ankara üniversitesi fen bilimleri enstitüsü doktora tezi iki

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DOKTORA TEZİ
İKİ PARAMETREYE BAĞLI SİNGÜLER İNTEGRALLERİN VE
TÜREVLERİNİN YAKINSAKLIK ÖZELLİKLERİ
Harun KARSLI
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2006
Her hakkı saklıdır
ÖZET
Doktora Tezi
¼ SI· NGÜLER I· NTEGRALLERI· N VE
I· KI· PARAMETREYE BAGLI
TÜREVLERI· NI· N YAKINSAKLIK ÖZELLI· KLERI·
Harun KARSLI
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal¬
Dan¬şman: Doç.Dr. Ertan I· BI· KLI·
Bu tez beş bölümden oluşmaktad¬r.
Birinci bölüm, giriş k¬sm¬na ayr¬lm¬şt¬r.
I· kinci bölümde ileri bölümlerde gerekli olan kavramlar ve tan¬mlar verilmiştir.
Üçüncü bölümde, iki parametreye ba¼
gl¬ konvolüsyon tipi singüler integral operatör
ailesinin Lp (a; b) uzay¬ üzerinde sürekli oldu¼
gu ispatland¬ktan sonra bu operatör
yard¬m¬yla L1 (a; b) uzay¬ndaki karakteristik noktalardaki noktasal yak¬nsakl¬klar incelenmiştir.
Dördüncü bölümde, bu operatörün türevlerinin L1 (a; b) uzay¬nda f fonksiyonunun
türevlerine yak¬nsakl¬klar¬ araşt¬r¬lm¬şt¬r.
Son bölümde ise iki parametreye ba¼
gl¬ konvolüsyon tipi singüler integral operatör
ailesinin, süreklilik modülü kullan¬larak, f fonksiyonuna ve türevlerine yak¬nsakl¬k
h¬z¬ hesaplanm¬şt¬r.
2006, 70 sayfa
Anahtar Kelimeler : Singüler integral, Konvolüsyon, I· ki parametreye ba¼
gl¬ operatör ailesi, Karakteristik nokta, Yak¬nsakl¬k, Süreklilik modülü, Yak¬nsakl¬k h¬z¬
i
ABSTRACT
Ph.D. Thesis
APPROXIMATION PROPERTIES OF SINGULAR INTEGRALS
DEPENDING ON TWO PARAMETERS AND THEIR DERIVATIVES
Harun KARSLI
Ankara University
Graduate School of Natural And Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Assoc.Prof.Dr. Ertan I· BI· KLI·
This thesis consists of …ve chapters.
The …rst chapter is devoted to the introduction.
The second chapter contains, concepts and de…nitions which are needed in the further chapters.
In the third chapter, after proving the continuity of the convolution type singular
integral operators family depending on two parameters, by means of these operators
the pointwise convergence on the characteristic points in the space L1 (a; b) are investigated.
In the fourth chapter, the convergence of the derivatives of these operators to the
derivatives of the function f in L1 (a; b) are studied.
In the last chapter, using the modulus of continuity, the rate of convergence of the
convolution type singular integral operators family depending on two parameters to
the function and to the derivatives of the function are examined.
2006, 70 pages
Key Words : Singular integral, Convolution, Operator family depending on two
parameters, Characteristic point, Convergence, Modulus of continuity, Rate of convergence
ii
TEŞEKKÜR
Bana araşt¬rma olana¼
g¬ sa¼
glayan ve çal¬şmam¬n her safhas¬nda yak¬n ilgi ve önerileri ile beni yönlendiren dan¬şman hocam, Say¬n Doç.Dr. Ertan I· BI· KLI· (Ankara
Üniversitesi Fen Fakültesi)’ye teşekkürlerimi bir borç bilirim. Çal¬şmalar¬m s¬ras¬nda
ellerinden gelen her türlü deste¼gi bana veren eşim Handan KARSLI ve o¼
glum Umut
KARSLI’ya sab¬rlar¬ndan ötürü teşekkürlerimi sunar¬m.
Harun KARSLI
Ankara, Kas¬m 2006
iii
İÇİNDEKİLER
ÖZET........................................................................................................................... ..... i
ABSTRACT ............................................................................................................... .... ii
TEŞEKKÜR ............................................................................................................... ... iii
SİMGELER DİZİNİ ............ .................................................................................... ... vi
1. GİRİŞ ..................................................................................................................... ..... 1
2. TEMEL KAVRAMLAR ......................................................................................... ... 7
3. KONVOLÜSYON TİPİ SİNGÜLER İNTEGRAL OPERATÖRLER
AİLELESİNİN L1 (a, b) UZAYINDA KARAKTERİSTİK NOKTALARDAKİ
YAKINSAKLIĞI ..................................................................................................... . 16
4. TÜREVLERİN YAKINSAKLIKLARI ................................................................ . 41
5. YAKINSAKLIK HIZLARI .......................................................................................61
KAYNAKLAR.............................................................................................................. ..68
ÖZGEÇMİŞ .................................................................................................................. ..70
iv
SI· MGELER DI· ZI· NI·
¤
I· ndis kümesi
Lp (a; b)
(a; b) üzerinde tan¬ml¬ mutlak de¼
gerinin p-yinci kuvveti
Lebesgue integrallenebilen fonksiyonlar uzay¬
C[a; b]
[a; b] üzerinde tan¬ml¬ sürekli fonksiyonlar uzay¬
BV [a; b]
[a; b] üzerinde tan¬ml¬ s¬n¬rl¬ sal¬n¬ml¬ fonksiyonlar uzay¬
var '(t)
'(t) fonksiyonunun [a; b] aral¬¼
g¬ üzerindeki varyasyonu
! 1 (f; ±)
f fonksiyonunun L1 ¡ süreklilik modülü
dt g(t; x)
g fonksiyonunun t de¼
gişkenine göre diferensiyeli
a·t·b
v
1. GI·RI·Ş
Klasik analizin gözönüne ald¬¼g¬ konu, herhangi bir fonksiyon uzay¬n¬n incelenmesidir. Bu incelemede önemli sorulardan birisi incelemeye al¬nan fonksiyon uzay¬nda
herhangi bir anlamda yo¼gun ve daha iyi özellikleri olan (türevlenebilme, integrallenebilme, polinom olma veya bir aral¬g¼¬n d¬ş¬nda özdeş olarak s¬f¬r olma gibi) bir
fonksiyon s¬n¬f¬ var m¬d¬r? Bu problem ilk olarak C[a; b] uzay¬ üzerinde Weierstrass
taraf¬ndan konulmuştur ve önemli sonuçlar ilk olarak yine Weierstrass taraf¬ndan
elde edilmiştir.
Weierstrass, 1885 y¬l¬nda iki temel teorem ispatlam¬şt¬r. Bu teoremlerden birisi,
kapal¬ ve s¬n¬rl¬ aral¬k üzerinde tan¬ml¬ sürekli bir fonksiyonun polinomlar dizisinin
limiti biçiminde gösterilebilece¼gi ile ilgilidir. Yani;
f 2 C [a; b] =) lim Pn(x) = f (x)
n!1
olacak biçimde (Pn ) polinom dizisi vard¬r.
Di¼ger teorem de ise, f nin 2¼ periyotlu sürekli bir fonksiyon olmas¬ halinde;
f 2 C[¡¼; ¼] =) lim Tn (x) = f(x)
n!1
olacak biçimde (Tn) trigonometrik polinom dizisinin var oldu¼gunu göstermiştir. Bu
teoremler daha sonra analizin en önemli dallar¬ndan biri olan Yaklaş¬mlar Teorisi
nin temel teoremleri olmuştur.
20. yüzy¬ldaki matematik, …zik, mekanik ve kuantum …zi¼gindeki gelişmeler göstermiştir ki, yaklaş¬m problemi daha geniş bir fonksiyon s¬n¬f¬ üzerinde incelenmelidir.
Sürekli fonksiyonlar uzay¬ndan genel olan uzaylar¬n en önemlilerinden birisi Lebesgue
uzaylar¬d¬r. Dolay¬s¬yla ilk çal¬şmalar bu uzaylar üzerinde yap¬lm¬şt¬r. Yaklaş¬m
problemi integrallenebilen fonksiyonlar s¬n¬f¬nda düşünülürse, Lebesgue ölçülebilir
fonksiyonlar¬n Lebesgue anlam¬nda integralleri, Lebesgue ölçüsü s¬f¬r olan noktalar
kümesinin d¬ş¬nda tan¬mland¬¼g¬ndan, bu s¬n¬ftan al¬nan bir fonksiyona yak¬nsayan
1
dizileri veya aileleri bir integral dizisi veya ailesi biçiminde alman¬n daha uygun
oldu¼gu görülmektedir.
·Integrallenebilen fonksiyonlar s¬n¬f¬ üzerinde dönüşüm yapan lineer bir integral operatör;
L(f; x) =
Z
f(t)K(t; x)dt
x2D
;
(1.1)
D
olarak verilebilir. Burada K(t; x) fonksiyonuna integral operatörün çekirde¼gi ad¬ verilir. (1.1) denkleminde, ¤ indis kümesi olmak üzere ¸ 2 ¤ iken K (t; x; ¸) çekirdekler
ailesi ele al¬n¬rsa,
L¸(f; x) =
Z
f(t)K (t; x; ¸)dt
x2D
;
D
(1.2)
biçiminde integral operatörler ailesi elde edilir. (1.2) denkleminde özel olarak
K(t; x; ¸) = H(t ¡ x; ¸) seçilmesi ile
L¸ (f; x) =
Z
D
f(t)H(t ¡ x; ¸)dt
;
x2D
(1.3)
biçiminde konvolüsyon tipi integral operatörler ailesi elde edilir.
Matemati¼gin ve …zi¼gin birçok dal¬nda bu tip operatörlerle karş¬laş¬l¬r.
Fen bilimlerinde incelenen problemlere karş¬l¬k gelen matematiksel modeller, diferensiyel denklemler için konulmuş s¬n¬r problemleri ile ifade edilebilir. Bunlar¬n çözümleri de bilindi¼
gi gibi Green fonksiyonlar¬ (lineer durumda) yard¬m¬yla konvolüsyon
şeklinde bulunabilir. Yine bilindi¼
gi gibi çözümün bu gösterimi singüler integral formundad¬r. Bu ise bu tip integrallerin incelenmesinin ne kadar gerekli oldu¼gunu gösterir. Hilbert Dönüşümü, Cauchy I· ntegrali, Riesz ·Integrali ve Bessel I· ntegrali bu tip
singüler integrallere örnek olarak verilebilir (Stein 1970, Stein-Weiss 1971).
Uygulama alanlar¬nda karş¬laş¬lan özel örneklerden baz¬lar¬ aşa¼g¬dad¬r:
i) Tan¬m bölgesinin D = (¡¼; ¼), indis kümesinin ¤ = (0; 1) ve limit noktas¬n¬n
2
¸0 = 1, H(t ¡ x; ¸) fonksiyonunun
H(t ¡ x; ¸) =
1 ¡ ¸2
1 ¡ 2¸ cos(t ¡ x) + ¸2
şeklinde seçilmesi ile elde edilen integral (Poisson integrali), birim dairedeki Dirichlet
probleminin çözümünü vermektedir.
ii) Tan¬m bölgesi D = (¡1; 1), indis kümesi ¤ = (0; 1) ve ¸0 limit noktas¬
0; H(t ¡ x; ¸) fonksiyonu
¸
1
2
¼ ¸ + (t ¡ x)2
olarak seçilirse Abel-Poisson integrali elde edilir. Bu integral üst yar¬ düzlemdeki
Dirichlet probleminin çözümüdür.
iii) Tan¬m bölgesinin D = (¡1; 1), indis kümesinin ¤ = (0; 1) ve ¸0 limit noktas¬n¬n 1; H(t ¡ x; ¸) fonksiyonunun
2 (t¡x)2
p̧ e¡¸
¼
olarak seçilmesi sonucunda elde edilen Gauss-Weierstrass integrali, tüm reel eksende
¬s¬ denkleminin çözümüdür.
iv) Tan¬m bölgesinin D = (¡¼; ¼), indis kümesinin ¤ = N ve Hn (t ¡ x) fonksiyonunun
2
32
n
sin
(t
¡
x)
1 6
7
2
4
5
1
2n¼ sin (t ¡ x)
2
seçilmesi ile elde edilen Fejer integrali, f fonksiyonunun Fourier serisinin k¬smi toplamlar¬n¬n aritmetik ortalamas¬n¬ vermektedir.
Ayr¬ca belirtelim ki, konvolüsyon tipli integraller yaklaş¬mlar teorisinde büyük öneme
sahiptirler. Çünkü konvolüsyon tipli integraller, iyi özelliklere sahip olan fonksiyonlar¬n bu iyi özelliklerini konvolüsyon işlemi sonunda elde edilen fonksiyona kal¬tsal
olarak taş¬rlar. Bu gerçeklerin ortaya ç¬kmas¬, çeşitli alanlarda karş¬laş¬lan problemlerin konvolüsyon tipli integrallerin ve yaklaş¬mlar teorisinin yard¬m¬yla çözülebilece¼gi
3
…krini ortaya ç¬karm¬şt¬r.
(1.3) tipindeki operatörleri yaklaş¬mlar teorisinde kullanan ilk matematikçiler Lebesgue
(1900), Fatou (1906), Fejer (1900) olarak söylenebilir. Bu matematikçiler D bölgesini, ¤ indis kümesini ve H(t ¡ x; ¸) çekirdek fonksiyonunu özel olarak seçerek
(1.3) tipindeki operatörleri birer integral olarak gözönüne alarak, hem integrallerin
özelliklerini incelemişler hemde baz¬ yaklaş¬m problemlerinin çözümleri için yeterli
koşullar¬ elde etmişlerdir.
(1.3) tipindeki operatörler ilk olarak Romanowsky taraf¬ndan parametreye ba¼gl¬ operatörler dizisi olarak ele al¬nm¬şt¬r. Romanowski’nin önderli¼ginde başlayan, Faddeyev
(1936), Tandori (1954), Butzer (1960), Memmedov (1961), Sikkema (1983), Bardaro
(1984), Bardaro et al.(2003), Avramidou (2005) ve di¼gerleri ile devam eden, çekirdek
fonksiyonunun baz¬ şartlar¬ sa¼glayan bir dizi olarak al¬nmas¬ ile ispatlanm¬ş olan
yak¬nsakl¬k teoremleri, bu teorinin uygulama alan¬n¬ genişletmiştir.
1962 y¬l¬nda Polonyal¬ ünlü matematikçi Taberski integrallenebilen fonksiyonlar s¬n¬f¬ndaki yaklaş¬m problemini iki parametreye ba¼gl¬ olarak aileye genişletmiştir. Daha
sonra Haciyev (1968), Rydzewska (1973) ve di¼ger matematikçilerin iki parametreye
ba¼gl¬ singüler integraller ailesi için elde ettikleri sonuçlar, yaklaş¬m problemi için
daha genel teoremler ispatlanmas¬n¬ sa¼glam¬şt¬r.
Ayr¬ca belirtelimki, yak¬nsakl¬¼g¬n do¼gal bir sonucu olarak da bu yak¬nsakl¬¼g¬n h¬z¬
nedir problemiyle karş¬laş¬l¬r.
E¼ger lim ¯ ¸ = 0;
¸!¸0
lim ®¸ = 0 ve lim
¸!¸0
¸!¸0
®¸
= 0 ise, bu durumda,
¯¸
(®¸) = o(¯¸)
(1.4)
olur. (1.4) eşitli¼gi (®¸) n¬n s¬f¬ra yak¬nsama h¬z¬n¬n, (¯ ¸) s¬f¬r ailesinin s¬f¬ra yak¬nsama h¬z¬ndan daha h¬zl¬ oldu¼gunu gösterir.
Yak¬nsakl¬k h¬z¬n¬ belirlemek için kullan¬lan başka bir yöntemi aşa¼g¬daki gibi verebiliriz.
4
lim ¯¸ = 0; lim ®¸ = 0 ve lim
¸!¸0
¸!¸0
¸!¸0
h¬zla s¬f¬ra yak¬ns¬yorlar denir ve
®¸
= k < 1 ise, bu durumda (®¸) ile (¯ ¸) denk
¯¸
(®¸) = O(¯ ¸)
ile gösterilir.
Bu ise yak¬nsakl¬k h¬z¬n¬n bulunabilmesi için yukar¬daki koşullar¬
sa¼glayan uygun bir (¯ ¸) s¬f¬r ailesinin var olmas¬ gerekti¼gini gösterir. Böyle bir
s¬f¬r ailesi genellikle ele al¬nan operatörler ailesi kullan¬larak incelemenin yap¬ld¬¼g¬
fonksiyon uzay¬ üzerinde tan¬mlanm¬ş olan süreklilik modülü yard¬m¬yla verilir.
Bu tezde öncelikle K(t ¡ x; ¸) çekirdek fonksiyonuna sahip
L(f ; x; ¸) =
Zb
a
f (t)K (t ¡ x; ¸)dt
;
x 2< a; b >
biçiminde tan¬ml¬ iki parametreye ba¼gl¬ konvolüsyon tipli singüler integraller ailesi
incelenmiştir. Önceki çal¬şmalar¬n aksine, bizim gözönüne ald¬¼g¬m¬z singüler integral
operatörler ailesinin çekirde¼gi 2¼¡periyotlu, çift ve pozitif olmak zorunda de¼gildir.
Ayr¬ca belirtelim ki f fonksiyonu da 2¼¡periyotlu olmak zorunda de¼gildir, aksine
key… bir < a; b >½ R aral¬g¼¬ üzerinde tan¬ml¬ Lebesgue anlam¬nda integrallenebilen
bir fonksiyondur.
·Ilk olarak, bu singüler integraller ailesinin yaratt¬¼g¬ operatörler ailesinin Lp(a; b)
uzay¬ndan Lp(a; b) uzay¬na s¬n¬rl¬ bir dönüşüm oldu¼gu gösterilmiştir. Daha sonra
bu operatörler ailesi yard¬m¬yla Lebesgue anlam¬nda integrallenebilen fonksiyonlar¬n karakteristik noktalar¬ndaki yak¬nsakl¬klar¬ elde edilmiştir. Ayr¬ca Lebesgue
anlam¬nda integrallenebilen fonksiyonlar¬n belirli bir x0 noktas¬nda r: mertebeden
türevinin ve (r + 1): mertebeden sa¼g ve sol türevinin sonlu olmas¬ durumunda,
s¬ras¬yla m = 1; 2; :::; r için
lim
(x;¸)!(x0 ;¸0)
@ mL (f; x; ¸)
= f (m)(x0 )
@ xm
5
ve
lim
(x;¸)!(x 0;¸0)
@ r+1L (f; x; ¸) f+(r+1) (x0) + f¡(r+1) (x0 )
=
@xr+1
2
yak¬nsakl¬klar¬ gösterildikten sonra operatörün türevleri için daha genel teoremler
ispatlanm¬şt¬r. Araşt¬rd¬¼g¬m¬z tüm yak¬nsakl¬klarda, (x; ¸) noktas¬n¬n (x0; ¸0 ) noktas¬na yaklaşacag¼¬ nokta kümeleri belirtilmiştir.
Son olarak ise, süreklilik modülü yard¬m¬yla yak¬nsakl¬k h¬zlar¬ gösterilmiştir.
6
2. TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde, tezimizde ihtiyaç duyaca¼g¬m¬z, baz¬ bilinen tan¬m, teorem ve notasyonlar¬ verece¼giz:
R; reel say¬lar kümesini göstermek üzere, D ½ R kümesi üzerinde tan¬ml¬ Lebesque
anlam¬nda integrallenebilen fonksiyonlar¬n uzay¬ L(D) ile gösterilsin. Bu uzay üzerinde dönüşüm yapan lineer bir integral operatör
L(f; x) =
Z
f (t)K(t; x)dt
x2D
;
(2.1)
D
biçiminde verilebilir. Burada K(t; x), D £ D üzerinde tan¬ml¬, özellikleri önceden
bilinen bir fonksiyondur.
Özel olarak (2.1) formülünde K (t; x) = H(t ¡ x) olarak al¬n¬rsa,
Z
f(t)H(t ¡ x)dt
;
x2D
D
biçimindeki Konvolüsyon Tipi Lineer ·Integral Operatör elde edilir.
Tan¬m 2.1. ¤ bir indis kümesi ve ¸0 bu kümenin bir y¬¼g¬lma noktas¬ olsun. ¸ 2 ¤
için,
L(f; x; ¸) =
Z
D
f(t)H(t ¡ x; ¸)dt
;
x2D
biçimindeki integral Konvolüsyon Tipi ·Integral Operatörler Ailesi olarak adland¬r¬l¬r.
Tan¬m 2.1 de indis kümesi N (do¼gal say¬lar kümesi) al¬n¬rsa, bu durumda Konvolüsyon Tipi ·Integral Operatörler Dizisi elde edilir.
Tan¬m 2.2. ¸ parametresi ¤ ½ R+
0 indis kümesinin eleman¬ olmak üzere, ¸0 bu
kümenin bir y¬¼g¬lma noktas¬ olsun. fK (t; ¸)g fonksiyon s¬n¬f¬na aşa¼g¬daki şartlar¬
sa¼glad¬¼g¬ taktirde Çekirdek denir:
a ) Her bir ¸ 2 ¤ için K(:; ¸) integrallenebilir.
7
b ) Her ¸ 2 ¤ için
Z
D
K (t; ¸)dt = E < 1
(Butzer and Nessel 1971).
Tan¬m 2.3. fK (t; ¸)g çekirde¼gi, belirli bir t0 noktas¬nda lim K (t0 ; ¸) = 1 özel¸!¸0
li¼gini sa¼glad¬¼g¬ taktirde Singüler Çekirdek ve
L(f; x; ¸) =
Z
f(t)K(t ¡ x; ¸)dt
;
x2D
(2.2)
D
integral operatörler ailesi ise Konvolüsyon Tipi Singüler ·Integraller Ailesi ad¬n¬ al¬r
(Butzer and Nessel 1971).
Tan¬m 2.4. fK(t; ¸)g çekirde¼gi,
a ) Her ¸ 2 ¤ için kK(:; ¸)k1 · M < 1 olacak şekilde bir M say¬s¬ vard¬r
b ) Belirlenmiş her ± > 0 say¬s¬ için
lim
¸!¸0
"
#
sup jK(t; ¸)j = 0 ;
±·jtj
şartlar¬n¬ sa¼glad¬¼g¬ taktirde “Yaklaş¬k Birim Operatörü (Approximate Identity)” olarak
adland¬r¬l¬r (Butzer and Nessel 1971).
Şimdi de karakteristik noktalar olarak adland¬r¬lan baz¬ özel noktalar¬n tan¬mlar¬n¬ verelim.
Tan¬m 2.5. f 2 L1(a; b) olmak üzere;
1
lim
h!0+ h
Zh
0
jf (x0 + t) ¡ f (x0)j dt = 0
(2.3)
eşitli¼ginin sa¼gland¬¼g¬ x0 noktas¬na f fonksiyonunun Lebesque noktas¬ denir (Butzer
and Nessel 1971).
8
Tan¬m 2.6. f 2 L1(a; b) olmak üzere;
1
lim+
h!0 h
Zh
0
(2.4)
[f (x0 + t) ¡ f (x0)] dt = 0
eşitli¼ginin sa¼gland¬¼g¬ x0 noktas¬na f fonksiyonunun d¡noktas¬ denir (Butzer and
Nessel 1971).
Tan¬m 2.7. f 2 L1(a; b) olmak üzere;
lim
h!0+
1
h®+1
Zh
0
jf(x0 + t) ¡ f(x0)j dt = 0
( 0 < ® < 1)
(2.5)
eşitli¼ginin sa¼
gland¬¼g¬ x0 noktas¬na f fonksiyonunun genelleştirilmiş Lebesque noktas¬
denir (Bardaro 1984).
Tan¬m 2.8. ¤ bir indis kümesi ve ¸0 bu kümenin bir y¬¼g¬lma noktas¬ olsun. ¸ 2 ¤
olmak üzere;
lim ¯ ¸ = 0
¸!¸0
olacak biçimdeki (¯¸) ailesine bir s¬f¬r ailesi ad¬ verilir.
Tan¬m 2.9. f 2 L1(a; b) olmak üzere;
! 1(f; ±) =sup
jtj·±
Zb
a
jf(x + t) ¡ f (x)j dx
(2.6)
ifadesine, f fonksiyonunun L1 ¡ süreklilik modülü denir (Butzer and Nessel 1971).
Süreklilik modülünün temel özellikleri aşa¼
g¬daki teoremle verilebilir.
Teorem 2.2. f 2 L1(a; b) olmak üzere;
a ) lim !1 (f; ±) = 0
±!0
d¬r.
9
b ) m 2 N olmak üzere
!1(f; m±) · m !1(f; ±)
d¬r.
c) ¸ > 0 key… bir reel say¬ iken
!1(f; ¸±) · (1 + ¸) !1(f; ±)
d¬r (Natanson 1964).
Lemma 2.1. (Natanson Lemmas¬) f fonksiyonu [a; b] üzerinde tan¬ml¬, integrallenebilir olsun ve
8 ¯ a+h
¯9
¯=
< 1 ¯¯ Z
¯
¯
¯ <1
M = sup
f(t)dt
¯
¯;
0<h·b¡a : h ¯
¯
a
eşitsizli¼gini sa¼
glas¬n. g fonksiyonu [a; b] üzerinde tan¬ml¬, negatif olmayan, toplanabilir ve azalan bir fonksiyon olsun. Bu durumda,
Zb
f(t)g(t)dt
a
integrali mevcuttur ve
¯ b
¯
¯Z
¯
Zb
¯
¯
¯ f(t)g(t)dt¯ · M g(t)dt
¯
¯
¯a
¯
a
eşitsizli¼gi geçerlidir (Natanson 1964).
Şimdi ¸ indis olmak üzere
L(f ; x; ¸) =
Zb
a
f (t)K (t ¡ x; ¸)dt
;
x 2 [a; b]
singüler integral operatörler ailesinin yak¬nsakl¬¼g¬yla ilgili baz¬ çal¬şmalara yer verelim.
Taberski 1962 y¬l¬nda Natanson Lemmas¬’n¬n bir genelleşmesini aşa¼g¬daki gibi ver10
miştir.
Lemma 2.2. ' 2 BV [a + ´; b] ; (0 < ´ < b ¡ a) olsun, öyle ki; v(s) = var '(t)
s·t·b
(a · s < b) ve v(b) = 0 oldu¼gunda
Bu durumda,
ise
Rb
v(s)ds < 1 sa¼glans¬n.
a
¯ a+h
¯
¯ Z
¯
¯1
¯
¯
M = sup ¯
f(t)dt¯¯ < 1
0<h·b¡a ¯ h
¯
a
I=
Zb
; f 2 L1[a; b]
f (t)'(t)dt
a+
integrali vard¬r ve
jIj · M
Zb
[v(s) + j'(b)j] ds
a
eşitsizlig¼i dog¼rudur (Taberski 1962).
Taberski daha sonra,
L(f; x; ¸) =
Z¼
¡¼
f (t)K (t ¡ x; ¸)dt
singüler integral operatörler ailesinin, x0 noktas¬n¬n f fonksiyo- nunun d¡noktas¬
olmas¬ halindeki yak¬nsamas¬ ile ilgili (Romanowski ve Faddeyev tipinde olan) aşa¼g¬daki teoremi vermiştir.
Teorem 2.4. K (t; ¸) fonksiyonu, her ¸ 2 ¤ için t nin fonksiyonu olarak negatifolmayan, 2¼ periyotlu, çift, s¬n¬rl¬, ölçülebilir, [0; ¼] de artmayan olsun.
i)
lim
¸!¸0
Z¼
K (t; ¸)dt = 1
¡¼
11
;
( ¸ 2 ^)
ve
ii )
lim K (±; ¸) = 0
¸!¸0
;
(0 < ± · ¼)
koşullar¬ sa¼glans¬n. Bu durumda, f 2 L1[¡¼; ¼] için
lim
h!0
xZ0+h
f(t)dt = f(x0)
x0
eşitli¼ginin sa¼gland¬¼g¬ x0 noktas¬nda ve °(x; ¸) = (x¡x0 )K(0; ¸) fonksiyonunun s¬n¬rl¬
oldu¼gu (x; ¸) noktalar kümesinde,
lim
(x;¸)!(x 0;¸0 )
L(f; x; ¸) = f (x0)
dir (Taberski 1962).
Ayn¬ yak¬nsaman¬n, K (t; ¸) fonksiyonunun negatif olmama şart¬n¬n kald¬r¬lmas¬ ve
yerine jK (t; ¸)j · K1¤(t; ¸) biçiminde bir şart¬n konulmas¬ halinde de var oldu¼gu
gösterilmiştir ve teoremin bir sonucu olarak verilmiştir (Taberski 1962 ).
Bu sonuçtaki K1¤(t; ¸) fonksiyonu, K (t; ¸) fonksiyonunun, negatif olmama şart¬n¬n
d¬ş¬nda sag¼lad¬g¼¬ tüm şartlar¬ sag¼layacak şekilde bir fonksiyondur.
Ayr¬ca yine ayn¬ makalede f fonksiyonun türevlerinin yak¬nsamas¬ ile ilgili olarak
aşag¼¬daki Teorem ispatlanm¬şt¬r.
Teorem 2.5. Her ¸ 2 ¤ ve t 2 (¡1; 1) için K (t; ¸) yaklaş¬k birim operatörü
@ º K (t; ¸)
(Approximate Identity) ve
(º = 1; 2; :::; r) fonksiyonlar¬ sürekli olsun.
@tº
Varsayal¬m ki,
¯ r
¯
Z¼
¯
¯
@
K(t;
¸)
¯ dt < 1
sup sinr t ¯¯
@tr ¯
¸2^
0
ve her 0 < ± · ¼ için
¯ r
¯
¯ @ K (t; ¸) ¯
¯=0
lim sup ¯
¸!¸0 ±·t·¼ ¯
@ tr ¯
12
şartlar¬ da sa¼glans¬n. x0 belirli nokta ve Cº pozitif bir sabit olmak üzere
º
jx ¡ x0j
Z¼
sin
r¡º
0
¯ r
¯
¯ @ K (t; ¸) ¯
¯
¯ dt · Cº
t¯
@tr ¯
(º = 1; 2; :::; r)
eşitsizli¼ginin sa¼gland¬¼g¬ noktalar kümesi S olsun.
x0 noktas¬nda f 2 L1[¡¼; ¼] fonksiyonunun f (r)(x0 ) türevinin sonlu olmas¬ halinde,
S kümesi üzerinde
lim
(x;¸)!(x0 ;¸0)
@ r L(f ; x; ¸)
=
lim
@xr
(x;¸)!(x0;¸0 )
Z¼
f (t)
@ r K(t ¡ x; ¸)
dt = f (r)(x0 )
@xr
¡¼
yak¬nsamas¬ vard¬r (Taberski 1962).
Lemma 2.3. ¹ fonksiyonu [0; b ¡ a] üzerinde tan¬ml¬, artan, mutlak sürekli ve
¹(0) = 0 şartlar¬n¬ sa¼glayan bir fonksiyon olsun. ' fonksiyonu ise her [a + ´; b] ; (0 <
´ < b ¡ a) aral¬g¼¬nda s¬n¬rl¬ sal¬n¬ml¬ olsun. Ayr¬ca, v(t) = var '(s) (a · t < b)
t·s·b
olmak üzere
Zb
¹0 (t ¡ a)v(t)dt < 1
a
şart¬ gerçeklensin. Bu durumda,
M = sup
0<h·b¡a
iken
¯ a+h
¯
¯Z
¯
¯
1 ¯¯
f(t)dt¯¯ < 1
¯
¹(h) ¯
¯
a
; f 2 L1 [a; b]
¯ b
¯
¯Z
¯
Zb
¯
¯
¯ f(t)'(t)dt¯ · M [v(t) + j'(b)j] ¹0 (t ¡ a)dt
¯
¯
¯+
¯
a
a
eşitsizli¼gi sa¼glan¬r (Haciyev 1968).
1973 y¬l¬nda Rydzewska f 2 L1(¡¼; ¼) ve K(t; ¸) çekirdek fonksiyonunun her bir
¸ 2 ¤ için t nin fonksiyonu olarak 2¼ periyotlu, çift, s¬n¬rl¬, ölçülebilir bir yaklaş¬k
13
birim operatörü (Approximate Identity) olmas¬ durumunda;
U(f; x; ¸) =
Z¼
¡¼
f(t)K (t ¡ x; ¸)dt
konvolüsyon tipi singüler integral operatörler ailesi için aşa¼g¬daki Teorem’i ispatlam¬şt¬r.
Teorem 2.6. K2¤(t; ¸) fonksiyonu, her bir ¸ 2 ¤ için [0; ¼] aral¬¼g¬nda t nin fonksiyonu
olarak azalan, negatif olmayan bir fonksiyon olsun. »(¸) fonksiyonu ise tüm ¤ kümesi
üzerinde tan¬ml¬, pozitif ve ¸ ! ¸0 oldu¼gunda »(¸) ! 0 şartlar¬n¬ sa¼glas¬n.
Ayr¬ca, pozitif bir ¢ · ¼ için aşa¼g¬daki koşullar sa¼glans¬n:
i ) jK(t; ¸)j · K2¤ (t; ¸); t 2 [0; ¼] ve ¸ 2 ¤
ii )
Z¢
0
K2¤(t; ¸)¹ 0(t)dt = O(»(¸)) (¸ ! ¸0 )
Her [a; b] ½ (0; ¼] aral¬ ¼g¬ için,
iii ) 2
Z¼
0
iv )
Zb
a
K (t; ¸)dt ¡ 1 = o(»(¸))
(¸ ! ¸0)
K(t; ¸)dt = o(»(¸)) (¸ ! ¸0)
Bu durumda, her f 2 L1(¡¼; ¼) fonksiyonu için
Zh
jf(x0 + t) + f(x0 ¡ t) ¡ 2f(x0 )j dt = o(¹(h))
0
şart¬n¬n sa¼gland¬¼g¬ x0 noktalar¬nda, ¸ ! ¸0 oldu¼gunda,
U(f; x0; ¸) ¡ f(x0) = o(»(¸))
eşitsizlig¼i vard¬r.
14
;
h ! 0+
Burada ¹ fonksiyonu, [0; ¼] aral¬¼g¬nda tan¬ml¬ ¹(0) = 0 şart¬n¬ sa¼glayan, mutlak
sürekli ve çift olmayan belirli bir fonksiyondur.
Rydzewska, ayn¬ makalenin üçüncü k¬sm¬nda ise, konvolüsyon tipi singüler integral
operatörler ailesi için aşa¼g¬daki teoremi ispatlam¬şt¬r.
Teorem 2.7. »(x; ¸) fonksiyonu, (x; ¸) ! (x0; ¸0) iken »(x; ¸) ! 0 şart¬n¬ sa¼glayan
pozitif fonksiyon olsun. K 3¤(t; ¸) fonksiyonu, her bir ¸ 2 ¤ ler için [0; ¼] aral¬¼g¬nda
t nin fonksiyonu olarak 2¼ periyotlu, azalan, negatif-olmayan bir fonksiyon olsun ve
aşag¼¬daki koşullar sa¼glans¬n.
i ) jK(t; ¸)j · K3¤ (t; ¸); t 2 [0; ¼] ve ¸ 2 ¤
ii )
x0Z+¢
K3¤(t ¡ x; ¸) ¹ 0(jt ¡ x0j)dt + 2K 3¤(0; ¸) ¹0 (jx ¡ x0j) = O(»(x; ¸))
x0 ¡¢
((x; ¸) ! (x0; ¸0 ) ve ¢ · ¼)
iii )
Z¼
¡¼
K (t; ¸)dt = 1 (8¸ 2 ¤)
iv ) Her pozitif c < ¼ ve t 2 [c; ¼] olmak üzere, (x; ¸) ! (x0; ¸0 ) için
K3¤(t; ¸) = o(»(x; ¸)):
Bu durumda, 8 f 2 L1 (¡¼; ¼) fonksiyonu için
Zh
0
jf(x0 + t) + f(x0 ¡ t) ¡ 2f(x0 )j dt = o(¹(h))
şart¬n¬n sa¼gland¬¼g¬ x0 noktalar¬nda (x; ¸) ! (x0; ¸0) iken
U (f; x; ¸) ¡ f(x0) = o(»(x; ¸))
olur.
15
;
h ! 0+
3. KONVOLÜSYON TI· PI· SI· NGÜLER ·INTEGRAL OPERATÖRLER
AI·LESI· NI·N L1(a; b) UZAYINDA KARAKTERI· STI· K NOKTALAR¼
DAKI· YAKINSAKLIGI
Bu bölümde ilk olarak “A s¬n¬f¬” ad¬n¬ verece¼gimiz yeni bir çekirdek s¬n¬f¬n¬ tan¬mlayacag¼¬z. Daha sonra konvolüsyon tipi singüler integral operatörler ailesi’nin, çekirdek
fonksiyonlar¬n¬n A s¬n¬f¬ndan olmas¬ durumunda, Lp (a; b) uzay¬ndan Lp(a; b) uzay¬na
s¬n¬rl¬ bir dönüşüm oldu¼gunu gösterece¼giz. Son olarak ise L1 (a; b) uzay¬ndaki baz¬
karakteristik noktalardaki yak¬nsakl¬klar¬ inceleyece¼giz.
Tan¬m 3.1. ¤ bir indis kümesi ve ¸0 bu kümenin bir y¬ ¼g¬lma noktas¬ olsun. K (t; ¸)
fonksiyonuna aşa¼g¬daki şartlar¬ sa¼glad¬ ¼g¬ taktirde A s¬n¬f¬ndan’ d¬r denir:
a) K (t; ¸) fonksiyonu, her bir ¸ 2 ¤ için t nin fonksiyonu olarak tüm reel eksende
tan¬ml¬d¬r.
b) Her ¸ 2 ¤ için
(3.1)
kK(:; ¸)k1 · M < 1
olacak şekilde bir M say¬s¬ vard¬r.
c) Her bir ¸ 2 ¤ için K(0; ¸) sonludur.
d) < a; b > reel eksenin herhangi bir alt aral¬¼g¬n¬ göstermek üzere
lim
(x;¸)!(x0 ;¸0 )
Zb
a
K (t ¡ x; ¸)dt = 1
;
x 2< a; b > :
(3.2)
e) Belirlenmiş her ° > 0 say¬s¬ için
lim
¸!¸0
"
#
(3.3)
sup jK(t; ¸)j = 0:
°·jtj
Teorem 3.1. 1 · p < 1 olsun. K(t; ¸) fonksiyonu A s¬n¬f¬ndan ise,
L(f ; x; ¸) =
Zb
a
f (t)K (t ¡ x; ¸)dt
16
;
x 2< a; b >
(3.4)
Konvolüsyon Tipi Singüler ·Integral Operatörler Ailesi Lp (a; b) uzay¬ndan Lp(a; b)
uzay¬na sürekli dönüşüm yapar.
I·spat. p = 1 alal¬m. (3.4) denklemindeki gibi tan¬mlanan L(f; x; ¸) operatörü lineer oldu¼gundan, L1 (a; b) uzay¬ndan L1(a; b) uzay¬na dönüşüm yapan s¬n¬rl¬ operatör
oldu¼gunu göstermek yeterlidir.
Bunun için
kL(¸)k =sup
f6=0
kL(f; x; ¸)kL1(a;b)
kf kL1 (a;b)
normunun s¬n¬rl¬ oldu¼gunun gösterilmesi gerekmektedir:
¯
¯
¯
Zb ¯¯Zb
¯
= ¯¯ f(t)K(t ¡ x; ¸)dt¯¯ dx
¯a
¯
a
kL(f ; x; ¸)kL1 (a;b)
eşitli¼gini göz önüne alal¬m. Mutlak de¼ger fonksiyonunun özelli¼
ginden
kL(f; x; ¸)kL1(a;b) ·
Zb
a
0
Zb
@
a
1
jf(t)K(t ¡ x; ¸)j dtA dx
eşitsizli¼gi yaz¬labilir. Eşitsizlig¼in sa¼g¬ndaki ifadeye Fubini Teoremi’ni uygular, yani
integrallerin s¬ras¬n¬ deg¼iştirirsek
kL(f; x; ¸)kL1 (a;b) ·
Zb
a
0
Zb
jf (t)j @
a
1
jK(t ¡ x; ¸)j dxA dt
bulunur. Mutlak de¼ger fonksiyonunun poziti‡ik özelli¼ginden elde edilen son eşitsizli ¼gin sa¼g¬ndaki integrallerden x de¼gişkenine göre al¬nan¬n s¬n¬rlar¬n¬ (¡1; 1) a
genişletirsek
kL(f ; x; ¸)kL1 (a;b) ·
Zb
a
0
jf (t)j @
Z1
¡1
jK(t ¡ x; ¸)j dxA dt
= kK k1 kfkL1 (a;b)
17
1
eşitsizli¼gini elde ederiz. Son ifadede (3.1) koşulu göz önüne al¬n¬rsa
kL(¸)k =sup
f 6=0
kL(f; x; ¸)kL1 (a;b)
·M<1
kfkL1(a;b)
eşitsizli¼ginin sa¼gland¬¼g¬ görülür. Böylece p = 1 durumunda ispat tamamlanm¬ş olur.
1 < p < 1 alal¬m.
kL(¸)k =sup
kL(f ; x; ¸)kLp (a;b)
kfkLp (a;b)
f 6=0
normunun s¬n¬rl¬ oldu¼gunu gösterece¼giz.
8
< f(t) ; t 2 [a; b]
»
f (t) =
: 0 ; t2
= [a; b]
»
biçiminde f fonsiyonunu tan¬mlayal¬m.
kL(f ; x; ¸)kLp(a;b)
0
¯
Zb ¯¯ Z1 »
= @ ¯¯ f (t)K(t ¡ x; ¸)dt
Lp (a;b)
¯
a ¡1
¯ p 1 1p
0 b¯ 1
¯
Z ¯¯ Z »
¯
= @ ¯¯
f (t + x)K (t; ¸)dt ¯¯ dxA
¯
¯
a ¡1
° »
°
°
= °
°L(f; x; ¸)°
¯ p 1 1p
¯
¯
¯ dxA
¯
¯
eşitli¼gi elde edilir. Son eşitli¼gin sa¼g taraf¬ndaki ifadeye genelleştirilmiş Minkowski
eşitsizli¼gi uygulan¬r ve (3.1) koşulu dikkate al¬n¬rsa
kL(f; x; ¸)kLp (a;b) ·
Z1
¡1
=
Z1
¡1
·
Z1
¡1
0
1 1p
Zb ¯ »
¯p
@ ¯¯ f (t + x)¯¯ jK (t; ¸)j p dxA dt
a
0 b+t
1 1p
Z ¯ » ¯p
¯
¯
jK (t; ¸)j @ ¯f (u)¯ duA dt
a+t
0
Zb
jK (t; ¸)j @
18
a
1 1p
jf(u)jp duA dt · M kfkLp (a;b)
elde edilir. Bu ise göstermek istedi¼gimizdir.
Teorem 3.2. K(t; ¸) fonksiyonu A s¬n¬f¬ndan olsun ve jK(t ¡ x; ¸)j fonksiyonu her
bir ¸ 2 ¤ için t ye göre [a; x0 ] aral¬¼g¬nda azalmayan, [x0; b] aral¬¼g¬nda ise artmayan
olsun. Bu durumda, x0 noktas¬ f 2 L1(a; b) fonksiyonunun süreklilik noktas¬ ise,
lim
(x;¸)!(x 0;¸0 )
L(f; x; ¸) = f (x0)
(3.5)
olur.
I·spat. x0 + ± < b ; x0 ¡ ± > a ve 0 · x0 ¡ x <
±
2
oldu¼
gunu varsayal¬m.
f fonksiyonu x0 noktas¬nda sürekli oldu¼gundan, 8" > 0 için enaz bir ± > 0 say¬s¬
vard¬r öyle ki jt ¡ x0 j < ± iken jf (t) ¡ f(x0 )j < " sa¼glan¬r. Bu özelli¼gi kullanarak
L(f ; x; ¸) ile f (x0 ) aras¬ndaki fark¬n limit konumunda s¬f¬ra gitti¼gini göstermeye
çal¬şaca¼g¬z. K (t; ¸) fonksiyonunun (3:2) özelli¼ginden yararlanarak
¯ b
¯
¯Z
¯
¯
¯
¯
jL(f ; x; ¸) ¡ f (x0)j = ¯ f (t)K (t ¡ x; ¸)dt ¡ f(x0 )¯¯
¯a
¯
¯ b
¯
b
b
¯Z
¯
Z
Z
¯
¯
¯
= ¯ f(t)K(t ¡ x; ¸)dt ¡ f (x0) K (t ¡ x; ¸)dt + f(x0 ) K(t ¡ x; ¸)dt ¡ f(x0)¯¯
¯a
¯
a
a
¯
¯
¯ Zb
¯
Zb
¯
¯
¯
·
jf(t) ¡ f (x0)j jK(t ¡ x; ¸)j dt + jf(x0)j ¯ K (t ¡ x; ¸)dt ¡ 1¯¯
¯a
¯
a
eşitsizli¼gi yaz¬labilir. x0 noktas¬ f fonksiyonunun süreklilik noktas¬ oldu¼gundan, bu
eşitsizli¼gi
8 x ¡± x +±
9
Z0
Zb =
< Z0
jL(f ; x; ¸) ¡ f (x0)j ·
+
+
jf(t) ¡ f (x0)j jK (t ¡ x; ¸)j dt
:
;
a
x 0¡±
x0 +±
¯ b
¯
¯Z
¯
¯
¯
¯
+ jf(x0)j ¯ K (t ¡ x; ¸)dt ¡ 1¯¯
¯
¯
a
19
= I1 (x; ¸) + I2(x; ¸) + I3 (x; ¸) + I4(x; ¸)
(3.6)
şeklinde yaz¬l¬m.
Öncelikle I1(x; ¸) ve I3(x; ¸) integrallerini ele alal¬m.
I1(x; ¸) =
xZ0¡±
jf(t) ¡ f(x0)j jK(t ¡ x; ¸)j dt
a
olup, jK (t ¡ x; ¸)j fonksiyonu her bir ¸ 2 ¤ için t nin fonksiyonu olarak [a; x0]
aral¬¼g¬nda azalmayan oldu¼gundan,
I1(x; ¸) · jK (x0 ¡ ± ¡ x; ¸)j
eşitsizli¼gi yaz¬labilir. 0 · x0 ¡ x <
±
2
xZ0 ¡±
a
kabulünden dolay¬
x0 ¡ ± ¡ x < ¡
olup, bu ise
jf(t) ¡ f (x0)j dt
±
2
¯
¯
¯
¯
±
¯
jK (x0 ¡ ± ¡ x; ¸)j · ¯ K(¡ ; ¸)¯¯
2
eşitsizli¼ginin do¼gru oldu¼
gunu gösterir. I1 (x; ¸) için bulunan eşitsizli¼gin sa¼g¬ndaki
integralde mutlak de¼gere ait üçgen eşitsizli¼gi uygulan¬r ve integral işleminin lineerli¼gi
kullan¬l¬rsa
8
9
xZ0¡±
¯
¯ < xZ0 ¡±
=
¯
¯
±
¯
¯
I1(x; ¸) · ¯K (¡ ; ¸)¯
jf(t)j dt +
jf(x0 )j dt
:
;
2
a
¯
¯n a
o
¯
¯
±
· ¯¯K (¡ ; ¸)¯¯ kfkL1(a;b) + jf(x0)j (b ¡ a)
2
(3.7)
eşitsizli¼gi elde edilir.
Benzer şekilde, jK (t ¡ x; ¸)j fonksiyonu her bir ¸ 2 ¤ için t ye göre [x0; b] aral¬¼g¬nda
20
artmayan oldu¼gundan,
I3 (x; ¸) · jK (x0 + ± ¡ x; ¸)j
Zb
jf (t) ¡ f(x0 )j dt
x0+±
¯
¯n
o
¯ ±
¯
· ¯¯K( ; ¸)¯¯ kf kL1 (a;b) + jf(x0)j (b ¡ a)
2
bulunur.
(3.8)
Şimdi ise I2 (x; ¸) integralini gözönüne alal¬m.
I2(x; ¸) =
xZ0¡±
jf(t) ¡ f(x0)j jK(t ¡ x; ¸)j dt
x 0+±
olup, x0 noktas¬ f fonksiyonunun süreklilik noktas¬ oldu¼gundan ve (3:1) den,
I2(x; ¸) · "
x
Z0 ¡±
jK (t ¡ x; ¸)j dt · "
x0+±
Zb
jK(t ¡ x; ¸)j dt · " M < 1
(3.9)
a
yaz¬labilir.
(3:7); (3:8) ve (3:9) eşitsizliklerinin (3:6) da kullan¬lmas¬ sonucunda
¯ ¯
¯¶ n
µ¯
o
¯
¯ ¯ ±
¯
±
¯K (¡ ; ¸)¯ + ¯K( ; ¸)¯
jL(f; x; ¸) ¡ f(x0 )j ·
kfk
+
jf(x
)j
(b
¡
a)
0
L1 (a;b)
¯
¯
2 ¯ ¯ 2
¯ b
¯
¯Z
¯
¯
¯
¯
+" M + jf(x0)j ¯ K (t ¡ x; ¸)dt ¡ 1¯¯
¯a
¯
eşitsizli¼gi elde edilir.
K(t; ¸) çekirdek fonksiyonunun (3:2) ve (3:3) özelliklerinden,
lim
(x;¸)!(x 0;¸0 )
L(f; x; ¸) = f (x0)
eşitli¼gi elde edilmiş olur.
21
0 · x ¡ x0 <
±
2
olarak al¬nmas¬ durumunda ispat benzer şekilde yap¬l¬r. Böylece
teorem ispatlanm¬ş olur.
Teorem 3.3.
K (t; ¸) fonksiyonu A s¬n¬f¬nda olmak üzere, her bir ¸ 2 ¤ için
jK (t ¡ x; ¸)j çekirde¼gi t de¼gişkenine göre [a; x0] aral¬¼g¬nda azalmayan, [x0; b] aral¬¼g¬nda ise artmayan olsun. Bu durumda (2.3) eşitli¼gini sa¼glayan her bir x0 noktas¬nda
lim
(x;¸)!(x 0;¸0 )
L(f; x; ¸) = f (x0)
eşitli¼gi geçerlidir.
I·spat. x0 + ± < b ; x0 ¡ ± > a ve 0 · x0 ¡ x <
±
2
olsun.
x0 noktas¬ (2.3) eşitli¼
gini sa¼glad¬¼g¬ndan, başka bir deyişle, x0 noktas¬ f 2 L1(a; b)
fonksiyonunun Lebesque noktas¬ oldu¼gundan
1
lim+
h!0 h
Zh
jf (x0 + t) ¡ f (x0)j dt = 0
(3.10)
1
lim+
h!0 h
Z0
jf (x0 + t) ¡ f (x0)j dt = 0
(3.11)
ve
0
¡h
eşitlikleri vard¬r. (3:10), (3:11) ve limit tan¬m¬ndan 8" > 0 için 9± > 0 öyle ki 8h;
0 < h · ±; için,
xZ0+h
jf (t) ¡ f(x0)j dt < " h
(3.12)
Zx0
jf (t) ¡ f(x0)j dt < " h
(3.13)
x0
ve
x 0¡h
eşitsizliklerinin sa¼gland¬¼g¬ görülür.
K(t; ¸) fonksiyonunun (3:2) özelli¼ginden ve x0 Lebesgue noktas¬ (bak (2.3)) oldu¼gun-
22
dan
¯ b
¯
¯Z
¯
¯
¯
¯
jL(f; x; ¸) ¡ f (x0)j = ¯ f (t)K(t ¡ x; ¸)dt ¡ f (x0)¯¯
¯a
¯
¯ b
¯Z
Zb
¯
= ¯¯ f (t)K(t ¡ x; ¸)dt ¡ f (x0) K (t ¡ x; ¸)dt
¯a
a
¯
b
¯
Z
¯
+f (x0) K (t ¡ x; ¸)dt ¡ f (x0 )¯¯
¯
a
·
Zb
a
jf(t) ¡ f (x0)j jK (t ¡ x; ¸)j dt
¯ b
¯
¯Z
¯
¯
¯
¯
+ jf(x0)j ¯ K(t ¡ x; ¸)dt ¡ 1¯¯
¯a
¯
8 x ¡±
9
xZ0+±
Zx0
Zb =
< Z0
=
+
+
+
jf (t) ¡ f(x0 )j jK (t ¡ x; ¸)j dt
:
;
a
x0 ¡±
x0
x0 +±
¯ b
¯
¯Z
¯
¯
¯
+ jf(x0)j ¯¯ K(t ¡ x; ¸)dt ¡ 1¯¯
¯
¯
a
= I1 (x; ¸) + I2(x; ¸) + I3(x; ¸) + I4(x; ¸) + I5(x; ¸)
eşitsizli¼gini yazabiliriz.
Bu integralleri teker teker hesaplayal¬m.
Öncelikle I1(x; ¸) integrali için bir eşitsizlik elde edelim.
I1(x; ¸) =
x
Z0 ¡±
jf (t) ¡ f(x0 )j jK (t ¡ x; ¸)j dt
a
· jK(x0 ¡ ± ¡ x; ¸j)
xZ0¡±
a
jf(t) ¡ f(x0)j dt
¯
¯ Zb
¯
¯
±
· ¯¯K (¡ ; ¸)¯¯ jf (t) ¡ f (x0 )j dt
2
a
23
(3.14)
8
9
b
¯
¯ < Zb
Z
=
¯
¯
±
· ¯¯K (¡ ; ¸)¯¯
jf(t)j dt + jf(x0 )j dt
:
;
2
a
a
¯
¯n
o
¯
¯
±
= ¯¯K (¡ ; ¸)¯¯ kfkL1 (a;b) + jf(x0)j (b ¡ a)
2
(3.15)
olarak bulunur. Benzer eşitsizlik I4 (x; ¸) için de elde edilebilir:
I4(x; ¸) =
Zb
jf (t) ¡ f(x0 )j jK (t ¡ x; ¸)j dt
x0 +±
· jK(±; ¸)j
Zb
jf(t) ¡ f(x0)j dt
¯
¯an
o
¯ ±
¯
· ¯¯K ( ; ¸)¯¯ kfkL1(a;b) + jf (x0)j (b ¡ a) :
2
I2(x; ¸) =
Zx0
(3.16)
jf(t) ¡ f(x0)j jK(t ¡ x; ¸)j dt
x 0¡±
olup, (3:13) eşitsizli¼
ginin sa¼gland¬¼
g¬n¬ gözönüne alarak aşa¼g¬daki gibi bir F fonksiyonu
tan¬mlayal¬m.
F (t) =
Zx0
jf (y) ¡ f (x0)j dy:
t
Burada 0 < x0 ¡ t · ± iken
F (t) · " (x0 ¡ t)
(3.17)
eşitsizli¼gi sa¼glan¬r. Gerçekten
F (t)
1
=
x0 ¡ t
x0 ¡ t
Zx0
t
jf (y) ¡ f (x0)j dy
eşitli¼gini yazarsak, x0 ¡ t · ± oldu¼gunda (3.13) koşulundan (3.17) eşitsizli¼ginin sa¼
gland¬¼g¬ görülür.
24
I2(x; ¸) integralinde k¬smi integrasyon uygulan¬rsa,
¯
¯
x0
¯
¯
Z
¯
¯
jI2 (x; ¸)j = ¯¯¡F (x0 ¡ ±) jK (x0 ¡ ± ¡ x; ¸)j +
F (t) dt (jK (t ¡ x; ¸)j) ¯¯
¯
¯
x 0¡±
· jF (x0 ¡ ±)j jK(x0 ¡ ± ¡ x; ¸)j +
Zx0
jF (t)j dt (jK(t ¡ x; ¸)j)
x0 ¡±
eşitsizli¼gi elde edilir. [x0 ¡ ±; x0] aral¬¼g¬nda dt (jK (t ¡ x; ¸)j) ¸ 0 olmas¬ ve son
eşitsizlikteki jF (t)j fonksiyonu için (3:17) eşitsizli¼ginin kullan¬labilece¼
gini gösterir.
Buradan ise
¯
¯
Zx0
¯
¯
±
jI2(x; ¸)j · " ± ¯¯K(¡ ; ¸)¯¯ + "
(x0 ¡ t)dt (jK(t ¡ x; ¸)j)
2
x0 ¡±
olacakt¬r. Burada tekrar k¬smi integrasyon uygulan¬rsa, (3.1) koşulundan
8
9
¯
¯
¯
¯ Zx0
<
=
¯
¯
¯
¯
±
±
jI2 (x; ¸)j · " ± ¯¯K (¡ ; ¸)¯¯ + " ¡± ¯¯ K(¡ ; ¸)¯¯ +
jK (t ¡ x; ¸)j dt
:
;
2
2
= "
Zx0
x0 ¡±
jK(t ¡ x; ¸)j dt
x0¡±
(3.18)
· "M
eşitsizlig¼ine ulaş¬lm¬ş olunur.
Benzer yöntemin kullan¬lmas¬ ile I3 (x; ¸) integrali ise aşa¼g¬daki gibi bulunur;
I3 (x; ¸) =
xZ0+±
jf(t) ¡ f(x0)j jK(t ¡ x; ¸)j dt:
x0
(3:12) yi dikkate alarak aşa¼g¬daki G fonksiyonu tan¬mlayal¬m.
G(t) =
Zt
x0
jf (y) ¡ f (x0)j dy:
25
G fonksiyonu, 0 < t ¡ x0 · ± iken
G(t)
1
=
t ¡ x0
t ¡ x0
Zt
jf (y) ¡ f (x0)j dy
x0
eşitli¼ginden ve (3.12) den
(3.19)
G(t) · " (t ¡ x0)
eşitsizli¼ginin sa¼gland¬¼g¬ görülür. I3(x; ¸) integralinde k¬smi integrasyon uygulan¬rsa,
¯
¯
x
0 +±
¯
¯
Z
¯
¯
jI3 (x; ¸)j = ¯¯ G(x0 + ±) jK(x0 + ± ¡ x; ¸)j +
G(t) dt (¡ jK(t ¡ x; ¸)j)¯¯
¯
¯
x
0
¯
¯ xZ0+±
¯ ±
¯
· jG(x0 + ±)j ¯¯K ( ; ¸)¯¯ +
jG(t)j dt (¡ jK(t ¡ x; ¸)j)
2
x0
bulunur. Eşitsizli¼gin sa¼g¬ndaki integrali gözönüne alal¬m. [x0; x0 + ±] aral¬¼g¬ üzerinde
jK (t ¡ x; ¸)j fonksiyonunun artmayan dolay¬s¬yla dt (¡ jK (t ¡ x; ¸)j) ¸ 0 olmas¬ndan dolay¬ ve (3:19) eşitsizli¼gininden
xZ0+±
¯
¯
¯ ±
¯
jI3 (x; ¸)j · " ± ¯¯ K( ; ¸)¯¯ + "
(t ¡ x0 )dt (¡ jK(t ¡ x; ¸)j)
2
x0
olacakt¬r. Burada tekrar k¬smi integrasyon uygulan¬r ve (3.1) dikkate al¬n¬rsa,
8
9
¯
¯
¯
¯ xZ0 +±
<
=
¯ ±
¯
¯ ±
¯
jI3(x; ¸)j · " ± ¯¯K( ; ¸) ¯¯ + " ¡± ¯¯K ( ; ¸)¯¯ +
jK (t ¡ x; ¸)j dt
2
:
2
;
x0
= "
xZ0+±
x0
jK(t ¡ x; ¸)j dt
(3.20)
· "M
elde edilir.
26
(3:15); (3:16); (3:18) ve (3:20) eşitsizliklerinin (3:14) de kullan¬lmas¬ sonucunda,
µ¯
¯ ¯
¯¶ n
o
¯
¯ ¯ ±
¯
±
¯
¯
¯
¯
jL(f; x; ¸) ¡ f(x0 )j ·
K
(¡
;
¸)
+
K(
;
¸)
kfk
+
jf(x
)j
(b
¡
a)
0
L1 (a;b)
¯
¯
2 ¯ ¯ 2
¯ b
¯
¯Z
¯
¯
¯
¯
+2 " M + jf(x0 )j ¯ K(t ¡ x; ¸)dt ¡ 1¯¯
¯a
¯
eşitsizli¼gi bulunur. K (t; ¸) fonksiyonunun (3:2) ve (3:3) özelliklerinden,
lim
(x;¸)!(x 0;¸0 )
L(f; x; ¸) = f (x0)
olup, bu ise ispat¬ tamamlar.
Teorem 3.4. A s¬n¬f¬ndan al¬nan K(t; ¸) fonksiyonu s¬n¬rl¬ sal¬n¬ml¬ olsun. Ayr¬ca
her bir ¸ 2 ¤ için jK (t ¡ x; ¸)j fonksiyonu t ye göre [a; x0] aral¬¼g¬nda azalmayan,
[x0; b] aral¬¼g¬nda ise artmayan olsun ve
xZ0+±
x 0¡±
jx0 ¡ tj jd tK (t ¡ x; ¸)j · C < 1
;
(¸ 2 ¤)
(3.21)
şart¬ sa¼glans¬n. Bu durumda, x0 noktas¬ f fonksiyonunun d-noktas¬ ise
lim
(x;¸)!(x 0;¸0 )
L(f; x; ¸) = f (x0)
eşitli¼gi do¼grudur.
I·spat. x0 + ± < b ; x0 ¡ ± > a ve 0 · x0 ¡ x <
±
2
oldug¼unu kabul edelim.
x0 noktas¬ f 2 L1(a; b) fonksiyonunun d-noktas¬ oldu¼gundan
1
lim+
h!0 h
Zh
(f (x0 + t) ¡ f (x0)) dt = 0
0
27
(3.22)
ve
1
lim
h!0+ h
Z0
(3.23)
(f (x0 + t) ¡ f (x0)) dt = 0
¡h
eşitlikleri vard¬r. (3:22) ve (3:23) den, 8" > 0 için 9± > 0 öyle ki 8h; 0 < h · ± için,
xZ0 +h
(f (t) ¡ f(x0)) dt < " h
(3.24)
Zx0
(f (t) ¡ f(x0)) dt < " h
(3.25)
x0
ve
x0 ¡h
eşitsizliklerinin var oldu¼gu görülür.
Şimdi L(f; x; ¸) ¡ f(x0) fark¬na bakal¬m.
L(f; x; ¸) ¡ f (x0) =
Zb
f(t)K(t ¡ x; ¸)dt ¡ f (x0)
a
olup (3:2) özelli¼ginden
L(f; x; ¸) ¡ f(x0) =
Zb
a
f(t)K(t ¡ x; ¸)dt ¡ f(x0)
+f (x0)
Zb
=
a
a
K (t ¡ x; ¸)dt
K (t ¡ x; ¸)dt ¡ f (x0)
a
Zb
Zb
(f(t) ¡ f(x0)) K(t ¡ x; ¸)dt
+f (x0)
8 b
<Z
:
a
K (t ¡ x; ¸)dt ¡ 1
9
=
;
olarak yazabiliriz. x0 noktas¬ f 2 L1(a; b) fonksiyonunun d-noktas¬ oldu¼gundan
8 x ¡± x
9
x
Z0
Z0 +± Zb =
< Z0
L(f; x; ¸) ¡ f(x0) =
+
+
+
(f (t) ¡ f (x0 )) K(t ¡ x; ¸)dt
:
;
a
x 0¡±
x0
28
x 0+±
+f (x0)
8 b
<Z
:
a
K (t ¡ x; ¸)dt ¡ 1
9
=
;
= I1(x; ¸) + I2(x; ¸) + I3(x; ¸) + I4(x; ¸) + I5(x; ¸)
(3.26)
olarak yazal¬m. Eşitli¼gin sa¼g¬ndaki her bir integralin limit konumunda s¬f¬ra yak¬nsad¬¼g¬n¬ gösterebilirsek teoremin ispat¬ tamamlanm¬ş olur.
O halde, bu integralleri teker teker hesaplayal¬m.
I1 (x; ¸) =
·
xZ0¡±
(f (t) ¡ f(x0 )) K(t ¡ x; ¸)dt
a
xZ0¡±
jf(t) ¡ f (x0)j jK(t ¡ x; ¸)j dt
a
¯
¯ xZ0 ¡±
¯ ±
¯
· ¯¯K( ; ¸)¯¯
jf(t) ¡ f (x0)j dt
2
¯
¯ na
o
¯ ±
¯
· ¯¯K( ; ¸)¯¯ kf kL1 (a;b) + jf(x0)j (b ¡ a)
2
(3.27)
olarak bulunur. Benzer şekilde,
I4 (x; ¸) ·
Zb
jf(t) ¡ f (x0)j jK(t ¡ x; ¸)j dt
x0 +±
· jK (x0 + ± ¡ x; ¸)j
Zb
jf (t) ¡ f(x0 )j dt
x +±
eşitsizli¼gi elde edilir.
0
¯
¯n
o
¯ ±
¯
· ¯¯K( ; ¸)¯¯ kf kL1 (a;b) + jf(x0)j (b ¡ a)
2
Şimdi
I2(x; ¸) =
Zx0
x0¡±
(3.28)
(f(t) ¡ f(x0)) K(t ¡ x; ¸)dt
integralini ele alal¬m. (3:25) eşitsizli¼gini sa¼glayacak biçimde aşa¼
g¬daki Z fonksi-
29
yonunu tan¬mlayal¬m.
Z(t) =
Zx0
(f(y) ¡ f (x0)) dy:
t
Burada x0 ¡ t · ± iken
(3.29)
Z(t) · " (x0 ¡ t)
eşitsizli¼ginin sa¼gland¬¼g¬ görülür. I2(x; ¸) integralinde k¬smi integrasyon uygulan¬rsa,
I2(x; ¸) = Z(x0 ¡ ±) K(x0 ¡ ± ¡ x; ¸) +
Zx0
x0 ¡±
Z(t)dt K(t ¡ x; ¸)
elde edilir. Her iki taraf¬n mutlak de¼gerini alal¬m.
¯
¯
¯
¯
Zx0
¯
¯
¯
jI2(x; ¸)j = ¯Z(x0 ¡ ±) K(x0 ¡ ± ¡ x; ¸) +
Z(t) dt K (t ¡ x; ¸)dt¯¯
¯
¯
x0 ¡±
· jZ(x0 ¡ ±)j jK (x0 ¡ ± ¡ x; ¸)j +
Zx0
jZ(t)j jdtK (t ¡ x; ¸)j :
x0 ¡±
dt K(t ¡ x; ¸) ifadesi [x0 ¡ ±; x0 ] aral¬¼g¬ üzerinde negatif olmad¬¼g¬ndan, jZ(t)j fonksiyonu için (3:29) eşitsizli¼gi kullan¬labilir. Bu ise
¯
¯
Zx0
¯
¯
±
jI2(x; ¸)j · " ± ¯¯K (¡ ; ¸) ¯¯ + "
(x0 ¡ t) jdt K (t ¡ x; ¸)j
2
¡±
¯ x0¾
½ ¯
¯ ±
¯
· " ± ¯¯K ( ; ¸)¯¯ + C
2
(3.30)
eşitsizli¼ginin do¼gru oldu¼gunu gösterir.
I2(x; ¸) integrali için kullan¬lan yöntemi I3(x; ¸) integrali için de benzer olarak kullanal¬m.
I3(x; ¸) =
x
Z0+±
(f(t) ¡ f(x0)) K(t ¡ x; ¸)dt
x0
olup, (3:24) eşitsizli¼ginin sa¼gland¬¼g¬n¬ gözönüne alarak aşa¼g¬daki gibi bir S fonksiyonu
30
tan¬mlayal¬m.
S(t) =
Zt
(f (y) ¡ f(x0)) dy:
x0
Burada t ¡ x0 · ± iken
(3.31)
S(t) · " (t ¡ x0)
eşitsizli¼gini sa¼glan¬r.
I3(x; ¸) integralinde k¬smi integrasyon uygulan¬rsa ve mutlak de¼geri al¬n¬rsa,
¯
¯
x
¯
¯
Z0 +±
¯
¯
¯
jI3 (x; ¸)j = ¯S(x0 + ±) K(x0 + ± ¡ x; ¸) ¡
S(t) dt K(t ¡ x; ¸)¯¯
¯
¯
x
0
· jS(x0 + ±)j jK(x0 + ± ¡ x; ¸)j +
x
Z0 +±
jS(t)j jdt K(t ¡ x; ¸)j
x0
elde edilir. [x0; x0 + ±] aral¬¼g¬nda d tK (t ¡ x; ¸) ¸ 0 oldu¼gundan ve (3.31) den
¯
¯
Zx0
¯ ±
¯
· " ± ¯¯ K( ; ¸)¯¯ + "
(t ¡ x0) jdt K(t ¡ x; ¸)j
2
x ¡±
eşitsizli¼gi bulunur.
½ ¯
¯ 0 ¾
¯ ±
¯
· " ± ¯¯K( ; ¸)¯¯ + C
2
(3.32)
(3:27); (3:28); (3:30) ve (3:32) de s¬ras¬yla I1; I2; I3 ve I4 için elde edilen eşitsizliklerinin (3:26) da kullan¬lmas¬ sonucunda,
¯
¯n
o
¯
¯
±
(L(f; x; ¸) ¡ f(x0)) · ¯¯ K(¡ ; ¸)¯¯ kf kL1 (a;b) + f(x0) (b ¡ a)
2
¯
¯n
o
¯ ±
¯
¯
¯
+ ¯ K( ; ¸)¯ kfkL1(a;b) + f(x0 ) (b ¡ a)
2
¯
½ ¯
¾
¯ ±
¯
¯
¯
+2 " ± ¯ K( ; ¸)¯ + C
2
8 b
9
<Z
=
+f(x0)
K(t ¡ x; ¸)dt ¡ 1
:
;
a
31
eşitsizli¼gi elde edilir.
Teorem 3.5. K(t; ¸) fonksiyonu A s¬n¬f¬ndan olsun. Ayr¬ca jK(t ¡ x; ¸)j fonksiyonu
her bir ¸ 2 ¤ ler için t nin fonksiyonu olarak [a; x0] aral¬¼g¬nda azalmayan, [x0; b]
aral¬¼g¬nda ise artmayan olsun. f 2 L1 (a; b) için
lim
h!0+
1
h®+1
Zh
jf(x0 + t) ¡ f(x0)j dt = 0
0
( 0 · ® < 1)
(3.33)
eşitli¼ginin sa¼gland¬¼
g¬ x0 noktas¬nda,
x
Z0 +±
jK (t ¡ x; ¸)j jt ¡ x0 j® dt + 2 jK (0; ¸)j jx ¡ x0j®+1
(3.34)
x0 ¡±
fonksiyonunun s¬n¬rl¬ oldu¼gu noktalar kümesi üzerinde,
lim
(x;¸)!(x 0;¸0 )
L(f; x; ¸) = f (x0)
eşitli¼gi do¼grudur.
I·spat. x0 + ± < b ; x0 ¡ ± > a ve 0 · x0 ¡ x <
±
2
olsun.
jI(x; ¸)j := jL(f ; x; ¸) ¡ f (x0)j
tan¬m¬n¬ yapal¬m.
K(t; ¸) çekirdek fonksiyonunun (3:2) özelli¼gini ve x0 noktas¬ f 2 L1(a; b) fonksiyonunun
genelleştirilmiş Lebesgue noktas¬ oldu¼gunu gözönüne al¬rsak,
¯ b
¯
¯Z
¯
¯
¯
¯
jI (x; ¸)j = ¯ f(t)K (t ¡ x; ¸)dt ¡ f(x0)¯¯
¯a
¯
¯ b
¯Z
Zb
¯
= ¯¯ f(t)K (t ¡ x; ¸)dt ¡ f(x0) K(t ¡ x; ¸)dt
¯a
a
32
+f(x0)
Zb
a
¯
¯
¯
K(t ¡ x; ¸)dt ¡ f(x0)¯¯
¯
¯ b
¯
¯Z
¯
¯
¯
·
jf(t) ¡ f(x0)j jK(t ¡ x; ¸)j dt + jf(x0)j ¯¯ K (t ¡ x; ¸)dt ¡ 1¯¯
¯a
¯
a
8
9
x
Z0 +± Zb =
< xZ0 ¡± Zx0
=
+
+
+
jf(t) ¡ f (x0)j jK(t ¡ x; ¸)j dt
:
;
a
x0
x 0¡±
x 0+±
¯ b
¯
¯Z
¯
¯
¯
+ jf (x0)j ¯¯ K(t ¡ x; ¸)dt ¡ 1¯¯
¯a
¯
Zb
= I1(x; ¸) + I2 (x; ¸) + I3(x; ¸) + I4(x; ¸) + I5(x; ¸)
(3.35)
eşitsizli¼gini yazabiliriz.
Bu integralleri teker teker hesaplayal¬m.
I1 (x; ¸) =
xZ0¡±
a
jf(t) ¡ f(x0)j K (t ¡ x; ¸)dt
jK (t ¡ x; ¸)j fonksiyonu her bir ¸ 2 ^ ler için t nin fonksiyonu olarak [a; x0] aral¬¼g¬nda
azalmayan oldu¼gundan
I1(x; ¸) · K (x0 ¡ ± ¡ x; ¸)
x
Z0 ¡±
jf (t) ¡ f(x0 )j dt
a
olur. Ayr¬ca 0 · x0 ¡ x <
±
2
olarak kabul edildi¼ginden
±
I1 (x; ¸) · K(¡ ; ¸)
2
Zb
a
jf(t) ¡ f (x0 )j dt
n
o
±
· K(¡ ; ¸) kfkL1 (a;b) + jf(x0)j (b ¡ a)
2
bulunur. Benzer şekilde,
I4(x; ¸) =
Zb
jf (t) ¡ f (x0 )j jK (t ¡ x; ¸j)dt
x0 +±
33
(3.36)
· jK(x0 + ± ¡ x; ¸)j
Zb
jf(t) ¡ f(x0)j dt
x +±
0
8
9
¯
¯ <Z b
Zb
=
¯ ±
¯
¯
¯
· ¯ K( ; ¸)¯
jf (t)j dt + jf(x0)j dt
:
;
2
eşitsizli¼gi elde edilir.
a
¯
¯n a
o
¯ ±
¯
¯
¯
= ¯ K( ; ¸)¯ kfkL1(a;b) + jf (x0)j (b ¡ a)
2
I2(x; ¸) =
Zx0
(3.37)
jf(t) ¡ f(x0)j jK(t ¡ x; ¸)j dt
x 0¡±
olup, (3:33) eşitli¼ginin sa¼gland¬ ¼g¬n¬ gözönüne alarak
U(t) =
Zx0
t
jf (y) ¡ f (x0)j dy:
fonksiyonunu tan¬mlayal¬m. x0 ¡ t · ± iken
U(t) · " (x0 ¡ t)®+1
(3.38)
eşitsizli¼gi sa¼glan¬r. I2(x; ¸) integralinde k¬smi integrasyon uygulan¬rsa,
¯
¯
¯
¯
Zx0
¯
¯
¯
jI2(x; ¸)j = ¯ ¡U(x0 ¡ ±) jK (x0 ¡ ± ¡ x; ¸)j +
U(t) dt (jK(t ¡ x; ¸)j)¯¯
¯
¯
x ¡±
0
¯
¯ Zx0
¯
¯
±
· jU(x0 ¡ ±)j ¯¯ K(¡ ; ¸)¯¯ +
jU(t)j dt (jK(t ¡ x; ¸)j)
2
x0 ¡±
eşitsizli¼gi elde edilir. Burada (3:38) den,
jI2 (x; ¸)j · " ± ®+1
¯
¯
Zx0
¯
¯
±
¯K(¡ ; ¸)¯ + "
(x0 ¡ t)®+1dt (jK(t ¡ x; ¸)j)
¯
¯
2
x0 ¡±
34
olacakt¬r. Eşitsizli¼gin sa¼g¬ndaki integralde tekrar k¬smi integrasyon uygulan¬rsa,
¯
¯
½
¯
¯
¯
¯
¯
¯
±
±
®+1 ¯
¯
¯
¯
jI2(x; ¸)j · " ±
K
(¡
;
¸)
+
"
¡±
K(¡
;
¸)
¯
¯
¯
2 ¯
2
9
Zx0
=
®
+(® + 1)
(x0 ¡ t) jK (t ¡ x; ¸)j dt
;
®+1
= "(® + 1)
x0 ¡±
Zx0
(x0 ¡ t)® jK(t ¡ x; ¸)j dt
(3.39)
x 0¡±
eşitsizli¼gine ulaş¬lm¬ş olur.
I2;1 (x; ¸) :=
Zx0
x0¡±
(x0 ¡ t)® jK (t ¡ x; ¸) j dt
diyelim.
jK (t ¡ x; ¸)j fonksiyonu her bir ¸ 2 ¤ için t nin fonksiyonu olarak [a; x0] aral¬¼g¬nda
azalmayan oldu¼gundan;
I2;1 (x; ¸) =
Zx0 ½
x0 ¡±
=
Zx0
x 0¡±
var
x0 ¡±·s·t
var
x 0¡±·s·t
¾
jK (s ¡ x; ¸)j + jK(x0 ¡ ± ¡ x; ¸)j (x0 ¡ t)® dt
jK(s ¡ x; ¸)j (x0 ¡ t)® dt + jK(x0 ¡ ± ¡ x; ¸)j
Zx0
(x0 ¡ t) ®dt
x0 ¡±
eşitli¼gi elde edilir. Burada eşitli¼gin sa¼g taraf¬ndaki birinci integralde s ¡ x = z
de¼gişken de¼giştirmesi yapt¬ktan sonra z yerine s yaz¬l¬rsa;
=
xZ
0¡x
x 0¡x¡±
var
x0 ¡x¡±·s·t
jK(s; ¸)j (x0 ¡ x ¡ t)® dt + jK (x0 ¡ ± ¡ x; ¸)j
Zx0
(x0 ¡ t)® dt
x0¡±
bulunur.
=
Z0
x 0¡x¡±
var
x0 ¡x¡±·s·t
®
jK(s; ¸)j (x0 ¡x¡t) dt+
xZ
0 ¡x
0
35
var
x0 ¡x¡±·s·t
jK(s; ¸)j (x0 ¡x¡t)® dt
Zx0
+ jK(x0 ¡ ± ¡ x; ¸)j
(x0 ¡ t)® dt
x 0¡±
Birinci ve ikinci integrallerde
=
Z0
var
x 0¡x¡±·s·t
jK (s; ¸)j ifadesinin aç¬l¬m¬ yaz¬l¬rsa
[jK(t; ¸)j ¡ jK(x0 ¡ ± ¡ x; ¸)j] (x0 ¡ x ¡ t)® dt
x 0¡x¡±
Zx0
+ jK(x0 ¡ ± ¡ x; ¸)j
(x0 ¡ t)® dt
x 0¡±
+
xZ
0¡x
0
=
[jK(0; ¸)j ¡ jK(x0 ¡ ± ¡ x; ¸)j + jK(0; ¸)j ¡ jK(t; ¸)j] (x0 ¡ x ¡ t)® dt
Z0
®
x 0¡x¡±
jK(t; ¸)j (x0 ¡ x ¡ t) dt + 2 jK (0; ¸)j
¡ jK (x0 ¡ ± ¡ x; ¸)j
¡
xZ
0 ¡x
0
8 0
< Z
:
(x0 ¡ x ¡ t)® dt +
x0 ¡x¡±
xZ
0 ¡x
0
(x0 ¡ x ¡ t)® dt
xZ
0¡x
(x0 ¡ x ¡ t)® dt
0
Zx0
jK(t; ¸)j (x0 ¡ x ¡ t)® dt + jK (x0 ¡ ± ¡ x; ¸)j
x0 ¡±
9
=
;
(x0 ¡ t)® dt
bulunur. Burada gerekli düzenlemelerin yap¬lmas¬ ile
=
Z0
x 0¡x¡±
jK(t; ¸)j (x0 ¡ t)® dt ¡
®+1
+2 jK(0; ¸)j (x ¡ x0 )
xZ
0¡x
0
jK(t; ¸)j (x0 ¡ x ¡ t)® dt
¡ jK(x0 ¡ ± ¡ x; ¸)j
xZ
0¡x
(x0 ¡ x ¡ t)® dt
x0 ¡x¡±
+ jK(x0 ¡ ± ¡ x; ¸)j
Zx0
(x0 ¡ t)® dt
x 0¡±
eşitli¼gi elde edilir. Son eşitlikteki birinci ve ikinci integral toplan¬rsa
36
·
xZ
0¡x
®
jK(t; ¸)j (x0 ¡ x ¡ t) dt + 2 jK(0; ¸)j
x0¡x¡±
+ jK(x0 ¡ ± ¡ x; ¸)j
8 x
< Z0
:
(x0 ¡ t)® dt ¡
x 0¡±
=
xZ
0¡x
Zx0
xZ
0¡x
0
(x0 ¡ x ¡ t)® dt
9
=
(x0 ¡ t) ®dt
;
x0 ¡±
jK(t; ¸)j (x0 ¡ x ¡ t)® dt + 2 jK (0; ¸)j jx ¡ x0j®+1
x 0¡x¡±
eşitsizli¼gine ulaş¬l¬r.
Sonuç olarak
I2;1 (x; ¸) ·
Zx0
jK (t ¡ x; ¸)j (x0 ¡ t)® dt +
2 jK(0; ¸)j jx ¡ x0j ®+1
®+1
(3.40)
x 0¡±
olur. O halde (3.40) eşitsizlig¼i (3.39) da yerine yaz¬l¬rsa,
8
9
xZ0 ¡x
<
=
jI2(x; ¸)j · " (® + 1)
jK (t; ¸)j (x0 ¡ t)® dt + 2 jK(0; ¸)j jx ¡ x0 j®+1 (3.41)
:
;
x0¡x¡±
eşitsizli¼gi sa¼glanm¬ş olur.
Benzer yöntemin kullan¬lmas¬ ile I3 (x; ¸) integrali ise aşa¼g¬daki gibi bulunur.
I3(x; ¸) =
xZ0+±
x0
jf(t) ¡ f(x0)j jK(t ¡ x; ¸)j dt
olup, (3:33) eşitsizli¼ginden yararlanarak aşa¼g¬daki V fonksiyonunu tan¬mlayal¬m.
V (t) =
Zt
jf (y) ¡ f(x0)j dy:
x0
Burada t ¡ x0 · ± iken
V (t) · " (t ¡ x0)®+1
37
(3.42)
oldu¼gu görülür. I3 (x; ¸) integralinde k¬smi integrasyon uygulan¬rsa,
¯
¯
x
¯
¯
Z0 +±
¯
¯
¯
jI3(x; ¸)j = ¯V (x0 + ±) jK (x0 + ± ¡ x; ¸)j ¡
V (t) dt (jK(t ¡ x; ¸)j)¯¯
¯
¯
x
0
· jV (x0 + ±)j jK (x0 + ± ¡ x; ¸)j +
xZ0+±
x0
jV (t)j d t (jK (t ¡ x; ¸)j)
eşitsizli¼gi elde edilir. dt (jK(t ¡ x; ¸)j) ifadesinin [x0; x0 + ±] aral¬¼g¬ üzerinde negatif
olmamas¬ndan ve (3.42) den dolay¬,
jI3(x; ¸)j · " ±
®+1
jK (x0 + ± ¡ x; ¸)j + "
x
Z0+±
x0
(t ¡ x0)®+1d t (jK (t ¡ x; ¸)j)
olacakt¬r. Eşitsizli¼gin sa¼g¬ndaki integralde tekrar k¬smi integrasyon uygulan¬rsa,
©
jI3(x; ¸)j · " ± ®+1 jK (x0 + ± ¡ x; ¸)j + " ¡±®+1 jK(x0 + ± ¡ x; ¸)j
9
xZ0 +±
=
+(® + 1)
(t ¡ x0 )® jK(t ¡ x; ¸)j dt
;
x0
= "(® + 1)
x
Z0 +±
x0
(t ¡ x0)® jK(t ¡ x; ¸)j dt
(3.43)
eşitsizli¼gine ulaş¬l¬r.
I3;1 (x; ¸) :=
x
Z0 +±
x0
(t ¡ x0)® jK (t ¡ x; ¸)j dt
tan¬m¬n¬ yapal¬m.
jK (t ¡ x; ¸)j fonksiyonunun [x0 ; x0 + ±] aral¬g¼¬nda artmayan olmas¬ndan dolay¬;
I3;1 (x; ¸) =
xZ0 +±½
var
t·s·x0 +±
¾
jK(s ¡ x; ¸)j + jK (x0 + ± ¡ x; ¸)j (t ¡ x0 )® dt
x0
38
=
xZ0 +±
x0
[jK(t ¡ x; ¸)j ¡ jK(x0 + ± ¡ x; ¸)j] (t ¡ x0 )® dt
+ jK(x0 + ± ¡ x; ¸)j
xZ0+±
(t ¡ x0)® dt
x0
=
xZ0 +±
x0
jK(t ¡ x; ¸)j (t ¡ x0 )® dt
(3.44)
bulunur. O halde (3:44) in (3:43) de yerine konulmas¬ ile,
jI3(x; ¸)j · "(® + 1)
x
Z0 +±
x0
jK (t ¡ x; ¸)j (t ¡ x0 )® dt
(3.45)
elde edilir.
(3:36); (3:37); (3:41) ve (3:45) eşitsizliklerinin (3:35) de yaz¬lmas¬ ile,
¯ ¯
¯¾
o ½¯¯
¯ ¯ ±
¯
±
¯ K(¡ ; ¸) ¯ + ¯K ( ; ¸)¯
jI(x; ¸)j · kfkL1 (a;b) + jf(x0)j (b ¡ a)
¯
¯ ¯ 2 ¯
2
¯
¯
x
¯Zb
¯
Z0 +±
¯
¯
+"(® + 1)
jK(t ¡ x; ¸)j (t ¡ x0 )® dt + jf(x0 )j ¯¯ K(t ¡ x; ¸)dt ¡ 1¯¯
¯a
¯
x0
8
9
xZ0 ¡x
<
=
+" (® + 1)
jK(t; ¸)j (x0 ¡ x ¡ t)® dt + 2 jK (0; ¸)j jx ¡ x0j®+1
:
;
x0 ¡x¡±
¯ ¯
¯¾
n
o ½¯¯
¯ ¯ ±
¯
±
¯
¯
¯
¯
= kfkL1(a;b) + jf (x0)j (b ¡ a)
¯K (¡ 2 ; ¸)¯ + ¯K( 2 ; ¸)¯
8
2 x0
3
x
Z
Z0 +±
<
+" (® + 1) 4
jK(t ¡ x; ¸)j (x0 ¡ t)® dt +
jK (t ¡ x; ¸)j (t ¡ x0)® dt5
:
x 0¡±
x0
¯ b
¯
¯Z
¯
¯
¯
ª
®+1
¯
+2 jK(0; ¸)j jx ¡ x0j
+ jf(x0 )j ¯ K(t ¡ x; ¸)dt ¡ 1¯¯
¯a
¯
¯ ¯
¯¾
n
o ½¯¯
¯ ¯
¯
¯K (¡ ± ; ¸)¯ + ¯K( ± ; ¸)¯
·
kfkL1(a;b) + jf (x0)j (b ¡ a)
¯
¯
2 ¯ ¯ 2
8
9
x
Z0 +±
<
=
+" (® + 1)
jK (t ¡ x; ¸)j jt ¡ x0 j® dt + 2 jK (0; ¸)j jx ¡ x0j®+1
:
;
n
x0 ¡±
39
¯ b
¯
¯Z
¯
¯
¯
+ jf (x0)j ¯¯ K(t ¡ x; ¸)dt ¡ 1¯¯
¯a
¯
(3.46)
eşitsizli¼gine ulaş¬l¬r. K (t; ¸) fonksiyonunun (3:2) ve (3:3) özellikleri ve (3:34) şart¬
dikkate al¬n¬rsa
x
Z0 +±
jK (t ¡ x; ¸)j jt ¡ x0 j® dt + 2 jK (0; ¸)j jx ¡ x0j®+1
x0 ¡±
fonksiyonunun s¬n¬rl¬ oldu¼gu noktalar kümesi üzerinde
lim
(x;¸)!(x 0;¸0 )
L(f; x; ¸) = f (x0)
yak¬nsamas¬ vard¬r. Bu ise ispat¬ tamamlar.
40
4. TÜREVLERI· N YAKINSAKLIKLARI
Bu bölümde, giriş bölümünde verdi¼gimiz, üçüncü bölümde ise baz¬ karakteristik noktalardaki yak¬nsakl¬klar¬n¬ inceledi¼gimiz konvolüsyon tipi singüler integral operatörler
ailesinin türevlerinin yak¬nsakl¬klar¬n¬ inceleyece¼
giz.
Teorem 4.1. K (t; ¸) çekirdeg¼i A s¬n¬f¬ndan olsun. K (t ¡ x; ¸) fonksiyonu ise ,
tüm ¸ 2 ¤ lar için t nin fonksiyonu olarak < a; x0] aral¬¼g¬nda azalmayan, [x0 ; b >
@
aral¬¼g¬nda ise artmayan olsun. Ayr¬ca, K(t; ¸) ve K(t; ¸) fonksiyonlar¬ , her bir
@t
sabit ¸ 2 ¤ için t nin fonksiyonu olarak tüm reel eksende sürekli olsunlar ve
¯
¯
¯@
¯
lim sup ¯¯ K (t; ¸)¯¯ = 0
¸!¸0 0<jtj
@t
şart¬ sa¼glans¬n. E¼ger f 2 L1(a; b) fonksiyonunun t = x0 noktas¬nda f 0 (x0) türevi
varsa,
lim
(x;¸)!(x0 ;¸0)
@
L(f; x; ¸) = f 0(x0 )
@x
yak¬nsamas¬ vard¬r.
I·spat. a < x0 < b ve 0 · x0 ¡ x <
±
2
(± > 0) olsun.
g(t) := f (x0) + (t ¡ x0 )f 0 (x0)
(4.1)
fonksiyonunu tan¬mlayal¬m. (4.1) ile tan¬ml¬ g fonksiyonuna (3.4) de tan¬mlanm¬ş
olan L operatörü uygulan¬rsa,
L(g; x; ¸) =
Zb
(4.2)
g(t)K(t ¡ x; ¸)dt
a
elde edilir. (4.2) eşitli¼ginin her iki taraf¬n¬n x de¼gişkenine göre türevi al¬n¬rsa,
@
@
L(g; x; ¸) =
@x
@x
Zb
a
g(t)K(t ¡ x; ¸)dt =
41
Zb
a
g(t)
@
K (t ¡ x; ¸)dt
@x
elde edilir. Aç¬kça
@
@
K (t ¡ x; ¸) = ¡ K (t ¡ x; ¸)
@x
@t
oldu¼gundan
@
L(g; x; ¸) = ¡
@x
Zb
g(t)
a
@
K(t ¡ x; ¸)dt
@t
(4.3)
eşitli¼gi yaz¬labilir. Elde edilen (4.3) ifadesinin sa¼g¬ndaki integrale k¬smi integrasyon
uygulan¬r ve g fonksiyonunun tan¬m¬ aç¬k olarak yerine yaz¬l¬rsa,
¯
@
L(g; x; ¸) = ¡K(t ¡ x; ¸)g(t) ¯ba +
@x
Zb
a
K (t ¡ x; ¸)dg(t)
= ¡K(b ¡ x; ¸)g(b) + K (a ¡ x; ¸)g(a) +
Zb
a
f 0 (x0)K (t ¡ x; ¸)dt
0
= ¡K(b ¡ x; ¸) [f (x0) + (b ¡ x0 )f (x0)]
+K (a ¡ x; ¸) [f(x0) + (a ¡ x0)f 0 (x0)]
Zb
0
+f (x0 ) K(t ¡ x; ¸)dt
(4.4)
a
eşitli¼gi bulunur. (4.4) eşitli¼ginden ise K(t; ¸) çekirde¼ginin A s¬n¬f¬ndan olmas¬ndan
dolay¬, limit al¬nd¬¼
g¬nda
lim
(x;¸)!(x0 ;¸0 )
@
L(g; x; ¸) = f 0 (x0)
@x
(4.5)
yak¬nsamas¬ elde edilmiş olur.
@
Teoremin ispat¬n¬ tamamlamak için, (4.5) den dolay¬, (x; ¸) ! (x0 ; ¸0) iken
L(g; x; ¸)¡
@x
d
L(f; x; ¸) ! 0 oldu¼gunu göstermek gereklidir.
dx
I (x; ¸) :=
@
@
L(f; x; ¸) ¡
L(g; x; ¸)
@x
@x
42
diyelim. Bu durumda,
¯ b
¯
b
¯Z
¯
Z
¯
¯
@
@
jI(x; ¸)j = ¯¯ f (t) K (t ¡ x; ¸)dt ¡ g(t) K(t ¡ x; ¸)dt¯¯
@x
@x
¯a
¯
a
¯ b
¯
¯Z
¯
¯
¯
@
= ¯¯ [f (t) ¡ f(x0 ) ¡ (t ¡ x0 )f 0 (x0)] K (t ¡ x; ¸)dt¯¯
@x
¯a
¯
¯ b
¯
¯Z
¯
¯
¯
@
= ¯¯ [f (t) ¡ f(x0 ) ¡ (t ¡ x0 )f 0 (x0)] K (t ¡ x; ¸)dt¯¯
@t
¯
¯
a
olacakt¬r.Türev işleminin özelliklerini kullanabilmek için son eşitli¼gi aşa¼g¬daki biçimde
yazal¬m.
¯ b
¯
¯Z ·
¯
¸
¯
¯
f(t) ¡ f(x0)
@
0
¯
jI (x; ¸)j = ¯
¡ f (x0) (t ¡ x0) K (t ¡ x; ¸)dt¯¯ :
t ¡ x0
@t
¯
¯
a
f fonksiyonunun x0 noktas¬nda f 0 (x0) türevi sonlu oldu¼gundan, her " > 0 için en az
bir ± > 0 say¬s¬ vard¬r, öyle ki;
¯
¯
¯ f (t) ¡ f(x0 )
¯
0
¯
¡ f (x0)¯¯ < "
¯ t ¡ x0
sa¼glan¬r. Bu eşitsizlikten yararlanabilmek için jI(x; ¸)j integralini aşa¼
g¬daki biçimde
parçalara ay¬ral¬m.
jI(x; ¸)j ·
xZ0¡±¯
a
+
¯¯
¯
¯ f (t) ¡ f(x0 )
¯¯
¯
@
0
¯
¯
¯
¡ f (x0)¯ ¯ (t ¡ x0) K(t ¡ x; ¸) ¯¯ dt
¯ t ¡ x0
@t
xZ0 +±¯
x0 ¡±
¯¯
¯
¯ f (t) ¡ f(x0)
¯¯
¯
@
0
¯
¯
¯
¡ f (x0)¯ ¯(t ¡ x0 ) K(t ¡ x; ¸)¯¯ dt
¯ t ¡ x0
@t
¯¯
¯
Zb ¯
¯ f (t) ¡ f(x0)
¯¯
¯
@
0
¯
¯ ¯(t ¡ x0 ) K(t ¡ x; ¸)¯ dt:
+
¡
f
(x
)
0
¯ t ¡ x0
¯¯
¯
@t
x0 +±
f 0 (x0) türevinin var olmas¬ halinde elde etti¼gimiz ifadeyi son eşitsizli¼gin sa¼g¬ndaki
43
ikinci integralde kullan¬rsak
·
xZ0¡±¯
a
+"
¯¯
¯
¯ f (t) ¡ f (x0 )
¯
¯
¯
@
0
¯
¯ ¯ (t ¡ x0) K(t ¡ x; ¸)¯ dt
¡
f
(x
)
0
¯ t ¡ x0
¯¯
¯
@t
x
Z0+±¯
x 0¡±
¯
¯
¯
@
¯(t ¡ x0) K (t ¡ x; ¸)¯ dt
¯
¯
@t
¯¯
¯
Zb ¯¯
¯¯
¯
f (t) ¡ f(x0 )
@
0
¯
¯
¯
+
¡ f (x0)¯ ¯(t ¡ x0) K(t ¡ x; ¸)¯¯ dt
¯ t ¡ x0
@t
x0 +±
= I1(x; ¸) + "I2(x; ¸) + I3(x; ¸)
(4.6)
eşitsizli¼gi sa¼glan¬r. (4.6) eşitsizli¼ginin sa¼g¬ndaki integralleri teker teker ele alal¬m.
I1(x; ¸) =
=
x
Z0 ¡±¯
¯¯
¯
¯ f(t) ¡ f(x0)
¯¯
¯
@
0
¯
¯
¯
¡ f (x0)¯ ¯(t ¡ x0 ) K(t ¡ x; ¸)¯¯ dt
¯ t ¡ x0
@t
a
x
Z0 ¡±
a
·
¯
¯
¯@
¯
¯
jf(t) ¡ g(t)j ¯ K (t ¡ x; ¸)¯¯ dt
@t
¯
¯ Zb
¯@
¯
¯
sup ¯ K (u; ¸)¯¯ jf(t) ¡ g(t)j dt
@u
±
0< 2 <juj
a
olup, f ve g fonksiyonlar¬ L1(a; b) uzay¬nda olduklar¬ndan f ¡g fonksiyonu da L1(a; b)
uzay¬ndad¬r, yani,
Zb
a
jf(t) ¡ g(t)j dt · Y < 1
olacak biçimde bir M pozitif reel say¬s¬ vard¬r. Bu ise;
I1(x; ¸) · Y
oldug¼unu gösterir.
¯
¯
¯ @
¯
sup ¯¯ K(u; ¸) ¯¯
±
@u
0< 2 <juj
44
(4.7)
Benzer şekilde
¯
¯
¯@
¯
I3(x; ¸) =
jf(t) ¡ g(t)j ¯¯ K (t ¡ x; ¸)¯¯ dt
@t
x0 +±
¯
¯
¯@
¯
¯
· Y sup ¯ K (u; ¸)¯¯
0< ± <juj @u
Zb
(4.8)
2
eşitsizli¼gi sa¼glan¬r.
(4.6) eşitsizli¼
ginin sa¼g¬nda I2 (x; ¸) integralinin " say¬s¬ ile çarp¬m¬ bulundu¼gundan,
I2(x; ¸) integralininin limit konumunda s¬n¬rl¬ oldug¼unu veya hangi nokta kümeleri
üzerinde s¬n¬rl¬ kalaca¼g¬n¬ göstermemiz gerekmektedir. Şimdi bunu gösterelim.
I2(x; ¸) =
x
Z0 +±¯
x0 ¡±
=
¯
¯
¯
@
¯(t ¡ x0 ) K(t ¡ x; ¸)¯ dt
¯
¯
@t
¯
¯
¯@
¯
¯
jt ¡ x0 j ¯ K(t ¡ x; ¸)¯¯ dt
@t
x
Z0 +±
x0 ¡±
olup K(t ¡x; ¸) fonksiyonunun t nin fonksiyonu olarak, [a; x0 ] aral¬¼g¬nda azalmayan,
[x0; b] aral¬¼g¬nda ise artmayan olmas¬ndan dolay¬;
I2(x; ¸) =
Zx0
x 0¡±
=
Zx0
x
¯
¯
¯
¯
Z0 +±
¯@
¯
¯@
¯
¯
¯
¯
jt ¡ x0j ¯ K(t ¡ x; ¸)¯ dt +
jt ¡ x0 j ¯ K(t ¡ x; ¸)¯¯ dt
@t
@t
x0
(x0 ¡ t)
@
K (t ¡ x; ¸)dt +
@t
x 0¡±
=
xZ0+±
(x0 ¡ t)
xZ0+±
x0
(x0 ¡ t)
@
K (t ¡ x; ¸)dt
@t
@
K (t ¡ x; ¸)dt
@t
x 0¡±
oldu¼gu görülür. Burada k¬smi integrasyon uygulan¬rsa;
¯
I2 (x; ¸) = (x0 ¡ t)K (t ¡ x; ¸) ¯xx00 +±
¡± +
xZ0 +±
x0 ¡±
45
K (t ¡ x; ¸)dt
· ¡± fK(x0 + ± ¡ x; ¸) + K (x0 ¡ ± ¡ x; ¸)g +
Zb
a
(4.9)
K (t ¡ x; ¸)dt
bulunur. (4.9) eşitsizli¼gi (3.2) ve (3.3) koşullar¬ndan dolay¬ limit konumunda I2(x; ¸)
integralinin tüm (x; ¸) nokta kümeleri üzerinde s¬n¬rl¬ oldu¼gunu gösterir.
Sonuç olarak, (4.7), (4.8) ve (4.9) eşitsizliklerinin (4.6) da yerine konulmas¬ ile,
jI(x; ¸)j · 2Y
2
¯
¯
¯@
¯
sup ¯¯ K(u; ¸)¯¯
±
@u
0< 2 <juj
+" 4¡± fK(x0 + ± ¡ x; ¸) + K(x0 ¡ ± ¡ x; ¸)g +
Zb
a
3
K(t ¡ x; ¸)dt5
(4.10)
eşitsizli¼gi elde edilir. (4.10) eşitsizli¼
ginin (x; ¸) ! (x0; ¸0 ) iken limiti al¬n¬rsa, (3.2),
(3.3) şartlar¬n¬ndan
¯
¯
¯@
¯
@
¯ L(f; x; ¸) ¡
lim
jI(x; ¸)j =
lim
L(g; x; ¸)¯¯ = 0
¯
(x;¸)!(x0 ;¸0 )
(x;¸)!(x0 ;¸0 ) @x
@x
yak¬nsamas¬n¬n oldu¼gu görülür. Böylece teorem ispatlanm¬ş olur.
Teorem 4.2. K(t; ¸) çekirde¼gi A s¬n¬f¬ndan olsun. K (t ¡ x; ¸) fonksiyonu her bir
¸ 2 ¤ indisleri için t de¼
gişkenine göre [a; x0] aral¬¼g¬nda azalmayan, [x0; b] aral¬¼g¬nda
@
ise artmayan olsun. Ayr¬ca, K(t; ¸) ve K (t; ¸) fonksiyonlar¬ , her bir sabit ¸ 2 ¤
@t
için t nin fonksiyonu olarak tüm reel eksende sürekli olsunlar ve her » > 0 için
¯
¯
¯@
¯
lim sup ¯¯ K (t; ¸)¯¯ = 0
¸!¸0 »<jtj
@t
0 (x )
şart¬ sa¼glans¬n. Eg¼er f 2 L1(a; b) fonksiyonunun t = x0 noktas¬nda f+0 (x0 ) ve f¡
0
türevleri sonlu ise
lim
(x;¸)!(x0 ;¸0)
Zb
K(t ¡ x; ¸)dt = B;
x0
46
0 · B · 1;
(4.11)
olmak üzere,
lim
(x;¸)!(x 0;¸0 )
@
0
L(f ; x; ¸) = B f+
(x0) + (1 ¡ B)f¡0 (x0)
@x
(4.12)
dir.
±
I·spat. a < x0 < b ve 0 · x0 ¡ x < (± > 0) olsun.
2
8
< f(x0) + (t ¡ x0)f 0 (x0) ;
¡
g(t) =
: f(x0) + (t ¡ x0)f 0 (x0) ;
+
a · t < x0
(4.13)
x0 · t · b
şeklinde bir fonksiyon tan¬mlayal¬m. Önce teoremi g fonksiyonu için ispatlayal¬m. L
operatörünü g fonksiyonuna uygulayal¬m. Bu durumda
L(g; x; ¸) =
Zb
a
g(t)K (t ¡ x; ¸)dt
integrali elde edilir. Her iki taraf¬n x e göre türevi al¬n¬rsa;
@
@
L(g; x; ¸) =
@x
@x
Zb
g(t)K(t ¡ x; ¸)dt = ¡
a
Zb
g(t)
@
K (t ¡ x; ¸)dt
@t
(4.14)
a
olur. (4.13) ifadesinin (4.14) de yerine yaz¬lmas¬ ile,
@
L(g; x; ¸) = ¡
@x
Zx0
¡
Zb
a
x0
£
¤@
f(x0 ) + (t ¡ x0)f¡0 (x0 )
K(t ¡ x; ¸)dt
@t
£
f(x0 ) + (t ¡ x0)f+0 (x0 )
¤ @
K(t ¡ x; ¸)dt
@t
(4.15)
elde edilir. (4.15) eşitli ¼ginin sa¼g¬ndaki her bir integral için k¬smi integrasyon uygulan¬rsa birinci integral
¡
Zx0
a
£
¤@
f(x0) + (t ¡ x0)f¡0 (x0 )
K(t ¡ x; ¸)dt
@t
47
£
¤
= ¡ f (x0) + (t ¡ x0 )f¡0 (x0) K(t ¡ x; ¸)jxa0 +
£
= ¡f(x0 )K(x0 ¡ x; ¸) + f(x0) + (a ¡
Zx0
+f¡0 (x0) K (t ¡ x; ¸)dt
Zx0
f¡0 (x0 )K(t ¡ x; ¸)dt
a
¤
0
x0 )f¡ (x0) K (a
¡ x; ¸)
(4.16)
a
biçiminde olur ve ikinci integral için
¡
Zb
x0
£
¤@
f(x0) + (t ¡ x0)f+0 (x0 )
K(t ¡ x; ¸)dt
@t
£
¤
= ¡ f (x0) + (t ¡ x0 )f+0 (x0) K(t ¡ x; ¸)jbx0 +
Zb
x
f+0 (x0 )K(t ¡ x; ¸)dt
0
£
¤
0
= ¡ f (x0) + (b ¡ x0 )f¡ (x0) K (b ¡ x; ¸) + f (x0)K(x0 ¡ x; ¸)
Zb
0
+f+ (x0) K (t ¡ x; ¸)dt
(4.17)
x0
bulunur. (4.16) ve (4.17) ifadeleri (4.15) de yerine yaz¬l¬rsa,
£
¤
@
0
L(g; x; ¸) = ¡f (x0)K(x0 ¡ x; ¸) + f(x0 ) + (a ¡ x0)f¡
(x0) K(a ¡ x; ¸)
@x
Zx0
£
¤
0
+f¡
(x0) K(t ¡ x; ¸)dt ¡ f (x0 ) + (b ¡ x0)f¡0 (x0) K (b ¡ x; ¸)
a
0
+f(x0 )K(x0 ¡ x; ¸) + f+
(x0)
Zb
K(t ¡ x; ¸)dt
x0
=
£
¤
£
¤
f (x0) + (a ¡ x0)f¡0 (x0 ) K(a ¡ x; ¸) ¡ f (x0) + (b ¡ x0 )f¡0 (x0) K (b ¡ x; ¸)
Zx0
Zb
0
+f¡
(x0) K(t ¡ x; ¸)dt + f+0 (x0 ) K(t ¡ x; ¸)dt
(4.18)
a
x0
eşitli¼gine ulaş¬l¬r. (4.18) denkleminde teoremin hipotezindeki (4.11) koşulunun kul-
48
lan¬lmas¬ ile
lim
(x;¸)!(x0 ;¸0)
@
0
L(g; x; ¸) = B f+0 (x0 ) + (1 ¡ B)f¡
(x0)
@x
elde edilir. Bu bize ispat¬n g fonksiyonu için tamamland¬ ¼g¬n¬ gösterir.
Teoremin ispat¬n¬n tamamlanmas¬ için,
@
@
L(g; x; ¸) ¡
L(f; x; ¸)
@x
@x
fark¬n¬n limit konumunda s¬f¬ra gitti¼
gini göstermek gerekmektedir. K¬sal¬k aç¬s¬dan,
diyelim ve
lim
¯
¯
¯@
¯
@
jI(x; ¸)j := ¯¯ L(g; x; ¸) ¡
L(f; x; ¸)¯¯
@x
@x
(x;¸)!(x0 ;¸0 )
jI(x; ¸)j = 0 oldu¼gunu gösterelim:
¯ b
¯
¯Z
¯
¯
¯
@
jI(x; ¸)j = ¯¯ [f(t) ¡ g(t)] K (t ¡ x; ¸)dt¯¯
@t
¯a
¯
0 x0 ¡±
1
¯
¯
¯
Z
Zx0 ¯¯
¯
¯@
¯
f(t)
¡
f
(x
)
0
0
A¯
¯ jt ¡ x0j ¯ K (t ¡ x; ¸)¯ dt
· @
+
¡
f
(x
)
0
¡
¯ (t ¡ x0)
¯
¯ @t
¯
a
x 0¡±
0 b
1
xZ0+± ¯
¯
¯
¯
Z
¯ f (t) ¡ f(x0 )
¯
¯@
¯
0
@
A
¯
¯
¯
¯ dt
+
+
¡
f
(x
)
jt
¡
x
j
K
(t
¡
x;
¸)
0
0
+
¯ (t ¡ x0)
¯
¯ @t
¯
x0 +±
x0
= I1 (x; ¸) + I2(x; ¸) + I3 (x; ¸) + I4(x; ¸)
(4.19)
şeklinde gösterelim. f fonksiyonunun t = x0 noktas¬nda f+0 (x0) ve f¡0 (x0) türevleri
sonlu oldu¼gundan, her " > 0 için en az bir ± > 0 say¬s¬ vard¬r, öyle ki,
ve
¯
¯
¯ f (t) ¡ f(x0 )
¯
0
¯
¯
¯ (t ¡ x0) ¡ f¡ (x0)¯ < "
¯
¯
¯ f (t) ¡ f(x0 )
¯
0
¯
¯<"
¡
f
(x
)
0
+
¯ (t ¡ x0)
¯
49
eşitsizlikleri sa¼glan¬r. Bu eşitsizlikler dikkate al¬n¬rsa
I2 (x; ¸) =
¯
¯
¯
Zx0 ¯¯
¯
¯
¯
¯ f (t) ¡ f(x0 ) ¡ f¡0 (x0)¯ jt ¡ x0j ¯ @ K (t ¡ x; ¸)¯ dt
¯ (t ¡ x0)
¯
¯ @t
¯
x 0¡±
Zx0
· "
x0 ¡±
Zx0
= "
¯
¯
¯@
¯
¯
jt ¡ x0j ¯ K (t ¡ x; ¸)¯¯ dt
@t
(x0 ¡ t)
@
K (t ¡ x; ¸)dt
@t
(4.20)
x0 ¡±
ve
I4 (x; ¸) =
xZ0+±¯
x0
· "
¯
¯
¯@
¯
jt ¡ x0j ¯¯ K (t ¡ x; ¸)¯¯ dt
@t
xZ0+±
x0
= "
¯
¯
¯
¯ f (t) ¡ f(x0 )
¯
¯@
¯
0
¯
¯
¯
¯ dt
¡
f
(x
)
jt
¡
x
j
K
(t
¡
x;
¸)
0
0
+
¯ (t ¡ x0)
¯
¯ @t
¯
xZ0+±
x0
(x0 ¡ t)
@
K (t ¡ x; ¸)dt
@t
(4.21)
elde edilir. (4.20) ile (4.21) toplanmas¬ sonucunda,
I2(x; ¸) + I4(x; ¸) · "
x
Z0 +±
(x0 ¡ t)
@
K(t ¡ x; ¸)dt
@t
x0¡±
eşitsizli¼gi bulunur. Eşitsizli¼
gin sa¼
g¬ndaki ifadeye k¬smi integrasyon uygulan¬rsa;
2
I2(x; ¸)+I4(x; ¸) · " 4¡± fK(x0 + ± ¡ x; ¸) + K(x0 ¡ ± ¡ x; ¸)g +
ifadesi elde edilir.
Şimdi I1(x; ¸) ve I3 (x; ¸) integrallerini gözönüne alal¬m
I1(x; ¸) =
¯
¯
¯@
¯
jf(t) ¡ g(t)j ¯¯ K (t ¡ x; ¸)¯¯ dt
@t
xZ0 ¡±
a
50
Zb
a
3
K(t ¡ x; ¸)dt5
(4.22)
· Y
¯
¯
¯@
¯
sup ¯¯ K (u; ¸)¯¯
±
@u
(4.23)
0< 2 <juj
ve
¯
¯
¯@
¯
I3(x; ¸) =
jf(t) ¡ g(t)j ¯¯ K (t ¡ x; ¸)¯¯ dt
@t
x0 +±
¯
¯
¯@
¯
· Y sup ¯¯ K (u; ¸)¯¯
0< ± <juj @u
Zb
(4.24)
2
olur. (4.22), (4.23) ve (4.24) eşitsizliklerinin (4.19) da yerine konulmas¬ ile,
jI(x; ¸)j · I1(x; ¸) + I2(x; ¸) + I3(x; ¸) + I4(x; ¸)
2
· " 4¡± fK(x0 + ± ¡ x; ¸) + K(x0 ¡ ± ¡ x; ¸)g +
+2Y
¯
¯
¯@
¯
sup ¯¯ K(u; ¸)¯¯
±
@u
Zb
a
3
K(t ¡ x; ¸)dt5
0< 2 <juj
bulunur. Buradan ise
¯
¯
¯@
¯
@
¯ L(g; x; ¸) ¡
lim
jI(x; ¸)j =
lim
L(f ; x; ¸)¯¯ = 0
¯
(x;¸)!(x0 ;¸0 )
(x;¸)!(x0 ;¸0 ) @x
@x
yak¬nsamas¬n¬n oldu¼gu görülür. Böylece ispat tamamlan¬r.
Sonuç 4.1. Eg¼er Teorem 4.3 deki B say¬s¬
1
olarak seçilirse,
2
0
lim
(x;¸)!(x0;¸0 )
0 (x )
f+ (x0 ) + f¡
@
0
L(f ; x; ¸) =
@x
2
yak¬nsamas¬ elde edilir.
@º
K(t; ¸),
@tº
(º = 1; 2; :::; r) fonksiyonlar¬ , her bir ¸ 2 ¤ için t nin fonksiyonu olarak tüm reel
Teorem 4.4. K(t; ¸) çekirde¼gi A s¬n¬f¬ndan olsun. Ayr¬ca, K (t; ¸) ve
51
eksende sürekli olsunlar ve her » > 0 için
sup
¯ r
¯
¯@
¯
jtj ¯¯ r K(t; ¸)¯¯ dt < 1 ve
@t
x 0Z
¡x+±
¸2¤
x 0¡x¡±
¯ r
¯
¯@
¯
lim sup ¯¯ r K (t; ¸)¯¯ = 0
¸!¸0 »<jtj
@t
r
(4.25)
şartlar¬ sa¼glans¬n. E¼ger f 2 L1 (a; b) fonksiyonunun t = x0 noktas¬nda r-inci mertebeden f (r)(x0 ) türevi varsa,
º
jx ¡ x0 j
x 0Z
¡x+±
r¡º
jtj
x 0¡x¡±
¯ r
¯
¯@
¯
¯ K(t; ¸)¯ dt < Cº
¯ @ tr
¯
(º = 1; 2; :::; r)
(4.26)
fonksiyonunun s¬n¬rl¬ oldu¼gu noktalar kümesi üzerinde,
@r
lim
L(f ; x; ¸) = f (r)(x0)
r
(x;¸)!(x 0;¸0) @x
dir.
I·spat. a < x0 < b ve 0 · x0 ¡ x <
±
2
(± > 0) olsun.
g(t) = f (x0) + (t ¡ x0 )f¡0 (x0) + ::: +
(t ¡ x0 )r (r)
f (x0)
r!
(4.27)
şeklinde bir fonksiyon tan¬mlayal¬m. (4.27) ile tan¬ml¬ fonksiyona L operatörü uygulan¬rsa
L(g; x; ¸) =
Zb
g(t)K(t ¡ x; ¸)dt
a
olup, eşitlikte x e göre r: mertebeden türev al¬n¬rsa;
@r
@r
L(g;
x;
¸)
=
@xr
@xr
Zb
a
r
= (¡1)
g(t)K(t ¡ x; ¸)dt
Zb
a
52
g(t)
@r
K(t ¡ x; ¸)dt
@tr
(4.28)
bulunur. Eşitli¼gin sa¼g¬ndaki integralde r defa k¬smi integrasyon uygulan¬rsa
@r
L(g; x; ¸) =
@xr
Zb
a
g (r)(t)K(t ¡ x; ¸)dt
elde edilir. (4.28) eşitli¼ginde g fonksiyonunun (4.27) deki ifadesinin yaz¬lmas¬ ile,
@r
L(g; x; ¸) = f (r) (x0 )
@xr
Zb
a
K (t ¡ x; ¸)dt
elde edilir. Elde edilen son eşitlik (3.3) şart¬ndan dolay¬
@r
L(g; x; ¸) = f (r)(x0)
r
@x
(4.29)
yak¬nsamas¬n¬n var oldu¼gunu gösterir.
(4.29) da elde edilen yak¬nsakl¬ktan dolay¬, teoremin ispat¬n¬n tamamlanmas¬ için
@r
@r
L(g;
x;
¸)
¡
L(f; x; ¸)
@xr
@xr
fark¬n¬n limit konumunda s¬f¬ra gittig¼ini göstermek gerekmektedir. Bunun için
diyelim ve
lim
¯ r
¯
r
¯@
¯
@
jI(x; ¸)j := ¯¯ r L(g; x; ¸) ¡ r L(f; x; ¸)¯¯
@x
@x
(x;¸)!(x0 ;¸0 )
jI(x; ¸)j = 0 oldu¼gunu gösterelim.
¯ b
¯
¯Z
¯
r
¯
¯
@
jI(x; ¸)j = ¯¯ [f (t) ¡ g(t)] r K(t ¡ x; ¸)dt¯¯
@t
¯a
¯
0 x ¡± x +±
1
¯ r
¯
Z0
Z0
Zb
¯@
¯
A jf(t) ¡ g(t)j ¯ K(t ¡ x; ¸) ¯ dt
· @
+
+
¯ @ tr
¯
a
x0 ¡±
x 0+±
= I1(x; ¸) + I2 (x; ¸) + I3(x; ¸)
53
(4.30)
I1(x; ¸) ve I3(x; ¸) integralleri gözönüne al¬n¬rsa
¯ r
¯
¯@
¯
¯
I1(x; ¸) =
jf(t) ¡ g(t)j ¯ r K(t ¡ x; ¸)¯¯ dt
@t
a
¯ r
¯
¯@
¯
· Y sup ¯¯ r K(u; ¸)¯¯
0< ± <juj @u
xZ0 ¡±
(4.31)
2
ve
¯ r
¯
¯@
¯
I3(x; ¸) =
jf(t) ¡ g(t)j ¯¯ r K(t ¡ x; ¸)¯¯ dt
@t
x0 +±
¯ r
¯
¯@
¯
¯
· Y sup ¯ r K(u; ¸)¯¯
0< ± <juj @u
Zb
(4.32)
2
eşitsizliklerinin sa¼gland¬¼g¬ görülür.
Ayr¬ca f fonksiyonunun t = x0 noktas¬nda f (r)(x0) türevi var oldu¼
gundan, her " > 0
için en az bir ± > 0 say¬s¬ vard¬r, öyle ki,
x
Z0+±¯
I2(x; ¸) =
x0¡±
· "
¯
¯ r
¯
¯ f(t) ¡ g(t) ¯
¯@
¯
r
¯
¯
¯
¯
¯ (t ¡ x0)r ¯ jt ¡ x0j ¯ @tr K(t ¡ x; ¸)¯ dt
x 0¡±
sag¼lan¬r.
I2;1 (x; ¸) :=
r
¯ r
¯
¯@
¯
jt ¡ x0j ¯¯ r K(t ¡ x; ¸)¯¯ dt =
@t
x
Z0+±
x 0¡±
¯ r
¯
¯@
¯
jt ¡ x0j ¯¯ r K(t ¡ x; ¸)¯¯ dt
@t
x
Z0+±
r
¯ r
¯
¯@
¯
jt + x ¡ x0j ¯¯ r K (t; ¸)¯¯ dt
@t
x0Z
¡x+±
x0 ¡x¡±
r
tan¬m¬n¬ yapal¬m. (4.25) koşulunu kullanabilmek için I2;1 (x; ¸) integralinde de¼gişken
de¼giştirmesi yaparsak
I2;1(x; ¸) =
¯ r
¯
¯@
¯
jt + x ¡ x0j ¯ r K(t; ¸)¯¯ dt
@t
x0Z
¡x+±
x0 ¡x¡±
r¯
54
olarak bulunur. I· ntegrant içinde basit bir ekleme ç¬karma işlemi yap¬l¬r ve integral
işleminin lineerli¼gi kullan¬l¬rsa aşa¼g¬daki eşitlik elde edilir.
I2;1 (x; ¸) =
x0 ¡x¡±
=
¯ r
¯
¯@
¯
¯
(jt + x ¡ x0j ¡ jtj + jtj ) ¯ r K(t; ¸)¯¯ dt
@t
x0Z
¡x+±
r
r
¯ r
¯
¯@
¯
(jt + x ¡ x0j ¡ jtj ) ¯¯ r K(t; ¸)¯¯ dt +
@t
x0Z
¡x+±
x0 ¡x¡±
r
r
r
¯ r
¯
¯@
¯
jtj ¯¯ r K (t; ¸)¯¯ dt
@t
x0Z
¡x+±
x 0¡x¡±
= I2;1;1(x; ¸) + I2;1;2(x; ¸):
r
(4.25) den dolay¬ I2;1;2(x; ¸) ifadesinin sonlu oldu¼gu görülür. O halde I2;1(x; ¸) integralinin sonlu oldu¼gunu gösterebilmek için sadece I2;1;1(x; ¸) ifadesinin sonlu oldu¼gunun gösterilmesi yeterli olacakt¬r. Bunun için
an ¡ bn = (a ¡ b)(a n¡1 + an¡2b + ::: + abn¡2 + bn¡1 )
Binom formülü jt + x ¡ x0 jr ¡ jtjr fark¬ için kullan¬l¬rsa;
I2;1;1 (x; ¸) = jx ¡ x0j
x0Z
¡x+±
x0 ¡x¡±
= jx ¡ x0j
r¡1
jt + x ¡ x0 j
x0Z
¡x+±
x0 ¡x¡±
+ jx ¡ x0j
..
.
¡
jt + x ¡ x0j
x0Z
¡x+±
x0 ¡x¡±
+ jx ¡ x0j
¯ r
¯
¯@
¯
¯ dt
K
(t;
¸)
¯ @tr
¯
r¡1 ¯
r¡2
x0Z
¡x+±
jt + x ¡ x0j jtj
x0 ¡x¡±
+ jx ¡ x0j
+ ::: + jtj
jt + x ¡ x0j
x0Z
¡x+±
x0 ¡x¡±
jtj
¯
¯ r
¯
¯@
¯
¯
¯ @tr K (t; ¸)¯ dt
r¡1¢ ¯
¯ r
¯
¯@
¯
jtj ¯¯ r K(t; ¸)¯¯ dt
@t
¯
¯
¯
@r
¯
¯ @tr K(t; ¸)¯ dt
r¡2 ¯¯
¯
¯
@r
¯ dt:
K
(t;
¸)
¯ @tr
¯
r¡1 ¯¯
eşitlig¼i elde edilir. Yukar¬da elde edilen eşitli g¼in sag¼¬ndaki her bir integralde I2;1(x; ¸)
integralinin hesaplanmas¬nda kullan¬lan işlemleri tekrarlanmas¬ sonucunda I2;1;1(x; ¸)
55
integralinin
jx ¡ x0j
º
x0Z
¡x+±
jtj
r¡º
x0 ¡x¡±
¯ r
¯
¯@
¯
¯ K (t; ¸)¯ dt ;
¯ @tr
¯
(º = 1; 2; :::; r)
ifadelerinin bir lineer kombinasyonu oldu¼gu görülür. Bu ise (4.25) den dolay¬ I2(x; ¸)
nin s¬n¬rl¬ oldu¼
gunu gösterir.
Böylece (4.31), (4.32) eşitsizliklerinin (4.30) eşitli¼ginde yerine yaz¬lmas¬ ile,
jI(x; ¸)j · I1 (x; ¸) + I2(x; ¸) + I3 (x; ¸)
· " I2 (x; ¸) + 2Y
¯ r
¯
¯ @
¯
sup ¯¯ r K(u; ¸)¯¯
±
@u
0< 2 <juj
eşitsizli¼gi bulunur. Sonuç olarak
¯ r
¯
r
¯@
¯
@
¯
lim
jI(x; ¸)j =
lim
L(g; x; ¸) ¡ r L(f ; x; ¸)¯¯ = 0
¯
r
(x;¸)!(x0 ;¸0 )
(x;¸)!(x0 ;¸0 ) @x
@x
yak¬nsamas¬n¬n oldu¼gu görülür. Böylece teorem ispatlanm¬ş olur.
@º
K(t; ¸),
@tº
(º = 1; 2; :::; r; r + 1) fonksiyonlar¬, her bir sabit ¸ 2 ¤ için t nin fonksiyonu olarak
Teorem 4.5. K(t; ¸) çekirde¼gi A s¬n¬f¬ndan olsun. Ayr¬ca, K (t; ¸) ve
(¡1; 1) üzerinde sürekli olsunlar ve her » > 0 için
sup
x0Z
¡x+±
¸2¤
x0¡x¡±
r+1
jtj
¯ r+1
¯
¯@
¯
¯
¯ dt < 1 ve
K(t;
¸)
¯ @tr+1
¯
¯ r+1
¯
¯@
¯
lim sup ¯¯ r+1 K(t; ¸)¯¯ = 0 (4.33)
¸!¸0 »<jtj
@t
şartlar¬ sa¼glans¬n. E¼ger f 2 L1(a; b) fonksiyonunun t = x0 noktas¬nda r¡inci mer(r+1)
tebeye kadar türevleri var, ayr¬ca f+
ise
lim
(x;¸)!(x0 ;¸0)
Zb
x0
(r+1)
(x0 ) ve f¡
K(t ¡ x; ¸)dt = B
56
;
(x0) sa¼g ve sol türevleri sonlu
0 ·B ·1 ;
olmak üzere
º
jx ¡ x0j
x0Z
¡x+±
r+1¡º
jtj
x 0¡x¡±
¯ r+1
¯
¯@
¯
¯
¯ dt < Cº
K(t;
¸)
¯ @tr+1
¯
(º = 1; 2; :::; r; r + 1)
(4.34)
fonksiyonunun s¬n¬rl¬ oldu¼gu noktalar kümesi üzerinde,
lim
(x;¸)!(x0 ;¸0 )
@ r+1
(r+1)
L(f; x; ¸) = B f+(r+1)(x0 ) + (1 ¡ B)f¡
(x0)
r+1
@x
dir.
I·spat. a < x0 < b ve 0 · x0 ¡ x <
g(t) =
8
>
>
>
< f(x0) + ::: +
>
>
>
: f(x ) + ::: +
0
(t¡x0) r
r!
±
2
(± > 0) olsun. r = 0; 1; 2; ::: için
f (r)(x0) +
(t¡x 0) r+1 (r+1)
(x0)
(r+1)! f¡
0
(t¡x0) r
r!
f (r)(x0) +
(t¡x 0) r+1 (r+1)
f+ (x0)
(r+1)!
; a · t < x0
;
t=0
;
x0 < t · b
(4.35)
şeklinde bir fonksiyon tan¬mlayal¬m.
L(g; x; ¸) =
Zb
g(t)K (t ¡ x; ¸)dt
a
olup, x e göre türev al¬n¬r ve (r + 1) defa k¬smi integrasyon uygulan¬rsa;
@ r+1
@ r+1
L(g;
x;
¸)
=
@xr+1
@xr+1
=
Zb
a
Zb
a
g(t)K (t ¡ x; ¸)dt
g (r+1)(t)K (t ¡ x; ¸)dt
eşitli¼gine ulaş¬l¬r. (4.35) ifadesi yukar¬daki integralde yerine yaz¬l¬rsa,
@ r+1
L(g; x; ¸) =
@xr+1
Zx0
a
f¡0(r+1)(x0)
K(t ¡ x; ¸)dt +
57
Zb
x0
0(r+1)
f+
(x0) K(t ¡ x; ¸)dt
=
f¡0(r+1)(x0 )
Zx0
a
K (t ¡ x; ¸)dt +
0(r+1)
f+
(x0)
Zb
x0
K (t ¡ x; ¸)dt
bulunur. Teoremin hipotezindeki
lim
(x;¸)!(x0 ;¸0)
Zb
x0
K(t ¡ x; ¸)dt = B;
0 · B · 1;
koşulundan dolay¬
lim
(x;¸)!(x 0;¸0)
@ r+1
(r+1)
L(g; x; ¸) = B f+
(x0) + (1 ¡ B)f¡(r+1)(x0)
@xr+1
elde edilir. Şimdi
tan¬m¬n¬ yapal¬m.
¯ r+1
¯
r+1
¯@
¯
@
jI(x; ¸)j := ¯¯ r+1 L(g; x; ¸) ¡ r+1 L(f ; x; ¸)¯¯
@x
@x
lim
(x;¸)!(x0 ;¸0 )
jI(x; ¸)j = 0 oldu¼gu gösterilirse ispat tamamlan¬r.
¯ b
¯
¯Z
¯
r+1
¯
¯
@
jI(x; ¸)j = ¯¯ [f (t) ¡ g(t)] r+1 K(t ¡ x; ¸)dt¯¯
@t
¯a
¯
·
¯ r+1
¯
¯@
¯
jf(t) ¡ g(t)j ¯¯ r+1 K (t ¡ x; ¸)¯¯ dt
@t
xZ0¡±
a
¯
¯ r+1
¯
Zx0 ¯¯
¯
¯@
¯
f(t)
¡
g(t)
r+1
¯
¯ jt ¡ x0 j ¯
¯ dt
+
K(t
¡
x;
¸)
¯ (t ¡ x )r+1 ¯
¯ @tr+1
¯
0
x 0¡±
+
Zb
x 0+±
xZ0+±¯
x0
¯ r+1
¯
¯@
¯
¯
jf(t) ¡ g(t)j ¯ r+1 K (t ¡ x; ¸)¯¯ dt
@t
¯
¯ r+1
¯
¯ f(t) ¡ g(t) ¯
¯@
¯
r+1
¯
¯ jt ¡ x0 j ¯
¯ dt
K
(t
¡
x;
¸)
r+1
¯ (t ¡ x ) ¯
¯ @tr+1
¯
0
= I1(x; ¸) + I2 (x; ¸) + I3(x; ¸) + I4 (x; ¸):
(4.36)
f fonksiyonunun t = x0 noktas¬nda f+(r+1)(x0) ve f¡(r+1)(x0) türevleri sonlu oldu¼gun-
58
dan, her " > 0 için en az bir ± > 0 say¬s¬ vard¬r, öyle ki,
¯
¯ r+1
¯
Zx0 ¯¯
¯
¯
¯
¯ f (t) ¡ g(t) ¯ jt ¡ x0j r+1 ¯ @
¯
¯ (t ¡ x )r+1 ¯
¯ @tr+1 K(t ¡ x; ¸)¯ dt
0
I2(x; ¸) =
x0 ¡±
Zx0
¯ r+1
¯
¯@
¯
¯ dt
K
(t
¡
x;
¸)
¯ @tr+1
¯
r+1 ¯
· "
jt ¡ x0j
x0 ¡±
ve
x
Z0 +±¯
I4(x; ¸) =
x0
· "
¯
¯ r+1
¯
¯ f (t) ¡ g(t) ¯
¯
¯
¯
¯ jt ¡ x0j r+1 ¯ @
¯
¯ (t ¡ x )r+1 ¯
¯ @tr+1 K(t ¡ x; ¸)¯ dt
0
x
Z0 +±
¯
¯
¯
@ r+1
¯ dt
K
(t
¡
x;
¸)
¯ @tr+1
¯
r+1 ¯¯
jt ¡ x0j
x0
dir. (4.37) ve (4.38) toplan¬rsa
I2(x; ¸) + I4 (x; ¸) · "
x
Z0+±
jt ¡ x0j
x 0¡±
eşitsizli¼gi elde edilir. K¬sal¬k için
B(x; ¸) :=
(4.37)
x
Z0+±
jt ¡ x0j
x 0¡±
¯ r+1
¯
¯@
¯
¯
¯ @tr+1 K(t ¡ x; ¸)¯ dt
r+1 ¯
¯
¯
@ r+1
¯ dt
K(t
¡
x;
¸)
¯ @tr+1
¯
(4.38)
(4.39)
¯
r+1 ¯¯
tan¬m¬n¬ yapal¬m. Teorem 4.4 de I2;1(x; ¸) integrali için yap¬lan işlemlerin burada
B(x; ¸) integrali için tekrarlanmas¬ sonucunda B(x; ¸) integralinin
jx ¡ x0j
x0 ¡x¡±
jx ¡ x0j
..
.
¯ r+1
¯
¯@
¯
¯
jtj ¯ r+1 K(t; ¸)¯¯ dt
@t
x0Z
¡x+±
2
r
x 0Z
¡x+±
r¡1
jtj
x 0¡x¡±
59
¯ r+1
¯
¯@
¯
¯
¯
¯ @tr+1 K(t; ¸)¯ dt
jx ¡ x0j
º
x0Z
¡x+±
jtj
r+1¡º
x0 ¡x¡±
¯ r+1
¯
¯@
¯
¯
¯
¯ @ tr+1 K (t; ¸)¯ dt:
ifadelerinin bir lineer kombinasyonu oldu¼gu görülür. Bu ise (4:34) gözönüne al¬nd¬¼
g¬nda
(4.39) eşitsizli¼ginin sa¼g taraf¬ndaki B(x; ¸) integralinin s¬n¬rl¬ oldu¼gunu gösterir.
Şimdi I1(x; ¸) ve I3 (x; ¸) integrallerini gözönüne alal¬m.
¯ r+1
¯
¯@
¯
¯
I1(x; ¸) =
jf (t) ¡ g(t)j ¯ r+1 K(t ¡ x; ¸)¯¯ dt
@t
a
¯ r+1
¯
¯@
¯
¯
· Y sup ¯ r+1 K(u; ¸)¯¯
0< ± <juj @u
x
Z0 ¡±
(4.40)
2
ve
I3(x; ¸) =
Zb
x 0+±
¯ r+1
¯
¯@
¯
¯
jf (t) ¡ g(t)j ¯ r+1 K (t ¡ x; ¸)¯¯ dt · Y
@t
¯ r+1
¯
¯@
¯
¯
sup ¯ r+1 K(u; ¸)¯¯
@u
±
0< 2 <juj
(4.41)
olur. (4.36) eşitli¼ginde (4.40), (4.41) in birlikte düşünülmesi ile
jI(x; ¸)j · I1(x; ¸) + I2(x; ¸) + I3(x; ¸) + I4(x; ¸)
¯ r+1
¯
¯@
¯
¯
· "B(x; ¸) + 2Y sup ¯ r+1 K(u; ¸)¯¯
0< ± <juj @u
(4.42)
2
bulunur. (4.42) eşitsizli¼ginden ise,
¯ r+1
¯
r+1
¯ @
¯
@
¯
¯=0
lim
jI(x; ¸)j =
lim
L(g;
x;
¸)
¡
L(f;
x;
¸)
¯
(x;¸)!(x 0;¸0)
(x;¸)!(x 0;¸0 ) ¯ @xr+1
@xr+1
yak¬nsamas¬n¬n oldu¼gu görülür. Teorem ispatlanm¬ş olur.
Sonuç 4.2. Eg¼er Teorem 4.5 deki B say¬s¬
lim
(x;¸)!(x0 ;¸0 )
1
2
olarak seçilirse,
(r+1)
@ r+1
f+
(x0) + f¡(r+1)(x0)
L(f;
x;
¸)
=
@xr+1
2
eşitli¼gi elde edilir.
60
5. YAKINSAKLIK HIZLARI
Bu bölümdeki amac¬m¬z, L1 (a; b) uzay¬ndaki süreklilik modülü yard¬m¬yla, yak¬nsakl¬k h¬zlar¬n¬ bulmak olacakt¬r.
Teorem 5.1. K (t; ¸) fonksiyonu A s¬n¬f¬ndan ve f 2 L1 (a; b) olsun.
±(x; ¸) =
Zb
a
jt ¡ x0j jK(t ¡ x; ¸)j dt
olmak üzere, (x; ¸) ! (x0; ¸0 ) iken
¯
¯
¯
Zb ¯¯Zb
¯
kL(f ; x; ¸) ¡ f (x0)kL1(a;b) · !1(f; ±(x; ¸)) [1 + M]+jf (x0)j ¯¯ K(t ¡ x; ¸)dt ¡ 1¯¯ dx
¯a
¯
a
eşitsizli¼gi gerçeklenir.
I·spat. L1(a; b) uzay¬n¬n normunun tan¬m¬ndan dolay¬
¯
¯
¯
Zb ¯¯Zb
¯
kL(f; x; ¸) ¡ f(x0)kL1 (a;b) = ¯¯ f(t)K(t ¡ x; ¸)dt ¡ f (x0)¯¯ dx
¯a
¯
a
dir. K (t; ¸) çekirdek fonksiyonu A s¬n¬f¬ndan oldu¼gundan Tan¬m 3.1 (d) den, < a; b >
reel say¬lar kümesinin herhangi bir alt aral¬¼g¬ olmak üzere;
lim
(x;¸)!(x 0;¸0)
Zb
a
K(t ¡ x; ¸)dt = 1
;
x 2< a; b >
yak¬nsamas¬ vard¬r. Bu yak¬nsamay¬ dikkate alarak aşa¼g¬daki eşitli ¼gi yazabiliriz;
kL(f ; x; ¸) ¡ f(x0 )kL1 (a;b)
¯
Zb ¯¯Zb
Zb
¯
=
¯ f(t)K(t ¡ x; ¸)dt ¡ f (x0) K (t ¡ x; ¸)dt
¯a
a
¯a
¯
Zb
¯
+f(x0) K(t ¡ x; ¸)dt ¡ f (x0)¯¯ dx:
¯
a
61
Yukar¬daki eşitlikte benzer olan elemanlar grupland¬r¬l¬rsa
¯
Zb ¯¯ Zb
¯ [f(t) ¡ f (x0)] K(t ¡ x; ¸)dt
=
¯
¯a
a
2 b
3¯
¯
Z
¯
+f (x0) 4 K(t ¡ x; ¸)dt ¡ 15¯¯ dx
¯
a
kL(f; x; ¸) ¡ f(x0)kL1 (a;b)
olarak yaz¬labilir. Eşitli¼
gin sa¼g¬ndaki ifadenin birinci parças¬nda t ¡ x = u ve daha
sonra u = t de¼gişken de¼giştirmesi yap¬l¬rsa;
¯
Zb ¯¯ Zb¡x
¯ [f (t + x) ¡ f(x0 )] K(t; ¸)dt
=
¯
¯
a a¡x
2 b
3¯
¯
Z
¯
+f(x0) 4 K (t ¡ x; ¸)dt ¡ 15¯¯ dx
¯
a
kL(f ; x; ¸) ¡ f(x0 )kL1 (a;b)
eşitli¼gi elde edilir. Mutlak de¼gerin özelli¼ginden yukar¬daki eşitlik aşa¼g¬daki biçimde
yaz¬labilir;
kL(f; x; ¸) ¡ f (x0)kL1(a;b)
Zb Zb¡x
·
jf(t + x) ¡ f (x0)j jK (t; ¸)j dt dx
a a¡x
+
Zb
a
¯ b
¯
¯Z
¯
¯
¯
¯
jf(x0)j ¯ K (t ¡ x; ¸)dt ¡ 1¯¯ dx:
¯a
¯
Bu eşitsizli¼gin sa¼g¬ndaki birinci integrale genelleştirilmiş Minkowski eşitsizli¼gi uygulan¬rsa;
kL(f; x; ¸) ¡ f(x0)kL1 (a;b) ·
2 b
3
Zb¡x
Z
jK (t; ¸)j 4 jf (t + x) ¡ f(x0 )j dx5 dt
a¡x
+
a
Zb
a
¯ b
¯
¯Z
¯
¯
¯
¯
jf(x0 )j ¯ K(t ¡ x; ¸)dt ¡ 1¯¯ dx
¯a
¯
62
elde edilir. Tan¬m 2.9 dikkate al¬narak eşitsizli¼gi yeniden yazarsak
kL(f; x; ¸) ¡ f(x0)kL1 (a;b)
Zb¡x
·
!1(f; jt + x ¡ x0 j) jK (t; ¸)j dt
a¡x
¯
¯
¯
Zb ¯¯Zb
¯
¯
+ jf (x0 )j ¯ K (t ¡ x; ¸)dt ¡ 1¯¯ dx
¯a
¯
a
elde edilir. Yukar¬da elde edilen eşitsizli ¼gin sag¼ taraf¬ndaki ifadenin birinci k¬sm¬nda
t = u ¡ x ve daha sonra u = t de¼gişken de¼giştirmesi yap¬l¬rsa;
kL(f ; x; ¸) ¡ f (x0)kL1(a;b) ·
Zb
a
0j
! 1(f; ±(x; ¸) jt¡x
±(x;¸) ) jK(t ¡ x; ¸)j dt
¯
¯
¯
Zb ¯¯ Zb
¯
¯
+ jf(x0 )j ¯ K (t ¡ x; ¸)dt ¡ 1¯¯ dx
¯a
¯
a
eşitsizli¼gi elde edilir. Süreklilik modülünün Teorem 2.2 deki b) ve c) özellikleri dikkate
al¬n¬rsa eşitsizli¼gin sa¼g taraf¬
·
Zb
a
¯
¯
¯
Zb ¯¯Zb
¯
jt¡x0 j
¯
!1 (f; ±(x; ¸))(1 + ±(x;¸) ) jK (t ¡ x; ¸)j dt + jf (x0)j ¯ K(t ¡ x; ¸)dt ¡ 1¯¯ dx
¯a
¯
a
¯
¯
¯
Zb ¯¯ Zb
¯
jt¡x 0j
= ! 1(f; ±(x; ¸)) (1 + ±(x;¸) ) jK (t ¡ x; ¸)j dt + jf(x0 )j ¯¯ K (t ¡ x; ¸)dt ¡ 1¯¯ dx
¯a
¯
a
a
Zb
= ! 1(f; ±(x; ¸))
Zb
a
jK(t ¡ x; ¸)j dt +
1
!1(f; ±(x; ¸)) ±(x;¸)
Zb
a
jt ¡ x0j jK (t ¡ x; ¸)j dt
¯
¯
¯
Zb ¯¯ Zb
¯
+ jf(x0 )j ¯¯ K (t ¡ x; ¸)dt ¡ 1¯¯ dx
¯a
¯
a
biçiminde yaz¬labilir. Sonuç olarak
¯
¯
¯
Zb ¯¯Zb
¯
¯
kL(f ; x; ¸) ¡ f (x0)kL1(a;b) · !1(f; ±(x; ¸)) [1 + M]+jf (x0)j ¯ K(t ¡ x; ¸)dt ¡ 1¯¯ dx
¯a
¯
a
63
eşitsizli¼gi elde edilir.
·Ispat¬n tamamlanmas¬ için elde edilen son eşitsizli¼gin sa¼g
taraf¬n¬ndaki ifadelerin limit konumunda s¬f¬ra gitti¼gini göstermek gerekmektedir.
Yukar¬daki eşitsizli¼ginin sa¼g yan¬ndaki birinci ifadenin s¬f¬ra gitmesi için süreklilik
modülünün (x; ¸) ! (x0; ¸0 ) iken s¬f¬ra gitmesi gerekmektedir. Süreklilik modülünün Teorem 2.2 nin a) ş¬kk¬nda verilmiş özelli¼ginden dolay¬ (x; ¸) ! (x0; ¸0)
iken süreklilik modülü !1(f; ±(x; ¸)) ifadesinin s¬f¬ra gitmesi ±(x; ¸) ifadesinin s¬f¬ra
gitmesinin sonucudur. Bu nedenle önce ±(x; ¸) ifadesinin s¬f¬ra gitti¼gini gösterelim:
±(x; ¸) =
Zb
jt ¡ x0j jK(t ¡ x; ¸)j dt
a
ifadesinin s¬f¬ra gitti¼gini Teorem 3.2 den görürüz. Gerçekten, Teorem 3.2 de f (t)
fonksiyonu özel olarak f (t) = t olarak al¬n¬rsa, f(t) fonksiyonu x0 noktas¬nda sürekli
oldu¼gundan, ±(x; ¸) ifadesi (x; ¸) ! (x0; ¸0 ) iken s¬f¬ra yak¬nsar.
Eşitsizlig¼in sag¼ taraf¬ndaki ikinci ifade ise K (t; ¸) fonksiyonunun A s¬n¬f¬ndan olmas¬ndan dolay¬ (x; ¸) ! (x0; ¸0 ) iken s¬f¬ra yak¬nsar. Bu ise ispat¬ tamamlar.
Sonuç 5.1. Teorem 5.1 in hipotezlerinin sa¼gland¬¼g¬n¬ kabul edelim. Bu durumda
(x; ¸) ! (x0; ¸0) iken
kL(f ; x; ¸) ¡ f (x0)kL1(a;b) = O(°(x; ¸))
ifadesi gerçeklenir. Burada
°(x; ¸) =
Zb
a
K(t ¡ x; ¸)dt ¡ 1
dir.
64
I·spat. Teorem 5.1 de yak¬nsakl¬k h¬z¬ için elde etti¼
gimiz
¯
¯
¯
Zb ¯¯Zb
¯
kL(f ; x; ¸) ¡ f (x0)kL1(a;b) · !1(f; ±(x; ¸)) [1 + M]+jf (x0)j ¯¯ K(t ¡ x; ¸)dt ¡ 1¯¯ dx
¯a
¯
a
eşitsizlikten istenilen elde edilmiş olur. Gerçekten Teorem 3.2, ±(x; ¸) ifadesinin
(x; ¸) ! (x0; ¸0) iken s¬f¬ra gidebilmesi için öncelikle °(x; ¸) ifadesinin s¬f¬ra gitmesinin
gerekti¼gini göstermektedir. Bu ise ispat¬ tamamlar.
Teorem 5.2. K (t; ¸) fonksiyonu A s¬n¬f¬ndan, f fonksiyonu ise (r ¡ 1) ¡ kez sürekli
türevlenebilir ve f (r) 2 L1(a; b) olsun.
±(x; ¸) =
Zb
a
jt ¡ x0j jK(t ¡ x; ¸)j dt
olmak üzere, (x; ¸) ! (x0; ¸0 ) iken
° r
°
°@
°
(r)
°
°
L(f;
x;
¸)
¡
f
(x
)
0
° @xr
°
· !1(f (r); ±(x; ¸)) [1 + M ]
L1(a;b)
¯
¯
b ¯Z b
¯
Z
¯ (r)
¯ ¯
¯
+ ¯f (x0) ¯ ¯¯ K(t ¡ x; ¸)dt ¡ 1¯¯ dx
¯a
¯
a
eşitsizli¼gi geçerlidir.
I·spat.
° r
°
°@
°
(r)
°
°
° @xr L(f ; x; ¸) ¡ f (x0 )°
L1 (a;b)
¯
¯
¯
Zb ¯¯Zb
¯
(r)
(r)
= ¯¯ f (t)K(t ¡ x; ¸)dt ¡ f (x0 )¯¯ dx
¯a
¯
a
olup t ¡ x = z de¼gişken de¼giştirmesi yap¬l¬r, elde edilen ifadede z yerine t yaz¬l¬rsa
° @r
°
° r L(f; x; ¸) ¡ f (r)(x0)°
@x
·
L1(a;b)
Zb b¡x
Z
a a¡x
¯ (r)
¯
¯ f (t + x) ¡ f (r)(x0)¯ jK (t; ¸)j dtdx
¯b
¯
¯Z
¯
Zb ¯
¯¯
¯
(r)
¯
¯
¯
+
f (x0 ) ¯ K(t ¡ x; ¸)dt ¡ 1¯¯ dx
¯a
¯
a
65
eşitsizli¼gine ulaş¬r¬z. Yukar¬daki eşitsizli¼gin sa¼g yan¬ndaki
Zb Zb¡x¯
¯
¯f (r)(t + x) ¡ f (r)(x0)¯ jK(t; ¸)j dtdx
a a¡x
integralinde genelleştirilmiş Minkowski eşitsizli¼gi uygulan¬rsa ve elde edilen ifade
tekrar yerine yaz¬l¬rsa
° @r
°
° r L(f; x; ¸) ¡ f (r)(x0)°
@x
L1(a;b)
·
b¡x
Z
a¡x
2b
3
Z ¯
¯
jK (t; ¸)j 4 ¯f (r)(t + x) ¡ f (r)(x0)¯ dx5 dt
a
¯
¯
b ¯ b
¯
¯ (r)
¯ Z ¯Z
¯
¯
¯
¯
¯ dx
+ f (x0)
K(t
¡
x;
¸)dt
¡
1
¯
¯
¯a
¯
a
eşitsizli¼gi elde edilir. Burada ayr¬ca
Zb ¯
¯
¯ f (r)(t + x) ¡ f (r)(x0)¯ dx · !1 (f (r); jt ¡ x0 j)
a
oldu¼gu gözönüne al¬n¬rsa eşitsizli¼gi aşa¼g¬daki biçimde yazabiliriz.
° @r
°
° r L(f; x; ¸) ¡ f (r)(x0)°
@x
L1(a;b)
·
b¡x
Z
a¡x
!1 (f (r); jt + x ¡ x0 j) jK (t; ¸)j dt
¯
¯
¯
Zb ¯Zb
¯ (r)
¯ ¯
¯
+ ¯ f (x0)¯ ¯¯ K(t ¡ x; ¸)dt ¡ 1¯¯ dx
¯a
¯
a
Elde edilen son eşitsizli¼gin sa¼g¬ndaki ilk integralde t + x = h de¼gişken de¼giştirmesi
yapar ve h yerine t yazarsak
·
Zb
a
b
¯ (r)
¯Z
jt¡x 0j
(r)
!1 (f ; ±(x; ¸) ±(x;¸) ) jK(t ¡ x; ¸)j dt + ¯ f (x0)¯
a
¯b
¯
¯Z
¯
¯
¯
¯ K(t ¡ x; ¸)dt ¡ 1¯ dx
¯
¯
¯a
¯
ifadesine ulaş¬r¬z. Süreklilik modülünün Teorem 2.2 de verilen b) ve c) özelliklerini
kullanarak, eşitsizli¼gin sa¼g yan¬ için
·
Zb
a
¯ (r)
¯Z
jt¡x 0j
(r)
¯
!1 (f ; ±(x; ¸))(1+ ±(x;¸) ) jK (t ¡ x; ¸)j dt + f (x0)¯
b
a
66
¯b
¯
¯Z
¯
¯
¯
¯ K(t ¡ x; ¸)dt ¡ 1¯ dx
¯
¯
¯a
¯
¯
¯
b ¯Zb
¯
Z
¯ (r)
¯ ¯
¯
jt¡x0 j
(r)
= ! 1(f ; ±(x; ¸)) (1+ ±(x;¸) ) jK(t ¡ x; ¸)j dt +¯f (x0)¯ ¯¯ K (t ¡ x; ¸)dt ¡ 1¯¯ dx
¯a
¯
a
a
Zb
= ! 1(f
(r)
; ±(x; ¸))
Zb
a
jK(t ¡ x; ¸)j dt+! 1(f
(r)
1
; ±(x; ¸)) ±(x;¸)
Zb
a
jt ¡ x0j jK(t ¡ x; ¸)j dt
¯
¯
¯
Zb ¯Zb
¯ (r)
¯ ¯
¯
+ ¯ f (x0)¯ ¯¯ K(t ¡ x; ¸)dt ¡ 1¯¯ dx
¯a
¯
a
ifadesi bulunur. Böylece istenilen elde edilmiş olur.
Sonuç 5.1 deki ispat yöntemiyle aşa¼g¬daki sonuç kolayl¬kla elde edilir.
Sonuç 5.2. Teorem 5.2 in hipotezlerinin sag¼lanmas¬ halinde (x; ¸) ! (x0; ¸0 ) iken
elde edilir, burada
° r
°
°d
°
(r)
°
°
L(f
;
x;
¸)
¡
f
(x
)
0
° dxr
°
°(x; ¸) =
Zb
a
= O(°(x; ¸))
L1 (a;b)
K(t ¡ x; ¸)dt ¡ 1
dir.
Böylece tezde çözümü amaçlanan tüm problemlerin hangi şartlar alt¬nda çözümünün
olabilece¼gi ispatlanm¬şt¬r.
67
KAYNAKLAR
Avramidou, P. 2005. Convolution operators induced by approximate identities and
pointwise convergence in Lp(R) spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 133,
175-184.
Bardaro, C. 1984. On approximation properties for some classes of linear operators
of convolution type Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena, 33, 329-356.
Bardaro, C., Butzer, P.L., Stens, R.L. and Vinti, G. 2003. Convergence in variation
and rates of approximation for Bernstein-type polynomials and singular
convolution integrals, Analysis (Munich), 23 (4), 299-346.
Bari, N.K. 1964. A treatise on trigonometric series, Pergamon Press, 553 p., Oxford.
Butzer, P.L. 1960. Representation and approximation of functions by general singular integrals, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 63 Indag. Math.
22, 1-24.
Butzer, P.L. and Nessel, R.J. 1971. Fourier Analysis and Approximation, Academic
Press, 554 p., New York and London.
Faddeyev, D.K. 1936. On the representation of summable functions by means of
singular integrals at Lebesgue points, Mat. Sbornik, Vol 1 (43), No:3, pp.
351-368.
Fatou, P. 1906. Séries trigonometriques et séries de Taylor, AM, 30, 335-400.
Fejer, L. 1900. Sur les singularités de la série de Fourier des fonctions continues,
AEN. 28, 63-103.
Gadjiev, A.D. 1968. On the speed of convergence of singular integrals, Special Problems of Functional Analysis and Its Application, Baku.
Hac¬yev, A.D. ve Hac¬salihog¼lu H.H. 1995. Lineer Pozitif Operatörler Dizilerinin
Yak¬nsakl¬ ¼g¬. A.Ü.F.F. Döner Sermaye I· şletme Yay¬nlar¬, 100 s., Ankara.
·Ibikli, E. 1995. Note on Lp boundedness of singular integral operators, Turkish J.
Math. 19, no.1, 77–82.
·Ibikli, E. and Gadjieva, E. 1995. The order of approximation of unbounded function
by the sequences of linear positive operators, Math. 19, no. 3, 331–337.
Lebesgue, H. 1900. Sur les intégrales singuliéres, Annales de Toulouse, 1, 25-117.
Memmedov, R.G. 1961. On the order of convergence of functions by the linear
68
integral operators in Lebesgue points, Izvestiya Acad. of the Azerbaycan,
No:1.
Memmedov, R.G. 1967. Fonksiyonlar¬n Lineer Operatörlerle Yaklaşmas¬, Azerbaycan Devlet Neşriyat¬, 216 s., Bakü.
Natanson, I.P. 1964. Theory of Functions of a Real Variable, Translated from the
Russian by Leo F. Boron, Frederick Ungar Pub.Co. 542 p. New York.
Rydzewska, B. 1973. Approximation of functions by ordinary singular integrals,
Fasciculi Mathematici No:7, 71-81.
Sikkema, P.C. 1983. Approximation with convolution operators depending on two
parameters, Approximation Theory, IV (College Station, Tex., 1983), 679684, Academic Press, New York.
Stein, E. M. 1970. Singular Integrals and Di¤erentiability Properties of Functions,
Princeton University Press, 287 p., New Jersey.
Stein, E. M.and Weiss, G. 1971 Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 334 p., New Jersey.
Taberski, R. 1962. Singular integrals depending on two parameters, Prace Matematyczne VII, , 173-179.
Tandori, K. 1954. Über die konvergenz singularer integrale, Acta Sci. Math. XV,
Szeged, 223-230.
Weierstrass, K. 1885. Über die analytische darstellbarkeit sogenannter willkürlicher
Functionen einer reellen Veränderlichen, Sitzungsberichte der Akademie zu
Berlin 633-639 and 789-805.
Zygmund, A. 1959. Trigonometric Series, Vol. I-II, Cambridge University Press. 747
p. London.
69
ÖZGEÇMI· Ş
Ad¬ Soyad¬
: Harun KARSLI
Do¼
gum Yeri
: Sivas
Do¼
gum Tarihi : 03. 04 .1976
Medeni Hali
: Evli ve 1 çocuklu
Yabanc¬ Dili
: ·Ingilizce-Almanca
E¼
gitim Durumu (Kurum ve Y¬l)
Lise
: Sivas Selçuk Anadolu Lisesi , (1994)
Lisans
: Hacettepe Üniversitesi E¼gitim Fakültesi
Matematik Ö¼gretmenli¼gi Bölümü , (1998)
Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal¬ , (2000 ¡ 2002)
Çal¬şt¬¼
g¬ Kurumlar ve Y¬l
Abant I· zzet Baysal Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi, (1999 ¡ 2000)
Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü , (2000 ¡ :::)
70