mza: 1104024132006.1 CEB RSEL TOPOLOJ ARASINAVI CEVAP

12.11.2014
No:
Ad-Soyad:
Soru
Puanlama
mza:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Toplam
20
20
20
15
20
20
20
20
100
Alnan Puan
1104024132006.1 CEBRSEL TOPOLOJ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI
(KNC ևRETM)
Not: Süre
90
Dakika. stedi§iniz
7
soruyu cevaplaynz.
A = [0, 1] ∪ (2, 3] ⊂ R
1.
R
üzerinde standart topoloji tanml,
ve
B
üzerinde alt uzay topolojisi tanml olsun.
f : A → B,
f (x) =
ve
B = [0, 2] ⊂ R


x,
0≤x≤1

x − 1,
2<x≤3
olmak üzere
A
dönü³ümünü ele alalm.
a)
(2, 3] ⊂ A
b)
f
nin kapal oldu§unu gösteriniz ve
f (A)
görüntü kümesini bulunuz.
fonksiyonunun homemorzma olmad§n açklaynz.
Cevap :
a)
(2, 3] ⊂ A
kümesi
3
(2, 3] = A ∩ [ , 4]
2
³eklinde yazlabildi§inden kapaldr.
A
uzaynn
f
altndaki görüntüsü de
f (A) = B
³eklin-
dedir.
b)
f
dönü³ümü homeomorzma olsayd
götürmesi gerekirdi.
kümesi
B
A
nn kapal alt kümelerini
B
nin kapal alt kümelerine
a) ³kknda (2, 3] kümesi A da kapal olmasna ra§men f ((2, 3]) = (1, 2]
de kapal olmad§undan
f
dönü³ümü homeomorzma olamaz.
2. Konveks küme tanmn veriniz. Konveks olma özelli§inin topolojik uzay olup olmad§n açklaynz.
Cevap :
iki
a, b
V , F cismi üzerinde bir vektör uzay A ⊂ V
nokta ikilisi için
t ∈ R, 0 ≤ t ≤ 1
için
alt kümesi olsun. E§er
ta + (1 − t)b
noktas
A
A kümesinde herhangi
nn eleman oluyorsa
A
kümesine konveks denir.
Konveks uzay olma özelli§i topolojik özellik de§ildir. A³a§daki iki ³ekil
R2
vektör uzaynn iki
alt kkümesi olarak ele alnsn. Bu iki küme birbirine homeomorftur ancak sa§daki konveks uzay
iken sa§daki konveks uzay de§ildir.
3.
a)
p:X→Y
sürekli dönü³üm olsun. E§er
varsa bu takdirde
b)
R
p
p◦f = 1Y
olacak ³ekilde
f :Y →X
sürekli dönü³ümü
identikasyon dönü³ümdür. spatlaynz.
üzerinde standart topoloji ve
R2
üzerinde çarpm topolojisi mevcut iken
g : R2 → R,
(x, y) 7→ g(x, y) = x2 + y
dönü³ümünün identikasyon dönü³ümü oldu§unu gösteriniz.
Cevap :
a)
p ◦ f = 1Y
V ⊂Y
oldu§undan
açk için
p dönü³ümü örtendir. (⇒) p dönü³ümü hipotezde sürekli oldu§undan
p−1 (V ) ⊂ X
açktr.
⇐ p−1 (V ) ⊂ X
açk olsun.
f −1 p−1 (V ) ⊂ Y
açk kümedir. Buradan
(p ◦ f )−1 (V ) = V
elde edilir. O halde
b)
g
V
kümesi
Y
de açktr.
dönü³ümü polinom fonksiyonu oldu§undan süreklidir.
f : R → R2 ,
t 7→ (0, t)
f
sürekli oldu§undan
olarak alalm. Bile³enleri sürekli oldu§undan
f
süreklidir. Ayrca
g ◦ f (t) = g(0, t) = t
oldu§undan
a)
g
³kkndaki hipotezler sa§lanm³ olur. O halde
dönü³ümü identikasyon
dönü³ümdür.
4.
R
üzerinde alt limit topoloji tanml ve
Y =Z
f : R → Y,
tam
de§er
fonksiyonu
verilsin.
Bu
tamsaylar kümesi olmak üzere
x 7→ f (x) = [|x|]
durumda
Y
üzerindeki
identikasyon
topolojisinin
ay-
rk(diskret) oldu§unu gösteriniz.
Cevap :
Y
üzerindeki identikasyon topolojisinin ayrk oldu§unu göstermek³e
z∈Y
noktal kümelerinin identikasyon topolojisinde açk oldu§unu göstermekle ayndr.
için
Y
{z} tek
üzerindeki
identikasyon topolojisi
τY = {G ⊆ Y : f −1 (G) ⊂ R
³eklinde tanmlanr. Buna göre
z∈Y
}
açk
için
f −1 ({z}) = [z, z + 1)
alt kümesi
R
üzerindeki alt limit topolojisine göre açk oldu§undan
{z}
kümesi
Y
de açk ola-
caktr.
5. A³a§da ³ekilde verilen kahve ncan ve altl§nn bir ekli uzay yapsna sahip oldu§unu açklaynz.
X
Cevap : Kahve ncan ve altl§n
uzay kahve barda§,
olarak dü³ünelim.
gömülece§inden
X tf Y
6.
X
x1
den
A
R3
ün birer alt kümeleri gibi dü³ünelim. Buna göre
kapal alt kümesini barda§n taban ve
Y
uzayn da ncan taba§
A kapal alt kümesi diske homeomorftur. A alt kümesi Y
f :A→Y
nin ortasndaki diske
sürekli dönü³ümünü bu ³ekilde alabiliriz. Buna göre ³ekildeki resmi
ekli uzay gibi dü³ünebiliriz.
bir topolojik uzay,
x2
x0 , x1 , x2 ∈ X
olmak üzere
ye bir yol olsun. Bu durumda
f : I → X x0
f ∗g =g∗f
dan
x1
e bir yol ve
oldu§unu ispatlaynz.
g:I→Y
Cevap :
f ∗ g(s) = (f ∗ g)(1 − s) =


f (2(1 − s)),
0≤1−s≤
1
2

g(2(1 − s) − 1), 1 ≤ 1 − s ≤ 1
2


f (2 − 2s), 1 ≤ s ≤ 1
2
=

g(1 − 2s), 0 ≤ s ≤ 1
2
elde edilir. “imdi de e³itli§in öteki tarafna bakalm.
g(s) ∗ f (s) = g(1 − s) ∗ f (1 − s) =


g(1 − 2s),
0≤s≤
1
2

f (1 − 2s − 1), 1 ≤ s ≤ 1
2


g(1 − 2s), 0 ≤ s ≤ 1
2
=

f (2 − 2s), 1 ≤ s ≤ 1
2
7.
X
ve
Y
uzaylar verildi§inde
[X, Y ]
notasyonu
X
den
homotopi snarnn kümesini göstersin. Bu takdirde
a)
X
den
I
uzayna giden herhangi iki
Y
uzayna giden sürekli dönü³ümlerin
I = [0, 1] ⊂ R
f, g : X → I
birim aralk olmak üzere
sürekli dönü³ümünün birbirine homotop
oldu§unu gösteriniz.
b)
a)
³kkndan hareketle
[X, I]
kümesinin tek elemanl oldu§unu gösteriniz.
Cevap :
a)
f
ile
g
arasnda
H : X × I → I,
dönü³ümünü tanmlayalm.
I
(x, t) 7→ H(x, t) = (1 − t)f (x) + tg(x)
uzay konveks oldu§undan bu dönü³üm tanmldr. Ayrca
de toplama ve çarpma i³lemi sürekli oldu§undan
H(x, 0) = f (x),
oldu§undan
b)
X
den
I
H
X
dönü³ümü süreklidir.
H(x, 1) = g(x)
homotopi fonksiyonudur.
ya giden herhangi iki sürekli dönü³üm birbirine homotop oldu§undan ayn denklik
snfnda yer alacaklardr. O halde
8.
ve
H
R
bir topolojik uzay olsun. E§er
bu takdirde key bir
Y
[X, I]
f :X→X
topolojik uzay için
kümesi tek elemanldr.
birim dönü³ümü sabit bir dönü³üme homotop ise
g:Y →X
sürekli dönü³ümü de sabit bir dönü³üme
homotop olur. spatlaynz.
Cevap :
f
birim dönü³ümünün bir
x0 ∈ X
noktas üzerindeki
c : X → X,
x 7→ c(x) = x0 , ∀x
sabit dönü³üme homotop oldu§unu kabul edelim. O zaman
H(x, 0) = f (x) = x,
ve
H(x, 1) = c(x) = x0
olacak ³ekilde
H :X ×I →X
sürekli dönü³ümü vardr.
Y
herhangi bir topolojik uzay olmak üzere
g:Y →X
sürekli dönü³ü-
münü alalm.
K :Y ×I
K
dönü³ümü
H ◦ (g × id)
g×id
³eklinde tanmlansn.
/X ×I H
H
ve
g × id
/X
sürekli oldu§undan
K
da süreklidir.
Ayrca
• K(x, 0) = H ◦ (g × id)(y, 0) = H(g(y), 0) = g(y)
• K(x, 1) = H ◦ (g × id)(y, 1) = H(g(y), 1) = c(g(y)) = x0
oldu§undan
g
dönü³ümü de sabit dönü³üme homotoptur.
Ba³arlar Dilerim.
Prof. Dr. smet KARACA