14.04.2014 No: Ad-Soyad: İmza: Soru 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Toplam

14.04.2014
No:
Ad-Soyad:
İmza:
Soru
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Puanlama
25
25
25
25
25
25
25
Toplam
Alınan Puan
1104024182006 GEOMETRİK TOPOLOJİ ARASINAV SORULARI
Not: İstediğiniz 4 soruyu cevaplayınız.
1. A = {(x, y) ∈ R2 | y = 2x2 } ve B = {(x, y) ∈ R2 | x = 1} olmak üzere A ∪ B , R2 de bir
topolojik manifold mudur ? Açıklayınız
Cevap :
100
2. f : R2 −→ R C ∞ -fonksiyon ise
f (x, y) = f (0, 0) +
∂f
∂f
(0, 0)x +
(0, 0)y + x2 f11 (x, y) + xyf12 (x, y) + y 2 f22 (x, y)
∂x
∂y
olacak şekilde R2 de f11 , f12 ve f22 C ∞ -fonksiyonlarının var olduğunu ispatlayınız.
Cevap :
3. R3 deki α = a1 dx + a2 dy + a3 dz 1-eşvektörünü Vα =< a1 , a2 , a3 > şeklinde gösterebiliriz.
Yine R3 deki γ = c1 dy ∧ dz + c2 dz ∧ dx + c3 dx ∧ dy 2-eşvektörünü Vγ =< c1 , c2 , c3 > olarak
gösterebiliriz. O halde, α = a1 dx + a2 dy + a3 dz ve β = b1 dx + b2 dy + b3 dz ⇒ Vα∧β = Vα × Vβ
eşitliğinin gerçeklendiğini gösteriniz.
Cevap :
4.
f : R2 −→ R, (x, y) 7−→ f (x, y) = x3 − 6xy + y 2
fonksiyonu verilsin. Hangi c değerleri için f −1 (c), R2 nin regüler alt manifoldudur?
Cevap :
5. U = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 > 0} olsun.
φ : U ⊂ R3 −→ R, (x, y, z) 7−→ φ(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2
dönüşümünün batırma (submersion) olup olmadığını belirleyiniz.
Cevap :
6. Uygun indirgeme işlemlerinden yararlanarak abcbca ve abcb−1 dc−1 d−1 a−1 kelimeleriyle
verilen iki yüzeyin homeomorf olup olmadığını tayin ediniz.
Cevap :
7. G bir topolojik grup ve g ∈ G olsun. Rg : G −→ G, Rg (x) = x · g fonksiyonu homeomorfizmadır. Gösteriniz.
Cevap :
Başarılar Dilerim.
Prof. Dr. İsmet KARACA