ankara üniversitesi fen bilimleri enstitüsü doktora tezi

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DOKTORA TEZİ
GENELLEŞTİRİLMİŞ TOPOLOJİLERDE BAZI YENİ SONUÇLAR
Sevda SAĞIROĞLU PEKER
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2009
Her hakkı saklıdır
ÖZET
Doktora Tezi
GENELLEŞTI·RI·LMI·Ş TOPOLOJI·LERDE BAZI YENI· SONUÇLAR
¼
¼
Sevda SAGIRO
GLU
PEKER
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal¬
Dan¬şman: Prof. Dr. Mustafa ÇI·ÇEK
Bu tez beş bölümden oluşmaktad¬r. Birinci bölüm giriş k¬sm¬na ayr¬lm¬şt¬r. I·kinci
bölümde, -aç¬k kümeler, -kompakt topolojik uzaylar, genelleştirilmiş topolojiler
ve genelleştirilmiş komşuluk sistemleri ile ilgili temel kavramlar hat¬rlat¬lm¬ş ve bu
kavramlar ile ilgili baz¬ önemli sonuçlar ifade edilmiştir. Bu çal¬şmada elde edilen
orjinal sonuçlar üçüncü, dördüncü ve beşinci bölümlerde verilmiştir.
Üçüncü bölümde, kokompakt topoloji kavram¬, -kompaktl¬k kullan¬larak genelleştirilmiş topolojik uzaylara genelleştirilmiş, böylece co- -kompakt ve quasi co- -kompakt
genelleştirilmiş topoloji tan¬mlar¬ elde edilmiştir. Ayr¬ca c-genelleştirilmiş sürekli
fonksiyonlar tan¬mlanarak temel özellikleri incelenmiştir.
Dördüncü bölümde, -Lindelöf uzay tan¬m¬ verilmiştir. Böylece co- -Lindelöf ve
quasi co- -Lindelöf genelleştirilmiş topoloji tan¬mlar¬ verilerek, koLindelöf topoloji
kavram¬genelleştirilmiş topolojik uzaylara taş¬nm¬şt¬r. Ayr¬ca `-genelleştirilmiş sürekli fonksiyonlar tan¬mlanarak temel özellikleri incelenmiştir.
Beşinci bölümde ise klasik anlamda regüler topolojik uzaylar¬n bir genelleştirmesi
olarak regüler genelleştirilmiş topolojik uzaylar tan¬mlanm¬ş ve temel özellikleri incelenmiştir. Ayr¬ca genelleştirilmiş komşuluk sistemleri için regülerlik ve yar¬regülerlik kavramlar¬ araşt¬r¬larak; C-regüler, M -regüler, C-yar¬regüler ve M -yar¬regüler
genelleştirilmiş komşuluk sistemleri tan¬mlanm¬şt¬r. Bu kavramlar¬n temel özellikleri
incelenerek klasik anlamda regüler topolojik uzaylar¬n pek çok özelli¼
gi sonuç olarak
elde edilmiştir.
Temmuz 2009, 66 sayfa
Anahtar Kelimeler : -aç¬k küme, genelleştirilmiş topoloji, genelleştirilmiş komşuluk sistemi, co- -kompakt (co- -Lindelöf) genelleştirilmiş topoloji, c- ve `-genelleştirilmiş sürekli fonksiyonlar, regüler genelleştirilmiş topolojik uzay, C-regüler (M regüler, C-yar¬regüler, M -yar¬regüler) genelleştirilmiş komşuluk sistemi.
i
ABSTRACT
Ph.D. Thesis
SOME NEW RESULTS FOR GENERALIZED TOPOLOGIES
¼
¼
Sevda SAGIRO
GLU
PEKER
Ankara University
Graduate School of Natural And Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Prof. Dr. Mustafa ÇI·ÇEK
This thesis consists of four chapters. The …rst chapter is devoted to the introduction.
In chapter two, the basic concepts and results of -open sets, -compact topological
spaces, generalized topologies and generalized neighbourhood systems are recalled
and some results concerning these concepts have also been considered. Original results are contained in the third, fourth and …fth chapters.
In chapter three, by considering cocompact topologies, co- -compact generalized
topologies and quasi co- -compact generalized topologies are obtained with the help
of the notions of -compactness. Moreover a new class of generalized continuous
functions called c-generalized continuous functions is de…ned and investigated.
In chapter four, -Lindelöf spaces are de…ned. Furthermore, by considering coLindelöf topologies, co- -Lidelöf and quasi co- -Lindelöf generalized topologies are introduced. In addition `-generalized continuous functions are de…ned and investigated.
In the …nal chapter, as a generalization of regular topology in the classical sense,
regular generalized topologies are de…ned. As another generalizations of regularity,
two kinds of regularity; C-regularity and M -regularity are introduced for generalized neighbourhood systems. In addition, we introduce C-semiregularity (resp. M semiregularity) in the same manner, which is strictly weaker then C-regularity (resp.
M -regularity). By this way we obtain some characterizations and properties furnishing the well known characterizations and properties of regular and semiregular
topological spaces.
July 2009, 66 pages
Key Words: -open set, generalized topology, generalized neighbourhood system, co- -compact (co- -Lindelöf) generalized topology, c- and `-generalized continuous functions, regular generalized topological spaces, C-regular (M -regular, Csemiregular, M -semiregular) generalized neighbourhood system.
ii
TEŞEKKÜR
Bana araşt¬rma olana¼
g¬ sa¼
glayan ve çal¬şmam¬n her safhas¬nda yak¬n ilgi ve önerileri ile beni yönlendiren de¼
gerli dan¬şman hocam, Say¬n Prof.Dr. Mustafa ÇI·ÇEK
(Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’e, yard¬mlar¬n¬benden esirgemeyen de¼
gerli hocam Say¬n Prof.Dr. Cihan ORHAN (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’a ve çal¬şmam boyunca önerileri ve deste¼
giyle hep yan¬mda olan de¼
gerli hocam Say¬n Doç.Dr.
Alev KANIBI·R (Hacettepe Üniversitesi Fen Fakültesi)’e en içten sayg¬ve teşekkürlerimi sunar¬m.
Benim güzel ailem; eşim Ça¼
gatay Ulaş Peker, kardeşim Mehmet Şerif Sa¼
g¬ro¼
glu,
annem Hülya Sa¼
g¬ro¼
glu ve babam Mehmet I·hsan Sa¼
g¬ro¼
glu, bana başarmak ve y¬lmamak için gerekli tüm enerji ve deste¼
gi hayat¬m boyunca siz verdiniz. Teşekkür
ederim.
¼
¼
Sevda SAGIRO
GLU
PEKER
Ankara, Temmuz 2009
iii
Bu çal¬şmam¬, hayat¬m boyunca bana koşulsuz güvenen ve destek olan babam
¼
¼
Mehmet I·hsan SAGIRO
GLU’
na ithaf ediyorum.
iv
I·ÇI·NDEKI·LER
ÖZET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
TEŞEKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
I·THAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
SI·MGELER DI·ZI·NI· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
1. GI·RI·Ş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2.
-AÇIK KÜMELER, GENELLEŞTI·RI·LMI·Ş TOPOLOJI·LER
VE GENELLEŞTI·RI·LMI·Ş KOMŞULUK SI·STEMLERI· . . . . . . . . . . . . .
4
2.1.
4
-Aç¬k Kümeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Genelleştirilmiş Topoloji ve Genelleştirilmiş Komşuluk Sistemleri
14
3. co- -KOMPAKT GENELLEŞTI·RI·LMI·Ş TOPOLOJI·LER VE
c-GENELLEŞTI·RI·LMI·Ş SÜREKLI· FONKSI·YONLAR . . . . . . . . . . . . . .
23
3.1. Kokompakt Topolojiler ve c-Sürekli Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.2. co- -Kompakt Genelleştirilmiş Topolojiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.3. Quasi co- -Kompakt Genelleştirilmiş Topolojiler . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.4. c-Genelleştirilmiş Sürekli Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.
-LI·NDELÖF UZAYLAR VE co- -LI·NDELÖF
GENELLEŞTI·RI·LMI·Ş TOPOLOJI·LER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.1. KoLindelöf Topolojiler ve `-Sürekli Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . .
38
-Lindelöf Uzaylar ve co- -Lindelöf Genelleştirilmiş Topolojiler . .
39
4.3. Quasi co- -Lindelöf Genelleştirilmiş Topolojiler . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.4. `-Genelleştirilmiş Sürekli Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
4.2.
5. REGÜLER GENELLEŞTI·RI·LMI·Ş TOPOLOJI·LER VE
REGÜLER GENELLEŞTI·RI·LMI·Ş KOMŞULUK SI·STEMLERI· . . . . .
47
5.1. Regüler Genelleştirilmiş Topolojiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
5.2. Regüler Genelleştirilmiş Komşuluk Sistemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
5.3. Yar¬regüler Genelleştirilmiş Komşuluk Sistemleri . . . . . . . . . . . . . . . .
58
KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
ÖZGEÇMI·Ş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
v
SI·MGELER DI·ZI·NI·
exp X
(X)
X kümesinin kuvvet kümesi
exp X kuvvet kümesinden exp X kuvvet kümesine tan¬ml¬monoton
dönüşümlerin ailesi
C
-aç¬k her kümeyle arakesiti -aç¬k olan kümelerin ailesi
g
genelleştirilmiş topoloji (k¬saca GT)
ig (A)
A kümesinin g genelleştirilmiş topolojisine göre içi
cg (A)
A kümesinin g genelleştirilmiş topolojisine göre kapan¬ş¬
g
-aç¬k kümelerin ailesi
(g)
g genelleştirilmiş topolojisinin -aç¬k kümelerinin ailesi
(g)
g genelleştirilmiş topolojisinin -aç¬k kümelerinin ailesi
genelleştirilmiş komşuluk sistemi (k¬saca GNS)
(X)
X üzerinde tan¬ml¬tüm genelleştirilmiş komşuluk sistemlerinin ailesi
(x)
x noktas¬n¬n genelleştirilmiş komşuluklar ailesi
{ (A)
A kümesinin
genelleştirilmiş komşuluk sistemine göre içi
c (A)
A kümesinin
genelleştirilmiş komşuluk sistemine göre kapan¬ş¬
g
genelleştirilmiş komşuluk sisteminin üretti¼
gi GT
i (A)
A kümesinin g genelleştirilmiş topolojisine göre içi
c (A)
A kümesinin g genelleştirilmiş topolojisine göre kapan¬ş¬
g genelleştirilmiş topolojisinin üretti¼
gi GNS
g
g
(X) herbir ö¼
gesi g genelleştirilmiş topolojisine ait olan genelleştirilmiş
komşuluk sistemlerinin ailesi
c( )
kokompakt topoloji
l( )
koLindelöf topoloji
c (g )
co- -kompakt GT
qc (g )
quasi co- -kompakt GT
` (g )
co- -Lindelöf GT
q` (g )
quasi co- -Lindelöf GT
vi
1. GI·RI·Ş
Literatürde, bir topolojik uzay¬n aç¬k alt kümelerini içeren, alt kümeler aileleri önemli
bir yer teşkil etmiş ve bu ailelerin özelliklerini inceleyen pek çok çal¬şma yap¬lm¬şt¬r.
Bu ailelerin ö¼
gelerine genelleştirilmiş aç¬k kümeler ad¬verilmiştir. Bir topolojik uzayda tan¬ml¬yar¬-aç¬k kümeler (Levine 1963), ön-aç¬k kümeler (Mashhour et al. 1982),
-aç¬k kümeler (Njâstad 1965),
-aç¬k kümeler (Abd El-Monsef et al. 1983) bir
topolojik uzay¬n genelleştirilmiş aç¬k kümelerine ilişkin iyi bilinen örneklerdir.
Genelleştirilmiş aç¬k kümelerin pek çok ortak özelli¼
ge sahip olmas¬na dayanarak;
1997 de Császar,
B için
(A)
: exp X 7 ! exp X biçiminde tan¬ml¬ ve 8A; B
(B) koşulunu sa¼
glayan fonksiyonlar yard¬m¬yla
X 3 A
-aç¬k kümeleri
tan¬mlam¬şt¬r. Böylece genelleştirilmiş aç¬k kümelerin pek çok ortak özelli¼
ginin aç¬k kümelerin özelliklerinden elde edilebilece¼
gini göstermiştir. Daha sonra, -aç¬k
kümeleri kullanarak, -kompakt uzay (Császar 2000) tan¬m¬n¬vermiş ve özelliklerini
incelemiştir.
Genelleştirilmiş topoloji ve genelleştirilmiş komşuluk sistemi kavramlar¬ 2002 de
tan¬mlanm¬şt¬r. X 6= ; bir küme, I 6= ; bir indis kümesi ve g = (G{ ){2I
exp X
olmak üzere
; 2 g ve 8J
I icin G = [{2J G{ 2 g
koşulunu gerçekleyen g ailesine X üzerinde bir genelleştirilmiş topoloji (Császár 2002)
ad¬verilmiştir. Bir (X; ) topolojik uzay¬n¬n yar¬-aç¬k (s¬ras¬yla; ön-aç¬k, -aç¬k, aç¬k, - ve -aç¬k (Veliµcko 1968)) alt kümelerinin ailesi X üzerinde bir genelleştirilmiş
topolojidir. Genelleştirilmiş komşuluk sistemleri ise,
ve 8V 2
: X ! exp (exp X) ; 8x 2 X
(x) için x 2 V koşulu gerçeklenecek şekilde tan¬mlanan dönüşümler
yard¬m¬yla ifade edilmiştir. Burada V 2
rilmiş komşulu¼
gu ve
(x) kümesine x noktas¬n¬n bir genelleşti-
dönüşümüne X üzerinde bir genelleştirilmiş komşuluk sistemi
(Császár 2002) ad¬ verilmiştir. Ayr¬ca bu kavramlar kullan¬larak genelleştirilmiş
sürekli fonksiyon s¬n¬‡ar¬tan¬mlanm¬şt¬r.
1
-aç¬k küme, genelleştirilmiş topoloji ve genelleştirilmiş komşuluk sistemi kavramlar¬yla ilgili olarak, özellikle; Császár (1997, 2000, 2002, 2003, 2004 b-c, 2007 a-b,
2008 a-b) ve Min (2005, 2008) taraf¬ndan yap¬lan çal¬şmalar bizim için önem teşkil
etmektedir.
Bu tezde topolojik uzaylarda bilinen baz¬temel kavramlar genelleştirilmiş topolojik
uzaylara ve genelleştirilmiş komşuluk sistemlerine genelleştirilmiştir.
Literatürde hemen hemen süreklilik (Singal and Singal 1968), H-süreklilik (Long and
Hamlett 1975), c-süreklilik (Gentry and Hoyle 1970, Gauld 1978-1981), hemen hemen
c-süreklilik (Noiri 1979), l-süreklilik (Kohli 1981, Gauld et al. 1984), hemen hemen
l-süreklilik (Konstadilaki-Savvopoulou and Reilly 1990), kc-süreklilik (Kanibir and
Reilly 2006) ve lc-süreklilik (Kanibir and Girginok 2007) gibi zay¬f süreklilik çeşitleri ile ilgili pek çok çal¬şma yap¬lm¬şt¬r. Bu çal¬şmalarda; söz konusu zay¬f sürekli
fonksiyonun de¼
ger uzay¬üzerinde, zay¬f süreklili¼
gi, bilinen anlamda süreklili¼
ge dönüştüren yeni topolojiler tan¬mlanabilece¼
gine işaret edilmiş ve bu topolojilerin özellikleri
incelenmiştir.
Bu tezin 3. ve 4. bölümlerinde yukar¬da bahsedilen kavramlardan baz¬lar¬genelleştirilmiş topolojik uzaylara genelleştirilmiştir. Bunlardan ilki, Gauld (1978) taraf¬ndan
tan¬mlanan kokompakt topoloji kavram¬d¬r. Gauld (1978) bir (X; ) topolojik uzay¬n¬ gözönüne alarak, X üzerinde, Gentry ve Hoyle (1970) taraf¬ndan tan¬mlanan
c-sürekli fonksiyonlarla ilişkili ve
dan daha kaba olan kompakt bir topoloji tan¬m-
lam¬ş ve bu topolojiye kokompakt topoloji ad¬n¬vermiştir. 3. bölümünde; Császár
taraf¬ndan verilen -kompaktl¬k kavram¬kullan¬larak, Gauld taraf¬ndan tan¬mlanan
kokompakt topolojinin analo¼
gu olan bir genelleştirilmiş topoloji elde edilmiş ve cgenelleştirilmiş sürekli fonksiyonlar tan¬mlanm¬şt¬r.
Tezin 4. bölümünde;
-Lindelöf uzaylar tan¬mlanarak, 1981 de Kohli taraf¬ndan
tan¬mlanan `-sürekli fonksiyon ve Gauld vd. (1984) taraf¬ndan tan¬mlanan koLindelöf topoloji kavramlar¬genelleştirilmiş topolojik uzaylara taş¬nm¬şt¬r.
2
Di¼
ger yandan; Császár 2004 c de; topolojik uzaylar için bilinen temel ay¬rma aksiyomlar¬n¬ (T0 ; T1 ; T2 ; S1 ve S2 ) genelleştirilmiş topolojiler için tan¬mlam¬ş ve
2007 b de normal genelleştirilmiş topoloji tan¬m¬n¬vermiştir. Tezin son bölümünde,
bu kavramlara ek olarak regülerlik kavram¬ genelleştirilmiş topolojik uzaylara ve
genelleştirilmiş komşuluk sistemlerine genelleştirilmiştir. Öncelikle klasik anlamda
regüler topolojik uzaylar¬n bir genelleştirmesi olarak regüler genelleştirilmiş topolojik uzaylar tan¬mlanm¬ş ve temel özellikleri incelenmiştir. Daha sonra, genelleştirilmiş topolojilerden daha genel bir kavram olan genelleştirilmiş komşuluk sistemleri
için regülerlik kavram¬ araşt¬r¬lm¬ş; C-regüler ve M -regüler genelleştirilmiş komşuluk sistemleri tan¬mlanm¬şt¬r. Böylece Min taraf¬ndan 2008 de verilen zay¬f ( ;
0
)-
sürekli fonksiyonlar gözönüne al¬nd¬g¼¬nda; de¼
ger kümesi C-regüler bir komşuluk sistemi ile donat¬lan zay¬f ( ;
0
)-sürekli her fonksiyonun ( ;
0
)-sürekli oldu¼
gu gös-
terilmiştir. Benzer düşünceyle yar¬regülerlik kavram¬ genelleştirilmiş komşuluk sistemlerine genelleştirilmiş; C-yar¬regüler ve M -yar¬regüler genelleştirilmiş komşuluk
sistemleri tan¬mlanm¬şt¬r. Bu kavramlar¬n temel özellikleri incelenerek klasik anlamda regüler ve yar¬regüler topolojik uzaylar¬n pek çok özelli¼
gi sonuç olarak elde
edilmiştir.
3
-AÇIK KÜMELER, GENELLEŞTI·RI·LMI·Ş TOPOLOJI·LER VE
2.
GENELLEŞTI·RI·LMI·Ş KOMŞULUK SI·STEMLERI·
Bu bölümde -aç¬k kümeler, -kompakt uzaylar, genelleştirilmiş topolojiler ve genelleştirilmiş komşuluk sistemleri ile ilgili temel kavramlar ve sonuçlar ifade edilmektedir.
Bu çal¬şma boyunca; (X; ) bir topolojik uzay olmak üzere int = i; cl = c ile, bir
X için X den C üzerine indirgenen topoloji
C
C
ile ve (X; ) topolojik uzay¬n¬n
yar¬aç¬k (s¬ras¬yla ön-aç¬k, -aç¬k, -aç¬k, -aç¬k, -aç¬k) alt kümelerinin ailesi s ( )
(s¬ras¬yla
2.1.
( );
( ) ; ( ) ; ( )) ile gösterilecektir.
( );
-Aç¬k Kümeler
Bir topolojik uzay¬n genelleştirilmiş aç¬k kümeleri literatürde önemli bir yer teşkil
etmiştir. Genelleştirilmiş aç¬k kümelerin pek çok ortak özelli¼
ge sahip olmas¬na dayanarak; 1997 de Császar, daha genel tan¬mlar vermiş ve genelleştirilmiş aç¬k kümelerin
pek çok ortak özelli¼
ginin bu tan¬mlar yard¬m¬yla elde edilebilece¼
gini göstermiştir.
Şimdi bu tan¬m ve kavramlar¬k¬saca hat¬rlatal¬m.
Császár (1997), genelleştirilmiş aç¬k kümeleri tan¬mlamak için temel araç olarak,
X 6= ; bir küme olmak üzere,
X 3 A
B için
fonksiyonlar¬n ailesi
0
2
ile n 2
için
için
0
n
=
: exp X 7 ! exp X biçiminde tan¬ml¬ ve 8A; B
(B) koşulunu sa¼
glayan fonksiyonlar¬ kullanm¬ş ve bu
(A)
(X) ile gösterilmiştir. K¬saca;
0
biçiminde ifade edilmiştir.
alt ailesinin ö¼
gesi olan
2
(A) = A;
lar¬n s¬n¬f¬gösterilmiştir. Bu s¬n¬‡ar;
0
, ;=;
2
1
, X=X
2
2
, 8A
X için
2
+
, 8A
X için A
A
, 8A
X için A
A
4
ve ;
Z[ f+; g olmak üzere
2
2
(X) =
2
A= A
2
biçiminde tan¬mlanm¬şlard¬r.
dönüşümü;
için
2
n
, 8A
2
+
1
2
X için
ve
0
A
A
oldu¼
gu kolayl¬kla gösterilebilir.
ailesinin birden fazla alt ailesine ait oldu¼
gunda; örne¼
gin n 2 f0; 1; g
ise, k¬saca
2
01
yaz¬l¬r.
Örnek 2.1.1. X 6= ; bir küme olmak üzere id : exp X ! exp X; 8A
idA = A birim dönüşümü ele al¬n¬rsa id 2
012+
\
012
X için
olur.
Örnek 2.1.2. (X; ) bir topolojik uzay olmak üzere i : exp X ! exp X; 8A
için iA = int A ve c : exp X ! exp X; 8A
al¬n¬rsa i 2
012
ve c 2
012+
X
X için cA = cl A dönüşümleri ele
olur.
Şimdi -aç¬k küme tan¬m¬n¬ifade edelim.
Tan¬m 2.1.1.
2
ve A
X olsun. E¼
ger; A
A ise, A kümesine -aç¬kt¬r
denir.
O halde; ; -aç¬kt¬r ve X in -aç¬k olmas¬için gerek ve yeter koşul
Herhangi bir A
X için
2
2
2
1
olmas¬d¬r.
olmas¬, A kümesinin -aç¬k olmas¬n¬ve
olmas¬A kümesinin -aç¬k olmas¬n¬gerektirir. Ayr¬ca,
2
2
+
ise, bu durumda A
kümesinin -aç¬k olmas¬için gerek ve yeter koşul A = A eşitli¼
ginin gerçeklenmesidir.
Aç¬kça görülece¼
gi gibi bir topolojik uzayda
= i al¬n¬rsa, i-aç¬k kümeler, topolojik
uzay¬n aç¬k alt kümeleriyle çak¬ş¬r.
Önerme 2.1.1.
2
olsun. Bu durumda, -aç¬k kümelerin herhangi birleşimleri
de -aç¬kt¬r.
Önerme 2.1.1 gözönüne al¬narak; bir A
X için A n¬n kapsad¬g¼¬, X in tüm -aç¬k
alt kümelerinin birleşimine A n¬n -içi ad¬verilmiş ve intA = i A ile gösterilmiştir.
Bir topolojik uzayda
Önerme 2.1.2.
2
= i için ii = i dir.
ve A
X olsun. Bu durumda, i A kümesi A kümesinin
kapsad¬g¼¬en büyük -aç¬k kümedir.
5
i dönüşümünün baz¬temel özellikleri aşa¼
g¬daki önermeler yard¬m¬yla ifade edilmiştir.
Önerme 2.1.3. Herhangi bir
(a) i 2
02
(b) i 2
1
(c)
2
02
2
için aşa¼
g¬daki özellikler gerçeklenir.
olur.
olmas¬için gerek ve yeter koşul
ise, bu durumda
Önerme 2.1.4. Herhangi bir
2
1
olmas¬d¬r.
= i eşitli¼
gi gerçeklenir.
2
ve A
X için aşa¼
g¬daki önermeler denktirler.
(a) A kümesi -aç¬kt¬r:
(b) A = i A eşitli¼
gi gerçeklenir.
(c) A kümesi i -aç¬kt¬r.
Di¼
ger yandan;
2
olmak üzere, tümleyeni -aç¬k olan kümeye -kapal¬küme ad¬
verilmiştir. Dolay¬s¬yla, 8 2
ve yeter koşul
2
1
için X -kapal¬d¬r. ; nin -kapal¬olmas¬için gerek
olmas¬d¬r. Ayr¬ca,
2
+
ise, bu durumda 8A
X için A
-kapal¬d¬r.
Önerme 2.1.5.
2
olsun. Bu durumda, -kapal¬kümelerin herhangi kesişimleri
de -kapal¬d¬r.
Önerme 2.1.5 gözönüne al¬narak; bir A
X için A kümesini kapsayan X in tüm
-kapal¬alt kümelerinin kesişimine A n¬n -kapan¬ş¬ad¬verilmiş ve clA = c A ile
gösterilmiştir. Bir topolojik uzayda, i-kapal¬ kümeler, kapal¬ kümelerle çak¬ş¬r ve
ci = c dir.
Önerme 2.1.6.
2
ve A
X olsun. Bu durumda, c A kümesi A kümesini
kapsayan en küçük -kapal¬kümedir.
6
8 2
ve 8A
X için
dönüşümü
A=X
biçiminde tan¬mlanm¬şt¬r. Şimdi,
(X
A)
dönüşümünün temel özelliklerini ifade edelim.
Bu sayede, c dönüşümünün pek çok özelli¼
gi kolayca elde edilebilmektedir.
Önerme 2.1.7. Herhangi bir
(a)
2
ve ( ) =
2
için aşa¼
g¬daki özellikler vard¬r.
olur.
(b)
2
0
olmas¬için gerek ve yeter koşul
2
1
olmas¬d¬r.
(c)
2
1
olmas¬için gerek ve yeter koşul
2
0
olmas¬d¬r.
(d)
2
2
olmas¬için gerek ve yeter koşul
2
2
olmas¬d¬r.
(e)
2
+
olmas¬için gerek ve yeter koşul
2
olmas¬d¬r.
(f) (i ) = c eşitli¼
gi gerçeklenir.
Kolayca görülebilece¼
gi üzere, bir topolojik uzayda i = c olacakt¬r.
2
Önerme 2.1.8.
yeter koşul A
ve A
X olsun. A kümesinin
-kapal¬olmas¬için gerek ve
A olmas¬d¬r.
Önerme 2.1.9.
2
2
ve A
X olsun. Bu durumda A kümesi
-aç¬k ise,
c A = A eşitli¼
gi gerçeklenir.
c dönüşümünün baz¬temel özellikleri aşa¼
g¬daki önermeler yard¬m¬yla ifade edilmiştir.
Önerme 2.1.10. Herhangi bir
(a) c 2
12+
(b) c 2
0
2
için aşa¼
g¬daki özellikler vard¬r.
olur.
olmas¬için gerek ve yeter koşul
7
2
1
olmas¬d¬r.
(c)
2
12+
ise, bu durumda
eşitli¼
gi gerçeklenir.
=c
Önerme 2.1.11. Herhangi bir
2
ve A
X için aşa¼
g¬daki önermeler denktirler.
(a) A kümesi -kapal¬d¬r.
(b) A = c A eşitli¼
gi gerçeklenir.
(c) A kümesi i -kapal¬d¬r.
Şimdi
ailesine ait dönüşümlerin bileşkelerine ilişkin özellikleri hat¬rlatal¬m.
1;
Teorem 2.1.1.
2 1
2
n
2
2
ise,
2 1
2
olur ve n = 0; 1; +;
olmas¬n¬gerektirir. Ayr¬ca; (
2 1)
=
2 1
için
1;
2
2
olmas¬,
01
olaca¼
g¬
olur.
Teorem 2.1.1 ele al¬n¬rsa; özel olarak, bir topolojik uzayda ic; ci; ici; cic 2
aç¬kt¬r. E¼
ger;
n
= ci (s¬ras¬yla; ic; ici; cic) al¬n¬rsa -aç¬k kümeler, yar¬-aç¬k (s¬ras¬yla;
ön-aç¬k, -aç¬k, -aç¬k) kümelerle çak¬ş¬r. Karş¬l¬k gelen -kapal¬kümelerde s¬ras¬yla
yar¬-kapal¬, ön-kapal¬,
-kapal¬,
-kapal¬ kümelerdir. cci A (s¬ras¬yla; cic A; cici A;
ccic A) kümesi, A kümesinin yar¬-kapan¬ş¬(s¬ras¬yla; ön-kapan¬ş¬, -kapan¬ş¬, -kapan¬ş¬)
d¬r. Ayr¬ca;
= cci i al¬n¬rsa,
-aç¬k kümeler, neredeyse aç¬k kümelerden başkas¬
de¼
gildir.
Teorem 2.1.1 de,
ailesinin n = 0; 1; +;
olmak üzere,
n
alt aileleri için verilen
pozitif sonuçlar
2
Örnek 2.1.3.
R al¬ş¬lm¬ş topolojisiyle gözönüne al¬ns¬n ve
dönüşümü 8A
ailesi için gerçeklenmeyebilir. Aşa¼
g¬daki örnek bu durumu aç¬klar.
R için; 0 2 A ise
tan¬mlans¬n. Bu durumda;
2
A = f0g ve 0 2
= A ise
ve i 2
02
ra¼
gmen i iR = ; dir. Bu durumda, i 2
=
Yukar¬da verilen örne¼
ge ra¼
gmen; {;
ifade edilebilen
2
2
2
012
: exp R ! exp R
A = ; biçiminde
dir. Ancak iR = f0g olmas¬na
dir.
olmak üzere { ve
n¬n bir çarp¬m¬şeklinde
dönüşümleri için pozitif sonuçlar elde edilebilmiştir.
8
2
Lemma 2.1.1. {;
2
ve herhangi bir A
A ve { A
{ A
olsun. Bu durumda; { ve
2
X için
{ A
n¬n s¬ral¬çarp¬mlar¬şeklinde ifade edilebilen dönüşümleri
ye ait olacaklard¬r. Ancak
=
{ durumu d¬şar¬da b¬rak¬lmal¬d¬r. Bu istisna
{ A koşulu
{ A
8A
X için {A
{A
koşulu ile de¼
giştirilerek ortadan kald¬r¬labilir.
Sonuç 2.1.1. { 2
2
şeklinde ifade edilen
ve
2
dönüşümü
2+
2
ise, { ve
çarpanlar¬n¬n herhangi bir çarp¬m¬
ailesine aittir.
Özel olarak, bir topolojik uzayda icic = ic ve cici = ci dir. Dolay¬s¬yla; i ve c nin
herhangi bir çarp¬m¬i; ic; ci; ici; cic fonksiyonlar¬ndan biriyle çak¬ş¬r.
Lemma 2.1.2.
2
n
ise, -aç¬k her küme 8n 2 N için
durumda -aç¬k kümelerle
n¬n bir di¼
ger alt ailesi de
n
-aç¬kt¬r.
=f 2
2
ise, bu
-aç¬k kümeler çak¬ş¬r.
3
ile gösterilmiş ve aşa¼
g¬daki şekilde tan¬mlanm¬şt¬r.
Tan¬m 2.1.2. (X; ) bir topolojik uzay olsun. Bu durumda
3
2
: 8G 2
ve 8A
3
X için G \ A
ailesi;
(G \ A)g
biçiminde tan¬mlan¬r.
(X; ) topolojik uzay¬nda,
3
= c dönüşümünün
3
ailesine ait oldu¼
gu bilinmektedir.
ailesinin temel özellikleri aşa¼
g¬daki önermeler yard¬m¬yla verilmiştir.
Önerme 2.1.12. (X; ) bir topolojik uzay,
2 1
2
3
1
ve
2
2
3
olsun. Bu durumda
olur.
Önerme 2.1.13. (X; ) bir topolojik uzay, G 2 ; A
9
X ve
2
3
olsun. Bu
durumda A kümesi -aç¬k ise, G \ A da -aç¬kt¬r.
Di¼
ger yandan; bir (X; ) topolojik uzay¬nda
2
3
hatta
2
023
olsa dahi aç¬k bir
küme -aç¬k olmak zorunda de¼
gildir. Aşa¼
g¬daki örnek bu durumu aç¬klar.
Örnek 2.1.4. U ile R üzerinde tan¬ml¬reel say¬lar¬n al¬ş¬lm¬ş topolojisi gösterilsin
ve
dönüşümü 0 2 A ise A = f0g ve 0 2
= A ise A = ; biçiminde tan¬mlans¬n.
G = ]1; 3[
R için G = ; olup G * G dir. Dolay¬s¬yla, G kümesi -aç¬k de¼
gildir.
Önerme 2.1.14. (X; ) bir topolojik uzay,
2
ve bir G 2
3
için G
X olsun.
Bu durumda G kümesi -aç¬kt¬r.
Önerme 2.1.15. (X; ) bir topolojik uzay ve
2
3
ise, bu durumda i ve
2
3
olur.
Sonuç 2.1.2. (X; ) bir topolojik uzay ve
2
Önerme 2.1.16. (X; ) bir topolojik uzay ve
3
ise, bu durumda c 2
2
3
3
olur.
olsun. Bu durumda aşa¼
g¬daki
özellikler vard¬r.
(a)
2
0
olmas¬için gerek ve yeter koşul 8A
X için A
cA olmas¬d¬r.
(b)
2
1
olmas¬için gerek ve yeter koşul 8A
X için iA
A olmas¬d¬r.
Önerme 2.1.17. (X; ) bir topolojik uzay,
2
0
lerinin herhangi bir çarp¬m¬olsun. Bu durumda;
Önerme 2.1.18. (X; ) bir topolojik uzay,
olsun.
2
dönüşümü; i ve
= i durumu hariç
13
ve
= fA
ailesi aşa¼
g¬daki koşullar¬sa¼
glar.
(a) Her aç¬k küme
(b)
0
ve
23
ya aittir.
n¬n herhangi say¬daki ö¼
gelerinin birleşimi de
(c) Bir aç¬k küme ile
n¬n bir ö¼
gesinin arakesiti de
10
ya aittir.
ya aittir.
dönüşüm0
2
2
dir.
X : A -aç¬kg
Tersine, (X; ) bir topolojik uzay olmak üzere,
önermeleri gerçeklesin. Bu durumda,
şekilde bir
2
0123
ailesi (a), (b) ve (c) ile verilen
ailesi, -aç¬k kümelerin ailesi ile çak¬şacak
dönüşümü mecuttur.
Önerme 2.1.18(b) ile verilen özellik d¬ş¬nda -aç¬k kümeler, bir topolojik uzay¬n bilinen anlamda ki aç¬k kümelerinin sa¼
glad¬g¼¬ özellikleri sa¼
glamak zorunda de¼
gildir.
Örne¼
gin; R al¬ş¬lm¬ş topolojisiyle gözönüne al¬n¬rsa A = [ 1; 0] ve B = [0; 1] kümeleri
ci-aç¬k kümeler olmas¬na ra¼
gmen A \ B = f0g kümesi ci-aç¬k de¼
gildir.
2
Teorem 2.1.2.
(X) olsun. Bu durumda;
C = fC
X : 8A
X 3 A -aç¬k için C \ A -aç¬kg
ailesi X üzerinde bir topolojidir. Ayr¬ca
2
ve (X; ) bir topolojik uzay olmak üzere
2
ise, C ailesinin her ö¼
gesi -aç¬kt¬r
1
3
olmas¬
C olmas¬n¬gerektirir.
Şimdi alt uzayda -aç¬k küme kavram¬n¬ ifade edelim. (X; ) bir topolojik uzay,
X0
X ve
exp X0 ;
X0 A
2
(X) olsun. Alt uzayda -aç¬k küme tan¬m¬,
X0
: exp X0 7 !
= A \ X0 biçiminde tan¬mlanan dönüşüm yard¬m¬yla ifade edilmiştir.
Tan¬m 2.1.3. (X; ) bir topolojik uzay, X0
2
(X) olsun ve
X0
ile X
den X0 üzerine indirgenen topoloji gösterilsin. Bu durumda, herhangi bir A
X0
için A
X0 -
X0 A
oluyor ise, A ya (X0 ;
X0 )
X,
topolojik uzay¬nda -aç¬kt¬r (k¬saca
aç¬kt¬r) denir.
Örnek 2.1.5. (X; ) topolojik uzay¬ gözönüne al¬nd¬g¼¬nda, i ve c ile X üzerinde
tan¬mlanan
topolojisinin iç ve kapan¬ş operatörünü gösterelim. X0
ve c0 ile de
dan X0 üzerine indirgenen
X0
X için i0
topolojisinin iç ve kapan¬ş operatörü
gösterilsin. Bu durumda; cX0 = c0 olaca¼
g¬aç¬kt¬r. Ancak, genellikle iX0 6= i0 olur.
Önerme 2.1.19. (X; ) bir topolojik uzay, X0
X olsun ve
üzerine indirgenen topoloji gösterilsin. Bu durumda
ve k = 0; +; ; 3 için
2
k
ise,
X0
2
k
olur.
11
2
X0
(X) ise,
ile X den X0
X0
2
(X0 )
Önerme 2.1.20. (X; ) bir topolojik uzay, X0
durumda,
X0
2
1
X ve
2
(X) olsun. Bu
olmas¬için gerek ve yeter koşul X0 kümesinin -aç¬k olmas¬d¬r.
Önerme 2.1.21. (X; ) bir topolojik uzay, X0
X; X0 2
Bu durumda A kümesi -aç¬k ise, A \ X0 kümesi
X0 -aç¬kt¬r.
ve
2
3
(X) olsun.
-aç¬k kümelerle ilgili baz¬ önemli özelliklerde yine Császár taraf¬ndan 2003 de verilmiştir. Şimdi bu özelliklerden bizim için önemli olanlar¬ ifade edelim. (Császár
2003)
Önerme 2.1.22. (X; ) bir topolojik uzay, A
kümesinin
X0 -aç¬k
X0
X ve
2
olmas¬için gerek ve yeter koşul A kümesinin -aç¬k olmas¬d¬r.
(X; ) bir topolojik uzay, X0
X ve
X0
ile de
dan X0 üzerine indirgenen topoloji
gösterilsin. i; c; i0 ve c0 Örnek 2.1.5 de verildi¼
gi gibi al¬ns¬n ve
p = ic;
= ici;
(X) olsun. A
2
(X); s = ci;
= cic dönüşümlerinden herhangi biri olsun. Di¼
ger yandan; expX0
üzerinde tan¬ml¬ s0 = c0 i0 ; p0 = i0 c0 ;
al¬ns¬n. Genellikle; sX0 ; pX0 ;
0
X0 ;
X0
= i0 c 0 i0 ;
0
= c0 i0 c0 dönüşümleri gözönüne
dönüşümleri s0 ; p0 ;
0
;
0
dönüşümleri ile
çak¬şmaz. Ancak, baz¬olumlu sonuçlar verilebilir:
Önerme 2.1.23.
(a) A
= s; p;
veya
olarak al¬ns¬n. Aşa¼
g¬daki özellikler gerçeklenir.
X0 ve A -aç¬k ise, bu durumda A
0
(b) X0 -aç¬k ise, bu durumda X0 ¬n
Tan¬m 2.1.4. X bir küme,
2
0
-aç¬kt¬r.
-aç¬k her alt kümesi -aç¬kt¬r.
(X) ve C
X olsun. X in -aç¬k her A alt
kümesi için A \ C kümesi -aç¬k oluyor ise, C kümesine -conservativedir denir.
Teorem 2.1.2 de,
2
(X) için X in tüm -conservative alt kümelerinin ailesi C
ile gösterilmiş ve C ailesinin X üzerinde bir topoloji oldu¼
gu ispatlanm¬şt¬r. Ayr¬ca;
(X; ) bir topolojik uzay ve
fG : G;
2
3
ise,
-aç¬kg oldu¼
gu kolayl¬kla görülür.
12
C olur ve
2
13
ise,
C
Son olarak Császár taraf¬ndan 2000 de verilen -kompakt uzay tan¬m¬n¬ ve k¬saca
-kompakt uzaylar¬n baz¬temel özelliklerini hat¬rlatal¬m.
Tan¬m 2.1.5. (Császár 2000) (X; ) bir topolojik uzay ve
2
013
2
ve X kümesini örten herhangi bir A = (Ak )k2K
olsun. Bu durumda;
-aç¬k alt kümeler ailesi
için, X kümesini örtecek biçimde A ailesinin sonlu elemanl¬bir alt ailesi bulunabiliyor
ise, X; -kompaktt¬r denir.
Aç¬kca görülece¼
gi üzere -kompakt her topolojik uzay kompakt¬r. Di¼
ger yandan,
-kompakt uzaylara baz¬örnekler
= ci için yar¬-kompakt uzaylar (Dorsett 1980),
= ic için kuvvetli kompakt uzaylar (Mashour and Abd El-Monsef 1984),
için -kompakt uzaylar (Maheshwari and Thakur 1985) ve
= ici
= cic için -kompakt
uzaylar (Abd El-Monsef and Kozae 1985) olarak al¬nabilir.
X in bir alt uzay¬n¬n
-kompakt olmas¬ için gerek ve yeter şart alt uzay X den
indirgenen topolojisiyle donat¬ld¬g¼¬nda yukar¬daki özelli¼
gin sa¼
glanmas¬d¬r. Örne¼
gin;
(X; ) bir topolojik uzay, X0
X olsun ve
X0
ile de
dan X0 üzerine indirgenen
topolojiyi gösterelim. i; c; i0 ve c0 dönüşümlerini Örnek 2.1.5 de verildi¼
gi gibi tan¬mlayal¬m ve
dönüşümü s = ci; p = ic;
biri olsun. Bu durumda; e¼
ger,
0
0
= ici;
; X0 üzerinde tan¬ml¬s0 = c0 i0 ; p0 = i0 c0 ;
= c0 i0 c0 dönüşümlerinden biri ise
0
2
için gerek ve yeter şart X0 = [k2K Ak ; Ak
(9J) (J
= cic dönüşümlerinden herhangi
013
(X0 ) d¬r ve X0 ¬n
0
0
0
= i0 c 0 i 0 ;
-kompakt olmas¬
Ak için X0 = [k2J Ak olacak biçimde
K) öyleki (J sonlu elemanl¬) indis kümesinin var olmas¬d¬r. Di¼
ger yandan;
X0 üzerinde tan¬ml¬
X0
dönüşümü ele al¬n¬rsa, X0 ¬n
ve yeter şart
013
(X0 ) ve X0 = [k2K Ak ; Ak
X0
2
cak biçimde (9J) (J
Ancak, sX0 ; pX0 ;
X0 ;
X0 -kompakt
X0 Ak
olmas¬için gerek
için X0 = [k2J Ak ola-
K) öyleki (J sonlu elemanl¬) indis kümesinin var olmas¬d¬r.
X0
dönüşümlerinin s0 ; p0 ;
lar¬na dikkat edilmelidir. E¼
ger,
= s; p; ;
çak¬ş¬r.
13
0
;
0
dönüşümleriyle çak¬şmad¬k-
için X0 2 g ise sözkonusu dönüşümler
2.2. Genelleştirilmiş Topoloji ve Genelleştirilmiş Komşuluk Sistemleri
Genelleştirilmiş topoloji ve genelleştirilmiş komşuluk sistemi kavramlar¬ 2002 de
Császár taraf¬ndan ortaya konmuş ve takip eden y¬llarda bu kavramlarla ilgili pek
çok çal¬şma yap¬lm¬şt¬r.
Császár (2002); X 6= ; bir küme, I 6= ; bir indis kümesi ve g = (G{ ){2I
exp X
olmak üzere
; 2 g ve 8J
I icin G = [{2J G{ 2 g
koşulunu gerçekleyen g ailesine X üzerinde bir genelleştirilmiş topoloji (k¬saca GT) ve
(X; g) ikilisine de genelleştirilmiş topolojik uzay ad¬n¬vermiştir. X üzerinde tan¬ml¬
tüm genelleştirilmiş topolojilerin ailesi B (X) ile gösterilmiştir. g nin ö¼
gelerine g-aç¬k
kümeler ve g-aç¬k kümelerin tümleyenlerine de g-kapal¬kümeler denir. Herhangi bir
X için A kümesinin g-içi A n¬n kapsad¬g¼¬g-aç¬k kümelerin en büyü¼
gü olup ig A
A
ile gösterilir. A kümesinin g-kapan¬ş¬ise A kümesini kapsayan g-kapal¬kümelerin en
küçü¼
gü olup cg A ile gösterilir. Dolay¬s¬yla;
ig A = [ fG 2 g:G
(2.2.1)
Ag
ve
cg A = \ fF
F ve F g-kapal¬g
X:A
(2.2.2)
biçiminde tan¬mlanm¬şt¬r. Ayr¬ca, g genelleştirilmiş topolojisi X 2 g koşulunu sa¼
gl¬yor
ise, g ye kuvvetli genelleştirilmiş topoloji ad¬verilir (Császár 2004 a).
X bir küme ve
2
(X) olsun. Bu durumda -aç¬k kümelerin oluşturdu¼
gu aile X
üzerinde bir GT olup g ile gösterilir. E¼
ger bir
2
(X) için g=g ise, ig = i ve
cg = c yaz¬l¬r. Ayr¬ca, (X; ) bir topolojik uzay olmak üzere exp X in s ( ), p ( ) ;
( );
( ) ; ( ) ve ( ) alt kümeleri de X üzerinde birer GT dir.
2007 de Császár taraf¬ndan tan¬mlanan
(g) ve (g) aileleri bizim için önem teşkil
etmektedir. g; X üzerinde bir geneleştirilmiş topoloji olmak üzere bu aileler
14
(g) = fA
(g) = fA
X : 8x 2 A için x 2 G
X : 8x 2 A için x 2 ig K
cg G
A olacak biçimde bir G 2 g vard¬rg
A olacak biçimde g-kapal¬bir K
X vard¬rg
(2.2.3)
biçiminde tan¬mlanm¬şt¬r.
(g)
(g)
g olup (g) ve (g) aileleri de X üzerinde
birer genelleştirilmiş topolojidir (Császár 2007 a).
(g) ailesi için bir di¼
ger karakterizasyonda aşa¼
g¬daki şekilde verilmiştir.
Önerme 2.2.1. (Császár 2008 a) g; X üzerinde bir geneleştirilmiş topoloji ve A
X
olsun. Bu durumda aşa¼
g¬daki önermeler denktirler.
(a) A 2 (g) :
(b) 8x 2 A için x 2 ig cg G
A olacak biçimde x noktas¬n¬içeren bir G 2 g vard¬r.
X in herhangi bir alt kümeler ailesi için temel ay¬rma aksiyomlar¬2004 c de Császár
taraf¬ndan tan¬mlanm¬şt¬r. O halde, g, X üzerinde bir GT olmak üzere T0 ; T1 ; T2 ;
S1 ve S2 ay¬rma aksiyomlar¬aşa¼
g¬daki şekilde ifade edilir:
(T0 ) 8x; y 2 X ve x 6= y için x 2 G; y 2
= G veya y 2 G; x 2
= G olacak biçimde bir
G 2 g vard¬r.
(T1 ) 8x; y 2 X ve x 6= y için x 2 G; y 2
= G ve y 2 G0 ; x 2
= G0 olacak şekilde G ve
G0 2 g vard¬r.
(T2 ) 8x; y 2 X ve x 6= y için x 2 G; y 2 G0 ve G \ G0 = ; olacak şekilde G ve G0 2 g
vard¬r.
(S1 ) x; y 2 X olmak üzere x 2 G ve y 2
= G koşulunu sa¼
glayan her G 2 g için, y 2 G0
ve x 2
= G0 olacak şekilde bir G0 2 g vard¬r.
(S2 ) x; y 2 X olmak üzere x 2 G ve y 2
= G koşulunu sa¼
glayan her G 2 g için, x 2 G0 ,
15
y 2 G00 ve G0 \ G00 = ; olacak şekilde G0 ve G00 2 g vard¬r.
Tan¬m 2.2.1. (Császár 2007 b) g; X üzerinde bir GT olsun. Bu durumda F \F 0 = ;
koşulunu sa¼
glayan her F; F 0
X g-kapal¬kümeleri için F
G, F 0
G0 ve G\G0 = ;
olacak şekilde G ve G0 g-aç¬k kümeleri varsa, g genelleştirilmiş topolojisi normaldir
denir.
Bir küme üzerinde genelleştirilmiş topolojiler elde etmek için di¼
ger bir yöntem de
genelleştirilmiş komşuluk sistemleri tan¬mlanarak verilmiştir.
Tan¬m 2.2.2. (Császár 2002)
8V 2
dönüşümü;
: X ! exp (exp X) ; 8x 2 X ve
(x) için x 2 V koşulu gerçeklenecek şekilde tan¬mlans¬n. Bu durumda,
dönüşümüne X üzerinde bir genelleştirilmiş komşuluk sistemi (k¬saca GNS) ve
V 2
verilir.
(x) kümesine x noktas¬n¬n bir genelleştirilmiş komşulu¼
gu (k¬saca GN) ad¬
(X) ile de X üzerinde tan¬ml¬tüm genelleştirilmiş komşuluk sistemlerinin
ailesi gösterilir.
2
(X) için { ve
dönüşümleri A
X olmak üzere
{ A = fx 2 X : 9V 2
(x) 3 V
(2.2.4)
Ag
ve
A = fx 2 X : 8V 2
biçiminde tan¬mlanm¬şt¬r.
(x) için V \ A 6= ;g
; X üzerinde bir GNS olmak üzere
(2.2.5)
yard¬m¬yla tan¬m-
lanan,
g = fG
X : 8x 2 G için 9V 2
(x) 3 V
Gg
ailesinin X üzerinde bir GT oldu¼
gu gösterilmiş ve g genelleştirilmiş topolojisine
genelleştirilmiş komşuluk sisteminin üretti¼
gi GT ad¬verilmiştir. Bir
2
(X) için
g = g ise, ig = i ve cg = c yaz¬l¬r. (Császár 2002)
Ayr¬ca; g; X üzerinde bir GT olmak üzere her x 2 X için
biçiminde tan¬mlanan
g
g
(x) = fG 2 g : x 2 Gg
dönüşümü X üzerinde bir GNS dir. Ancak baz¬ x 2 X
16
noktalar¬için
g
(x) = ; olabilece¼
gi dikkate al¬nmal¬d¬r. Di¼
ger yandan; X üzerinde
bir g genelleştirilmiş topolojisi verildi¼
ginde
8x 2 X ve 8V 2
koşulunu sa¼
glayan
(x) için V 2 g
genelleştirilmiş komşuluk sistemlerinin oluşturdu¼
gu aile
g
(X)
ile gösterilir. (Császár 2002)
(2.2.1), (2.2.2), (2.2.4) ve (2.2.5) operatörlerinin temel özelliklerini ve aralar¬ndaki
ilişkileri ifade eden sonuçlar, 2002 de Császár taraf¬ndan verilmiştir. Şimdi bu özellikleri ve sonuçlar¬k¬saca hat¬rlatal¬m.
Lemma 2.2.1.
; X üzerinde bir genelleştirilmiş komşuluk sistemi olsun. Bu du-
rumda aşa¼
g¬daki özellikler vard¬r.
(a) { ve
2
(X) olur.
(b) 8A
X için
(c) 8A
X için i A
Genelde bir
2
A=X
A) eşitli¼
gi gerçeklenir.
{ (X
{ A ve
c A olur.
A
(X) ve herhangi bir A
X için i A 6= { A ve
Örnek 2.2.1. X = R olsun ve 8x 2 X için
tan¬mlans¬n. Bu durumda, b
[a + 1; b
(x) = f(x
1; x + 1)g biçiminde
2 olmak üzere I = (a; b)
a
A 6= c A d¬r.
R için { I =
1] ve g = f;; Xg oldu¼
gundan i I = ; dir.
Lemma 2.2.2. ; X üzerinde g = g için
olsun. Bu durumda, { = i ve
2
g
(X) koşulunu gerçekleyen bir GNS
= c eşitlikleri gerçeklenir.
Lemma 2.2.3. g; X üzerinde bir GT ve
=
g
olsun. Bu durumda, g = g dir.
Önerme 2.2.2. (Császár 2008 b) ; X üzerinde bir genelleştirilmiş komşuluk sistemi
olsun. Bu durumda, { 2
ve
2
+
olur.
17
Ayr¬ca g2B (X) ve
2
+
(X) olmas¬durumunda 8x 2 X için
( ; g) (x) = fV
biçiminde tan¬mlanan
X : 9G 2 g 3 x 2 G ve V = Gg
( ; g) dönüşümü X üzerinde bir genelleştirilmiş komşuluk
sistemidir (Császár 2002).
Bunlara ek olarak, yine 2002 de Császár genelleştirilmiş süreklilik kavram¬n¬ortaya
koyarak; literatürde bilinen pek çok süreklilik çeşidinin birarada incelemesini elverişli k¬lacak bir tan¬m vermiştir.
Tan¬m 2.2.3. X ve Y iki küme ve f : X 7 ! Y fonksiyonu verilsin. g ve g0 s¬ras¬yla
X ve Y üzerinde tan¬ml¬birer GT olsun. Bu durumda; 8G0 2 g0 için f
1
(G0 ) 2 g
oluyor ise, f fonksiyonuna (g; g0 )-süreklidir (veya genelleştirilmiş süreklidir) denir.
(X; ) ve (Y;
0
) topolojik uzaylar¬ gözönüne al¬n¬rsa; ( ;
anlamda süreklili¼
ge, (s ( ) ;
0
0
)-süreklilik al¬ş¬lm¬ş
)-süreklilik yar¬süreklili¼
ge (Levine 1963), (p ( ) ;
süreklilik ön-süreklili¼
ge (Mashhour et al. 1982), ( ( ) ;
(Abd El-Monsef et al. 1983), ( ( ) ;
0
)-süreklilik
0
)-süreklilik
0
)-
-süreklili¼
ge
-süreklili¼
ge (Mashhour et al.
1983) karş¬l¬k gelir.
Tan¬m 2.2.4. (Császár 2003) X ve Y iki küme ve f : X 7 ! Y fonksiyonu verilsin.
g ve g0 s¬ras¬yla X ve Y üzerinde tan¬ml¬birer GT olsun. Bu durumda; 8G 2 g için
f (G) 2 g0 oluyor ise, f fonksiyonuna (g; g0 )-aç¬kt¬r denir.
Tan¬m 2.2.5. (Császár 2008 b) X ve Y iki küme ve f : X 7 ! Y fonksiyonu verilsin.
g ve g0 s¬ras¬yla X ve Y üzerinde tan¬ml¬birer GT olsun. Bu durumda; f fonksiyonu
birebir, örten ve f ve f
1
fonksiyonlar¬ genelleştirilmiş sürekli ise, f fonksiyonuna
(g; g0 )-homeomor…zm (genelleştirilmiş homeomor…zm) ad¬verilir.
Genelleştirilmiş komşuluk sistemleri yard¬m¬yla süreklilik kavram¬ ve bu kavram¬n
temel özellikleri 2002 de Császár taraf¬ndan verilmiştir. Şimdi bu kavramlardan
bizim için önemli olanlar¬hat¬rlatal¬m.
18
Tan¬m 2.2.6. X ve Y iki küme ve f : X 7 ! Y fonksiyonu verilsin. X ve Y üzerinde
tan¬ml¬
2
(X) ve
0
2
(Y ) genelleştirilmiş komşuluk sistemlerini gözönüne
0
alal¬m. Herhangi bir x 2 X al¬nd¬g¼¬nda 8V 0 2
sa¼
glayan bir V 2
Literatürde, ( ;
0
(x) bulunabiliyor ise, f fonksiyonuna ( ;
0
V 0 koşulunu
(f (x)) için f (V )
)-süreklidir denir.
)-süreklilik için bilinen çok say¬da örnek vard¬r. (X; ) ve (Y;
topolojik uzaylar¬gözönüne al¬n¬rsa; ( ;
0
)-süreklilik;
için zay¬f süreklili¼
ge (Mashhour et al. 1982),
zay¬f -süreklili¼
ge (Popa and Noiri 1994),
süreklili¼
ge (Noiri 1987),
=
s( )
ve
0
=
=
=
( )
(c 0 ;
0
0
ve
0
ve
( )
0
ve
=
=
=
(c 0 ;
=
(c 0 ;
(c 0 ;
0
0
0
)
0
)
) için
) için zay¬f -
) için zay¬f yar¬-süreklili¼
ge (Arya
and Bhamini 1982) karş¬l¬k gelir. Örneklerin say¬s¬artt¬r¬labilir.
Önerme 2.2.3. X ve Y iki küme ve f : X 7 ! Y fonksiyonu verilsin. X ve Y
üzerinde tan¬ml¬
2
(X) ve
0
2
0
gözönüne alal¬m. f fonksiyonu ( ;
(Y ) genelleştirilmiş komşuluk sistemlerini
)-sürekli ise, g ; g
-süreklidir.
0
Ancak Önerme 2.2.3 ün karş¬t¬genellikle do¼
gru de¼
gildir. Aşa¼
g¬daki örnek bu durumu
aç¬klar.
Örnek 2.2.2. X = fa; b; cg ve X üzerinde
f;; X; fag ; fcg ; fa; cgg topolojileri verilsin.
g =g
0
= f;; X; fag ; fbg ; fa; bgg ve
(c ; ) ve
=
= f;; Xg olup f = idx birim dönüşümü g ; g
0
=
(c 0 ;
0
=
) al¬n¬rsa;
-süreklidir, ancak ( ;
0
0
0
)-
sürekli de¼
gildir.
Önerme 2.2.3 ün karş¬t¬n¬n gerçeklenmesi için gerekli koşul aşag¬daki şekilde ifade
edilmiştir.
Önerme 2.2.4. X ve Y iki küme ve f : X 7 ! Y fonksiyonu verilsin. X ve Y
üzerinde tan¬ml¬
2
(X) ve
0
2
gözönüne alal¬m. f fonksiyonu g ; g
(Y ) genelleştirilmiş komşuluk sistemlerini
0
-sürekli ise ve
g0 2 B (Y ) varsa, bu durumda f fonksiyonu ( ;
Teorem 2.2.1.
ve
0
0
0
=
g0
olacak biçimde bir
)-süreklidir.
s¬ras¬yla X ve Y üzerinde tan¬ml¬ iki GNS olsun ve f :
19
X 7 ! Y fonksiyonu verilsin. Bu durumda aşa¼
g¬daki önermeler denktirler.
(a) f fonksiyonu ( ;
0
(b) 8A
X için f
A
(c) 8B
Y için
1
f
)-süreklidir.
0
(B)
f
f (A) gerçeklenir.
1
0
B gerçeklenir.
Genelleştirilmiş komşuluk sistemleri için farkl¬ iki dönüşüm ve farkl¬ bir süreklilik
tan¬m¬ da 2005 de Min taraf¬ndan verilmiştir. Bu kavramlardan ve özelliklerinden
k¬saca bahsedelim.
Tan¬m 2.2.7.
rumda; 8A
; X üzerinde bir genelleştirilmiş komşuluk sistemi olsun. Bu du-
X için I ve cl operatörleri
I A = fx 2 A : A 2
(2.2.6)
(x)g
ve
cl A = fx 2 X : X
A2
=
(2.2.7)
(x)g
biçiminde tan¬ml¬d¬r.
Teorem 2.2.2. ; X üzerinde bir genelleştirilmiş komşuluk sistemi ve A
X olsun.
Bu durumda
(a) I A
A ve A
(b) cl A = X
(c) I A
cl A olur.
I (X
{ A ve
A
Genelde I A 6= { A ve
A) ve I A = X
cl (X
A) eşitlikleri gerçeklenir.
cl A olur.
A 6= cl A d¬r. Aşa¼
g¬daki örnek bu durumu aç¬klar.
Örnek 2.2.3. X = fa; b; cg ve A = fa; bg olarak al¬ns¬n ve X üzerinde
ilmiş komşuluk sistemi;
(a) = ffag ; fa; bgg ;
(b) = ffbgg ve
genelleştir(c) = ffcgg
biçimimde tan¬mlans¬n. Bu durumda, I A = fag ; ancak { A = fa; bg oldu¼
gun20
gu aç¬kt¬r. Benzer şekilde
dan I A 6= { A oldu¼
gösterilebilir. Ayr¬ca B = X
Tan¬m 2.2.8.
0
ve
gu da kolayl¬kla
A 6= cl A oldu¼
A için I B = ; oldu¼
gundan I A * I B dir.
s¬ras¬yla X ve Y üzerinde tan¬ml¬iki GNS olsun ve f : X 7 ! Y
fonksiyonu verilsin. Herhangi bir x 2 X noktas¬al¬nd¬g¼¬nda f (x) noktas¬n¬n 8V 2
0
(f (x)) genelleştirilmiş komşulu¼
gu için f
1
(V ) 2
(x) oluyorsa f fonksiyonu gn-
süreklidir denir.
Önerme 2.2.5. gn-sürekli her fonksiyon ( ;
0
ve
Teorem 2.2.3.
0
)-süreklidir.
s¬ras¬yla X ve Y üzerinde tan¬ml¬ iki GNS olsun ve
f : X 7 ! Y fonksiyonu verilsin. Bu durumda aşa¼
g¬daki önermeler denktirler.
(a) f fonksiyonu gn-süreklidir.
1
(b) 8B
Y için f
(c) 8B
Y için cl (f
Tan¬m 2.2.9.
ve
I 0 (B)
0
1
(B))
I (f
f
1
1
(B)) gerçeklenir.
cl 0 (B) gerçeklenir.
s¬ras¬yla X ve Y üzerinde tan¬ml¬iki GNS olsun ve f : X 7 !
Y fonksiyonu verilsin. Herhangi bir x 2 X noktas¬ ve x noktas¬n¬n 8V 2
0
genelleştirilmiş komşulu¼
gu için f (V ) 2
(x)
(f (x)) oluyorsa f fonksiyonu gn-aç¬kt¬r
denir.
Teorem 2.2.4.
ve
0
s¬ras¬yla X ve Y üzerinde tan¬ml¬iki GNS ve f : X 7 ! Y
birebir ve örten bir fonksiyon olsun. Bu durumda aşa¼
g¬daki önermeler denktirler.
(a) f fonksiyonu gn-aç¬kt¬r.
(b) 8B
Y için I (f
1
(B))
f
1
I 0 (B) gerçeklenir.
Tan¬m 2.2.10. (Min 2008) (a) X ve Y iki küme, g ve g0 s¬ras¬yla X ve Y üzerinde
tan¬ml¬birer GT olsun ve f : X 7 ! Y fonksiyonu verilsin. Bu durumda; 8x 2 X ve
f (x) noktas¬n¬içeren 8G0 2 g0 için f (G)
cg0 G0 olacak biçimde x noktas¬n¬içeren
bir G 2g var ise, f fonksiyonuna zay¬f (g; g0 )-süreklidir denir.
21
(b)
ve
0
s¬ras¬yla X ve Y üzerinde tan¬ml¬ iki GNS olsun ve f : X 7 ! Y
fonksiyonu verilsin. Herhangi bir x 2 X al¬nd¬g¼¬nda 8V 2
0
V koşulunu sa¼
glayan bir U 2
0
(f (x)) için f (U )
(x) varsa, f fonksiyonuna zay¬f ( ;
0
)-süreklidir
denir.
Son olarak; Császár taraf¬ndan verilen ascending alt kümeler ailesi kavram¬n¬ifade
edelim.
Tan¬m 2.2.11. (Császár 2008 b)
gösterilsin ve A; B
gerektiriyor ise
E¼
ger,
ile exp X in herhangi bir alt kümeler ailesi
X olsun. E¼
ger, A 2
ve A
B
X olmas¬B 2
olmas¬n¬
ailesine exp X in ascending bir alt kümeler ailesidir denir.
+
exp X ise
= fB
X : 9A 2
3 A
Bg biçiminde tan¬mlanan aile
ailesini içeren en küçük ascending alt kümeler ailesidir. Böylece;
üzere, Császár (2008 b) taraf¬ndan,
+
(x) = fW
biçiminde tan¬mlanm¬ş ve
+
+
bir GNS olmak
dönüşümü, her x 2 X için
X : 9V 2
(x) 3 V
Wg
n¬n da bir GNS oldu¼
gu gösterilmiştir.
22
(2.2.8)
3. co- -KOMPAKT GENELLEŞTI·RI·LMI·Ş TOPOLOJI·LER VE
c-GENELLEŞTI·RI·LMI·Ş SÜREKLI· FONKSI·YONLAR
Bu bölümde, kokompakt topoloji ve c-sürekli fonksiyon kavramlar¬hat¬rlat¬larak bu
kavramlar ile ilgili baz¬temel sonuçlar ifade edilmiştir. Daha sonra orjinal sonuçlar
verilmiştir. Öncelikle, -kompakt uzay tan¬m¬ kullan¬larak, kokompakt topoloji ve
c-sürekli fonksiyon kavramlar¬ genelleştirilmiş topolojik uzaylara genelleştirilmiştir.
Böylece, co- -kompakt ve quasi co- -kompakt genelleştirilmiş topoloji tan¬mlar¬elde
edilmiştir. Ayr¬ca c-genelleştirilmiş sürekli fonksiyonlar tan¬mlanarak temel özellikleri incelenmiştir.
3.1. Kokompakt Topolojiler ve c-Sürekli Fonksiyonlar
c-sürekli fonksiyonlar 1970 de Gentry ve Hoyle taraf¬ndan tan¬mlanm¬şt¬r. Daha
sonra, 1978 de Gauld bir (X; ) topolojik uzay¬n¬ gözönüne alarak, X üzerinde,
Gentry ve Hoyle taraf¬ndan tan¬mlanan c-sürekli fonksiyonlarla ilişkili ve
dan daha
kaba olan kompakt bir topoloji tan¬mlam¬ş ve bu topolojiye kokompakt topoloji ad¬n¬
vermiştir. Şimdi bu kavramlar¬ve temel özelliklerini k¬saca hat¬rlatal¬m.
Tan¬m 3.1.1. (Gentry and Hoyle 1970) (X; ) ve (Y; 0 ) iki topolojik uzay olsun
ve f : (X; ) 7 ! (Y; 0 ) fonksiyonu verilsin. Herhangi bir x 2 X al¬nd¬g¼¬nda f (x)
noktas¬n¬içeren ve tümleyeni kompakt olan 8V 2
V koşulunu sa¼
glayan bir U 2
0
için x noktas¬n¬içeren ve f (U )
varsa, f fonksiyonuna c-süreklidir denir.
Gauld (1978), bir (X; ) topolojik uzay¬n¬gözönüne alarak X üzerinde
c ( ) = f;g [ fA 2
:X
A;
X A -kompaktg
ailesini tan¬mlam¬ş ve bir topoloji oldu¼
gunu göstermiştir. Bu topolojiye X üzerinde
tan¬ml¬kokompakt topoloji ad¬verilir.
Teorem 3.1.1. (Gauld 1978) (X; c ( )) topolojik uzay¬kompaktt¬r.
23
Sonuç 3.1.1. (Gauld 1978) ; X üzerinde bir topoloji olmak üzere c ( ) =
olmas¬
için gerek ve yeter koşul (X; ) topolojik uzay¬n¬n kompakt olmas¬d¬r.
3.2. co- -Kompakt Genelleştirilmiş Topolojiler
Bu bölümde Császár taraf¬ndan verilen
-kompaktl¬k kavram¬ndan faydalanarak,
X üzerinde, Gauld taraf¬ndan tan¬mlanan kokompakt topolojinin analo¼
gu olan bir
genelleştirilmiş topoloji elde edilecektir.
(X; ) bir topolojik uzay ve
2
c (g ) = c ( ) [ fA 2 g
(X) olmak üzere;
013
: 9C 2 C 3 X
C ve C;
A
C -kompaktg
(3.2.1)
ailesini tan¬mlayal¬m. c (g ) ailesi g genelleştirilmiş topolojisinin bir alt ailesidir.
Öncelikle elde edece¼
gimiz sonuçlar için gerekli olan aşa¼
g¬daki lemmay¬verelim.
Lemma 3.2.1. (X; ) bir topolojik uzay,
2
013
(X), O
X olsun ve
C
C
ile
de X den C üzerine indirgenen topoloji gösterilsin. Bu durumda aşa¼
g¬daki özellikler
vard¬r.
(a) C 2 C ve O 2
(b) C 2
C
ise, bu durumda O kümesi
ise, bu durumda O 2
C
C -aç¬kt¬r.
olmas¬ için gerek ve yeter koşul O kümesinin
iC -aç¬k olmas¬d¬r.
I·spat. (a) O 2
C
olsun. Bu durumda O = U \ C olacak biçimde bir U 2
Önerme 2.1.18 (a) kullan¬l¬rsa,
2
13
oldu¼
gundan U 2 g olacakt¬r. Böylece Tan¬m
2.1.4 den O 2 g sonucu elde edilir. O halde O
O kümesi
(b)
=i2
vard¬r.
O\C =
CO
olur. Dolay¬s¬yla
C -aç¬kt¬r.
13
için Ci =
olaca¼
g¬aç¬kt¬r. O halde O 2
C
ise, (a) dan O kümesi iC -
aç¬kt¬r. Di¼
ger yandan, O kümesi iC -aç¬k olsun. Bu durumda O
olur. Böylece O 2
ve O
C oldu¼
gundan O 2
24
C
dir.
iC O = iO\C
iO
Sonuç 3.2.1. (X; ) bir topolojik uzay,
2
013
(X), C
X olsun. Bu durumda
aşa¼
g¬daki özellikler vard¬r.
(a) C 2 C ve C;
(b) C 2
(C;
C)
C -kompakt
ise, (C;
C)
kompaktt¬r.
olsun. Bu durumda C nin iC -kompakt olmas¬ için gerek ve yeter koşul
alt uzay¬n¬n kompakt olmas¬d¬r.
Böylece aşa¼
g¬daki önermeyi verebiliriz.
Önerme 3.2.1. c (g ) ailesi X üzerinde bir kuvvetli genelleştirilmiş topolojidir.
I·spat. ; ve X 2 c (g ) d¬r. A = [{2I A{ öyle ki 8{ 2 I için A{ 2 c (g ) olsun. Bu
durumda üç olas¬l¬k söz konusudur:
(a) 8{ 2 I için A{ 2 c ( ) ise, c ( ) X üzerinde bir topoloji oldu¼
gundan A 2 c ( )
c (g ) olacakt¬r.
(b) 8{ 2 I için A{ 2 c (g )
c ( ) ise, bu durumda 8{ 2 I için A{ 2 g
ya da A 2 g
aç¬kt¬r. O halde, A 2
olacakt¬r. Öncelikle, A 2
edelim. Bir { 2 I seçilirse, A{ 2 c (g )
C{ ;
C{ -kompakt
olacak biçimde bir C{
Sonuç 3.2. (a) dan (C{ ;
(C{ ;
C{ )
c ( ) oldu¼
gundan, X
C{ )
olaca¼
g¬
oldu¼
gunu kabul
A{
C{ ; C{ 2 C ve
X vard¬r. Böylece C{ 2 C oldu¼
gundan,
topolojik uzay¬kompaktt¬r. Di¼
ger yandan, X A kümesi
c (g ) d¬r.
topolojik uzay¬n¬n kapal¬bir alt kümesidir. O halde A 2 c ( )
Şimdi, A 2 g
oldu¼
gunu kabul edelim. Bu durumda, 8{ 2 I için X
oldu¼
gundan, X
A{
C{ ; C{ 2 C ve C{ ;
C{ -kompakt
A
X
A{
olacak biçimde bir C{
X
vard¬r. O halde A 2 c (g ) olur.
(c) { 2 J ( I için A{ 2 c ( ) ve { 2 I
{ 2 J ( I için A{ 2
ve { 2 I
J için A{ 2 c (g )
J için A{ 2 g
c ( ) ise, bu durumda
olur. Böylece A 2 c (g ) oldu¼
gu
(b) için verilen ispata benzer biçimde kolayl¬kla elde edilir.
Örnek 3.2.1. X = fa; b; cg,
= fX; ;; fag ; fbg ; fa; bgg ve
= ci olarak al¬ns¬n. Bu durumda
2
013
: exp X 7 ! exp X;
ve g = fX; ;; fag ; fbg ; fa; bg ; fa; cg ;
fb; cgg dir. Ayr¬ca c (g ) = g oldu¼
gu kolayl¬kla görülür. Dolay¬s¬yla c (g ) ailesinin
25
X üzerinde bir topoloji olmak zorunda olmad¬g¼¬aç¬kt¬r.
Tan¬m 3.2.1. c (g ) ailesine X üzerinde tan¬ml¬co- -kompakt genelleştirilmiş topoloji
denir.
Tan¬m 3.2.2. g; X üzerinde bir kuvvetli GT olsun. E¼
ger; X kümesini örten herhangi
bir A = (Ak )k2K g-aç¬k alt kümeler ailesi için, X kümesini örtecek biçimde A
ailesinin sonlu elemanl¬bir alt ailesi bulunabiliyor ise, (X; g) genelleştirilmiş topolojik
uzay¬na kompakt genelleştirilmiş topolojik uzay denir.
Lemma 3.2.2. (X; ) bir topolojik uzay ve
2
013
olsun. Bu durumda aşa¼
g¬daki
önermeler denktirler.
(a) X; -kompaktt¬r.
(b) (X; g ) kompakt genelleştirilmiş topolojik uzayd¬r.
I·spat. Tan¬m 2.1.5 ve 3.2.2 den aç¬kça görülür.
Tan¬m 3.2.2 gözönüne al¬nd¬g¼¬nda (X; c (g )) genelleştirilmiş topolojik uzay¬ için
aşa¼
g¬daki teorem verilebilir.
Teorem 3.2.1. (X; c (g )) kompakt genelleştirilmiş topolojik uzayd¬r.
I·spat. X = [{2I A{ öyle ki 8{ 2 I için A{ 2 c (g ) olsun. Bu durumda iki olas¬l¬k söz
konusudur:
(a) 8{ 2 I için A{ 2 c ( ) olsun. O halde bir {0 2 I seçilirse, X
topolojik uzay¬n¬n kompakt bir alt uzay¬d¬r. Dolay¬s¬yla, X
biçimde sonlu elemanl¬bir F
A{0 ; (X; )
[{2F A{ olacak
A{0
I indis kümesi vard¬r. Böylece X = A{0 [ (X
A{0 )
oldu¼
gundan (X; c (g )) bir kompakt genelleştirilmiş topolojik uzayd¬r.
(b) { 2 J ( I için A{ 2 c ( ) ve { 2 I
bir {0 2 I
bir C{0
J için X
A{0
J için A{ 2 c (g )
C{0 ; C{0 2 C ve C{0 ;
c ( ) olsun. Bu durumda
C{0 -kompakt
olacak biçimde
X vard¬r. Di¼
ger yandan; C{0 = [{2I (A{ \ C{0 ) yaz¬labilir. Ayr¬ca, 8{ 2 I
26
için A{ \ C{0 2 g oldu¼
gundan 8{ 2 I için A{ \ C{0 kümesi
C{0 -aç¬kt¬r.
O halde;
C{0 = [{2F (A{ \ C{0 ) olacak biçimde sonlu elemanl¬bir F
I indis kümesi vard¬r.
S
Dolay¬s¬yla, X =
A{ olur, yani (X; c (g )) kompakt genelleştirilmiş topolojik
{2f{0 g[F
uzayd¬r.
(X; ) bir topolojik uzay ve
= i olarak al¬n¬rsa gi =
olaca¼
g¬ndan aşa¼
g¬da verilen
teoremin ispat¬aç¬kt¬r.
Teorem 3.2.2. (X; ) bir topolojik uzay ve
= i olsun. Bu durumda; c ( ) = c ( )
eşitli¼
gi gerçeklenir.
Böylece Teorem 3.1.1,
= int için Teorem 3.2.1 ve 3.2.2 nin bir sonucu olarak elde
edilir.
Sonuç 3.2.2. (X; c ( )) kompakt bir topolojik uzayd¬r.
Son olarak Sonuç 3.1.1 in analo¼
gu olan aşa¼
g¬daki teoremi ifade edelim.
Teorem 3.2.3. (X; ) bir topolojik uzay ve
2
013
(X) olsun. Bu durumda
aşa¼
g¬daki önermeler denktirler.
(a) (X; g ) kompakt genelleştirilmiş topolojik uzayd¬r.
(b) c (g ) = g eşitli¼
gi gerçeklenir.
I·spat. (a))(b) c (g )
g oldu¼
gu (3.2.1) den aç¬kt¬r. Di¼
ger yandan, herhangi bir
A 2 g alal¬m. Bu durumda iki olas¬l¬k söz konusudur; A 2
olacakt¬r. A 2
ise, X
ya da A 2 g
A kümesi (X; ) topolojik uzay¬n¬n kapal¬bir alt küme-
sidir. O halde, -kompakt her topolojik uzay kompakt oldu¼
gundan, (X
kompakt olup A 2 c ( )
2
13
c (g ) olur. Şimdi A 2 g
oldu¼
guna göre, Teorem 2.1.2 den
3.2.2 den X; -kompaktt¬r. Böylece X
A
A 2 c (g ) olur.
27
A;
X A)
oldu¼
gunu kabul edelim.
C olup X 2 C d¬r. Ayr¬ca, Lemma
X 2 C ve X; -kompakt oldu¼
gundan
(b))(a) c (g ) = g ise, Teorem 3.2.1 den (X; g ) kompakt genelleştirilmiş topolojik
uzayd¬r.
Böylece Sonuç 3.1.1, Teorem 3.2.2 ve
= i için Teorem 3.2.3 ün bir sonucu olarak
elde edilir.
Sonuç 3.2.3. (X; ) topolojik uzay¬n¬n kompakt olmas¬ için gerek ve yeter koşul
c( ) =
olmas¬d¬r.
3.3. Quasi co- -Kompakt Genelleştirilmiş Topolojiler
(X; ) bir topolojik uzay ve
2
013
(X) olmak üzere
qc (g ) = f;g [ fA 2 g : 9C 2 C 3 X
A
C ve C;
C -kompaktg
(3.3.1)
ailesini tan¬mlayal¬m. qc (g ) ailesi, g genelleştirilmiş topolojisinin bir alt ailesidir.
Önerme 3.3.1. qc (g ) ailesi X üzerinde bir kuvvetli genelleştirilmiş topolojidir.
I·spat. ; ve X 2 qc (g ) d¬r. 8{ 2 I için A{ 2 qc (g ) olmak üzere A = [{2I A{ olsun.
Bu durumda; A 2 g ve 8{ 2 I için X
A{ 2 qc (g ) oldu¼
gundan X
A{
A = \{2I (X
C{ ve C{ ;
A{ )
C{ -kompakt
X
A{ d¬r. Böylece,
olacak biçimde bir C{ 2 C
vard¬r. Dolay¬s¬yla, A 2 qc (g ) olur.
Tan¬m 3.3.1. qc (g ) ailesine X üzerinde tan¬ml¬quasi co- -kompakt genelleştirilmiş
topoloji ad¬verilir.
Şimdi (3.2.1) ve (3.3.1) de verilen aileler aras¬ndaki baz¬ilişkileri ifade edelim.
Teorem 3.3.1. (X; ) bir topolojik uzay olsun ve int = i ile gösterilsin. Bu
durumda
(a) 8 2
013
için qc (g )
c (g ),
(b) 8 2
013
için c (g ) = c ( ) [ qc (g ),
28
(c)
= i için qc ( )
c( ) = c( )
özellikleri gerçeklenir.
I·spat. (a) A 2 qc (g ) olsun. Bu durumda A 2 g olup X
C -kompakt
olacak biçimde bir C
sözkonusudur; A 2
X vard¬r. Burada A kümesi için iki olas¬l¬k
ya da A 2 g
olacakt¬r. A 2
oldu¼
gundan Sonuç 3.2.1 (a) dan (C;
C)
olsun. C;
C -kompakt
kompaktt¬r. Dolay¬s¬yla, X
A; (X; )
topolojik uzay¬n¬n kompakt bir alt uzay¬d¬r. O halde A 2 c ( )
A2g
(b) c (g )
c (g ) d¬r. E¼
ger;
ise, A 2 c (g ) oldu¼
gu aç¬kt¬r.
c ( ) [ qc (g ) oldu¼
gu (3.2.1) den aç¬kça görülür. Ayr¬ca; c ( )
oldu¼
gundan c ( ) [ qc (g )
(c)
C ve C 2 C
A
c (g )
c (g ) sonucu elde edilir.
= i için (a) dan qc ( )
c ( ) ve Teorem 3.2.2 den c ( ) = c ( ) oldu¼
gu aç¬kt¬r.
Teorem 3.2.1 ve 3.3.1 (a) dan aşa¼
g¬daki sonuç elde edilir.
Sonuç 3.3.1. (X; qc (g )) kompakt genelleştirilmiş topolojik uzayd¬r.
Önerme 3.3.2. (X; ) bir topolojik uzay ve
2
013
(X) olsun. Bu durumda
aşa¼
g¬daki önermeler denktirler.
(a) (X; g ) kompakt genelleştirilmiş topolojik uzayd¬r.
(b) qc (g ) = g eşitli¼
gi gerçeklenir.
I·spat. (a))(b) qc (g )
A 2 g için X
A
g oldu¼
gu (3.3.1) den aç¬kt¬r. Di¼
ger yandan; herhangi bir
X 2 C ve X
-kompakt oldu¼
gundan A 2 qc (g ) : Böylece
qc (g ) = g oldu¼
gu görülür.
(b))(a) qc (g ) = g olsun.
2
13
oldu¼
guna göre
g olup c ( )
g d¬r.
Böylece Teorem 3.3.1 (b) den c (g ) = g sonucu elde edilir. O halde, Teorem 3.2.3
den (X; g ) kompakt genelleştirilmiş topolojik uzayd¬r.
Teorem 3.2.3 ve Önerme 3.3.2 den aşa¼
g¬daki sonuç elde edilir.
29
Sonuç 3.3.2. (X; g ) kompakt genelleştirilmiş topolojik uzay olsun. Bu durumda;
c (g ) = qc (g ) eşitli¼
gi gerçeklenir.
qc (g ) genelleştirilmiş topolojisini,
= i alarak c ( ) kokompakt topolojisi ile karş¬laşt¬-
ral¬m. Bu durumda;
qc (gi ) = f;g [ fA 2 gi : 9C 2 Ci 3 X
olur. Teorem 2.1.2 den gi = Ci =
A
C ve C; iC -kompaktg
elde edilir ve böylece Sonuç 3.2.1 (b) kullan¬l¬rsa
qc (gi ) ailesi
qc ( ) = f;g [ fA 2
: 9C 2
3X
A
C ve (C;
C)
kompaktg
biçiminde ifade edilebilir.
Önerme 3.3.3. qc ( ) ailesi X üzerinde bir topolojidir.
I·spat. qc ( ) ailesinin X üzerinde bir genelleştirilmiş topoloji oldu¼
gu aç¬kt¬r. O halde
n
T
(8k) (k = 1; 2; : : : ; n) için Ak 2 qc ( ) olmak üzere A =
Ak olsun. Bu durumda,
k=1
(8k) (k = 1; 2; : : : ; n) için Ak 2
olacak biçimde bir Ck 2
n
S
k=1
Ck 2
olup (C;
C)
olur, ayr¬ca X
vard¬r. Buradan A 2
Ck ve (Ck ;
n
S
(X
A=
Ak
ve X
Ck )
kompakt
Ak )
C=
k=1
kompakt oldu¼
gundan, A 2 qc ( ) olur. O halde, qc ( ) ; X
üzerinde bir topolojidir.
Sonuç 3.3.3. (X; qc ( )) kompakt bir topolojik uzayd¬r.
I·spat. Teorem 3.3.1 (c), Sonuç 3.2.2 ve Önerme 3.3.3 den aç¬kt¬r.
Örnek 3.3.1. R al¬ş¬lm¬ş topolojisiyle gözönüne al¬ns¬n ve X = [0; 1] [ [2; 3[
kümesi üzerinde,
R
ile, R nin al¬ş¬lm¬ş topolojisinden X üzerine indirgenen topolojiyi
gösterelim.
c ( ) = f;g [ fA 2
: (X
30
A;
X A)
kompaktg
ve
qc ( ) = f;g [ fA 2
: 9C 2
3X
A
C ve (C;
C)
kompaktg
topolojileri gözönüne al¬ns¬n. Bu durumda qc ( ) 6= ; ve A = ]5=2; 3[ kümesi ele
al¬n¬rsa, A 2 c ( ) ancak A 2
= qc ( ) oldu¼
gu aç¬kt¬r.
Ancak belli koşullar alt¬nda qc ( ) ve c ( ) topolojilerinin çak¬şt¬g¼¬ifade edilebilir.
Önerme 3.3.4. (X; ) topolojik uzay¬kompakt ise, qc ( ) = c ( ) eşitli¼
gi gerçeklenir.
I·spat.
qc ( ) =
= i için Önerme 3.3.2 ele al¬n¬rsa (X; ) topolojik uzay¬kompakt oldu¼
gunda
olacakt¬r. Böylece Sonuç 3.2.3 den qc ( ) = c ( ) oldu¼
gu görülür.
Böylece aşa¼
g¬daki sonuç verilebilir.
Sonuç 3.3.4. (X; ) topolojik uzay¬ kompakt ise, c ( ) = qc ( ) = c ( ) eşitli¼
gi
gerçeklenir.
Önerme 3.3.5. (X; ) bir topolojik uzay olsun. Bu durumda (X; qc ( )) topolojik
uzay¬T2 ise, qc ( ) = c ( ) eşitli¼
gi gerçeklenir.
I·spat. (X; qc ( )) topolojik uzay¬ T2 aksiyomunu sa¼
glas¬n. Bu durumda, Teorem
3.3.1 (c) den (X; c ( )) topolojik uzay¬ da T2 aksiyomunu sa¼
glar. O halde, (X; )
kompakt bir topolojik uzayd¬r ve Sonuç 3.3.4 den qc ( ) = c ( ) eşitli¼
gi elde edilir.
Önerme 3.3.6. (X; ) topolojik uzay¬ -kompakt ise, qc (
) = qc ( ) eşitli¼
gi
gerçeklenir.
I·spat.
=
ise, g =
d¬r. Böylece (X; ) topolojik uzay¬ -kompakt oldu¼
guna
göre, Önerme 3.3.2 den qc (
) =
d¬r. Di¼
ger yandan
uzay kompakt olaca¼
g¬ndan Sonuç 3.3.4 den qc ( ) =
-kompakt her topolojik
olur. Böylece qc (
) = qc ( )
gerçeklenir.
Önerme 3.3.7. (X; ) bir topolojik uzay ve X0
s¬ras¬yla,
= i0 = int
X0
X olsun. qc (
X0 )
ve qc ( )X0 ile
için X0 üzerinde tan¬ml¬quasi co- -kompakt genelleştirilmiş
31
= i = int için X üzerinde tan¬ml¬quasi co- -kompakt genelleştirilmiş
topoloji ve
topolojiden X0 üzerine indirgenen topoloji gösterilsin. Aşa¼
g¬daki özellikler vard¬r.
(a) X0 ; X in kapal¬bir alt kümesi ise, qc ( )X0
qc (
X0 )
olur.
(b) X0 ; X in hem aç¬k hem kapal¬ bir alt kümesi ise, qc ( )X0 = qc (
X0 )
eşitli¼
gi
gerçeklenir.
I·spat. (a) A 2 qc ( )X0 alal¬m, bu durumda A = G\X0 olacak biçimde bir G 2 qc ( )
kümesi vard¬r. O halde, G 2
bir C 2
vard¬r. Böylece, A 2
X0
dir. Buradan X0
A = X0
A
olup X
X0
G
C ve C; iC -kompakt olacak biçimde
ve
(G \ X0 ) = X0
C \ X0 = D 2
X0
G
X
G
C
olur. X0 ; X in kapal¬ bir alt kümesi
oldu¼
gundan, D kümesi de C alt uzay¬n¬n kapal¬ bir alt kümesidir. Dolay¬s¬yla;
(D; (
X0 )D )
kompakt bir topolojik uzay olup, Sonuç 3.2.1 (b) den D; i0D -kompaktt¬r.
Böylece A 2 qc (
X0 )
(b) A 2 qc (
X0 )
alal¬m, bu durumda, A 2
bir D 2
kümesi vard¬r ve D; i0D -kompaktt¬r. Ayr¬ca A 2
X0
oldu¼
gu aç¬kt¬r.
A = O \ X0 olacak biçimde bir O 2
bir alt kümesi oldu¼
gundan O [ (X
X
[O [ (X
X0 )] = (X
X0
olup X0
A
D olacak biçimde
X0
oldu¼
guna göre
kümesi vard¬r. X0 ; X in hem aç¬k hem kapal¬
X0 ) 2
olup,
O) \ X0 = X0
O
X0
A
D
olur. Di¼
ger yandan, D; i0D -kompakt oldu¼
guna göre Sonuç 3.2.1 (b) den (D;
kompakt ve böylece D, iD -kompaktt¬r. O halde, G = O [ (X
D)
X0 ) 2 qc ( ) ve
buradan A = G \ X0 2 qc ( )X0 olur.
3.4. c-Genelleştirilmiş Sürekli Fonksiyonlar
Bu bölümde genelleştirilmiş sürekli fonksiyonlar¬n bir s¬n¬f¬ tan¬mlanacak ve baz¬
temel özelliklerinden bahsedilecektir.
32
Bu bölüm boyunca, aksi ifade edilmedi¼
gi sürece, (X; ) ve (Y; 0 ) iki topolojik uzay,
2
01
0
(X) ve
2
013
(Y ) olarak gözönüne al¬nacakt¬r.
Tan¬m 3.4.1. f : (X; g ) 7 ! (Y; g 0 ) bir fonksiyon olsun. Herhangi bir x 2 X
al¬nd¬g¼¬nda f (x) noktas¬n¬ içeren 8V 2 c (g 0 ) için, x noktas¬n¬ içeren ve f (U )
V koşulunu sa¼
glayan bir U 2 g kümesi varsa, f fonksiyonuna c-genelleştirilmiş
süreklidir denir.
= int ve
0
= int
0
al¬n¬rsa c-genelleştirilmiş sürekli fonksiyonlar¬n, Tan¬m 3.1.1
ile verilen c-sürekli fonksiyonlar ile çak¬şt¬g¼¬aç¬kt¬r.
Teorem 3.4.1. f : (X; g ) 7 ! Y; g
0
fonksiyonu verilsin. Aşa¼
g¬daki önermeler
denktirler.
(a) f , c-genelleştirilmiş süreklidir.
(b) f : (X; g ) 7 ! (Y; c (g 0 )) genelleştirilmiş süreklidir.
f : (X; ) 7 ! (Y; 0 ) fonksiyonunun c-sürekli olmas¬ için gerek ve yeter koşulun
f fonksiyonunun (X; ) dan (Y; c ( 0 )) ye sürekli olmas¬ oldu¼
gu verilmiştir (Gauld
1978). Bu sonuç Teorem 3.4.1 den
= int ve
0
= int
0
al¬n¬rsa kolayl¬kla elde
edilir.
Önerme 3.4.1. f : (X; g ) 7 ! (Y; g 0 ) fonksiyonu verilsin. Bu durumda, f fonksiyonu genelleştirilmiş sürekli ise, c-genelleştirilmiş süreklidir.
Ancak Önerme 3.4.1 in karş¬t¬genellikle do¼
gru de¼
gildir.
Örnek 3.4.1. R al¬ş¬lm¬ş topolojisiyle gözönüne al¬ns¬n ve K = f1=n : n 2 Ng [
f0g
R olmak üzere,
ile R nin al¬ş¬lm¬ş topolojisinden K ya indirgenen topolojiyi
gösterelim. c = cl ve i = int olmak üzere
= ci 2
013
(K) olarak al¬ns¬n.
Bu durumda; id : (K; ) 7 ! (K; g ) birim dönüşümünün c-genelleştirilmiş sürekli
oldu¼
gu aç¬kt¬r. Ancak A = f0g [ f1=2n : n 2 Ng 2 g olmas¬na ra¼
gmen (id)
A2
=
oldu¼
gundan, id fonksiyonu genelleştirilmiş sürekli de¼
gildir.
33
1
(A) =
Sonuç 3.4.1. (Y; g 0 ) kompakt genelleştirilmiş topolojik uzay olsun. Bu durumda
aşa¼
g¬daki önermeler denktir.
(a) f : (X; g ) 7 ! (Y; g 0 ) c-genelleştirilmiş süreklidir.
(b) f : (X; g ) 7 ! (Y; g 0 ) genelleştirilmiş süreklidir.
I·spat. Teorem 3.2.3 ve Teorem 3.4.1 den aç¬kt¬r.
00
Teorem 3.4.2. (Z; ) bir topolojik uzay ve
2
013
(Z) olsun. Bu durumda,
f : (X; g ) 7 ! (Y; g 0 ) fonksiyonu örten ve genelleştirilmiş sürekli ve h : (Y; g 0 ) 7 !
(Z; g 00 ) fonksiyonu c-genelleştirilmiş sürekli ise, h
f : (X; g ) 7 ! (Z; g 00 ) c-
genelleştirilmiş süreklidir.
I·spat. 8V 2 c (g 00 ) alal¬m, bu durumda, h
1
(V ) kümesi
1
f fonksiyonu (g ; g 0 )-sürekli oldu¼
gundan (h f )
0
(V ) = f
-aç¬kt¬r. Di¼
ger yandan;
1
(h
1
(V )) kümesi -
aç¬kt¬r. Böylece ispat tamamlan¬r.
Teorem 3.4.3. f : X 7 ! Y fonksiyonu verilsin. Bu durumda, f fonksiyonu
(g ; c (g 0 ))-aç¬k ise, (g ; g 0 )-aç¬kt¬r.
I·spat. A 2 g olsun. f fonksiyonu (g ; c (g 0 ))-aç¬k ise, f (A) 2 c (g 0 )
g 0 olur. O
halde f fonksiyonu (g ; g 0 )-aç¬kt¬r.
Teorem 3.4.4. (X; ) ve (Y; 0 ) iki topolojik uzay,
2
013
(X) ve
0
2
013
(Y )
olsun ve f : X 7 ! Y fonksiyonu verilsin. Bu durumda, f fonksiyonu (c (g ) ; c (g 0 ))sürekli ise, c-genelleştirilmiş süreklidir.
I·spat. Herhangi bir V 2 c (g 0 ) için, hipotezden f
1
(V ) 2 c (g )
g olur. Böylece
Teorem 3.4.1 den f fonksiyonu c-genelleştirilmiş süreklidir.
Tan¬m 2.1.4 ve 2.2.5 gözönüne al¬n¬rsa aşa¼
g¬daki sonuç kolayl¬kla elde edilir.
Lemma 3.4.1. X ve Y iki küme,
2
(X),
0
2
(Y ) ve f : (X; g ) 7 ! (Y; g 0 )
bir genelleştirilmiş homeomor…zm olsun. Aşa¼
g¬daki özellikler vard¬r.
34
(a) 8A
X için A -conservative ise, f (A) kümesi de
(b) 8B
Y için B
0
1
-conservative ise, f
0
-conservativedir.
(B) kümesi de -conservativedir.
Böylece aşa¼
g¬daki teoremi verebiliriz.
Teorem 3.4.5.(X; ) ve (Y; 0 ) iki topolojik uzay,
2
013
(X),
0
2
013
(Y ) ve
f : (X; g ) 7 ! (Y; g 0 ) bir genelleştirilmiş homeomor…zm olsun. Bu durumda, f :
(X; qc (g )) 7 ! (Y; qc (g 0 )) bir genelleştirilmiş homeomor…zmdir.
I·spat. Herhangi bir V 2 qc (g 0 ) alal¬m. Bu durumda, V 2 g 0 ; Y
ve D;
0
D -kompakt
d¬r. Ayr¬ca, X
f
1
olacak biçimde bir D
1
f
(V )
f
1
Y vard¬r. Dolay¬s¬yla, f
(D) olup Lemma 3.4.1 (b) den f
D2C
V
1
1
0
(V ) 2 g
(D) 2 C d¬r.
(D) = C diyelim ve I 6= ; bir indis kümesi olmak üzere C = [i2I Wi öyle ki
8i 2 I için Wi
için f (Wi ) kümesi
C Wi
0
D -aç¬kt¬r.
olacak biçimde (9F ) (F
C = f
1
(D) nin
olsun. f
1
fonksiyonu (g 0 ; g )-sürekli oldu¼
gundan 8i 2 I
0
D -kompakt
Ayr¬ca D;
oldu¼
gundan D = [i2F f (Wi )
I) öyleki (F sonlu elemanl¬) indis kümesi vard¬r. Böylece,
C -kompakt
oldu¼
gu görülür. O halde, f
fonksiyonu (qc (g ) ; qc (g 0 ))-süreklidir. Benzer şekilde, f
1
1
(V ) 2 qc (g ) olup f
in de (qc (g 0 ) ; qc (g ))-
sürekli oldu¼
gu kolayl¬kla gösterilebilir.
Teorem 3.4.6. f : (X; g ) ! (Y; g 0 ) fonksiyonu verilsin. f fonksiyonu c-genelleştirilmiş sürekli ve C 2 C ise, bu durumda f=C : C; g
C
! (Y; g 0 ) ; f=C (x) = f (x)
fonksiyonu da c-genelleştirilmiş süreklidir.
I·spat. 8A 2 c (g 0 ) için f fonksiyonu c-genelleştirilmiş sürekli oldu¼
gundan f
g d¬r. Buradan f
yani f=C
1
1
(A) = f
(A) \ C 2 g olur. Böylece f
1
(A) \ C 2 g
C
1
(A) \ C
C
(f
1
1
(A) 2
(A) \ C)
dir. O halde f=C fonksiyonu c-genelleştirilmiş
süreklidir.
Teorem 3.4.7. f : (X; g ) ! (Y; g 0 ) fonksiyonu verilsin ve I 6= ; herhangi bir
indis kümesi olmak üzere (U{ ){2I ailesi X kümesinin -aç¬k bir örtüsü olsun. Bu
durumda 8{ 2 I için f{ = f=U{ : U{ ; g
U{
! (Y; g 0 ) ; f=U{ (x) = f (x) fonksiyonlar¬
35
c-genelleştirilmiş sürekli ise, f fonksiyonu da c-genelleştirilmiş süreklidir.
I·spat. Herhangi bir V 2 c (g 0 ) için f
1
(V ) = [{2I f{ 1 (V ) dir. Di¼
ger yandan, 8{ 2 I
için f{ fonksiyonlar¬c-genelleştirilmiş sürekli oldu¼
gundan 8{ 2 I için f{ 1 (V ) 2 g
olur. Buradan f{ 1 (V )
U{ f{
kümesi -aç¬k olur, bu ise f
1
1
(V )
U{
f{ 1 (V ) dir. O halde 8{ 2 I için f{ 1 (V )
(V ) 2 g sonucunu gerektirir.
Sonuç 3.4.2. f : (X; ) ! (Y; 0 ) fonksiyonu verilsin. E¼
ger; (U{ ){2I ailesi X in
bir aç¬k örtüsü ve 8{ 2 I için f{ = f=U{ fonksiyonlar¬c-sürekli ise, f fonksiyonu da
c-süreklidir.
I·spat. Teorem 3.4.7 de
g 0=
0
ve 8{ 2 I için g
= int = i ve
U{
=
U{
0
= int 0 = i0 alal¬m. Bu durumda g = ;
olaca¼
g¬ndan ispat aç¬kt¬r.
Teorem 3.4.6 ve Teorem 3.4.7 den c-genelleştirilmiş sürekli fonksiyonlar için aşa¼
g¬daki
karakterizasyon elde edilir.
Teorem 3.4.8. f : (X; g ) ! (Y; g 0 ) fonksiyonu verilsin ve I 6= ; herhangi bir
indis kümesi olmak üzere (C{ ){2I
C ve X = [{2I C{ olsun. Bu durumda; aşa¼
g¬daki
önermeler denktirler.
(a) f; c-genelleştirilmiş süreklidir.
(b) 8{ 2 I için f{ = f=C{ : C{ ; g
C{
! (Y; g 0 ) ; f=C{ (x) = f (x) fonksiyonlar¬
c-genelleştirilmiş süreklidir.
Teorem 3.4.9. (X; ) bir topolojik uzay ve
2
013
(X) olsun. Bu durumda
aşa¼
g¬daki önermeler denktirler.
(a) (X; g ) kompakt genelleştirilmiş topolojik uzayd¬r.
(b) Herhangi bir (Y; g) kuvvetli genelleştirilmiş topolojik uzay¬ndan (X; g ) genelleştirilmiş topolojik uzay¬na tan¬ml¬c-genelleştirilmiş sürekli her fonksiyon genelleştirilmiş süreklidir.
36
(c) id : (X; c (g )) ! (X; g ) ; id (x) = x birim dönüşümü genelleştirilmiş süreklidir.
I·spat. (a) ) (b) Teorem 3.2.3 den aç¬kt¬r.
(b) ) (c) id birim dönüşümünün c-genelleştirilmiş sürekli oldu¼
guna göre (b) den id
birim dönüşümü süreklidir.
(c) ) (a) c (g )
g oldu¼
gunu biliyoruz. Di¼
ger yandan (c) den g
c (g ) d¬r. O
halde; c (g ) = g olur ve böylece Teorem 3.2.3 den (X; g ) n¬n kompakt genelleştirilmiş topolojik uzay oldu¼
gu aç¬kt¬r.
Sonuç 3.4.3. (X; ) bir topolojik uzay olsun. Aşa¼
g¬daki önermeler denktirler.
(a) (X; ) topolojik uzay¬kompakt¬r.
(b) Herhangi bir (Y; 0 ) topolojik uzay¬ndan (X; ) topolojik uzay¬na tan¬ml¬c-sürekli
her fonksiyon süreklidir.
(c) id : (X; c ( )) ! (X; ) ; id (x) = x birim dönüşümü süreklidir.
37
-LI·NDELÖF UZAYLAR ve co- -LI·NDELÖF GENELLEŞTI·RI·LMI·Ş
4.
TOPOLOJI·LER
Bu bölümde, öncelikle koLindelöf topoloji ve l-sürekli fonksiyon kavramlar¬ hat¬rlat¬lm¬şt¬r, daha sonra
-Lindelöf uzay tan¬m¬ verilerek, koLindelöf topoloji ve l-
sürekli fonksiyon kavramlar¬ genelleştirilmiş topolojik uzaylara genelleştirilmiştir.
Böylece co- -Lindelöf ve quasi co- -Lindelöf genelleştirilmiş topoloji tan¬mlar¬elde
edilmiştir. Ayr¬ca `-genelleştirilmiş sürekli fonksiyonlar tan¬mlanarak temel özellikleri incelenmiştir.
Bölüm 4.2, 4.3 ve 4.4 de elde edilen sonuçlar orjinal olmakla birlikte, s¬ras¬yla Bölüm
3.2, 3.3 ve 3.4 de verilen analoglar¬yla benzer ispatlara sahip olduklar¬ndan ispats¬z
verilecektir.
4.1. KoLindelöf Topolojiler ve l-Sürekli Fonksiyonlar
l-sürekli fonksiyonlar 1981 de J. K. Kohli taraf¬ndan tan¬mlanm¬ş ve baz¬temel özellikleri incelenmiştir. Daha sonra 1984 de D. B. Gauld vd. koLindelöf topoloji
kavram¬n¬ ortaya koymuşlar ve bu kavram¬ l-sürekli fonksiyonlarla ilişkilendirerek
J. K. Kohli (1981) taraf¬ndan verilen pek çok özelli¼
gi bu sayede kolayl¬kla elde etmişlerdir.
Öncelikle kullanaca¼
g¬m¬z baz¬tan¬m ve sonuçlar¬hat¬rlatal¬m.
Tan¬m 4.1.1. (Kohli 1981) (X; ) ve (Y;
0
) iki topolojik uzay ve f : X ! Y bir
fonksiyon olsun. Herhangi bir x 2 X al¬nd¬g¼¬nda f (x) noktas¬n¬içeren ve tümleyeni
Lindelöf olan 8V 2
U2
0
için, x noktas¬n¬içeren ve f (U )
V koşulunu sa¼
glayan bir
kümesi varsa, f fonksiyonuna l-süreklidir denir.
Gauld vd. (1984), bir (X; ) topolojik uzay¬n¬gözönüne alarak X üzerinde
l ( ) = f;g [ fA 2
: (X
38
A;
X A)
Lindelöfg
ailesini tan¬mlam¬ş ve bir topoloji oldu¼
gunu göstermiştir. Bu topolojiye X üzerinde
tan¬ml¬koLindelöf topoloji ad¬verilir.
Teorem 4.1.1. (Gauld et al. 1984) (X; l ( )) topolojik uzay¬Lindelöftür.
Sonuç 4.1.1. (Gauld et al. 1984) (X; ) topolojik uzay¬n¬n Lindelöf olmas¬ için
gerek ve yeter koşul l ( ) =
olmas¬d¬r.
Teorem 4.1.2. (Gauld et al. 1984) (X; ) ve (Y;
0
) iki topolojik uzay ve f : X ! Y
bir fonksiyon olsun. Bu durumda aşa¼
g¬daki önermeler denktirler.
(a) f : X ! (Y; 0 ) fonksiyonu l-süreklidir.
(b) f : X ! (Y; l ( 0 )) fonksiyonu süreklidir.
4.2. -Lindelöf Uzaylar ve co- -Lindelöf Genelleştirilmiş Topolojiler
Bu bölümde -Lindelöf uzaylar tan¬mlanarak, koLindelöf topoloji ile benzer özelliklere sahip olan bir genelleştirilmiş topoloji elde edilecektir.
Tan¬m 4.2.1. (X; ) bir topolojik uzay ve
2
ve X kümesini örten herhangi bir A = (Ak )k2K
(X) olsun. Bu durumda,
2
013
-aç¬k alt kümeler ailesi için, X
kümesini örtecek biçimde A ailesinin say¬labilir bir alt ailesi bulunabiliyor ise, X
-Lindelöftür denir.
2
13
oldu¼
gundan -Lindelöf her uzay Lindelöftür. Ayr¬ca, -kompakt her uzay¬n
-Lindelöf oldu¼
gu aç¬kt¬r.
X in bir alt kümesinin -Lindelöf olmas¬için gerek ve yeter şart bu özelli¼
gi X den
indirgenen topolojik yap¬s¬yla uyumlu olacak şekilde sa¼
glamas¬d¬r.
Ganster (1990) taraf¬ndan tan¬mlanan semi-Lindelöf uzaylar ( = ci), kuvvetli Lindelöf uzaylar ( = ic) ve
-Lindelöf uzaylar ( = ici),
olarak verilebilir.
39
-Lindelöf uzaylara örnek
Tan¬m 4.2.2. g; X üzerinde bir kuvvetli GT olsun. Bu durumda, X kümesinin gaç¬k her örtüsünün say¬labilir bir alt ailesi de X kümesini örtüyor ise, (X; g) Lindelöf
genelleştirilmiş topolojik uzayd¬r denir.
Lindelöf genelleştirilmiş topolojik uzay ve -Lindelöf uzay kavramlar¬aras¬ndaki ilişkiyi aşag¬daki lemma ile ifade edelim.
Lemma 4.2.1. (X; ) bir topolojik uzay ve
2
013
olsun. Bu durumda aşa¼
g¬daki
önermeler denktirler.
(a) X; -Lindelöftür.
(b) (X; g ) Lindelöf genelleştirilmiş topolojik uzayd¬r.
Lemma 4.2.2. (X; ) bir topolojik uzay C
X ve
2
013
olsun. Bu durumda
aşa¼
g¬daki özellikler vard¬r.
(a) C 2 C ve C;
(b) C 2
C -Lindelöf
ise, (C;
C)
Lindelöftür.
ise, bu durumda C nin iC -Lindelöf olmas¬için gerek ve yeter koşul (C;
C)
topolojik uzay¬n¬n Lindelöf olmas¬d¬r.
I·spat. (a) C = [{2I O{ olacak biçimde bir (O{ ){2I
C
alal¬m. Bu durumda,
ve C 2 C oldu¼
guna göre Lemma 3.2.1 (a) dan 8{ 2 I için O{ ;
C -Lindelöf
(b) C 2
X:A
oldu¼
gundan, (C;
olmas¬durumunda
C)
C
C -aç¬kt¬r.
2
Böylece C;
topolojik uzay¬Lindelöftür.
ailesi, iC -aç¬k kümelerin oluşturdu¼
gu giC = fA
iC A = iA \ Cg ailesi ile çak¬şaca¼
g¬ndan ispat aç¬kt¬r.
(X; ) bir topolojik uzay ve
2
013
(X) olmak üzere
` (g ) = l ( ) [ fA 2 g
: 9C 2 C 3 X
ailesini tan¬mlayal¬m. ` (g )
g oldu¼
gu aç¬kt¬r.
A
C ve C;
C -Lindelöfg
Önerme 4.2.1. ` (g ) ailesi X üzerinde bir kuvvetli genelleştirilmiş topolojidir.
40
13
Örnek 4.2.1.
X = fa; b; cg,
= fX; ?; fag ; fbg ; fa; bgg ve
= ci olarak al¬ns¬n. Bu durumda;
2
013
: exp X 7 ! exp X;
ve g = fX; ?; fag ; fbg ; fa; bg ; fa; cg ;
fb; cgg dir. Di¼
ger yandan; ` (g ) = g oldu¼
gundan ` (g ) ailesinin X üzerinde bir
topoloji olmak zorunda olmad¬g¼¬aç¬kt¬r.
Tan¬m 4.2.3. ` (g ) ailesine X üzerinde tan¬ml¬co- -Lindelöf genelleştirilmiş topoloji
ad¬verilir.
Teorem 4.2.1. (X; ` (g )) Lindelöf genelleştirilmiş topolojik uzayd¬r.
(X; ) bir topolojik uzay ve
= i olarak al¬n¬rsa gi =
olaca¼
g¬ndan aşa¼
g¬da verilen
teoremin ispat¬aç¬kt¬r.
Teorem 4.2.2. (X; ) bir topolojik uzay ve
= i olsun. Bu durumda; ` ( ) = l ( )
eşitli¼
gi gerçeklenir.
Böylece Teorem 4.1.1,
= int için Teorem 4.2.1 ve 4.2.2 nin bir sonucu olarak elde
edilir.
Sonuç 4.2.1. (X; l ( )) topolojik uzay¬Lindelöftür.
Teorem 4.2.3. (X; ) bir topolojik uzay ve
2
013
(X) olsun. Bu durumda;
aşa¼
g¬daki önermeler denktirler.
(a) (X; g ) Lindelöf genelleştirilmiş topolojik uzayd¬r.
(b) ` (g ) = g eşitli¼
gi gerçeklenir.
Böylece Sonuç 4.1.1, Teorem 4.2.2 ve
= i için Teorem 4.2.3 ün bir sonucu olarak
elde edilir.
Sonuç 4.2.2.
; X üzerinde bir topoloji olmak üzere (X; ) topolojik uzay¬n¬n
Lindelöf olmas¬için gerek ve yeter koşul l ( ) =
41
olmas¬d¬r.
4.3. Quasi co- -Lindelöf Genelleştirilmiş Topolojiler
(X; ) bir topolojik uzay ve
2
013
(X) olmak üzere
q` (g ) = f;g [ fA 2 g : 9C 2 C 3 X
A
C ve C;
C -Lindelöfg
g
ailesini tan¬mlayal¬m. q` (g ) ailesi, g genelleştirilmiş topolojisinin bir alt ailesidir.
Önerme 4.3.1. q` (g ) ailesi X üzerinde bir kuvvetli genelleştirilmiş topolojidir.
Örnek 3.2.1. gözönüne al¬n¬rsa q` (g ) ailesinin X üzerinde bir topoloji olmak zorunda
olmad¬g¼¬aç¬kça görülür.
Tan¬m 4.3.1. q` (g ) ailesine X üzerinde tan¬ml¬quasi co- -Lindelöf genelleştirilmiş
topoloji ad¬verilir.
Teorem 4.3.1. (X; ) bir topolojik uzay olsun ve int = i ile gösterilsin. Bu
durumda
(a) 8 2
013
için q` (g )
(b) 8 2
013
için ` (g ) = l ( ) [ q` (g ),
(c)
= i için q` ( )
` (g ),
`( ) = l( )
özellikleri gerçeklenir.
Sonuç 4.3.1. (X; q` (g )) Lindelöf genelleştirilmiş topolojik uzayd¬r.
Önerme 4.3.2. (X; g ) n¬n Lindelöf genelleştirilmiş topolojik uzay olmas¬için gerek
ve yeter koşul q` (g ) = g olmas¬d¬r.
Sonuç 4.3.2. (X; g ) Lindelöf genelleştirilmiş topolojik uzay olsun. Bu durumda
` (g ) = q` (g ) d¬r.
q` (g ) genelleştirilmiş topolojisini
= i alarak l ( ) koLindelöf topolojisi ile karş¬42
laşt¬ral¬m. Bu durumda;
q` ( ) = f;g [ fA 2
: 9C 2
3X
A
C ve (C;
C)
Lindelöfg
biçiminde ifade edilebilir. q` ( ) ailesi X üzerinde bir topolojidir. Teorem 4.3.1(c)
den (X; q` ( )) topolojik uzay¬ Lindelöftür. Ayr¬ca (X; ) topolojik uzay¬ Lindelöf
ise, q` ( ) = ` ( ) = l ( ) eşitli¼
gi gerçeklenir.
4.4. `-Genelleştirilmiş Sürekli Fonksiyonlar
Bu bölüm boyunca (X; ) ve (Y;
0
) iki topolojik uzay,
2
01
(X) ve
0
2
013
(Y )
olarak gözönüne al¬nacakt¬r.
Tan¬m 4.4.1. f : (X; g ) ! (Y; g 0 ) bir fonksiyon olsun. Herhangi bir x 2 X
al¬nd¬g¼¬nda f (x) noktas¬n¬ içeren 8V 2 ` (g 0 ) için, x noktas¬n¬ içeren ve f (U )
V koşulunu sa¼
glayan bir U 2 g kümesi varsa, f fonksiyonuna `-genelleştirilmiş
süreklidir denir.
= int ve
0
= int
0
al¬n¬rsa `-genelleştirilmiş sürekli fonksiyonlar¬n, Tan¬m 4.1.1
ile verilen l-sürekli fonksiyonlar ile çak¬şt¬g¼¬Teorem 4.3.1 (c) den aç¬kt¬r.
Teorem 4.4.1. f : (X; g ) ! (Y; g 0 ) bir fonksiyon olsun. Bu durumda aşa¼
g¬daki
önermeler denktirler.
(a) f , `-genelleştirilmiş süreklidir.
(b) f : (X; g ) ! (Y; ` (g 0 )) fonksiyonu genelleştirilmiş süreklidir.
Önerme 4.4.1. f : (X; g ) ! (Y; g 0 ) fonksiyonu genelleştirilmiş sürekli ise, `genelleştirilmiş süreklidir.
Ancak `-genelleştirilmiş sürekli bir fonksiyon genelleştirilmiş sürekli olmak zorunda
de¼
gildir. Karş¬t örnek Kohli (1981) taraf¬ndan verilmiştir.
Önerme 4.4.2. (Y; g 0 ) lindelöf genelleştirilmiş topolojik uzay olsun. Bu durumda;
43
aşa¼
g¬daki önermeler denktirler.
(a) f : (X; g ) ! (Y; g 0 ) fonksiyonu `-genelleştirilmiş süreklidir.
(b) f : (X; g ) ! (Y; g 0 ) fonksiyonu genelleştirilmiş süreklidir.
Teorem 4.4.2. (Z; ) bir topolojik uzay ve
00
2
013
(Z) olsun. Bu durumda;
f : (X; g ) ! (Y; g 0 ) fonksiyonu örten ve genelleştirilmiş sürekli ve h : (Y; g 0 ) !
(Z; g 00 ) fonksiyonu `-genelleştirilmiş sürekli ise, h f fonksiyonu da `-genelleştirilmiş
süreklidir.
Sonuç 4.4.1. f : (X; ) ! (Y;
0
) fonksiyonu örten ve sürekli ve g : (Y;
0
) ! (Z; )
fonksiyonu l-sürekli ise g f fonksiyonu da l-süreklidir.
Teorem 4.4.3. (Z; ) bir topolojik uzay,
00
2
013
(Z) ; f : (X; g ) ! (Y; g 0 )
fonksiyonu örten ve genelleştirilmiş aç¬k olsun ve h : (Y; g 0 ) ! (Z; g 00 ) fonksiyonu
verilsin. Bu durumda, h f fonksiyonu `-genelleştirilmiş sürekli ise, h fonksiyonu da
`-genelleştirilmiş süreklidir.
I·spat. 8V 2 ` (g 00 ) al¬n¬rsa h
U = (h f )
1
f fonksiyonu `-genelleştirilmiş sürekli oldu¼
gundan
(V ) 2 g ve f fonksiyonu genelleştirilmiş aç¬k oldu¼
gundan f (U ) 2 g
olur. Di¼
ger yandan; f fonksiyonu örten oldu¼
gundan f (U ) = h
1
0
(V ) dir. Dolay¬s¬yla
h fonksiyonu `-genelleştirilmiş süreklidir.
Teorem 4.4.4. f : (X; g ) ! (Y; g 0 ) fonksiyonu verilsin. Bu durumda, f , `genelleştirilmiş sürekli ve C 2 C ise, f=C : C; g
C
! (Y; g 0 ) ; f=C (x) = f (x)
fonksiyonu da `-genelleştirilmiş süreklidir.
Teorem 4.4.5. f : (X; g ) ! (Y; g 0 ) fonksiyonu verilsin ve I 6= ; herhangi bir
indis kümesi olmak üzere (U{ ){2I ailesi X kümesinin -aç¬k bir örtüsü olsun. Bu
durumda, 8{ 2 I için f{ = f=U{ : U{ ; g
U{
! (Y; g 0 ) ; f=U{ (x) = f (x) fonksiyonlar¬
`-genelleştirilmiş sürekli ise, f fonksiyonu da `-genelleştirilmiş süreklidir.
= int ve
0
= int 0 al¬nd¬g¼¬nda g = ; g
44
U{
=
u{
ve g 0 =
0
olaca¼
g¬ndan, Kohli
(1981) taraf¬ndan verilen Teorem 2.4 (b), Teorem 4.4.5 in bir sonucu olarak elde
edilir.
Sonuç 4.4.2. f : (X; ) ! (Y; 0 ) fonksiyonu verilsin. E¼
ger; (U{ ){2I ailesi X in
bir aç¬k örtüsü ve 8{ 2 I için f{ = f=U{ fonksiyonlar¬`-sürekli ise, f fonksiyonu da
`-süreklidir.
Teorem 4.4.4 ve 4.4.5 gözönüne al¬nd¬g¼¬nda `-genelleştirilmiş sürekli fonksiyonlar için
aşa¼
g¬daki karakterizasyon elde edilir.
Teorem 4.4.6. f : (X; g ) ! (Y; g 0 ) fonksiyonu verilsin ve I 6= ; herhangi bir
indis kümesi (C{ ){2I
C olmak üzere X = [{2I C{ olsun. Bu durumda; aşa¼
g¬daki
önermeler denktirler.
(a) f , `-genelleştirilmiş süreklidir.
(b) 8{ 2 I için f{ = f=C{ : C{ ; g
C{
! (Y; g 0 ) ; f=C{ (x) = f (x) fonksiyonlar¬ `-
genelleştirilmiş süreklidir.
Teorem 4.4.7. (X; ) bir topolojik uzay ve
2
013
(X) olsun. Bu durumda
aşa¼
g¬daki önermeler denktirler.
(a) (X; g ) Lindelöf genelleştirilmiş topolojik uzayd¬r.
(b) Herhangi bir (Y; g) kuvvetli genelleştirilmiş topolojik uzay¬ndan (X; g ) genelleştirilmiş topolojik uzay¬na tan¬ml¬`-genelleştirilmiş sürekli her fonksiyon genelleştirilmiş
süreklidir.
(c) id : (X; ` (g )) ! (X; g ) ; id (x) = x birim dönüşümü genelleştirilmiş süreklidir.
= int ve
0
= int
0
olarak al¬n¬rsa, Kohli (1981) taraf¬ndan verilen Teorem 3.2,
Teorem 4.4.7 nin bir sonucu olarak elde edilir.
Sonuç 4.4.3. (X; ) bir topolojik uzay olsun. Aşa¼
g¬daki önermeler denktirler.
(a) (X; ) topolojij uzay¬Lindelöftür.
45
(b) Herhangi bir (Y; 0 ) topolojik uzay¬ndan (X; ) ya tan¬ml¬`-sürekli her fonksiyon
süreklidir.
(c) id : (X; ` ( )) ! (X; ) ; id (x) = x birim dönüşümü süreklidir.
46
5. REGÜLER GENELLEŞTI·RI·LMI·Ş TOPOLOJI·LER VE REGÜLER
GENELLEŞTI·RI·LMI·Ş KOMŞULUK SI·STEMLERI·
Bu bölümde, öncelikle, klasik anlamda regüler topolojik uzaylar¬n bir genelleştirmesi
olarak regüler genelleştirilmiş topolojik uzaylar tan¬mlanm¬ş ve temel özellikleri incelenmiştir. Daha sonra genelleştirilmiş komşuluk sistemleri için regülerlik ve yar¬regülerlik kavramlar¬araşt¬r¬larak; C-regüler, M -regüler, C-yar¬regüler ve M -yar¬regüler
genelleştirilmiş komşuluk sistemleri tan¬mlanm¬şt¬r. Bu kavramlar¬n temel özellikleri
incelenerek klasik anlamda regüler topolojik uzaylar¬n pek çok özelli¼
gi sonuç olarak
elde edilmiştir.
5.1. Regüler Genelleştirilmiş Topolojiler
Tan¬m 5.1.1. (X; g) bir genelleştirilmiş topolojik uzay olsun. Her F
kümesi ve her x 2
= F noktas¬için F
X g-kapal¬
G, x 2 G0 ve G \ G0 = ; olacak şekilde G ve
G0 g-aç¬k kümeleri varsa, (X; g) regülerdir denir.
Dorsett (1989), Ganster vd. (2002), Noiri (1978) ve Pal ve Bhattacharyya (1996)
taraf¬ndan yap¬lan çal¬şmalarda; regüler genelleştirilmiş topolojik uzaylara örnek
teşkil eden tan¬mlar verilmiştir.
Teorem 5.1.1. g; X üzerinde kuvvetli bir GT olsun. Bu durumda aşa¼
g¬daki önermeler denktirler.
(a) (X; g) genelleştirilmiş topolojik uzay¬regülerdir.
(b) 8x 2 X ve 8V 2
g
(x) için cg U
+
g
(x) için K
V olacak biçimde bir U 2
g
(x) kümesi
vard¬r.
(c) 8x 2 X ve 8W 2
+
g
W olacak biçimde g-kapal¬bir K 2
(x)
kümesi vard¬r.
I·spat. Öncelikle g; X üzerinde bir kuvvetli GT olmak üzere her x 2 X için
fG 2 g : x 2 Gg biçiminde tan¬mlanan
g
47
g
(x) =
genelleştirilmiş komşuluk sistemini ele
+
g
alal¬m. Bu durumda, (2.2.8) den her x 2 X için
U
g
(x) 3
V g olacakt¬r.
(a))(b) x 2 X ve V 2
g
(x) olsun. Bu durumda F = X
G; G0 2 g vard¬r. Buradan x 2 G
(b))(c) x 2 X ve W 2
g
+
g
cg G
G0
X
V kümesi g-kapal¬d¬r ve
G0 ve G \ G0 = ; olacak biçimde
x2
= F dir. (X; g) regüler oldu¼
gundan x 2 G, F
V 2
X : 9U 2
(x) = V
V oldu¼
gu aç¬kt¬r.
(x) olsun. Bu durumda, V
(x) vard¬r. Böylece cg U
V
W olacak şekilde bir U 2
W olacak biçimde g-kapal¬ K = cg U 2
Dolay¬s¬yla, K
W olacak biçimde bir
+
g
g
(x) bulunur.
(x) genelleştirilmiş
komşulu¼
gu mevcuttur.
(c))(a) F g-kapal¬ ve x 2
= F olsun. x 2 X
K
K 2
W olacak şekilde g-kapal¬ bir K 2
+
g
F =X
(x) ise U
W
X
+
g
F = W 2
+
g
(x) oldu¼
gundan
(x) genelleştirilmiş komşulu¼
gu vard¬r.
K olacak şekilde bir U 2
g
(x) vard¬r. Böylece, x 2 U 2 g,
K = U 0 ve U \ U 0 = ; olacak şekilde U ve U 0 g-aç¬k kümeleri
vard¬r. Dolay¬s¬yla (X; g) regülerdir.
X üzerinde g =
bir topoloji olarak al¬n¬rsa, her x 2 X için
ailesi x noktas¬n¬n aç¬k komşuluklar¬n¬n ailesi,
+
(x) = fV 2
(x) = fW : 9V 2
:x2Vg
(x) 3 V
Wg
ailesi de x noktas¬n¬n klasik anlamda komşuluklar ailesidir. Dolay¬s¬yla regülerli¼
gin
aşa¼
g¬da verilen karakterizasyonu Teorem 5.1.1 in sonucu olarak elde edilir.
Sonuç 5.1.1. (X; ) bir topolojik uzay olsun.
(a) (X; ) topolojik uzay¬regülerdir.
(b) Her x 2 X noktas¬ ve x noktas¬n¬n her V aç¬k komşulu¼
gu için c U = U
V
olacak şekilde x noktas¬n¬n bir U aç¬k komşulu¼
gu vard¬r.
(c) Her x 2 X noktas¬kapal¬komşuluklar taban¬na sahiptir.
Topolojik uzaylarda, temel ay¬rma aksiyomlar¬ile regülerlik aras¬nda elde edilen baz¬
ilişkiler ve regüler topolojik uzaylar¬n baz¬temel özellikleri genelleştirilmiş topolojik
uzaylarda da gerçeklenmektedir.
48
Önerme 5.1.1. (X; g) bir genelleştirilmiş topolojik uzay olsun. Bu durumda, (X; g)
regüler ise, g; (S2 ) aksiyomunu sa¼
glar.
I·spat. x; y 2 X olmak üzere x 2 G ve y 2
= G koşulunu sa¼
glayan herhangi bir
G 2 g alal¬m. Buradan x 2
= X
oldu¼
gundan x 2 G0 , y 2 F
G = F olup F kümesi g-kapal¬d¬r. (X; g) regüler
G00 ve G0 \ G00 = ; olacak şekilde G0 ve G00 g-aç¬k
kümeleri vard¬r. O halde, g; (S2 ) aksiyomunu sa¼
glar.
(S2 ) aksiyomunu sa¼
glayan her genelleştirilmiş topolojinin (S1 ) aksiyomunu sa¼
glayaca¼
g¬aç¬kt¬r. Ayr¬ca Császár (2004 c) k = 1; 2 için (T0 ) ve (Sk ) aksiyomlar¬n¬sa¼
glayan
her genelleştirilmiş topolojinin (Tk ) aksiyomunu sa¼
glayaca¼
g¬n¬göstermiştir. O halde,
Önerme 5.1.1 den (X; g) regüler ve g; (T0 ) aksiyomunu sa¼
glayan bir GT ise, g nin
(T2 ) aksiyomunu sa¼
glayaca¼
g¬ve dolay¬s¬yla (T1 ) aksiyomunu sa¼
glayaca¼
g¬aç¬kt¬r.
Lemma 5.1.1. g; X üzerinde bir GT olsun. Aşa¼
g¬daki önermeler denktirler.
(a) g; (T1 ) aksiyomunu sa¼
glar.
(b) 8x 2 X için fxg tek nokta kümesi g-kapal¬d¬r.
Önerme 5.1.2. (X; g) bir genelleştirilmiş topolojik uzay olsun. Bu durumda, g; X
üzerinde (T1 ) aksiyomunu sa¼
glayan normal bir GT ise, (X; g) regülerdir.
I·spat. F
X g-kapal¬bir küme ve x 2
= F olsun. Lemma 5.1.1 den fxg g-kapal¬d¬r.
Bu durumda g normal bir GT oldu¼
gundan fxg ve F ayr¬k g-kapal¬lar¬için fxg 2 G;
F
G0 ve G \ G0 = ; olacak şekilde G ve G0 g-aç¬k kümeleri vard¬r. O halde (X; g)
regülerdir.
X ve X0 iki küme, g X üzerinde bir GT ve f : X0 ! X bir fonksiyon olsun. Bu
durumda f fonksiyonu yard¬m¬yla elde edilen g0 = ff
1
(G) : G 2 gg ailesinin X0
üzerinde bir GT oldu¼
gu Császár (2007 b) taraf¬ndan gösterilmiştir. g0 için aşa¼
g¬daki
önermeyi ifade edebiliriz.
Önerme 5.1.3. (X; g) regüler bir genelleştirilmiş topolojik uzay ise, (X0 ; g0 ) regüler
49
bir genelleştirilmiş topolojik uzayd¬r.
I·spat. F0 kümesi g0 -kapal¬ve x 2
= F0 olsun. g0 ¬n tan¬m¬ndan F0 = f
1
(F ) olacak
biçimde bir F g-kapal¬s¬vard¬r ve F kümesi f (x) noktas¬n¬içermez. (X; g) regüler
G0 ve G \ G0 = ; olacak şekilde G ve G0 g-aç¬k
oldu¼
guna göre f (x) 2 G; F
1
kümeleri vard¬r. Buradan x 2 f
(G) = G0 ; F0
f
1
(G0 ) = G00 ve G0 \ G00 = ;
olacak şekilde G0 ve G00 2 g0 olur. O halde (X0 ; g0 ) regülerdir.
X ve f : X0 ! X; 8x 2 X0 için f (x) = x olarak al¬n¬rsa, g0 (= gX0 )
E¼
ger; X0
genelleştirilmiş topolojisine g den X0 üzerine indirgenen (rölatif) GT denir (Császár
2007 b). O halde aşa¼
g¬daki sonuç, Önerme 5.1.3 den aç¬kca görülür.
Sonuç 5.1.2. (X; g) regüler bir genelleştirilmiş topolojik uzay ise, (X0 ; gX0 ) regülerdir.
Önerme 5.1.4. (X; g) regüler bir genelleştirilmiş topolojik uzay ise, (g) = g eşitli¼
gi
gerçeklenir.
I·spat.
(g)
g oldu¼
gunu biliyoruz. Herhangi bir A 2 g ve x 2 A için, X
kümesi g-kapal¬ olup, x 2
= X
uzay oldu¼
gundan, x 2 G; X
A
A d¬r. (X; g) regüler bir genelleştirilmiş topolojik
A
kümeleri vard¬r. Buradan x 2 G
G0 ve G \ G0 = ; olacak şekilde G ve G0 g-aç¬k
cg G
A olur. Dolay¬s¬yla A 2 (g) dir.
Bu önermenin karş¬t¬genellikle do¼
gru de¼
gildir. Yani regüler olmayan (g) genelleştirilmiş topolojileri vard¬r. Aşa¼
g¬da verilen örnek bu durumu aç¬klar.
Örnek 5.1.1. (Császár 2004 b) X = Z [ fpg kümesi p 2
= Z koşulu ile verilsin. Z
üzerinde
0
ile, 8k 2 Z için Bk = f2kg ve Bk0 = f2k; 2k + 1; 2k + 2g kümelerinin
oluşturdu¼
gu aileyi taban kabul eden topoloji gösterilsin. X üzerinde bir
de, Z 2
topolojisi
ve p noktas¬n¬n komşuluklar süzgeci, k 2 Z için Tk = fn 2 Z : 2k
ng
olmak üzere, fpg [ Tk kümelerinden oluşacak şekilde tan¬mlans¬n. Bu durumda
( ) = f;; Z; Xg oldu¼
gu Császár taraf¬ndan gösterilmiştir. Burada ( )-kapal¬fpg
kümesi ele al¬n¬rsa, 2k 2
= fpg olup 2k noktas¬n¬ve fpg kümesini içeren ayr¬k
aç¬klar bulunamaz. Yani (X; ( )) regüler de¼
gildir.
50
( )-
Regüler genelleştirilmiş topolojik uzay kavram¬ele al¬nd¬g¼¬nda, (g; g0 )-sürekli fonksiyonlar ve zay¬f (g; g0 )-sürekli fonksiyonlar aras¬nda aşa¼
g¬daki ilişki elde edilir.
Teorem 5.1.2. g ve g0 s¬ras¬yla X ve Y üzerinde iki GT olsun ve f : X ! Y
fonksiyonu verilsin. Bu durumda aşa¼
g¬daki özellikler gerçeklenir.
(a) f fonksiyonu (g; g0 )-sürekli ise, zay¬f (g; g0 )-süreklidir.
(b) (Y; g0 ) regüler bir genelleştirilmiş topolojik uzay ve f fonksiyonu zay¬f (g; g0 )sürekli ise, f; (g; g0 )-süreklidir.
I·spat. (a) Tan¬m 2.2.3 ve 2.2.10 (a) dan aç¬kça görülür.
(b) Herhangi bir G0 2 g0 ve herhangi bir x 2 f
G0 2 g0 oldu¼
guna göre G0 2
(b) den cg0 V 0
g0
1
(G0 ) alal¬m. Bu durumda f (x) 2
(f (x)) dir. (Y; g0 ) regüler oldu¼
gundan Teorem 5.1.1
G0 olacak biçimde 9V 0 2
g0
(f (x)) vard¬r. Di¼
ger yandan, f zay¬f
(g; g0 )-sürekli oldu¼
gundan x noktas¬n¬ içeren 9G 2 g için f (G)
Buradan G
f
1
cg0 V 0 olacakt¬r.
(G0 ) olur, böylece f fonksiyonunun (g; g0 )-sürekli oldu¼
gu görülür.
Genelleştirilmiş topolojik uzaylar¬n, genelleştirilmiş homeomor…zmler alt¬nda invaryant kalan özelliklerine genelleştirilmiş topolojik özellikler ad¬n¬ verebiliriz. Şimdi,
regüler genelleştirilmiş toplojik uzay olma özelli¼
ginin bir genelleştirilmiş topolojik
özellik oldu¼
gunu ifade eden aşa¼
g¬daki teoremi verelim.
Teorem 5.1.3. (X; g) ve (Y; g0 ) iki genelleştirilmiş topolojik uzay ve f : X !
Y fonksiyonu bir (g; g0 )-homeomor…zm olsun. Bu durumda, (X; g) genelleştirilmiş
topolojik uzay¬n¬n regüler olmas¬ için gerek ve yeter koşul (Y; g0 ) genelleştirilmiş
topolojik uzay¬n¬n regüler olmas¬d¬r.
I·spat. (X; g) genelleştirilmiş topolojik uzay¬n¬n regüler oldu¼
gunu kabul edelim. K;
g0 -kapal¬ ve y 2
= K olsun. Bu durumda, y = f (x) olacak biçimde 9x 2 X vard¬r
ve x 2
=f
1
(K) d¬r. Di¼
ger yandan, f fonksiyonu (g; g0 )-sürekli oldu¼
gundan f
kümesi g-kapal¬d¬r. (X; g) regüler oldu¼
gundan, x 2 G ve f
1
(K)
(K)
U olacak şe-
kilde ayr¬k G ve U g-aç¬k kümeleri vard¬r. Buradan f (x) 2 f (G) ve K
51
1
f (U )
olup, f
1
fonksiyonu (g; g0 ) sürekli oldu¼
gundan f (G) ve f (U ) kümelerinin ayr¬k
g0 -aç¬k kümeler olduklar¬ kolayca görülür. Dolay¬s¬yla, (Y; g0 ) regülerdir. Tersine,
(Y; g0 ) genelleştirilmiş topolojik uzay¬n¬n regüler oldu¼
gunu kabul edelim. f bir (g; g0 )homeomor…zm oldu¼
gundan g = ff
1
(G0 ) : G0 2 g0 g dir. Böylece Önerme 5.1.3 den
(X; g) regülerdir.
X ve Y üzerinde s¬ras¬yla, g =
ve g0 =
0
birer topoloji olarak al¬n¬rsa, topolojik
uzaylar¬n aşa¼
g¬da verilen bilinen özelli¼
gi, Teorem 5.1.3 ün sonucu olarak elde edilir.
Sonuç 5.1.3. Regülerlik topolojik bir özelliktir.
5.2. Regüler Genelleştirilmiş Komşuluk Sistemleri
Bu bölümde, 16. ve 17. sayfalarda (2.2.5) ve (2.2.7) ile verilen dönüşümler kullan¬larak, C-regüler ve M -regüler genelleştirilmiş komşuluk sistemleri tan¬mlanacakt¬r. Bu tan¬mlar¬n her ikisinin de bir topolojik uzay¬n klasik anlamdaki komşuluklar sistemi ele al¬nd¬g¼¬nda, topolojik uzaylarda bilinen regülerlik tan¬m¬ile çak¬şt¬g¼¬
Sonuç 5.2.1 de gösterilecektir.
Tan¬m 5.2.1.
(a) Her V 2
; X üzerinde bir genelleştirilmiş komşuluk sistemi ve x 2 X olsun.
(x) genelleştirilmiş komşulu¼
gu için
(x) genelleştirilmiş komşulu¼
gu varsa, (X;
(b) Her V 2
U2
V olacak şekilde bir U 2
(x)) ; C-regülerdir denir.
(x) genelleştirilmiş komşulu¼
gu için cl U
(x) genelleştirilmiş komşulu¼
gu varsa, (X;
(c) (X;
U
V olacak şekilde bir
(x)) ; M -regülerdir denir.
(x)) her x 2 X noktas¬nda C-regüler (s¬ras¬yla M -regüler) ise, (X; ) ;
C-regülerdir (s¬ras¬yla M -regülerdir) denir.
Tan¬m 5.2.1 ve Teorem 2.2.2 (c) den aç¬kça görülece¼
gi üzere, (X; ) M -regüler
ise, (X; ) C-regülerdir. Ancak, X in C-regüler olmas¬ M -regüler olmas¬n¬ gerektirmemektedir. Aşa¼
g¬daki örnek bu durumu aç¬klar.
Örnek 5.2.1. X = fa; b; cg üzerinde
genelleştirilmiş komşuluk sistemi Örnek
52
2.2.3 de verildi¼
gi gibi al¬ns¬n. Bu durumda, (X; ) C-regülerdir. Ancak x = a ve
9V = fag 2
(X;
(a) için cl fag = X * V ve cl fa; bg = fa; bg * V oldu¼
gundan
(a)) M -regüler de¼
gildir. Dolay¬s¬yla (X; ) M -regüler de¼
gildir.
C-regülerlik ve M -regülerlik kavramlar¬, (2.2.5) ve (2.2.7) de verilen dönüşümler
kullan¬larak tan¬mland¬g¼¬ndan bu dönüşümler aras¬ndaki ilişkileri veren aşa¼
g¬daki
lemma, verece¼
gimiz sonuçlar için temel teşkil etmektedir.
; X üzerinde bir genelleştirilmiş komşuluk sistemi ve A
Lemma 5.2.1.
X olsun.
Bu durumda aşag¬daki özellikler gerçeklenir.
(a)
= '+ koşulunu sa¼
glayan her ' 2
(X) için
(b)
= '+ koşulunu sa¼
glayan her ' 2
(X) için cl A =
(c) g; X üzerinde bir GT ve
I·spat. (a) A
A
'A
=
+
g
A=
ve { A = {' A d¬r.
'A
'A
ve I A = {' A d¬r.
ise, cl A = cg A eşitli¼
gi gerçeklenir.
X olsun. Herhangi bir x 2 X için ' (x)
oldu¼
gu aç¬kt¬r. Di¼
ger yandan, x 2
alal¬m. W 2
(x) için V
'A
(x) oldu¼
gundan
olsun ve herhangi bir W 2
(x)
W olacak şekilde bir V 2 ' (x) vard¬r. O halde
V \ A 6= ; dir. Buradan x 2
A oldu¼
gu aç¬kt¬r. Böylece
A =
'A
eşitli¼
gi
gerçeklenir. Ayr¬ca, Lemma 2.2.1 (b) den { A = {' A oldu¼
gu kolayca görülür.
(b) A
X olsun. Teorem 2.2.2 (c) den
d¬r. Di¼
ger yandan x 2
=
(2.2.4) den V
X A2
X
'A
A
cl A olur, böylece (a) dan
ise, Lemma 2.2.1 (b) den x 2 {' (X
'A
cl A
A) olur. O halde,
A olacak biçimde bir V 2 ' (x) vard¬r. Bu durumda, (2.2.8) den
(x) olur. Böylece (2.2.7) den x 2
= cl A oldu¼
gu aç¬kt¬r. O halde cl A =
eşitli¼
gi gerçeklenir. Ayr¬ca Teorem 2.2.2 (b) den I A = X
'A
A) oldu¼
gunu
cl (X
biliyoruz. Bu durumda I A = {' A oldu¼
gu kolayca görülür.
(c) A
X olsun.
+
g
A=
göre Lemma 2.2.2 den
g
g
A oldu¼
gu (a) dan aç¬kt¬r. Ayr¬ca
g
2
g
(X) oldu¼
guna
A = cg A olacakt¬r. Burada Lemma 2.2.3 kullan¬l¬rsa
c g A = cg A oldu¼
gu elde edilir. Böylece (b) den cl A = cg A oldu¼
gu aç¬kt¬r.
Böylece bir genelleştirilmiş komşuluk sistemi ve onun ascendingini gözönüne alarak,
53
C-regülerlik ve M -regülerli¼
ge ilişkin aşa¼
g¬daki özellikleri ifade edebiliriz.
Önerme 5.2.1.
ve '; X üzerinde
= '+ koşulunu gerçekleyen iki genelleştirilmiş
komşuluk sistemi olsun. Bu durumda aşag¬daki özellikler vard¬r.
(a) (X; ) nin C-regüler olmas¬ için gerek ve yeter koşul (X; ') nin C-regüler olmas¬d¬r.
(b) (X; ') M -regüler ise, (X; ) M -regülerdir.
(c)
ascending ise, (X; ) nin C-regüler olmas¬için gerek ve yeter koşul (X; ) nin
M -regüler olmas¬d¬r.
I·spat. (a) Lemma 5.2.1 (a) dan aç¬kça görülür.
(b) A
X ve x 2
= cl' A olsun. Bu durumda, X
oldu¼
gundan X
A2
A 2 ' (x) ve ' (x)
(x) dir. O halde x 2
= cl A d¬r. Buradan cl A
(x)
cl' A oldu¼
gu
elde edilir. Böylece (X; ') M -regüler ise, (X; ) M -regülerdir.
(c)
ascending ise,
=
+
d¬r. Dolay¬s¬yla Lemma 5.2.1 (a) ve (b) den ispat aç¬kça
görülür.
Sonuç 5.2.1. X üzerinde g =
(a)
bir topoloji olarak al¬ns¬n. Bu durumda;
için (X; ) nin C-regüler olmas¬ (X; ) topolojik uzay¬n¬n regüler ol-
=
mas¬yla eş anlaml¬d¬r,
(b)
=
+
için (X; ) nin M -regüler (C-regüler) olmas¬(X; ) topolojik uzay¬n¬n
regüler olmas¬yla eş anlaml¬d¬r.
I·spat. (a) Lemma 2.2.2 ve 2.2.3 den aç¬kça görülür.
(b) Lemma 5.2.1 (c) ve Önerme 5.2.1 (a) ve (c) den aç¬kça görülür.
g bir genelleştirilmiş topoloji olarak al¬nd¬g¼¬nda, Sonuç 5.2.1 ile verilen uyumun,
hangi koşullar alt¬nda gerçeklenece¼
gine yan¬t olarak aşa¼
g¬daki sonuçlar elde edilmiştir.
54
; X üzerinde g = g
Teorem 5.2.1.
için
2
(X) koşulunu sa¼
glayan bir
g
genelleştirilmiş komşuluk sistemi olsun. Bu durumda aşa¼
g¬daki önermeler denktirler.
(a) (X; ), C-regülerdir.
(b) (X; g ) genelleştirilmiş topolojik uzay¬regülerdir.
I·spat. (a))(b) F
dir. O halde V
X g -kapal¬bir küme ve x 2
= F olsun. Buradan x 2 X F 2 g
X
F olacak biçimde bir V 2
C-regüler oldu¼
gundan
F
X
U
V olacak biçimde bir U 2
U olup Lemma 2.2.2 den X
x 2 U ve F
(x) vard¬r. Di¼
ger yandan, (X; )
U =X
(x) vard¬r. Buradan
c U = U 0 2 g dir. Böylece
U 0 olacak biçimde ayr¬k ve g -aç¬k U ve U 0 kümeleri vard¬r. Dolay¬s¬yla
(X; g ) regülerdir.
(b))(a) Herhangi bir x 2 X ve V 2
V kümesi g -kapal¬d¬r
(x) al¬n¬rsa, F = X
ve x 2
= F dir. (X; g ) regüler oldu¼
gundan, x 2 G ve F
G0 olacak biçimde ayr¬k
g -aç¬k G ve G0 kümeleri vard¬r. Burada x 2 G 2 g oldu¼
gundan, U
biçimde 9U 2
(x) vard¬r ve
U
(X
G0 ) = c (X
G0 ) = X
G olacak
G0
V dir.
O halde (X; ) C-regülerdir.
Teorem 5.2.1 den (X; ) M -regüler ise, (X; g ) genelleştirilmiş topolojik uzay¬n¬n
regüler olaca¼
g¬ aç¬kt¬r. Ancak,
; X üzerinde g = g için
2
g
(X) koşulunu
sa¼
glayan bir genelleştirilmiş komşuluk sistemi olsa dahi; (X; g ) genelleştirilmiş topolojik uzay¬n¬n regüler olmas¬, (X; ) nin M -regüler olmas¬n¬ gerektirmez. Aşa¼
g¬daki
örnek bu durumu aç¬klar.
Örnek 5.2.2. X ve ; Örnek 5.2.1 de verildi¼
gi gibi al¬ns¬n. Bu durumda, g = exp X
olup regüler bir genelleştirilmiş topolojidir. Ancak (X; ) M -regüler de¼
gildir.
Böylece, Sonuç 5.2.1, g bir GT olarak al¬nd¬g¼¬nda aşa¼
g¬daki şekilde genelleştirilebilir.
Teorem 5.2.2. g; X üzerinde bir kuvvetli GT olsun. Bu durumda aşa¼
g¬daki önermeler denktirler.
55
(a) (X; g) genelleştirilmiş topolojik uzay¬regülerdir.
(b) X;
g
; C-regülerdir.
(c) X;
+
g
; M -regülerdir.
I·spat. (a))(b) (X; g) genelleştirilmiş topolojik uzay¬ regüler ve
Lemma 2.2.3 den g = g olup Teorem 5.2.1 (a) dan X;
g
=
g
olsun.
; C-regülerdir.
(b))(c) Önerme 5.2.1 (a) ve (c) den aç¬kça görülür.
X g-kapal¬bir küme ve x 2
= F ise, x 2 W = X
(c))(a) F
+
g
dir. X;
M -regüler oldu¼
gundan cl
ve Lemma 5.2.1 (c) den cl
+
g
V olacak şekilde bir U 2
+
g
F 2
(x)
+
g
W olacak şekilde bir V 2
V
+
g
V = cg V dir. Di¼
ger yandan, V 2
g
g
(x)
(x) vard¬r
(x) oldu¼
gundan U
U0 = X
(x) vard¬r. Böylece x 2 U ve F
+
g
cg V olacak
şekilde ayr¬k ve g-aç¬k U ve U 0 kümeleri bulunur. O halde (X; g) genelleştirilmiş
topolojik uzay¬regülerdir.
ve
0
s¬ras¬yla X ve Y üzerinde iki GNS olmak üzere ( ;
nun zay¬f ( ;
0
0
)-sürekli her fonksiyo-
)-sürekli oldu¼
gu Min (2008) taraf¬ndan gösterilmiş ve bu önermenin
karş¬t¬n¬n do¼
gru olmad¬g¼¬na ilişkin örnek verilmiştir. Ancak C-regülerlik tan¬m¬ele
al¬nd¬g¼¬nda, aşa¼
g¬daki olumlu sonuç verilebilir.
Teorem 5.2.3.
0
ve
s¬ras¬yla X ve Y üzerinde iki GNS olsun ve f : X ! Y
fonksiyonu verilsin. E¼
ger; (Y;
f, ( ;
0
0
) ; C-regüler ve f fonksiyonu zay¬f ( ;
)-sürekli ise,
)-süreklidir.
I·spat. Herhangi bir x 2 X ve V 0 2
oldu¼
gundan V
f zay¬f ( ;
f (U )
0
0
0
0
(f (x)) alal¬m. Bu durumda (Y;
V 0 olacak biçimde 9V 2
V
)-sürekli oldu¼
gundan 9U 2
ve
0
0
) ; C-regüler
(f (x)) vard¬r. Di¼
ger yandan,
(x) için f (U )
V 0 olur, böylece f fonksiyonunun ( ;
Tan¬m 5.2.2.
0
0
0
V olacakt¬r. Buradan
)-sürekli oldu¼
gu görülür.
s¬ras¬yla X ve Y üzerinde iki GNS olsun ve f : X ! Y
fonksiyonu verilsin. E¼
ger;
56
1
(a) f fonksiyonu birebir, örten ve f ve f
yonuna bir ( ;
0
fonksiyonlar¬( ;
0
)-sürekli ise, f fonksi-
)-homeomor…zm denir.
1
(b) f fonksiyonu birebir, örten ve f ve f
fonksiyonlar¬ gn-sürekli ise, f fonksi-
yonuna bir gn-homeomor…zm denir.
Böylece, genelleştirilmiş komşuluk sistemlerinin ( ;
0
)-homeomor…zmler (s¬ras¬yla;
gn-homeomor…zmler) alt¬nda invaryant kalan özelliklerine ( ;
0
)-invaryant (s¬ras¬yla;
gn-invaryant) özellikler ad¬verilebilir.
Teorem 5.2.4. C-regülerlik (s¬ras¬yla M -regülerlik) ( ;
0
)-invaryant (gn-invaryant)
bir özelliktir.
I·spat.
ve
0
s¬ras¬yla X ve Y üzerinde iki GNS, f : X ! Y bir fonksiyon ve (X; ) ;
C-regüler olsun. Herhangi bir y 2 Y ve W 2
9x 2 X için y = f (x) olur ve f fonksiyonu ( ;
için f (V )
W olacak şekilde 9V 2
C-regüler oldu¼
guna göre 9U 2
oldu¼
gu aç¬kt¬r. Di¼
ger yandan; f
için f
f
f
1
(G)
1
(Y;
0
0
G
U
f
1
1
0
)-sürekli oldu¼
gundan W 2
V olacakt¬r. Buradan f
U
fonksiyonu ( 0 ; )-sürekli oldu¼
gundan U 2
U olacak biçimde 9G 2
W olur. f
U
(y) alal¬m. f örten oldu¼
gundan
0
(y)
(x) genelleştirilmiş komşulu¼
gu vard¬r. (X; ) ;
(x) için
1
0
0
(y) vard¬r. Buradan f
f
1
W
(x)
(G)
fonksiyonu ( 0 ; )-sürekli oldu¼
gundan Teorem 2.2.1 (b) den
(G) dir. Böylece
0
G
W olur. O halde (Y;
0
) ; C-regülerdir.
) nün C-regüler olmas¬n¬n (X; ) nin C-regüler olmas¬n¬ gerektirdi¼
gi benzer
şekilde gösterilebilir.
Ayr¬ca, M -regülerlik için ispat, Teorem 2.2.3 (c) kullan¬larak yukar¬da verilen ispata
benzer şekilde kolayl¬kla elde edilebilir.
Böylece bir kez daha topolojik uzaylar¬n aşa¼
g¬da verilen bilinen özelli¼
gi, Teorem 5.2.4
ün bir sonucu olarak elde edilir.
Sonuç 5.2.2. Regülerlik topolojik bir özelliktir.
I·spat. (X; ) ve (Y; 0 ) iki topolojik uzay ve f : X ! Y bir homeomor…zm olsun. Bu
57
durumda, Önerme 2.2.4 den f fonksiyonu (
(X; ) regüler ise Teorem 5.2.2 (b) den (X;
den (Y;
0
;
0
)-homeomor…zmdir. Di¼
ger yandan;
) ; C-regülerdir. Böylece Teorem 5.2.4
) ; C-regülerdir. O halde Teorem 5.2.2 (a) dan (Y; 0 ) regülerdir. Di¼
ger
taraf benzer şekilde gösterilir.
5.3. Yar¬regüler Genelleştirilmiş Komşuluk Sistemleri
g; X üzerinde bir GT olsun. Császár 2007 a da
(g) genelleştirilmiş topolojisini
tan¬mlam¬ş ve baz¬temel özelliklerini incelemiştir. E¼
ger; g; X üzerinde bir topoloji
olarak al¬n¬rsa, Önerme 2.2.1 den (g) ailesinin g nin yar¬regülerizasyonu ile çak¬şaca¼
g¬kolayl¬kla görülür.
Bu bölümde yar¬regülerlik kavram¬(2.2.4), (2.2.5), (2.2.6) ve (2.2.7) de verilen dönüşümler kullan¬larak genelleştirilmiş komşuluk sistemlerine genelleştirilecektir.
Tan¬m 5.3.1.
; X üzerinde bir genelleştirilmiş komşuluk sistemi ve x 2 X olsun.
(a) Her V 2
(x) genelleştirilmiş komşulu¼
gu için {
U2
(x) genelleştirilmiş komşulu¼
gu varsa, (X;
(b) Her V 2
U2
V olacak şekilde bir
(x)) ; C-yar¬regülerdir denir.
(x) genelleştirilmiş komşulu¼
gu için I cl U
(x) genelleştirilmiş komşulu¼
gu varsa, (X;
(c) (X;
U
V olacak şekilde bir
(x)) ; M -yar¬regülerdir denir.
(x)) her x 2 X noktas¬nda C-yar¬regüler (s¬ras¬yla M -yar¬regüler) ise;
(X; ) ; C-yar¬regülerdir (s¬ras¬yla M -yar¬regülerdir) denir.
; X üzerinde bir genelleştirilmiş komşuluk sistemi olmak üzere, X in C-yar¬regüler
ve M -yar¬regüler olmas¬kavramlar¬ba¼
g¬ms¬zd¬r. Aşa¼
g¬daki örnekler bu durumu aç¬klar.
Örnek 5.3.1. X = fa; b; cg ; g = f;; X; fbg ; fcg ; fb; cgg olsun ve
(a) = fXg ;
(b) = ffbg ; fb; cg ; Xg ve
(b) için I cl U * V dir. O halde (X;
58
g
yani
(c) = ffcg ; fb; cg ; Xg olarak al¬ns¬n. Bu
durumda, (X; ) ; C-yar¬regülerdir. Di¼
ger yandan, her U 2
olup, V = fb; cg 2
=
(b) için I cl U = X
(b)) ; M -yar¬regüler
de¼
gildir. Dolay¬s¬yla, (X; ) ; M -yar¬regüler de¼
gildir.
E¼
ger;
=
+
g
al¬n¬rsa, C-yar¬regülerli¼
gin M -yar¬regülerlik ile çak¬şaca¼
g¬ kolayl¬kla
görülür.
Örnek 5.3.2. X = fa; b; cg olsun ve X üzerinde
(a) = ffag ; fa; bg ; fa; cg ; Xg ;
(b) = ffb; cgg ve
Bu durumda X; M -yar¬regülerdir. Ancak (X;
ten V = fa; bg 2
{
U2
(c) = ffa; cgg olarak al¬ns¬n.
(a)) ; C-yar¬regüler de¼
gildir. Gerçek-
(a) genelleştirilmiş komşulu¼
gunu gözönüne alal¬m. Bu durumda
fag = fa; cg ve {
(a) için {
genelleştirilmiş komşuluk sistemi
fa; bg = {
U * V olup (X;
fa; cg = {
X = X dir. Dolay¬s¬yla, her
(a)) ; C-yar¬regüler de¼
gildir.
Aşşa¼
g¬daki sonuç Lemma 5.2.1 (a) ve (b) yard¬m¬yla aç¬kça görülebilir.
Önerme 5.3.1.
; X üzerinde ascending bir genelleştirilmiş komşuluk sistemi olsun.
Bu durumda, aşa¼
g¬daki önermeler denktirler.
(a) (X; ) ; C-yar¬regülerdir.
(b) (X; ) ; M -yar¬regülerdir.
Sonuç 5.3.1. g = ; X üzerinde bir topoloji olarak al¬ns¬n. Bu durumda;
(a)
için X in C-yar¬regüler olmas¬ (X; ) topolojik uzay¬n¬n yar¬regüler
=
olmas¬yla eş anlaml¬d¬r,
(b)
=
+
için C-yar¬regülerlik ve M -yar¬regülerlik tan¬mlar¬n¬n her ikisi de (X; )
topolojik uzay¬için bilinen yar¬regülerlik tan¬m¬ile çak¬ş¬r.
Önerme 5.3.2.
; X üzerinde bir genelleştirilmiş komşuluk sistemi olsun. Bu
durumda (X; ) ; C-regüler (M -regüler) ise, C-yar¬regülerdir (M -yar¬regülerdir).
I·spat. Tan¬m 5.2.1 ve 5.3.1 den aç¬kt¬r.
g = ; X üzerinde bir topoloji ve
(veya
=
=
+
) olarak al¬n¬rsa, Teorem
5.2.2 ve Önerme 5.3.2 yard¬m¬yla aşa¼
g¬da verilen özellik, sonuç olarak elde edilir.
59
Sonuç 5.3.2. Regüler her topolojik uzay yar¬regülerdir.
Önerme 5.3.2 nin karş¬t¬ genellikle do¼
gru de¼
gildir. Yani X in C-yar¬regüler (M yar¬regüler) olmas¬, C-regüler (M -regüler) olmas¬n¬ gerektirmez. Aşa¼
g¬daki örnek
bu durumu aç¬klar.
Örnek 5.3.3. X ve g; Örnek 5.3.1 de verildi¼
gi gibi al¬ns¬n.
=
g
için X in C-
yar¬regüler oldu¼
gu ancak C-regüler olmad¬g¼¬kolayl¬kla gösterilebilir. E¼
ger;
al¬n¬rsa
(a) = fXg ;
(b) = ffbg ; fb; cg ; fa; bg ; Xg ve
=
+
g
(c) = ffcg ; fb; cg ;
fa; cg ; Xg olacakt¬r. Dolay¬s¬yla, X in M -yar¬regüler oldu¼
gu aç¬kça görülür. Di¼
ger
yandan V = fbg 2
(X;
gundan
(b) için cl U * V oldu¼
(b) ele al¬n¬rsa, 8U 2
(b)) ; M -regüler de¼
gildir. Dolay¬s¬yla (X; ) ; M -regüler de¼
gildir.
Teorem 5.3.1.
; X üzerinde g = g için
2
g
(X) koşulunu gerçekleyen bir
GNS olsun. Bu durumda aşa¼
g¬daki önermeler denktirler.
(a) (X; ) ; C-yar¬regülerdir.
(b) (g ) = g eşitli¼
gi gerçeklenir.
I·spat. (a))(b) (g )
g oldu¼
gunu biliyoruz. Şimdi herhangi bir G 2 g alal¬m.
Bu durumda, 8x 2 G için V
yar¬regüler oldu¼
guna göre {
yandan, g = g için
2
g
G olacak biçimde bir V 2
U
(x) vard¬r. X, C-
V olacak biçimde bir U 2
(x) vard¬r. Di¼
ger
(X) oldu¼
guna göre, Lemma 2.2.2 den { = i ve
=c
olacakt¬r. Böylece Önerme 2.2.1 den G 2 (g ) oldu¼
gu aç¬kt¬r.
(b))(a) 8x 2 X ve 8V 2
(x) alal¬m. Bu durumda, g = g için
oldu¼
gundan V 2 g = (g ) dir. Dolay¬s¬yla x 2 G
2
g
(X)
G
V olacak
biçimde bir G 2 g vard¬r. Ayr¬ca G 2 g oldu¼
gundan x 2 G için U
G olacak
biçimde bir U 2
(x) vard¬r ve {
U
{
G
i c G={
V gerçeklenir. Dolay¬s¬yla (X; ),
C-yar¬regülerdir.
Teorem 5.3.2. g; X üzerinde bir kuvvetli genelleştirilmiş topoloji olsun. Bu durumda aşa¼
g¬daki önermeler denktirler.
60
(a) (g) = g:
(b) X;
g
; C-yar¬regülerdir.
(c) X;
+
g
; M -yar¬regülerdir.
I·spat. (a))(b) g; X üzerinde regüler bir genelleştirilmiş topoloji olsun.
Lemma 2.2.3 den g = g olur, dolay¬s¬yla
2
g
=
g
için
(X) koşulu gerçeklenir. Böylece
Teorem 5.3.1 den ispat aç¬kt¬r.
(b))(c) Tan¬m 5.3.1 ve Lemma 5.2.1 (c) den aç¬kca görülür.
(c))(a) Lemma 5.2.1 (c) ve Önerme 2.2.1 gözönüne al¬narak kolayl¬kla gösterilir.
g =
; X üzerinde bir topoloji olarak verilsin. Bu durumda, topolojik uzaylar
için bilinen aşa¼
g¬daki karakterizasyon Teorem 5.3.2 ve Sonuç 5.3.1(a) n¬n bir sonucu
olarak elde edilir.
Sonuç 5.3.3. (X; ) bir topolojik uzay olsun. Bu durumda aşa¼
g¬daki önermeler
denktirler.
(a) ( ) = :
(b) (X; ) topolojik uzay¬yar¬regülerdir.
Teorem 5.3.3. C-yar¬regülerlik (s¬ras¬yla M -yar¬regülerlik) ( ;
0
)-invaryant (gn-
invaryant) bir özelliktir.
I·spat.
ve
0
s¬ras¬yla X ve Y üzerinde iki GNS, f : X ! Y bir fonksiyon ve
(X; ) ; C-yar¬regüler olsun. Herhangi bir y 2 Y ve W 2
oldu¼
gundan 9x 2 X için y = f (x) olup, f fonksiyonu ( ;
W 2
0
(y) için f (V )
W olacak şekilde 9V 2
vard¬r. (X; ) ; C-yar¬regüler oldu¼
guna göre 9U 2
Buradan f {
U
(x) için f
1
(G)
61
0
(y) alal¬m. f örten
)-sürekli oldu¼
gundan
(x) genelleştirilmiş komşulu¼
gu
(x) için {
W oldu¼
gu aç¬kt¬r. Di¼
ger yandan; f
sürekli oldu¼
gundan U 2
0
U
1
V olacakt¬r.
fonksiyonu ( 0 ; )-
U olacak biçimde 9G 2
0
(y) vard¬r.
Buradan f {
oldu¼
gundan f
f { f
1
0
f
1
1
0
(G)
f {
G
f
0
0
0
G
1
(G) dir. Böylece { f
1
W dir. Di¼
ger yandan { 0 f f
G
f örten oldu¼
gundan {
(Y;
1
1
W olur. f
U
0
fonksiyonu ( 0 ; )-sürekli
0
G
G
W elde edilir. O halde, (Y;
{
f { f
0
f
1
1
0
(G) olup
G
olup
) ; C-yar¬regülerdir.
) nün C-yar¬regüler olmas¬n¬n (X; ) nin C-yar¬regüler olmas¬n¬ gerektirdi¼
gi
benzer şekilde gösterilebilir.
Ayr¬ca M -yar¬regülerlik için ispat Teorem 2.2.4 kullan¬larak yukar¬daki ispata benzer
şekilde kolayl¬kla görülür.
Böylece topolojik uzaylar¬n aşa¼
g¬da verilen bilinen özelli¼
gi, Teorem 5.3.2 ve 5.3.3 ün
bir sonucu olarak elde edilir.
Sonuç 5.3.3. Yar¬regülerlik topolojik bir özelliktir.
I·spat. (X; ) ve (Y; 0 ) iki topolojik uzay ve f : X ! Y bir homeomor…zm olsun. Bu
durumda, Önerme 2.2.4 den f fonksiyonu (
(X; ) yar¬regüler ise, Teorem 5.3.2 den (X;
5.3.3 den (Y;
0
;
0
)-homeomor…zmdir. Di¼
ger yandan,
) ; C-yar¬regülerdir. Böylece Teorem
) ; C-yar¬regülerdir. O halde Teorem 5.3.2 den (Y; 0 ) ; yar¬regülerdir.
Di¼
ger taraf benzer şekilde gösterilir.
62
KAYNAKLAR
Abd El-Monsef, M. E., El-Deep S. N. and Mahmoud R. A. 1983.
-open sets and
-continuous mappings. Bull. Fac. Sci. Assiut Univ. 12; 77-90.
Abd El-Monsef, M. E. and Kozae, A. M. 1985. Some generalized forms of compactness and closedness. Delta J. Sci. 9; 257-269.
Arya, S. P. and Bhamini, M. P. 1982. Some weaker forms of semi-continuous functions. Ganita. 33; 124-134.
Császár, Á. 1997. Generalized open sets. Acta Math. Hungar. 75(1-2); 65-87.
Császár, Á. 2000. -compact spaces. Acta Math. Hungar. 87(1-2); 99-107.
Császár, Á. 2002. Generalized topology, generalized continuity. Acta Math. Hungar.
96(4); 351-357.
Császár, Á. 2003. -connected sets. Acta Math. Hungar. 101(4);273-279.
Császár, Á. 2004a. Extremally disconnected generalized topologies. Annales Univ.
Sci. Budapest. 47; 91-96.
Császár, Á. 2004b. Seperation properties of -modi…cations of topologies. Acta
Math. Hungar. 102(1-2); 151-157.
Császár, Á. 2004c. Seperation axioms for generalized topologies. Acta Math. Hun
gar. 104(1-2); 53-66.
Császár, Á. 2007a.
- and -Modi…cations of generalized topologies. Acta Math.
Hungar.
Császár, Á. 2007b. Normal generalized topologies. Acta Math. Hungar. 115(4);
309-313.
Császár, Á. 2008a. Enlargements and generalized topologies. Acta Math. Hungar.
Császár, Á. 2008b. On generalized neighbourhood systems. Acta Math. Hungar.
Dorsett, Ch. 1980. Semi-compact R1 and product spaces. Bull. Malaysian Math.
3; 15-19.
Dorsett, Ch.
1989.
Semi-regular and semi-normal spaces.
Soochow J. Math.
15(2);223–231.
Ganster, M. 1990. On covering properties and generalized open sets in topological
spaces. Math. Chronicle. 19; 27-33.
Ganster, M. Jafari, S. and Navalagi, G. B. 2002. On semi-g-regular and semi-g63
normal spaces. Demonstratio Math. 35(2); 415–421.
Gauld, D. B. 1978. c-continuous functions and cocompact topologies. Kyungpook
Math. J. 18(2); 151-157.
Gauld, D. B. 1981. Topologies related to notions of near continuity. Kyungpook
Math. J. 21(2); 195-204.
Gauld, D. B., Mršević, M., Reilly, I. L. and Vamanamurthy, M. K. 1984. Colindelöf
topologies and `-continuous functions, Glasnik Matematiµcki. 19(39); 297308.
Gentry, K. R. and Hoyle, H. B. III. 1970. c-continuous functions. Yokohama Math.
Journal. 18; 71-76.
Kanibir, A. and Reilly, I. L. 2007. On coKC topologies. Kochi J. Math. 2; 117-124.
Kanibir, A. and Girginok, P. 2007. On COLC topologies. Mathematiµcki Vesnik, 59;
23-30.
Kohli, J. K. 1981. A class of mappings containing all continuous mappings. Glasnik
Matematiµcki. 16(36); 361-367.
Konstadilaki-Savvopoulou, Ch. and Reilly, I. L. 1990. Almost l-continuous functions. 25(45); 363-370.
Levine, N. 1963. Semi-open sets and semi-continuity in topological spaces. Amer.
Math. Monthly. 70; 36-41.
Long, P. E. and Hamlett, T. E. 1975. H-continuous functions. Boll. Un. Mat. Ital.
11(4); 552-558.
Long, P. E. and Hendrix, M. D. 1974. Properties of c-continuous functions. Yokohama Math. Journal. 22; 117-123.
Maheshwari, S. N. and Thakur, S. S. 1985. On -compact spaces. Bull. Inst. Math.
Acad. Sinica. 13(4); 341-347.
Mashhour, A. S., Abd El-Monsef, M. E. and El-Deep S. N. 1982. On precontinuous
and weak precontinuous mappings. Proc. Math. Phys. Soc. Egypt. 53;
47-53.
Mashhour, A. S., Hasanein, I. A. and El-Deep S. N. 1983.
-continuous and -open
mappings. Acta Math. Hungar. 41;213-218.
Mashhour, A. S., Abd El-Monsef, Hasanein, I. A. and Noiri, T. 1984. Strongly com-
64
pact spaces. Delta J. Sci. 8; 30-46.
Min, W. K. 2005. Some results on generalized topological spaces and generalized
systems. Acta Math. Hungar. 108(1-2); 171-181.
Min, W. K. 2008. Weak continuity on generalized topological spaces. Acta Math.
Hungar.
Njastad, O. 1965. On some classes of nearly open sets. Paci…c J. Math. 15; 961-970.
Noiri, T. 1978. A characterization of almost regular spaces. Glasnik Mathematickc.
13(33); 335-338.
Noiri, T. 1987. Weakly -continuous functions. Internat. J. Math. Math. Sci. 10;
483-490.
Noiri, T. 1979. Properties of almost c-continuous functions. Journal Korean Math.
Soc. 15; 109-115.
Popa, V. and Noiri, T. 1994. Weakly -continuous functions. An. Univ. Timişoara
Ser. Mat.-Inform. 32(2); 83–92.
Pal, M.C. and Bhattacharyya, P. 1996. Feeble and strong forms of preirresolute
functions. Bull. Malaysian Math. Soc. 19; 63–75.
Singal, M. K. and Singal, A. R. 1968. Almost continuous mappings. Yokohoma
Math. Journal, 16; 63-73.
Veliµcko N. V. 1968. H-closed topological spaces. Amer Math. Soc. Transl. 78(2);
103-118.
65
ÖZGEÇMI·Ş
Ad¬Soyad¬
¼
¼
: Sevda SAGIRO
GLU
PEKER
Do¼
gum Yeri
: Kilis
Do¼
gum Tarihi : 11.02.1976
Medeni Hali
: Evli
Yabanc¬Dili
: I·ngilizce
E¼
gitim Durumu (Kurum ve Y¬l)
Lise
: Gaziantep Anadolu Lisesi (1994)
Lisans
: Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü (2000)
Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal¬ (2003)
Çal¬şt¬g
¼¬Kurum ve Y¬l
Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü
Araşt¬rma Görevlisi (2002
:::)
Yay¬nlar¬
Sa¼
g¬ro¼
glu, S. and Kan¬bir, A. co- -Compact generalized topologies and c-generalized continuous functions. Mathematica Balkanica N. S. 23 (1-2) (2009) 101-112.
Kan¬bir, A. and Sa¼
g¬ro¼
glu, S. Regularity for generalized systems.
(Yay¬nlatmak üzere gönderildi.)
66