h - AVES

ANALİZ II ÖDEV 1 (Matematik)
1. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini türev tanımını
15.03.2016
f   x   Lim
f  x  x   f  x
x
 x 0
kullanarak bulunuz.
(a) f  x   3 x  5
(d) f  x  
x
x 1
(b) f  x   tan  3 x 
(c) f  x   sec  2 x 
(e) f  x   3x5  4 x3  2 x 2  1
(f) f  x  
x2  x
2. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini, türev kurallarını kullanarak bulunuz.
(a) f  x   3 x2  5 sin3x
2
(c) f  x   Arc sin  ecos x 


 x
3 2
x
(e)
f  x 
g)
f  x   x 2  1 arctan x  x


3
2
x3  3 ln  tan 3 x 
  
e x sin x
3 x5
h) f  x    x  1 2 x  x2 arcsin  x  1
i)
9  x2 
x2  1
(d) f  x   ln sin e2 x
(f) f  x  
ı) f  x   Arc tan 2 x3
j) f  x   2 x 
(b) f  x  
 a 2  b2 sin x 

f  x   Arc tan 
 b  a cos x 


x
 27 9  x 2  243arcsin  
3
x

 x
k) f  x   x  arcsin   2 x  2 4  x 2 arcsin  
2

2
l) f  x   ln
 x
tan    2  3
1
2
ln
m) f  x  
3 tan  x   2  3
 
2
a x x
2
2
a2  x2  x


n) f  x   ma ln x 2  a 2  n ln
xa
xa
3 . Aşağıda verilen kapalı fonksiyonların
o) f  x  
x
2
x2  a2 
3

x2  5 y 2  8  0
(b)
(c) cos 2  x  y   5
(d) tan  xy   y3  0
4 . Aşağıdaki fonksiyonların yanlarında belirtilen türevlerini
6
f    x  ?
8
(c) f  x   e  x sin 2 x  f    x   ?

x2  a2
y  türevlerini bulunuz.
(a) x 3  y 3  8  0
(a) f  x   x3 ln x 

a2
ln x 
2
bulunuz.
(b) f  x   e3 x cos x 
6
f    x  ?
(d)

4
f  x   e3 x x 2  1 cos x  f    x   ?
f  x   x3  12 x  4 eğrisinin hangi noktasındaki teğetinin eğimi 15 tir.
5.
6.
f  x   x3 
x2
 0, 5 eğrisinin hangi noktalarındaki teğetler y  10 x  5 doğrusuna
2
paraleldir.
7.
f  x   2 sin x  3cos 2 x eğrisinin hangi noktalarında eğimi SIFIR dır.
8.
x3  y 3  xy  7  0 eğrisinin 1, 2  noktasındaki teğetini bulunuz.
9.
y 2  2 x3 eğrisinin hangi noktasındaki teğeti 4 x  3 y  2  0 doğrusuna dik olur.
10 .
f  x   3 x  1 eğrisinin 1, 0  noktasındaki teğet ve normalinin denklemini bulunuz.
11 .
f  x   tan  2 x  eğrisinin  0, 0  noktasındaki teğet ve normalinin denklemini bulunuz.
12 .
x3  y 2  2 x  6  0 eğrisinin y  3 ordinatlı noktasındaki teğet ve normalinin denklemini
yazınız.
13 .
xy  4, x 2  y 2  1 eğrilerinin dik kesiştiklerini gösteriniz.
14 .
f  x   x3  x 2  8 x  1 fonksiyonunun
(a) yerel max. ve min noktalarını bulunuz. Bu noktalardaki değerleri hesaplayınız.
(b)  2, 2 aralındaki mutlak max ve min değerleni bulunuz.
max f  x   ?, min f  x   ?
x 2,2
Yani
15 .
x 2,2
f  x   x5  x  1 fonksiyonunun
(a) yerel max. ve min noktalarını bulunuz. Bu noktalardaki değerleri hesaplayınız.
(b) max f  x   ?, min f  x   ?
x 1,1
x 1,1
16 .
f  x   3x 4  8 x3  6 x 2 fonksiyonunun
(a) yerel max. ve min noktalarını bulunuz. Bu noktalardaki değerleri hesaplayınız.
(b)
17.
max
 1 1
x  , 
 2 2
f  x 
f  x   ?, min
 1 1
x  , 
 2 2
1
x  x 1
5
f  x  ?
fonksiyonunun
(a) yerel max. ve min noktalarını bulunuz. Bu noktalardaki değerleri hesaplayınız.
(b)
18.
max
 1 
x  ,1
 2 
f  x 
f  x   ?, min
 1 
x  ,1
 2 
x 1
x2  1
f  x  ?
fonksiyonunun
(a) yerel max. ve min noktalarını bulunuz. Bu noktalardaki değerleri hesaplayınız.
(b)
19.
max
1

x 1, 
2

f  x 
f  x   ? , min
x
x 1
2
1

x 1, 
2

f  x  ?
fonksiyonunun
(a) yerel max. ve min noktalarını bulunuz. Bu noktalardaki değerleri hesaplayınız.
(b) max f  x   ?, min f  x   ?
x0,5
x0,5
20.
Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
(a) Lim
x  sin x
x3
x0
?
(d) Lim cos 5 x.sec3x  ?
x

2
(g) Lim ln x.ln 1  x   ?
x 1
x
x  0 için
x3
?
x 3
(f) Lim  cos x 
?
ln x
x 5
(m) Lim
1
sin x
(h) Lim
e x sin x  x
?
sin  sin x 
(o) Lim x ln
21.
1
(e) Lim  
x 0  x 
(j) Lim
x 1
x 0
x0
a ln x  x
?
ln x
(i) Lim
(l) Lim
e5 x
Arc tan x  Arc sin x
?
 ? (c) Lim
x
x 1  cos x 
x
(b) Lim
x
3
x0
?
cos x  cos 2 x
sin 2 x
x0

x0
(ı) Lim
(ö) Lim x3e 2 x  ?
e3 x
x
?
ln 1  cos x 
?
ln x
x 
x2
(k) Lim
x 0
x3
?
?
e x  esin x
?
x  sin x
(n) Lim x 3 ln x  ?
x0
(p) Lim  tan x 
x

4
tan 2 x
?
x
 ln 1  x   x olduğunu gösteriniz. (Yol gösterme: f  x   ln 1  x 
1 x
fonksiyonuna  0, x  aralığında Ortalama Değer Teoremini uygulayınız)
22.
1  x  e x olduğunu gösteriniz. (Yol gösterme: f  x   e x fonksiyonuna  0, x  aralığında
Ortalama Değer Teoremini uygulayınız)
23.
x  1 için
e.x  e x olduğunu gösteriniz. (Yol gösterme: f  x   e x fonksiyonuna 1, x 
aralığında Ortalama Değer Teoremini uygulayınız)
24.
x   a, b  için
f   x   M ise f  b   f  a   M  b  a  olduğunu gösteriniz.
(Yol gösterme: Ortalama Değer Teoremini kullanınız)
25.
x   a, b  için
f   x   m ise f  b   f  a   M  b  a  olduğunu gösteriniz.
(Yol gösterme: Ortalama Değer Teoremini kullanınız)
26.
Parametrik denklemleri x  t   t 2  2t , y  t   t 3  5t olan eğrinin t  2 deki teğetini ve
normalini yazınız.
Parametrik denklemleri x  t  
27.

2 cos t
2sin t
, y t  
olan eğrinin t 
deki
2
1  2cos t
1  2sin t
teğetini ve normalini yazınız.
28.
Aşağıdaki fonksiyonların verilen aralıklardaki Max ve Min değerlerini bulunuz. Ayrıca artan
ve azalan olduğu aralıkları belirleyiniz.
b)
f  x   3x5  5 x3 ,  2, 2
16
, 1,3
x
d)
f  x 
e) f  x   2  3 x ,  1,8
f)
f  x   x 4  x2 , 0, 2
a) f  x   x3  3x 2  9 x  5,  2, 4
c) f  x   x 2 
29.
x
x 1
2
, 0,3
Aşağıdaki fonksiyonların büküm noktalarını (varsa) ve Yukarı konkav-Aşağı konkav olduğu
aralıkları belirleyiniz.
a) f  x   x3  3x 2  9 x  5
d)
30.
f  x 
b)
x
c) f  x   x2 
f  x   3 x5  5 x3
16
x
e) f  x   2  3 x
x 1
2
Aşağıdaki fonksiyonların değişimini (Tanım kümesini, asimptotlarını, artan-azalan olduğu
aralıklar, konkavlığını, ekstremum ve büküm noktalarını) inceleyerek grafiklerini çiziniz.
a) f  x  
d)
x2  1
f  x   x3  36 x
g) f  x  
i)
2x
x2
x 1
2
f  x   x ln x
b)
f  x 
4
x2  1
e) f  x   xe x
h)
f  x  e
 x2
j) f  x   x 2 ln x
c) f  x  
f)
x 1
x2  4
f  x   x  x  1 x  2 
ı) f  x   e
k)
1
x
f  x   x  ln x
l) f  x  
31.
x
x 1
m)
f  x 
x
x2
n) f  x  
1
x2
Aşağıdaki fonksiyonlara, verilen  a, b  aralıklarda Rolle Teoremi uygulanabilir mi?
Uygulanabilirse f   c   0 gerçekleyen tüm c   a , b  sayılarını bulunuz.
a) f  x   4 x  x3 ,  2, 2
b)
8
c) f  x   4 x  , 1, 2
x
d)


f  x   10  x  1 x 2  10 , 1, 2
f  x 
x 1
x2  1
, 0,1
 
e) f  x   sin x  cos x, 0, 
 2
32. x3  y 3  xy  7  0 eğrisinin 1, 2  noktasındaki teğetini ve normalini bulunuz
33. (a) Lim  cos x  sin x 1 tan x  ? (10p)
x0
(b) Lim
x1
2ln x  x
 ? (10p)
ln x
34. f  x    x  1 x  3 fonksiyonuna  2, 0 aralığında Rolle teoremi uygulanabilir mi?
Araştırınız. Uygulanabilirse teoremdeki tüm c sayılarını bulunuz.

3  2 x ,
x  1
35. . a) f  x    x 1
, 1  x

5
 sin  x  , x  1

 x 1
, 1  x  0
b) f  x   
x

1

1  e  x , 0  x

fonksiyonu x   1 noktasında sürekli midir?
Sürekli değilse süreksizlik tipini belirleyiniz.
fonksiyonu x  1, x  0 noktalarında sürekli midir? Neden?
Süreksiz noktalardaki süreksizlik çeşidini belirleyiniz
Y.Doç.Dr. G. Çiçek