C¸ALISMA SORULARI 2 Ders: Mat103 Konu: Limit ve Süreklilik 1. ϵ

ÇALIŞMA SORULARI 2
Ders: Mat103
Konu: Limit ve Süreklilik
1. − δ tanımını kullanarak aşağıdaki limitlerin doğruluğunu ispatlayınız.
√
1
1
(b) lim
(a) lim 1 − 2x = 3
=
√
2
x→−4
3
x→ 3 x
x2 − 1
3
(c) lim
=
x→2 x + 3
5
(d) lim √
1
=0
x→2
x−2
(g) lim (x2 + x + 3) = 5
1
=0
x→1
x−1
(h) lim (x2 + x + 3) 6= 1
x→1
(e) lim (x − 2)3 sin
x→1
1
1
=
x+1
2
(f) lim (x2 − 1) cos
x→1
2. Aşağıdaki limitlerde, verilen değerine karşı gelen uygun δ değerini bulunuz.
√
1
= −1, = 0.5 (c) lim 11 − x = 3, = 1
(a) lim (1−2x) = 3, = 0.01 (b) lim
x→2
x→−1
x→0 x − 1
3. Aşağıdaki limitler mevcut ise bulunuz, mevcut değil ise sebebini açıklayınız.
√
√
√
√
x−8
1 + x2 − 1 + x
1− x
(a) lim √
(b) lim
(c) lim
x→64 3 x − 4
x→1 1 − x
x→0
x
√
√
√
3
x−3 3
x+1−1
3−x
q
√
√
(e)
lim
(f)
lim
(d) lim √
4
3
x
x→27
x→0
x→3
x−3
x+1−1
4−x− 3
1
1
−
(g) lim 2 + x 2
x→0
x
x
(j) lim
x→0 tan 3x
1 + sin x − cos x
1 − sin x − cos x
cos h − 1
(p) lim
h→0
h
x + sin x
(s) lim
x→∞ x + cos x
(m) lim
x→0
x
−x
1
sin2 3x
(i) lim
x→0
x→0 5x2
x
sin x
sin2 x
(k) x→π
lim
(l) lim
x→0 x(1 − cos x)
x−π
√
√
1 + tan x − 1 + sin x
tan−1 x
(n) lim
(o)
lim
x→0
x→0
x3
x
2x
x + sin x
(q) lim
(r) lim
x→∞ sin x
x→∞ 2x + 5
√
x+x
−1
(t) lim tan x
(u) lim √
x→∞
x→∓∞
x + cos x
(v) x→∞
lim e sin(e )
√
√
(y) lim ( x2 + 1 − x2 − 1)
(h) lim x sin
x2 + 2
(w) x→∞
lim
x−5
x−5
x2 + 2
√
(z) lim x( 9x2 + 1 − 3x)
(x) x→∞
lim
x→∞
x→∞
1
sin(1 + f (x))
değerini bulunuz.
x→1
1 − f 2 (x)
4. lim f (x) = −1 ise, lim
x→1
5. Aşağıdaki fonksiyonların verilen noktadaki sağdan ve soldan limitlerini bulunuz.
|x−1|
x
(a) y =
+ x2 (x = 1)
(b) y = 2
+ x2 (x = ∓1)
x−1
x −1
1
1
2+x
(c) y = 4/3 −
(x = 0, 2)
(d) y =
(x = 0)
1/3
x
(x − 2)
1 + 21/x

2
√

| x |≤ 1
 1−x
1 − cos 2x
1
√
(e) y = 
(x = −1)
(f) y =
(x = 0)
| x |> 1

2x
|x|
1
x
(x = 2)
(x = 2)
(h) y =
(g) y = tan−1
1
x−2
3 − 4 x−2
6. f , x’in bir çift fonksiyonu olsun.
lim f (x) = 7 ifadesi
x→2−
lim f (x) veya
x→−2−
lim f (x)’in
x→−2+
değerleri hakkında bir bilgi veriyor mu? Yanıtınızı doğrulayan sebepler veriniz.
7. Aşağıdaki fonksiyonların asimptotlarını bulunuz.
x3
x3 + 2x − 1
(a) f (x) =
(b)
f
(x)
=
4 − x2
x3 + 2x2 − x − 2
8. f (x) =



















x+3
−1
−x + 1
1
x−1
x
−3 ≤ x < −1
x = −1
−1 < x ≤ 1
1<x≤2
x>2
(a) f (x)’in grafiğini çiziniz.
(b) f (x) fonksiyonunun süreksizlik noktalarını belirleyiniz? Varsa, süreksizlik cinslerini
sıralayınız.
9. f ve g fonksiyonlarının, x = 0, ∓1 noktalarında, limit, tek taraflı limit, süreklilik, ve tek
taraflı sürekliliğini inceleyiniz.
f (x) =















1
−x
1
−x
1
x ≤ −1
−1 < x < 0
x=0
0<x<1
x>1
g(x) =













0
1
x
0
1
x ≤ −1
| x |< 1
x=1
x>1
10. Aşağıdaki fonksiyonlar hangi noktalarda süreksizdir? Varsa, süreksizlik cinslerini sıralayınız.
x−2
x2 + 1
1
(a) f (x) =
(b) f (x) = 2
(c) f (x) = 2
x+2
x − 4x + 3
x +1
√
|x|
1
1
(d) f (x) =
(e) f (x) =
(f) f (x) = x sin
3−x
x
x
1−3 x
2
(g) f (x) =






sin−1





tan−1
π
x
2
1
x−2
0<x<2
x=2
(h) f (x) =
x>2
1 − cos x
x2

1


x 6= 0
x=0
11. Aşağıdaki limiti hesaplayınız (L’Hospital Kuralını kullanmayınız).
lim {ln[sin(x2 − 1)] − ln(x − 1)}
x→1+
x2 + 2x − 3
fonksiyonunun x = 1 noktasında sürekli olabilmesi için f (1) ne
x2 − 1
olmalıdır.
12. f (x) =
(
x2 − 1
x<3
fonksiyonunun her x değerinde sürekli olabilmesi için a’nın
2ax
x≥3
değeri ne olmalıdır?
13. f (x) =
14. f (x) fonksiyonu, [−1, 1] aralığında x4 ≤ f (x) ≤ x2 ve x < −1 ve x > 1 aralıklarında x2 ≤
f (x) ≤ x4 ise, hangi c noktası için, x→c
lim f (x) limit değerini otomatik olarak bilebilirsiniz?
Bu noktadaki limit değeri hakkında ne söyleyebilirsiniz?
15. f (x) = x3 − 2x + 2 olsun. f fonksiyonunun −2 ve 0 arasında bir sıfırı olduğunu gösteriniz.
16. Aşağıdaki fonksiyonların en az bir kökü olduğunu gösteriniz .
√
(b) f (x) = cos x + sin x − x
(a) f (x) = 3 x + x − 2
17. f fonksiyonunun [0, 1] kapalı aralığında sürekli ve her x ∈ [0, 1] için 0 ≤ f (x) ≤ 1 olduğunu
varsayalım. f (c) = c olacak şekilde bir c ∈ [0, 1] bulunabileceğini gösteriniz.
18. f ve g fonksiyonları [a, b] aralığında sürekli olsun ve f (a) < g(a) iken f (b) > g(b) olsun.
Herhangi bir c ∈ [a, b] için f (c) = g(c) olduğunu gösteriniz.
19. F (x) = (x − a)2 (x − b)2 + x, ve a, b ∈ R olsun. F (c) =
c ∈ (a, b) olduğunu gösteriniz..
3
a+b
eşitliğini sağlayan bir
2