1 Residü hesabı kullanılarak hesaplanabilen bir takım has olmayan

1
Residü hesabı kullanılarak hesaplanabilen bir
takım has olmayan integraller
Aşağıda p ve q ortak bölenleri olmayan polinomlar ve f (z) =
p (z)
,
q (z)
R (x, y) rasyonel ve q nun gerçel kökü yok.
H : Üst yarı düzlem, B : Açık birim disk
I. deg q ≥ deg p + 2 ise
∫ +∞
∑
f (x) dx = 2πi
(f (z) nin H deki residüleri)
−∞
II. deg q ≥ deg p + 1 ise
∫ ∞
∑(
)
f (x) eix dx = 2πi
f (z) eiz nin H deki residüleri
−∞
III. deg q ≥ deg p + 1 ve 0, q nun tek katlı kökü ise
∫ ∞
∑(
)
f (x) eix dx = πiResf (z) + 2πi
f (z) eiz nin H deki residüleri
z=0
−∞
IV. deg q > deg p + a ve q nun [0, ∞] da kökü yok ise
)
∫ ∞
∑(
2πi
za
f (x) xa−1 dx =
f
(z)
nin
z
=
̸
0
daki
residüleri
(1 − e2πai )
z
0
( (
)
(
))
1
1
1
1
1
V. g (z) = R
z+
,
z−
ise
iz
2
z
2i
z
∫ 2π
∑
R (cos θ, sin θ) dθ = 2πi
(g (z) nin B deki residüleri)
0
Örnek 1 I =
∫
∫ ∞ x2 − 1
0
∞
x2 − 1
−∞
(x2 + 4)
2I =
f (z) =
z2 − 1
2
(z 2 + 4)
2 dx
(x2 + 4)
2 dx
= 2πi
integrali I. tiptedir.
∑
(
)
z2 − 1
2
(z 2 + 4)
nin üst yarı düzlemdeki residüleri
ise f nin üst yarı düzlemdeki kutbu z = 2i dedir. Bu kutup 2.
derecedendir. Çünkü ϕ (z) =
z2 − 1
2
(z + 2i)
f (z) =
ise ϕ (2i) =
ϕ (z)
2
(z − 2i)
1
−4 − 1
(4i)
2
=
5
̸= 0 ve
16
dir. O halde
( 2
) 2
2z
(z
+
2i)
−
2
(z
+
2i)
z
−
1
Resf (z) = ϕ′ (2i) =
4
z=2i
(z + 2i)
dir. O halde
Örnek 2 I =
2
=
z=2i
(4i) (4i) − 2 (4i) (−5)
(4i)
4
=−
3
i
32
(
)
3
3
3
π =⇒ I =
π
2I = 2πi − i =
32
16
32
∫ ∞ cos x
∫ ∞ sin x
sin x
dx integrali II. tiptedir. 2
tek olduğundan −∞ 2
dx =
0 x2 + 1
x +1
x +1
0 dır. O halde
)
∫ ∞
∑ ( eiz
eix
2I =
dx
=
2πi
nin
üst
yarı
düzlemdeki
residüleri
2
z2 + 1
−∞ x + 1
eiz
ise f nin üst yarı düzlemdeki kutbu z = i dedir. Bu kutup 1.
z2 + 1
eiz
e−1
derecedendir. Çünkü ϕ (z) =
ise ϕ (i) =
̸= 0 ve
z+i
2i
f (z) =
f (z) =
ϕ (z)
z−i
dir. O halde
Resf (z) = ϕ (i) =
z=i
dir. O halde
2I = 2πi
Örnek 3 I =
e−1
2i
e−1
π
π
= =⇒ I =
2i
e
2e
∫ ∞ x sin x
∫ ∞ x cos x
x cos x
dx integrali II. tiptedir. 2
tek olduğundan −∞ 2
dx =
0 x2 + 9
x +9
x +9
0 dır. O halde
)
∫ ∞
∑ ( zeiz
xeix
2iI =
dx = 2πi
nin üst yarı düzlemdeki residüleri
2
z2 + 9
−∞ x + 9
eiz
ise f nin üst yarı düzlemdeki kutbu z = 3i dedir. Bu kutup 1.
z2 + 9
zeiz
e−3
derecedendir. Çünkü ϕ (z) =
ise ϕ (i) =
̸= 0 ve
z + 3i
2
f (z) =
f (z) =
ϕ (z)
z−i
dir. O halde
Resf (z) = ϕ (i) =
z=i
dir. O halde
2iI = 2πi
e−3
2
π
e−1
=⇒ I = 3
2
2e
2
∫∞
sin x
cos x
dx integrali III. tiptedir.
tek olduğundan
2
x (x + 1)
x (x2 + 1)
∫∞
cos x
1
= 0 dır. O halde f (z) =
olduğuna göre
−∞ x (x2 + 1)
2
z (z + 1)
∫ ∞
∑(
)
eix
iz
2iI =
dx
=
iπRes
f
(z)
e
+2πi
f (z) eiz nin üst yarı düzlemdeki residüleri
2 + 1)
z=0
x
(x
−∞
Örnek 4 I =
0
1
eiz iz
=1
Res
e = 2
z=0 z (z 2 + 1)
(z + 1) z=0
1
e−1
eiz e−1
iz
Res
=
e
=
=−
2
z=i z (z + 1)
z (z + i) z=2i
i (2i)
2
dir.
Buradan
2I = π − 2π
∫ ∞ 4 −1
x3
dx = 0 xx23+1 dx integrali p = 1, q = x2 + 1 ve a =
0 x2 + 1
ile , deg q − deg p = 2 > 43 = a olup IV. tiptedir. f (z) = z21+1 olduğuna göre
Örnek 5 I =
∫
∞
I=
0
dir.
∫∞
)
e−1
π(
=⇒ I =
1 − e−1
2
2
1
∑
x3
2πi
)
dx = (
2
4
x +1
1 − e2π 3 i
1
(
)
4
1 z3
nin pozitif veya 0 olmayan residüleri
z2 + 1 z
√
4
4
π 4
1 z3
1 z 3 1−i 3
ei 2 3
Res 2
=
=
=
z=i z + 1 z
(z + i) z (2i) i
4
z=i
4
4
3π 4
1 z3
1 z 3 1
ei 2 3
Res
=
=−
=
z=−i z 2 + 1 z
(z − i) z (−2i) (−i)
2
z=−i
4
e2π 3 i
4
1 − e2π 3 i
√
2πi
2πi
−1 + i 3
e 3 =e 3 =
2
√
√
√
−1 + i 3
3−i 3
1
13+i 3
1−
=
=⇒
=
4
2
2
3
2
1 − e2π 3 i
= e
=
I
8πi
3
=
=
=
=e
6πi
3
)
√ )(
√
3+i 3
1−i 3 1
−
2
4
2
(
√ )(
√ )
2πi 3 + i 3
1+i 3
−
3
2
4
π√
3
3
2πi
3
4
3
(
3
Örnek 6 I =
göre
∫ 2π
0
1
3+2 sin θ dθ
integrali V. tiptedir. C birim çember olduğuna
∫
∫
1
dz
dz
(
)
=
2
1 iz
2 + 3iz − 1
z
3
+
z
−
C
C
2i
z
(
)
(
)
(
)2
2
2
3i
3i
z 2 + 3iz − 1 = 0 =⇒ z + 2 − 1 − 2
= 0 =⇒ z + 3i
+ 54 = 0 =⇒
2
√
√
5
5
3i
z + 3i
2 = ± 2 i =⇒ z = ± 2 i − 2 olur. O halde birim çember içindeki kök
√
z0 =
dir. Ayrıca
1
z 2 +3iz−1
5−3
i
2
in z0 daki residüsü
1 1
1
)
= (√
= √
5−3
2z + 3i z=z0
i 5
2
2 i + 3i
Buradan
1
2π
I = 2πi √ = √
i 5
5
bulunur.
1.1
∫
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız
∞
1.
∫
−∞
∞
2.
∫
−∞
∞
3.
∫
−∞
∞
4.
∫
−∞
∞
5.
∫
−∞
∞
6.
−∞
∫
∞
7.
0
∫
2π
8.
0
1
dx (Cevap :
x6 + 1
2π
3 )
x2
dx (Cevap :
x4 + 1
√
π 2
2 )
x−1
dx (Cevap :
x5 + 1
4π
5
sin 2π
5 )
eiax
dx, a > 0 (Cevap : πe−a )
x2 + 1
cos x
dx, a > 0 (Cevap :
x2 + a2
cos x
(x2 + a2 )
2 dx,
πe−a
a )
a > 0 (Cevap :
xa−1
dx, 0 < a < 3 (Cevap :
x3 + 1
π(1+a)
2a3 ea )
π
3 sin πa
3
)
1
dθ, 0 < a < 1 (Cevap :
1 + a2 − 2a cos θ
4
2π
1−a2 )
∫
π
9.
∫
0
1
dθ (Cevap :
3 + 2 cos θ
π
10.
0
a2
∫ 2π
a
2 dθ = 0
+ sin θ
π
√
)
5
adθ
1+2a2 −cos θ
5
(Cevap :
√ π
)
1+a2