (x) · f (y);
(b) f (x) = 1 + xg(x),
lim g(x) = 1
x→0
koşullarını sağlıyorsa, her x değerinde f 0 (x) türevinin mevcut olduğunu ve f 0 (x) = f (x)
olduğunu gösteriniz.
21. Aşağıdaki fonksiyonlar için d2 y/dx2 türevini hesaplayınız.
(a)
(b)
x3 + y 3 = 1
2
y2 = 1 − x
22. x2 − y 2 = 1 fonksiyonunu kapalı formda türeterek, aşağıdaki eşitlikleri gösteriniz.
3
(b) d2 y/dx2 = −1/y 3 .
(a) dy/dx = x/y.
23. Aşağıdaki fonksiyonlar için dy/dx türevini hesaplayınız.
(a) x2 y + xy 2 = 6
(c) y 2 cos y1 = 2x + 2y
(e) 2xy + y 2 = x + y
(b) x + sin y = xy
−1
(d) y 2 = x
x+1
(f) x2 (x − y)2 = x2 − y 2
24. Aşağıdaki eğrilerin t’nin verilen değeri için teğet doğrularının denklemini yazınız. Ayrıca
2
aynı noktada d y2 türevini hesaplayınız.
dx
(a) x = sec2 t − 1 , y = tan t
√
√
(b) x = − t + 1 , y = 3t
(c) x = 2t2 + 3 , y = t4
t = −π/4
t=3
t = −1
(d) x = t − sin t , y = 1 − cos t
√
(e) x = t , y = t
t = 1/4
t = π/3
2
25. y 3 + y = 2 cos x ise (0, 1) noktasında d y2 türevinin değerini hesaplayınız.
dx
26. x sin(xy−y 2 ) = x2 −1 eğrisinin (1, 1) noktasındaki teğet doğrusunun denklemini yazınız.
√
27. y değişkeni x’in bir fonksiyonu olmak üzere (x2 + 1)y + π1 sin(π(y + x)) = 2 eğrisinin
(1, 1) noktasındaki teğet doğrusunun denklemini yazınız.
28. x2 + xy + y 2 = 7 eğrisi üzerinde teğetlerin (a) x eksenine paralel olduğu ve (b) y eksenine
paralel olduğu noktaları bulunuz.
29. Aşağıdaki denklemlerin x ve y’yi kapalı şekilde x = f (t) ve y = g(t) diferansiyellenebilir
fonksiyonları olarak tanımladığını varsayarak, x = f (t), y = g(t) eğrisinin belirtilen t
değerindeki teğet doğrusunun eğimini bulunuz.
x sin t +
√
x = t , t sin t − 2t = y , t = π
4