Optik Sabitlerin Frekansa Bağlılığı

Optik Sabitlerin Frekansa Bağlılığı
© 2008 HSarı
1
Ders İçeriği
•
•
Optik Sabitlerin Frekansa Bağlılığı
Dielektrik Ortam
•
•
© 2008 HSarı
Dağıtgan Ortam
Metal Ortam
2
Dielektrik Sabitinin Frekansa Bağlılığı
Şimdiye kadar olan incelememizde dış elektrik alanı sabit olarak kabul ettik.
Maddenin elektriksel alınganlığı χ (dolayısı ile kırılma indisi n) frekansa (ω) nasıl bağlıdır?
χ nin frekansa bağlılığını klasik modeli kullanarak bulabiliriz.
Klasik modelde (-) yüklü elektron, (+) yüklü çekirdeğe belli bir denge konumunda bağlıdır.
-e
-e
+e
-e
+e
μ(ω)
+e
E(ω)
E
μ(ω)
+e
E=0
E≠0
-e
E(ω)
E≠0
E(t)
Eo
μ(E(t))
G
G
P = εoχ E
P(E)
© 2008 HSarı
G
G
G
G
P (t ) = μ atom (t ) N = qx (t ) N = ε o χ (t ) E (t )
χ (t ) =
qN
εo
x( E (t ))
x(t ) ?
x(t ) ⇔ x(ω )
3
Dielektrik Sabitinin Frekansa Bağlılığı
Işığın + z yönünde ilerlediğini düşünürsek, daha önce bulduğumuz dalga denkleminin çözümü
G
G i ( kz −ωt +φ )
E ( z , t ) = Eo e
E
y
G
Eo = Eo iˆ
x
k
z
z=0 da
G
G − iωt
E (0, t ) = Eo e
Elektrik alan uyguladığımızda atomdaki elektronların dağılımını değiştiririz ve
elektronu denge konumu etrafında salınım yapmaya zorlarız.
© 2008 HSarı
4
Atoma bağlı elektronun hareketini denge noktası etrafında harmonik titreşim yapan yay gibi düşünebiliriz
Fy
me, q
Fy= - kx k yay kuvveti
x
x=0
Bu salınım sırasında hıza bağlı olarak bir kayıp olacaktır. Enerji kaybını
γ(
dx
) = γ x
dt
Elektronun hareket denklemi
şeklinde yazabiliriz. Burada γ hızla orantılı kayıp katsayısıdır
me x = − kx − γ x + Fdıs
şeklinde yazılabilir.
Burada k, geri çağırıcı kuvvet sabiti, me elektronun kütlesi, x elektronun yerdeğiştirmesi
ve Fdış ise dışardan uygulanan kuvvettir (EM dalga durumunda elektriksel kuvvet yani Fdış=qE).
Yukarıdaki denklem düzenlenirse
x+
Bu dif. denklemin çözümü
© 2008 HSarı
γ
me
x +
k
x = Fdıs
me
2. dereceden, doğrusal,
homojen olmayan
diferansiyel denklem
x(t)=(homojen kısmının çözümü)+(özel çözüm)
5
Homojen kısmının (Fdış=0 durumunda) çözümü xh(t):
x+
γ
me
x +
k
x=0
me
çözümün
xh (t ) = xo eiΩt
şeklinde olduğunu düşünebiliriz (burada Ω elektronun salınm frekansıdır)
Bu frekans değerini bulmaya çalışalım
Çözümü yukarıdaki homojen denklemde yerine koyarsak
iγ
k
γ2
Ω± = −
±
−
me 4me 2
2me
k
γ
(−Ω +
+ iΩ ) = 0
me
me
2
Ω± = ±
Eğer γ=0 =>
Homojen kısmın açık çözümü
© 2008 HSarı
k
≡ ωo
me
xh (t ) = xo e
Bu terime rezonans frekansı denir
i(± (
k γ2
γ
−
) −
t
me 4 me
2 me
e
Burada (γ/2m) ifadesi sönüm katsayısı olarak bilinir
6
Özel kısmının (Fdış≠0 durumunda) çözümü xp(t):
Fdıs = −eE = −eEo e−iωt
x+
Çözümün
γ
me
x +
k
x = Fdıs = −eEe − iωt
me
x p (t ) = xo e−iωt
x p (t ) = (−
Elektronun da EM dalganın ω frekansı ile
salındığını düşünürsek
eEo
1
)
e − iωt
me (−ω 2 − iω γ + k )
me me
Rezonans frekansı (ωo) cinsinden yazarsak özel çözümü
x p (t ) = (
© 2008 HSarı
e
1
)
E (t )
me (ω 2 − ω 2 + i γ ω )
o
me
7
Genel çözüm
t >> T=2π/ω durumunda
x(t)=xh(t)+xp(t)
xh(t>>T) => 0
e
xp(t>>T) => x(t >> T ) ≅ ( m )
E (t )
(ω 2 − ωo2 + i
γ
me
ω)
x(t), elektronun dış elektrik alandan dolayı (+) yüklü iyona göre göreli yerdeğiştirmesidir.
Bundan yola çıkarak dipol momentini tanımlamaya çalışırsak.
Dipol momenti tanımından, p=qd atomun dipol momenti μatom
μatom=|e|x(t)
Polarizasyon vektörü P=(Toplam dipol momenti)/Hacim
|P|= μatomN
Burada N birim hacim başına düşen atom sayısıdır. Polarizasyon vektörünü
P=εoχE=|e|x(t)N şeklinde yazabiliriz
e2 N
E (t )
ε o χ E(t ) =| e | x(t ) N = (
)
me (ω 2 − ω 2 + i γ ω )
o
me
© 2008 HSarı
e2
1
N)
χ (ω ) = (
γ
εom
(ω 2 − ωo2 + i ω )
me
8
e2 N
1
)
χ (ω ) = (
ε o me (ω 2 − ω 2 + i γ ω )
o
me
Ne 2
ω ≡
ε o me
2
p
Burada
kısaltması yapılırsa ( “plazma frekansı”)
Plazma frekansı cinsinden elektriksel alınganlık
χ (ω ) =
ω p2
(ω 2 − ωo2 + i
γ
me
ω)
Benzer şekilde maddenin elektriksel geçirgenliğinin (ε) frekansa bağlılığını bulalım
Elektriksel yerdeğiştirme vektörü D’nin tanımından
ε = ε o [1 + χ (ω ) ]
D = εE = ε o E + P = ε o E + ε o χE = ε o ( 1 + χ )E
εˆ = ε o +
ε oω p2
(ω 2 − ωo2 + i
γ
me
ω)
Herhangi bir kayıp kompleks ε ifadesine neden olmaktadır!
Frekansa bağlı elektriksel geçirgenlik
εˆ (ω ) = ε o +
ε oω p2 (ω 2 − ωo2 − i
(ω − ω ) +
2
© 2008 HSarı
2 2
o
γ
me
ω)
γ 2ω 2
me2
ε oω p2 (ωo2 − ω 2 )
Re εˆ (ω ) = ε o +
γ 2ω 2
2
2 2
(ωo − ω ) + 2
Im εˆ (ω ) =
ε oω p2 (
γ
me
me
ω)
(ω − ω ) +
2
o
2 2
γ 2ω 2
me2
9
Dielektrik Ortam
Dielektrik Durum (elektronların atoma bağlı olduğu durum) k ≠ 0, ωo ≠ 0
εˆ (ω ) = ε o +
ε oω p2 (ωo2 − ω 2 − i
(ω − ω ) +
2
o
⎡
⎢
ω p2 (ωo2 − ω 2 )
2
⎢
nˆ (ω ) = εˆ ε o = 1 +
γ 2ω 2
⎢
2
2 2
⎢ (ωo − ω ) + m 2
e
⎣
ω (ω − ω )
Re nˆ 2 (ω ) = 1 +
γ 2ω 2
2
2 2
(ωo − ω ) + 2
2
p
2
o
2 2
γ
me
γ≠0
ω)
γ 2ω 2
me2
⎤ ⎡
γ
ω p2 ω
⎥ ⎢
me
⎥ −i⎢
γ 2ω 2
⎥ ⎢ 2
2 2
⎥ ⎢ (ωo − ω ) + m 2
e
⎦ ⎣
2
Im nˆ 2 (ω ) =
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
ε oω p2 (
γ
me
ω)
(ω − ω ) +
2
o
me
2 2
γ 2ω 2
me2
nˆ (ω ) = n(ω ) + iK (ω )
© 2008 HSarı
k ∝ n(ω )
α ∝ K (ω )
10
Re(n2)
ω p2 (ωo2 − ω 2 )
Re nˆ (ω ) = 1 +
γ 2ω 2
2
2 2
(ωo − ω ) + 2
2
1
me
ω
İm(n2)
ε oω p2 (
Im nˆ 2 (ω ) =
γ
me
ε oω p2 (
ω)
(ω − ω ) +
2
o
2 2
me
γωo
)
γ 2ω 2
me2
Düşük frekanslarda n statik değerini verir
Yüksek frekanslarda n(ω)
© 2008 HSarı
ωo
ω
ω p2
Re εˆ (0) = 1 + 2 ≡ ε s
ωo
Re εˆ (∞) ≡ ε ∞ = 1
11
Optik Dağınım (Dispersion)
Normal ve anormal bölgeler ne anlama gelmektedir?
Normal dağınımda
kırılma indisi frekans ile
artar
n
Normal
dağınım
dn
>0
dω
n
dn
<0
dω
1
ωkırmızı ωmavi
Beyaz ışık
ω
n
1
n(ω)
Normal dağınım
© 2008 HSarı
Anormal dağınımda
kırılma indisi frekans ile
azalır
Anormal dağınım
ω
ωkırmızı
Beyaz ışık
ωmavi
ω
n(ω)
Anormal dağınım
12
Bu bilgilerden camın neden görünür bölgede saydam olduğunu açıklayabiliriz
Camın rezonans frekansı görünür bölgenin dışındadır. Dolayısı ile görünür bölgede soğrulma olmaz.
görünür
bölge
Reκ
1
ω
İmκ
ωo
çok küçük bir
soğurma
vardır
© 2008 HSarı
ω
yüksek frekanslarda soğurma büyük
olacağından cam saydam olmaz
13
Optik Dağınım (Dispersion)
n
n3
Beyaz ışık
n(ω)
nm > nk
vm < vk
nm
c
ω (k ) =
k
n( k )
ωo
ω1 ω2 ω3
nk
ω
n=1
n(ω)
n=1
z
v1
v=c
v2
v3
v=c
E (ω)
E (ω)
Δω
Δω
n(ω)
vg = c ( n − λ
© 2008 HSarı
dn −1
)
dλ
vg =
c
N
N ≡ (n − λ
dn
)
dλ
t
Soliton: dağınıma
uğramayan dalga
şekli
Grup Kırılma İndisi
Ödev: Ortamın kırılma indisi dalgaboyunun fonksiyonu ise grup hızının vg
yukarıdaki gibi olduğunu gösteriniz
14
Tek bir rezonans frekans (ωo) düşündük. Eğer farklı frekanslarda madde içinde soğurma olursa
γ
ω)
me
ˆκ( ω ) = 1 − ∑
γ2 2
2
2 2
i
( ω − ωoj ) + i 2 ω
me
ω2p ( ω2 − ωoj2 + i
Reκ
ω
Soğurma
İmκ
ω
ωo1
© 2008 HSarı
ωo2
ωo3
15
Metalik Ortam
İletkenler için (bağlı elektronlar veya dipoller yerine serbest elektronlar) yay sabiti k=0 ωο=0 fakat γ≠0
εˆ (ω ) = ε o +
ε oω p2 (ωo2 − ω 2 − i
(ω − ω ) +
2
o
2 2
γ
me
γ ω
2
ω)
ωo=0
2
εˆ (ω ) = ε o −
ε oω p2 (ω 2 + i
ω +
4
me2
κˆ (ω ) =
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
εˆ (ω )
= nˆ 2
εo
ω p2
ω +
γ2
2
İm(n 2 (ω )) =
ω p2 (
ω +
3
© 2008 HSarı
ω)
me2
Re(n (ω )) = 1 −
⎤ ⎡
2 γ
⎥ ⎢ ε oω p m
e
⎥+i⎢
2 2
⎥ ⎢ 4 γ ω
⎥ ⎢ ω + m2
e
⎦ ⎣
me
γ 2ω 2
2
⎡
⎢
ε oω p2ω 2
εˆ (ω ) = ⎢ε o −
γ 2ω 2
⎢
4
ω + 2
⎢
me
⎣
γ
me2
γ
me
γ2
me2
Metalik ortam
)
ω
16
Metal Ortam için Dielektrik sabitini κ
Reκ
ω p2
Re κˆ (ω ) = n 2 (ω ) = 1 −
ω +
2
Im κˆ (ω ) = K 2 (ω ) =
ω p2
ω3 +
© 2008 HSarı
γ
2
≈1/ω2
İmκ
me
me2
ω
me2
γ
γ2
1
ω
≈1/ω3
ω
17
Dilektrik sabiti κ’nın gerçek kısmının Re(κ)=0 olduğu duruma (ω=ωp) bakalım:
ω p2
Re κˆ (ω ) = n (ω ) = 1 −
2
Reκ
ω +
2
1
Reκ>0
Reκ<0
ωp
ω
0 = 1−
Re(κ)=0
γ2
me2
ω2p
γ2
ω + 2
me
2
ω >> γ/me
durumunda
Ne 2
ωp =
ε o me
0 ≈ 1−
ω2p
ω
2
⇒ ω = ωp
N= Serbest elektron yoğunluğu (birim hacım başına)
ωp değerine plazma frekansı denir
Tipik plazma frekansının değeri ne mertebededir?
(10 23 )(10 −19 ) 2
Ne 2
≅
≅ 10 26
ω =
−10
−31
ε o me (10 )(10 )
2
p
ω p ≅ 1013
Görünür bölge frekansı ω=1014-1015 Hz, dolayısı ile plazma frekansı görünür bölgenin altındadır
© 2008 HSarı
18
Eğer atmosfere radyo frekansı gönderirsek ne olur?
Reκ
n ≅ Re κ̂
1
Yansıtma katsayısına bakalım
(yansıtma katsayısı R’yi
n cinsinden yazarsak)
n −1
R=
n +1
2
ω
ωp
İmκ
n=iα tümüyle kompleks
Yansıtma katsayısını kırma indisi cinsinden yazarsak
2
2
iα − 1
1 − iα
(−1)(1 − iα )
R=
= (1)
=
iα + 1
1 + iα
1 + iα
2
R=1 yansıtma katsayısı 1, dalganın hepsi yansıyacak
C
iyonosfer
A
B
atmosfer
ω
z
z*
2
=1
Dünya üzerindeki A ve B noktaları arasındaki
iletişim için kullanılacak EM dalganın frekansı
ωp’nin altında olmalıdır
C noktası için ise ωp’nin üstünde olmalıdır
© 2008 HSarı
19
E(z,t)
Özet
χ,ε(ω)
x
z
y
χ (ω ) =
ω p2
(ω − ω + i
2
2
o
ε = ε o [1 + χ (ω ) ]
γ
εˆ = ε o −
ω)
me
Dielektrik durumunda
εˆ (ω ) = ε o −
ε oω p2
(ω 2 − ωo2 + i
γ
me
ω)
Reκ
ε oω p2 (ω 2 − ωo2 + i
me
2 2
o
1
ω)
γ 2ω 2
(ω − ω ) +
2
γ
ω
εofo/(γωo/me)
İmκ
me2
ωo
ω
İletken durumunda
Reκ
εˆ (ω ) = ε o −
ε oω p2 (ω 2 + i
ω +
4
© 2008 HSarı
γ
me
γ 2ω 2
2
e
m
ω)
1
ω
ωp
İmκ
≈1/ω3
ω
20