ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DOKTORA TEZİ
Ali Arslan ÖZKURT
GRUP ETKİLERİNİN DENKLİKLERİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ADANA, 2005
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
GRUP ETKİLERİNİN DENKLİKLERİ
Ali Arslan ÖZKURT
DOKTORA TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Bu
tez
..../...../…...
Tarihinde
Aşağıdaki
Jüri
Üyeleri
Tarafından
Oybirliği/Oyçokluğu İle Kabul Edilmiştir.
İmza.............................
İmza..........................
Doç.Dr. Doğan DÖNMEZ
Prof.Dr. Yusuf ÜNLÜ
İmza.................................
Doç.Dr. Mustafa KORKMAZ
DANIŞMAN
ÜYE
ÜYE
İmza.............................
Doç.Dr. Hayrulllah AYIK
ÜYE
İmza.................................
Yrd.Doç.Dr. Leyla ONAT
ÜYE
Bu tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında hazırlanmıştır.
Kod No:
Prof.Dr Aziz ERTUNÇ
Enstitü Müdürü
İmza ve Mühür
Bu çalışma Çukurova Üniversitesi Araştırma Projesi Birimi tarafından
desteklenmiştir.
Proje No: FBE2003D6
Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge,
şekil ve fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat
Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.
ÖZ
DOKTORA TEZİ
GRUP ETKİLERİNİN DENKLİKLERİ
Ali Arslan ÖZKURT
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Danışman: Doç.Dr. Doğan DÖNMEZ
Yıl: 2005, Sayfa: 57
Jüri : Doç.Dr. Doğan DÖNMEZ
Prof.Dr. Yusuf ÜNLÜ
Doç.Dr. Mustafa KORKMAZ
Doç.Dr. Hayrullah AYIK
Yrd.Doç.Dr. Leyla ONAT
Bir topolojik grubun bir topolojik uzay üzerine etkilerinin denklikleri farklı
şekillerde olmaktadır. Bu farklı denklikler arasındaki ilişkilerin incelenmesi,
birbirleriyle ilişkili olup olmadıkları, veya "Hangi şartlar altında aralarında birtakım
ilişkiler var ?" sorusuna cevap aramaya çalıştığımız bu çalışmada, özellikle torus
gruplarının topolojik ve türevlenebilen manifoldlar üzerindeki etkilerinin farklı
denklikleri, özel olarak da torus gruplarının kompleks projektif uzay ve küreler
üzerindeki lineer etkilerinin denklikleri üzerinde çalışılmıştır.
Anahtar Kelimeler: Torus, Ağırlık sistemi, Kobordizm, Kohomoloji, Spektral dizi
I
ABSTRACT
PhD. THESIS
EQUIVALENCES OF GROUP ACTIONS
Ali Arslan ÖZKURT
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES
UNIVERSITY OF ÇUKUROVA
Supervisor Assoc. Prof. Dr. Doğan DÖNMEZ
Year: 2005, Pages: 57
Jury
: Assoc. Prof. Dr. Doğan DÖNMEZ
Prof. Dr. Yusuf ÜNLÜ
Assoc. Prof. Dr. Mustafa KORKMAZ
Assoc. Prof. Dr. Hayrullah AYIK
Asst. Prof. Dr Leyla ONAT
Several different equivalences can be defined for actions of Lie groups on
topological spaces. In this study, we investigated some relationships between
different kinds of equivalences. We also investigated certain conditions which imply
an equivalence of a different type. Generally we focused on topological and
differentiable torus actions on manifolds. Especially we studied equivalences of
linear torus group actions on complex projective spaces and spheres.
Key Words: Torus group, Weight system, Cobordism, Cohomology, Spectral
sequence
II
TEŞEKKÜR
Bu çalışmanın hazırlanması sırasında bilgi ve tecrübelerinden yararlandığım
değerli hocam sayın Doğan DÖNMEZ’e çok teşekkür ederim. Ayrıca manevi
desteklerinden dolayı aileme ve tüm matematik bölümü personeline teşekkür ederim.
III
İÇİNDEKİLER
SAYFA
ÖZ…………………………………………………………………………………….. I
ABSTRACT…………………………………………………………………………. II
TEŞEKKÜR………………………………………………………………………… III
İÇİNDEKİLER……………………………………………………………………... IV
1. GİRİŞ…………………………………………………………………………….. 1
1.1. Temel Tanım ve Teoremler………..…………………………………….... 2
1.2. Ekivaryant Euler Sınıfı ve Tamsayı Sistemi…………………….….
10
2. TORUS KOBORDANT KÜRELER………………………………………….... 15
2.1. Torus Kobordant Kürelerin Kohomoloji Boyutları………………….…….. 15
2.2. Torus Kobordant Kürelerin Tamsayı Ağırlık Sistemleri……………………19
3. TORUS KOBORDANT KOHOMOLOJİ KÜRELER………...………………...25
3.1. Torus Kobordant Kohomoloji Kürelerin Tamsayı Ağırlık Sistemleri………25
3.2. Tamsayı Yükseltme………………………………………………………....33
3.3. Bağlantılı Lie Gruplar İçin Smith Denklik Problemi…………..………….. 37
4. TORUS KOBORDANT KOMPLEKS PROJEKTİF UZAYLAR…………..…. 40
4.1. Kohomoloji Kompleks Projektif Uzaylar Üzerindeki Dönüşüm Grupları.... 40
4.2. Kohomoloji Kompleks Projektif Uzaylarnda Torus Etkileri İçin Ağırlık
Sistemi Ve Ayrışım Teoremi……………………………………………… 40
4.3. Torus Kobordant Kompleks Projektif Uzaylar……….………………….... 42
5. GRUP ETKİLERİNİN DEFORMASYONU………………………………..…. 47
5.1. Grup Etkilerinin Deformasyonlarının İncelenmesi………………………... 47
KAYNAKLAR……………………………………………………………………. 54
ÖZGEÇMİŞ………………….……………………………………………………. 57
IV
1. GİRİŞ
Ali Arslan ÖZKURT
1. GİRİŞ
Kompakt dönüşüm gruplarının kohomoloji teorisi 1930’lu ve 1940’lı yıllarda
P. A. Smith in çalışmaları ile başlar. P. A. Smith kohomolojik yöntemler geliştirerek
torus ve p -torus gruplarının küreler ve kohomoloji küreler üzerindeki etkilerini
farklı kategorilerde incelemiştir. Daha sonra 1960’lı yıllarda Atiyah-Segal
equivariant K-teorisini oluşturarak kompakt dönüşüm gruplarında farklı bir
kohomolojik metod kullanmışlardır. Borel ise equivariant kohomoloji teorisini
oluşturarak birtakım çalışmalar yapmıştır. 1970’li yıllarda ise Hsiang ve Quillen
equivariant kohomoloji teorisi fikrini geliştirerek torus ve p -torus gruplarının bir
takım önemli test uzayları (kohomoloji küreler asiklik (acyclic) uzaylar gibi)
üzerindeki etkilerini farklı kategorilerde incelemişlerdir.
Kompakt dönüşüm gruplarının kohomoloji teorisinde kohomoloji tipi bir
kürenin kohomoloji tipi gibi olan (kohomoloji küre) veya tek noktanın kohomoloji
tipi gibi olan (asiklik) uzaylar önemli test uzaylarıdır. Öte yandan bu uzayların
dönüşüm grupları arasında direkt bir ilişki vardır. Örneğin X bir kohomoloji küre ve
X üzerinde bir etki verilsin. O halde bu etki asiklik bir uzay olan CX (X üzerindeki
koni) üzerinde bir etki belirler. Diğer yandan X asiklik bir uzay ve X üzerinde sabit
noktası olan bir etki verilsin. O halde x sabit nokta olmak üzere bu etki X − {x}
kohomoloji küresi üzerinde bir etki belirler.
Bu çalışmada equivariant kohomoloji teknikleri kullanılarak özellikle torus
veya
p -torus gruplarının bazı önemli test uzayları üzerinde equivariant
kobordizmleri incelenmiştir.
1. Bölümde bu çalışmada kullanılan bazı temel tanım ve teoremler fazla
ayrıntıya girilmeden verilmiştir.
2. Bölümde torus kobordant ve sınır bileşenlerinin kohomolojisi kobordizmin
kohomolojisine izomorfik kürelerin tamsayı ağırlık sistemlerinin aynı olduğu
gösterilmiştir.
3. Bölümde 2. bölümde yapılanlar kohomoloji kürelere genişletilip
kohomojenitesi 3 ten küçük olan ve sabit noktası olan torus kobordant ve sınır
1
1. GİRİŞ
Ali Arslan ÖZKURT
bileşenlerinin kohomolojisi kobordizmin kohomolojisine izomorfik kürelerin
üzerindeki etkilerin denk oldukları gösterilmiştir. Ayrıca Smith denklik probleminin
bağlantılı Lie gruplar için bir çözümü verilmiştir.
4. Bölümde ise torus kobordant ve sınır bileşenlerinin kohomolojisi
kobordizmin kohomolojisine izomorfik kompleks projektif uzaylar üzerindeki lineer
etkilerin denk oldukları gösterilmiştir.
5. Bölümde ise izotopik dönüşüm gruplarının arasındaki benzerlikler
incelenmiştir.
Şimdi bu çalışmada kullanılan bazı temel tanım ve teoremleri verelim.
Bu çalışmadaki kohomolojiler Alexender-Spanier veya sheaf kohomolojidir.
( H c q : kompakt dayanaklı kohomoloji)
1.1 Temel Tanım Ve Teoremler
Tanım 1.1.1: X yerel kompakt, Hausdorff uzay olsun. L bir esas ideal bölgesi
olmak üzere her U açık alt kümesi için;
H c n +1 (U , L) = 0
ise X’in kohomoloji boyutu n den küçük veya eşittir denir ve dim L X ≤ n şeklinde
gösterilir. Kohomoloji boyut kavramı ilk olarak Cohen, (1954) tarafından verilmiştir.
Tanım 1.1.2 : X yerel kompakt Hausdorff uzayı ve U , X’in açık alt kümesi
ise;
*
J XU
: H c* (U , L) → H c* ( X , L)
*
*
*
standart homomorfizmi vardır. Ayrıca V, U’da açık ise J XV
= J XU
JUV
olur. Şimdi
x∈ X
alalım x’in verilen bir U açık komşuluğu için x ∈ W ⊂ V ⊂ U
W ⊂V ⊂V ⊂U
ve
olacak şekilde açık komşuluklar var ve x ∈ W ′ ⊂ W olacak
2
1. GİRİŞ
Ali Arslan ÖZKURT
i
i
şeklindeki her W ′ açık komşuluğu için Im JVW
′ = Im JVW rankı k olan serbest L-
modül ise X’in x civarındaki i. yerel Betti sayısı k dır denir ve ρ i ( x, L) = k şeklinde
gösterilir.
Yerel Betti sayısı tanımı ilk olarak 1935 yılında Alexandroff tarafından
verilmiştir.
Tanım 1.1.3 : n pozitif tamsayı, L esas ideal bölgesi ve dim L X sonlu olsun.
Eğer her x ∈ X ve i ≠ n için ρ i ( x, L) = 0 ve ρ n ( x, L) = 1 ise X’e Wilder n-manifold
denir.
Tanım 1.1.4 : X bağlantılı Wilder n-manifold olsun. Eğer her x ∈ X için
n
Im J XU
= A, A ⊂ H c n ( X , L) ve A rankı 1 olan serbest alt modül olacak şekilde;
x
{U x : U x
bağlantılı, açık ve x ∈ U x }
komşuluk bazı varsa X, L-yönlendirilebilirdir denir.
Tanım 1.1.5 : L esas ideal bölgesi olmak üzere L üzerinde yerel
yönlendirilebilir Wilder n-manifolda kohomoloji n-manifold denir.
Görüldüğü gibi kohomoloji manifoldlar genelleştirilmiş manifoldlardır. Yani
sınırı olmayan yerel yönlendirilebilir topolojik manifoldlar kohomoloji manifold
olurlar. Manifold olmayan bir kohomoloji manifold örneği olarak küre olmayan fakat
katsayılı kohomolojisi bir kürenin kohomolojisi gibi olan n-manifoldların açık
konilerini verebiliriz.
Tanım 1.1.6: G bir topolojik grup ve X Hausdorff uzay olsun. Bir θ : G × X → X
sürekli dönüşümü;
i.
Her g , h ∈ G ve her x ∈ X için θ ( g , θ (h, x)) = θ ( gh, x)
ii.
Her x ∈ X için θ (e, x) = x ( e, G ’nin birim elemanı)
3
1. GİRİŞ
Ali Arslan ÖZKURT
özelliklerini sağlıyorsa (G, X , θ ) veya kısaca (G, X ) ’e bir dönüşüm grubu denir.
θ ’ya G' nin X üzerine etkisi, X ’e de bir G-uzayı denir. Genelde θ ( g , x) = gx ile
gösterilir.
H ⊆ G ve A ⊆ X için H ( A) = {gx : g ∈ H , x ∈ A} olup eğer H ( A) = A
oluyorsa A’ya, X’in H-invaryant alt uzayı denir. Özel olarak G ( x) kümesine x’in
orbiti, X
G
= {G ( x) : x ∈ X } ’ye üzerindeki bölüm topolojisi ile orbit uzayı denir. Öte
yandan x ∈ X olmak üzere Gx = {g ∈ G : gx = x} , x ’in izotropi alt grubudur. Her
x ∈ X için Gx = {e} ise bu etkiye serbest etki, her x ∈ X için Gx = {e} veya G
oluyorsa yarı serbest etki denir. Öte yandan Gx =G ise x ’e bir sabit nokta denir. Tüm
sabit noktaların kümesi;
F = F (G, X ) = X G = {x ∈ X : gx = x, her g ∈ G için} olur.
Eğer G kompakt bir grup ise her x ∈ X için α x : G
Gx
→ G ( x) α x ( gGx ) = gx olarak
tanımlanan fonksiyon bir homeomorfizmdir.
Teorem 1.1.1 (Smith) : X bir kohomoloji manifold ve G =
p
ise F (G, X )
de bir kohomoloji manifold olur.
Tanım 1.1.7 : X ve Y G-uzayları olsun. Her
ϕ ( gx) = gϕ ( x) eşitliğini sağlayan sürekli ϕ : X → Y
g ∈ G, x ∈ X
için
fonksiyonuna G-uzayları
arasında bir ekivaryant (equivariant) dönüşüm denir.
G kompakt grup H ve K, G’nin kapalı alt grupları olsunlar. O halde
G
H
→G
K
grup etkisini koruyan bir dönüşümün var olması için gerek ve yeter
koşul H’nin, K’nın eşlenik alt grubu olmasıdır.
4
1. GİRİŞ
Ali Arslan ÖZKURT
Öte yandan G-orbitlerin kategorisi denkliklere göre ayrıldığında G-orbit
tiplerinin kategorisi elde edilir. G kompakt bir grup, H ve K, G’nin kapalı alt grupları
olsun. O halde;
Tip(G
H
) = Tip(G )
K
olması için gerek ve yeter koşul H ve K nın G’de eşlenik olmasıdır.
Tip (G
H
) → Tip(G )
K
morfizmasının var olması için gerek ve yeter koşul G
H
→G
K
grup etkisini
koruyan bir dönüşümün olmasıdır.
X ve Y , G
orbitler
ve
Tip ( X ) → Tip(Y )
bir
morfizm
var
ise
Tip( X ) ≥ Tip(Y ) dir denir. Dolayısıyla orbit tipleri üzerinde kısmi sıralama vardır.
Tip (*) = Tip(G ) minimum orbit tipi Tip (G ) maksimum orbit tipidir. Öte yandan
G
bağlantılı manifoldlar üzerinde yerel analitik(locally smooth) etkilerde ve başka bazı
durumlarda maksimum orbit tipi vardır.
Teorem 1.1.2 : G kompakt Lie grubu ve M bağlantılı manifold olsun. O
halde (G, M ) dönüşüm grubunun bir G
tipleri G
H
kümenin M
H
, maksimum orbit tipi vardır. Ayrıca
orbit tipine eşit olan orbitlerin birleşimi M’de açık ve yoğun olup bu
G
deki görüntüsü bağlantılıdır.
Tanım 1.1.8 : Maksimum orbit tipine esas orbit tipi, bu tipteki orbitlere esas
orbitler, bu orbitlere karşılık gelen izotropi alt gruplarına ise esas izotropi alt grupları
denir.
5
1. GİRİŞ
Ali Arslan ÖZKURT
Tanım 1.1.9 : G kompakt bir topolojik grup, X bir G uzayı, P ⊆ X , G
H
ile
aynı orbit tipinde bir orbit olsun A, H' nin etki ettiği bir uzay olmak üzere P
civarında bir tüp; P ’nin X içindeki bir açık komşuluğuna homeomofizma olan bir
ϕ : G ×H A → X
fonksiyonudur.
Burada
G ×H A ,
H’nin
G× A
üzerindeki
(( g , a )h = ( gh, h −1a) ile tanımlı)etkisinin orbit uzayıdır.
Öte yandan G ×H A daki her G orbiti her a ∈ A için [e, a] dan geçer. O
halde ϕ ([e, a]) ∈ P , x = ϕ ([e, a]) ve P = G ( x) dir. Dolayısıyla Gx = G[ e,a ] = H a ⊂ H
olur. P ile G
H
aynı orbit tipinde olduklarından Gx , H’ye eşlenik olup Gx = H a = H
dir. O halde G kompakt topolojik grup X bir G uzayı ve P = G ( x) civarında bir tüp,
G ( x) ’in X içindeki bir komşuluğuna homeomorfik olan ve grup etkisini koruyan bir
ϕ : G ×G A → X fonksiyondur.
x
Tanım 1.1.10 : G kompakt topolojik grup, X bir G uzayı, x ∈ S ⊂ X ve
Gx ( S ) = S olsun. Eğer ϕ : G ×Gx S → X , ϕ ([ g , s ]) = gs olarak tanımlanan fonksiyon
G ( x) civarında bir tüp ise S’ye X’de bir dilim denir. Bu durumda G ( S ), G ( x) ’in
açık komşuluğu ve f : G ( S ) → G ( x), f −1 ( x) = S olacak şekilde ekivaryant retrakt
vardır.
Teorem 1.1.3 (Mostow-Palais) : X tam regüler G uzayı ve G kompakt Lie
grup ise X’in her noktasında bir dilim vardır.
Tanım 1.1.11 : Kompakt, bağlantılı ve abelyen Lie gruplarına torus denir. T
bir torus ise T = S 1 × S 1 × .... × S 1 şeklindedir.
Teorem 1.1.4 : Boyutu k olan bir T torus grubunun indirgenemez kompleks
temsillerinin denklik sınıflarının kümesi ile
6
k
’nın tamsayı değerli lineer
1. GİRİŞ
Ali Arslan ÖZKURT
fonksiyonelleri arasında, dolayısıyla H 1 (T , ) ’nin elemanları arasında 1 − 1 bir
eşleme vardır. Yani, i ∈ H 1 ( S 1 , ) S 1 ’in bir yönlendirmesi olmak üzere;
{ϕ : T → S } ↔ {ϕ
1
*
: H 1 ( S 1 , ) → H 1 (T , )} ↔ {ϕ * (i ) ∈ H 1 (T , )} dir.
Teorem 1.1.5 (Milnor,1956) : G bir topolojik grup olsun. G’nin serbest etki
ettiği bir EG uzayı vardır ve p : EG →
EG
G
= BG bir demet uzayı olup bu demet
uzayına üniversal G demeti denir. Burada BG uzayı bir hücre kompleksi(cellcomplex) olup BG ’ye G’nin sınıflandırma uzayı denir.
Tanım 1.1.12 : X bir G uzayı EG → BG üniversal G demeti olsun. O halde
X G = X ×G EG orbit uzayını düşünürsek X → X G → BG bir demetimsi (fibration)
olur. Öte yandan X G uzayının kohomolojisine X’in Borel kohomolojisi(veya
ekivaryant kohomolojisi) denir ve H G * (−) ile gösterilir. O halde R bir değişmeli
halka olmak üzere H G * ( X , R) = H * ( X G , R) dir.
i
π
Teorem 1.1.6 : B bir hücre kompleksi olmak üzere X 
→ M 
→B
demetimsisi verilsin. O halde;
{( E
p ,q
n
, d n ); n ≥ 1} , E2p , q = H p ( B, H q ( X )), d n : Enp ,q → Enp + n ,q − n +1 , d n 2 = 0
ve ( Enp ,q , d n ) ’nin kohomolojisi ( Enp+,1q ) olacak şekilde bir kohomoloji spektral dizi
vardır. Bu spektral diziye Leray-Serre spektral dizisi denir.(Serre, 1951)
Tanım 1.1.13 : G kompakt Lie grup, X bir G-uzayı ve A, X’in kapalı G-
invaryant
alt
uzayı
olsun.
j * : H G * ( X , A) → H * ( X , A)
Eğer
7
örten
ise
1. GİRİŞ
Ali Arslan ÖZKURT
( X , A), ( X G , AG ) ’de sıfıra tamamen non homologdur denir.(totally non-homologous
to zero) ve kısaca TNHZ ile gösterilir.
Teorem 1.1.7 : R değişmeli bir halka ve H * ( X , A) sonlu doğrulmuş serbest
R-modül olsun. O halde aşağıdakiler birbirine denktir.
i.
( X , A), ( X G , AG ) ’de sıfıra tamamen non homologdur.
ii.
G, H * ( X , A) üzerine aşikar olarak etki eder ve ( X , A) → ( X G , AG ) → BG
relatif demetimsinin Leray-Serre spektral dizisi dejeneredir. Yani E2 = E∞
dur.
i
π
Teorem 1.1.8 : B bir hücre kompleksi olmak üzere X 
→ M 
→B
demetimsisi verilsin. { En , d n } bu demetimsinin Serre spektral dizisi olsun. O halde R
bir değişmeli halka olmak üzere x ∈ H r −1 ( X , R) = E20,r −1 elemanı transgressif olması
için gerek ve yeter koşul x ∈ Er0,r −1 ⊆ E20,r −1 olmasıdır. Bu durumda;
*
δ
π
H r −1 ( X , R ) 
→ H r ( M , X , R ) ←
 H r ( B, R), δ (x)=π * ( y )
olacak şekilde
y ∈ H r ( B, R )
vardır. Bu
y ∈ H r ( B, R )
elemanına x’in bir
transgresyonu denir ve y = τ ( x) şeklinde gösterilir.
Kompakt
dönüşüm
gruplarının
kohomoloji
uzaylarının kohomoloji gupları önemli rol oynar.
8
teorisinde
sınıflandırma
1. GİRİŞ
Ali Arslan ÖZKURT
Teorem: 1.1.9 :
 K [t1 ,...tr ]


 K [t ,...t ]
 1 r
*
H ( BG , K ) = 

 K [t ,...t ] ⊗ Λ[v ,...v ]
1
r
 1 r


t j ∈ H 2 ( BG , K ), K = , G = T r
t j ∈ H 1 ( BG , K ), K =
2
,G=
v j ∈ H 1 ( BG , K ), t j ∈ H 2 ( BG , K ),
K=
p
, G=
r
p
p≠2
Teorem 1.1.10 (Lokalizasyon teoremi) : G = T r (veya
p
r
2
r
p
), K =
(veya
), X parakompakt G uzayı ve X’in kohomoloji boyutu sonlu olsun. F = F (G, X )
sabit noktalar kümesi, R, H * ( BG , K ) nın polinom kısmı ve S = R − {0} olmak üzere;
S −1 H G* ( X , K ) → S −1 H G * ( F , K ) = H * ( F , K ) ⊗ K S −1 H * ( BG , K )
izomorfizmdir.(Hsiang, 1970)
Sonuç 1.1.1 (Sabit nokta kriteri) : G = T r (veya
r
p
), K =
(veya
p
)
ise F = F (G, X ) ≠ ∅ olması için gerek ve yeter koşul H * ( BG , K ) → H * ( X G , K )
monomorfizm olmasıdır.
Teorem 1.1.11 (P. A. Smith teoremi) : G = T r (veya
p
r
p
, p ≠ 2 ) ve H * ( X , K ) = H * ({•}, K ) ise yani X asiklik ise;
H * ( F , K ) = H * (•, K )
olur.
9
, p ≠ 2 ), K =
(veya
1. GİRİŞ
Ali Arslan ÖZKURT
Teorem 1.1.12 (P. A. Smith teoremi) : G = T r (veya
(veya
p
r
p
, p ≠ 2 ), K =
, p ≠ 2 ) ve H * ( X , K ) = H * ( S n , K ) ise;
H * ( F , K ) = H * ( S r , K ), n ≡ r (mod 2)
G =Tr
durumunda
K=
alınırsa
Smith
teoremi
yine
doğrudur.
Yani
H * ( X , ) = H * ( S n , ) ise H * ( F , ) = H * ( S r , ), n ≡ r (mod 2) olur.
Teorem 1.1.13 (Borel) : G torus (veya p-torus), K =
H * ( X , K ) = H * (S n , K )
(veya
p
) ve
olsun. H koboyutu 1 olan alt torus olmak üzere
H * ( F ( H , X ), K ) = H * ( S n ( H ) , K ) ve r = n(G ) olmak üzere;
n − r = ∑ ( n( H ) − r )
H
olur.
1.2 Ekivaryant (Equivariant) Euler Sınıfı Ve Tamsayı Ağırlık Sistemi
G torus grubu ve X,
-asiklik n-kohomoloji manifold olmak üzere X
üzerinde bir G etkisi verilsin. Bu durumda bu etkinin sabit noktaları, F asiklik rkohomoloji manifold olup
X − F ’nin kohomoloji tipi S n − r −1 ’in kohomoloji
tipindendir. O halde;
X − F → ( X − F )G → BG
spektral dizisini düşünelim. α , H n − r −1 ( X − F , ) ’nun bir doğurayı ise α transgressif
olur. α ’nın transgresyonu EG ( X ) ise H G * ( X − F , ) ’yi sıfırlayan esas idealin
10
1. GİRİŞ
Ali Arslan ÖZKURT
üretecidir. EG ( X ) ’e X’in ekivaryant Euler sınıfı denir. Öte yandan EG ( X ) lineer
polinomların çapımı şeklinde yazılabilir. Yani;
EG ( X ) = w1k1 ....ws ks wi ∈ H 2 ( BG , )
olur. O halde Ω′( X ) = {± w1 ; k1 ,..... ± ws ; ks } olmak üzere Ω( X ) = Ω′( X ) ∪ {0; r} X’in
geometrik ağırlık sistemidir. Burada {0; r} sırasıyla sıfır ağırlık sistemini ve onun
katlılığını gösterir. Dikkat edilirse r = dim F dir.(Hsiang, 1971)
H 2 ( BG , )
H 1 (G, )
H 1 (G, ) ⊗
olup
bağlantılı
toruslarda
H 1 (G, ) = Hom(G, S 1 ) olur. Şimdi 0 ≠ wi ∈ H 2 ( BG , ) ağırlığı alalım. Sıfırdan
farklı bir n tamsayısı için nw ∈ H 2 ( BG , )
H 1 (G, ) = Hom(G, S 1 ) olur. O halde
nw : G → S 1 olmak üzere bu homomorfizmin çekirdeğinin birim elemanı içeren
bağlantılı bileşeni ( Kernw)o koboyutu 1 alt torus olup seçilen n tamsayısından
bağımsızdır. Dolayısıyla 0 ≠ wi ∈ H 2 ( BG , ) ağırlıkları koboyutu 1 alt toruslara
karşılık gelir.
Eğer X,
-asiklik n-kohomoloji manifold ve
-kohomoloji cebir yerine
-
kohomoloji cebir kullanılırsa X’in ekivaryant Euler sınıfı;
EG ( X ) = Cw1k1 ....ws ks wi ∈ H 2 ( BG , ), C ∈
+
şeklinde olur.
Golber 1973’te C ’nin, G’nin bazı bağlantılı olmayan alt gruplarının sabit
noktalarının boyutları olarak ifade edilebileceğini gösterdi.
Teorem 1.2.1 (Golber, 1973) : T = T r torus grubu, X T-uzayı ve
H * ( X , ) = H * ( S n , ) olsun. Öte yandan Tp ,α =
r
pα
olmak üzere her p asal sayısı
ve α ≥ 1 için H * ( F (Tp ,α , X ), ) sonlu doğrulmuş olsun. C = p p C ′ ve p, C ′ ’yü
e
bölmesin. O halde;
11
1. GİRİŞ
Ali Arslan ÖZKURT
(dim
∑
α
≥1
p
F (Tp ,α , X ) − dim F (T , X )) = 2e p olur.
Öte yandan H i = wi ⊥ olmak üzere Borel formülü kullanılarak
ET ( X Hi ) = ±Ci wi ki Ci ∈
ve ∏ Ci = C
+
olur. O halde;
{
}
Ω′( X ) = ET ( X Hi )
s
i =1
{
= ±Ci wi ki
}
s
i =1
, wi ∈ H 2 ( BT , )
olmak üzere;
{
Ω( X ) = Ω′( X ) ∪ {0, k0 } = ±Ci wi ki
}
s
i =1
∪ {0, k0 }
X’in tamsayı ağırlık sistemidir.(Straume, 1990)
Bir topolojik grubun bir topolojik uzay üzerine etkilerinin denklikleri faklı
şekillerde tanımlanabilir. Şimdi birkaç farklı denklik tanımları verelim. X,
Y ∈ Obj (C ), (C : diferensiyellenebilen manifoldlar, topolojik manifoldlar, topolojik
uzaylar veya vektör uzayları kategorisi)
1. Eşlik (equivalance) : X ve Y iki G uzayı olsun. Eğer bir f ∈ HomC ( X , Y ) ve
g ∈ HomC (Y , X ) ( f , g ekivaryant) için fg = 1Y ve gf = 1X ise bu G uzayları
eştir (equivalent) denir.
2. Konkordans (concordance) : (G, X , φ0 ), (G, X , φ1 ) iki dönüşüm grubu olsun.
Eğer (G, X × I , Φ ) bir dönüşüm grubu ve X × {0} , X × {1} G invaryant ve
Φ ’nin X × {0} ve X × {1} ’e kısıtlamaları sırasıyla φ0 ve φ1 ise bu iki etki
konkordanttır denir.
12
1. GİRİŞ
Ali Arslan ÖZKURT
3. İzotopi (Isotopy) : ( X , φ0 ),
( X , φ1 ) iki dönüşüm grubu olsun. Eğer
(G, X × I , Φ ) bir dönüşüm grubu ve her t ∈ I için X × {t} G invaryant ve
Φ ’nin X × {0} ve X × {1} ’e kısıtlamaları sırasıyla φ0 ve φ1 ise bu iki etki
izotopiktir denir.
4. Kobordizm (cobordism) : X, Y n-manifoldlar ve (G, X , φ0 ), (G, Y , φ1 ) iki
dönüşüm grubu olsun. Eğer (G, Z , Φ ) bir dönüşüm grubu, Z sınırı olan n+1manifold ve ∂Z = X
Y , X ve Y G invaryant ve X ve Y üzerindeki
kısıtlanmış etkiler sırasıyla φ0 ve φ1 ise bu iki dönüşüm grubuna kobordanttır
denir.
5. c-kobordizm
(c-cobordism)
:
Kobordizm
tanımına
ek
olarak
H * ( Z , X ) = H * ( Z , Y ) = 0 ise bu iki G uzayına c-kobordanttır diyelim.
6. Genel c-kobordizm (general c-cobordism) : (G, X , φ0 ),
dönüşüm
grubu
olsun.
i: X → Z ,
Eğer
j :Y → Z
(G, Y , φ1 ) iki
ekivaryant
ve
i* : H * ( Z ) → H * ( X ) ve j * : H * ( Z ) → H * (Y ) izomofizmler olacak şekilde bir
(G, Z , Φ ) dönüşüm grubu varsa (G, X , φ0 ) ve (G, Y , φ1 ) dönüşüm gruplarına
genel c-kobordanttır diyelim.
7. Smith denkliği : (G, S n , φ0 ), (G, S n , φ1 ) iki lineer dönüşüm grubu olsun. Eğer
sadece iki sabit noktası olan bir (G, ∑ n +1 , Φ ) ( ∑ n+1 homotopi n+1 küre)
dönüşüm grubu var ve bu noktalarda ki teğet küre temsilleri φ0 ve φ1 ise bu
etkiler Smith denktirler denir.
Bu denklikler arasında;
a. 1 ⇒ 2,3, 4,5, 6
b. 3 ⇒ 2
c. 4 ⇒ 2
d. 5 ⇒ 6
ilişkileri aşikardır. Bazı kategorilerde bu denklikler arasında birtakım ilişkiler olup
olmadığı incelenmiştir: örneğin kompakt diferensiyellernebilir manifoldlar ve
kompakt Lie grupları için 3 ⇒ 1 olduğu Palais-Stewart tarafından gösterilmiştir.
13
1. GİRİŞ
Ali Arslan ÖZKURT
7 ⇒ 1 olur mu sorusu ise 1960 yılında P.A. Smith tarafından ortaya atılmıştır ve
Smith denklik problemi olarak bilinir. Kompakt Lie grupları için Smith denklik
problemi, kürelerdeki lineer etkiler için c-kobordizmin eşlik olması problemi ile
aynıdır Bu çalışmada Kompakt Bağlantılı Lie gruplar için vektör uzayları
kategorisinde 5 ⇒ 1 olduğu gösterilmiştir.
14
2. TORUS KOBORDANT KÜRELER
Ali Arslan ÖZKURT
2. TORUS KOBORDANT KÜRELER
Bu bölümde torus kobordant iki standart kürenin tamsayı ağırlık sistemlerinin
aynı olduğu kohomoloji manifold kavramı yardımıyla gösterilmiştir.
Bilindiği gibi rasyonel kohomolojisi bir küreninki gibi olan uzayların,
bağlantılı torus veya p-torus etkisi altında sabit kalan noktalar kümesinin rasyonel
kohomolojisi koboyutu çift olan bir kürenin rasyonel kohomolojisi gibidir. Öte
yandan bu durum
-katsayılı kohomoloji kullanıldığında p-toruslar için doğru
olmayabilir. Fakat bağlantılı toruslar için yine de doğrudur. Yani
-katsayılı
kohomoloji tipi bir küreninki gibi olan bir uzayın, bağlantılı torus etkisi altında sabit
noktalarının
-katsayılı kohomoloji tipi koboyutu çift olan bir kürenin
-katsayılı
kohomolojisi gibidir.
2.1 Torus Kobordant Kürelerin Kohomoloji Boyutları
Teorem
∂X = X 0
nin
2.1.1
X1 = S n
:
T
bağlantılı
torus,
X
kompakt
T
kobordizm
S n ve X’ in T etkisi altında sabit kalan noktalarının yani X T
katsayılı kohomoloji grupları sonlu doğurulmuş olduğunu varsayalım. Eğer
i : X 0 → X ve j : X 1 → X içermeleri
katsayılı kohomoloji cebirinde izomorfizm
belirliyorsa, yani;
i* : H * ( X , ) → H * ( X 0 , ) ve j * : H * ( X , ) → H * ( X 1 , )
izomorfizm ise
H * ( X T , ) = H * ( X 0T , ) = H * ( X 1T , ) = H * ( S r , ) n ≡ r (mod 2)
olur.
15
2. TORUS KOBORDANT KÜRELER
Ali Arslan ÖZKURT
İspat : Öncelikle şunu hatırlayalım: φ , S n üzerinde bir etki ise φ ’nin
CS n = D n +1 üzerinde C (φ ) genişleme etkisi vardır. O halde Y = X ∪ CX 0 ∪ CX 1 , Tuzayını düşünelim. Mayer-Vietoris dizisini kullanarak H * (Y , ) = H * ( S n +1 , )
olduğunu kolaylıkla görebiliriz. Şimdi H * ( X 0T , ) = H * ( S r , ) olsun. Y kohomoloji
manifold olup Y’nin T etkisi altında sabit noktaları, Y T de kohomoloji manifold olur.
Şimdi x ∈ IntCX 0T alalım. IntCX 0T , (r + 1) -kohomoloji manifold olduğundan
Y T ’nin x civarındaki yerel Betti sayısı, ρ r +1 ( x) = 1 olur. O halde Y T (r + 1) kohomoloji manifold olup ayrıca H * (Y T , ) = H * ( S r +1 , ) dir. Benzer şekilde eğer
H * ( X 1T , ) = H * ( S l , ) ise Y T ’nin (l + 1) -kohomoloji manifold olduğu görülür.
Böylelikle l = r olup;
H * ( X 0T , ) = H * ( X 1T , ) = H * ( S r , )
olur. Şimdi H * ( X T , ) = H * ( S r , ) olduğunu gösterelim.
1 
1

U = X T ∪ [ x, t ] :[ x, t ] ∈ CX 0T , t >  ∪ [ x, t ] :[ x, t ] ∈ CX 1T , t > 
2 
2


V = [ x, t ] :[ x, t ] ∈ CX 0T , t <

3 
T
 ∪ [ x, t ] :[ x, t ] ∈ CX 1 , t <
4 
3

4
olsun. Y T = U ∪ V olup X T → U deformasyon retrakt(deformation retract), V , S 0 ’a
homotopik ve U ∩ V , S r
S r ye homotopik olur. O halde (U ,V ) ikilisi için
katsayılı Mayer-Vietoris dizisi uygularsak;
0 = H r (Y T , ) → H r ( X T , ) → H r (U ∩ V , ) → H r +1 (Y T , ) → H r +1 ( X T , ) →
H r +1 (U ∩ V , ) → 0
tam dizisini elde ederiz. Bu tam diziden;
16
-
2. TORUS KOBORDANT KÜRELER
Ali Arslan ÖZKURT
0 → H r (X T , ) →
⊕
→
→ H r +1 ( X T , ) → 0
tam dizisini elde ederiz. O halde;
rankH r ( X T , ) − 2 + 1 − rankH r +1 ( X T , ) = 0
olur. X T ’nin
-katsayılı kohomoloji tipi bir kürenin
-katsayılı kohomoloji tipi
gibi olduğundan rankH r ( X T , ) =1 ve rankH r +1 ( X T , ) =0 bulunur. Dolayısıyla
H * ( X T , ) = H * ( S r , ) sonucu elde edilir.
Sonuç 2.1.1 : Önceki teoremdeki varsayılanlar altında i : X 0T → X T ve
j : X 1T → X T içermeleri
başka ifade ile H * ( X T , )
İspat
:
-katsayılı kohomoloji cebirinde izomorfizm belirler. Bir
H * ( X j T , ), j ∈ {0,1} olur.
H * ( X T , ) = H * ( X 0T , ) = H * ( X 1T , ) = H * ( S r , ) n ≡ r (mod 2)
olduğu teorem 2.1 de ispatlanmıştı. Şimdi Y = X ∪ CX 0 ∪ CX 1 , T-uzayını düşünelim.
1 
1

U = X T ∪ [ x, t ] :[ x, t ] ∈ CX 0T , t >  ∪ [ x, t ] :[ x, t ] ∈ CX 1T , t > 
2 
2


V = [ x, t ] :[ x, t ] ∈ CX 0T , t <

olmak üzere (U ,V ) ikilisi için
0 → H r (X T , ) =
3 
T
 ∪ [ x, t ] :[ x, t ] ∈ CX 1 , t <
4 
3

4
-katsayılı Mayer-Vietoris dizisi uygularsak;
→
⊕
→
→ H r +1 ( X T , ) → 0
(1)
kısa tam dizisini elde ederiz. Şimdi Y1 = X ∪ CX 0 T-uzayını düşünelim. Y1 ’in
rasyonel kohomoloji tipi tek noktanın rasyonel kohomoloji tipinde olup Y1 T ’nin de
17
2. TORUS KOBORDANT KÜRELER
bu şekildedir. Fakat
Ali Arslan ÖZKURT
-katsayılı kohomoloji kullanırsak bu durum doğru olmayabilir.
Şimdi;
1


U = X T ∪ [ x, t ] :[ x, t ] ∈ CX 0T , t >  , V = [ x, t ] :[ x, t ] ∈ CX 0T , t <
2


olmak üzere (U ,V ) ikilisi için
0 → H r (Y1T , ) →
3

4
-katsayılı Mayer-Vietoris dizisi uygularsak;
r
i

→ → H r +1 (Y1T , ) → 0
(2)
tam dizisini elde ederiz. Benzer şekilde Y2 = X ∪ CX 1 T-uzayını düşünelim;
1


U = X T ∪ [ x, t ] :[ x, t ] ∈ CX 1T , t >  , V = [ x, t ] :[ x, t ] ∈ CX 1T , t <
2


3

4
ikilisi için Mayer-Vietoris dizisi uygulanırsa
0 → H r (Y2T , ) →
tam dizisini elde ederiz. Tüm
r
j

→ → H r +1 (Y2T , ) → 0
(3)
-katsayılı kohomoloji grupları sonlu doğrulmuş
olduğundan ve (1), (2) ve (3) birlikte düşünülürse;
H r (Y1T , ) = H r +1 (Y1T , ) = H r (Y2T , ) = H r +1 (Y2T , ) = 0
olduğu görülür. Dolayısıyla;
i r : H r ( X T , ) → H r ( X 0T , ) ve j r : H r ( X T , ) → H r ( X 1T , )
izomorfizm olur.
18
2. TORUS KOBORDANT KÜRELER
Ali Arslan ÖZKURT
2.2 Torus Kobordant Kürelerin Tamsayı Ağırlık Sistemleri
Teorem
∂X = X 0
nin
2.2.1:
X1 = S n
T
bağlantılı
torus,
X
kompakt
T-kobordizm
S n ve X’ in T etkisi altında sabit kalan noktalarının yani X T
katsayılı kohomoloji grupları sonlu doğurulmuş olduğunu varsayalım. Eğer
i : X 0 → X ve j : X 1 → X içermeleri
katsayılı kohomoloji cebirinde izomorfizm
belirliyorsa, yani;
i* : H * ( X , ) → H * ( X 0 , ) ve j * : H * ( X , ) → H * ( X 1 , )
izomorfizm ise X, X 0 ve X 1 uzaylarının tamsayı ağırlık sistemleri eşittir.
İspat : ϕ , T’nin X üzeride; ϕ0 ve ϕ1 ise sırasıyla T’nin X 0 ve X 1 üzerindeki
etkilerini göstersin. Öte yandan;
H * ( X T , ) = H * ( X 0T , ) = H * ( X 1T , ) = H * ( S r , ) n ≡ r (mod 2)
olduğunu biliyoruz. O halde r nin alabileceği değerlere göre ispat yapılacaktır.
1. durum : r = -1 ise;
r = −1 ise X 0T = X 1T = X T = ∅ olur. Öte yandan i* : H * ( X , ) → H * ( X 0 , ) ın
izomorfizm olmasından dolayı X 0 ve X in ekivaryant (equivariant) Euler sınıfları
olan ET ( X 0 ) ve ET ( X ) birbirine eşittir. O halde;
s
ET ( X 0 ) = ET ( X ) = ±C ∏ wi mi
i =1
19
2. TORUS KOBORDANT KÜRELER
Ali Arslan ÖZKURT
s
olur. Benzer şekilde ET ( X 1 ) = ET ( X ) = ±C ∏ wi mi olur. Şimdi koboyutu 1 olan wi ⊥
i =1
alt
torusun
⊥
kısıtlama
⊥
etkisini
⊥
i : X 0 wi → X wi ve j : X 1wi → X wi
⊥
düşünelim.
içermeleri
Sonuç
3.1
den
dolayı
-katsayılı kohomoloji cebirinde
⊥
⊥
izomorfizm belirler. Bir başka ifade ile H * ( X wi , ) 
→ H * ( X j wi , ), j ∈ {0,1}
⊥
⊥
olur. Şimdi ϕ j i , T’nin X j wi ( j ∈ {0,1} ) üzerindeki; ϕ i ise T’nin X wi üzerindeki
etkileri göstersin. Bu etkiler için Borel formülünü uygularsak;
⊥
}
{
} {
) = { E ( X )} = {±C ′ w }
⊥
Ω′( X 0 wi ) = ET ( X 0 wi ) = ±Ci wi mi
Ω′( X 1wi
⊥
T
1
wi ⊥
s
s
i =1
i =1
i
i
mi
∏ Ci = ∏ Ci′ = C
olur. Öte yandan;
⊥
⊥
( X j wi )T = X j T = ( X wi )T = X T = ∅ j = 0,1
olur. Buna ek olarak;
⊥
⊥
H * ( X j wi , ) = H * ( X wi , ) = H * ( S k , ), n ≡ k (mod 2), j = 0,1
⊥
⊥
⊥
olduğundan X 0 wi , X 1wi ve X wi uzaylarının Euler sınıfları birbirine eşittir. O halde
her i için Ci = Ci′ olup;
{
Ω′( X ) = Ω′( X 0 ) = Ω′( X 1 ) = ±Ci wi mi
20
}
s
i =1
olur.
2. TORUS KOBORDANT KÜRELER
Ali Arslan ÖZKURT
2. durum : r = 0 ise;
r = 0 ise H * ( X T , ) = H * ( X 0T , ) = H * ( X 1T , ) = H * ( S 0 , ) olur. Şimdi;
( X 0 , X 0T ) → (( X 0 )T , BT × X 0T ) → BT
Relatif demetimsinin Leray-Serre spektral dizisini E ile gösterelim. Eğer
α , H n ( X 0 , ) = H n ( X 0 , X 0T , ) nin bir doğurayı ise α ’nın bu spektral dizinin n.
diferansiyeli olan d n altındaki görüntüsü, d n ( α ) = ET ( X 0 ) ⊗ δ f ∈ Enn ,1 α ’nın
transgresyonu olur. Burada f, H 0 ( X 0T , ) nin (indirgenmiş kohomoloji) bir
doğurayıdır. Benzer şekilde;
( X , X T ) → ( X T , BT × X T ) → BT
Relatif demetimsinin Leray-Serre spektral dizisini D ile gösterelim.
En0,n = H n ( X 0 , ) = α
↓ dn
Enn ,1
↑ 1⊗ δ
n
i
←

←

0
1⊗i
H n ( BT , ) ⊗ H 0 ( X 0T , ) ←

Dn0,n = H n ( X , )
↓ d n′
Dnn ,1
↑ 1⊗ δ
H n ( BT , ) ⊗ H 0 ( X T , )
s
değişmeli diyagramını düşünürsek ET ( X 0 ) = ET ( X ) = ±C ∏ wi mi sonucu bulunur.
i =1
s
Benzer şekilde ET ( X 1 ) = ET ( X ) = ±C ∏ wi mi olduğu gösterilir. O halde koboyutu 1
i =1
olan wi ⊥ alt toruslar için
⊥
⊥
ET ( X 0 wi ) = ±Ci wi mi , ET ( X 1wi ) = ±Ci′wi mi ,
21
∏ C =∏ C ′ = C
i
i
2. TORUS KOBORDANT KÜRELER
Ali Arslan ÖZKURT
olur. Öte yandan
⊥
⊥
H * ( X j wi , ) = H * ( X wi , ) = H * ( S k , ), n ≡ k (mod 2), j = 0,1
O halde;
⊥
⊥
( X j wi , X j T ) → (( X j wi )T , BT × X j T ) → BT j = 0,1
⊥
⊥
( X wi , X T ) → ( X T wi , BT × X T ) → BT
relatif demetimsilerinin Leray-Serre spektral dizilerini düşünürsek;
⊥
⊥
ET ( X 0 wi ) = ET ( X ) = ±Ci wi mi = ET ( X 1wi ) = ±Ci′wi mi
Olduğu kolayca görülür. O halde;
{
Ω′( X ) = Ω′( X 0 ) = Ω′( X 1 ) = ±Ci wi mi
}
s
i =1
olur.
3. durum : r > 0 ise;
r > 0 ise H * ( X T , ) = H * ( X 0T , ) = H * ( X 1T , ) = H * ( S r , ) n ≡ r (mod 2) olur.
( X 0 , X 0T ) → (( X 0 )T , BT × X 0T ) → BT
( X , X T ) → ( X T , BT × X T ) → BT
relatif demetimsilerin Leray-Serre spektral dizilerini sırasıyla E ve D ile gösterelim.
Eğer α , H n ( X 0 , ) = H n ( X 0 , X 0T , ) nin bir doğurayı ise α ’nın bu spektral dizinin
(n − r ). diferansiyeli olan d n − r altındaki görüntüsü,
22
2. TORUS KOBORDANT KÜRELER
Ali Arslan ÖZKURT
d n − r ( α ) = ET ( X 0 ) ⊗ δ f ∈ Enn−−rr ,r +1
α ’nın “transgresyonu” olur. Burada f, H r ( X 0T , ) nin bir doğurayıdır. (Hsiang,
1971) O halde;
En0,−nr = H n ( X 0 , ) = α
↓ d n−r
Enn−−rr , r +1
↑ 1⊗ δ
n
i
←

Dn0,−nr = H n ( X , )
↓ d n′− r
Dnn−−rr , r +1
↑ 1⊗ δ
←

r
1⊗i
H n − r ( BT , ) ⊗ H r ( X 0T , ) ←

H n − r ( BT , ) ⊗ H r ( X T , )
s
değişmeli diyagramını göz önüne alarak ET ( X 0 ) = ET ( X ) = ±C ∏ wi mi
sonucu
i =1
s
bulunur. Benzer şekilde ET ( X 1 ) = ET ( X ) = ±C ∏ wi mi olduğu gösterilebilir. Öte
i =1
yandan;
⊥
⊥
H * ( X j wi , ) = H * ( X wi , ) = H * ( S k , ), n ≡ k (mod 2), j = 0,1
O halde;
⊥
⊥
( X 0 wi , X 0T ) → (( X 0 wi )T , BT × X 0T ) → BT
⊥
⊥
( X wi , X T ) → ( X T wi , BT × X T ) → BT
relatif demetimsilerinin Leray-Serre spektral dizilerini sırasıyla E ve D ile
⊥
⊥
gösterelim. Eğer α , H k ( X 0 wi , ) = H k ( X 0 wi , X 0T , ) = Ek0,−kr in bir doğurayı ise;
⊥
⊥
d k − r (α ) = ET ( X 0 wi ) ⊗ δ g ∈ H k − r ( BT , ) ⊗ H r +1 ( X 0 wi , X 0T , )
23
2. TORUS KOBORDANT KÜRELER
Ali Arslan ÖZKURT
α ’nın transgresyonu olup g = H r ( X 0T , ) dir. Şimdi;
⊥
Ek0,−kr = H k ( X 0 wi , ) = α
↓ d k −r
Ekk−−rr , r +1
↑ 1⊗ δ
⊥
k
i
←

Dk0,−kr = H k ( X wi , )
↓ d k′ − r
Dkk−−rr ,r +1
↑ 1⊗ δ
←

r
1⊗i
H k − r ( BT , ) ⊗ H r ( X 0T , ) ←

H k − r ( BT , ) ⊗ H r ( X T , )
⊥
⊥
değişmeli diyagramını göz önüne alırsak ET ( X 0 wi ) = ET ( X wi ) = ±Ci wi mi olur.
⊥
⊥
Benzer şekilde ET ( X 1wi ) = ET ( X wi ) = ±Ci wi mi olur. Dolayısıyla;
{
Ω′( X ) = Ω′( X 0 ) = Ω′( X 1 ) = ±Ci wi mi
24
}
s
i =1
olur.
3. TORUS KOBORDANT KOHOMOLOJİ KÜRELER
Ali Arslan ÖZKURT
3. TORUS KOBORDANT KOHOMOLOJİ KÜRELER
3.1 Torus Kobordant Kohomoloji Kürelerin Tamsayı Ağırlık Sistemleri
Bu bölümde
- katsayılı kohomoloji kürelerin tamsayı ağırlık sistemlerinin
aynı oldukları gösterilmiştir. Bunun sonucu olarak da kohomojenitesi (esas orbitin
koboyutu) 3 den küçük olan ve sabit noktası olan torus kobordant kürelerin üzerinde
ki torus etkilerinin denk oldukları gösterilmiştir. Bir başka sonuç olarak Smith
denklik probleminin bağlantılı Lie gruplar için doğruluğu gösterilmiştir. Smith
denklik probleminin bağlantılı Lie gruplar için doğruluğu Borel formülü ile
gösterilebilir. Bu bölümde bu problemin çözümü farklı bir yaklaşımla verilmiştir.
Teorem 3.1.1.: X finitistik (her açık örtüsünün sonlu boyutlu bir inceltilmesi
(refinement) var olan uzay)
p
-uzayı, A, X’ in kapalı invaryant alt uzayı olmak
üzere;
rankH σ n ( X , A,
p
) + ∑ rankH i ( X
olur. Burada H σ n ( X , A,
p
i≥n
p
,A p,
p
) ≤
∑ rankH ( X , A,
i
p
i≥n
)
) Smith kohomolojisidir. X kompakt ise eşitsizliğin
homoloji versiyonu da doğrudur.(Bredon, Introduction to Compact Transformation
Groups.)
{
Teorem 3.1.2: T = S 1 × .... × S 1 = ( S 1 ) r ve ℑ = Tp ,α : Tp ,α =
r
pα
}
⊂ T ,α ≥ 1 , T
içindeki abelyen p-gruplarının ailesini göstersin. X kompakt T-kobordizm olsun.
Ayrıca
X 1 ve i : X 0 → X , j : X 1 → X
∂X = X 0
içermeleri
p
-kohomoloji
cebirinde izomorfizm belirlesin. Yani başka bir ifade ile
i* : H * ( X ,
p
) 
→ H *(X0,
p
), j * : H * ( X ,
25
p
) 
→ H * ( X1,
p
)
3. TORUS KOBORDANT KOHOMOLOJİ KÜRELER
Ali Arslan ÖZKURT
olsun. O halde Tp ,α ∈ ℑ olmak üzere;
i : X0
içermeleri
T p ,α
→X
T p ,α
T p ,α
, j : X1
→X
T p ,α
katsayılı kohomoloji cebirinde izomorfizm belirler. Yani bir başka
p
ifade ile;
i* : H * ( X
T p ,α
,
p
) 
→ H *(X0
T p ,α
,
p
) ve j * : H * ( X
Tp ,α
T p ,α
,
p
) 
→ H * ( X1
,
p
)
olur.
İspat: İspatı i : X 0
Tp ,α
→X
Tp ,α
içerme dönüşümü için yapmak yeterlidir. İspatı
α ve r üzerinden tümevarım ile yapacağız. Şimdi α =1 olsun. Bu durumda
X0
p
r
→X
p
r
içerme dönüşümünün
p
katsayılı kohomoloji cebirinde izomorfizm
belirlediğini gösterelim. T = S 1 ise yani r = 1 ise teorem 3.1 deki standart eşitsizliği
düşünelim. O halde;
n
n
∑ rankH i ( X
p
i =0
rankH * ( X
olduğu
görülür.
rankH i ( X
p
Öte
, X0 p ,
p
p
, X0 p ,
yandan
i
p ) ≤ ∑ rankH ( X , X 0 ,
, X0 p ,
her
p
i =0
p
) ≤ rankH * ( X , X 0 ,
i
için
H i (X , X0,
) = 0 olup dolayısıyla H * ( X
p
,
p
)
p
)
)
p
)=0
olduğundan
H *(X0,
p
) sonucuna
varılır.
Şimdi
X0
p
r
→X
p
r
içermesinin
p
katsayılı kohomoloji cebirinde
izomorfizm belirlediğini varsayalım yani H * ( X
26
p
r
,
p
)
H *(X0
p
r
,
p
) olsun.
3. TORUS KOBORDANT KOHOMOLOJİ KÜRELER
r +1
p
r
bölüm grubunun X
p
p
sabit nokta kümesi X
p
p
r
Ali Arslan ÖZKURT
üzerindeki etkisini düşünelim. Bu etkinin
(
r +1
dir. Bir başka ifade ile X
p
r
)
p
r +1
p
r
=X
p
r +1
olur. Teorem
3.1 deki standart eşitsizliği bu etki için tekrar kullanırsak;
rankH * ( X
p
r +1
, X0
p
r +1
,
*
p ) ≤ rankH ( X
p
r
, X0
p
r
,
p
)
olur. Hipotezden dolayı eşitsizliğin sağ tarafının sıfır olduğunu biliyoruz. O halde her
i için rankH i ( X
p
r +1
, X0
p
r +1
,
p
) = 0 olup dolayısıyla H i ( X
p
r +1
, X0
p
r +1
,
p
) = 0 olur.
Dolayısıyla istenilen izomorfizma gösterilmiş olur.
Şimdi i : X 0
Tp ,α
→X
Tp ,α
içermesinin
izomorfizm belirlediğini varsayalım yani H * ( X
ve X 0 yerine X
Tp ,α
ve X 0
nokta kümeleri sırasıyla X
T p ,α
T p ,α +1
H *(X
p
T p ,α +1
,
cebirinde
p
)
H *(X0
T p ,α +1
ve X 0
T p ,α +1
olan
izomorfizm
,
Tp ,α
,
p
H *(X0
)
T p ,α
,
) olsun. X
p
T uzaylarını düşünelim. Bu uzaylar üzerinde, sabit
O halde yukarıda gösterildiği gibi i : X 0
kohomoloji
katsayılı kohomoloji cebirinde
p
Tp ,α +1
Tp ,α +1
r
Tp ,α
→X
p
T p ,α +1
belirler.
etkileri vardır.
içermesi
Bir
başka
T
p
p
) olur. Aynı şekilde j : X 1 p ,α → X
katsayılı
ifade
Tp ,α
ile
içermesinin
-kohomoloji cebirinde izomorfizm belirlediği gösterilebilir.
Teorem 3.1.3 : T bağlantılı torus, X kompakt T-kobordizm, ∂X = X 0
ve H * ( X , ) = H * ( S n , ) ve i : X 0 → X , j : X 1 → X
içermeleri
-kohomoloji
cebirinde izomorfizm belirlesin. Yani;
i* : H * ( X , ) 
→ H * ( X 0 , ), j * : H * ( X , ) 
→ H * ( X1, )
27
X1
3. TORUS KOBORDANT KOHOMOLOJİ KÜRELER
Ali Arslan ÖZKURT
olsun. Bu durumda X 0 , X 1 ve X uzaylarının tamsayı ağırlık sistemleri eşittir.
İspat : H * ( X , ) = H * ( S n , ) olduğundan P. A. Smith teoremi gereğince
X’in T etkisi altında sabit nokta kümesinin
katsayılı kohomoloji cebiri koboyutu
çift olan bir kürenin kohomoloji tipindedir. Bir başka ifade ile
H * ( X T , ) = H * ( S r , ), n ≡ r (mod 2)
olur. Diğer yandan φ , X 0 üzerindeki etkiyi göstersin. Bu durumda X 0 üzerindeki
C ( X 0 ) konisi üzerinde φ ’nin genişlemesi olan C( φ ) etkisi vardır.
Şimdi Y = C ( X 0 ) ∪ X olsun. Mayer-Vietoris dizisi kullanarak Y’nin rasyonel
katsayılı kohomoloji cebirinin tek noktanın rasyonel kohomoloji tipinde (
-asiklik)
olduğu kolayca görülür. P. A. Smith teoreminden Y’nin, T altında sabit noktalarının
rasyonel katsayılı kohomoloji cebiri tek noktanın rasyonel kohomoloji tipinde olur.
Fakat
katsayısı düşünüldüğünde bu doğru olmayabilir. Diğer yandan;
1

U = X T ∪ [ x, t ] : [ x, t ] ∈ (CX 0 )T , t > 
2

3

V= [ x, t ] : [ x, t ] ∈ (CX 0 )T , t < 
4

olmak üzere Y T = U ∪ V olur. Şimdi (U, V) ikilisi için rasyonel katsayılı MayerVietoris dizisini göz önüne alalım.
→ H * (U ∪ V , ) → H * (U , ) ⊕ H * (V , ) → H * (U ∩ V , ) →
Mayer-Vietoris dizisinden, i : X 0T → X T içermesi olmak üzere;
*
i
0 → H * ( X T , ) 
→ H * ( X 0T , ) → 0
28
3. TORUS KOBORDANT KOHOMOLOJİ KÜRELER
sonucu bulunur. O halde
i
*
Ali Arslan ÖZKURT
: H * ( X T , ) → H * ( X 0T , ) izomorfizmdir. Benzer
şekilde j : X 1T → X T içermesinin de rasyonel kohomoloji cebirinde izomorfizm
belirlediği, yani
j
*
: H * ( X T , ) → H * ( X 1T , ) ın izomorfizm olduğu gösterilir.
Dolayısıyla X T , X 0T ve X 1T uzaylarının
olan kürelerin
katsayılı kohomolojileri koboyutu aynı
katsayılı kohomolojilerine eşittir. Bir başka ifade ile;
H * ( X T , ) = H * ( X 0T , ) = H * ( X 1T , ) = H * ( S r , ), n ≡ r (mod2)
olur. Öte yandan H, T’ nin koboyutu 1 olan alt torusu olsun. Eğer H, X ’in geometrik
ağırlıklarından biri değilse yani H ∉ Ω′( X ) ise dim X H = dim X T olur. O halde
X H = X T olup dolayısıyla X 0 H = X 0T olur. Böylece tamsayı sabitini düşünmeksizin
Ω′( X 0 ) ⊂ Ω′( X ) olur. Şimdi;
( X , X T ) → ( X T , X T × BT ) → BT
relatif demetimsinin Leray-Serre spektral dizisini düşünelim. Bu dizinin (n − r ).
diferansiyelini d n − r ile gösterelim. Eğer α , H n ( X , ) = H n ( X , X T , ) nin bir
doğurayı ise;
d n − r (α ) = ET ( X ) ⊗ δ f
α ’nın transgresyonu olur. Burada ET ( X ) , X’ in ekivaryant (equivariant) Euler sınıfı
olup
s
ET ( X ) = ±C X ∏ wi mi ∈ H n − r ( BT , ), C X ∈
+
i =1
⊥
1
wi ∈ H 2 ( BT , ), mi = (dim X wi − dim X T )
2
29
3. TORUS KOBORDANT KOHOMOLOJİ KÜRELER
Ali Arslan ÖZKURT
olur. Burada f ise H r ( X T , ) nin bir doğurayıdır.(Straume, 1990)
⊥
⊥
Öte yandan H * ( X wi , ) = H * ( X 0 wi , ) ve Ω′( X 0 ) ⊂ Ω′( X ) olmasından
dolayı;
s
ET ( X 0 ) = ±C X 0 ∏ wi mi ∈ H n − r ( BT , ), C X 0 ∈
+
i =1
olur. Şimdi C X ≠ C X 0 olduğunu varsayalım. Bu durumda sırasıyla a doğal sayısı, p a ,
C X ’i, b doğal sayısı ise p b C X 0 ’ı bölecek şekildeki en büyük dereceler ve a ≠ b
olacak şekilde bir p asal sayısı bulabiliriz. Öte yandan her α ≥ 1 için teorem 3. 2 den
H *(X
Tp ,α
,
p
H *(X0
)
T p ,α
,
p
)
olduğunu biliyoruz. Öte yandan;
H * ( X T , ) = H * ( X 0T , ) = H * ( S r , )
olup X ve X 0 üzerindeki T etkileri için Golber formülünü uygulayalım. O halde;
2a = ∑ dim p X
T p ,α
α ≥1
− dim X T = ∑ dim p X 0
T p ,α
α ≥1
− dim X 0T = 2b
olur. Bu ise a ≠ b olması ile çelişir. Dolayısıyla C X = C X 0 olup ET ( X ) = ET ( X 0 )
olur. Benzer şekilde ET ( X ) = ET ( X 1 ) olduğu gösterilir.
Şimdi X 0 ve X ’in tamsayı ağırlık sistemleri sırasıyla;
{
Ω′( X 0 ) = ±Ci wi mi
}
s
i =1
{
ve Ω′( X ) = ±Ci′ wi mi
30
}
s
i =1
3. TORUS KOBORDANT KOHOMOLOJİ KÜRELER
Ali Arslan ÖZKURT
olsun. O halde;
s
s
i =1
i =!
∏ Ci = ∏ Ci′ = CX
ET ( X wi ) = ±Ci′ wi mi , ET ( X 0 wi ) = ±Ci wi mi , Ci′ , Ci ∈
⊥
⊥
olur. O halde X ve X 0 yerine X wi
⊥
ve X 0 wi
⊥
+
uzaylarını ve bunlar üzerindeki T
etkisini düşünürsek Ci = Ci′ olduğu benzer şekilde gösterilir. Dolayısıyla X 0 ve X in
ağırlık sistemleri eşittir. Başka bir ifade ile;
{
Ω′( X 0 ) = Ω′( X ) = ±Ci wi mi
{
Benzer şekilde Ω′( X 1 ) = Ω′( X ) = ±Ci wi mi
}
s
i =1
}
s
i =1
olduğu da gösterilebilir.
Sonuç 3.1.1 : T bağlantılı torus, X kompakt T-kobordizm ∂X = X 0
H * ( X , ) = H * (S n , )
ve
i : X 0 → X , j : X1 → X
içermeleri
X 1 ve
-kohomoloji
cebirinde izomorfizm belirlesin. Yani;
i* : H * ( X , ) → H * ( X 0 , ), j * : H * ( X , ) → H * ( X 1 , )
izomorfizm olsun. Bu durumda i : X 0T → X T ve j : X 1T → X T içermeleri
kohomoloji cebirinde izomorfizm belirler. Başka bir ifade ile;
H * ( X T , ) 
→ H * ( X iT , ), i = 0,1
olur.
31
-
3. TORUS KOBORDANT KOHOMOLOJİ KÜRELER
Ali Arslan ÖZKURT
İspat : Teorem 3.1.3 de gösterildiği gibi i : X 0T → X T ve j : X 1T → X T
içermeleri rasyonel katsayılı kohomoloji cebirinde izomorfizm belirler. Şimdi tüm
kohomolojileri
katsayılı düşünelim.
( X 0 , X 0T ) → (( X 0 )T , X 0T × BT ) → BT
( X , X T ) → ( X T , X T × BT ) → BT
relatif demetimsilerinin Leray-Serre spektral dizilerini düşünelim. Bu spektral
dizileri sırasıyla E ve D ile gösterelim. Eğer α , H n ( X 0 , ) = H n ( X 0 , X 0T , ) nin bir
doğurayı ise, α transgressiftir. Böylece;
d n − r (α ) = ET ( X 0 ) ⊗ δ f
α ’nın “transgresyonu” olur. Burada ET ( X 0 ) , X 0 ’ın ekivaryant (equivariant) Euler
sınıfı olur. Öte yandan f ise H r ( X 0T , ) nin bir doğurayıdır. Şimdi;
En0,−nr = H n ( X 0 , X 0T , ) = α
↓ dn−r
Enn−−rr ,r +1
↑ 1⊗ δ
H n − r ( BT , ) ⊗ H r ( X 0T , )
n
i
←

←
r
1⊗i
←

Dn0,−nr = H n ( X , )
↓ d n′ − r
Dnn−−rr ,r +1
↑ 1⊗ δ
H n − r ( BT , ) ⊗ H r ( X T , )
değişmeli diyagramını düşünelim. ET ( X ) = ET ( X 0 ) olduğundan i r , H r ( X T , ) ın
bir doğurayını H r ( X 0T , ) ın bir doğurayına götürür. Dolayısıyla;
i * : H * ( X T , ) → H * ( X 0T , )
izomorfizm olur. Benzer şekilde;
32
3. TORUS KOBORDANT KOHOMOLOJİ KÜRELER
Ali Arslan ÖZKURT
H * ( X T , ) 
→ H * ( X 1T , )
olur.
3.2 Tamsayı Yükseltme
X T = ∅ durumunda tamsayı ağırlık sistemini biraz daha genişletebiliriz. Bu
durumda wi , j = Ci , j wi ve
∏C
i, j
= C i olacak şekilde mi tane wi , j tamsayı ağırlıkları
seçebiliriz. Açıkça görüldüğü gibi bu seçim tek olmayabilir. Hatta anlamlı bile
olmayabilir. Öte yandan;
{
Γ = ±Ci ,1wi , ±Ci ,2 wi ,..., ± Ci ,mi
}
s
i =1
kümesine X’in tamsayı ağırlık sistemi, Ω′( X ) in bir tamsayı yükseltmesi (integral
lifting) denir. Eğer her i için mi =1 ise bu seçim tektir. Yani;
{
Γ = ±Ci ,1wi , ±Ci ,2 wi ,..., ± Ci ,mi
}
s
i =1
= Ω′( X )
olur. Öte yandan T’nin S n üzerinde bir ortogonal temsili için tamsayı yükseltmesi
tektir ve bu temsilin lineer ağırlık sistemine eşittir.
T bağlantılı torus, X türevlenebilir T-uzayı ve X T ≠ ∅ olsun. Ayrıca
H * ( X , ) = H * ( S n , ) olsun. Bu durumda T’nin her K alt grubu için X K nın
kohomoloji boyutu;
dim X K = # {±Ci wi : (Ci wi ) K = 0} + (m0 − 1)
olur. Burada m0 , sıfır ağırlığının katlılığıdır. Bu formül gerçekleşiyorsa dim X K ,
Ω′( X ) den hesaplanabilirdir denir.(Straume, 1990)
Topolojik etkilerde durum daha karışıktır. İntegral yükseltmesi tek olduğu
halde bu formülün sağlanmadığı etkiler vardır.
33
3. TORUS KOBORDANT KOHOMOLOJİ KÜRELER
Ali Arslan ÖZKURT
Tanım 3.2.1 : Ω , Ω′( X ) in bir tamsayı yükseltmesi olsun. Eğer T’nin her
T ′ alt torusu için X T ′ ≠ ∅ ve Ω′( X T ′ ) = Ω T ′ koşulu sağlanırsa Ω , Ω′( X ) in 0tutarlı (0-consistent) tamsayı yükseltmesidir.
Tanım 3.2.2 : Ω , Ω′( X ) in bir tamsayı yükseltmesi olsun. Eğer H i = wi ⊥
Tp ,α
olmak üzere her α ≥ 1 için dim( X Hi )
, Ω den hesaplanabilirse Ω ye Ω′( X ) in p-
tutarlı (p-consistent) tamsayı yükseltmesi denir. Aşağıdaki teoremler Straume (1990)
tarafından ispatlanmıştır.
Teorem 3.2.1 : K, T’nin bir alt p-torusu Ω , Ω′( X ) in 0-tutarlı veya p-tutarlı
tamsayı yükseltmesi ise dim X K , Ω den hesaplanabilir.
Teorem 3.2.2 : Her p asalı için Ω′( X ) in p-tutarlı tamsayı yükseltmesi
vardır.
Şimdi kohomojenitesi 3 den küçük olan, ve sabit noktası olan torus kobordant
küreler üzerindeki etkilerin denk olduklarını gösterelim.
Yardımcı Teorem 3.2.1 : G kompakt Lie grup, X kompakt türevlenebilir G-
kobordizm ∂X = X 0
X1 = S n
S n olsun. O halde
(G, X 0 )'ın kohomojeneitesi=(G, X 1 )'in kohomojeneitesi=(G, X )'in kohomojeneitesi − 1
olur.
İspat : p ∈ X 0 ve G ( p ) , (G, X 0 ) dönüşüm grubunun esas orbiti ve
dim G ( p ) = r olsun. Bu durumda G ([ p,1]) , (G, CX 0 ) dönüşüm grubunun esas
orbitidir. Burada CX 0 , X 0 üzerindeki koni olup üzerinde G genişleme etkisi vardır.
34
3. TORUS KOBORDANT KOHOMOLOJİ KÜRELER
Ali Arslan ÖZKURT
Y = X ∪ CX 0 ∪ CX 1
olsun. Y sınırı olmayan (n + 1) boyutlu manifolddur. Şimdi S p , S p ∩ (Y − X 0 ) ≠ ∅
olacak şekilde [ p,1] de lineer dilim olsun. O halde dim S p = n + 1 − r olur. Şimdi S p
içinde bir s noktası alalım öyle ki G ( s), (G, X ) dönüşüm grubunun esas orbiti ve
dim G ( s ) = v olsun. Eğer S s , s de lineer dilim ise aynı zamanda p de lineer dilim
olur. Dolayısıyla;
dim S s = n + 1 − v = dim S p = n + 1 − r
olup v = r dir. O halde (G, X 0 ) dönüşüm grubunun kohomojenitesi = n − r = (G, X )
dönüşüm grubunun kohomojenitesi −1 olur. Benzer şekilde (G, X 1 ) dönüşüm
grubunun kohomojenitesi = (G, X ) dönüşüm grubunun kohomojenitesi -1 olduğu
gösterilir.
Teorem 3.2.3 : T bağlantılı torus, X kompakt türevlenebilir T-kobordizm
∂X = (∂X ) +
(∂X ) − = S n
Sn
olsun. Ayrıca i : (∂X ) + → X ve j : (∂X )− → X içermeleri
-kohomoloji cebirinde
izomorfizm belirlesin. Bir başka ifade ile;
i* : H * ( X , ) → H * ((∂X ) + , ), j * : H * ( X , ) → H * ((∂X ) − , )
izomorfizm olsun. Eğer (T , X ) dönüşüm grubunun kohomojenitesi 4 den küçük ise
(T , (∂X ) + ) dönüşüm grubu (T , (∂X )− ) dönüşüm grubuna topolojik denktir.
İspat : T’ nin
X üzerindeki etkisini φ ile gösterelim. Bu φ etkisinin
(∂X ) + ve (∂X ) − üzerindeki kısıtlama etkilerini ise sırasıyla φ+ ve φ− ile gösterelim.
Öte yandan (T , (∂X ) + ) ve (T , (∂X ) − ) dönüşüm gruplarının kohomojeniteleri 3 den
35
3. TORUS KOBORDANT KOHOMOLOJİ KÜRELER
Ali Arslan ÖZKURT
küçük olduğu için φ+ ve φ− sırasıyla ψ + ve ψ − ortogonal etkilere topolojik denktir
(Montgomery, Yang, 1960).
Bununla beraber teorem 3.1.3 den dolayı (T , X ), (T , (∂X ) + ) ve (T , (∂X ) − )
dönüşüm gruplarının tamsayı ağırlık sistemleri aynı olup bu ağırlık sistemi
{± c w }
i
mi
i
s
⊥
i =1
olsun. Şimdi X wi , T kobordizmini göz önüne alalım
wi⊥
⊥
∂X wi = (∂X ) +
⊥
wi⊥
wi⊥
⊥
etkileri ψ ±i : T × ( S± n ) wi → ( S ± n ) wi
wi⊥
ve ϕ ±i : T × (∂X ) ± → (∂X ) ±
(∂X ) −
ortogonal etkilerine topolojik denktir. Şimdi
ϕ+i nin bir tamsayı yükseltmesini, ψ i nin lineer ağırlık sistemi olarak, benzer
+
şekilde ϕ−i nin bir tamsayı yükseltmesini, ψ −i nin lineer ağırlık sistemi olarak
seçelim. Başka bir ifade ile;
{
}
Γ = {±Ci , j wi : ∏ Ci , j = Ci } = Ω(ψ +i ), Γ ' = ±C i', j wi : ∏ C i', j = Ci = Ω(ψ −i )
sırasıyla ϕ+i ve ϕ−i nin birer tamsayı yükseltmeleridir. Diğer yandan K =
r
n
⊂T
olmak üzere;
⊥
⊥
⊥
⊥
dim(( S+ n ) wi ) K = dim((∂X ) +wi ) K = dim((∂X ) −wi ) K = dim(( S − n ) wi ) K
olduğundan;
{
# {±Ci , j : n Ci , j } = # ±C i', j : n C i', j
}
olur. O halde Ci , j ve Ci', j sayılarının asal çarpanlarını düşünürsek her j için
Ci , j = Ci', j olduğu görülür. Dolayısıyla ψ + ve ψ − ortogonal etkilerinin lineer ağırlık
sistemleri eşit olur. Dolayısıyla ψ + ve ψ − lineer denk olup ϕ+ ve ϕ− topolojik
denktir.
36
3. TORUS KOBORDANT KOHOMOLOJİ KÜRELER
Ali Arslan ÖZKURT
3.3 Bağlantılı Lie Gruplar İçin Smith Denklik Problemi
Bilindiği gibi bir kompakt Lie grubunun bir türevlenebilen manifold üzerinde
türevlenebilen bir etkisinde sabit noktaların aynı yol bileşeninde olan iki sabit
noktasındaki teğet temsilleri izomorfiktir.
1960 yılında P. A. Smith “Sonlu bir grubun bir homotopi küre üzerinde iki
izole sabit noktası olacak şekilde analitik etkisinde bu sabit noktalardaki teğet
temsilleri izomorfik midir?” sorusunu sormuştur. Bu sorunun cevabı asal dereceli
devirli gruplar ve yarı serbest etki eden kompakt Lie grupları için evettir.(AtiyahBott, Milnor, 1968). 1976 yılında Sanchez bu sonucu biraz daha genelleştirerek p ve
q asal tek sayılar olmak üzere derecesi pq olan devirli gruplar için, 1969 yılında
Bredon bazı 2 − gruplar için bu probleme olumlu cevap vermişlerdir. İlk negatif
cevap 1979 yılında Petrie tarafından verilmiştir. Petrie Smith denk ama izomorfik
olmayan tek dereceli abelyen grup etkisi örnekleri vermiştir. Öte yandan derecesi çift
(Dovermann, 1982) ve derecesi tek (Dovermann, Petrie, 1984) olan devirli gruplarda
da her zaman cevap olumlu değildir.
Şimdi Smith probleminin bağlantılı Lie gruplar için bir çözümünü vereceğiz.
Teorem 3.3.1 (Bağlantılı Lie gruplar için Smith denklik problemi) : G
kompakt bağlantılı Lie grup Σ = Σ n +1 homotopi G-küre ve Σ n +1 in G etkisi altında
sabit kalan noktaları sadece p ve q olsun. Yani ΣG = { p, q} olsun. Bu durumda G nin
p ve q noktalarındaki teğet temsilleri lineer denktir.
İspat : İspatı bağlantılı toruslar için yapmak yeterlidir. Çünkü T, G’ nin bir
maksimal torusu ise ΣT bağlantılı veya ΣT = { p, q} = ΣG olur. O halde G’yi,
dim G = r olan bir bağlantılı torus varsayabiliriz. S p ve Sq sırasıyla p ve q daki
dilimler olsun. S p ve Sq , G -invaryant açık diskler olarak düşünülebilir. Bu dilimleri
37
3. TORUS KOBORDANT KOHOMOLOJİ KÜRELER
Ali Arslan ÖZKURT
Σ dan çıkartırsak S (Tp Σ) ile S (Tq Σ) arasında bir kobordizm elde ederiz. Bir başka
ifade ile;
∂ (Σ − ( S p ∪ Sq )) = S (Tp Σ) ∪ S (Tq Σ)
olur. Burada S (Tp Σ) ve S (Tq Σ) sırasıyla Tp Σ ve Tq Σ nin birim küreleridir. Şimdi
ϕ+ ve ϕ− sırasıyla S (Tp Σ) ve S (Tq Σ) üzerindeki temsilleri göstersin. Bu temsillerin
lineer denk olduklarını göstermek yeterlidir. Diğer taraftan dikkat edilirse;
S (Tp Σ) → Σ- (S p ∪ Sq ) ve S (Tq Σ) → Σ- (S p ∪ S q )
içermeleri
− kohomoloji cebirinde izomorfizm belirler. O halde teorem 3.1.3 gereği
(G, S (Tp Σ)) ve (G,S (Tq Σ)) temsillerinin tamsayı ağırlık sistemleri aynıdır. Bu ortak
{
ağırlık sistemi ± ci wimi
⊥
}
s
i =1
⊥
olsun. Şimdi benzer işlemleri Σ yerine Σ w i için yaparsak
⊥
S (Tp Σ wi ) ile S (Tq Σ wi ) birim kürelerinin tamsayı ağırlık sistemlerinin aynı olduğunu
⊥
⊥
{
görürüz. Bir başka ifade ile Ω' ( S (Tp Σ wi )) = Ω ' ( S (Tq Σ wi )) = ± ci wimi
} olur. O halde
⊥
her i için Ω' ( S (Tp Σ wi )) nin tamsayı yükseltmelerinin birleşimi S (Tp Σ) ’nin lineer
ağırlık sistemine eşittir. Bir başka ifade ile;
∪{Ω (S (T Σ
s
'
p
wi⊥
}
))' nin integral yükseltmesi = Ω( S (Tp Σ)) = (G, S (Tp Σ))
i=1
nin lineer ağırlık sistemidir. Benzer şekilde;
∪{Ω (S (T Σ
s
'
p
wi⊥
}
))' nin integral yükseltmesi = Ω( S (Tp Σ)) = (G, S (Tp Σ))
i=1
nin lineer ağırlık sistemidir.
38
3. TORUS KOBORDANT KOHOMOLOJİ KÜRELER
Ali Arslan ÖZKURT
{
Γi = {±Ci , j wi : j = 1, 2,..., mi } , Γi ' = ±Ci , j′ : j = 1, 2,..., mi
⊥
}
⊥
sırasıyla Ω' ( S (Tp Σ wi )) ve Ω' ( S (Tq Σ wi )) nin tamsayı yükseltmeleri olsun.
∏ Ci , j = ∏ C i', j = Ci
olup Γi = Γi' olduğunu göstermek ispat için yeterlidir. K ⊂ T ve K
k
(k ∈ )
olsun. O halde
{
}
dim( S (Tp Σ wi )) K = # ±Ci , j wi : (Ci , j wi ) = 0 + (m0 − 1) = # {±Ci , j : n Ci , j } + (m0 − 1)
⊥
K
İkinci eşitlik lineer durumda geçerlidir. Benzer şekilde ;
{
}
dim( S (Tq Σ wi )) K = # ±Ci′, j wi : (Ci′, j wi ) = 0 + (m0 − 1) = # {±Ci′, j : n Ci′, j } + (m0 − 1)
⊥
⊥
K
⊥
olup dim( S (Tp Σ wi )) K = dim( S (Tq Σ wi )) K olduğundan Ci , j ve Ci', j sayılarının asal
çarpanlarını
düşünürsek
her j için Ci , j = Ci', j
olduğu
görülür.
O
halde
(G, S (Tp Σ)) ve (G,S (Tq Σ)) ortogonal temsillerinin lineer ağırlık sistemleri aynı olup
G nin p ve q daki teğet temsilleri lineer denktir.
39
4. TORUS KOBORDANT KOMPLEKS PROJEKTİF UZAYLAR
Ali Arslan ÖZKURT
4. TORUS KOBORDANT KOMPLEKS PROJEKTİF UZAYLAR
Bu bölümde torus kobordant kompleks projektif uzayların etkilerin lineer
olması durumunda denk etkiler olduğu gösterilmiştir.
4.1 Kohomoloji Kompleks Projektif Uzaylar Üzerindeki Dönüşüm Grupları:
Tanım 4.1.1: Rasyonel katsayılı kohomoloji tipi bir kompleks projektif
uzayın rasyonel katsayılı kohomoloji tipi ile aynı olan uzaylara kohomoloji kompleks
projektif uzaylar denir.
Dönüşüm grupları teorisinde torus,
p
-torus gibi elementer abelyen grupların
kohomoloji kompleks projektif uzaylar üzerindeki etkileri önemli rol oynar. Su, J. C.
(1963) bir kohomoloji kompleks projektif uzayın torus etkisi altında sabit nokta
kümesinin bağlantılı bileşenlerinin de kohomoloji kompleks projektif uzay olduğunu
göstermiştir. Öte yandan torus ve
p
-torus gruplarının kohomoloji kompleks
projektif uzaylar üzerindeki etkilerinde asiklik manifoldlarda tanımlandığı gibi
geometrik ağırlık sistemi tanımlanabilir.
4.2 Kohomoloji kompleks Projektif Uzaylarında Torus Etkileri İçin
Ağırlık Sistemi Ve Ayrışım Teoremi
G bir torus grubu olsun X kohomoloji n-kompleks projektif uzay, bir başka
ifadeyle H * ( X , ) = H * (CP n , ) olsun ve X üzerinde bir G etkisi verilsin.
H *(X , )
Olup
X,
X G → BG
[ξ 0 ]
ξ0
n +1
demetimsisinde
,
ξ0 ∈ H 2 ( X , )
(fibration)
sıfıra
tamamen
non-
homologdur(TNHZ). Ayrıca sabit nokta kümesi X G ≠ ∅ dir. Dolayısıyla X G → BG
40
4. TORUS KOBORDANT KOMPLEKS PROJEKTİF UZAYLAR
Ali Arslan ÖZKURT
demetisisinin Leray-Serre spektral dizisi dejeneredir yani dizinin E2 -terimi, E∞ limit
terimine
eşittir.
Bir
başka
ifadeyle
i : X → XG
olmak
üzere
i* : H * ( X G , ) → H * ( X , ) örtendir. ξ ∈ (i* ) −1 (ξ 0 ) olmak üzere;
H G* ( X , ) =
H * ( BG , )[ξ ]
f (ξ )
şeklindedir.
f (ξ ) polinomu lokalizasyon teoreminden lineer çarpanlarına ayrılabilir. Yani
f (ξ ) = (ξ − w1 ) k1 …….. (ξ − ws ) ks ,
w j ∈ H 2 ( BG , Q)
Bu ayrışım ile sabit nokta kümesi X G nin bağlantılı bileşenleri arasında bire-bir
eşleme vardır. O halde { F j :1 ≤ j ≤ s} , X G nin bağlantılı bileşenleri olmak üzere
H * ( F j , ) = H * (CP
k j −1
, ) (Su, 1963)
q j ∈ F j ve i j * : H G * ( X , ) → H G * (q j , ) olmak üzere;
i j * (ξ ) = w j ve
X in
s
∑k
j =1
j
= n + 1 dir.
katsayılı kohomoloji kompleks projektif uzay olması yerine
katsayılı kohomoloji kompleks projektif uzay olması durumunda kohomolojilerde
katsayısı kullanabiliriz. Bu durumda
H G* ( X , )
H * ( BG , )[ξ ]
f (ξ )
f (ξ ) = ξ n +1 + c1ξ n + .....cn +1 ∈ H * ( BG , )[ξ ]
41
4. TORUS KOBORDANT KOMPLEKS PROJEKTİF UZAYLAR
Gauss Lemması gereğince
f (ξ ) ,
H * ( BG , )[ξ ]
Ali Arslan ÖZKURT
polinom halkasında lineer
çarpanlarına ayrışır. Bir başka ifadeyle;
f (ξ ) = (ξ − w1 ) k1 ......(ξ − ws ) ks , w j ∈ H 2 ( BG , ) olur. (Hsiang, 1975)
Tanım 4.2.1: G kompakt bağlantılı Lie grup, T, G nin bir maksimal torusu, X
kohomoloji kompleks projektif uzay ve X üzerinde bir G etkisi verilsin. X üzerinde T
nin kısıtlama etkisini düşünürsek f (ξ ) =0 eşitliğinin kökleri w j ve bu köklerin
katlılıkları k j olmak üzere
{w , k
j
j
:1 ≤ j ≤ s} kümesi X in geometrik ağırlık
sistemidir ve Ω(X) ile gösterilir. Burada w j ∈ H 2 ( BT , ) dur. Dikkat edilirse X in bir
geometrik ağırlık sistemi ξ , liftingine bağlıdır.
Teorem 4.2.1: G 1 , G 2 kompakt bağlantılı Lie grupları, h:G 1 → G 2
homomorfizma ve T 1 , T 2 sırasıyla G 1 ve G 2 nin birer maksimal torusları ve
h(T 1 ) ⊆ T 2 olsun. X kohomoloji kompleks projektif uzay ve X üzerinde bir G 2 etkisi
verilsin. h * ( X ) , X üzerinde h ile belirlenen G 1 etkisinin yapısını göstermek üzere;
Ω(h * ( X ) ) = h * (Ω(X)) = {h * w j : w j ∈ Ω(X)}
Özel olarak G 1 , G 2 nin alt grubu, h, içerme dönüşümü ise Ω( X ) G = Ω(h * ( X ) )
1
olur.(Hsiang, 1975)
4.3 Torus Kobordant Kompleks Projektif Uzaylar
Teorem 4.3.1: T, torus grubu ve X kompakt T-kobordizm olsun öyle ki
∂X = X 0
X 1 = CP n
CP n
Ayrıca
i : X 0 → X ve i : X 1 → X
katsayılı kohomoloji cebirinde izomorfizm belirlesin. Yani;
42
içermeleri
4. TORUS KOBORDANT KOMPLEKS PROJEKTİF UZAYLAR
Ali Arslan ÖZKURT
i* : H * ( X , ) → H * ( X 0 , ) ve j * : H * ( X , ) → H * ( X 1 , )
izomorfizm olsun. O halde X 0 ve X 1 üzerindeki T etkileri lineer ise bu etkiler
denktir.
İspat: G bağlantılı Lie grubu, (X, A) G uzayı ve H tek ( X , A, ) = 0 ise
( X , A) → ( X G , AG ) → BG
relatif
demetimsinin
Leray-Serre
spektral
dizisi
dejeneredir. Öte yandan G bağlantılı olduğundan G, H * ( X , A, ) üzerinde aşikar
olarak etkir. Dolayısıyla (X, A), ( X G , AG ) içinde tamamen sıfıra non-homolog olur.
Başka bir ifadeyle H * ( X , A, ) → H * ( X G , AG , ) örtendir. Bunun sonucunda
( X , X 0 ) , ( X T , ( X 0 )T ) içinde tamamen sıfıra non-homologdur. Benzer şekilde
( X , X1 ) ,
( X T , ( X 1 )T )
i : X 0T → X T
ve
içinde tamamen sıfıra non-homolog olur. O halde
j : X 1T → X T
içermeleri
katsayılı kohomoloji cebirinde
izomorfizm belirler. Bir başka ifade ile;
H * ( X kT , )
H * ( X T , ); k = 0,1 dir.
Bu sonuç aslında Bredon bölüm 7, Teorem 1.6 nın bir genellemesidir. Bredon
bu teoremin ispatını G = S 1 ve
ranklı torus ve
p
p
için yapmıştır fakat tümevarım ile daha yüksek
-toruslar içinde ispat yapılabilir. Öte yandan Bredon G= S 1
durumunda orbit uzayını finitistik varsayarak ispat yapmıştır fakat artık bu varsayıma
gerek yoktur çünkü orbit uzayının finitistik olacağı Deo ve Tripathi tarafından
gösterilmiştir.
ϕ0 , X 0 üzerindeki ϕ1 ise X 1 üzerindeki kısıtlama etkilerini göstersin. ϕ0 ve
ϕ1 lineer olduklarından ϕ0 : T → U (n + 1) ve ϕ1 : T → U (n + 1) kompleks temsilleri
vardır öyle ki bu temsillerin lineer ağırlık sistemleri;
43
4. TORUS KOBORDANT KOMPLEKS PROJEKTİF UZAYLAR
Ali Arslan ÖZKURT
Ω( ϕ0 )={ wi , mi :1 ≤ i ≤ s } ve Ω( ϕ1 )={ w j , m j :1 ≤ j ≤ r }
olup bu temsiller X 0 ve X 1 üzerinde sırasıyla ϕ0 ve ϕ1 etkilerini belirler. Dikkat
edilirse r = s olmak zorundadır çünkü r ve s sayıları sırasıyla X 0T ve X 1T nin
bağlantılı bileşenlerinin sayılarıdır.
Şimdi
S 1 → ST 2 n +1 → CPT n
demetimsinin Leray-Serre spektral dizisini
düşünelim. α , H 1 ( S 1 , ) nun bir doğurayı olsun o halde α , transgressiftir.
τ (α ) = a ∈ H T 2 (CP n , ) ,
HT * ( X 0 , ) =
α ’nın
H * ( BT , )[a]
transgresyonu
olmak
üzere
f (a) = ∏ (a − wi ) mi
şeklinde
s
f (a)
dır.
Burada
i =1
çarpanlarına ayrılır. F1 , F2 ,...., Fs , X 0T nin bağlantılı bileşenleri olmak üzere
H * ( Fi , ) = H * (CP mi −1 , ) dur. Şimdi;
0 → H 2 ( BT , ) → H T 2 ( X 0 , ) → H 2 ( X 0 , ) → 0
iT 2 ↑
i2 ↑
0 → H 2 ( BT , ) →
→
HT 2 ( X , )
H 2(X , )
→ 0
tam dizilerini göz önüne alalım b = (iT 2 ) −1 (a) olsun. O halde;
HT * ( X , ) =
H * ( BT , )[b]
s
g (b)
g (b) = ∏ (b − wi′′ ) mi dir.
′′
i =1
X 0 T → X T içermesi
ile
XT
katsayılı kohomoloji cebirinde izomorfizm verdiğinden X 0 T
nin bağlantılı bileşenleri arasında bire-bir eşleme vardır. Yani
44
4. TORUS KOBORDANT KOMPLEKS PROJEKTİF UZAYLAR
Ali Arslan ÖZKURT
F1′′ ,....Fs′′ , X T ’nin bağlantılı bileşenleri ise H * ( Fi′′ , ) = H * (CP mi −1 , ) olur. Bir
başka ifade ile q j ∈ Fj ⊆ Fj′′ gelişigüzel seçelim. Bu içerme;
H * ( Fj , )
H * ( Fj′′ , ) = H * (CP
m j −1
, )
izomorfizmi belirler öyle ki bu homomorfizma altında a ’nın görüntüsü w j dir. O
halde;
H T * ( X 0 , ) → H T * (q j , )
iT * ↑
HT * ( X , )
→ H T * (q j , )
değişmeli diagramı göz önüne alınırsa w j = w j′′ olduğu kolayca görülür. O halde;
s
f (a) = ∏ (a − wi )
i =1
mi
s
ve g (b) = ∏ (b − wi ) mi dir.
i =1
Öte yandan;
HT 2 ( X , )
iT * ↓
HT 2 ( X 0 , )
2
jT

→ HT 2 ( X1, )
↑τ
τ
1
←

H (S 1, )
değişmeli diagramını düşünelim. c = jT 2 (b) ∈ H T 2 ( X 1 , ) olmak üzere
HT * ( X1, ) =
H * ( BT , )[c]
s
h(c )
, h(c) = ∏ (c − wi′ ) mi
i =1
Benzer şekilde yapılarak wi′ = wi′′ = wi olduğu kolayca gösterilebilir. O halde
45
4. TORUS KOBORDANT KOMPLEKS PROJEKTİF UZAYLAR
Ω( ϕ0 )=Ω( ϕ1 )={ wi , mi :1 ≤ i ≤ s }
olup ϕ0 ve ϕ1 lineer denktir. Dolayısıyla ϕ0 ve ϕ1 denk etkilerdir.
46
Ali Arslan ÖZKURT
5. GRUP ETKİLERİNİN DEFORMASYONU
Ali Arslan ÖZKURT
5. GRUP ETKİLERİNİN DEFORMASYONU
Bu bölümde bir dönüşüm grubunun başka bir dönüşüm grubuna
deformasyonu, başka bir ifade ile izotopik dönüşüm grupları incelendi.
5.1 Grup Etkilerinin Deformasyonlarının İncelenmesi
Tanım 5.1.1 : X bir topolojik uzay, G kompakt Lie grup olsun. G’nin X × I
üzerinde seviye koruyan bir etkisine bir G-izotopi denir. Bir başka ifade ile θ bir Gizotopi ise her t ∈ I seviyesinde G’nin X üzerinde;
θt ( g , x) = θ ( g , x, t ), g ∈ G, x ∈ X
olacak şekilde θt etkisi vardır.
θ bir G-izotopi ise θ 0 ile θ1 izotopik etkilerdir, veya θ ’ya, θ 0 etkisinin θ1
etkisine bir deformasyonu denir. Öte yandan G’nin X × I üzerinde X × {0} ve
X × {1} ’i invaryant bırakan bir etkisine G-konkordans denir. X × {0} ve X × {1}
üzerindeki etkilere ise konkordant etkiler denir. Görüldüğü gibi G-izotopi, Gkonkordansın özel bir halidir. O halde temel problemlerden biri bir G-konkordansın
ne zaman bir G-izotopi olmak zorunda kalacağıdır. Bu problem için aşağıdaki kısmi
cevabı verebiliriz.
Teorem 5.1.1 : T = T r bağlantılı torus ve ϕ , X × I üzerinde bir T -
konkordans olsun. Eğer her
r
p
⊂ T için ϕ
p
r
× X ×I
kısıtlama etkisi bir
r
p
-izotopi
ise ϕ , T -izotopidir.
İspat : ϕ :T × X × I → X × I bir T-konkordans olsun. Şimdi ϕ ’nin T-izotopi
olmadığını varsayalım. O halde ϕ , X × I üzerinde seviye koruyan bir etki değildir.
Bir başka ifade ile
t ≠ t′
olmak üzere
47
ϕ ( g , x, t ) = ( y, t ′)
olacak şekilde
5. GRUP ETKİLERİNİN DEFORMASYONU
Ali Arslan ÖZKURT
( g , x, t ) ∈ T × X × I vardır. Öte yandan T bağlantılı olduğundan 1 ile g’yi T içinde
bağlayan bir yol vardır. Yani;
f : I → T , f (0) = 1, f (1) = g
Olacak şekilde bir f eğrisi vardır. Öte yandan abelyen p-grupları T içinde yoğun
olduğundan ( f ( I ) ∩
g′ ∈ ( f (I ) ∩
r
p
r
p
) − Tx ≠ ∅ olacak şekilde bir
r
p
⊂T
vardır. Şimdi
) − Tx alalım. ϕ ( g ′, x, t ) ∉ X × {t} olur. Fakat bu durum ϕ
kısıtlama etkisinin bir
r
p
p
r
× X ×I
-izotopi olmasıyla çelişir. O halde ϕ bir T-izotopidir.
Bir başka temel problemlerden biri ise izotopik etkilerin birbirlerine ne kadar
benzer olduklarıdır.
Teorem 5.1.2 : T bağlantılı torus, ϕ0 ve ϕ1 T’nin S n üzerinde iki ortoganal
temsili olsun. O halde aşağıdakiler birbirine denktir.
I. ϕ0 ve ϕ1 lineer denktir.
II. ϕ0 ’ın ϕ1 ’e, her seviyede lineer olan bir deformasyonu vardır.
İspat : (I ⇒ II)
ϕ0 , ϕ1 T’nin lineer denk iki ortogonal temsili olsun. O halde ;
ϕ0
T × S n 
→ Sn
f
1× f
T × Sn
ϕ1

→ Sn
diyagramı değişmeli olacak şekilde f : S n → S n lineer homeomorfizmi vardır. T
kompakt ve f lineer olduğundan f ∈ O(n + 1) varsayabiliriz. O(n + 1) ’in bağlantılı
bileşen sayısı 2 dir. Bunlar;
SO(n + 1) = { A ∈ O(n + 1) : det A = 1}
SO − (n + 1) = { A ∈ O (n + 1) : det A = −1}
48
5. GRUP ETKİLERİNİN DEFORMASYONU
Ali Arslan ÖZKURT
O halde det f = 1 ise I n +1 ile f yi SO(n + 1) de bir yol ile bağlayabiliriz. Yani;
φ : I → SO(n + 1), φ (0) = I n +1 φ (1) = f
olacak şekilde SO(n + 1) de bir φ eğrisi vardır. O halde i matris çarpımını
göstermek üzere;
Φ :T × Sn × I → Sn × I
Φ ( g , x, t ) = (φ (t )i(ϕ0 ( g , (φ (t )) −1 i x)), t )
istenilen deformasyonu verir. Benzer şekilde det f = −1 ise I n +1 in 1. satırının -1 ile
çarpımından oluşan matrisi I n−+1 ile gösterirsek, I n−+1 ile f yi SO − (n + 1) de birleştiren
bir yol vardır. Yani;
φ : I → SO − (n + 1), φ (0) = I n−+1 , φ (1) = f
olacak şekilde SO − (n + 1) de bir φ eğrisi vardır. O halde;
Φ :T × Sn × I → Sn × I
Φ ( g , x, t ) = (φ (t )i(ϕ0 ( g , (φ (t )) −1 i x)), t )
ϕ0 ’ın ϕ1 ’e her seviyede lineer olan bir deformasyonudur.
(II ⇒ I):
ϕ0 ’ın ϕ1 ’e her seviyede lineer olan bir {ϕt }t∈I deformasyonu verilsin. Her t ∈ I için
ϕt lineer temsillerinin Euler sınıfları aynıdır. Bir başka ifade ile t , t ′ ∈ I ise
ET ( S n × {t}) = ET ( S n × {t ′}) olur. Euler sınıfı tamsayı ağırlıklara ayrıştığından her
t, t′ ∈ J
için
Ω′(ϕt ) = Ω′(ϕt ′ )
olacak
şekilde
bir
J⊆I
vardır.
Burada
Ω′(ϕt ) ve Ω′(ϕt ′ ) sırasıyla ϕt ve ϕt ′ temsillerinin tamsayı ağırlık sistemleridir.
49
5. GRUP ETKİLERİNİN DEFORMASYONU
Ali Arslan ÖZKURT
Dolayısıyla her t , t ′ ∈ J için ϕt ve ϕt ′ temsillerinin lineer ağırlık sistemleri aynıdır.
O halde her g ∈ T için;
tr : I → R
t → tr (ϕt ( g ))
sürekli olup, J de sabit olduğundan J da sabit olur. Dolayısıyla J kapalı kümedir. O
halde bu şekildeki { J } ailesi I nın parçalanışını verir. Şimdi ϕ0 ’ın lineer ağırlık
sistemine eşit olan seviyeleri düşünelim. Yani;
Α = {t ∈ I : ϕ0 ' ın lineer ağırlık sistemi = ϕt ' nin lineer ağırlık sistemi}
Α ∈ {J } olup I bağlantılı olduğundan Α = I dır. Dolayısıyla her t ∈ I seviyesinde
ϕt temsilinin lineer ağırlık sistemi ϕ0 ' ın lineer ağırlık sistemine eşit olur. O halde
her t ∈ I için ϕ0 ile ϕt lineer denk iki temsildir.
Teorem 5.1.3 (Palais-Stewart,1960) : X kompakt türevlenebilen manifold, G
kompakt Lie grup ve θ , X × I üzerinde türevlenebilen bir G-izotopi olsun. Yani;
θ : G × X × I → X × I ve θt : G × X × {t} → X × {t}
türevlenebilir olsun. Bu durumda ( X × I , θ 0 ×1) → ( X × I , θ ) türevlenebilir, grup
etkisini koruyan ve X × {0} ’a kısıtlaması içerme dönüşümü olan bir diffeomorfizm
vardır.
Palais-Stewart teoremi; kompakt Lie grupların kompakt türevlenebilir bir
manifold üzerindeki türevlenebilir izotopik olan iki etkinin denk olduğunu söylediği
gibi aslında bu izotopinin her seviyesindeki etkilerin başlangıç seviyesindeki etkiyle
aynı olduğunu söyler. Hipotezdeki kompaktlık ve türevlenebilirlik şartlarından biri
kaldırılırsa sonuç doğru olmayabilir.
50
5. GRUP ETKİLERİNİN DEFORMASYONU
Ali Arslan ÖZKURT
Topolojik kategoride ise G-izotopik etkiler çok farklılık gösterebilir. Bununla
ilgili birkaç örnek vermeden önce aşağıdaki önermeleri verelim.
Önerme 5.1.1 : φ , G' nin S n −1 üzerindeki bir etkisi ise G' nin D n kapalı n-
disk üzerinde C (φ ) : G × D n → D n koni etkisi vardır ve;
 y φ (g, y )

y
C (φ )( g , y ) = 
0
y≠0
y=0
dir.
Önerme 5.1.2 : φ , G' nin D n üzerinde bir etkisi ise φ ile C (φ S n−1 ) arasında
kanonik bir G-izotopi vardır. Bu izotopi;
Φ : G × Dn × I → Dn × I

0

Φ ( g , y, t ) = (1 − t )φ ( g , y
)
1− t

 y φ (g, y )
y

y = 0 ve t = 1
0 ≤ y ≤ 1 − t ve t ≠ 1
1 − t ≤ y ≤ 1 ve y ≠ 0
Görüldüğü gibi D n üzerindeki her G etkisi sabit noktaları ve orbit uzayları
büzülebilir olan bir G etkisine G izotopiktir.(Edmonds, 1975)
Örnek 5.1.1 : M kompakt büzülebilir n-manifold (n ≥ 4 ) ve ∂M basit
bağlantılı olmasın. O halde M × D1 , D n +1 ’e homeomorfiktir (Curtis,1961). Şimdi
2
’nin D n +1 üzerine aşikar olmayan etkisini düşünelim. Bu etkinin sabit noktaları
M × {0} dır. Öte yandan C (φ S n ) koni etkisinin sabit noktaları C (∂M ) ye
51
5. GRUP ETKİLERİNİN DEFORMASYONU
Ali Arslan ÖZKURT
homeomorfiktir. Dolayısıyla φ , C (φ S n ) koni etkisine
2
-izotopiktir fakat denk
değildir.
Örnek 5.1.2 : G izohedral(icosahedral) grup olsun. G derecesi 60 olan sonlu
gruptur. O halde yeterince büyük n için G’nin D n üzerinde sabit noktası olmayan bir
etkisi vardır(Bredon, Introduction to Compact Transfomation Groups, 1972, Sayfa
58). Öte yandan φ , C (φ S n−1 ) koni etkisine G-izotopiktir fakat denk değildir. Çünkü
C (φ S n−1 ) etkisinin sabit notası vardır.
Teorem 5.1.4 : G kompakt Lie grup, X kompakt topolojik uzay ve ϕ , X × I
üzerine bir G-izotopi olsun Eğer ϕ ’nin t = 0 seviyesinde sabit noktası yoksa öyle bir
ε > 0 vardır ki her t ′ ∈ [0, ε ) için ϕ ' nin t = t ′ seviyesinde sabit noktası yoktur.
İspat : ΤG , ϕ ’nin orbit tiplerinin kümesi olsun. ΤG üzerindeki topoloji
H ⊆ G olmak üzere G  = Tip (G ) den küçük veya eşit orbit tiplerinin
H
 H
kümesini kapalı küme kabul eden minimum topoloji olsun. O halde;
τ : X × I G → ΤG
süreklidir. Dolayısıyla her x ∈ X için;
φx : I → X × I → X × I G → ΤG φx (t ) = [G ( x, t )]
olarak tanımlanan fonksiyon süreklidir. Ayrıca ϕ ’nin t = 0 seviyesinde sabit noktası
olmadığından her x ∈ X için;
φx (0) ≠ [*] = Tip(G G ) ∈ ΤG
52
5. GRUP ETKİLERİNİN DEFORMASYONU
Ali Arslan ÖZKURT
olur. O halde U = ΤG − {[*]} açık olup 0 ∈ φx −1 (U ) olur. Dolayısıyla her x ∈ X için
bir ε x > 0 vardır öyle ki Vx = [0, ε x ) ⊂ I ve [*] ∉ φx (Vx ) dir.
X ×I → X ×I
G
→ ΤG
sürekli olduğundan her y ∈ Wx ve her s ∈ Vx için φ y ( s ) ≠ [*] olacak şekilde
x ∈ Wx ⊂ X açık kümesi vardır. Öte yandan ϕ ’nin t = 0 seviyesinde sabit noktası
olmadığından her x ∈ X için G( x ,0) ≠ G dir. Şimdi ( x, 0) ’ın X × I da bir S x dilimini
alalım. Dolayısıyla GS x , G ( x, 0) ’ın açık komşuluğudur. Dolayısıyla;
Wx × Vx ⊂ GS x ⊂ X × I
varsayabiliriz. Ayrıca S x , ( x, 0) ’ın X × I daki bir dilimi olduğundan her ( y, t ) ∈ GS x
için G( y ,t ) ⊆ G( x ,0) ≠ G lur. Dolayısıyla her ( y, t ) ∈ GS x için G( y ,t ) ≠ G dir. Öte
{
yandan {Wx }x∈X X’in bir açık örtüsü ve X kompakt olduğundan Wx1 ,.....Wxn
} X’in
sonlu alt örtüsü olur. O halde V = Vx1 ∩ ..... ∩ Vxn = [0, ε ) ε = {ε x1 ,.....ε xn } olup her
x ∈ X ve her t ∈ V = [0, ε ) için G( x ,t ) ≠ G olur. O halde her t ′ ∈ V = [0, ε ) için
ϕ ' nin t = t ′ seviyesinde sabit noktası yoktur.
53
KAYNAKLAR
ALEXANDROFF, P., (1935). On local properties of closed sets, The Annals of
Mathematics 36, 1-35.
ALLDAY, C., PUPPE, V., (1993). Cohomological Methods in Transformation
Groups. Cambridge University Pres.
ATIYAH, M. F., BOTT, R. A., (1968). Lefschetz fixed point formula for elliptic
complexes:II, Applications, The Annals of Mathematics, 88, 451-491.
BILLER, H., (2003). Proper actions on cohomology manifolds, Trans. Amer. Math.
Soc., 355, 407-432.
BOREL, A., (1961). Seminar on transformation groups. Ann. of Math studies 46,
Princeton University Pres.
BREDON, G. E.,(1969). Representations at fixed points of smooth actions of
compact groups, The Annals of Mathematics, 89, 515-532.
BREDON, G. E., (1972). Introduction to compact transformation groups. Academic
Press, New York.
BREDON, G. E.,(1997). Sheaf Theory, 2nd ed. Graduate texts in mathematics 170,
Springer, New York.
COHEN, H., (1954). A cohomological definition of dimension for locally compact
Hausdorff spaces, Duke M. J., 21, 209-224.
CURTIS, M., (1961). Cartesian products with intervals, Proc. Amer. Math. Soc., 12,
819-820.
DEO, S., TRIPATHI, H. S., (1982). Compact Lie group actions on finitistic spaces,
Topology, 21, 393-399.
DIECK, TAMMO, T., (1987). Transformation groups, de Gruyter Studies in Math.
DOVERMANN, K. H., (1982). Even dimensional Smith equivalent representations,
Algebraic topology, Aarhus, Springer LNM, 587-602.
DOVERMANN, K. H., PETRIE, T., (1985). Smith equivalance of representations
for odd order cyclic groups, Topology, 24, 283-305.
54
EDMONDS, A. L., (1975). Deformations of group actions, Trans. Amer. Math.,
201, 147-160.
GOLBER, D., (1973). The cohomological description of a torus action, Pacific
Journal of Mathematics, 46, 149-154.
HATCHER, A., (2002). Algebraic topology, Cambridge university pres, Cambridge.
HSIANG, W.-Y., (1970). On some fundamental theorems in cohomology theory of
topological transformation groups, Taita J. Of Math, 2, 61-87.
HSIANG, W.-Y., (1971). On the splitting principle and the geometric weight system
of topological transformation groups I Proc. 2nd conf. On Compact Trans.
Groups. Amherst. Mass.
HSIANG, W.-Y., (1975). Cohomology Theory of Compact Transformation Groups,
Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin.
HUSEMOLLER, D., (1966). Fibre Bundles, McGraw-Hill, New York.
McCLEARY, J., (1985). User’s guide to spectral sequences, Publish or Perish Inc.,
Berkeley, California.
MILNOR, J., (1956). Construction of universal bundles:I, Ann. Math, 63, 272-284.
MILNOR, J., (1956). Construction of universal bundles:II, Ann. Math, 63, 430-436.
MONTGOMERY, D., YANG, C. T., (1960). Groups on S n with principal orbits of
dimension n-3:I, Illinois J. Math, 4, 507-517.
MONTGOMERY, D., YANG, C. T., (1961). Groups on S n with principal orbits of
dimension n-3:II, Illinois J. Math, 5, 206-211.
PALAIS, R., STEWART, T., (1960). Deformations of compact differentiable
transformation groups, Amer. J. Math, 82, 935-937.
PETRIE, T., (1983). Smith equivalance of representations, Math. Proc. Camb. Phil.
Soc.,94, 61-99.
SANCHEZ, C., (1976). Actions of groups of odd order on compact orientable
manifolds, Proc. AMS, 54, 445-448.
SERRE, J. P., (1951). Homologie singuliere des espaces fibres, Ann. of Math, 54,
425-505.
55
SMITH, P. A., (1960). New results and old problems in finite transformation
groups, Bull. AMS., 66, 401-415.
STRAUME, E., (1990). The integral weight system for torus actions on spheres with
no fixed point, Math. Scand., 66, 91-109.
STRAUME, E., (1996). Compact connected Lie transformation groups on spheres
with low cohomogeneity, I, Memoirs of AMS.
SU, J. C., (1963). Transformation groups on cohomology projective spaces, Trans.
Amer. Math., 112, 305-318.
WILDER, R. L., (1949). Topology of manifolds, Amer. M. S. Coll. Publ, 32.
56
ÖZGEÇMİŞ
21. 05. 1974 Adana da doğdum. İlk orta ve lise öğrenimimi Adana da
yaptıktan sonra 1997 yılında Çukurova üniversitesi matematik bölümünden mezun
oldum. Aynı yıl Ç.Ü matematik bölümünde yüksek lisansa başlayıp yine aynı yıl Ç.Ü
matematik bölümünde araştırma görevlisi olarak göreve başladım. 2000 yılında Ç.Ü
matematik bölümünde yüksek lisans programını tamamladım ve aynı yıl aynı
bölümde doktora programına başladım. Halen Ç.Ü matematik bölümünde araştırma
görevlisi olarak görevime devam etmekteyim.
57