fonksiyonlar konu anlatımı

FONKSİYONLAR
Tanım: A ve B boş olmayan kümeler olmak üzere A kümesinin her elemanını B kümesinin bir ve yalnız
bir elemanına eşleyen bağıntıya A’ dan B’ ye bir fonksiyon denir.
f
•
A ‘dan B ‘ye bir fonksiyonu f : A → B , A → B , x → y = f ( x ) biçimlerinden biri ile gösterilir.
•
•
Burada x ’e bağımsız değişken y ’ye bağımlı değişken denir.
f : A → B fonksiyonunda A kümesine fonksiyonun tanım kümesi, B kümesine fonksiyonun
değerler kümesi denir. A ‘daki elemanların görüntülerinin kümesine görüntü kümesi denir ve
f ( A) ile gösterilir. f ( A ) ⊂ B ’dir.
Örnek :
f
A
B
a
b
c
Tanım Kümesi
4
6
2
7
f ( A)
(Görüntü Kümesi)
Değer Kümesi
Uyarı: f : A → B bağıntısının fonksiyon olması için
i. A’ daki her elemanın f altında bir görüntüsü olmalı. Yani, ∀x ∈ A için f ( x ) = y ∈ B olmalı.
ii. A’ daki her elemanın f altında yalnız bir tek görüntüsü olmalı. Yani, f ( x ) = y ve f ( x ) = z
oluyorsa y = z olmalıdır.
HATIRLATMA: Aynı olayı ok ve hedef şeklinde de düşünebiliriz. Her bir ok bir hedefe
gider, birden fazla hedefe aynı anda gidemez. (Bu olay Ancak Cüneyt ARKIN filmlerinde olur.)
Fakat farklı oklar aynı hedefe gidebilir. Başka bir örnek ise, koğuşlardaki yatak sistemi
herkes bir yatakta yatar açıkta kimse kalmayacak şekilde. Fakat bir kişi aynı anda iki farklı
yatakta yatamaz. Ama farklı kişiler aynı yatakta yatabilir.
Yavru tavşanlar
Anne tavşanlar
1
Tolga KURTYEMEZ
Soru: A = {a, b, c} , B = {1,3,5,7} olmak üzere A’ dan B’ ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan
hangileri fonksiyondur?
a. f = {( a,1) , ( b,5 )}
c. h = {( a, 7 ) , ( b,1) , ( c,5 ) , ( c,3)}
b. g = {( a,5 ) , ( b,5 ) , ( c,5 )}
d. k = {( a, 7 ) , ( b,3) , ( c,1)}
Soru:
f
A
B
a
1
2
b
3
c
4
Yandaki şema ile verilen f fonksiyonuna göre
a) Her elemanın görüntüsünü
b) Görüntü kümesini
c) Tanım kümesini
d) Değer kümesini bulunuz.
Soru: f = {( x, y ) : y = 2 x − 5; x, y ∈ ℝ} bağıntısı fonksiyon mudur?
Çözüm:
∀x ∈ ℝ için f ( x ) = y ∈ ℝ vardır. Yani her elemanın görüntüsü vardır.
x1 = x2 ise f ( x1 ) = f ( x2 ) olmalıdır.
x1 = x2 ise, 2.x1 = 2.x2 → 2 x1 − 5 = 2 x2 − 5 ⇒ f ( x1 ) = f ( x2 ) olur.
Soru: f = {( x, y ) : y = x; x ∈ ℝ, y ∈ ℝ} bağıntısı fonksiyon mudur?
Soru: f : ℝ → ℝ fonksiyonu k ∈ ℝ için f ( x ) = k .x biçiminde tanımlanıyor. Buna göre aşağıdakilerden
hangileri doğrudur.
a) f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b )
b) f ( 2.a ) 2. f ( a )
c) f ( a − b ) = f ( a ) − f ( b )
d) f ( a.b ) = f ( a ) . f ( b )
Uyarı :
Yukarıdaki örnekte f ( 5 ) = f ( 2 ) + f ( 3) şeklinde yazılabilirken, bu her fonksiyon için geçerli
değildir. Örneğin, y = f ( x ) = x 2 fonksiyonu için f ( 5 ) ≠ f ( 2 ) + f ( 3) olur. ( 52 ≠ 32 + 22 olduğundan)
2
Tolga KURTYEMEZ
Bu durumda yukarıdaki örnekte yanlış olanlar doğruda olabilir. Bu örnekte bir genelleme
yapmamız yanlış olacaktır.
Soru: f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 5 x − 12 ise, f ( 5 ) , f ( 4 ) , f ( a ) , f ( b ) ve f ( 2a + b ) değerlerini bulunuz.
Soru: f : ℝ → ℝ , f ( 2 x − 3) = x 2 + 4 ise, f (1) , f ( 3) , f ( 4 ) , f ( a ) ve f ( x + 1) değerlerini bulunuz.
Soru: f : ℝ → ℝ , f ( 2 ) = 3 , f ( x + 1) = x. f ( x ) − 4 ise, f ( 5 ) = ?
Uyarı :
Yukarıdaki gibi birbirini takip eden fonksiyon değerleri verildiğinde f ( 2 ) , f ( 3) , f ( 4 ) ....
değerlerini bulurken hesaplama yapmadan olduğu gibi değerleri toplam veya çarpım halinde bırakırsanız
oluşacak olan kuralı daha iyi görebilirsiniz.
Soru: f : ℝ → ℝ , f ( x + 1) = f ( x ) + 2 x ise, f ( 7 ) − f (1) = ?
Soru: f ( x ) = 5 + f ( x − 1) ve f (1) = 2 ise, f ( 25 ) = ?
Soru: f ( x + 1) = x. f ( x ) ve f ( 3) = 5 ise, f (15 ) = ?
Soru: f ( x ) = 3x ise, f ( 4 x ) ’in f ( x ) cinsinden değerini bulunuz.
Soru: f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 4 x + 12 fonksiyonu veriliyor. f ( 3x − 3) fonksiyonunun f ( x ) cinsinden eşiti
nedir ? Bulunuz.
Soru: f : ℝ → ℝ , f ( 22 x −1 ) = x 3 + 4 x ise f ( 8) = ? , f ( 4 ) = ? ve f ( 32 ) = ?
Soru: f :[ 5, ∞) → ℝ , f (2 x − 1) = x 2 − 5 + x ise f ( 5 ) = ? , f ( 7 ) = ? ve f ( 2a ) = ?
Soru: f : ℝ 2 → ℝ, f ( x, y ) = max( x 2 + 1, x. y + 2) ve
g : ℝ 2 → ℝ , g ( x, y ) = min( x + y, x − y ) Biçiminde
f ve g fonksiyonları tanımlanıyor. Buna göre f ( −2, −3) + 2.g ( 2, −5) = ?
2x +1 , x < 1
Soru: f : ℝ → ℝ, f (2 x − 1) =  2
biçiminde tanımlanıyor. f ( 3) + f ( −7 ) = ?
x − x , x ≥ 1
Soru: f : ℝ → ℝ , f ( 22 x −1 ) = 24 x + 1 ise f ( 8) = ? , f
3
( 5) = ?
Tolga KURTYEMEZ
1 1

Soru: Tanımlı olduğu aralıkta f  x +  = 2 + x 2 + 2 biçiminde tanımlanan f ( x ) fonksiyonu için
x x

f (7) = ? , f ( x) = ?
Soru : f ( x + 1) = 32 x −1 ise, f ( x − 1) ’in f ( x ) türünden değerini bulunuz.
Soru : f ( x + 1) + f ( x − 2 ) = 4 x − 1 fonksiyonuna göre f ( 5 ) − f ( −1) = ? (12)
Soru : f ( 2 x ) + f ( x + 2 ) = 4 x fonksiyonu için f ( 4 ) − f ( 5 ) − f ( 6 ) = ? ( −8 )
Soru: f : ℝ → ℝ , f ( x ) = mx + n , f (1) = 5 ve f ( −1) = 3 ise, f ( 2 ) = ? (6)
Soru: f ( x ) = 3x + 3− x fonksiyonu için, f ( 2 x ) ’in f ( x ) cinsinden değerini bulunuz.
Soru: f ( x ) = 3x + 3− x fonksiyonu için, f ( 3x ) ’in f ( x ) cinsinden değerini bulunuz.
Soru: f ( x ) = a x + a − x fonksiyonu için, f ( 2 x ) ’in f ( x ) cinsinden değerini bulunuz.
Soru: A ( n − 1, n 2 + 1) noktalarının kümesini analitik düzlemde hangi fonksiyon ile gösterebiliriz ?
( y = x2 + 2 x + 2 )
Soru: f ( x ) = x 2 − 9 fonksiyonu için, f
([ −4,3]) = ? ( [ −9, 7] )
1
1

Soru: f  x +  = x 3 + 3 ise, f ( x ) = ?
x
x

4
Tolga KURTYEMEZ
FONKSİYONUN GRAFİĞİ
Tanım: f : A → B , f = {( x, y ) : y = f ( x ) , x ∈ A, y ∈ B} fonksiyonuna ait ikililerin analitik düzlemde
karşılık gelen noktaların oluşturduğu kümeye , f fonksiyonunun grafiği denir. Burada oluşan ( x, f ( x ) )
sıralı ikililerinin yorumu şu şekildedir ;
y = f ( x)
y
f ( x)
x : y ekseninden dik uzaklık
f ( x ) : x ekseninden dik uzaklık
( x, f ( x ) )
0
x
x
Örnek :
y
f
6
4
a. f fonksiyonunun tanım ve değer kümelerini bulunuz.
b. f ( 0 ) , f ( 2 ) , f ( 3) ve f ( 5) değerlerini bulunuz.
2
c. f in görüntü kümesini bulunuz.
1
-2 -1
0
2
3
4
5
x
-1
Uyarı : Şekli inceleyiniz.
y
II. Bölge
I. Bölge
x2 < 0, y2 > 0
x1 > 0, y1 > 0
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
III. Bölge
IV. Bölge
x3 < 0, y3 < 0
x4 > 0, y4 < 0
( x3 , y3 )
x
( x4 , y4 )
5
Tolga KURTYEMEZ
Soru: A = {−2, −1, 0,1, 2,3} , f : A → ℝ , f ( x ) = x 2 + x biçiminde tanımlanan f fonksiyonunun
grafiğini koordinat sisteminde gösteriniz.
Soru:
Şekilde f ( x ) fonksiyonunun grafiği
çizilmiştir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi
yanlıştır?
y
9
5
4
y = f ( x)
A) f ( −7 ) = f (1) = 0
B) f ( −5 ) + f ( −2 ) = 9
-8
-7
C) f ( 0 ) . f ( 4 ) = −8
4
-5
-4
1
-2
5
6
x
-2
D) f ( −6 ) . f ( 5 ) ≥ 0
E) f ( −3) . f ( 9 ) < 0
f ( x ) < 0 ve f ( x ) > 0 olan x aralıklarını
yazınız ?
Soru:
y
y = f ( x)
-4
1
3
x
Şekilde y = f ( x ) fonksiyonunun grafiği
verilmiştir. Buna göre x. f ( x ) > 0 ve x. f ( x ) < 0
koşulunu gerçekleyen x tamsayılarının toplamı
kaçtır?
Uyarı: Bir fonksiyonun grafiğinde tanım kümesi x-ekseninde, değer kümesi y-ekseninde gösterilir.
Uyarı: Bir bağıntının grafiğinde, y-eksenine paralel çizdiğimiz her doğru grafiği en fazla bir noktada
kesiyor ise grafik fonksiyon grafiğidir. Şayet y-eksenine paralel çizdiğimiz en az bir doğru grafiği en
az iki noktada kesiyor ise grafik bağıntı grafiğidir, fonksiyon grafiği değildir.
6
Tolga KURTYEMEZ
Soru: Aşağıda grafiği verilen bağıntıların hangileri fonksiyon grafiğidir?
y
A)
y
B)
C)
y
3
-5
D)
-1
4
x
y
E)
4
x
y
2
x
x
x
FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM
f : A → ℝ , g : B → ℝ iki fonksiyon olsun.
1) f + g : A ∩ B → R, ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x)
2) f − g : A ∩ B → R, ( f − g )( x) = f ( x) − g ( x)
3) f . g : A ∩ B → R, ( f . g )( x) = f ( x). g ( x)
4)
 f
f
: A ∩ B → R, 
g
g

f ( x)
, g ( x) ≠ 0
 ( x) =
g ( x)

5) k ∈ ℝ , ( k . f ) : A → R, (k . f )( x) = k . f ( x) ≠ f ( k .x ) dir.
Soru: f = {( −1, 4 ) , (1, 2 ) , ( 2, −1) , ( 3, 2 )} ve g = {( −1,8) , ( 0, 6 ) , ( 2, −4 ) , ( 5,1)} fonksiyonları veriliyor.
Buna göre ;
g
a) f + g
b) 2 f − g
c) f .g
d)
fonksiyonlarını bulunuz.
f
Soru: f : ℝ → ℝ, f ( x) = x − 1 , g : ℝ → ℝ, g ( x) = 2 x + 1 fonksiyonları veriliyor.
 f
Soru: 
g
( f .g + 3. f )( x ) = ?

2
4
3
2
 ( x) = x + 2 x + 5 , ( f . g )( x) = x − 2 x + x − 12 x + 20 ise f ( 3) = ? (20 veya –20)

7
Tolga KURTYEMEZ
EŞİT FONKSİYONLAR
Tanım: f : A → ℝ , g : A → ℝ iki fonksiyon olsun. ∀x ∈ A için f ( x ) = g ( x ) oluyorsa f ve g
fonksiyonları eşittir denir ve f = g ile gösterilir.
Soru: A = {0, −2} , B = {1,5} olmak üzere
f : A → B , f ( x ) = x2 + 1
g : A → B , g ( x ) = −2 x + 1 ile tanımlanan f ve g eşit fonksiyonlar mıdır?
FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
1. İçine Fonksiyon:
f : A → B fonksiyonu için f ( A ) ≠ B ise, f ’ e içine fonksiyon denir.
f
A
B
a
1
2
b
3
c
4
f ( A)
Soru: A = { -1, 0, 1 } , B = { 0, 1, 2 } ; f : A → B , f ( x ) = x 2 + 1 biçiminde tanımlanan fonksiyon
içine bir fonksiyon mudur?
Soru: f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − 1 fonksiyonu içine bir fonksiyon mudur?
2. Örten Fonksiyon:
f : A → B fonksiyonu için f ( A ) = B ise, f ’e örten fonksiyon denir. Yani, görüntü kümesi
değerler kümesine eşit olan fonksiyon örten fonksiyondur. ∀y ∈ B için f ( x ) = y olacak biçimde en az
bir x ∈ A ( ∃x ∈ A ) varsa f örten bir fonksiyondur.
f
f
A
A
B
a
b
1
2
c
3
d
4
B
a
b
c
d
f ( A)
e
8
1
2
3
f ( A)
4
Tolga KURTYEMEZ
Soru: f : ℤ → ℤ , f ( x ) = x − 3 biçiminde tanımlanan f fonksiyonu örten midir?
Soru: f : ℕ → ℕ , f ( x ) = x + 2 biçiminde tanımlanan f fonksiyonu örten midir?
Uyarı: Grafiği verilen bir fonksiyonun örten olup olmadığı araştırılırken değer kümesi içinden
seçtiğimiz her y için x − eksenine paralel doğru çizdiğimizde bu paralel doğru grafiği en az bir noktada
kesiyorsa fonksiyon örten, Herhangi bir noktada kesmiyorsa fonksiyon örten değildir.
Soru:
y
Şekilde f ( x ) fonksiyonunun grafiği
çizilmiştir. f fonksiyonunu içine ve örten
yapan aralıkları belirleyiniz.
-3
x
-2
3. Bire Bir Fonksiyon:
f : A → B fonksiyonunda tanım kümesinin her elemanının f altındaki görüntüsü diğer
elemanlardan farklı ise f fonksiyonuna bire-bir fonksiyon denir. f ( x1 ) = f ( x2 ) olması x1 = x2
olmasını gerektiriyor ise f bire-bir fonksiyondur.
f
f
A
A
B
a
B
k
b
1
2
c
3
d
4
f ( A)
t
1
2
n
3
o
4
7
f ( A)
Soru: Aşağıdaki şemalarda belirtilen fonksiyonların türlerini belirtiniz.
g
f
A
a
b
1
2
B
A
4
A
B
1
3
1
b
2
3
b
c
4
c
9
u
a
a
3
c
h
4
B
A
a
1
b
c
d
3
B
4
Tolga KURTYEMEZ
Soru: f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 3x − 1 biçiminde tanımlanan fonksiyon nasıl bir fonksiyondur?
Uyarı: Grafiği verilen bir fonksiyonun bire-bir olup olmadığı araştırılırken x − eksenine paralel doğrular
çizilir. Paralel doğrular grafiği bir tek noktada kesiyorsa fonksiyon bire-bir, birden fazla noktada
kesiyorsa bire-bir değildir.
Soru: Aşağıda grafiği çizilmiş olan fonksiyonların hangileri 1–1’dir ?
y
y
f(x)
A)
y
B)
x
h(x)
C)
g(x)
x
x
4. Bire-Bir ve Örten Fonksiyon:
f : A → B fonksiyonu hem 1-1 hem de örten ise f fonksiyonuna bire-bir ve örten fonksiyon
denir.
Soru: Aşağıdaki fonksiyonların türünü belirtiniz?
g
f
A
a
b
1
2
B
A
h
a
1
b
4
A
a
1
b
3
B
3
3
c
B
c
c
4
Soru: f : ℝ → [2, ∞) , f ( x ) = x 2 + 2 biçiminde tanımlanan fonksiyon bire-bir ve örten midir?
10
Tolga KURTYEMEZ
5. Sabit Fonksiyon:
f : A → B fonksiyonu ∀x ∈ A için f ( x ) = c , c ∈ B sabit ise f fonksiyonuna sabit fonksiyon
denir. Sabit fonksiyon tanım kümesindeki her elemanı, değer kümesindeki aynı elemana eşleyen
fonksiyondur.
Örnek:
f
A
a
b
1
B
f : A → B fonksiyonu ∀x ∈ A için
2
f ( x ) = 3 olduğundan sabit fonksiyondur.
3
c
4
Soru: f : ℝ → ℝ , f ( x ) = ( a − 2 ) x 2 + ( b + 3) x + 7 sabit fonksiyon ise a − b + f ( x ) = ?
Soru: Aşağıda verilen fonksiyonlar sabit fonksiyon ise, a = ?
a
1. Yol
( f (1) = f ( 0 ) = ... = f ( −10 ) = .. )
olduğunu hatırlayınız.
Fonksiyon
2. Yol
(1. Yoldan faydalanarak,
6 a
=
1 1
olduğunu görmeye çalışınız.)
ax + 6
x +1
ax + 6
f : ℝ − {−2} → ℝ , f ( x ) =
x+2
ax + 6
f : ℝ − {−3} → ℝ , f ( x ) =
x+3
ax + 6
 3
f : ℝ − −  → ℝ , f ( x ) =
2x + 3
 2
f : ℝ − {−1} → ℝ , f ( x ) =
Soru: f : ℝ − {2} → ℝ , f ( x ) =
Soru: f : ℝ → ℝ , f ( x) =
ax + 3
sabit fonksiyon ise a = ?
x−2
ax 2 + bx + 3
sabit fonksiyon ise a + b + f ( x ) = ?
3x2 − 2 x + 1
Uyarı: Sabit fonksiyonun grafiği x − eksenine paralel bir doğrudur.
11
Tolga KURTYEMEZ
6. Birim (Etkisiz) Fonksiyon:
f : A → B bir fonksiyon olsun. ∀x ∈ A için f ( x ) = x ise, f fonksiyonuna birim fonksiyon
denir. Birim fonksiyon genel olarak I ile gösterilir. Buna göre, I : A → A , f ( x ) = x tir.
f
A
y
B
a
a
b
3
b
1
1
3
y = f(x) = x
Birim fonksiyonun grafiği
birinci açıortay doğrusudur.
a
45°
a
x
Soru: f : ℝ → ℝ , f ( x) = (a − 3) x 2 + (b + 2) x + c − 4 birim fonksiyon ise a − b + c = ?
7. Permütasyon Fonksiyon:
A ≠ ∅ olmak üzere A → A tanımlanan 1 − 1 ve örten her fonksiyona permütasyon
fonksiyon denir.
Örnek: A = {a, b, c, d } olsun.
f = {( a, b ) , ( b, c ) , ( c, a ) , ( d , d )} f : A → A permütasyon fonksiyondur.
a b
g = {( a, c ) , ( b, d ) , ( c, b ) , ( d , a )} , g = 
c d
c d
 g : A → A permütasyon
b a
fonksiyondur.
8. Tek ve Çift Fonksiyonlar
Tanım: f : A → B , x → f ( x ) fonksiyonu için,
a) f ( − x ) = − f ( x ) ise f ( x ) tek fonksiyondur denir.
b) f ( − x ) = f ( x ) ise f ( x ) çift fonksiyondur denir.
Soru: Aşağıdaki fonksiyonların tek veya çift fonksiyon olduklarını belirtiniz.
a) f ( x ) = x 2
c) g ( x ) = x 2 + 3
b) f ( x ) = x3
d) h ( x ) = x 2 − x
c) f ( x ) = x 4
d) f ( x ) = x5 − 2 x
Uyarı: Bir fonksiyon ne tek, ne de çift olmayabilir. ( f ( x ) = x3 + x 2 )
12
Tolga KURTYEMEZ
FONKSİYON SAYISI
A ve B boş olmayan iki küme s ( A ) = n , s ( B ) = m olsun.
a. A’ dan B’ ye tanımlanan tüm fonksiyonların sayısı = m
n
b. A’ dan B’ ye tanımlanan 1-1 örten fonksiyon sayısı = n!
c. A’ dan B’ ye tanımlanan 1-1 fonksiyon sayısı = P ( m, n ) =
m!
(m − n )!
d. A’ dan B’ ye tanımlanan sabit fonksiyon sayısı = m tanedir.
e. A’ dan A’ ya tanımlanabilecek içine fonksiyon sayısı = n n − n !
f. A’ dan B’ ye tanımlanabilecek örten fonksiyon sayısı = n !
Uyarı: A’ dan B’ ye bire-bir fonksiyon tanımlanabilmesi için m ≥ n olmalıdır. Örten fonksiyon
tanımlanabilmesi içinde n ≥ m olmalıdır.
Çözüm :
a. Şekilde görüldüğü gibi A’ nın her elemanına karşılık B kümesinin eleman sayısı kadar
seçeneğimiz olacaktır. Buna göre sonuç s ( B )
s ( A)
olacaktır.
f
A
1
a
B
m m m m .... m = s ( B )
s ( A)
= mn olur.
s ( A) = n tane
b
c
0
4
b. Fonksiyonumuzun bire bir ve örten olması için s ( A ) = s ( B ) = n olması gerekir. Buna göre
A’nın her elemanına karşılık B kümesinin eleman sayısı kadar seçeneğimiz olacaktır. Fakat burada
fonksiyonumuzun bire bir olması için A’nın bir elemanı B’nin bir elmanı ile eşleşiyorsa B’nin bu elemanı
ile A’nın başka bir elemanı eşleşmemeli. (Burada B kümesinden seçeceğimiz seçenek sayısının her
eşleşmede 1 azaldığına dikkat ediniz.)
f
A
a
1
B
n
n − 1 n − 2 .... 2
1 = n ! olur.
s ( A ) = n tane
b
c
0
4
13
Tolga KURTYEMEZ
c. Fonksiyonumuzun bire bir olması için s ( A ) ≤ s ( B ) olması gerekir. Buna göre A’nın her
elemanına karşılık B kümesinin eleman sayısı kadar seçeneğimiz olacaktır. Fakat burada
fonksiyonumuzun bire bir olması için A’nın bir elemanı B’nin bir elmanı ile eşleşiyorsa B’nin bu elemanı
ile A’nın başka bir elemanı eşleşmemeli. (Burada B kümesinden seçeceğimiz seçenek sayısının her
eşleşmede 1 azaldığına dikkat ediniz.)
f
A
1
a
B
( m ) ( m − 1) ( m − 2 ) .... ( m − n + 1)
olur.
( m − n ) tane
( n ) tane
b
...
0
4
Örnek :
h
A
1
2
3
1
a
1 için seçenek
sayısı
B
2 için seçenek
sayısı
( 7 ) ( 6 ) ( 5)
d
b
c
0
( 7 −3= 4) tane
( 3) tane
olur.
3 için seçenek
sayısı
4
d. Fonksiyonumuzun sabit fonksiyon olması için A kümesinin tüm elemanlarını tek bir eleman
gibi düşünmemiz gerekecektir. Buna göre, bizim seçenek sayımız B kümesinin eleman sayısı kadar
olacaktır.
f
A
a
1
b
c
0
B
4
Soru: A = {a, b, c} , B = {1, 2,3, 4} kümeleri veriliyor. Buna göre ,
a) A’ dan B’ ye kaç tane fonksiyon tanımlanabilir?
b) A’ dan B’ ye kaç tane 1-1 fonksiyon tanımlanabilir?
c) A’ dan B’ ye kaç tane 1-1 ve örten fonksiyon tanımlanabilir?
d) A’ dan B’ ye kaç tane sabit fonksiyon tanımlanabilir?
e) A’ dan B’ ye kaç tane örten fonksiyon tanımlanabilir?
14
Tolga KURTYEMEZ
f) A’ dan B’ ye kaç tane içine fonksiyon tanımlanabilir?
Soru: A = {a, b, c, d } kümesi veriliyor. A’ dan A’ ya tanımlanan fonksiyonların kaç tanesi
a) 1-1 ve örtendir?
b) 1-1 ve örten değildir?
c) a’ yı d’ ye bağlar?
d) Örtendir?
e) İçinedir?
Sıfır Fonksiyonu
Boş olmayan A ve B kümeleri için f : A → B fonksiyonu veriliyor. ∀x ∈ A için, f ( x ) = 0 ise,
f fonksiyonu sıfır fonksiyonudur. (Tanım kümesinin her elemanı, değer kümesindeki sıfır (0) reel
sayısına eşitleyen fonksiyondur.)
f
A
B
1
a
2
b
0
c
4
Not : f : A → B fonksiyonunda ( ∀x1 , x2 ∈ A)
x1 < x2 için f ( x1 ) < f ( x2 ) ise, f artandır.
x1 < x2 için f ( x1 ) > f ( x2 ) ise, f azalandır.
x1 , x2 ∈ A için f ( x1 ) = f ( x2 ) ise, f sabit fonksiyondur.
Örnek : Şekildeki fonksiyon [ −3, 0] aralığında artan, [ 0,3] aralığında sabit, [3,5] aralığında azalandır.
y
-3
5
0
3
x
-2
-3
15
Tolga KURTYEMEZ
Örnek : f : ℝ → ℝ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini
yorumlayınız.
y
a. y = f ( x ) + 2
3
b. y = f ( x ) − 3
c. y = f ( x + 1)
2
d. y = f ( x − 2 ) + 4
e. y = − f ( x )
1
f. y = f ( − x )
g. y = 2. f ( x )
3
-5
-4
-2
1
0
5
7
x
-2
-3
Çözüm :
a. f fonksiyonunun grafiğinin, düzlemde 2 birim yukarı ötelenmesi ile elde edilir.
b. f fonksiyonunun grafiğinin, düzlemde 3 birim aşağı ötelenmesi ile elde edilir.
c. f fonksiyonunun grafiğinin, düzlemde 1 birim sola ötelenmesi ile elde edilir.
d. f fonksiyonunun grafiğinin, düzlemde 2 birim sağa ve 4 birim yukarı ötelenmesidir.
e. f fonksiyonunun grafiğinin, x - eksenine göre simetriğinin alınması ile elde edilir.
f. f fonksiyonunun grafiğinin, y - eksenine göre simetriğinin alınması ile elde edilir.
g. f fonksiyonunun grafiği, f ’in tüm görüntülerinin 2 ile çarpılması ile elde edilir.
Örnek : f : ℝ → ℝ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini
çiziniz.
y
y = f ( x)
2
1
-2
3
-1 0
-1
1
4
2
x
-2
Çözüm :
a.
y
-2
e.
1
2
c. f ( x ) − 1
d. f ( x − 1)
e. − f ( x )
f. f ( − x )
y = f (−x)
2
-3 -2
3
-1 0
b. f ( x + 2 )
y
y = 2. f ( x )
4
a. 2. f ( x )
4
-4
2
-1 0
1
x
x
-2
-4
16
Tolga KURTYEMEZ
BİR FONKSİYONUN EN GENİŞ TANIM KÜMESİ
1. n ∈ ℕ ve an , an −1 ,..., a1 , a0 ∈ ℝ , f ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + ao biçimindeki polinom
fonksiyonlarda, en geniş tanım kümesi tüm reel sayılardır.
2. f ( x ) ve g ( x ) birer polinom fonksiyon iken, h ( x ) =
kümesi ℝ − { g ( x ) = 0} dır.
f ( x)
g ( x)
fonksiyonun en geniş tanım
3. f ( x ) = n g ( x ) köklü fonksiyonunda;
I. n tek ise, tanım kümesi ℝ dir.
II. n çift ise, tanım kümesi g ( x ) ≥ 0 ile tanımlı olan değerlerdir.
Örnek : Aşağıda verilen fonksiyonların en geniş tanım kümelerini bulunuz.
a. f ( x ) = 2 x 3 − x 2 + 3 x + 1
b. f ( x ) =
3x − 1
2x + 1
c. f ( x ) =
2x −1
x + x−2
d. f ( x ) = 3 4 x + 3
e. f ( x ) = x + 5
f. f ( x ) =
4− x
x − 25
2
2
Soru : f : ℝ → ℝ , f ( x ) = ax3 + bx + 1 , a ≠ 0 , b ≠ 0 ve f (10 ) = 4 ise, f ( −10 ) = ? ( −2 )
Soru : f : ℝ → ℝ , f ( x ) + 2. f ( − x ) = 2 x + 1 ise, f ( 2 ) yi bulunuz ve f ’in kuralını x cinsinden yazınız.
Çözüm :
f ( x ) + 2. f ( − x ) = 2 x + 1
−2 / f ( − x ) + 2. f ( x ) = 2 ( − x ) + 1
−3. f ( x ) = 6 x − 1 → f ( x ) =
1 − 6x
bulunur.
3
1
2 x
1
Soru : g : ℝ − {0} → ℝ , g ( x ) + 2.g   = x ise, g (1) = ? ve g ( x ) = ? ( g (1) = ve g ( x ) =
− )
3
3x 3
x
Soru : f : A → [ −2,6] , f ( x ) = 2 x − 4 fonksiyonuna göre en geniş A kümesi nedir ?
17
Tolga KURTYEMEZ
BİR FONKSİYONUN TERSİ
Örnek: A = {1,3,5} , B = {1, 2, 4} kümeleri ve A → B ’ ye g = {(1, 2 ) , ( 3,1) , ( 5,1)} bağıntısı veriliyor.
a) g bağıntısı fonksiyon mudur?
b) g bağıntısının tersi olan g-1 bağıntısını bulunuz. ( g -1 = { (2, 1),( 1, 3),( 1, 5) } )
c) g −1 bağıntısı B → A ’ ya fonksiyon mudur?
Örnek: A = {1,3,5} , B = {1, 2, 4} kümeleri ve A → B ’ ye f = {(1, 4 ) , ( 3,1) , ( 5, 2 )} bağıntısı veriliyor.
a. f bağıntısı fonksiyon mudur?
b. f bağıntısının tersi olan f −1 bağıntısını bulunuz. ( f -1 = { (4,1), ( 1,3), ( 2,5) } )
c. f −1 bağıntısı B → A ’ ya fonksiyon mudur?
Uyarı: Bir fonksiyonun ters bağıntısının da fonksiyon olması için gerek ve yeter koşul fonksiyonun bire-bir ve
örten olmasıdır.
Tanım: f : A → B bire-bir ve örten fonksiyon ise, f −1 : B → A fonksiyonuna f ’ nin ters
fonksiyonu denir.
A
B
f
x •
y=f(x) ⇔ f–1(y)=x tir.
•y
f -1
Uyarı: Genel olarak bir fonksiyonun tersinin kuralını bulurken x yerine y ve y yerine x yazar ve y’ yi çekeriz.
( Yalnız bırakırız).
Soru: f : {−1,3,5,9} → B , f ( x ) = 2 x + 3 , fonksiyonu için B = ?
Soru: f : A → {−1,3,5,9} , f ( x ) = 2 x + 3 , fonksiyonu için A = ?
Soru: f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 x + 3 , fonksiyonu için f −1 ( x ) = ?
Soru: f : ℝ → ℝ , f ( x ) = ax + b , a ∈ ℝ , b ∈ ℝ , a ≠ 0 fonksiyonu için f −1 ( x ) = ?
18
Tolga KURTYEMEZ
Soru: f : ℝ → ℝ , f ( x ) =
3x − 2
biçiminde tanımlanan f fonksiyonu için f −1 ( x ) = ?
4
x +1
2
1 
Soru: f : ℝ \   → ℝ \   , f ( x ) =
biçiminde tanımlanan f fonksiyonu için f −1 ( x ) = ?
3x − 2
3
3 
ax + b
 d
a 
Soru: f : ℝ \ −  → ℝ \   , f ( x ) =
biçiminde tanımlanan fonksiyonu için f −1 ( x ) = ?
cx + d
 c
c 
Soru: f : A → B , f ( x) = x + 1 − 2 biçiminde tanımlanan 1 − 1 ve örten f fonksiyonunun tersinin
kuralını bulunuz.
Soru: f : ℝ → ℝ , f ( x) = x 2 − 2 x − 3 biçiminde tanımlanan f fonksiyonunun tersinin kuralını bulunuz.
Soru: Tanımlı olduğu aralıkta f (2 2 x + 1) = 2 2 x −1 + 1 biçiminde tanımlanan f ( x ) fonksiyonu için
(
)
f −1 2 5 = ?
Soru:
f : ℝ → ℝ , f ( x 2 + 3 x) = 3 x 2 + 9 x + 6 biçiminde tanımlanan f fonksiyonunda f
f ( x ) = ? , f −1 ( 3) = ?
( 5) = ?,
1 1

Soru: Tanımlı olduğu aralıkta f  x +  = 2 + x 2 + 2 biçiminde tanımlanan f ( x ) fonksiyonu için
x x

f
( 5) = ?,
f −1 ( 7 ) = ? , f ( x ) = ?
1  1

Soru: Tanımlı olduğu aralıkta f  x 2 + 2  = + x + 2 biçiminde tanımlanan f ( x ) fonksiyonu için,
x  x

−1
−1
f (7) = ? , f ( x) = ? , f ( x) = ?
Soru: f : ℝ → (1, ∞ ) , f ( x) = 2 2 x −1 + 1 biçiminde tanımlanan f ( x ) fonksiyonu için f −1 ( 9 ) = ?
 1  −2 x − 3
Soru: f 
ise, f −1 ( x ) = ?
=
x
−
1
x
−
1


Soru: f : A → B , f ( x) = 2 x + 2 x −1 biçiminde tanımlanan fonksiyon 1 − 1 ve örtendir. f −1 ( x ) = 3
denklemini sağlayan x sayısı kaçtır? ( f −1 ( x ) = 3 → f ( 3) = x olduğunu hatırlayınız.)
19
Tolga KURTYEMEZ
Soru: f :[−1, ∞) → [−5, ∞) , f ( x) = x 2 + 2 x − 4 biçiminde tanımlanan f ( x ) fonksiyonu için f −1 ( x )
kuralını bulunuz.
Çözüm :
y = x 2 + 2 x − 4 ise,
y = x 2 + 2 x + 1 − 3 → y = ( x + 1) − 3 olur. Tersi için ;
2
y + 3 = ( x + 1) olur.
2
y + 3 = x + 1 , ( x ∈ (−1, ∞) → x + 1 = x + 1) olur.
x + 3 = y + 1 → y = f −1 ( x ) = x + 3 − 1 ( x ile y yer değiştirir.)
Soru: f ( x 2 + 3) = x3 − 1 biçiminde verilen f ( x ) fonksiyonu 1 − 1 ve örtendir. Buna göre f −1 ( 26 ) = ?
Soru: f : ℝ → ℝ , f ( x) = x 3 − 16 x + 1 bağıntısı için f −1 (1) = ?
a b c d e
−1
Soru: A = {a, b, c, d , e} kümesinde tanımlanan f = 
 permütasyon fonksiyonu için f
b
e
a
c
d


kuralını bulunuz.
Soru: f : ℝ → ℝ , f ( x) = x 3 + 2 x 2 + ax − 5 bağıntısı veriliyor. f −1 bağıntısının grafiği ( −1, 2 )
noktasından geçtiğine göre a ’ nın değeri kaçtır?
Uyarı: y = f ( x ) ve y = f −1 ( x ) fonksiyonlarının grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir.
y
..
y=x
y = f(x)
x
y=f
20
-1(x)
Tolga KURTYEMEZ
Soru: f : ℝ − {3} → ℝ − {1} , f ( x) =
Soru: f : ℝ − {1} → ℝ − {2} , x =
x+a
fonksiyonu birebir ve örten ise, f −1 ( 2 ) = ?
x−b
f ( x) +1
2 − f ( x)
ise, f −1 ( x ) = ? (
x +1
)
2− x
 2x −1 
−1
Soru: f : ℝ − {2} → ℝ − {−2} , f 
 = x + 1 ise, f ( x ) = ? , f ( x ) = ?
 x+3 
Soru: f : (−∞, 2] → [4, ∞) , f ( x) = x 2 − 4 x + 8 ise, f −1 ( x ) = ?
Çözüm :
y = x2 − 4 x + 8 → y = x2 − 4 x + 4 + 4
y = ( x − 2 ) + 4 ise,
2
y − 4 = x − 2 , ( x ∈ (−∞, 2] → x − 2 = − x + 2 ) olduğundan,
y − 4 = − x + 2 olur. Tersi için;
x − 4 − 2 = − y → f −1 ( x ) = − x − 4 + 2 bulunur.
Soru: f : ℝ − {2} → ℝ , f ( x ) =
3x − 9
3
fonksiyonunun görüntü kümesinde hangi eleman olamaz ? ( )
2x − 4
2
Soru: f : (−1, ∞) → [2, ∞) , f ( x) = x 2 + 2 x + 3 ise, f −1 ( x ) = ? ( f −1 ( x ) = x − 2 − 1 )
Örnek : f : ℝ → ℝ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıda verilen ifadeleri bulunuz.
y
( −2 ) = ?
f ( −5 ) = ?
f −1 (1) = ?
f −1 ( −3) = ?
a. f
−1
c.
−1
e.
g.
d.
−1
f.
h.
3
( 2) = ?
f ( 0 ) ne olabilir ?
f ( f (1) ) = ?
f ( x + 3) = 3 ise, x = ?
b. f
−1
2
1
3
-5
-4
-2
1
0
5
7
x
-2
-3
21
Tolga KURTYEMEZ
Soru : Grafik birebir ve örten f ( x + 1) fonksiyonuna aittir. Buna göre f ( −1) + f −1 ( 3) + f ( 3) = ? (6)
y
5
3
-2
0
2
x
Soru : Grafik birebir ve örten f ( 3 − 2 x ) fonksiyonuna aittir. Buna göre f ( −1) + f ( 3) + f −1 ( 5 ) = ? (8)
y
5
3
-1
0
2
x
y = f (3 − 2x )
Soru : f ( 2 x + 3) = 3x + 4 ve g −1 ( 4 x − 6 ) = 5 x + 9 olduğuna göre, g ( f −1 ( −2 ) ) = ?
Soru : f ( x + 1) = 32 x −1 ise, f ( x − 1) ’in f ( x ) türünden değerini bulunuz.
6
Soru : f ( x 2 − 2 x ) = 5 x 2 − 10 x − 3 ise, f −1 ( x ) = ? ( )
5
 2x −1
 5 , x < 2
Soru : f ( x ) = 
veriliyor. Buna göre, f −1 ( x ) = ?
 x +1, x ≥ 2
 5
22
3
 5x + 1
 2 , x < 5
(
)
3
5 x − 1, x ≥

5
Tolga KURTYEMEZ
x
x≥2
 2 ,
x ≥1
 2 x,
−1
Soru : f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 
veriliyor. Buna göre, f ( x ) = ? ( 
)
5 x − 3, x < 1
x+3, x < 2
 5
FONKSİYONLARIN BİLEŞKESİ
f : A → B , g : C → D , f ( A) ⊂ C olan f
(x → y =
f ( x) ) ve g ( y → z = g ( y ) ) fonksiyonları için
g f : A → D , ( g f )( x) = g ( f ( x)) = g ( y ) = z fonksiyonuna g ve f fonksiyonlarının bileşkesi denir.
Burada “ o ” bileşke sembolüdür.
g
f
A
C
D
B
y
x
z
gοf
z = g(y) = g(f(x)) = (g ο f)(x)
dir.
Soru: f ( x ) = 2.x + 3 , g ( x ) = x 2 − 5 biçiminde verilen f ve g fonksiyonları için
a. ( gof )(1) = ?
b. ( fog )( 2 ) = ?
c. ( fof )( −1) = ?
Soru: f : ℝ → ℝ , f ( x) = x 2 − 4 , g : ℝ → ℝ , g ( x) = 3 x + 2 biçiminde tanımlanan f ve g
fonksiyonları için;
a. ( fog )( x ) = ?
b. ( gof )( x ) = ?
c. ( fof )( −1) = ?
2 x + 1, x > 1 ise
 x2 ,

Soru : f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2,
x = 1 ise ve g : ℝ → ℝ , g ( x ) = 
3,
 x,
x < 1 ise

x>2
parçalı fonksiyonları
x≤2
veriliyor. ( fog )( 3) + ( gof )( −1) = ? ( 22 )
23
Tolga KURTYEMEZ
Soru : f ( x ) = x 2 ve g ( x ) = x − 1 fonksiyonları için ( fog ) bileşke fonksiyonunun kuralını ve tanım
kümesini bulunuz. (Sonucun g in tanım kümesi ile aynı olduğuna dikkat ediniz.)
x +1
ve g ( x ) = 2 x + 1 kuralları ile verilen f ve g fonksiyonları için ve
x −1
( fog )( A) = {2,3,5} olduğuna göre, A kümesini bulunuz.
Soru : f ( x ) =
Çözüm :
( fog )( x ) = f ( g ( x ) ) =
g ( x) +1
g ( x) −1
=
x +1
x
Tanıma göre, ( fog )( A ) kümesi A ’nın ( fog ) altındaki görüntü kümesidir. A kümesinin
elemanları, ( fog ) altındaki görüntüleri 2, 3 ve 5 olan elemanlardır.
x +1
x +1
1 x +1
1
= 2 → x = 1,
=3→ x = ,
= 5 → x = bulunur. Buna göre;
x
x
2
x
4
 1 1
A = 1, ,  olur.
 2 4
Soru : f : ℝ − {1} → ℝ ve f ( x ) =
1− x
kuralı ile verilen f fonksiyonu için ( f o f o f o ... o f )( x )
x +1
2002 tane
ifadesini bulunuz.
Çözüm :
 1− x 
1− 

1− f ( x)
x +1

=
= x olur.
( fof )( x ) = f ( f ( x ) ) =
f ( x) +1  1− x 

 +1
 x +1 
( fofof )( x ) = f ( fof ( x ) ) = f ( x )
olur.
x
( fofofof )( x ) = f ( fofof ( x ) ) = ( fof )( x ) = x
bulunur. Buna göre;
f ( x)
4 tane
( x ) = f ( x ) , n tek ise,
f n ( x ) = x , n çift ise olur. Buradan da sonuç;
f
n
24
f 2002 ( x ) = x bulunur.
Tolga KURTYEMEZ
 x2 ,
x≥5
Soru : f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 x − 1 ve g : ℝ → ℝ , g ( x ) = 
parçalı fonksiyonları veriliyor.
 2 − x, x < 5
( fog )( 2 ) + ( gof )( 4 ) = ? ( 48 )
BİLEŞKE FONKSİYONLARIN ÖZELLİKLERİ
1. Fonksiyonlarda bileşke işleminin değişme özelliği yoktur. Yani, genel olarak
fοg≠gοf
Soru: f : ℝ → ℝ , f ( x) = 3 x − 1 , g : ℝ → ℝ , g ( x) = 2 x + 1 ise ( fog )( x ) ve ( gof )( x ) fonksiyonlarının
kuralını bulunuz.
2. Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özelliği vardır.
(f ο g) οh = f ο (g ο h)
Soru: f : ℝ → ℝ , f ( x) = 2 x + 1 , g ( x) = 3 x − 1 , h( x) = 5 x ise [ f ( g h)] ( x) ve [ ( f g ) h ] ( x)
kurallarını bularak eşit olduklarını gösteriniz.
3. I birim fonksiyonu ve f bir fonksiyon olmak üzere f ο I = I ο f = f
tir. I bileşke
fonksiyonuna göre birim ( etkisiz ) fonksiyondur.
Teorem: I birim fonksiyon ise, fοI = Iοf =f tir.
İspat: A ≠ ∅ ve I : A → A , I ( x) = x olsun.
(f
(I
I ) ( x) = f ( I ( x)) = f ( x) ⇒ f I = f
f ) ( x) = I ( f ( x)) = f ( x) ⇒ I f = f
dir.
dir.
O halde , f ο I = I ο f = f tir.
4. I birim fonksiyon olmak üzere ,
fοf–1 = f–1οf = I
dır.
İspat: f ( x) = y ise f −1 ( y ) = x olur.
25
Tolga KURTYEMEZ
(f
f −1 ) ( y ) = f ( f −1 ( y )) = f ( x) = y ⇒ f
(f
(f
İspat:
(f
(g
f ) ( x) = f −1 ( f ( x)) = f −1 ( y ) = x ⇒ f −1 f = I dır.
−1
f −1 )(3 x − 1) = 14 ise x kaçtır ?
Soru: ( f
5.
f −1 = I dır.
)
g
g)
−1
−1
−1
(f
f −1 )
O halde ,
= g
−1
g ) = I dır.
(f
(f
dir.
−1
f
g ) = g −1
(f
)
= g
g
−1
−1
f ) g = g −1 I g = g −1 g = I
−1
f
−1
dır.
dir.
6. f g = h ⇒ g = f −1 h dır.
f g = h ⇒ f = h g −1 dir.
İspat: f g = h ⇒ ( f −1 f g ) = f −1 h ⇒ g = f −1 h dır.
f g=h ⇒
(f
g g −1 ) = h g −1 ⇒ f = h g −1 dir.
Soru: g : ℝ → ℝ , g ( x) = 2 x − 3 ; g f : ℝ → ℝ , ( g f ) ( x) = 6 x − 5 ise f ( x ) = ?
7. f fonksiyonu için
(f )
−1 −1
= f
tir.
Soru: Tanımlı olduğu değerler için f ( x) =
2
ve
x−3
(f
g −1 ) ( x) =
−1
x +1
ise g ( x ) = ?
2x −1
3 x − 1, x ≥ 1
Soru: f : ℝ → ℝ , f ( x) =  2
ve g : ℝ → ℝ , g ( x) = x + 1 fonksiyonları veriliyor. ( f
 x − 1, x < 1
kuralını bulunuz.
Soru:
f : ℝ → ℝ, f ( x) = ax + 1
 fonksiyonları veriliyor. f
g : ℝ → ℝ, g ( x ) = 3 x + b 
26
g )( x )
g birim fonksiyon ise a − b = ?
Tolga KURTYEMEZ
Soru: f ve g 1 − 1 ve örten fonksiyonlar, ( f g −1 ) ( x) = 2 x − 3 ,
(f
(g
f ) ( x) = 5 x − 1 ise ,
f ) (2) = ?
x
 1 
1
Soru: Tanımlı olduğu değerler için f 
⇒ f  =?
=
 x − 2  3x − 1
 x
Soru:
(g
f ) ( x) =
2x +1
, g ( x) = x + 3 ⇒ f ( x) = ?
x −1
Soru: f : ℝ → ℝ , f ( x ) doğrusal fonksiyon ise f ( x ) = ax + b biçimindedir. f ( x ) doğrusal fonksiyon
ve ( f
f ) ( x) = 4 x − 15 ise f ( 2 ) = ?
a b c d e
a b c d e
Soru: A = {a, b, c, d , e} kümesinde tanımlı f = 
 ve f g = 

b d e a c
e a d c b
permütasyon fonksiyonları veriliyor. Buna göre g permütasyonunu bulunuz.
2 x + 1, x > 1
x + 2, x > 0
Soru: f : ℝ → ℝ, f ( x) =  2
ve g : ℝ → ℝ, g ( x) = 
ise,
 x + 1, x ≤ 1
2 x − 1, x ≤ 0
( f g ) (−1) + ( g f ) (2) = ?
Soru: f −1 ( 3 x − g ( x ) ) =
x+3
ve f ( 2 ) = 8 ise, g ( 7 ) = ? (13)
x−2
Soru: Tanımlı olduğu değerler için f ( x 2 + 2 x) = 5 x 2 + 10 x − 2 ⇒ f −1 (8) = ?
Soru:
y
f : ℝ → ℝ , y = f ( x ) biçiminde tanımlanan
f(x)
5
f ( x ) fonksiyonuna göre
4
a)
( fof )( 3) = ?
b) ( f
-4
-2
3
5
6
x
f )(−7) = ?
c) ( f f ) ( x − 2) = −2 olan x ’ lerin
toplamı kaçtır?
-2
27
Tolga KURTYEMEZ
Soru: Tanımlı olduğu değerler için f ( x) =
2x −1
ise f ( 2.x ) ’ in f ( x ) cinsinden eşiti nedir?
x −3
Soru: Tanımlı olduğu değerler için f ( x ) = 3x −1 ise f ( 2 x + 1) ’in f ( x ) cinsinden ifadesi nedir?
−1
Soru: f ve g : ℝ → ℝ (1 − 1) ve örten fonksiyonlardır.  go ( fog )  ( x ) = 2a − x ve f ( a ) = 4 ⇒ a = ? (4)


Soru:
( fog )( x ) = 2 x − 1
ve
( goh )( x ) = x + 7 ise,
2.h ( 3) − f (10 ) = ?
Çözüm :
Her iki bileşke fonksiyonda g −1 ni uygulayalım,


 fo gog −1  ( x ) = ( 2 x − 1) og −1 → f ( x ) = 2.g −1 ( x ) − 1 ve


I ( x) 



 g −1og oh  ( x ) = g −1o ( x + 7 ) → h ( x ) = g −1 ( x + 7 ) olur.
 I ( x)



f ( x ) = 2.g −1 ( x ) − 1
−1
−1
Buradan
 → f (10 ) = 2.g (10 ) − 1 ve x = 3 için 2. ( h ( 3) = g (10 ) ) ise,
−1
h ( x ) = g ( x + 7 ) 
2.h ( 3) − f (10 ) = 1 olur.
Soru: Tanımlı olduğu değerler için f ( x ) = 2 x + 1 ise f ( 2 x ) ’in f ( x ) cinsinden ifadesi nedir?
1 2 3 
1 2 3 
Soru : A = {1, 2,3} kümesinde f = 
 ve g = 
 permütasyon fonksiyonları
3 1 2
2 3 1
tanımlanıyor. Buna göre, ( fog )(1) + ( gof )( 2 ) = ? (3)
Soru : Grafik f fonksiyonuna aittir. ( fofof )( m ) = 8 ⇒ m = ? (2)
y
8
5
2
5
x
28
Tolga KURTYEMEZ
Soru : Şekilde f ve g fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. Buna göre,
y
f
−1
( fog )( 5) = ?
( −2 ) + g −1 ( 3)
(1)
f
g
3
3
1
x
5
-2
Soru : Grafik y = f ( x ) fonksiyonuna aittir. ( fof )( x ) = 5 koşulunu sağlayan farklı x değerlerinin
toplamı nedir ?
(4)
y
5
3
-2
4
2
x
f
-2
Soru : Grafik f doğrusal fonksiyonuna aittir. Buna göre ( fofof )( 3) = ? (1)
y
f
4
4
Soru : ( fog ) ( x) =
x
2 f ( g ( x) ) + g 2 ( x) + 5
⇒ f ( 4 ) = ? (21)
3
Soru : Tanımlı olduğu değerlerde, f ( x ) =
1
x
ise f ( 2 − x ) ' in f ( x ) cinsinden değeri nedir ? (
)
x−2
f ( x)
1
1

1
Soru : f  x +  = x 2 + 2 olduğuna göre, f   fonksiyonunun f ( x ) türünden eşiti nedir ?
x
x
x

−2 f ( x ) + 3
)
(
f ( x) + 2
Soru : f ( x ) =
2x − 3
ax − 3
a.b
1
ve g ( x ) =
fonksiyonları veriliyor. ( fog )( x ) = ( gof )( x ) ise
=? (− )
x +1
bx − 2
2
2
29
Tolga KURTYEMEZ
Soru :
y
R
M
Yandaki şekilde y = x doğrusu ile y = f ( x ) ve
y=x
y = f ( x)
y = ∅( x)
Q
P
x1
x
y = ∅ ( x ) eğrileri verilmiştir. p , y = ∅ ( x ) eğrisinin x = x1
apsisli noktasıdır. [ P Q ] / / [O x ] , [Q R ] / / [O y ] ve [ R M ] / / [O x ]
olduğuna göre M noktasının ordinatı aşağıdakilerden hangisidir?
(E)
A) ( ∅of )( x1 )
B) f ( x1 ) + ∅ ( x1 )
D) f ( x1 ) .∅ ( x1 )
E) ( fo∅ )( x1 )
Genel Alıştırmalar
1) f ( x ) = 2 x + 3 fonksiyonunun tanım aralığı [a,2b] dir. f
C) f ( x1 ) .∅ ( x1 ) − 1
([ a, 2b]) = [ a − 1, b + 6] ise a + b = ?
2) ℕ + → ℚ ya fonksiyonu; n. f ( n ) = ( n + 1) f ( n − 1) şeklinde tanımlanıyor.
f ( 21)
f (1)
=?
3) A = {a, b, c} B = {1, 2} olmak üzere, A’ dan B’ ye fonksiyon olmayan kaç bağıntı tanımlanabilir?
 x  1
4) f 
 = olduğuna göre, f ( x ) = ?
 x +1  x
ax + 3
1 
 3
5) f : ℝ −   → ℝ − −  olmak üzere, f ( x ) =
fonksiyonu birebir ve örten ise, f ( 2 ) = ?
bx + 4
2
 4
6) f :[3, +∞) → [−4, +∞), f ( x ) = x 2 − 6 x + 5 ise f −1 ( x ) = ?
3 x − 7, x < 1 ise,
7) f ( x ) = 
fonksiyonu veriliyor. Buna göre, ( fof )( 4 ) = ?
 x − 5, x ≥ 1 ise,
8) Grafik f fonksiyonuna aittir. ( fofof )( m ) = 8 ⇒ m = ?
y
8
5
30
Tolga KURTYEMEZ
9) Grafik birebir ve örten f ( x + 1) fonksiyonuna aittir. Buna göre f ( −1) + f −1 ( 3) + f ( 3) = ? (6)
y
5
3
0
-2
2
x
10) f ( x ) = 2 x + 3 ve ( gof )( x ) = 4 x + 5 ⇒ g ( x ) = ?
11) Şekilde f ve g fonksiyonları verilmiştir. Buna göre m + n = ?
(11)
y
f ( x) =
g ( x) = x + 1
n
m
3
12)
Şekildeki
x2
32
ABCD
x
dörtgeni
bir
yamuktur.
A (1, 0 ) ,
B ( x, 0 )
f : x → " ABCD yamuğunun alanı " kuralı ile f fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre f
olmak
−1
( 48) = ?
üzere,
(7)
y
C
D
y = 2x
31
Tolga KURTYEMEZ
13) f : ℝ → ℝ ye doğrusal bir fonksiyondur. f ( x ) = 4. f −1 ( x ) − 3 ise ( fof )( 2 ) = ?
x <1
2 x + 5
 2
14) f ( x ) =  x − 1 1 ≤ x < 5 fonksiyonu veriliyor. Buna göre ( fofof )( 6 ) = ? (8)
 x−7
x≥5

−1
2 x − 3, x ≥ 5 ise
1
15) f ( x ) = 
ve g ( x ) = 2 x − 1 ise, ( g −1of ) ( 3) = ? ( − )
3
4 − 3 x, x < 5 ise
16) Grafik f ve g −1 fonksiyonlarına aittir. g ( f ( x − 2 ) ) = 0 denklemini sağlayan x kaçtır ? (4)
y
f
-3
-2
17) ( fog ) ( x) =
x
2
g-1
2 f ( g ( x) ) + g 2 ( x) + 5
2 f ( a ) + a2 + 5
⇒ f ( 4 ) = ? ( g ( x ) = a yaz f ( a ) =
olur)
3
3
x +1
olarak
2
tanımlanmıştır. Buna göre ( fogfog ..... fog ) (2) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir ?
18) f ve g reel sayılarda tanımlı iki fonksiyon olmak üzere f ( x ) = 2 x − 1, g ( x ) =
2 n kez
32
Tolga KURTYEMEZ
19) f : ℝ → [ −5, ∞ ] aralığında tanımlı f ( x ) = x 2 + 6 x + 4 fonksiyonunun tersi nedir ?
( f −1 ( x ) = ± x + 5 − 3 )
1
20) f ( x ) + 2 f   = 4 x + 3 ⇒ f ( x ) = ?
 x
21) Şekildeki f ( x ) fonksiyonunun grafiğine göre f ( f ( x + 1) ) = 2 ise x ’in alacağı değerler toplamı
nedir ? (-2)
y
2
1
-3
2
3
x
-1
22) x =
3 f ( x) + x
f ( x) + 2
görüntüsü olamaz ?
bağıntısı veriliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi f ( x ) fonksiyonunun
-3
(3)
-1
1
2
3
23) f ve g doğrusal (olmasa da bak)fonksiyonları için f ( x ) − g ( x ) = 2a − 5 f ( g −1 ( 4 ) ) = 1 ⇒ a = ? (1)
24) f ( x ) = 2 x − 4 ve g ( x ) = x + 1 fonksiyonları veriliyor. x ≥ 2 için ( fog )( x ) = ?  2 ( x − 1) 
25) f ( x ) =
a. f ( x ) − 2
x −1
koşulunu sağlayan f fonksiyonu x = 3 için tanımsız ise, f −1 ( x ) = ? (
33
3x − 2
)
x
Tolga KURTYEMEZ
 x4 + 1 
1
26) f  2  = x + − 2 olduğuna göre f ( x ) = ?
x
 x 
( x+2 −2)
27) f : ℝ − {5} → ℝ − {2} tanımlı y = f ( x ) birebir ve örtendir. f ( x ) =
28) Şekilde f ( x ) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
3
4
5
6
f −1 ( 3) . f ( 3) < 0
f (5) . f
−1
(1) < 0
ax + 5
ise a + b = ? (-3)
x+b
ise f −1 ( 0 ) ne olabilir ? (4)
7
y
2
x
f ( x)
29) f ( x ) = 22 x −1 ve ( gof )( x ) = 4 x + 2 − 1 olduğuna göre g ( x ) = ?
30) f ( x + y ) = f ( x ) . f ( y ) eşitliği veriliyor. f ( 3) = 8 ise
31) f : ℝ − {1} → ℝ − {2} tanımlı f ( x ) =
nedir ? (
f ( x) + 4
− f ( x) + 5
( 32 x − 1 )
f ( 5 ) + f (1)
5 − f ( 2)
= ? (34)
2x + 1
fonksiyonu veriliyor. f ( x − 1) in f ( x ) türünden değeri
x −1
)
32) f ( 3 x 2 − 4 x + 7 ) = 6 x 2 − 8 x − 3 ⇒ f ( 8 ) = ?
(-1)
34
Tolga KURTYEMEZ
33) f ( x ) = 31− 2 x ve k . f ( 3x ) = f ( 2 x ) . f ( x ) ⇒ k = ? (3)
34) f : ℝ − {m, −1} → ℝ − {n} f ( x ) =
x+2
fonksiyonu veriliyor. Buna göre m.n.a = ? (0)
x + 3x − a
2
35) f ( x ) = 2 x − 1 fonksiyonu veriliyor. ( fofofof ......of )( 0 ) = ? ( 1 − 299 )
99 kez
36) f : ℝ − {b} → ℝ − {a} olmak üzere 3 f ( x ) =
4x +1 − f ( x)
( x − 1)
f fonksiyonu 1-1 ve örten ise
a
= ? (2)
b
37) f ( x + 1) = x3 + 3x 2 + 3x + 5 ise f −1 ( 9 ) = ?
38) f
(
)
x+4 =
x+a
ve f −1 ( 6 ) = 4 ⇒ a − a − a..... = ? (2)
3
39) f ( x3 − 2 x 2 ) = 4 x3 − 8 x 2 + 15 ise f −1 ( 75 ) = ? (15)
1
1

40) f : ℝ − → ℝ f  x −  = x 2 + 2 + 6 ⇒ f −1 ( 33 ) = ? (-5)
x
x

f (1)
1
41) f ( x ) + f   = x 2 − 4 x + 1 olduğuna göre
= ? (3)
f ( −1)
x
42) f ( a.b ) = f ( a ) . f ( b ) eşitliğini sağlayan f fonksiyonu için f ( 2 ) = 3 ⇒ f ( 8) = ? (27)
35
Tolga KURTYEMEZ
43) f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) eşitliğini sağlayan f fonksiyonu için f ( 4 ) = 3 ⇒ f (16 ) = ? (12)
44) f ( a.b ) = f ( a ) + f ( b ) eşitliğini sağlayan f fonksiyonu için f ( 3) = 2 ⇒ f ( 81) = ? (8)
3 x + 1 x tek ise
45) f : ℤ → ℝ ye f ( x ) =  3
 x + 1 x çift ise
( fof )( x ) = 28 denkleminin kökü nedir ?
(2)
46) f ikinci dereceden bir fonksiyondur. f ( −1) = 3, f ( 0 ) = 4, f (1) = 9 olduğuna göre f ( 2 ) = ?
47) Şekilde y = x , y = f ( x ) ve y = g ( x ) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. ABCD bir kare ve D
noktasının apsisi m olduğuna göre B noktasının ordinatı nedir ?
a ) ( gof )( m )
y
y = g ( x)
A
b) ( fog )( m )
y=x
B
c) f ( m ) g ( m )
d ) f .g ( m )
C
D
m
y = f ( x)
e) ( f + g )( m )
x
48) f ( x. y ) = x. f ( y ) + y. f ( x ) ⇒ f (1) = ? ( 0 )
x ∈ Asal sayı
 x2 − x − 1 x ∈ ℤ+
2 x + 1


49) f ( x ) =  2 1
Şeklinde verilen f ve g
g ( x) =  4
−
+
1
asal
olmayan
çift
sayılar
x
+
x
∈
ℤ

 x
x2

fonksiyonları için ( fog )( 2 ) = ? (19)
36
Tolga KURTYEMEZ
50) f ( x ) = 2 x − 3 − 15 x + 16 fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir? ( [ 7, ∞ ] )
51) f k ( x ) = k .x şeklinde tanımlı f fonksiyonu için ( f1of 2 of 3o...... f n )( x ) = 5040 x olduğuna göre
n = ? (7)
52) Şekilde f ( x ) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre; ( fofofo.......of )(1) ifadesinin değeri
1995 tan e
nedir? (
)
y
3
2
1
1
2
x
3
53) Şekilde ℝ → ℝ ye tanımlı f ve g fonksiyonları verilmiştir. ℝ + → ℝ + ya tanımlı olan h
fonksiyonu ise h : x → " f ve g fonksiyonlarının altında kalan taralı alan " olarak tanımlanmıştır. Buna
göre ( foh )( x ) = 2 ise x = ?
y = g ( x)
y
y = f ( x)
3
x
3
54) f : ℝ + → ℝ + ve f ( x ) = x + 2 veriliyor. ( fofofo......of ) değeri kaçtır?
1997 tan e
55) f : ℝ → ℝ, y = f ( x ) = ax + b dir. f ( x ) + f ( 2 x ) + f ( 3x ) + ..... + f ( nx ) = 36ax + 16 oluğuna göre
b=? (
)
56) 2. f ( 2 − x ) + f ( x + 2 ) = x + 3 ise f ( 4 ) = ? (-1)
37
Tolga KURTYEMEZ
57) f ( x ) =
x −1
⇒ f ( 4 x ) ifadesinin f ( x ) cinsinden değeri nedir ?
2x + 1
58) y = f ( x ) fonksiyonunun grafiği (1, −3) ve ( 4,3) noktalarından geçmektedir.
( 3x + 1) . f ( x − 2 ) = a. f ( x + 1) + x
olduğuna göre a = ?
59) Reel sayılarda tanımlı bir f fonksiyonu için 2. f ( x + y ) = f ( x ) . f ( y ) ⇒ f ( 0 ) ne olabilir ?
60) f ( x ) = x 2 + 1
( fog )( x ) = x3 − 2 x + 5 ise, g ( 3) ün pozitif değeri ?
38
(5)
Tolga KURTYEMEZ
Dosya adı:
Dizin:
Şablon:
FONKSİYONLAR KONU ANLATIMI
C:\Users\TOLGA\Desktop\INTERNET
C:\Users\TOLGA\AppData\Roaming\Microsoft\Templates\Nor
mal.dotm
Başlık:
BAĞINTI VE FONKSİYON
Konu:
Yazar:
TOLGA KURTYEMEZ
Anahtar Sözcük:
Açıklamalar:
Oluşturma Tarihi:
08.01.2017 14:16:00
Düzeltme Sayısı:
2
Son Kayıt:
08.01.2017 14:16:00
Son Kaydeden:
TOLGA
Düzenleme Süresi: 1 Dakika
Son Yazdırma Tarihi: 08.01.2017 14:16:00
En Son Tüm Yazdırmada
Sayfa Sayısı:
38
Sözcük Sayısı:
6.837(yaklaşık)
Karakter Sayısı: 38.976(yaklaşık)