GCD VE LCM MATRİSLERİNİN UYGULAMALARI Aslıhan ÇOŞKUN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HAZİRAN 2011 ANKARA iv GCD VE LCM MATRİSLERİNİN UYGULAMALARI (Yüksek Lisans Tezi) Aslıhan ÇOŞKUN GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Haziran 2011 ÖZET Bu çalışmada, ilk olarak aritmetik fonksiyonlar, kısmi sıralı kümeler ve graf teorisi ile ilgili ön bilgiler sunulmuştur. Sonra GCD ve LCM matrislerinin temel özellikleri verilmiştir, ayrıca GCD matrisleri ile ilgili sonuçlar kesişmeyen yollar yardımıyla kombinatoriyel olarak yeniden verilmiş ve genellemeler yapılmıştır. Bu yöndeki girişimler son bölümde tartışılmıştır. Bilim Kodu : 204.1.025 Anahtar Kelimeler : GCD matrisleri, LCM matrisleri, Aritmetik fonksiyon, Graf, Kısmi sıralı kümeler, Kesişmeyen yollar Sayfa Adedi : 56 Tez Yöneticisi : Doç. Dr. Ercan ALTINIŞIK v APPLICATIONS OF GCD AND LCM MATRICES (M.Sc.Thesis) Aslıhan ÇOŞKUN GAZİ UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY June 2011 ABSTRACT In this study, firstly, some preliminaries in arithmetical functions, posets and graph theory are presented. Then fundamental properties of GCD and LCM matrices are given and the results related with GCD matrices are given combinatorially by means of nonintersecting paths. In the last section we argue our attemps for this generalization. Science Code : 204.1.025 Key Words : GCD matrices, LCM matrices, Arithmetical functions, Partially ordered sets (posets), Graph, Nonintersecting paths Page Number : 56 Adviser : Assoc. Prof. Dr. Ercan ALTINIŞIK vi TEŞEKKÜR ÇalıĢmalarım boyunca değerli yardım ve katkılarıyla beni yönlendiren kıymetli tecrübelerinden faydalandığım çok değerli ve sabırlı hocam Doç. Dr. Ercan ALTINIġIK‟ a, kıymetli tecrübelerinden faydalandığım Sayın Doç. Dr. Naim TUĞLU‟ ya, manevi desteklerinden dolayı arkadaĢlarıma, kardeĢim Beyhan ÇoĢkun‟ a ve beni bu günlere getiren maddi manevi desteklerini esirgemeyen aileme sonsuz teĢekkürü bir borç bilirim. vii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET........................................................................................................................... iv ABSTRACT ................................................................................................................. v TEġEKKÜR ................................................................................................................ vi ĠÇĠNDEKĠLER .......................................................................................................... vii ġEKĠLLERĠN LĠSTESĠ .............................................................................................. ix SĠMGELER VE KISALTMALAR .............................................................................. x 1. GĠRĠġ....................................................................................................................... 1 2. ÖN BĠLGĠLER ........................................................................................................ 3 2.1. Aritmetik Fonksiyonlar .................................................................................... 3 2.2. Kısmi Sıralı Kümeler ve Latisler.................................................................... 10 2.3. Graf Teorisi .................................................................................................... 15 3. GCD ve LCM MATRĠSLERĠ ............................................................................... 18 4. GCD MATRĠSLERĠ ve KESĠġMEYEN YOLLAR ............................................. 37 5. KESĠġMEYEN YOLLAR ĠLE GCD MATRĠSLERĠNĠN ÖZELLĠKLERĠNĠN ĠNCELENMESĠ .................................................................................................... 47 6. SONUÇ ................................................................................................................. 54 KAYNAKLAR .......................................................................................................... 55 viii ÖZGEÇMĠġ ............................................................................................................... 56 ix ŞEKİLLERİN LİSTESİ Şekil Sayfa ġekil 2.1. D,| nin Hasse diyagramı……………………….………………...........11 ġekil 2.2. B12 ,| nin Hasse diyagramı…………………………….………………..14 ġekil 2.3. G(V , E, ) grafı………………………………………………………….15 ġekil 2.4. Ġki parçalı graf…………………………………………………………….16 ġekil 4.1. Bir P kısmi sıralı kümesi………………………………...………………40 ġekil 5.1. P ' P '' Grafı………………………………………………………………...49 ġekil 5.2. d1'1'' Grafı………………………………………………………………....52 x SİMGELER VE KISALTMALAR Bu çalıĢmada kullanılmıĢ bazı simgeler, açıklamaları ile birlikte aĢağıda sunulmuĢtur. Simgeler Açıklama Euler fonksiyonu Möbius fonksiyonu f g f ve g nin Dirichlet konvülasyonu [ xi , x j ] xi ile x j nin en küçük ortak katı ( xi , x j ) xi ile x j nin en büyük ortak böleni S GCD matrisi S LCM matrisi x y x join y x y x meet y S S kümesinin supremumu S S kümesinin infimumu V (G), E (G) G grafı f ( xi , x j ) ( xi , x j ) nin f fonksiyonu altındaki görüntüsü f [ xi , x j ] [ xi , x j ] nin f fonksiyonu altındaki görüntüsü f (x , x ) Elemanları f ( xi , x j ) olan matris f [ x , x ] Elemanları f [ xi , x j ] olan matris i i A T P ' P '' j j A matrisinin transpozu P ' den P '' ye kesiĢmeyen yollar 1 1. GİRİŞ GCD ve LCM matrisleri, sayılar teorisinin araçlarının matris teoriye uygulanması açısından zarif sonuçlarla literatürde göze çarpmaktadır. GCD ve LCM matrisleri ile ilgili ilk çalıĢmalar ilk olarak Smith (1876) ile baĢlamıĢtır. Smith S 1, 2,3,, n kümesi üzerinde tanımlı elemanları sij (i, j ) olan n n tipindeki S ( sij ) matrisinin kendi ismiyle adlandırılan determinantının n değerini (k ) olarak, elemanları sij [i, j ] olan matrisin determinantını ise k 1 n (k ) (k ) olarak hesaplamıĢtır. Sonra Beslin ve Ligh GCD matrislerinin k 1 determinantlarını hesaplayıp, pozitif tanımlı olduğunu göstermiĢler ve bu konu üzerine çalıĢmaları yeniden baĢlatmıĢlardır (1989). Çarpan kapalı S x1 , x2 ,, xn kümesi üzerinde tanımlı olan GCD ve LCM matrislerinin terslerini aij 1 x x k xi | xk / xi xk / x j , bij k 1 xi x j x j | xk 1 g x x k xi | xk / xi xk / x j k x j | xk olmak üzere sırasıyla A aij ve B bij matrisleri olarak hesaplamıĢlardır. Eğer S kümesi çarpan kapalı ise S matrisinin S matrisinin ( M n () halkasında) bir çarpanı olduğunu göstermiĢlerdir (1992). Bunun yanı sıra S kümesi gcd kapalı ise GCD ve LCM matrislerinin determinant ve terslerine dair eĢitlikler elde etmiĢlerdir. Bourque ve Ligh elemanları pozitif tamsayılar olan S x1 , x2 ,, xn kümesi üzerinde tanımlı f ( xi , x j ) ve f [ xi , x j ] matrislerinin determinantları ve tersleri ile ilgili çeĢitli sonuçlar ortaya koymuĢlardır. Apostol, f ve g aritmetik fonksiyon olmak üzere m, r için (m, r ) d |( m, r ) f (d ) g (r / d ) Ģeklinde tanımlanan 2 fonksiyonu için (i, j ) Böylelikle aritmetik f matrisinin determinantına dair sonuçlar elde etmiĢtir. fonksiyonu için f (r ) f (d ) olmak üzere d |r A f (m, k ) matrisinin determinantını hesaplayan Smith‟in sonucunu geniĢletmiĢtir. Bourque ve Ligh, Apostol ve Smith‟in yaptığı bu çalıĢmalardan yola çıkarak (i, j ) matrislerinin yapısı ve terslerine dair yeni sonuçlar elde etmiĢlerdir. AltınıĢık, Sagan ve Tuğlu herhangi bir kısmi sıralı küme üzerinde determinantı, bir çarpım olarak bulunan matrislere ait yeni sonuçlar elde etmiĢlerdir. Yönlü graflarda kesiĢmeyen yollar kullanılarak Smith‟in bulduğu sonuçların ispatlarını kombinatoriyel olarak yeniden ispatlamıĢ ve genellemeler yapmıĢlardır. Bu çalıĢmanın ikinci bölümünde aritmetik fonksiyonlara ait temel tanım ve teoremler, kısmi sıralı kümeler, latis ve tam latis kavramları ve graf teorisi ile ilgili çalıĢmamız için gerekli temel bilgiler verilmiĢtir. Üçüncü bölümde GCD ve LCM matrislerinin tanımları verilmiĢ ve bu matrisler ile ilgili yapılan çalıĢmaların amacımız yönünde olanları incelenmiĢtir. Dördüncü bölümde yönlü graflarda kesiĢmeyen yollar kullanılarak GCD matrisleri ile ilgili literatürdeki sonuçların kombinatoriyel olarak ispatlandığı ve genellemelerin verildiği çalıĢmalara yer verilmiĢtir. Bu yöndeki giriĢimlerimiz ise son bölümde tartıĢılmıĢtır. 3 2. ÖN BİLGİLER Bu bölümde çalıĢmamızda yararlanacağımız aritmetik fonksiyonlar, kısmi sıralı kümeler ve graf teorisi ile ilgili temel kavramlar ve teoremler kullanacağımız ölçüde özetlenmiĢtir. 2.1. Aritmetik Fonksiyonlar Pozitif tamsayılar için tanımlı gerçek veya kompleks değerli her f fonksiyonuna „aritmetik fonksiyon’ veya ‘teorik sayı fonksiyonu’ denir. Aritmetik fonksiyonların kümesini A ile gösterelim. A kümesi üzerinde tanımlı Dirichlet konvülasyonu her n için f g n f d g n / d ile tanımlanır. ' ' Dirichlet konvülasyonu d |n değiĢmeli ve birleĢmelidir. Yani her f , g A için f g g f ve her f , g , h A için f gh f g h dır. Ayrıca A , Dirichlet konvülasyonuna göre birimlidir. A nın birimi her n için n 1n ile tanımlanan özdeşlik fonksiyonudur ve her f A için f f f dır [1]. f 1 0 olmak üzere bir f A nın Dirichlet tersi olan g fonksiyonu g 1 1 1 ve g n g d f n / d f 1 f 1 d |n d n ile verilir. G f A : f 1 0 kümesi ' ' Dirichlet konvülasyonu ile bir abelyen gruptur. Bu grubun birim elemanı özdeĢlik fonksiyonudur. Her m, n için m, n 1 olmak üzere f A fonksiyonu f mn f m f n eĢitliğini sağlıyorsa f ye çarpımsal fonksiyon, eğer her m, n için bu eĢitlik sağlanıyorsa f ye tam çarpımsal fonksiyon denir [2]. 4 Örneğin, her n için n nin bölenlerinin sayısını veren (n) 1 fonksiyonu, n d |n nin bölenlerinin toplamını veren (n) d fonksiyonu çarpımsal , k ya da d |n olmak üzere k (n) nk ile tanımlı kuvvet fonksiyonu ve özdeĢlik fonksiyonu tam çarpımsaldır. Burada özel olarak k 0 olması durumunda kuvvet fonksiyonu 0 ile gösterilir ve zeta fonksiyonu adını alır. Her n için (n) 1 dir. Çarpımsal fonksiyonların kümesi G nin bir alt grubunu oluĢturur. ġimdi bu alt grubun elemanları ile ilgili bazı tanım ve teoremleri verelim. 2.1. Teorem k Pozitif bir n tamsayısının standart biçimi n pii ve f bir çarpımsal fonksiyon i 1 k olsun. O zaman f n f pii [1]. i 1 2.2. Teorem f çarpımsal ise F n f d ile tanımlanan F fonksiyonu çarpımsaldır [2]. d |n Sayılar teorisinin önemli araçlarından olan bazı çarpımsal aritmetik fonksiyonları verelim. n pozitif tamsayısını geçmeyen ve n ile aralarında asal olan pozitif tamsayıların sayısı, (n) ile gösterilir ve ye Euler‟in fonksiyonu denir. 5 2.3. Teorem p1 , p2 ,, pk farklı asallar ve her bir ei olmak üzere n p1e1 ... pkek olsun. O zaman n p p k ei i i 1 ei1 i k i 1 veya n n 1 p1 [1]. i 2.4. Teorem n 1 için d n [2]. d |n İspat Ġddianın önce herhangi bir p asalı için, n tamsayısının n p Ģeklinde bir tek asalın kuvveti olması durumunda geçerli olduğunu gösterelim. sembolünün tanımı ve d |n 1 n 1 ise n n 1 eĢitliğine göre p p|n d 1 p p p 2 d |n 1 p 1 p p 1 p 1 p 1 p n bulunur. ġimdi iddianın n 1 olan her n için geçerli olduğunu tümevarımla gösterelim. Bunun için teoremin k tane farklı asal çarpanı bulunan tamsayılar için doğru olduğunu varsayalım ve k 1 tane farklı asal çarpanı bulunan herhangi bir N tamsayısı göz önüne alalım. p , N nin asal çarpanlarından biri ve p da p nin N yi bölen en büyük kuvveti olsun. Bu durumda n tamsayısının, k tane farklı asal 6 çarpanı vardır ve tamsayısının p, n 1 bölenleri d , pd , p d ,, p d 2 olmak üzere N p n dir. Buradan d nin n kümesindeki bütün değerleri alması durumunda kümesi de N nin bütün bölenlerinin kümesi olur. Böylece iddianın n için doğru olduğunu göz önüne alarak d d pd p d |N d |n d |n d |n d 1 p p 2 p d |n d | p d |n np N elde edilir. Tümevarım ilkesinden ispat tamamdır. Her n için u(n) 1 ile tanımlanan u ya birim fonksiyon denir. u nun Dirichlet konvülasyonu iĢlemine göre tersine Möbius fonksiyonu denir. Gerçekten, Möbiüs fonksiyonu n 1 için n 1, p1 , p2 ,, pk farklı asallar olmak üzere n p1 p2 ... pk ise n 1 ve aksi halde n 0 ile tanımlıdır. k 2.5. Teorem Möbiüs fonksiyonu çarpımsaldır. Möbiüs fonksiyonu çarpımsal olmasına rağmen tam çarpımsal değildir. 2.6. Teorem Her n için 7 1, d n 0, d |n n 1 [2]. n 1 İspat d d 1 1 olur. Eğer n=1 ise tanımdan d |n ġimdi n 1 için d |1 M n d olsun. çarpımsal olduğundan Teorem 2.2 gereği M de d |n k k çarpımsal olur. Böylece n nin standart biçimi n pi ise M n M pii i i 1 i 1 dır. Buna göre her i için d 1 p p p 1 1 0 0 0 M pii i 2 i i i d | pi i elde edilir. 2.7. Teorem (Möbius Ġnversiyon Formülü) f herhangi bir aritmetik fonksiyon olsun. Her n için F n f d olması d |n için gerek ve yeter Ģart f n F d n / d d F n / d olmasıdır [1]. d |n d |n İspat d F n / d d F d 1 d1d 2 n d |n d f d 1 d1d 2 n 2 d |d 2 d f d 1 d1d |n f d d1 d |n d1 | dn 8 olur. Bu son eĢitlikteki f d nin katsayısı durumunda olan ikinci toplam d n dıĢında sıfırdır. O halde son eĢitlik f n e eĢit olur. KarĢıt olarak Dirichlet çarpımının tanımına göre f n F d n / d F n d |n yazılabilir. u 1 olduğundan ve Dirichlet çarpımının birleĢme özelliğinden f u F u F u F F elde edilir. Bu F n f d u n / d f d olması demektir. d |n d |n 2.1. Sonuç n 1 olmak üzere n d n / d d d |n d |n n [1]. d İspat Her n için d n N n olduğunu biliyoruz. EĢitliğe Möbius inversiyon d |n formülü uygulanırsa n d n / d d d |n d |n olduğu kolayca görülür. n d 9 2.8. Teorem g ve h çarpımsal fonksiyonlar ve f g h ise f çarpımsaldır [1]. Ġki tam çarpımsal fonksiyonun Dirichlet konvülasyonunun tam çarpımsal olması gerekmez. 2.2. Sonuç f n g d olsun. f fonksiyonunun çarpımsal olması için gerek ve yeter Ģart d |n g fonksiyonunun çarpımsal olmasıdır. İspat f g u ve g f olduğu dikkate alınırsa Teorem 2.8 gereği ispat açıkça görülür. 2.3. Sonuç Euler fonksiyonu çarpımsaldır. İspat Her n için N ve çarpımsal olduğundan N Dirichlet çarpımı Teorem 2.8 gereği çarpımsaldır. n d n / d d d |n d |n n N n d eĢitliği göz önüne alınırsa Euler fonksiyonunun çarpımsal olduğu söylenebilir. 10 Euler fonksiyonu çarpımsal olmasına rağmen tam çarpımsal değildir. 2.2. Kısmi Sıralı Kümeler ve Latisler Kısmi sıralı kümeler P kümesi üzerinde bir bağıntısı verilsin. bağıntısı her x, y, z P için x x (yansıma), x y ve y x iken x y (ters simetri), x y ve y z iken x z (geçiĢme) özelliklerini sağlarsa P ye kısmi sıralı küme, bağıntısına da kısmi sıralama bağıntısı kısaca sıra adı verilir ve P, Ģeklinde gösterilir. P, kısmi sıralı kümesinde a b ifadesinin anlamı b a demek değildir, a b olmaması demektir. P, kümesinde x, y P elemanları için x y veya y x ise x ile y karşılaştırılabilir aksi taktirde x ile y karşılaştırılamaz denir ve x y olarak gösterilir [4]. P kısmi sıralı küme ve Q P olsun. “ Q kümesi üzerinde x y P kümesi üzerinde x y ” ile Q da tanımlanan bağıntısına indirgenmiş sıralama bağıntısı ve Q kümesine de P kümesinin indirgenmiş alt sıralı kümesi denir [4]. P kısmi sıralı küme olsun. x, y, P için x y veya y x oluyorsa yani P deki her bir iki eleman karĢılaĢtırılabiliyorsa P kümesine zincir veya tam sıralı küme veya doğrusal sıralı küme adı verilir. Aksi halde P kümesinden aldığımız herhangi iki eleman karĢılaĢtırılamıyorsa P kümesine anti zincir denir [4]. 11 P bir sıralı küme ve x, y, P olsun. x y iken x z y olacak Ģekilde z P yoksa y , x i kaplar veya x , y tarafından kaplanır denilir ve x y ile gösterilir. Örneğin , zincirinde m n olması için gerek ve yeter Ģart n m 1 olmasıdır. 2.1. Tanım P bir sonlu kısmi sıralı küme olsun. 1) P nin her bir x elemanı için düzlemde bir nokta karĢılık getirelim ve bu noktayı küçük bir çember ile gösterelim. 2) P deki x y olacak Ģekilde x ve y çifti için x ve y ye karĢılık getirdiğimiz çemberleri bir doğru parçası ile birleĢtirelim. 3) (1) ve (2) yi Ģu koĢulları sağlayacak Ģekilde gerçekleĢtirelim: a ) x y ise x e karĢılık gelen çember y ye karĢılık gelen çemberden daha aĢağıda yer alsın ve b) z x ve z y ise z noktasına karĢılık gelen çember; x ve y yi birleĢtiren doğru parçasını kesmesin. P için (1) (3) koĢullarını sağlayan diyagrama P nin Hasse diyagramı denir[4]. Örnek D 1, 2,3, 4, 6,8,9,12,18, 24 kümesi bölünebilme bağıntısı ile bir kısmi sıralı kümedir. Bu kısmi sıralı kümenin Hasse diyagramı 24 18 12 6 8 4 9 3 2 1 ġekil 2.1. D,| nin Hasse Diyagramı 12 P bir kısmi sıralı küme olsun. Her x P için y x olacak Ģekilde bir y P varsa y elemanına P nin tabanı denir ve ile gösterilir. Her x P için x z olacak Ģekilde bir z P varsa z ye P nin tavanı denir ve ile gösterilir. Sonlu bir zincir taban ve tavana sahiptir. Fakat sonsuz bir zincir tavan ve tabana sahip olmayabilir. Örneğin zincirinin tabanı 1 dir fakat tavanı yoktur. Elemanı birden fazla olan bir antizincirde ve yoktur. Aksine tek elemana sahip bir antizincirde ve vardır. P de taban varsa tektir. Benzer Ģekilde P de tavan varsa tektir. P bir kısmi sıralı küme ve Q P olsun. a x ve x Q iken a x Ģartını sağlayan a Q ya Q nun maksimal elemanı denir. Q nun maksimal elemanlarının kümesi MaxQ ile gösterilir. Eğer Q ( P den indirgenen sıralama ile) bir tavana sahipse Max Q Q . Bu durumda Q ya Q nun en büyük elemanı denir ve Q max Q . Bir kısmi sıralı kümede minimal eleman ve en küçük eleman benzer biçimde tanımlanır. Latisler ve tam latisler P sıralı kümesinin bir çok özelliği P nin alt kümelerinin üst ve alt sınırlarının varlığı cinsinden ifade edilir. Sıralı kümelerin bu Ģekilde tanımlanan iki önemli sınıfı latis ve tam latislerdir. de kapalı ve sınırlı bir aralığının en küçük üst sınıra (supremum) ve en büyük alt sınıra (infimum) sahip olması, reel sayıların temel özelliklerinden birisidir. Bu ifade herhangi bir sıralı küme için de geçerlidir. P kısmi sıralı bir küme ve S P olsun. Her s S için s x olacak Ģekildeki x P elemanına S kümesinin bir üst sınırı, benzer Ģekilde her s S için y s olacak Ģekildeki y P elemanına S kümesinin bir alt sınırı denir. S nin tüm üst sınırlarının kümesi S u ile gösterilir ve açıkça S u x P :s S için s x . S nin tüm alt sınırlarının kümesi S ile gösterilir ve açıkça S x P :s S için s x . 13 S u kümesinin bir en küçük elemanı varsa bu elemana S kümesinin en küçük üst sınırı (eküs S ), S kümesinin bir en büyük elemanı varsa bu elemana S kümesinin en büyük alt sınırı (ebas S ) denir. S nin en küçük üst sınırına supremum benzer Ģekilde S nin en büyük alt sınırına infimum da denilir. S P olduğu durumda P nin tavanı varsa sup P , aksi halde P nin supremumu yoktur. Benzer Ģekilde P nin tabanı varsa inf P aksi halde P nin infimumu yoktur. P ise S u u P ve P nin tabanı vardır ancak ve ancak sup dır. S P ve P nin tavanı vardır ancak ve ancak inf dır. ġimdi latis ve tam latisi tanımlamadan önce bazı notasyonlarımızı verelim. Eğer varsa sup x, y yerine x y notasyonu kullanılır ve x join y olarak okunur. Aynı Ģekilde varsa inf x, y yerine x y notasyonu kullanılır ve x meet y olarak okunur. Ayrıca S kümesinin supremum ve infimumu varsa sup S yerine S , inf S yerine S notasyonu kullanılır [4]. 2.2. Tanım P boĢtan farklı kısmi sıralı bir küme olsun (i ) Her x, y P için x y ve x y mevcut ise P kümesine latis, (ii) Her S P için S ve S mevcut ise P kümesine tam latis denir [4]. 2.3. Tanım L kümesi bir latis ve M , L nin boĢtan farklı bir alt kümesi olsun. Eğer a, b M için a b M ve a b M ise M kümesine L kümesinin bir alt latisi denir [4]. 14 2.4. Tanım S , P kısmi sıralı kümesinin alt kümesi olsun. a S ve P de b a iken b S oluyorsa S kümesine alt-kapalı denir [4]. 2.5. Tanım L kümesi bir kısmi sıralı küme olsun. Her a, b L için a b mevcut ise L kümesine meet yarı latis denir. BoĢtan farklı bir S L kümesi verilsin. Eğer her a, b S için a b S oluyorsa S kümesine meet-kapalı denir[4]. Benzer Ģekilde L kümesi bir kısmi sıralı küme olsun. Her a, b L için a b mevcut ise L kümesine join yarı latis denir. BoĢtan farklı bir S L kümesi verilsin. Eğer her a, b S için a b S oluyorsa S kümesine join-kapalı denir[4]. Örnek 12 nin pozitif tamsayı bölenleri, bölünebilme bağıntısı ile bir latistir. 12 4 6 3 2 1 ġekil 2.2 B12 ,| nin Hasse diyagramı adi sıralama ile bir latistir ancak bir tam latis değildir. Gerçekten S x : x 2 5 kümesi için S ve S yoktur. 15 2.3. Graf Teorisi Graf teorisinin uygulamaları karmaĢık ve geniĢ kapsamlı birçok problemin çözümünde kullanılmaktadır. Bu bölümde yalnızca çalıĢmamızda kullanacağımız graflarla ilgili temel araçlardan bahsedilecektir. 2.6. Tanım Ayrık V ve E kümesi verilsin. Bir G grafı; V , E kümeleri ve E nin her bir elemanını V nin farklı olmaları gerekmeyen bir eleman çifti ile eĢleyen bir incidence fonksiyonunun oluĢturduğu G(V , E, ) üçlüsüdür. Burada V nin elemanlarına G nin köşeleri ya da noktaları ve E nin elemanlarına G nin kenarları denir[5]. Kısalık için çoğu kez G(V , E, ) yerine G(V , E) kullanacağız. Birden fazla graf olması durumunda G grafını notasyonunu V (G), E (G) ile göstereceğiz. Örnek V (G ) v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , E (G) e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 G (e2 ) v2v3 , G (e1 ) v1v2 , G (e3 ) v3v3 , ve G (e4 ) v3v4 , G fonksiyonu G (e5 ) v2v4 , G (e6 ) v4v5 , G (e7 ) v2v5 , G (e8 ) v2v5 olsun. G (V (G), E (G), G ) grafı e3 e2 v2 v3 e4 e1 e5 v4 e7 e8 e6 v5 ġekil 2.3. G grafı v1 16 Ģeklindedir. Bir grafın çiziminde tek bir yol yoktur. Önemli olan grafın noktaları ile kenarları arasındaki bağlantılardır. Bir grafta iki köĢe; bir kenar ile bağlı ise komşu, bir kenar aynı nokta ile bağlı ise bu kenara döngü, farklı iki nokta ile bağlı ise bu kenara link denilir [5]. Graflar, V ve E kümelerinin çeĢitli özelliklerine göre sınıflandırılırlar. V ve E sonlu ise G ye sonlu graf; bir tek noktadan oluĢan grafa trivial graf, kenarları sadece köĢelerde kesiĢen graflara düzlemsel graf, her bir kenarı sıralı nokta çifti ile iliĢkilendirilmiĢ ve her kenarı yönlü olan grafa da yönlü graf denilmektedir. Bunun yanı sıra, herhangi iki köĢesi en fazla bir link ile bağlı olan döngüsüz grafa, basit graf; basit grafta her bir nokta çiftinin bir kenarla bağlantılı olduğu grafa tam graf ve her bir kenarının bir ucu X de diğer ucu Y de olmak üzere nokta kümesini X ve Y Ģeklinde iki parçaya ayırabildiğimiz graflara da iki parçalı graf adı verilmektedir [5]. 1 2 3 3 4 4 6 6 ġekil 2.4. Ġki parçalı graf Yollar 2.7. Tanım Terimleri sıralı noktalar ve kenarlardan oluĢan boĢ olmayan bir sonlu W v0e1v1e2v2 ek vk dizisi verilsin. 1 i k için uç noktaları vi 1 ve vi olmak üzere W ye (vo , vk ) yürüyüşü (walk) denir [5]. 17 2.8. Tanım Eğer W yürüyüĢünde e1 , e2 ,..., ek kenarları farklı ise W yürüyüĢü patika (trail), kenarlara ek olarak v0 , v1 ,..., vk noktaları da farklı ise W yürüyüĢü, yol (path) olarak adlandırılır[5]. Bir yürüyüĢün baĢlangıç ve bitiĢi aynı noktadan oluĢuyorsa kapalıdır. En az bir link içeren basit kapalı bir yol devir olarak adlandırılır. Bir grafın her bir kenarı ağırlık olarak adlandırılan w(e) reel sayısı ile eĢleĢtirildiği takdirde bu grafa, ağırlıklı graf denir. Sonlu, devirsiz bir G(V , E) yönlü grafı verilsin. Bu grafta herhangi bir A ve B nokta çifti arasında sonlu bir çok yol olsun. A dan A ya olan yolların uzunluğu sıfır kabul edilsin ve her bir e kenarı w(e) ağırlığı ile eĢleĢtirilsin. A dan B ye olan yönlü yollar P olup kısaca P : A B ile gösterilsin. Bu durumda P nin ağırlığı w( P) w(e) olarak tanımlanır. eP 18 3. GCD ve LCM MATRİSLERİ S x1 , x2 ,, xn elemanları pozitif tamsayılar olan bir küme ve x1 x2 xn olsun. ( xi , x j ) ve [ xi , x j ] sırasıyla xi ile x j tamsayılarının en büyük ortak böleni ve en küçük ortak katını göstersin. n n tipinde S ( xi , x j ) matrisine S kümesi üzerinde en büyük ortak bölen (Greatest Common Divisor, GCD) matrisi denir. Benzer biçimde S [ xi , x j ] matrisine S kümesi üzerinde en küçük ortak kat (Least Common Multiply, LCM) matrisi denir[6]. Bu bölümde GCD ve LCM matrisleri ve bu matrisler ile ilgili yapılan çalıĢmaları ele alacağız. Smith (1876), S kümesinin çarpan kapalı olması durumunda S ( xi , x j ) matrisinin determinantının x1 x2 xn olduğunu göstermiĢtir. 1989 da Beslin ve Ligh S ( xi , x j ) matrisini, GCD matrisi olarak adlandırarak konuyu yeniden baĢlatmıĢlardır. Beslin ve Ligh GCD matrislerinin pozitif tanımlı olduğunu ve bu matrislerin özel bir matris ile onun transpozunun çarpımı Ģeklinde yazılabileceğini göstermiĢlerdir. S , elemanları pozitif tamsayılar olan bir küme olsun. Eğer S kümesinin her elemanının pozitif bölenleri yine S nin elemanları ise S ye çarpan kapalıdır (Factor Closed, çarpan kapalı) denir [6]. Eğer 1 i, j n için ( xi , x j ) S ise S ye gcd-kapalı denir. Her çarpan kapalı küme gcd-kapalıdır fakat bunun karĢıtı doğru değildir [7]. Bundan sonra aksi belirtilmediği sürece S kümesi olarak elemanları pozitif tamsayılar olan x1 , x2 ,, xn kümesi anlaĢılacaktır. 19 3.1. Teorem S x1 , x2 ,, xn ve D d1 , d 2 ,, d m , S yi kapsayan çarpan kapalı bir küme olsun. S üzerinde tanımlanan GCD matrisi, n m tipindeki bir A matrisi ile A nın transpozunun çarpımı Ģeklindedir [6]. İspat D d1 , d 2 ,, d m , S yi kapsayan çarpan kapalı bir küme olsun. j d j ve 1, d j | xi eij 0, aksi halde 1 olmak üzere elemanları aij eij j 2 olan n m tipindeki A matrisi verilsin. Bu durumda m ( AAT )ij aik a jk k 1 (d k ) (d k ) d k | xi dk |x j (d k ) d k |( xi , x j ) ( xi , x j ) sij . O halde S AAT . Diğer yandan E eij ve diag d1 , d 2 ,, d m olsun. E n m tipinden bir (0-1) matrisi ve m m tipinden bir köĢegen matristir. Bu yeni gösterimlerle Teorem 3.1 den ( S ) matrisinin ( S ) E E T Ģeklinde yazılabileceği 20 görülür. ġimdi Smith, Belsin ve Ligh tarafından verilen sonuçları kolayca elde edebiliriz. 3.2. Teorem S x1 , x2 ,, xn kümesi üzerinde tanımlanan bir GCD matrisi pozitif tanımlıdır[6]. 3.1. Sonuç S x1 , x2 ,, xn kümesi çarpan kapalı ise det S x1 x2 xn [6]. İspat S kümesi çarpan kapalı ise S E E T olarak yazılabilir. E bir birim alt üçgen matris ve bir köĢegen matris olduğundan det S det E E T det E det det E T x1 x2 xn elde edilir. Beslin ve Ligh gcd-kapalı kümeler üzerinde tanımlı olan GCD matrislerinin determinantını hesaplayarak Smith‟in bulduğu sonucu genellemiĢlerdir. 3.1. Önerme S x1 , x2 ,, xn gcd-kapalı bir küme ve x1 x2 xn olsun. Her i, j 1, 2,, n için 21 Cij (d ) xk |( xi , x j ) d | xk d | xt t k ise Cij ( xi , x j ) dir[8]. İspat Teorem 2.4. ten ( xi , x j ) (e) olduğu açıktır. xk | ( xi , x j ) ve d | xk olsun. e|( xi , x j ) Buradan açıkça d | ( xi , x j ) olup öyleyse Cij yi tanımlayan toplamlardaki her bir d , ( xi , x j ) yi tanımlayan toplamdaki bir e dir. Diğer yandan e | ( xi , x j ) olsun. S gcd- kapalı olduğundan ( xi , x j ) S . Yani ( xi , x j ) xm olacak Ģekilde bir xm S vardır. x1 x2 xn olduğundan m min i, j . Açıkça d | xm . Ayrıca k m ve e | xk olacak Ģekildeki en küçük indis k olsun. Buradan t k için d | xt . ( xk , xi ) xr olsun. Burada r k olduğu açıktır. Diğer yandan e | xk ve e | xi olduğundan e | xr . r k olması, k nın seçiliĢi ile çeliĢir. Çünkü k indisi, e | xk olacak Ģekildeki en küçük indisti. O halde r k olmak zorundadır. Buradan xr xk ve xk | xi . Benzer Ģekilde xk | x j olduğu da gösterilebilir. Bu yüzden xk | ( xi , x j ) . Bu ispatı tamamlar. 3.3. Teorem S x1 , x2 ,, xn gcd-kapalı bir küme ve x1 x2 xn olsun. ( S ) GCD matrisi bir alt üçgen matris ve bir birim üst üçgen matrisin çarpımıdır. i 1, 2,, n için ii (d ) d | xi d | xt t i 22 olmak üzere det(S ) 11 22 nn [8]. İspat Her i, j 1, 2,, n için (d ), x j | xi d | x j aij d | xt t j 0, aksi halde olmak üzere A (aij ) matrisini ele alalım. A nın transpozuna karĢılık gelen B (bij ) matrisinin elemanları AT nun (i, j) elemanı sıfır ise bij 0 , aksi halde bij 1 olacak Ģekilde tanımlansın. O halde n ( AB)ij aik bkj k 1 a ik . xk | xi xk | x j Bu eĢitlik Cij toplamında bulunduğundan ( AB)ij ( xi , x j ) . A bir alt üçgen ve B bir birim üst üçgen matris olduğundan det( B) 1. Bu nedenle det(S ) det( A) 11 22 nn . GCD matrisleri pozitif tanımlı olduğundan eğer S birbirinden farklı pozitif tamsayılardan oluĢan bir küme ise det S x1 x2 xn dir [7]. GCD matrislerinin determinantı için elde edilen bu üst sınır Li tarafından x1 . x2 xn det S x1 x2 xn n ! 2 23 olarak geliĢtirilmiĢtir [9]. Bu sonuçlardan birbirinden farklı pozitif tamsayıların oluĢturduğu herhangi bir S kümesi üzerinde tanımlanan GCD matrisinin tersinir olduğu söylenebilir. 3.4. Teorem S x1 , x2 ,, xn elemanları pozitif tamsayılar olan bir küme olsun. Eğer S çarpan kapalı ise S kümesi üzerinde tanımlanan GCD matrisinin tersi aij 1 x x k xi | xk / xi xk / x j k x j | xk olmak üzere A aij matrisidir [7]. İspat n n tipindeki E eij matrisi Teorem 3.1 deki gibi olsun, U uij matrisi xi / x j , x j | xi uij 0, aksi halde Ģeklinde tanımlansın. Bu durumda 24 n EU ij eik ukj k 1 x k / xj x j | xk xk | xi x k xk | xi / x j x j xi 1, 0, aksi halde. Bu nedenle U E 1 . S E E T ve diag x1 , x2 ,, xn olduğu dikkate alınırsa S U T 1U aij olup 1 n 1 uki ukj k 1 xk aij 1 x x k xi | xk x j | xk / xi xk / x j . k Örnek S 1, 2,3, 6 olsun. S kümesi üzerinde tanımlanan GCD matrisi 1 1 S 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 3 2 3 6 olup S aij denirse Teorem 3.4 den 1 a11 1 1 1 1 1 1 3 3 , a22 1 2 3 6 2 6 2 25 a21 1 1 3 1 1 , a33 1 2 6 2 3 6 a31 1 1 1 1 1 , a44 3 6 6 2 a41 1 1 1 1 , a42 6 2 6 2 a43 1 1 1 1 , a32 6 2 6 2 bulunur ve S simetrik olduğundan 1 3 / 2 1 1/ 2 3 3 / 2 3 / 2 1/ 2 1/ 2 1 . S 1 1/ 2 1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 Eğer S gcd-kapalı ise S GCD matrisinin tersi; aij xi | xk x j | xk cik c jk bk , bi d ve c ij d | xi d | xt xt xi d dxi | x j dxi xt xt x j olmak üzere A aij matrisidir [7]. Smith çarpan kapalı küme üzerinde tanımlanan LCM matrisinin determinantının x1 x2 xn x1 x2 xn 26 olduğunu göstermiĢtir [7]. Buradaki fonksiyonu, p r asalı için p r p Ģeklinde tanımlanan çarpımsal bir fonksiyondur. Bu nedenle çarpan kapalı bir küme üzerinde tanımlanan LCM matrisi tersinirdir. Fakat LCM matrisinin temel minörleri her zaman negatif olduğundan genelde pozitif tanımlı değildir. Herhangi bir LCM matrisi tersinir olmayabilir. Örneğin S 1, 2,15, 42 ise det S 0 dır. Ayrıca S kümesi gcd-kapalı olduğunda i g (d ) olmak üzere d | xi d | xt xt xi n det S xi 2 i [7]. i 1 3.5. Teorem g fonksiyonu her m için g m m m 1 d d m d |m m2 ile verilsin ve S x1 , x2 ,, xn olsun. Eğer S kümesi çarpan kapalı ise S LCM matrisinin tersi; bij 1 xi x j 1 g x x k xi | xk / xi xk / x j k x j | xk olmak üzere B bij matrisidir [7]. 27 Örnek S 1, 2,3, 6 olsun. Bu durumda 1 2 S 3 6 2 3 6 2 6 6 6 3 6 6 6 6 ve Teorem 3.5 kullanılarak S matrisinin tersinin 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4 1 S 1/ 2 1/ 2 1/ 6 1/ 6 1/ 2 1/ 2 1/ 4 1/ 6 olduğu görülür. Smith‟in elde ettiği sonuçlardan, eğer S çarpan kapalı ise S kümesi üzerinde tanımlı S GCD matrisinin S LCM matrisini böldüğü elde edilmiĢtir [7]. ġimdi S kümesi çarpan kapalı ve n olmak üzere M n halkasının elemanı olan S matrisinin bir çarpanının S matrisi olduğu gösterilecektir. Öncesinde bu sonucun ispatı için aĢağıdaki lemma verilecektir. 3.1.Lemma m, r ve t r / m, r olsun. pi ler farklı asallar olmak üzere m p11 p22 pk k ise 28 0, m, r d , r m / d d |m t m , pii | r 1 i k aksi halde. [7]. İspat d m / d Ģeklinde tanımlanan çarpımsal d |m d , r Eğer f , her m için f m bir fonksiyon ise m, r rf m . Diğer yandan p 1 asalı için 0, p | r p p f p 1 p p , r p , r p , r , aksi halde 1 olup bu nedenle 1 i k için pii | r ise f m 0 , aksi halde m / m, r dir. 3.6. Teorem S x1 , x2 ,, xn olsun. Eğer S kümesi çarpan kapalı ise S matrisi, bir tamsayı elemanlı bir matris ile S matrisinin çarpımına eĢittir [7]. İspat B bij matrisi elemanları bij x x 1 k x j | xk k / x j d , xi xk / d d | xk 29 olan n n tipindeki kare matris olsun. Lemma 3.1 den her bir bij bir tamsayıdır. Gerçekten 0, t xk , xk , xi d , xi xk / d d | xk pii | xi 1 i k aksi halde olduğu dikkate alınırsa 0, 1 bij xk / x j xk , xi t x / x , k j x j | xk xk x j | xk pii | xi 1 i k aksi halde eĢitliğinden her bir bij nin tamsayı olduğu görülür. S B S olduğunu göstermek istiyoruz. Teorem 3.4 ü kullanarak S S 1 xk / xm xk / x j xm | xk xk n xi , xm 1 ij m 1 x j | xk x x 1 k x j | xk k / x j d , xi xk / d . d | xk buluruz. Bu nedenle S B S . Diğer yandan S ve S simetrik olduğundan S S B . Burada S kümesinin çarpan kapalı olmaması durumunda Teorem 3.6 nın iddiasının her zaman geçerli olmayacağını vurgulamalıyız. Örneğin, 2 1 1 2 6 10 S 2,3,5 ise S 1 3 1 , S 6 3 15 olup 1 1 5 10 15 5 30 S 1 7 /11 2 /11 1/11 2 /11 9 / 22 1/ 22 ve 1/11 1/ 22 5 / 22 S S 1 11 8 . 11 ġimdi S kümesi üzerinde tanımlı GCD matrisleri ile benzer özellikler gösteren bir matris tanımlayalım. C s aritmetik foksiyonların bir sınıfı olmak üzere f ( x , x ) : f C GCD matrisleri ile benzer özellikler gösterir [10]. Burada i j s matrisleri f ( x , x ) , elemanları i j xi ile x j nin en büyük ortak böleninin f altındaki görüntüsünden oluĢan n n tipindeki matristir. Benzer olarak f [ x , x ] i j ise elemanları xi ile x j nin en küçük ortak katının f altındaki görüntüsünden oluĢan n n tipindeki matristir [10]. S x1 , x2 ,, xn elemanları pozitif tamsayılar olan bir küme olsun ve aritmetik fonksiyonların Cs f : x S , d | x ve ( f )(d ) 0 sınıfını ele alalım [10]. Gerçekten f Cs ise her x S için f ( x) f (d ) 0 . d |x 3.7. Teorem S kümesi pozitif tamsayıların bir kümesi ve f Cs ise (i) f ( xi , x j ) pozitif tanımlıdır. (ii) ( f )( x1 )( f )( x2 ) ( f )( xn ) det f ( xi , x j ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) (iii) S çarpan kapalı ise det f ( xi , x j ) ( f )( x1 )( f )( x2 ) ( f )( xn ) [10]. 31 3.2. Sonuç S x1 , x2 ,, xn f (x , x ) i aij 1 j kümesi çarpan kapalı ve xS için ( f )( x) 0 ise aij öyle ki 1 ( f )( x ) ( x k xi | xk / xi ) ( xk / x j ) [10]. k x j | xk f aritmetik fonksiyon olmak üzere 1 aritmetik fonksiyonu f f ( m) 0 0, 1 ( m) 1 f f ( m ) , aksi halde olarak verilsin. 3.8. Teorem f çarpımsal bir fonksiyon, S x1 , x2 ,..., xn kümesi çarpan kapalı ve x S için f ( x) 0 ise n 1 (i) det f [ xi , x j ] [ f ( xi )]2 ( xi ); i 1 f (ii) Eğer det f [ xi , x j ] 0 ise f [ xi , x j ] aij öyle ki 1 1 1 1 aij ( xk ) ( xk / xi ) ( xk / x j ) ; f ( xi ) f ( x j ) xi |xk f x j | xk 32 (iii) Eğer 1 Cs ise f [ xi , x j ] pozitif tanımlıdır ve f det f [ xi , x j ] f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) [10]. İspat g 1 ve E diag f ( x1 ), f ( x2 ),, f ( xn ) olsun. Herhangi bir m ve n pozitif f tamsayıları için f çarpımsal bir fonksiyon ise f [m, n] f (m, n) f (m) f (n) . f [ x , x ] E g ( x , x ) E Bu nedenle i j i T j yazılabilir. O halde Teorem 3.7 (iii) ve Sonuç 3.2 g ( xi , x j ) matrisine uygulanırsa (i ) ve (ii) elde edilmiĢ olur. Teorem 3.7 (ii) den eğer g Cs ise g ( x , x ) AA T i j g(x , x ) i j matrisi pozitif tanımlıdır. Bu nedenle olacak Ģekilde A tersinir matrisi vardır. x S için f ( x) 0 ve f [ x , x ] [ AE ] [ AE ] T i j olup 1 Cs olduğundan her f f [ x , x ] i j tanımlıdır. 3.9. Teorem f çarpımsal ve 1 Cs ise f (i) f [ xi , x j ] pozitif tanımlıdır. n (ii) [ f ( x )] 2 i 1 i 1 ( xi ) det f [ xi , x j ] f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) f n 1 (iii) det f [ xi , x j ] [ f ( xi )]2 ( xi ) S çarpan kapalıdır. i 1 f matrisi pozitif 33 3.2. Lemma m ve r pozitif tamsayılar ve f , r nin herhangi bir d böleni için f (d ) 0 olacak Ģekildeki bir çarpımsal fonksiyon olsun. Eğer t r / (r, m) ve pi ler birbirinden farklı asallar olmak üzere m p11 p22 pk k ise d |m 0, pii | r f [d , r ] (m / d ) f (t )( f )(m), aksihalde [10]. 3.10. Teorem S , çarpan kapalı ve f çarpımsal olsun. Her x S için ( f )( x) sıfırdan farklı bir tamsayı ise f [ x , x ] A f ( x , x ) i j i j olacak Ģekilde bir tamsayı elemanlı A (aij ) matrisi vardır öyle ki aij ( f )( x ) 1 k x j | xk ( xk / x j ) f [d , xi ] ( xk / d ) [11]. d | xk Ayrıca K. Bourque ve S. Ligh S kümesi çarpan kapalı olduğu zaman f tam çarpımsal fonksiyon ise f [ x , x ] i j matrisinin tersini , f ve f fonksiyonları cinsinden hesaplamıĢlardır. Burada ve çarpımsal fonksiyonları p r asalı için ( p r ) 1 ve ( p r ) p olup f tam çarpımsal ise her m için f (m)( f )(m) (m)( f )(m)( f )(m) [10]. Apostol, (m, r ) f d |( m, r ) ve g aritmetik fonksiyon olmak üzere m, r için f (d ) g (r / d ) Ģeklinde tanımlanan (i, j ) matrisinin determinantını, 34 det (i, j ) [ g (1)]n f (1) f (2) f (n) olarak hesaplayarak, f aritmetik fonksiyonu için f (r ) f (d ) olmak üzere d |r A f (m, k ) matrisinin determinantının det A f (1) f (2) f (n) olduğunu gösteren Smith‟in bu sonucunu geniĢletmiĢtir [12]. Ayrıca (m, r ) f (d ) g (r / d ) toplamında f ( n) n ve g seçerek d |( m, r ) det (i, j ) det C (i, j ) n ! C (m, r ) olduğunu göstermiĢtir ki burada d (r / d ) Ramanujan toplamıdır. d |( m, r ) Bourque ve Ligh, Apostol ve Smith‟in yaptığı bu çalıĢmalardan yola çıkarak (i, j ) matrislerinin yapısı ve terslerine dair yeni sonuçlar elde etmiĢlerdir. m pozitif tamsayı olmadığı taktirde sıfıra eĢit olan f (m) , g (m) ve h(m) aritmetik fonksiyonlarının Dirichlet tersi sırasıyla f ' , g ' , ve h ' olarak verilsin. Her m, r için (m, r ) f (d ) g (m / d )h(r / d ) olsun. Burada her d için g u (d ) 1 d |( m,r ) olarak alınırsa (m, r ) nin Ramanujan toplamı ve m r alındığı taktirde ise (m, r ) nin (m, m) ( f h)(m) olduğu görülür. 3.3. Lemma T y1 , y2 ,, ym ( x , x ) GH i j S T kümesini içeren çarpan kapalı bir küme ise . Burada G ve H , G g ( xi / y j ) , H h( xi / y j ) biçiminde tanımlı n m tipinde matrisler ve diag ( f ( y1 ), f ( y2 ),, f ( ym )) [11]. 35 İspat GH T çarpımı hesaplandığı taktirde ( xi , x j ) GH T olduğu kolayca görülür. 3.4. Lemma 1 S çarpan kapalı bir küme ise f ( xi / x j ) f '( xi / x j ) [11]. İspat f ( x / x ) ve f '( x / x ) i j i m f ( x / x ) f '( x i k 1 k k j matrislerinin çarpımı hesaplanırsa xi x j 1, / x j ) f '(d ) f ( xi / x j d ) . x 0, aksi halde d | xi j 3.11. Teorem S çarpan kapalı bir küme ise (i) det ( xi , x j ) [ g (1)h(1)]n f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) ; (ii) det ( xi , x j ) 0 ise ( xi , x j ) (aij ) öyle ki 1 aij 1 h '( xk / xi ) g '( xk / x j ) . f ( xk ) xi | xk x j | xk İspat ( x , x ) GH i j T ve G ve H nin köĢegenleri g (1) , h(1) olan üçgen matris ve diyagonal matris olduğundan (i ) sağlanır. 36 det ( xi , x j ) 0 ise ( xi , x j ) (GH T ) 1 olup Lemma 3.4 den (ii) eĢitliği 1 görülür. Teoremde h u(d ) 1 olarak alınırsa h ' olup det ( xi , x j ) det ( xi , x j ) [ g (1)]n f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) ve det ( xi , x j ) 0 ise (x , x ) i aij 1 j xi | xk (aij ) öyle ki 1 ( xk / xi ) g '( xk / x j ) [11]. f ( xk ) x j | xk 3.3. Sonuç S x1 , x2 ,, xn , çarpan kapalı bir küme ise (i) det C ( xi , x j ) x1 x2 xn ; (ii) aij 1 x xi | xk ( xk / x j ) olmak üzere C ( xi , x j ) aij [11]. 1 k x j | xk İspat Her d için f (d ) d , g u ve h alınırsa C ve Teorem 3 11 den (i ) ve (ii) nin sağlandığı görülür. 37 4. GCD MATRİSLERİ ve KESİŞMEYEN YOLLAR Bu bölümde yönlü graflarda kesiĢmeyen yollar kullanılarak literatürdeki GCD matrisleri ile ilgili sonuçların kombinatoriyel olarak yeniden elde edildiği çalıĢmaları ele alacağız. Bu bölümde aksi belirtilmedikçe sonlu ve yönlü graf yerine sadece graf ifadesi kullanılacaktır. KöĢeleri V kümesi ve kenarları A kümesi olan D grafı verilsin. R değiĢmeli ve birimli bir halka olmak üzere ağırlık fonksiyonu : A R olsun. k p : v0v1 vk yönlü yoluna ( p) (vi 1vi ) ağırlığı atansın. Ayrıca i 1 (v0 , vk ) ( p) olsun. Burada toplam, v0 dan vk ya olan bütün yollar üzerinden p alınmaktadır. V noktalar kümesi V ' v1' , , vn ' ve V '' v1'' , , vn '' biçiminde iki kümeye ayrılsın. 1 i n olmak üzere her i için pi ler vi ' den vi '' ye yollar olmak üzere n ( p1 ,, pn ) sıralı n lisini ele alalım. nin ağırlığı ( ) ( pi ) ve i 1 (V ',V '') ( ) olarak atansın. Burada toplam, sıralı n lide herhangi ikisi kesiĢmeyen bütün ler üzerinden alınmaktadır. Son olarak S n simetrik grubunda bir g permütasyonu verilsin, g ( p1 ,, pn ) ; her bir i için pi ; vi den vg (i ) ye gidecek Ģekilde yönlü yolların bir sıralı n lisi olarak tanımlansın. Öyleyse bir önceki paragrafta ele alınan sıralı n liler için e birim permütasyon olmak üzere g e olacaktır. g deki herhangi bir yol çifti kesiĢiyor ise g ye kesiĢiyor aksi halde kesiĢmiyor denilmektedir[14]. 38 4.1. Lemma D , nokta kümesi V ' v1' , , vn ' ve V '' v1'' , , vn '' biçiminde iki kümeye ayrılmıĢ bir graf olsun öyle ki eğer g e ise g kesiĢiyor olsun. dij (vi ' , v j '' ) olmak üzere ( D) (dij ) matrisi için det( D) (V ',V '') [13]. P kısmi sıralı bir küme ve ( P, R) , R üzerinde a b olmadığı durumda F (a, b) 0 olarak tanımlanan F : P P R biçimindeki bütün F fonksiyonlarının oluĢturduğu P nin incidence cebiri olsun. ( P, R) nin birim elemanı ab 1, 0, aksi halde ( a, b) Kronecker delta fonksiyonudur. ( P, R) cebirinin ab 1, 0, aksi halde ( a, b) Ģeklinde tanımlı zeta fonksiyonunun tersine ( P, R) nin Möbius fonksiyonu denir ve ile gösterilir. Diğer bir ifadeyle Möbius fonksiyonu ( P, R) de (a, c) (c, b) (a, b) a c b a c b eĢitliğini sağlayan tek fonksiyondur. 4.1. Teorem P bir sonlu kısmi sıralı küme ve F , G ( P, R) olsun. Bu durumda elemanları 39 pab F (c, a)G(c, b) olan ( P ) FG matrisinin determinantı cP det( P)FG F (a, a)G(a, a) [14]. aP İspat Öncelikle D grafı oluĢturulsun. D nin köĢeleri için P nin elemanlarının P ' , P '' ve P ''' Ģeklinde tanımlanan üç kopyası alınsın. Sonra P de c a olacak Ģekildeki elemanlardan a ' P ' den c ''' P ''' ye bir kenar ve benzer Ģekilde c b olacak Ģekildeki elemanlardan c ''' P ''' den b '' P '' ne bir kenar oluĢturulsun. Son olarak bu kenarlara (a ', c ''') F (c, a) ve (c ''', b '') G(c, b) ağırlıkları atansın. ġimdi a ' P ' den b '' P '' ne olan yolları düĢünelim. Öyle ki bu yollar p : a ', c ''', b '' biçimindedir ve burada c a ve c b dır. Böylece V ' P ' ve V '' P '' alınırsa da 'b '' (a ', b '') c a , c b F (c, a)G(c, b) pab olduğundan ( D) ( P) FG . Son olarak D nin Lemma 4.1. in hipotezini sağladığını göstereceğiz. KesiĢmeyen bir g sıralı n lisi alınsın. g e olduğu gösterilirse ispat tamamlanmıĢ olur. BaĢlama noktası a ' P ' olan yolu a ''' P ''' ye uzanan bir kenar takip etmelidir. Farz edelim ki bu yolu baĢlama noktası a ' için c ''' takip etsin. Bu durumda a c olduğunu biliyoruz. ġimdi ise baĢlangıç noktası c ' olan g deki baĢka bir yolu alalım. Bu yol bir önce aldığımız yol ile kesiĢmeyeceği için c ' noktasını c d olacak Ģekildeki d ''' noktası takip etsin. Bu Ģekilde devam edilirse P de azalan sonsuz bir zincir oluĢturulur. Hâlbuki P sonlu idi. Bu yüzden iddiamız doğrudur. Yani a ' ile baĢlayan yol, a ''' den a '' ye devam etmelidir o halde g e . Böylece e nin sadece 40 kesiĢmeyen yollardan oluĢtuğunu göstermiĢ olduk. Bu yüzden tanımladığımız ağırlık fonksiyonu ve Lemma 4.1. den det( D) ( e ) F (a, a)G(a, a) . aP b c a ġekil 4.1 Bir P Kısmi sıralı kümesi Örnek ġekil 4.1 de Hasse diyagramı verilen P kısmi sıralı kümesini ele alalım. a, b, c lineer sırası dikkate alınırsa F (a, a)G (a, b) F ( a , a )G ( a , c ) F (a, a)G (a, a) det F (a, b)G (a, a) F (a, b)G (a, b) F (b, b)G (b, b) F (a, b)G (a, c) F (a, c)G (a, a) F ( a , c ) G ( a , b ) F ( a , c ) G ( a , c ) F ( c , c ) G ( c , c ) F (a, a)G (a, a) F (b, b)G (b, b) F (c, c)G (c, c) F (a, a)G (a, a) aP elde edilir [14]. f ve g P kısmi sıralı kümesinden R halkasına tanımlı herhangi bir fonksiyon olsun. Teorem 4.1. de F (a, b) yerine F (a, b) f (a) ve G(a, b) yerine G(a, b) g (a) 41 alınsın. Bu durumda aĢağıdaki sonuç verilebilir. Bu sonuç aynı zamanda Apostol ve Daniloff‟un teoreminin genelleĢtirilmesidir[10]. 4.1. Sonuç P kısmi sıralı bir küme olsun. Elemanları pab F (c, a) f (c)G(c, b) g (c) ile cP tanımlanan ( P ) matrisinin determinantı det( P) F (a, a) f (a)G(a, a) g (a) [14]. aP ġimdi Pn 1, 2,, n kümesi üzerinde bölünebilme bağıntısıyla elde edilen kısmi sıralı kümeyi ele alalım. Sonuç 4.1 de P Pn , F (a, b) (a, b) , G : Pn R Ģeklinde tanımlanan G fonksiyonu için G(a, b) G(b / a) , ve her a P için g (a) 1 alındığı taktirde pab (c, a) f (c)G(b / c) ve cP det( Pn ) (a, a) f (a)G(1) aP f (1) f (2) f (n)G(1)n elde edilir. Bu son determinant formülünde a Pn için f (a) a ve sayılar teorisinin bilinen Möbiüs fonksiyonu olmak üzere G(a, b) (b / a) alınarak pab (c, a)c (b / c) cP c (b / c) c| a c (b / c) c| a c|b C ( a, b) 42 olduğu görülür. Buradan Apostol‟un elde ettiği det(C (a, b)) n! eĢitliği bulunur. Burada C (a, b) Ramanujan toplamıdır. Ayrıca P Pn , her a Pn için g (a) 1 ve a1/ k , a1/ k k (a) 0, aksi halde olmak üzere F (a, b) G(a, b) k (b / a) alınırsa Sonuç 4.1, Daniloff‟un elde ettiği det( Pn ) f (1) f (2) f (n) eĢitliğine dönüĢür. ġimdi kısmi sıralı küme L meet yarı latisi alınsın. Bu durumda Teorem 4.1 deki pab F (c, a)G(c, b) toplamında c P , c a b olacak Ģekilde kısıtlanabilir. cP 4.2. Teorem L bir sonlu meet yarı latis ve f ( L, R) olsun. Elemanları lab f (a b, a) olan ( L) f matrisinin determinantı det( L) f (c, a) f (c, a) [14]. aL cL İspat F ( L, R) fonksiyonu a b iken F (a, b) (c, a) f (c, b) ve aksi halde ca F (a, b) 0 olarak tanımlansın. Möbius inversiyon formülü f (a, b) F (c, b) eĢitliği elde edilir. Buradan lab f (a b, a) ca fonksiyonunun tanımı gereği kullanılarak F (c, a) ca b ve 43 lab F (c, a) F (c, a) (c, b) . ca b cL Böylece Teorem 4.1 den det( L) f F (a, a) (a, a) aL F (a, a). aL F (a, b) (c, a) f (c, b) olduğu dikkate alınırsa ca det( L) f F (a, a) aL (c, a) f (c, a) . aL cL ġimdi pozitif tamsayıların bir sonlu alt kümesi olan L nin çarpan kapalı olduğu durumda elde edilen matris ve determinantına bakalım. Her a S için f fonksiyonu f (a, b) a ile tanımlansın. Çarpan kapalı S kümesi üzerinde tanımlanan S ( sij ) matrisinin elemanları sij f (ai a j , ai ) olsun. Bu durumda S kümesi çarpan kapalı olduğundan F ( a , a ) ( c, a ) f ( c, a ) cS (a / c) c c| a (a ). O halde 44 det( S ) f F (a, a) (a, a) aS (a). aS Görüldüğü üzere belirli koĢullar altında Teorem 4.2 den Smith‟in determinantı elde edilir. P herhangi bir kısmi sıralı küme S P olsun. a S ve P de b a iken b S ise S kümesine alt-kapalı denildiğini biliyoruz. S pozitif tamsayıların bir alt kümesi ve bağıntı bölünebilme bağıntısı alındığı taktirde S çarpan kapalı bir kümedir. Özel olarak L kısmi sıralı kümesi bir meet yarı latis ve S alt-kapalı ise S de meet yarı latistir ve S deki Möbius fonksiyonu L deki ile aynıdır. S meet yarı latis olduğundan Teorem 4.2 uygulanabilir. S L meet kapalı ise Teorem 4.2 deki eĢitliğe benzer L nin Möbius fonksiyonunu içeren bir ifade elde edilebilir. Öncesinde notasyonları verelim. ai a j iken i j Ģartını sağlayan a1 , a2 ,..., an ye S kümesi üzerinde kısmi sıralı kümenin bir lineer genişlemesi denir. d L , j i için d ai ve d a j ise d ai notasyonu kullanılacaktır. 4.3. Teorem L bir sonlu meet yarılatis, f ( L, R) ve S L meet kapalı olsun. S nin a1 , a2 ,..., an olacak Ģekilde bir lineer geniĢlemesini alalım. Bu durumda n det( S ) f (c, d ) f (c, ai ) [14]. i 1 d ai cL 45 İspat Teorem 4.2 de tanımlanan F ( L, R) fonksiyonunun F (ai , a j ) (d , ai ) f (d , a j ) ve buradan d ai f (ai , a j ) F (d , a j ) (4.1) d ai olduğunu biliyoruz. ġimdi Fˆ ( S , R) fonksiyonu ai a j iken Fˆ (ai , a j ) (c, d ) f (c, a j ) F (d , a j ) ; d ai cL d ai aksi halde Fˆ (ai , a j ) 0 olarak tanımlansın. Eğer f (ai , a j ) Fˆ (a , a ) ak ai k j olduğu gösterilirse F̂ nin tanımı gereği f (ai , a j ) F (d , a ) ak ai d ak j (4.2) eĢitliği sağlanacaktır. Bunu göstermek için (4.1) ve (4.2) deki terimlerin bire bir eĢlendiğini göstermeliyiz. Ġlk olarak d L ise d elemanı en fazla bir kez (4.1) ve en fazla bir kez de (4.2) de bulunur. Çünkü en fazla bir ak S için d ak dır. d (4.2) toplamında bulunsun. Bu durumda d ak ai olduğundan d (4.1) toplamında da bulunur. KarĢıt olarak d (4.1) toplamında bulunsun. O halde d ai ve k i için d ak olmalıdır. S meet kapalı olduğundan herhangi bir l için d ai ak al dir. Bu nedenle al ak olması l k yı gerektirir ve d ak olduğundan l k dır. Buradan ak al ai olmak üzere d ak elde edilir. O halde d , (4.2) toplamında da bulunur. Bu ispatı tamamlar. 46 4.4. Teorem P bir sonlu kısmi sıralı küme ve F , G ( P, ) olsun. Bu durumda (i) ( P ) FG matrisinin tersi vardır ancak ve ancak her a P için F (a, a), G(a, a) 0 . (ii) ( P ) FG pozitif tanımlıdır ancak ve ancak her a P için F (a, a)G(a, a) 0 [14]. 47 5. KESİŞMEYEN YOLLAR İLE GCD MATRİSLERİNİN ÖZELLİKLERİNİN İNCELENMESİ Bu bölümde kesiĢmeyen yollar yardımı ile GCD matrislerinin bazı özellikleri üzerinde duracağız. P kısmi sıralı küme olsun. F ( L, R) incidence fonksiyonu, Teorem 4.2. nin ispatındaki gibi tanımlansın. Yani, a b iken F (a, b) (c, a) f (c, b) ve aksi ca halde F (a, b) 0 olsun. ġimdi P doğal sayılar kümesinin sonlu bir alt kümesi olsun ve P üzerinde bölünebilme bağıntısını ele alalım. Her a P için f (a, b) a ile tanımlandığı taktirde F (a, b) (a) olduğu açıktır [14]. P çarpan kapalı olsun. D grafının köĢeleri ve kenarları Teorem 4.1. deki gibi oluĢturulsun. Son olarak bu kenarlara atanan ağırlıklar, P çarpan kapalı olduğundan her a, b P için F (a, b) (a) ve G(a, b) (a, b) olarak alınırsa ( P ) FG matrisinin elemanları pab (c) c| a c|b ( a, b) olup ( P ) FG matrisinin determinantı det( P) FG (a) aP olarak hesaplanır. ġimdi çarpan kapalı olmayan P kümesi üzerinde tanımlı GCD matrisinin determinantını kesiĢmeyen yollar yardımı ile hesaplayalım. 48 P kısmi sıralı küme ve P , P yi kapsayan en küçük çarpan kapalı küme olsun. Öncelikle D grafını oluĢturalım. P ' ve P '' , P nin iki kopyası ayrıca P ''' ise P nın kopyası olacak Ģekilde alınsın. Sonra c a olmak üzere a ' P ' den c ''' P ''' ye bir kenar ve benzer Ģekilde c b olmak üzere c ''' P ''' den b '' P '' ne bir kenar oluĢturulsun. Bu kenarlara (a ', c ''') F (c, a) ve (c ''', b '') G(c, b) ağırlıkları atansın. a ' P ' den b '' P '' ye olan yollar : a ', c ''', b '' biçiminde olsun. : a ', c ''', b '' yolunun ağırlığı ile gösterilirse (a ', c ''') (c ''', b '') F (c, a )G (c, b) olur. , bütün : a ', c ''', b '' yollarının koleksiyonu olsun. yolunun köĢeleri kümesine diyelim. 1 2 olması N1 N2 anlamına gelmektedir [13]. Eğer N 1 , 2 iken 1 2 ise ye köĢelerde kesiĢmeyen yolların oluĢturduğu küme denir [13]. nin ağırlığına denirse olur [13]. BaĢlangıcı a ve bitiĢ noktası b olan c a ve c b olacak Ģekildeki bütün yolları üzerinden toplam alınmak üzere elemanları pab olan matrisinin determinantı det( P) (5.1) 49 dır [13].Burada toplam, ve P nin eleman sayıları eĢit olmak üzere D de köĢelerde kesiĢmeyen yolların oluĢturduğu kümesi üzerinden alınmaktadır [13]. (5.1) deki artı ya da eksi iĢareti kümesine bağlıdır. Yolların baĢlangıç noktaları P ' ve bitiĢ noktaları P '' de olduğundan P ' den P '' ye birebir bir dönüĢüm tanımlar. Bu iki küme P kümesinin iki kopyası olduğundan tanımlanan bu dönüĢüm P kümesinin bir permütasyonudur. (5.1) deki iĢaret bu permütasyonun iĢaretidir. P kısmi sıralı kümesini çarpan kapalı olmayan bir küme ve kenarlara atanan ağırlıkları (a ', c ''') (c) ve (c ''', b '') (c, b) olarak alıp P üzerinde tanımlanan GCD matrisinin determinantını bir örnek ile hesaplayalım. Örnek P 3, 4,5 olsun. Bu durumda P yi kapsayan en küçük çarpan kapalı küme P 1, 2,3, 4,5 ayrıca P ', P '' P ve P ''' P dır. ( P) GCD matrisinin elemanları pab (c) c| a c|b cP dir. Gerçekten baĢlangıç noktası a ' 3 ve bitiĢ noktası b '' 3 olan c | a ve c | b olacak Ģekildeki bütün a ' c ''' b '' yolları üzerinden toplam alındığı taktirde p33 (1) (3) (3,3) dir. ġimdi elemanları köĢelerde kesiĢmeyen yollardan oluĢan kümesinin ve P nin eleman sayıları eĢit olmak üzere c | a ve c | b olacak Ģekildeki grafları çizerek değerlerini hesaplayalım. 50 1 2 (3) 3 3 (4) (5) 4 1 4 5 1 1 1 3 4 5 (3) 5 3 2 3 4 4 5 1 1 1 4 5 3 1 1 1 5 4 1 1 2 1 1 4 5 3 4 5 3 2 3 4 4 (4) 5 (1) (3) (5) 1 3 (4) (5) 4 1 5 1 1 3 4 (1) (3) (4) 4 5 4 5 1 1 1 3 4 5 (1) (3) 3 (1) (4) (5) (1) (3) (5) 3 5 2 (1) (2) (2) (3) (5) (1) 3 3 (5) (3) (4) (5) 1 2 2 (5) 3 4 5 (2) 1 5 3 4 5 1 3 1 1 4 5 (1) (2) (5) 5 (1) (3) 1 (2) 3 4 5 1 1 3 4 5 (1) (2) (3) ġekil 5.1. P ' P '' Grafları Burada P ' den P '' ye tanımlanan dönüĢüm birim permütasyon olduğundan toplamdaki iĢaretlerin hepsi artıdır. O halde det( P) 50 (5.2) 51 bulunur. Teorem 3.1. den ( P) GCD matrisinin ( P) E E T olarak yazılabileceğini biliyoruz. Özel olarak yollara atanan ağırlıklar 1 olduğu zaman EET matrisinin determinantı, yukarıda verilen graftaki kesiĢmeyen yolların sayısını verecektir. P nin doğal sayıların çarpan kapalı, sonlu bir alt kümesi olması durumunda Teorem 4.1. de verilen matrisin tersini hesaplayalım. Teorem 4.1 deki ( P ) FG matrisi elemanları ab F (a, b), ( M F )ab aksi halde 0, ab G(a, b), ( M G )ab aksi halde 0, olan iki matrisin çarpımı Ģeklinde yazılabilir [14]. ( P) FG M F T M G matrisinin tersi ( M FT M G ) 1 M G 1 M 1 T F olup bu matrislerin elemanları M G 1 ab G 1 (a, b), ab 0, aksi halde ve F 1 (a, b), ab M F 1 ab 0, aksi halde dır. Burada F 1 ve G 1 , ( P, R) de F ve G incidence fonksiyonlarının tersleridir. Her a, b P için a b iken ( FF 1 )(a, a) F (a, a) F 1 (a, a) ( a, a ) ve a b iken 52 FF (a, b) F (a, c)F 1 1 (c, b) a c b (a, b) olup 0 F (a, a) F 1 (a, b) F (a, c)F 1 (c, b) a cb ve buradan F 1 (a, b) 1 F (a, c) F 1 (c, b) F ( a, a ) a c b dır. O halde 1 1 ( PFG )ab ( M FT M G )ab G 1 (a, c) F 1 (b, c), ab . a c bc 0, aksi halde olarak bulunur. Yukarıdaki formül sayılar teorisi kullanılarak Bourque ve Ligh tarafından hesaplanmıĢtır [7]. ÇalıĢmamızdaki temel amaçlarımızdan biri P nin çarpan kapalı olmadığı durumda yukarıda verilen matrisin tersini hesaplamaktı fakat kayda değer bir sonuç elde edemedik. ġimdi Teorem 3.4. ardından verilen S 1, 2,3, 6 kümesi üzerinde tanımlanan GCD matrisinin tersini yollar yardımı ile hesaplayalım. Öncesinde G grafını oluĢturalım. S kümesinin S ' , S '' ve S ''' olmak üzere üç kopyasını alalım. a c olmak üzere a ' S ' den c ''' S ''' ye, b c olmak üzere c ''' S ''' den b '' S '' ye kenarlar oluĢturalım. S kümesini çarpan kapalı alıp bölünebilme bağıntısını kullanalım. Bu kenarlara 53 (a ', c ''') (c / a ) ve (c ''', b '') (c / b) olarak atanırsa ( S ) matrisinin tersinin (c ) elemanları a ' den b '' ne olan a c ve b c olmak üzere a ' c ''' b '' yollarının toplamından oluĢur ve ( S )1 (d a'b'' ) öyle ki da 'b '' (a ', b '') a|c (c / a) (c / b) . (c) b|c 1 2 3 6 1 2 1 2 3 6 3 6 ġekil 5.2. d1'1'' Grafı dV 'V '' için oluĢturulan yollar ġekil 5.2 de verilmiĢtir. Örneğin d11 elemanı dV 'V '' grafındaki kesiĢmeyen yollar yardımı ile d11 (1',1'') 1|c 1|c (c / a ) (c / b) (c ) . (1) (2) (3) (6) (1) (2) (3) (6) (1) (2) (3) (6) 3 olarak bulunur. ( S ) in tersinin diğer elemanları da benzer Ģekilde hesaplanabilir. 54 6. SONUÇ Bu çalıĢmada esas olarak GCD ve LCM matrislerinin temel özellikleri anlatılmıĢ ve bu matrislerin uygulamalarına dair çalıĢmalar incelenmiĢtir. Ġkinci bölümde konuya hazırlık olması açısından aritmetik fonksiyonlar, kısmi sıralı kümeler ve graf teorisi tanıtılmıĢ ve temel özelliklerinden bahsedilmiĢtir. Üçüncü bölümde GCD ve LCM matrisleri ve benzer özellikteki matrislerin determinantı, terslerine ait çeĢitli sonuçların ortaya konulduğu çalıĢmalar incelenmiĢtir. Dördüncü bölümde bu matrisler ve benzerlerinin determinantları ile ilgili bulunan sonuçlar, kombinatoriyel olarak yeniden ispatlanarak yeni sonuçların elde edildiği Ģık genellemeler verilmiĢtir. Son bölümde kesiĢmeyen yollar yardımı ile GCD matrislerinin özellikleri incelenmiĢtir. Bu konu ile ilgili giriĢimler verilmiĢtir. Bu çalıĢmaya baĢlarken amacımız GCD ve LCM matrisleri ve benzerleri ile ilgili var olan sonuçları kombinatoriyel olarak ispatlamak ve hesapladığımız determinantların sayma problemlerine yönelik uygulamalarını araĢtırmaktı. Fakat bu yönde kayda değer sonuçlar elde edemedik. Bu konudaki çalıĢmalarımız devam etmektedir. Yaptığımız çalıĢmanın konuyla ilgilenenlere farklı bir bakıĢ açısı sunacağı ümidini taĢıyoruz. 55 KAYNAKLAR 1. Jones, G.A., Jones, J.M., “Arithmetic Functions”, Elementary Number Theory, Springer-Verlag, London, 143-162 (1998). 2. Niven, I., Zuckerman, H.S., Montgomery, H.L., “Arithmetic Functions‟‟, An Introduction to the Theory of Numbers, 5th Ed., John Wiley and Sons, Inc., Canada, 188-195 (1915). 3. ġenay, H., “Aritmetik Fonksiyonlar”, Sayılar Teorisi Dersleri, Selçuk Üniversitesi, Konya, 395-412 (2007). 4. Davey, B.A., Pricstly, H.A., “Ordered Sets, Lattices and Complete Lattices”, Introduction to Lattices and Order, Second edition, Cambridge UniversityPress, Cambridge, 1-56 (2001). 5. Bondy, J.A., Murty, U.S.R., “Graphs and Subgraphs”, Graph Theory with Applications, Macmillian, London, 1-16 (1976). 6. Beslin, S., Ligh, S., “Greatest Common Divisor Matrices”, Linear Algebra and Its Applications, 118:69-76 (1989). 7. Bourque, K., Ligh, S., “On GCD and LCM Matrices”, Linear Algebra and Its Applications, 174:65-74 (1992). 8. Beslin, S., Ligh, S., “Another Generalisation of Smith‟s Determinant”, Bull. Austral. Math. Soc. Vol., 40:413-415 (1989). 9. Zhongshan, L., “The Determinants of GCD Matrices”, Linear Algebra Applications, 134:137-143 (1990). 10. Bourque, K., Ligh, S., “Matrices Associated with Multiplicative Functions”, Linear Algebra and Its Aplications, 216:267-275 (1995). 11. Bourque, K., Ligh, S., “Matrices Associated with Classes of Arithmetical Functions”, Journal of Number Theory, 45:367-376 (1993). 12. Apostol, T., “Arithmetical Properties of Generalized Ramanujan Sums”, Pasific J. Math., 41:281-293 (1972). 13. Lindström, B., “On The Vector Representations Of Induced Matroids‟‟, Bull. London Math. Soc., 5:85-90 (1973). 14. AltınıĢık, E., Sagan, B. E., Tuğlu, N., “GCD Matrices, Posets and Nonintersecting Paths”, Linear and Multilinear Algebra, 53 (2):75-84 (2005). 56 ÖZGEÇMİŞ Kişisel Bilgiler Soyadı, adı : ÇOġKUN, Aslıhan Uyruğu : T.C. Doğum tarihi ve yeri : 12.11.1984 Yerköy Medeni hali : Bekar Telefon : 0 (505) 785 45 70 e-mail : asli5008@hotmail.com Eğitim Derece Eğitim Birimi Yüksek lisans Gazi Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı Lisans Lise Yabancı Dil Ġngilizce Mezuniyet tarihi 2011 Gazi Üniversitesi Matematik Bölümü 2009 Yozgat Anadolu Lisesi 2002