FONKSİYONLAR ■ A kümesinin her elemanını, B kümesinin bir ve yalnız bir elemanı ile eşleyen A dan B ye bir f bağıntısına A dan B ye fonksiyon denir. f : A B veya A B yazılır. A tanım, B değer kümesidir. f A B Tanım kümesinde eşleşmeyen boşta eleman kalmayacak. Tanım kümesinin her elemanı değer kümesinin yalnız bir elemanı ile eşleşecek. 1) 4) f A .1 .2 .3 .4 .5 .a .b .c .d f A B .1 .2 .3 .4 .5 .a .b .c .d 2) B 5) f A .1 .2 .3 .4 .5 .a .b .c .d f A B .1 .2 .3 .4 .5 .a .b .c .d 3) B 6) f A .a .b .c .d .1 .2 .3 .4 .5 f A B .a .b .c .d 1 .1 .2 .3 .4 .5 B www.idealmatematik.com Fonksiyonlar Fonksiyonların gösterimi: 4. Örnek: 1. Örnek: Aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyondur? A = { a, b, c } ve B = { x, y, z, t } A) f : N → N, f(x) = 3x – 1 B) f : Z → N, f(x) olduğuna göre, aşağıdaki bağıntılardan hangisi A dan B ye bir fonksiyondur? 2x 3 5 C) f : Z → N, f(x) 3x 1 A) { ( a, x ), ( c, z ) } D) f : R → Z, f(x) x 2 B) { ( a, x), ( b, y ), ( c, z ), ( b, t ) } 3 4 2 E) f : Z → N, f(x) = x + 3 C) { ( a, x ), ( b, y), ( c, y ) } D) { ( a, z ), ( b, t ), ( b, y) } E) { ( x, a), ( y, b ), ( z, c ), ( t, c) } 5. Örnek: 4 2. Örnek: 2 A = { 1, 2, 3, 4 } ve B = { x, y, z } kümeleri için aşağıdaki bağıntılardan hangisi B den A ya bir fonksiyon belirtir? -3 O 3 7 x -2 A) { (x, 1), (y, 2), (y, 3) } B) { (x, 2), (y, 3), (z, 1), (z, 4) } Yukarıda grafiği verilen f fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? C) { (x, 3), (z, 4) } D) { (x,1), (y, 2),(z, 2) } E) { (1, z), (2, y), (3, x), (4, y) } A) [–3, 0) [4,7) B) (–3, 0) (3,7] C) [–3, 2] (3,7) D) (–3, 3) (3,7] E) [–3, 2) (4,7] (2010 – LYS1 – Mat) 3. Örnek: 6. Örnek: f, A kümesinden B kümesine tanımlı bir fonksiyondur, f nin şema ile gösterimi aşağıda verilmiştir. Aşağıdaki grafikleri verilen bağıntılardan hangisi R den R ye fonksiyondur? f A B .2 .4 .1 .2 .3 .6 .8 .8 .12 Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) f nin tanım kümesi { 2, 4, 6, 8 } dir. B) f nin değer kümesi { 1, 2, 3, 8, 12 } dir. C) f nin görüntü kümesi { 1, 2, 8, 12 } dir. D) f(4) + f(6) = 10 E) f(2) + f(8) = 10 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– www.idealmatematik.com 2 www.idealmatematik.com Fonksiyonlar Kural: f: A → B ye tanımlı fonksiyon sayısı = [s(B)] s(A) dır. 11. Örnek: 7. Örnek: f : [ – 3, 4 ] → R A = { a, b, c, d } ve B = { 1, 2, 3 } f (x) = 2x + 3 kümeleri verildiğine göre, A kümesinden B kümesine kaç farklı fonksiyon tanımlanabilir? olduğuna göre, f ([ –3, 4 ]) görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 B) 4 C) 12 D) 64 E) 81 8. Örnek: C) 135 D) [ 3, 15] E) [ 3, 19 ] C) [ 3, 11 ] f(x) = 4x + 2 B den A ya tanımlanan bağıntılardan kaç tanesi fonksiyon değildir? B) 225 B) [ – 3, 11 ] ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 12. Örnek: s(A) = 4 ve s(B) = 2 ise, A) 240 A) [ – 3, 8 ] D) 52 olduğuna göre, f(3) + f(1) kaçtır? E) 14 A) 17 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 9. Örnek: B) 18 C) 19 D) 20 E) 21 13. Örnek: A = { 1, 3, 5 } kümesinden N ye tanımlı, f x x 2 x f(x) = 2x – 3 olduğuna göre, f(–1) + f(0) + f(1) toplamı kaçtır? fonksiyonunun görüntü kümesindeki elemanların toplamı kaçtır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 A) –4 B) –2 C) 0 D) 2 E) 4 (2003 – ÖSS) E) 12 14. Örnek: 10. Örnek: 1 2x 2, x 0 2x 1 f(x) , 0x4 3 3x 1 , x 4 A = { – 1, 0, 1} kümesi veriliyor. 3 f : A → R , f (x) = 3x – 2 fonksiyonu için f(A) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { –2, 1} B) { – 2, 1, 5 } D) {1, 2 } E) { 2, 3 } www.idealmatematik.com Buna göre, f(–2) + f(2) + f(5) kaçtır? C) { –5, –2, 1 } A) 8 3 B) 10 C) 14 D) 16 E) 18 www.idealmatematik.com Fonksiyonlar 15. Örnek: 19. Örnek: Sekiz raftan oluşan bir kitaplığın raflarına 1'den 8'e kadar numara verilmiştir. Bu kitaplığın t numaralı rafındaki kitapların sayısını gösteren f fonksiyonu, f(3x + 1) = 6x + 2 olduğuna göre, f(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) x – 1 t 1, 1 t 4 ise f t 2t 1, 5 t 8 ise B) x C) 2x +1 D) 2x E) 3x biçiminde veriliyor. Buna göre, raflarda toplam kaç kitap vardır? A) 54 B) 56 C) 58 D) 60 20. Örnek: E) 62 f( ( 2013 – ALES – ilkbahar ) x2 2x 12 ) x6 3x 6 olduğuna göre, f(x) aşağıdakilerden hangisidir? 16. Örnek: A) Rasyonel sayılar kümesinde f, g ve h fonksiyonları 2x 3 B) 3x 2 C) 2 3x D) 3 2x E) 2x 3 f(x) = x –x 3 g(x) = 2x +x h(x) = f(x) + g(x) biçiminde tanımlanıyor. ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 21. Örnek: h(a) = 24 olduğuna göre, a kaçtır? 3 A) 2 B) 3 C) 4 D) 2 f(3x – 2x + 3) = 6x – 4x + 13 2 E) 4 3 2 olduğuna göre, f(4) kaçtır? A) 13 ( 2012 – ALES – İlkbahar ) ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 17. Örnek: B) 15 C) 17 D) 19 E) 21 22. Örnek: f(x) = 3x + 7 f(4x + 2) = 5x + 3 olduğuna göre, f(2x) – f(x + 1) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? olduğuna göre, f(14) kaçtır? A) 10 A) 3x – 1 B) 3x – 3 C) 5x – 2 D) 5x + 4 E) 5x + 7 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18 (2013 – DGS) 23. Örnek: 18. Örnek: 3 x 1 2 f x x2 x 1 2 f(x) = x – 3x + 3x – 1 olduğuna göre, f(x + 1) değeri nedir? 3 3 3 A) x + 1 B) x – 1 C) x 2 D) x olduğuna göre, f(3) değeri kaçtır? 2 E) x + 1 A) 5 (1988 – ÖSS) www.idealmatematik.com B) 6 C) 7 D) 8 E) 11 (2010 – LYS1 – Mat) 4 www.idealmatematik.com Fonksiyonlar 24. Örnek: 28. Örnek: Gerçel sayılar kümesi üzerinde bir f fonksiyonu f(x – 1) = x . f(x) ve x f( 1) 2x a 3 f(21) = 1 olduğuna göre, f(1) kaçtır? biçiminde tanımlanıyor. A) 17! f(4) = 10 olduğuna göre, a kaçtır? A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 B) 18! C) 19! D) 20! E) 21! E) 12 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Fonksiyonlarda Dört İşlem 25. Örnek: A ile B ayrık olmayan iki küme olmak üzere, 2 f: R → R, f : A → R ve g : B → R 2 f(2x – 1, y + 2) = 2x – 3xy + 3 tanımlı f ve g fonksiyonları veriliyor. olduğuna göre, f(3 , 6) kaçtır? A) –15 B) –14 C) –13 ■ f + g : A B→R D) –12 E) –11 ( f + g ) (x) = f(x) + g(x) ■ f – g : AB → R ( f – g ) (x) = f(x) – g(x) ■ f . g : A B→R ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 26. Örnek: ( f . g ) (x) = f(x) . g(x) f(x) – f(x+1) = x eşitliğinde f(2) = 20 olduğuna göre, f(6) kaçtır? ■ A) 6 f f(x) , g(x) 0 (x) g(x) g B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 f : A B R g 29. Örnek: f ve g birebir ve örten fonksiyondur. 27. Örnek: f = {(–2, 4), (1, 4), (3, –2)} Bir f fonksiyonu x N için, f(x + 1) = f(x) + 4 eşitliğini sağlamaktadır. g = {(–2, 3), (2, 1), (3, 2)} ise, f(0) = 3 ise f(25) değeri kaçtır? A) 132 B) 126 C) 112 2f + g aşağıdakilerden hangisidir? D) 103 E) 100 A) {(–2, –2), (3, 11)} B) {(–2,11), (3, –2)} C) {(1, –2), (3, 11)} D) {(–2, 5), (1, 12)} E) {(3, –2), (–2, 11)} www.idealmatematik.com 5 www.idealmatematik.com Fonksiyonlar 30. Örnek: 34. Örnek: R → R ye f ve g fonksiyonları f(x) = 4x + 1 2 olduğuna göre, f(3x) in f(x) cinsinden değeri nedir? f(x) = 2x – 3x ve g(x) = 5 + 2x olarak tanımlanmıştır. (3f – g) (2) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) –3 B) –4 C) –5 D) –6 E) –7 A) 2f(x) – 1 B) 3f(x) – 2 D) 3f(x) + 2 E) 2f(x) + 1 C) 2f(x) + 1 31. Örnek: 35. Örnek: f : N→ N g : {(2,–1), (–1, 3), (5, 3)} 2x – 3 f(x) = 3 fonksiyonu için, f(2x) in f(x) cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 2 f(x) = x – 2 fonksiyonları tanımlanıyor. (4f + 3g) (–1) ifadesinin değeri kaçtır? 2 A) 9f (x) A) –3 B) –1 C) 1 D) 3 B) f(x) 27 E) 3f 2 (x) 4 E) 5 2 D) 27f (x) C) f 2 (x) 27 32. Örnek: 36. Örnek: 3x 5 , x asal sayı ise f(x) 2x 2 , x>2 ve çift sayı ise f(x) 5x 2 olduğuna göre, 3 3x 3 , x 4 ise g(x) 2 3 x , x<4 ise f(x – 3) fonksiyonunun f(x) cinsinden eşiti aşağıda– kilerden hangisidir? olduğuna göre, (f.g + 2.f) (5) kaçtır? A) 3f(x) – 5 A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 D) f(x) – 3 E) 100 3f(x) 19 3 E) 3f(x) – 15 B) C) f(x) – 5 37. Örnek: 33. Örnek: f(x) 2 2 f : R → R, f(x, y) = max (x + 1, xy + 2) x x3 2 g : R → R, g(x, y) = min (x + y, x – y) olduğuna göre, f(x+3) ün f(x) türünden eşiti aşağıdakilerden olduğuna göre, f(–3, 2) + 2g(–2, 2) toplamının eşiti aşağıdakilerden hangisidir? hangisidir? A) 2 A) 3f(x) 1 f(x) B) f(x) 3f(x) 1 D) f(x) 2f(x) 1 E) 2f(x) 1 f(x) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– www.idealmatematik.com 6 C) f(x) 1 3f(x) Fonksiyon Çeşitleri www.idealmatematik.com ■ Bire – Bir Fonksiyon: 4. Örnek: f : A→B fonksiyonu için, A kümesindeki farklı elemanların görüntüleri de farklı ise, f(x) fonksiyonuna bire – bir fonksiyon denir. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olmak üzere, f : A → A fonksiyonu bire – birdir. Buna göre, Yani, x1 x 2 için f(x1 ) f(x 2 ) ise, y = f(x) fonksiyonu bire – bir (1 : 1) fonksiyondur. f(1) + f(2) + f(3) + f(4) 1. Örnek: toplamının alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaçtır? Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi bire – bir fonksiyondur? A) f(x) = |x + 1| A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 2 B) f(x) = 6 E) 10 2013 – YGS C) f(x) = x 6 D) f(x) = 5x E) f(x) = x ■ Örten Fonksiyon ve İçine Fonksiyon: f : A→B fonksiyonu için f(A) = B ise yani değer kümesi görüntü kümesine eşit ise f fonksiyonuna örten fonksiyon denir. Diğer bir deyişle değer kümesinde açıkta eleman kalmıyor ise, fonksiyon örtendir. 2. Örnek: Gerçel sayılar kümesinde tanımlı I. f : A→B fonksiyonu için f(A) ≠ B ise yani B kümesinde en az bir eleman açıkta kalıyor ise, f fonksiyonuna içine fonksiyon denir. f(x) = 2x –1 2 II. g(x) = x + 2 III. h(x) = x 5. Örnek: fonksiyonlarından hangileri bire birdir? A = {a, b, c, d} 3 A) I ve II B) Yalnız I D) I ve III E) Yalnız II kümesi üzerinde tanımlı aşağıdaki fonksiyonların hangisi bire – bir ve örtendir? C) I, II ve III A) {(a, b), (b, a), (c, b), (d, c)} (2011 – YGS) B) {(a, a), (b, b), (c, d), (d, d)} C) {(a, c), (b, d), (c, a), (d, b)} D) {(a, b), (b, c), (c, d)} E) {(a, b), (b, c), (c, c), (d, c)} 3. Örnek: 6. Örnek: f(x) = 3x – 2 bire – bir ve örten fonksiyon olmak üzere, f : A → B ve B = {–5, 1, 7} olduğuna göre, f : A → B tanımlı A kümesinin elemanları toplamı kaçtır? f(x3) = y2 A) –1 koşulunu sağlayan kaç tane 1 : 1 fonksiyon vardır? A) 16 B) 24 C) 36 www.idealmatematik.com D) 48 E) 64 7 B) 0 C) 2 D) 3 E) 4 Fonksiyon Çeşitleri www.idealmatematik.com 7. Örnek: 9. Örnek: Z tamsayılar kümesi olmak üzere, f : Z → Z fonksiyonu f: R → R olmak üzere, x 1, x 0 ise f(x) x 1, x 0 ise f(x) = (a – 2)x + (a – b)x + b + c 3 fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, a + b – c ifadesinin eşiti kaçtır? biçiminde tanımlanıyor. A) 2 Buna göre, I. f bire birdir. II. f örtendir. III. f’nin görüntü kümesi Z \ {0}’ dır. B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 10. Örnek: f fonksiyonu birim fonksiyon olmak üzere, ifadelerinden hangileri doğrudur? 2 f(x) = (a + 3)x + (2a + b)x + a – b + c olduğuna göre, A) Yalnız I B) Yalnız II D) I ve II E) I ve III C) Yalnız III f(a – b – c) kaçtır? A) 20 (2012 – LYS) B) 10 C) 0 D) –10 E) –20 8. Örnek: 11. Örnek: Gerçel sayılardan gerçel sayıların bir K alt kümesine tanımlı f birim fonksiyonu x 8, x 3 ise f(x) x 2, x 3 ise f(3x) = 9ax + b – 12 biçiminde tanımlandığına göre, a . b çarpımı kaçtır? fonksiyonu örten olduğuna göre, K kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) [3 , ) B) [5 , ) D) ( , 5) E) ( , 3) A) 36 C) [3 , 5] B) 12 C) 6 D) 4 E) 3 ■ Sabit Fonksiyon: A kümesindeki tüm elemanları B deki yalnız bir elemanla eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir. (2010 – LYS1 – Mat) Her x A için f(x) = c ve c B ise f, A dan B ye tanımlı sabit fonksiyondur. 12. Örnek: ■ Birim (Özdeş) Fonksiyon: f sabit fonksiyon ve f : A → A bir fonksiyon olsun. Her x A için f(x) = x ise yani A daki her elemanı kendisine eşleyen f fonksiyonuna birim (özdeş) fonksiyon denir. olduğuna göre, f(2015) kaçtır? x şeklinde yazılır. Birim fonksiyonlar (x) Birim fonksiyonlar bire – bir ve örtendir. www.idealmatematik.com 2 f(x) = (4 –2a)x + (3a – b)x + 5a – b A) 16 8 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 Fonksiyon Çeşitleri www.idealmatematik.com 13. Örnek: ■ Doğrusal Fonksiyon: f(x) = –2kx – 6x + 11 a, b R ve a ≠ 0 olmak üzere, f(x) = ax + b şeklinde ki fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir. bağıntısı sabit fonksiyon olduğuna göre, k kaçtır? A) –3 B) –2 17. Örnek: C) 0 D) 2 E) 3 f doğrusal fonksiyon ve f(2) = 8 Not: f(3) = 4 1) f(x) ax b a b sabit fonksiyon ise, f(x) dir. cx d c d olduğuna göre, f(5) kaçtır? 2) f : A → B tanımlanabilecek sabit fonksiyon sayısı, değer kümesinin eleman sayısı kadardır. Yani, s(B) tane A dan B ye sabit fonksiyon tanımlanabilir. A) –4 B) 0 C) 4 D) 8 E) 12 D) 8 E) 9 D) –6 E) –4 14. Örnek: 18. Örnek: 2 f : R – { } → R olmak üzere, 3 f(x) f doğrusal fonksiyon ve 9x m 3x 2 f(4) = 3 sabit fonksiyon olduğuna göre, m kaçtır? f(6) = 11 ise, A) –6 f(5) kaçtır? B) –3 C) 0 D) 3 E) 6 A) 3 B) 5 C) 7 15. Örnek: 19. Örnek: 15x 9 f(x) 5x a f doğrusal fonksiyon ve fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, f(2015) değeri kaçtır? f(x – 1) + f(x + 2) = 6x – 1 A) –3 A) –12 B) –1 C) 0 D) 3 olduğuna göre, f(–2) kaçtır? E) 5 16. Örnek: f(x – 3) + f(x) = –10x + 21 3x m 2 5x 10 olduğuna göre, f(–1) + f(1) toplamı kaçtır? A) –6 fonksiyonunun sabit fonksiyon olması için m kaç olmalıdır? A) 4 B) 2 C) –8 20. Örnek: 5x ≠ 10 olmak üzere, f(x) B) –10 C) 1 www.idealmatematik.com D) –1 E) –4 9 B) –5 C) 5 D) 6 E) 7 www.idealmatematik.com Ters Fonksiyon ■ Ters Fonksiyon: 3. Örnek: f : A → B fonksiyonu bire – bir ve örten ise, f fonksiyonunun –1 tersi vardır ve f : B → A şeklinde gösterilir. f bire – bir ve örten bir fonksiyondur. 5x 1 f x 3 2x –1 f(x) = y ise f (y) = x –1 olduğuna göre, f (x) ters fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? f A B 2x 1 3 5x 1 5x E) 2x 3 2x 1 3 5x 5x 1 D) 2x 3 A) B) C) x2 5 3x f1 f (A) = B –1 A = f (B) 4. Örnek: f bire – bir ve örten fonksiyondur. f(5) = 4 1. Örnek: –1 f (3) = –2 ise, {1, 2, 3} kümesinden {10, 11, 12} kümesine aşağıdaki fonksiyonlar tanımlanıyor. –1 f (4) + f(–2) kaçtır? Bu fonksiyonlardan hangisinin ters fonksiyonu vardır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 A) {(1, 11), (2, 10), (3, 12)} B) {(1, 12), (2, 11), (3, 11)} C) {(1, 10), (2, 10), (3, 11)} D) {(1, 10), (2, 10), {3, 10)} 5. Örnek: E) {(1, 12), (2, 11), (3, 12)} (1988 – ÖYS) f(4x + 3) = 5x – 2 olduğuna göre, –1 f(–5) + f (8) ifadesinin değeri kaçtır? A) –5 B) –1 C) 3 D) 5 E) 13 D) 1 E) 2 2. Örnek: f = {(–3, 5), (0, 4), (–1, 3), (4, –3)} –1 6. Örnek: –1 olduğuna göre, f(–3) – f (3) + f (–3) ifadesinin değeri kaçtır? f(x –2 A) 8 olduğuna göre, f (28) kaçtır? B) 9 C) 10 D) 11 3 x ) = 5 +3 –1 E) 12 A) –2 www.idealmatematik.com x+1 10 B) –1 C) 0 www.idealmatematik.com Ters Fonksiyon 7. Örnek: Bir Fonksiyonun Ters Fonksiyonunun Bulunuşu: f(x) = ax + b ■ f : A → B ye bire – bir ve örten fonksiyon olsun. f (2) = 5 y = f(x) fonksiyonunda x yalnız bırakıldıktan sonra x ile y –1 nin yerleri değiştirilerek f fonksiyonunun tersi olan f fonksiyonu bulunur. olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır? 11. Örnek: –1 f (3) = 4 –1 A) –7 B) –6 C) –5 D) 3 E) 6 f : R – {–1} → R – {3} (1996 – ÖYS) x f(x) 2 3 f(x) –1 olduğuna göre, f (x) aşağıdakilerden hangisidir? 8. Örnek: –1 2 B) 4 C) 5 x 3 x 1 B) x3 x2 D) 2x 1 3x E) 2x 3 3x –1 f(x + 2x – 4) = (x – 2) . f (x) + 5 olduğuna göre, f (5) kaçtır? A) 3 A) D) 6 C) x2 3x (1997 – ÖSS) E) 7 12. Örnek: f : R – {0} → R – {– 2 } tanımlı y = f(x) fonksiyonu 5 2x + 5xy – 3 = 0 9. Örnek: –1 olduğuna göre, f (x) fonksiyonunu bulunuz. f(3x + 2) = 5x – m –1 f (18) = 11 olduğuna göre, m kaçtır? A) –3 B) –2 C) –1 D) 1 E) 3 A) 5x 2 3 B) 5x 3 2 D) 3 2 5x E) 3 2 5x C) 2 3 5x 13. Örnek: 10. Örnek: R de tanımlı, f : (– , 2) → (–5 , ) f(x) = 3x – 4 2 f(x) = x – 4x – 9 –1 olduğuna göre, f (x) aşağıdakilerden hangisine eşittir? –1 olduğuna göre, f (3) kaçtır? A) –6 B) –2 C) 0 www.idealmatematik.com D) 2 E) 6 11 A) x 3 4 B) 3 x4 D) x4 3 E) x4 3 C) 3x + 4 www.idealmatematik.com Ters Fonksiyon 14. Örnek: 18. Örnek: f : R → R olmak üzere, 1 , ) R , f(x) log3 (3x 1) ile tanımlanıyor. 3 –1 Buna göre, ters fonksiyonu belirten f (x) aşağıdakilerden hangisidir? f :( f(x) 5 x 2 –1 olduğuna göre, f (x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) 5 x2 B) x5 2 5 E) x5 2 D) x – 2 –1 A) f (x) = 3 x B) f (x) = 3 +1 3x 1 3 –1 D) f (x) = 5 C) x + 2 –1 x –1 E) f (x) = –1 C) f (x) = log(3x+1) x3 1 3 (2006 – ÖSS – 2) 15. Örnek: Kural: f : (–3, ) → (–5, ) olmak üzere, ■ a≠0 olmak üzere, f(x) = ax + b ise f 1(x) f(x) x 3 5 2 A) x + 5 2 C) (x + 5) – 3 B) x + 5 2 2 D) (x + 3) – 5 ax b dx b ise f 1(x) cx d cx a ■ f(x) –1 olduğuna göre, f (x) aşağıdakilerden hangisine eşittir? x b a E) (x – 3) + 5 19. Örnek: R de tanımlı, f(x) = 5x – 3 –1 16. Örnek: olduğuna göre, f (x) aşağıdakilerden hangisine eşittir? f : ( 0 , ) → ( –3 , ) olmak üzere, A) x3 5 B) 5 x3 D) x 3 5 E) x5 3 2 f(x) = x – 3 –1 olduğuna göre, f (x) aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) x 3 B) x3 D) x 3 E) x 3 C) C) 5x + 3 x 3 20. Örnek: f:R–{ 17. Örnek: f(x) f : ( 4 , ) → ( –5 , ) 5 3 }→ R – { } 4 4 3x 2 4x 5 2 f (x) = x – 8x + 11 –1 olduğuna göre, f (1) kaçtır? –1 olduğuna göre, f (x – 5) aşağıdakilerden hangisidir? A) x 4 D) 2 x 1 B) x 4 E) x5 4 www.idealmatematik.com A) –5 C) 2 x 1 12 B) –3 C) 0 D) 5 E) 7 www.idealmatematik.com Ters Fonksiyon 21. Örnek: f(x) 25. Örnek: 5x 9 6x a 3x 2, x 4 f(x) x 3, x 4 –1 fonksiyonu için f(x) = f (x) olduğuna göre, f(2) kaçtır? A) 8 B) 7 C) 1 D) 1 7 E) –1 olduğuna göre, f (10) kaçtır? 1 9 A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 22. Örnek: 26. Örnek: R – {1} de tanımlanan f(2x + 3) = 8x – 4 olduğuna göre, 2x 1 f(x) x 1 f(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir? fonksiyonunun değer kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 4x B) 4x + 2 D) 4x + 16 E) 8x + 16 A) R B) R – {3} D) R – {1} E) R – {0} C) 4x – 16 C) R – {2} (1998 – ÖSS) 27. Örnek: 2x 1 f x 2 ise, 3x 1 23. Örnek: f : R – {2} → R – {3} f(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir? ax 4 f(x) 3x b A) veriliyor. 5x 5 3x 2 D) 3x – 2 f(x) fonksiyonu bire–bir ve örten olduğuna göre, (a, b) sıralı ikilisi aşağıdakilerden hangisidir? A) (5 , 4) B) (2 , 3) D) (6 , 6) E) (9 , 6) B) 3x 2 5x 5 E) 5 5x 3x 2 C) –5x + 5 C) (2 , 6) (1997 – ÖYS) 28. Örnek: 24. Örnek: 5 x3 f 1 olduğuna göre, x2 x3 f : R – {a + 2} → R – {b – 2} olmak koşuluyla, f(x) f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? 4x 7 fonksiyonunun tersinin olduğu bilindiğine 2x 6 A) göre, a . b çarpımı kaçtır? A) –20 B) –10 C) –5 www.idealmatematik.com D) 4 E) 20 13 x 3 B) 1 x C) 1 x D) –x E) 2 x Bileşke Fonksiyon www.idealmatematik.com ■ Bileşke Fonksiyon: 3. Örnek: f : A → B ve g : B → C olmak üzere, f(x) = 3x – 6 2 g(x) = (x – 2) gof : A → C fonksiyonuna g ile f fonksiyonlarının bileşke fonksiyonu denir. f x –1 Buna göre, (gof )(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir? C B A fonksiyonları veriliyor. 3x 2 1 2 x2 D) 9 A) g y z B) (3x + 4) E) (3x – 8) 2 2 C) x – 4x + 2 2 (2011 – YGS) ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 4. Örnek: gof f ve g gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonlardır. (gof)(x) = g(f(x)) 2 g(x) = 3x +1 5 f(x) = x – 1 olduğuna göre, (gof)(–1) ifadesinin değeri kaçtır? 1. Örnek: A) 13 f ve g gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonlardır. B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 g(x) = 3x+4 f(x) = 2x–1 5. Örnek: olduğuna göre, (fog)(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) 6x–1 B) 6x+1 D) 6x–7 E) 5x+3 f ve g gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonlardır. g(3x+1) = 5x–1 2 f(x+3) = 2x C) 6x+7 olduğuna göre, (fog)(7) ifadesinin değeri kaçtır? A) 25 B) 36 C) 50 D) 72 E) 162 2. Örnek: 6. Örnek: f ve g gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonlardır. Tam sayılar kümesinden tam sayılar kümesine f ve g fonksiyonları aşağıdaki biçimde tanımlanmıştır. f(x) = x – 3 g(x) = 3x – 5 2x 1 , x 0(mod 2) ise f(x) x 1(mod 2) ise 3x , olduğuna göre, (gof)(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) 3x–8 B) 3x+8 D) 3x+4 E) 3x–14 x 0(mod 3) ise x , g(x) 3x 1 , x 1(mod 3) ise x 1 , x 2(mod 3) ise C) 3x+14 Buna göre, g(f(6)) değeri kaçtır? A) 55 B) 40 C) 18 D) 17 E) 12 (2009 – ÖSS) www.idealmatematik.com 14 Bileşke Fonksiyon www.idealmatematik.com 7. Örnek: 11. Örnek: f : R → R parçalı fonksiyonu f(x) = x + 2x 2 2 (fog)(x) = x + 6x + 8 3x 1 , x rasyonelse f(x) 2 x rasyonel değilse x , olduğuna göre, g(x) aşağıdakilerden hangisi olabilir? 2 biçiminde tanımlanıyor. 2 Buna göre, (fof) aşağıdakilerden hangisidir? 2 A) 3 2 2 D) 5 2 2 2 B) E) C) 2 A) x + x B) x – 2 D) x – 2 E) x + 2 2 C) x + 2 (1994 – ÖSS) 1 4 12. Örnek: 7 2 (fof)(x) = 16x + 15 olduğuna göre, f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisi olabilir? (2011 – LYS) 8. Örnek: A) 4x + 5 B) 4x – 3 D) –4x + 5 E) 4x – 5 C) –4x – 5 f(x) = 4x + 3 ve g(x) = 2x – 3 fonksiyonları veriliyor. 13. Örnek: (fog)(x) = 31 olduğuna göre, x kaçtır? A) 7 B) 5 C) 3 D) 1 E) –1 g(3x – 2) = 6x – 3 –1 (g o f)(x) = x – 6 olduğuna göre, f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? 9. Örnek: f(x) = 2x + 1, A) 2x + 11 B) 2x – 7 D) 2x – 11 E) x – 7 C) 2x + 7 2x 1 g(x) , x5 –1 (g of)(x) = –16 14. Örnek: olduğuna göre, x kaçtır? f(x) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 8 2x u x 9 ve (fof )(x) x 1 3x 2 olduğuna göre u kaçtır? (1995 – ÖYS) A) –3 B) –2 C) –1 D) 0 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 10. Örnek: (fog)(x) (1990 – ÖYS) x ve g(x) = x + 1 x2 1 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 15. Örnek: olduğuna göre, f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) x 1 x 2x 2 B) x 1 x 2x 2 D) x2 1 x E) x x 1 2 2 C) f(x) = 5x + 2 ve (gof)(x) = 8x – 6 olduğuna göre, x2 1 x 1 g(7) kaçtır? A) 0 (1988 – ÖYS) www.idealmatematik.com E) 1 15 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Bileşke Fonksiyon www.idealmatematik.com 16. Örnek: 21. Örnek: (fog)(x) = 4x + 2 ve Uygun şartlarda tanımlı f(x) ve g(x) fonksiyonları için, g(x) = 2x – 1 olduğuna göre, –1 f (x) = 4x – 3 ve –1 (f og)(x) = 2x + 1 olduğuna göre, –1 f (–6) kaçtır? A) –5 B) –4 C) 0 D) 4 –1 g (4) kaçtır? E) 5 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 D) 94 E) 96 17. Örnek: f(x) = x – 1 ve (gof)(x) = x – 2x + 3 olduğuna göre, 22. Örnek: (fog)(3) kaçtır? f(2x–1) = 3x – 2 3 A) 26 B) 32 C) 44 D) 55 –1 2 (f og)(x) = x .f(x+2) E) 58 olduğuna göre, g(3) kaçtır? A) 88 B) 90 C) 92 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 18. Örnek: (fog)(x) = 4.g(x) – 5 (gof)(x) = 3.f(x) + 2 olduğuna göre, 23. Örnek: (gof)(2) kaçtır? f ve g, birebir ve örten fonksiyonlardır. A) 9 B) 11 C) 16 D) 19 –1 –1 (f og)(x) = 7x + 2 ve g (9) = 1 E) 27 olduğuna göre, f(9) kaçtır? A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 19. Örnek: f ve g fonksiyonları için, NOT: 2 (fog)(x) = 2g (x) – 3g(x) + 1 (gof)(x) = 2f(x) + 3 olduğuna göre, –1 ■ fof (fog)(–1) kaçtır? A) 15 B) 10 –1 = f of = ■ f o = o f = f C) 5 D) 0 ■ (fog) E) –5 –1 –1 –1 = g of –1 –1 –1 ■ (fogoh) = h o g o f –1 –1 ■ (f ) –1 =f ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 20. Örnek: 24. Örnek: g birebir ve örten fonksiyondur. f ve g R den R ye tanımlı fonksiyonlar olmak üzere, f(5x – 2) = g(4x + 1) eşitliğine göre, –1 g(x) = 4x + 1 ve (fog) (x) = 2x – 4 –1 (g of)(8) kaçtır? –1 olduğuna göre, f (5) kaçtır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 A) 25 www.idealmatematik.com 16 B) 22 C) 19 D) 16 E) 8 Bileşke Fonksiyon ve Fonksiyon Grafikleri www.idealmatematik.com 25. Örnek: 29. Örnek: f(3x + 2) = 5x – 2 Bir y = f(x) fonksiyonunun g(x – 3) = 2x – 2 grafiği yanda verilmiştir. –1 f[f(x)] = 3 olduğuna göre, –1 olduğuna göre, (g of) (2) ifadesinin sonucu kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 x in değeri nedir? E) 8 A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 (1982 – ÖYS) 26. Örnek: 30. Örnek: f(x) = 3x + 1 –1 g (x) = x – 2 –1 y y=f(x) –1 7 (f og) (m) = 8 olduğuna göre, m kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 5 4 5 -3 -5 x -4 27. Örnek: –1 Yukarıda y : R → R, y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. f (4x – 1) = g(2x + 1) –1 olduğuna göre, (fog) (11) ifadesinin değeri kaçtır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 –1 Buna göre, f (7) + (fof)(–3) + f(0) toplamının sonucu kaçtır? E) 5 A) –5 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 28. Örnek: B) –3 C) 2 D) 4 E) 6 31. Örnek: y=f(x) Aşağıda f fonksiyonunun grafiği verilmiştir. y 4 2 4 x -3 g(x) = 3 – f(x – 2) olduğuna göre, Yukarıdaki y = f(x) in grafiğine göre, g(–2) + g(5) toplamı kaçtır? A) –3 B) –1 C) 1 D) 2 f[f[f(3n – 12)]] = 2 şartını sağlayan n kaçtır? E) 3 A) –3 (2011 – LYS) www.idealmatematik.com 17 B) –1 C) 0 D) 1 E) 3 Bileşke Fonksiyon ve Fonksiyon Grafikleri 32. Örnek: 35. Örnek: Yanda grafiği verilen f(x) fonksiyonu [0, 2] de bire bir ve örtendir. 6 f(2) f 1(2) f(f(1)) ifadesinin değeri kaçtır? 3 4 0 -4 3 B) 2 y y=f(x) Buna göre, 5 A) 2 www.idealmatematik.com C) 0 1 D) 2 3 E) 2 x 2 -4 (1997 – ÖYS) y = f(x) fonksiyonunun grafiği şekilde verilmiştir. –1 f(x – 1) = f (6) olduğuna göre, x kaçtır? 33. Örnek: A) –4 B) –2 C) 0 D) 3 E) 5 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 36. Örnek: y 4 2 Yukarıda f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafiği verilmiştir. 4 Grafikteki bilgilere göre, A) 1 2 B) –1 g(1) (fog)(2) değeri kaçtır? f(4) C) 0 D) 1 x -1 y=f(x-2) 1 2 E) 5 -3 Şekilde f(x – 2) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. f(3) f 1(4) ifadesinin değeri kaçtır? f(2) f 1(2) (1998 – ÖSS) A) 3 34. Örnek: B) 2 D) C) –2 5 2 E) –3 37. Örnek: y f(x-1) -3 Yukarıdaki şekilde, f(x) fonksiyonu ile g(x) = x fonksiyonunun grafikleri verilmiştir. C) 0 www.idealmatematik.com D) 4 5 x Şekilde f(x–1) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. –1 B) –2 2 3 Buna göre (fog of)(0) değeri kaçtır? A) –4 0 Buna göre, f(x + 1) = 0 denklemini sağlayan farklı x değerlerinin toplamı kaçtır? E) 8 (2000 – ÖSS) A) –2 18 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2 Bileşke Fonksiyon ve Fonksiyon Grafikleri 38. Örnek: www.idealmatematik.com 41. Örnek: y 6 2 1 4 3 0 -2 x f 1(x 2) Şekilde f ve g fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. –1 f (x + 2) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, (gog)(2) + (gof –1 )(0) toplamı kaçtır? 1 Buna göre, A) –6 B) f(1) f (0) ifadesinin sonucu kaçtır? f 1(2) f(6) 1 8 C) 11 2 D) 3 A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14 E) 11 42. Örnek: 39. Örnek: y 2 5 1 3 -4 x -2 y=(gof)(x) Yandaki grafik f(x) fonksiyonuna aittir. Yukarıda (gof)(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. –1 –1 Buna göre, (fog ) kaçtır? –1 f(3) = 5 olduğuna göre, g (2) kaçtır? A) –5 B) –3 C) 1 D) 3 A) 9 E) 5 40. Örnek: B) 8 2 (x) = 2x – 9x + 3 olduğuna göre, g(0) C) 7 D) 6 E) 5 43. Örnek: Yukarıdaki grafik f(x) fonksiyonuna aittir. (fog)(x) ve f(x) fonksiyonlarının grafiği verilmiştir. f(x 1) f(x 3) eşitliği ve f(2x 1) g(3) = 1 olduğuna göre, f(2) kaçtır? g(x) Buna göre, g(4) kaçtır? A) –14 B) –13 C) –12 D) –10 E) –8 A) 12 www.idealmatematik.com 19 B) 9 C) 8 D) 5 E) 3 Permütasyon Fonksiyon www.idealmatematik.com Permütasyon Fonksiyon: 3. Örnek: ■ f : A → A tanımlı bire bir ve örten her fonksiyona A nın bir permütasyonu denir. A = {a, b, c, d, e} kümesi üzerinde tanımlı f ve gof permütasyon fonksiyonları, ■ A dan A ya tanımlanan permütasyon fonksiyonların sayısı n! dir. a b f c e a gof c 1. Örnek: olduğuna göre, g fonksiyonunu bulunuz. c d e a b d b c d e d e a b A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesi üzerinde tanımlı f permütasyon fonksiyonu 1 2 3 4 5 6 f 3 4 5 6 1 2 –1 f = 4. Örnek: a) f(3) = –1 b) f(5) = A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesi üzerinde tanımlı f ve g permütasyon fonksiyonları –1 c) f (6) = d) f (4) = e) (fof)(1) = f) (fof)(3f(6)) = 1 2 3 4 5 6 f 2 3 1 5 6 4 g)(fofof)(x) = 4 olduğuna göre, x = 1 2 3 4 5 6 g 6 5 4 1 2 3 olduğuna göre, (f – 2g)(4) + (g – f)(2) ifadesinin değeri kaçtır? 2. Örnek: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesi üzerinde tanımlı f ve g permütasyon fonksiyonları 5. Örnek: 1 2 3 4 5 6 f 2 3 1 5 6 4 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesi üzerinde, 1 2 3 4 5 6 f 2 3 1 5 6 4 1 2 3 4 5 6 g olduğuna göre, 6 5 4 1 2 3 fonksiyonları tanımlandığına göre, (fofof)(4) kaçtır? a) fog bileşke fonksiyonunu bulunuz. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 6. Örnek: A = {a, b, c, d, e} kümesi üzerinde, a b f c d a b g b c b) gof bileşke fonksiyonunu bulunuz. c d e e a b c d e a e d olduğuna göre, (fog)(d) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) a www.idealmatematik.com 20 B) b C) c D) d E) e Permütasyon Fonksiyon 7. Örnek: A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesi üzerinde tanımlanan 1 2 3 4 5 f 3 1 5 2 4 1 2 3 4 5 g 5 3 4 1 2 –1 permütasyonları için g(f (2)) değeri kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 (2010 – LYS) 8. Örnek: A = {1,2, 3, 4, 5} kümesi üzerinde, 1 2 3 4 5 f 2 3 1 5 4 , 1 2 3 4 5 g 5 1 4 2 3 –1 (fog )(x) = 5 olduğuna göre, x kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 9. Örnek: A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinde, 1 2 3 4 5 f 2 3 1 5 4 , 1 2 3 4 5 fog1 5 1 4 2 3 olduğuna göre, g(1) kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 www.idealmatematik.com D) 4 E) 5 21 www.idealmatematik.com