Document

ÖZEL BİR POTANSİYEL SINIFI İÇİN SCHRÖDİNGER
DENKLEMİNİN ASİMPTOTİK İTERASYON METODU İLE
ÇÖZÜMÜ
HABİBE USLU
YÜKSEK LİSANS TEZİ
FİZİK
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
OCAK 2008
ANKARA
Habibe USLU tarafından hazırlanan ÖZEL BİR POTANSİYEL SINIFI İÇİN
SCHRÖDİNGER DENKLEMİNİN ASİMPTOTİK İTERASYON METODU İLE
ÇÖZÜMÜ adlı bu tezin Yüksek Lisans tezi olarak uygun olduğunu onaylarım.
Doç. Dr. Hakan ÇİFTCİ
……………………………….
Tez Danışmanı, Fizik Anabilim Dalı
Bu çalışma, jürimiz tarafından oy birliği Fizik Anabilim Dalında Yüksek Lisans tezi
olarak kabul edilmiştir.
Prof. Dr. Süleyman ÖZÇELİK
……………………………….
Fizik, Gazi Üniversitesi
Yrd. Doç. Dr. Adil MISIR
……………………………….
Matematik, Gazi Üniversitesi
Doç. Dr. Hakan ÇİFTCİ
……………………………….
Fizik, Gazi Üniversitesi
Tarih: 11 / 01 / 2008
Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini
onamıştır.
Prof. Dr. Nermin ERTAN
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
……………………………….
TEZ BİLDİRİMİ
Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde
edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu
çalışmada orijinal olmayan her türlü kaynağa eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.
Habibe USLU
iv
ÖZEL BİR POTANSİYEL SINIFI İÇİN SCHRÖDİNGER DENKLEMİNİN
ASİMPTOTİK İTERASYON METODU İLE ÇÖZÜMÜ
(Yüksek Lisans Tezi)
Habibe USLU
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Ocak 2008
ÖZET
Bu tez çalışmasında rν tipi potansiyel için Radyal Schrödinger denkleminin
asimptotik iterasyon metodu kullanılarak çözümü incelendi. Bu potansiyel için
enerji öz değer ve öz fonksiyonlarını hesaplandı ve sonuçlar yorumlandı.
Bilim Kodu
Anahtar Kelimeler
Sayfa Adedi
Tez Yöneticisi
: 202.1.149
: Schrödinger denklemi, asimptotik iterasyon
metodu,power-law potansiyeli
: 59
: Doç. Dr. Hakan ÇİFTCİ
v
SOLUTION TO SCHRÖDİNGER EQUATION
FOR PARTICULAR POTENTIAL CLASS
BY THE ASYMPTOTIC ITERATION METHOD
(M.Sc. Thesis)
Habibe USLU
GAZİ UNIVERSITY
INSTITUTE OF SCIENCE AND TECNOLOGY
January 2008
ABSTRACT
In this study, it has been investigated the Radial Schrödinger equation for the
power-law potentials by using the asymptotic iteration method. Energy eigenvalues and eigen functions have been calculated.
Science Code
Key Words
Page Number
Adviser
: 202.1.149
: Schrödinger equation, asymptotic iteration method,
power-law potential
: 59
: Doç. Dr. Hakan ÇİFTCİ
vi
TEŞEKKÜR
Tez çalışmalarım süresince değerli yardımlarını eksik etmeyerek, çalışmalarımın her
safhasında engin bilgileriyle beni yönlendiren, her konuda ilgi ve desteğini eksik
etmeyen çok değerli danışman hocam Doç. Dr. Hakan ÇİFTCİ’ ye teşekkürlerimi
sunarım.
Canım arkadaşlarım H. Tecimer ve H. Boğaz’ a her konuda bana yardımcı oldukları
için teşekkür ederim.
Hayatım boyunca her zaman yanımda olan, maddi ve manevi desteğini eksik
etmeyen canım aileme sonsuz minnettarım. Sizleri çok seviyorum.
vii
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET .......................................................................................................................... iv
ABSTRACT................................................................................................................. v
TEŞEKKÜR................................................................................................................ vi
İÇİNDEKİLER .......................................................................................................... vii
ÇİZELGELERİN LİSTESİ......................................................................................... ix
ŞEKİLLERİN LİSTESİ ............................................................................................... x
SİMGELER VE KISALTMALAR............................................................................. xi
1. GİRİŞ ....................................................................................................................... 1
2. SCHRÖDİNGER DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜNDE KULLANILAN BAZI
YAKLAŞIM METOTLARI .................................................................................... 3
2.1. Varyasyon Metodu ........................................................................................... 3
2.2. WKB (Wentzel, Kramers,Brillouin) ................................................................ 5
2.3. Kaydırılmış 1\N Metodu .................................................................................. 7
2.4. Pade Metodu................................................................................................... 15
2.5. Pertürbasyon Teorisi....................................................................................... 18
2.5.1. Pertürbasyon açılımı ............................................................................ 18
2.6. Hill Determinant Metot ................................................................................. 24
3. ASİMPTOTİK İTERASYON METODU.............................................................. 26
3.1. İkinci Dereceden Homojen Lineer Diferansiyel Denklemler İçin
Asimptotik İterasyon Metodu ........................................................................ 26
3.2. Birinci Dereceden Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri için
Asimptotik İterasyon Metodu ......................................................................... 29
viii
Sayfa
3.3. Pertürbasyon Teorisi İçin Asimptotik İterasyon Metodu ............................... 32
3.3.1. Enerji özdeğerleri için pertürbasyon açılımı........................................ 32
3.3.2. Dalga fonksiyonu için pertürbasyon açılımı........................................ 34
4. rν TİPİ POTASİYELLER İÇİN SCHRÖDİNGER DENKLEMİNİN
ASİMPTOTİK İTERASYON METODU İLE ÇÖZÜMÜ .................................... 36
4.1. Giriş ................................................................................................................ 36
4.2. Enerji İçin Özdeğer Hesabı ............................................................................ 36
4.3. Dalga Fonksiyonu Hesabı .............................................................................. 40
5. SONUÇ .................................................................................................................. 41
KAYNAKLAR .......................................................................................................... 43
EKLER....................................................................................................................... 46
EK–1 ν = 1 için − ∫ ( sn λn ) dx eşitliğinin hesabı ................................................. 47
EK–2 ν = 3 için − ∫ ( sn λn ) dx eşitliğinin hesabı ................................................. 48
EK–3 ν = 4 için − ∫ ( sn λn ) dx eşitliğinin hesabı................................................. 49
EK–4 ν = 5 için − ∫ ( sn λn ) dx eşitliğinin hesabı................................................. 50
EK–5 ν = 6 için − ∫ ( sn λn ) dx eşitliğinin hesabı................................................. 51
EK–6 ν = 1 için dalga fonksiyonu ........................................................................ 52
EK–7 ν = 3 için dalga fonksiyonu ........................................................................ 53
EK–8 ν = 4 için dalga fonksiyonu........................................................................ 54
EK–9 ν = 5 için dalga fonksiyonu........................................................................ 55
EK–10 ν = 6 için dalga fonksiyonu...................................................................... 57
ÖZGEÇMİŞ ............................................................................................................... 59
ix
ÇİZELGELERİN LİSTESİ
Çizelge
Sayfa
Çizelge 4.1. ν = 1 için enerji özdeğerleri ( V = r ) ..................................................... 39
Çizelge 4.2. ν = 3 için enerji özdeğerleri ( V = r 3 ).................................................... 39
Çizelge 4.3. ν = 4 için enerji özdeğerleri ( V = r 4 ) ................................................... 40
Çizelge 4.4. ν = 5 için enerji özdeğerleri ( V = r 5 ) ................................................... 40
Çizelge 4.5. ν = 6 için enerji özdeğerleri ( V = r 6 ) ................................................... 40
Çizelge 5.1. Enerji özdeğerleri ( V = rν ) .................................................................... 42
x
ŞEKİLLERİN LİSTESİ
Şekil
Sayfa
Şekil 2.2. Potansiyel kuyusu ........................................................................................ 7
Şekil 5.1. ν = 4 için beklenen değer.......................................................................... 42
xi
SİMGELER VE KISALTMALAR
Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte
aşağıda sunulmuştur.
Simgeler
Açıklama
E
Enerji
H
Hamiltonyen
V
Potansiyel enerji
Ψ
Dalga fonksiyonu
P
Momentum
h
Planck sabiti
ћ
h/2π
n
Baş kuantum sayısı
l
Yörünge kuantum sayısı,
λ
Dalga boyu
Kısaltmalar
Açıklama
WKB
Wentzel, Kramers, Brillouin
1
1. GİRİŞ
Schrödinger denklemi bir kuantum sistemi hakkında bize gerekli bilgiyi veren bir
diferansiyel denklemdir. Dalga fonksiyonunun uzaya ve zamana bağlı değişimini
gösteren denklemi ilk bulan Avusturyalı fizikçi Erwin Schrödinger’ dir. Bu yüzden
denklem Schrödinger denklemi adıyla anılır. 1900 yılında Max Planck’ ın ortaya
attığı kuantum varsayımlarının ardından, 1924’ de ortaya atılan de Broglie varsayımı
ve 1927’ de ortaya atılan Heisenberg belirsizlik ilkesi bilim dünyasında yeni
ufukların doğmasına sebep olmuştur. Bu gelişmeler Max Planck’ ın kuantum
varsayımları ve Schrödinger’ in dalga mekaniği ile birleştirilerek kuantum mekanik
kuramı ortaya çıkmıştır.
Kuantum mekaniğinin temel denklemi Ĥ Ψ = E Ψ ’ dir. Burada Ĥ , parçacığın
toplam enerjisini veren hamiltonyen operatörüdür ve H = ( p 2 2m ) + V şeklinde
ifade edilir. İlk terim kinetik enerjiyi, ikinci terim ise potansiyel enerjiyi temsil eder.
Momentum operatörü p = −i=∇ denklemde yerine konursa Schrödinger denklemi,
⎡ − ( = 2 2m ) ∇ 2 + V ⎤ Ψ = i= ( ∂Ψ ∂t ) elde edilir ve burada V; potansiyel enerjiyi, m;
⎣
⎦
parçacığın kütlesini, ħ=10,1.10-34 Js değerinde sabiti ve Ψ; parçacığın dalga
fonksiyonunu ifade eder.
Rölativistik olmayan kuantum mekaniğinde, merkezi V(r) potansiyeli içindeki bir
parçacığın veya indirgenmiş kütleli iki parçacıklı bir sistemin enerjileri radyal
Schrödinger denkleminin çözümü ile belirlenir.
Schrödinger dalga denklemi çoğu durumda çözülebilir değildir. Bunu çözebilmek
için genellikle nümerik metotlara ya da yaklaşık metotlara ihtiyaç vardır. Bundan
dolayı yaklaşım metotları kuantum mekaniğinde önemli bir yere sahiptir.
Matematiksel fizik alanında ikinci dereceden homojen lineer diferansiyel
denklemlerin çözümü için pek çok teknik kullanılmaktadır. Bu temel çözüm
2
tekniklerinden birisi, yeni bir metot olan asimptotik iterasyon metodudur. Bu metot,
Hakan Çiftci ve arkadaşları tarafından geliştirilmiştir [1]. Rölativistik olmayan radyal
Schrödinger denklemi ya da rölativistik Dirac denklemini çözmek için geliştirilen bir
metottur.
Radyal
Schrödinger
denklemi
y ′′ = λ0 ( x) y ′ + s o ( x) y
dönüştürülerek enerji özdeğerleri elde edilir. Dalga fonksiyonu
s n +1
λ n +1
=
formuna
sn
λn
= α ( x)
iterasyonu ile bulunur. Asimptotik iterasyon metoduyla ilgili pek çok çalışma
yapılmıştır [1-19].
Bu tez çalışmasında Schrödinger denkleminin enerji özdeğerleri asimptotik iterasyon
metodu ile bulundu.
Bu tez çalışmasının ikinci bölümünde, Schrödinger dalga denkleminin çözümünde
kullanılan bazı yaklaşım metotları hakkında genel bir bilgi verildi. Bu yaklaşım
metotları; varyasyon metodu [20], WKB (Wentzel, Kramers, Brillouin) metodu,
kaydırılmış 1\N metodu [21–22], pade metodu [23–24], pertürbasyon teorisi [25] ve
hill determinant metottur [26–29].
Üçüncü bölümde, asimptotik iterasyon metodunun ikinci dereceden homojen lineer
diferansiyel denklemi, birinci dereceden lineer diferansiyel denklem sistemleri ve
pertürbasyon teorisi için çözümü verildi.
Dördüncü bölümde, rν tipi potansiyeller için Schrödinger denkleminin asimptotik
iterasyon metodu ile çözümü yapıldı. Burada enerji özdeğerleri ve enerji
özfonksiyonları hesaplandı. Ayrıca V (r ) = rν potansiyelinde ν = 1,3, 4,5, 6 değerleri
için hesaplanan özdeğerler n baş kuantum sayısı, l yörünge kuantum sayısı olmak
üzere n = 0,1, 2,3 ve l = 0,1, 2,3 için tablolar halinde verildi.
Son bölümde ise, yapmış olduğumuz hesaplamalar teorik sonuçlarla kıyaslanarak
doğruluk derecesi tartışıldı.
3
2. SCHRÖDİNGER DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜNDE KULLANILAN BAZI
YAKLAŞIM METOTLARI
Bu bölümde Schrödinger denkleminin çözümünde kullanılan bazı yaklaşım metotları
hakkında genel bir bilgi verildi.
Kuantum mekaniğinde özdeğer problemi, birçok fiziksel sistemi incelemek açısından
önemli yer tutar. Bu sistemlerin enerji özdeğerleri veya özfonksiyonları Schrödinger
dalga denkleminin çözümüyle belirlenir. Fiziksel etkileşimleri tarif eden potansiyel
enerji fonksiyonları için dalga denkleminin çözümü her zaman kolay olmamaktadır.
Bir diferansiyel denklem olarak, dalga denkleminin doğrudan çözümü birkaç
potansiyelle sınırlı kalmaktadır. Çoğu potansiyel için bu denklemin diferansiyel
metotlarla çözümü ya zorluklar içermekte ya da mümkün olmamaktadır. Bunu
çözebilmek için yeni analitik çözüm teknikleri geliştirilmekte ya da yaklaşık
çözümler veren metotlar kullanılmaktadır. Bu yaklaşım metotlarından bazıları;
•
Varyasyon Metodu
•
WKB (Wentzel,Kramers,Brillouin) Metodu
•
Kaydırılmış 1/N Metodu
•
Pade Metodu
•
Pertürbasyon Teorisi
•
Hill Determinant Metot
•
Asimptotik İterasyon Metodu
olarak bilinmektedir.
2.1. Varyasyon Metodu
Varyasyon metodu [20], taban durumu enerjisini minimize ederek bulmayı
amaçlayan
bir
yöntemdir.
Pertürbasyon
yönteminin
uygulanamadığı,
hamiltonyenin H=H0+V gibi iki terime ayrılamadığı durumlarda uygulanabilir.
yani
4
Bir H hamiltonyeninin özdeğerleri En ve özvektörleri {un} olmak üzere, taban
durumu için Schrödinger denklemi Hu 0 = E o u o veya E o = (u 0 , Hu 0 ) şeklinde ifade
edilir.
Bu sistemin herhangi bir Ψ durumunda hamiltonyenin beklenen değeri,
E= H =
(Ψ, HΨ ) ≥ E
o
(Ψ, Ψ )
(2.1)
(Ψ fonksiyonu normlanmışsa payda bire eşit olur). Eşitlik ancak Ψ = u0 olduğunda
mümkündür.
Eş. 2.1’ e göre taban durumuna yaklaşmak için mümkün olduğunca E değeri aşağı
çekilmelidir. Deneme fonksiyonu olan Ψ dalga fonksiyonu bir a parametresine bağlı
olduğunda, bulunan E değeri de bu a parametresine bağlı olur. O halde taban
durumuna yaklaşmak için; değer, bu a parametresine göre minimize edilmelidir:
G
Ψ = Ψ (r , a )
E (a ) =
(Ψ, HΨ )
(Ψ, Ψ )
∂E
=0
∂a
(2.2)
(2.3)
(2.4)
Eş. 2.4’ e varyasyon ilke denklemi denir. Eş. 2.4 ifadesinin çözümünden elde edilen
parametre değeri, enerjinin minimumuna (taban enerji seviyesine) karşılık gelir.
Buna He atomu iyi bir örnektir.
Bu yöntem, (a1, a2, a3,…, an) gibi birden çok parametreye uygulanarak daha genel
hale getirilebilir.
5
2.2. WKB (Wentzel, Kramers, Brillouin) Metodu
Kuantum mekaniğinde bazı problemler için kesin analitik çözüm bulunamadığı için
gerekli şartlar sağlandığında, olay klasik mekanik sınırlarına indirilerek yaklaşık
çözümlere gidilir.
WKB metodu, kuantum mekaniği problemlerini çözmek için klasik ifadelere
düzeltmeler getiren yarı klasik bir yaklaşımdır.
WKB metodunun uygulanabilirlik şartı;
1
∂V ( x) P( x)
m= ∂V
⟨⟨1 ya da λ ( x)
⟨⟨
3
2
2m
∂x
P ∂x
2
(2.5)
eşitsizliği ile ifade edilir. Bu eşitlikten WKB yaklaşımı için; parçacığın yavaş
değişen bir potansiyele ya da büyük bir momentuma sahip olması gerekir. Bundan
dolayı Ψ(x)’in formu serbest parçacık çözümüne benzer. Yani dalga fonksiyonu
i
Ψ ( x) = Ae =
S ( x)
(2.6)
şeklinde alınır.
Zamandan bağımsız Schrödinger denkleminde dalga fonksiyonu yerine yazılırsa
− i=S ′′( x) + S ′( x) 2 = P 2 ( x)
(2.7)
ifadesi elde edilir. S(x) fonksiyonu
S ( x ) = S 0 ( x ) + =S 1 ( x ) +
=2
S 2 ( x) + ...
2
(2.8)
6
Eş. 2.8’ de verildiği gibi ħ’ ın kuvvetleri cinsinden seriye açıldığında dalga
fonksiyonu
Ψ ( x) ≅
A i ∫ k ( x ) dx B − i ∫ k ( x ) dx
+ 12 e
e
k1 2
k
formuna dönüşür. Burada k ( x) =
(2.9)
2m [ E − V ( x ) ]
=2
olarak verilir.
Şekil 2.1. Potansiyel kuyusu
Şekil 2.1’ de gösterilen bir boyutlu sonsuz potansiyel kuyusu içinde m kütleli bir
parçacığın hareketini ele alalım. Parçacığın enerjisi E ve klasik dönüm noktaları x1 ve
x2 olsun. II. bölgede V(x)< E’ dır ve parçacık x1-x2 aralığında salınım hareketi yapar.
Fakat I. ve III. bölgelerde V(x)>E olduğu için parçacığın kinetik enerjisi negatif olur.
Bu olay klasik fiziğe ters düşer ve bu bölgelerde parçacık yasaklıdır. Bu yüzden,
olaya kuantum mekaniksel olarak yaklaşılır. Yine de parçacığın I. ve III. bölgelerde
bulunma olasılığı II. bölgede bulunma olasılığından çok daha düşüktür. Bu yüzden
WKB yaklaşımı yarı klasik bir yöntemdir.
7
Keyfi n değerleri için
x2
⎛
1⎞
∫ P( x)dx = π =⎜⎝ n + 2 ⎟⎠
(2.10)
x1
koşulu
WKB
metodunun
enerji
değerlerini
hesaplamak
için
kullanılan
kuantumlanma koşuludur.
2.3. Kaydırılmış 1\N Açılımı
Herhangi bir küresel simetrik potansiyelde kaydırılmış 1\N açılımı [21-22];
Schrödinger denkleminin enerji özdeğerleri ve özfonksiyonlarını elde edebilmek için
kullanışlı ve kesin analitik ifadeler veren bir yöntemdir. Bu metot, küresel simetrik
potansiyellerin enerji özdeğerleri için, 1 / k açılım parametresine bağlı basit bir
analitik açılım sağlar.
Kuantum
mekaniğinde
birçok
problem
serbestlik
derecesinin
N
boyuta
genelleştirilmesi ile incelenebilir. Bu nedenle Schrödinger denklemini N boyutta
ifade edilir.
K
∇ N ile N boyutta gradyent operatörünü göstermek üzere Schrödinger denklemi
⎡ =2 2
⎤
⎢ − 2m ∇ N + VN (r ) ⎥ Ψ (r , θ1 ,...θ N −1 ) = E Ψ (r ,θ1 ,...θ N −1 )
⎣
⎦
(2.11)
şeklinde verilir. N boyutlu küre koordinatlarında laplace operatörü
∇ 2N =
1
r N −1
L2
∂ N −1 ∂
(r
) − N2
∂r
∂r
r
denklemi ile verilir.
(2.12)
8
Ψ (r , θ1 ,...,θ N −1 ) = R(r )Y (r ,θ1 ,...,θ N −1 ) şeklinde yazılabileceği dikkate alınarak Eş.
2.11 ifadesi
= 2 1 d N −1 d
= 2 (l + N − 2)
+ V (r )]R(r ) = ER(r )
[−
(r
)+
2m r N −1 dr
dr
2mr 2
(2.13)
şekline dönüşür. Burada Y(r,θ1,…,θN-1) N boyutta küresel koordinatlar için küresel
harmonikler olup L2N ’ nin özfonksiyonlarıdır.
φ (r ) = r
( N −1)
2
R (r ) dönüşümü yapılırsa Eş. 2.13 ifadesi
⎡ = 2 d 2 ( k − 1)( k − 3) = 2
⎤
V
(
r
)
+
+
⎢−
⎥ φ (r ) = Eφ (r )
N
2
8mr 2
⎣ 2m dr
⎦
(2.14)
şekline dönüşür. Burada k = k − a = N + 2l − a , N uzay boyutu, l açısal kuantum
sayısı, a ise kaydırma parametresidir.
Eş. 2.14 ile verilen radyal denklem, k cinsinden yazılarak düzenlenirse
⎡ = 2 d 2 k 2 ⎡1 − (1 − a ) / k ⎤ ⎡1 − ( 3 − a ) k ⎤ = 2
⎤
⎦⎣
⎦ + V (r ) ⎥ φ (r ) = Eφ (r )
⎢−
+ ⎣
2
2
8mr
⎢⎣ 2m dr
⎥⎦
(2.15)
şeklinde yazılabilir. Bu denklem
⎡ = 2 ⎡1 − (1 − a ) / k ⎤ ⎡1 − ( 3 − a ) k ⎤ V (r ) ⎤
= 2 d 2φ (r )
⎦⎣
⎦+
2
⎥ φ (r ) = Eφ (r )
−
+k ⎢ ⎣
2
2
Q ⎥
2m dr
8mr
⎢⎣
⎦
(2.16)
haline gelir. Burada Q bir sabittir. Kaydırılmış 1/N açılımını uygulayabilmek için
denklemdeki E ve V(r)’ yi k ’ ın kuvvetlerine göre seriye açmalıyız.
9
Bu açılımda Eş. 2.16’ dan görüleceği üzere enerjiye ilk katkı etkin potansiyelden
gelir. Ve etkin potansiyel
V (r )
=2
+
Veff (r ) =
2
Q
8mr
k
şeklinde ifade edilir. x =
r0
(2.17)
1
2
(r − r0 ) değişken değiştirmesi yapılarak 1/r2 ve V(r)’ yi
r = r0 civarında Taylor serisine açılarak
1
1 2
3
= 2 − 3 (r − r0 ) + 4 (r − r2 ) 2 + ...
2
r
r0 r0
r0
(2.18)
ve
1
1
= 2
2
r
r0
⎡
2 x 3x 2 ⎤
1
−
+
⎢
⎥
12
k ⎦
⎣ k
(2.19)
ifadesi elde edilir. Aynı şekilde V(r)’ de
V (r ) = V (r0 ) + V ′(r0 )(r − r0 ) +
V ′′(r0 )(r − r0 ) 2
+ ...
2
(2.20)
ve
V (r ) = V (r0 ) +
V ′(r0 )r0
V ′′(r0 )r0 2 2
x
x + ...
+
2k
k12
eşitliği bulunur.
(2.21)
10
Ayrıca,
d 2φ (r ) k d 2φ ( x)
= 2
dr 2
r0 dx 2
(2.22)
olduğu açıktır.
k2
Daha sonra
8mr 2
k2
8mr 2
⎡ 1− a ⎤ ⎡ 3 − a ⎤
⎢⎣1 − k ⎥⎦ ⎢⎣1 − k ⎥⎦ ifadesi seriye açılacak hale getirilir.
2 − a (1 − a )(3 − a )
k2
⎡ 1− a ⎤ ⎡ 3 − a ⎤
1
−
1
−
=
−
+
2
⎢⎣
k ⎥⎦ ⎢⎣
k ⎥⎦ 8mr
4mr 2
8mr 2
(2.23)
olarak yazılabilir. 1/r2’ nin Eş. 2.19 ile verilen ifadesi burada kullanılırsa
k2
8mr 2
−
⎤
2 x 3x 2
k2 ⎡
⎡ 1− a ⎤ ⎡ 3 − a ⎤
⎢⎣1 − k ⎥⎦ ⎢⎣1 − k ⎥⎦ = 8mr 2 ⎢ 2 − k 1 2 + k + ...⎥
⎦
0 ⎣
( 2 − a ) k ⎡1 −
4mr02
⎢
⎣
⎤ (1 − a )(3 − a ) ⎡
⎤
2 x 3x 2
2 x 3x 2
...
1
+
+
+
−
+
+ ...⎥
⎥
⎢
12
2
12
8mr0
k
k
k
⎦
⎣ k
⎦
(2.24)
denklemi elde edilir. Eş. 2.24 ile Eş. 2.21 ifadeleri Eş. 2.16’ da yerine yazılarak
⎡ =2 d2 k=2 ⎡ 3x2 4x3 5x4 ⎤ ( 2−a) =2 ⎡ 2x 3x2 ⎤
+ ⎢1+ − 3 + 2 −...⎥ −
⎢−
⎢1− + −...⎥
2
4m ⎣ k 12 k
⎦
⎦
⎣⎢ 2mdx 8m ⎣ k k 2 k
1−a)( 3−a) =2 ⎡ 2x 3x2 ⎤ r02k ⎡
(
V′(r0)r02x2 V′′(r0)r03x3 ⎤⎤ Er02
1− + −... +
V(r ) +
+
+
+... φ = φ
8mk
⎢ 1
⎣ k2
k
⎢
⎥
⎦ Q⎣
0
2k
2
ifadesi elde edilir. Burada g =
6k
3
2
⎥⎥
⎦⎦⎥
k
Er
1
, λ = 0 ve k = Q kısaltmaları yapılarak
k
k
(2.25)
11
⎧⎪ = 2 d 2 ⎡ k = 2 (2 − a ) 2 (1 − a)(3 − a) 2 r02 kV (r0 ) ⎤
= +
= +
+⎢
−
+⎥
⎨−
2
4m
8mk
Q
⎪⎩ 2m dx ⎣ 8m
⎦
⎡
⎡ 3= 2 V ′′(r0 )r04 ⎤ 2
⎛ = 2 r05V ′′′(r0 ) ⎞ 3 ⎤
12 ⎛ 2−a ⎞ 2
x
g
x
=
+⎢
+
+
+
+
⎢⎜
⎜−
⎟x ⎥
⎟
⎥
m
m
Q
2Q ⎦
2
2
6
⎝
⎠
⎣ 8m
⎝
⎠
⎣
⎦
⎡ 3(2 − a ) 2 2 ⎛ 5= 2 r06V ′′′′(r0 ) ⎞ 4 ⎤
(1 − a)(3 − a )= 2
32⎛
+ g ⎢−
+
x
+
g
−
x
= x +⎜−
⎟ ⎥
⎜
4m
24Q ⎠ ⎦
4m
⎝
⎝ 8m
⎣
2
(2 − a ) 2 2 ⎛ 3= 2 r07V ′′′′′(r0 ) ⎞ 5
2 ⎛ 3(1 − a )(3 − a ) =
= x +⎜−
x2 −
+
+
⎟x +g ⎜
120Q ⎠
8m
m
⎝
⎝ 4m
−
5(2 − a) 2 4 ⎛ 7= 2 r08V ′′′′′′(r0 ) ⎞ 6 ⎞ ⎫⎪
= x +⎜
+
⎟ x ⎟⎬ φ ( x) = λφ ( x)
4m
720Q ⎠ ⎠ ⎪⎭
⎝ 8m
(2.26)
olarak düzenlenir. Böylece Eş. 2.26 daha kısa olarak
⎧ =2 d 2
1
+ ε 0 + mω 2 x 2 + g
⎨−
2
2
⎩ 2m dx
12
(ε1 x + ε 3 x3 ) + g (ε 2 x 2 + ε 4 x 4 )
+ g 3 2 (δ1 x + δ 3 x 3 + δ 5 x 5 ) + g 2 (δ 2 x 2 + δ 4 x 4 + δ 6 x 6 ) + ...}φ = λφ
(2.27)
şeklinde yazılabilir. Burada
1
3= 2 V ′′(r0 )r04
2
mw =
+
2
8m
2Q
⎡ 3= 2 r0V ′′(r0 ) ⎤
w=⎢ 2 +
⎥
mQ ⎦
⎣ 4m
olup sabit değeri Q,
1
2
(2.28)
= ⎡ r0V ′′(r0 ) ⎤
=
⎢3 + ′
⎥
2m ⎣
V (r0 ) ⎦
dVef
dr
1
2
= 0 şartından elde edilir.
r = r0
(2.29)
12
Böylece,
4mr0 V ′(r0 ) = = 2 Q
3
(2.30)
eşitliği elde edilir. Bu ifade Eş. 2.29’ da yerine yazılırsa
w=
= ⎡ V ′′(r0 )r0 ⎤
⎢3 + ′
⎥
2m ⎣
V (r0 ) ⎦
(2.31)
olarak ifade edilir. Ayrıca,
= 2 k (2 − a )= 2 = 2 (1 − a )(3 − a ) r0 k V (r0 )
−
+
+
ε0 =
,
8m
4m
Q
8mk
2
ε1 =
ε2 =
(2 − a )= 2
2m
,
− 3= 2 (2 − a )
,
4m
(2.32.a)
(2.32.b)
(2.32.c)
5
− = 2 r0 V ′′′(r0 )
ε3 =
,
+
2m
6Q
(2.32.d)
6
5= 2 r0 V ′′′′(r0 )
ε4 =
,
+
8m
24Q
(2.32.e)
δ1 =
− (1 − a )(3 − a )= 2
,
4m
3(1 − a )(3 − a )= 2
δ2 =
,
8m
(2.33.a)
(2.33.b)
13
δ3 =
(2 − a )= 2 ,
m
(2.33.c)
− 5(2 − a )= 2
,
4m
(2.33.d)
7
− 3= 2 r0 V ′′′′′(r0 )
δ5 =
,
+
4m
120Q
(2.33.e)
8
7= 2 r0 V ′′′′′′(r0 )
δ6 =
.
+
8m
720Q
(2.33.f)
δ4 =
ifadeleri Eş. 2.26’ dan elde edilebilir.
V ( x) = g 1 2 (ε1 x + ε 3 x 3 ) + g (ε 2 x 2 + ε 4 x 4 )
+ g 3 2 (δ1 x + δ 3 x3 + δ 5 x5 ) + g 2 (δ 2 x 2 + δ 4 x 4 + δ 6 x 6 )
(2.34)
kısaltması altında Eş.2.27 denklemi
1
= 2 d 2φ ⎛
⎞
+ ⎜ ε 0 + mw2 x 2 + V ( x) ⎟ φ = λφ
2
2m dx ⎝
2
⎠
(2.35)
şekline gelir. Yine ε 0 içindeki k içermeyen tek terim, V(x)=0 durumunda enerjinin
harmonik osilatör için analitik değerini verir. Yani diğer bir deyiş ile
1⎞
⎛ 2−a ⎞ 2 ⎛
⎜
⎟ = = ⎜ n + ⎟ =w
2⎠
⎝ 4m ⎠
⎝
yazılabilir.
(2.36)
14
Buradan,
a = 2−
2(2n + 1)mw
=
(2.37)
eşitliği bulunur. Eş. 2.31 ile verilen ifade burada yerine yazılırsa
⎡ V ′′(r0 )r0 ⎤
a = 2 − (2n + 1) ⎢3 +
⎥
V ′(r0 ) ⎦
⎣
12
(2.38)
eşitliği bulunur. Eş. 2.38 k = k − a = N + 2l − a ifadesinde yerine yazılırsa
12
⎡ V ′′(r0 ) ⎤
k = N + 2l − 2 + (2n + 1) ⎢
⎥
⎣ V ′(r0 ) ⎦
(2.39)
elde edilir.
λn = λn(0) + λn(1) + ... olarak yazılır ve λn(i ) terimleri pertürbasyon teorisi yardımı ile
hesaplanır. λn =
En =
En r02
olduğundan
k
k
⎡λ (0) + λn(1) + ... + λn(i ) + ...⎤⎦
2 ⎣ n
r0
(2.40)
ifadesi bulunur.
Kaydırılmış 1/N açılım metodu, bazı potansiyeller için tam sonuçlara iyi bir şekilde
yaklaştığı için, ilgi çekici bir metottur.
15
2.4. Pade Metodu
Pade metodu [23–24], rölativistik olmayan Schrödinger denklemin enerji
özdeğerlerini yaklaşık olarak hesaplamak için geliştirilmiştir. Bu metot, Riccati
denkleminin çözümü olan dalga fonksiyonunun logaritmik türevi için bir rasyonel
fonksiyon yaklaştırması temeline dayanır
Bir boyutta parite-invaryant potansiyeller (V(x)=V(-x)) için zamandan bağımsız
Schrödinger denklemi
Ψ ( x) ′′ = [V ( x) − E ]Ψ ( x) ,
(2.42)
olarak alınır. Dalga fonksiyonu Φ ( x) = x − s Ψ ( x) şeklinde tanımlanabilir. Burada,
s=0 ve s=1, çift ve tek durumlara karşılık gelir. Φ(x) ≠ 0 için dalga fonksiyonunun
logaritmik türevi
′
f ( x) ≡ [ −Φ ( x)] Φ ( x)
(2.43)
şeklinde elde edilir ve Eş. 2.42’ in bütün öz durumlarında geçerlidir. Eş. 2.42 ve Eş.
2.43 kullanılarak
f ′′( x) − [ f ( x)] +
2
2s
f ( x) = E − V ( x)
x
(2.44)
Riccati denklemi elde edilir ve Eş. 2.43’ deki logaritmik türev x=0’ da Taylor
serisine açılarak
∞
f ( x ) = ∑ f j x 2 j +1
j =0
ifadesi elde edilir.
(2.45)
16
Eğer V(x) potansiyeli
K
V ( x) = ∑ν j x 2 j ,ν K ⟩ 0
(2.47)
j =1
şeklinde ise ve Eş. 2.45 ile Eş.2.47 ifadeleri Eş. 2.44’ de kullanılırsa fj katsayıları
K
⎤
⎡ j −1
f j = (2 j + 2 s + 1) ⎢∑ f j f j − i −1 + Eδ j 0 − ∑ν jδ ij ⎥
i =1
⎦
⎣ i =0
−1
(2.48)
elde edilir. f(x) logaritmik türevine Eş. 2.49’ deki rasyonel fonksiyonu
g ( x) = A( x) B ( x)
(2.49)
yaklaştırılabilir. Burada,
M
N
j =0
j =0
A( x) = ∑ a j x 2 j +1 , B ( x) = ∑ b j x 2 j , b0 = 1
(2.50)
şeklinde ifade edilir. W sistemin yaklaşık enerji özdeğeri olmak üzere
g ( x) =
M + N +1
∑
j =0
f j (W ) x 2 j +1 + O ( x 2( M + N +5) )
(2.51)
olur.
Ayrıca,
j
∑b
i =o
j
f j −1 = a j , j=0,1,2,…,M
(2.52.a)
17
∑b
j
f j − i = 0 , j=0,1,2,…,M+N+1
(2.52.b)
şeklinde verilir. Burada eğer i⟩ N ise bi = 0 ’ dır. Elde edilen bu denklem sisteminden
f d +1
fd +2
f d +3
fd +2
H = #
#
f d +3
#
#
fd +4
#
#
f d + D +1
fd + D+2
d
D
fd +D
"
"
%
%
"
fd +D
f d + D +1
#
=0
#
(2.53)
f d + 2 D −1
determinantı bulunur. Burada d = M − N ≥ 0 ve D = N + 1 ’ dir. H Dd determinantının
köklerinden enerji değerleri elde edilebilir.
Bu metot, merkezi kuvvet problemlerine de uygulanabilir. Bu durumda dalga
fonksiyonu Φ (r ) = r − l Ψ (r ) alınır ve f (r ) ≡ ( Φ (r ) )′ Φ (r ) değeri üç boyutta radyal
Schrödinger denkleminde kullanılırsa
f ′(r ) = f 2 (r ) −
2(l + 1)
f (r ) + E − V (r )
r
(2.54)
∞
∞
j −1
j =0
Riccati denklemi elde edilir. Burada V (r ) = ∑ν j r j ve f (r ) = ∑ f j r j dir.
f0 = −
V−1
olmak üzere fj değerleri
( l + 1)
j
⎤
−1 ⎡
f j +1 = ( 2l + j + 3) ⎢ ∑ fi f j −i + Eδ j 0 − V j ⎥ , j=0,1,2,…
⎣ i =0
⎦
(2.55)
18
ifadesinden bulunabilir. Bu durumda da yaklaşık enerji değerleri, Eş. 2.53 ile verilen
H Dd determinantının kökleri ile belirlenebilir [5–6] .
2.5. Pertürbasyon Teorisi
Schrödinger denkleminin tam olarak çözülebildiği önemli fiziksel problemlerin
sayısı sınırlıdır. Bu yüzden yaklaşık çözümler kuantum mekaniği uygulamalarında
büyük önem taşırlar. Pertürbasyon teorisinde [25] çözümler bir seri olarak verilir. Bu
seri çözümler, katlı durum olup olmadığına göre değişir. Radyasyon probleminde
uyarılmış durumlardan geçiş olasılıkları hesaplanırken zamana bağımlı pertürbasyon
yöntemi kullanılmak zorunlu olur.
2.5.1. Pertürbasyon açılımı
Bir sistemin hamiltonyeni H için Schrödinger denkleminin
HΨn = E n Ψn
(2.56)
analitik olarak çözülüp, Ψn özdurumları ve E n özdeğerleri bulunamadığını
varsayalım. Eğer bu hamiltonyen, çözümü bilinen bir H 0 hamiltonyeni ile bir V
pertürbasyon terimlerinin toplamı olarak yazılabiliyorsa H = H 0 + V o takdirde,
yaklaşık bir çözüm bulunabilir.
H 0 hamiltonyenin özdeğer problemi
H 0un = ε nun
(2.57)
için u n özfonksiyonları ve ε n özdeğerleri biliniyor olsun. Gerçek problemin
hamiltonyenini
19
H = H 0 + λV
(2.58)
şeklinde bir λ reel parametresine bağlı olarak yazılır. (Bu λ parametresi seri açılımını
kolaylaştırmak içindir, işlemler sonunda λ = 1 alınacaktır.)
H hamiltonyenin özdeğer ve özfonksiyonlarını bu λ parametresine bağlı olarak
∞
En = En(0) + λ En(1) + λ 2 En(2) + ... = ∑ λ i En(i )
(2.59)
i =0
∞
(1)
2
(2)
i
(i )
Ψ n = Ψ (0)
n + λΨ n + λ Ψ n + ... = ∑ λ Ψ n
(2.60)
i =0
şeklinde yazılır. Burada En(i ) ve Ψ (ni ) , gerçek enerji ve dalga fonksiyonuna i
mertebesinden olan katkıları göstermektedir. Bu katkılar için bir ifade bulunur ve
istenilen i mertebesine kadar olan terimleri eklenilerek gerçek problem çözülebilir.
Bu ifadeler Eş. 2.56’ da yerine yazılırsa
(1)
(0)
(1)
(0)
(1)
( H 0 + λV ) ( Ψ (0)
n + λΨ n + ...) = ( En + λ En + ...)( Ψ n + λΨ n + ...)
(2.61)
ifadesi elde edilir.
Bu eşitlikteki terimler λ parametresinin kuvvetlerine göre yazılırsa
(0)
(0)
(1)
(0)
(1)
(1)
(1)
(0)
⎡⎣ H 0 Ψ (0)
⎤
⎡
⎤
n − En Ψ n ⎦ + λ ⎣ H 0 Ψ n + V Ψ n − En Ψ n − En Ψ n ⎦
(1)
(0)
(2)
(1)
(1)
(1)
(2)
(0)
⎤
+ λ 2 ⎡⎣ H 0 Ψ (2)
n + V Ψ n − En Ψ n − En Ψ n Ψ n − En Ψ n ⎦ + ... = 0
(2.62)
20
olur. Eş.2.62’ nin λ parametresinin her değerinde doğru olabilmesi için her bir λ
kuvvetinin katsayısı sıfır olmalıdır. Böylece her bir dereceden pertürbasyon
çözümleri için
⎡⎣ H 0 − En(0) ⎤⎦ Ψ (0)
n =0
(2.63)
⎡⎣ H 0 − En(0) ⎤⎦ Ψ (1)
⎡ (1)
⎤ (0)
n = ⎣ En − V ⎦ Ψ n
(2.64)
(2)
(0)
⎡⎣ H 0 − En(0) ⎤⎦ Ψ (0)
⎡ (1)
⎤ (1)
n = ⎣ En − V ⎦ Ψ n + En Ψ n
(2.65)
ifadeleri elde edilir.
Bu denklemler sırasıyla, 0,1,2,… mertebesinden yaklaşık çözümleri verirler [25].
Birinci dereceden pertürbasyon çözümleri
Birinci dereceden pertürbasyon denklemini ele alınır. 0. derece çözümleri
kullanılarak
⎡⎣ H 0 − En(0) ⎤⎦ Ψ (1)
⎡ (1)
⎤ (0)
n = ⎣ En − V ⎦ Ψ n
(2.66)
[ H 0 − ε n ] Ψ (1)n = ⎡⎣ En(1) − V ⎤⎦ un
(2.67)
yazılabilir. H0 hamiltonyeninin özfonksiyonları {uj} ortonormal bir baz oluşturdukları
için her dalga fonksiyonu bu bazda bir seri açılımı olarak yazılabilir. Özel olarak, Ψn
dalga fonksiyonuna 1. dereceden katkı olan Ψ (1)
n fonksiyonu bu bazda yazılırsa
Ψ (n ) = ∑ c (jn)u j
1
1
j
(2.68)
21
bulunacak c (jn1) katsayıları problemin çözümünü verirler. Buna göre, 1. derece
eşitsizliği
⎡⎣ H 0 − En(0) ⎤⎦ ∑ c (1)
⎡ (1)
⎤
jn = ⎣ En − V ⎦un
(2.69)
j
olur. Bu ifadenin bir u i baz vektörüyle skaler çarpımı alınırsa
[ε i − ε n ]cin(1) = En(1)δ in − (ui ,Vun )
(2.70)
olur. (Ortonormal bazda (ui , u j ) = δ ij olduğu kullanılır.) Eş. 2.70’ den hem enerji hem
de dalga fonksiyonuna 1. dereceden katkıları bulunur.
i = n seçilirse, eşitliğin sol tarafı sıfır olacağından
En(1) = (u n ,Vu n )
(2.71)
bulunur. Bu sonuca göre, enerji özdeğerine 1. dereceden katkı, pertürbasyon terimi
V’ nin, H0 hamiltonyeninin un özdurumundaki beklenen değeri olur. O halde, gerçek
enerji özdeğerinin 1. dereceden yaklaşık değeri
En = ε n + (u n ,Vu n )
(2.72)
ifadesiyle verilir.
Aynı eşitlikte i ≠ n alınırsa dalga fonksiyonuna 1. dereceden katkı bulunur. Bu
durumda, ( ui , un ) = 0 olacağından
cin(1) =
(ui ,Vun )
εn −εi
, (i ≠ n)
(2.73)
22
bulunur. Bu katsayılar cinsinden dalga fonksiyonuna katkı
Vin
ui
i≠n ε n − ε i
Ψ (n1) = ∑ cin(1)ui = ∑
i≠n
(2.74)
olur. Burada, Vin = (ui ,Vu n ) matris elemanıdır.
Sonuç olarak, dalga fonksiyonu ve enerji özdeğerlerine 1. dereceden yaklaşık
çözümler
En = ε n + Vnn
(2.75)
Vin
ui
i≠n ε n − ε i
Ψ n = un + ∑
(2.76)
şeklinde yazılır.
İkinci dereceden pertürbasyon çözümleri
Bazı durumlarda, pertürbasyon terimi V’ nin {un} durumları arasında hesaplanan
matris elemanları sıfır olabilirler. Bu durumda, enerji ve dalga fonksiyonuna 1.
dereceden katkı oluşmaz ve 2. derece katkılarına bakmak gerekir.
2. derece pertürbasyon ifadesi ele alınır:
( 2) ( 0)
⎡ H 0 − En ( 0) ⎤ Ψ (2)
⎡ (1)
⎤ (1)
⎣
⎦ n = ⎣ En − V ⎦ Ψ n + En Ψ n .
(2.77)
Burada, 0. ve 1. derece çözümleri kullanılarak
(1)
(2)
( H 0 − ε n )Ψ (2)
n = [Vnn − V ] ∑ cin ui + En un
i≠n
(2.78)
23
yazılır. Yine,
{uk }
bazında, Ψ 2n fonksiyonunu seri açılımı olarak yazılarak ck2
katsayıları elde edilir:
Ψ (n2) = ∑ ckn( 2)uk
(2.79)
k
Eş. 2.78 kullanılarak
[ H 0 − ε n ] ∑ ckn( 2)uk = [Vnn − V ] ∑ cin(1)ui + En(2)un
(2.80)
i≠n
k
ifadesi elde edilir. Eş. 2.80’ nin, bir uj baz vektörüyle skaler çarpımı alınarak,
ortonormallik özelliği kullanıldığında
[ε
j
]
− ε n c (jn2 ) = Vnn ∑ cin(1)δ ji − ∑ cin(1)V ji + En(2 )δ jn
i≠n
(2.81)
i≠n
elde edilir. Bu eşitlik, ck(2) katsayılarını ve dolayısıyla, enerji ve dalga fonksiyonuna
2. dereceden katkıları verir.
Yine, j = n durumunda enerji katkıları bulunur. Eşitliğin sol tarafı sıfır olacağı ve i
indisli 1. toplamın katkısı olmayacağından,
En
(2 )
= ∑ cin(1)Vni
(2.82)
i≠n
bulunur. Bir önceki kısımda bulduğumuz cin(1) katsayılarını da kullanırsak
En
(2 )
=∑
i≠n
bulunur.
Vni
2
εn − εi
(2.83)
24
j ≠ n aldığımızda c (j2 ) katsayılarını buluruz. İşlemler sonucunda
c (jn ) =
2
V jiVin
1 ⎛
⎜∑
ε n − ε j ⎝ i≠ j ε n − ε i
VnnV jn
⎞
⎟−
2
⎠ (ε n − ε j )
(2.84)
bulunur.
Bu sonuçlara, 1. dereceden terimleri de eklenir. Sonuç olarak, En enerjisine ve Ψn
dalga fonksiyonuna 2. dereceden yaklaşık çözümleri
En = ε n + Vnn + ∑
i≠n
Vni
2
(2.85)
εn − εi
⎡ V
⎤
VnnV jn
V jiVin
⎥u j
Ψ n = un + ∑ ⎢ jn −
+
∑
2
⎥
ε
ε
ε
ε
−
−
(
)
≠
j≠n ⎢ ε n − ε j
i
n
(
)
n
j
n
i
(ε n − ε j )
⎣
⎦
(2.86)
şeklinde ifade edilir.
2.6. Hill Determinant Metodu
Hill determinant metodu [26–29], verilen bir potansiyel için dalga fonksiyonunu
önceden
belirleme
temeline
dayanır.
Dalga
fonksiyonunu
genel
olarak
∞
Φ (r ) = φ (r ) exp[ f (r )] şeklinde seçilir. Burada φ (r ) = ∑ An r n şeklinde bir serisi
n =1
olarak ele alınır. f(r) fonksiyonu verilen bir potansiyel için belirlenerek φ (r ) dalga
fonksiyonu, radyal Schrödinger denkleminde kullanılır. Böylece An katsayılarına
bağlı
... + bn An +1 + a n An + c n An −1 + d n An −2 + ... = 0 , n ≥ 0
(2.87)
25
şeklinde bir tekrarlama bağıntısı elde edilir. Buradaki an, bn, cn, dn, … değerleri f(r)
fonksiyonunun ve ele alınan potansiyelin katsayıları ile enerji değerine bağlıdır.
Tekrarlama bağıntısının katsayılarından
a0
b0
0
0
"
"
c1
a1
b1
0
DN = d 2
#
c2
a2
b2
"
"
"
"
#
0
"
0
d N −1 cN −1
(2.88)
aN −1
determinantı (Hill determinantı) yazılabilir. Hill determinantının det DN=0 özdeğer
şartı kullanılarak, sistemin özdeğerleri elde edilir.
26
3. ASİMPTOTİK İTERASYON METODU
3.1. İkinci Dereceden Homojen Lineer Diferansiyel Denklemler İçin Asimptotik
İterasyon Metodu
Asimptotik iterasyon metodu,
y ′′ = λ0 ( x) y ′ + s o ( x) y
(3.1)
ikinci dereceden homojen lineer diferansiyel denklemini göz önüne alır [1]. Burada
λ0 ≠ 0 ve λ0 ( x) ve s 0 ( x) , C ∞ (a, b) ’ de türevlenebilir fonksiyonlardır. Eş. 3.1’ in x’
e göre türevi alınırsa
y ′′′ = λ1 ( x) y ′ + s1 ( x) y
(3.2)
′
2
′
eşitliği elde edilir ve λ1 = λ0 + s 0 + λ0 ve s1 = s 0 + s 0 λ0 olarak ifade edilir. Eş. 3.1’
in ikinci dereceden türevi alınırsa
y ′′′′ = λ 2 ( x) y ′ + s 2 ( x) y
(3.3)
elde edilir ve burada
λ 2 = λ1′ + s1 + λ0 λ1 ve s 2 = s1′ + s 0 λ1
olarak ifade edilir. Böylece (n+1). ve (n+2). türevleri sırasıyla n = 1, 2,3,... olmak
üzere,
y ( n +1) = λn −1 ( x) y ′ + s n −1 ( x) y
(3.4)
27
y ( n + 2 ) = λ n ( x) y ′ + s n ( x) y
(3.5)
şeklindedir ve
λ n = λn′−1 + s n −1 + λ0 λn −1 ve s n = s n −1′ + s0 λn −1
(3.6)
iterasyon bağıntıları elde edilir.
(n+2). ve (n+1). türevleri oranlarsak
⎛
(
)
( n+ 2)
d
y
ln y ( n +1) = ( n +1)
dx
y
⎞
y ⎟⎟
λn ⎠
⎝
=
⎛
⎞
s
λ n −1 ⎜⎜ y ′ + n −1 y ⎟⎟
λ n −1 ⎠
⎝
λ n ⎜⎜ y ′ +
sn
(3.7)
elde edilir. Eğer herhangi bir n için
sn +1
λn +1
=
sn
λn
=α
(3.8)
⎛s
s ⎞
ya da lim ⎜ n +1 − n ⎟ → 0 ’a giderse Eş. 3.7
n →∞ λ
⎝ n +1 λn ⎠
λ
d
ln( y ( n +1) ) = n
λn −1
dx
(3.9)
şekline indirgenir ve bu eşitlik integre edilerek, Eş. 3.6’ da verilen λn ’ nin tanımı
kullanıldığında,
28
y
( n +1)
⎞
⎛x
⎛ x λ n (t ) ⎞
⎟
⎜
( x) = C1 exp ∫
dt = C1λ n −1 exp⎜ ∫ (α + λ0 )dt ⎟
⎟
⎜
⎜ λn −1 (t ) ⎟
⎠
⎝
⎠
⎝
(3.10)
eşitliği elde edilir ve burada C1 integrasyon sabitidir. Eş. 3.4 ile Eş. 3.10 birbirine
eşitlenerek
⎞
⎛x
y ′ + αy = C1 exp⎜ ∫ (α + λ0 )dt ⎟
⎟
⎜
⎠
⎝
(3.11)
ifadesi elde edilir. Gerekli işlemler yapılarak Eş. 3.11’ in genel çözümü,
x
⎛ x
⎞⎡
⎛t
⎞ ⎤
y ( x) = exp ⎜ − ∫ α dt ⎟ ⎢C2 + C1 ∫ exp ⎜ ∫ ( λ0 (τ ) + 2α (τ ) ) dτ ⎟ dt ⎥
⎝
⎠ ⎢⎣
⎝
⎠ ⎥⎦
olarak belirlenir.
(3.12)
29
3.2. Birinci Dereceden Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri İçin Asimptotik
İterasyon Metodu
φ1′ = λ0 ( x)φ1 + s 0 ( x)φ 2
(3.13)
φ 2 ′ = ω 0 ( x)φ 2 + p 0 ( x)φ 2
(3.14)
birinci dereceden lineer diferansiyel denklem çiftini göz önüne alınır. Burada λ0(x),
s0(x), ω0(x) ve p0(x) türevlenebilir fonksiyonlardır. Eğer Eş. 3.13 ve Eş. 3.14’ nin x’ e
göre türevi alınırsa,
φ1″ = λ1 ( x)φ1 + s1 ( x)φ 2
(3.15)
φ2″ = ω1 ( x)φ1 + p1 ( x)φ2
(3.16)
eşitlikleri elde edilir ve
λ1 = λ0 ′ + λ0 2 + s 0ω 0
(3.17)
′
s1 = s 0 + λ0 s o + s 0 p 0
(3.18)
ω1 = ω0′ + λ0ω0 + p0ω0
(3.19)
2
′
p1 = p 0 + p 0 + s 0ω 0
(3.20)
şeklinde verilir.
30
Benzer şekilde (n+2). dereceden türev alırsak
φ1 ( n + 2 ) = λ n +1 ( x)φ1 + s n +1 ( x)φ 2
(3.21)
φ 2 ( n + 2 ) = ω n +1 ( x)φ1 + p n +1 ( x)φ 2
(3.22)
ifadeleri elde edilir ve burada
λ n +1 = λ n ′ + λ n λ0 + s n ω 0
(2.23)
′
s n +1 = s n + λ n s o + s n p 0
(2.24)
ωn +1 = ωn′ + ωn λ0 + pnω0
(2.25)
pn +1 = pn′ + ωn s0 + pn p0
(2.26)
şeklinde verilir.
(n+2). ve (n+1). türevleri birbirine oranlandığı zaman
(
)
(n + 2 )
φ
d
( n +1)
ln φ1
= 1 (n +1) =
dx
φ1
ifadesi elde edilir.
λ n +1 ⎡⎢φ1 + ⎛⎜ s n +1 λ
⎞φ ⎤
⎟ 2⎥
n
+
1
⎝
⎠ ⎦
⎣
λ n ⎡⎢φ1 + ⎛⎜ s n λ ⎞⎟φ 2 ⎤⎥
n ⎠
⎝
⎣
⎦
(3.27)
31
Aynı işlemler yapılarak φ 2 içinde benzer bir eşitlik elde edilir. n değeri sonsuza
giderken
s n +1
λ n +1
=
sn
λn
= α , n=1,2,3,…
(3.28)
(
ifadesi göz önüne alınarak Eş. 3.27 (d dx ) ln φ1
( n +1)
)= λ
n +1
λ n şekline indirgenir ve
C1 integrasyon sabiti olmak üzere
φ1
( n +1)
⎛ x λ n +1 (t ) ⎞
⎛x
⎞
⎜
⎟
(x ) = C1 exp⎜ ∫
dt = C1λ n exp⎜ ∫ (αω 0 + λo )dt ⎟ .
⎟
⎜
⎟
⎝ λ n (t ) ⎠
⎝
⎠
Eş. 3.29 φ1
( n +1)
(3.29)
= λ n ( x)φ1 + s n ( x)φ 2 ifadesinde yerine yazılırsa
⎛x
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
φ1 + α ( x)φ 2 = C1 exp⎜ ∫ (αω 0 + λ0 )dt ⎟
(3.30)
eşitliği elde edilir. Eş. 3.14 ve Eş. 3.30 kullanılarak φ2 ( x) ’ nin genel çözümü,
⎛x
⎜
⎝
⎞⎧⎪
⎟
⎠⎪⎩
x
⎡
⎛t
⎜
⎝
⎞ ⎤ ⎫⎪
⎟ ⎥
⎠ ⎦ ⎪⎭
φ 2 ( x) = exp⎜ ∫ ( p 0 − ω oα )dt ⎟⎨C 2 + C1 ∫ ⎢ω 0 exp⎜ ∫ (λ0 − p o + 2ω 0α )dτ ⎟dt ⎥ ⎬
olarak bulunur [2].
⎢⎣
(3.31)
32
3.3. Pertürbasyon Teorisi İçin Asimptotik İterasyon Metodu
Sınır değer problemleri matematiksel fizikte önemli bir rol oynar. Kuantum
mekanikteki özdeğer problemleri, fizikteki önemli matematiksel problemlerin
bazıları için ifade edilir. Schrödinger denklemi, belirli özel potansiyeller için tam
çözüme sahiptir ama çoğu durumda yaklaşık metotlar kullanılır. Pertürbasyon
teorisinde [3] hamiltonyen H=H0+λVp şeklinde yazılır ve λVp pertürbasyonu için H0
çözülebilir terimi eklenir. Toplam Hamiltonyenin dalga fonksiyonları ve özdeğerleri,
H0’ ın tam çözülebilen terimlerinde hesaplanan katsayılar ve λ katsayılı
parametrelerle bir pertürbasyon serisi olarak yazılır.
3.3.1. Enerji özdeğerleri için pertürbasyon açılımı
Bu bölümün amacı, asimptotik iterasyon metodu ile Schrödinger özdeğer problemleri
için pertürbasyon açılımının katsayılarını hesaplamaktır. Eş 3.32 verilen iki ifadenin
toplamından oluşan bir potansiyele sahip olduğumuzu varsayalım.
V(x)=V1(x)+λV2(x)
(3.32)
Burada V1(x) tam bir çözüme sahiptir, V2(x) pertürbasyondur ve λ pertürbasyon
açılım parametresidir.
Özdeğerleri bir pertürbasyon serisi olarak
E = E (0) + λ E (1) + λ (2) E (2) + ...
(3.33)
şeklinde yazılır.
Amacımız E ( j ) katsayılarını hesaplamaktır, burada j = 0,1, 2,... olarak verilir. Eş
3.32 de verilen potansiyel için Schrödinger denklemi
33
⎞
⎛ d2
⎜⎜ − 2 + V1 ( x) + λV2 ( x) ⎟⎟Ψ ( x) = EΨ ( x)
⎠
⎝ dx
(3.34)
şeklinde yazılır.
y0 ( x )
sınır
şartlarını
sağlayan
asimptotik
bir
fonksiyon
olmak
üzere,
Ψ ( x) = y 0 ( x) f ( x) olarak alındığında,
f ′′( x) = λ0 ( x, λ ) f ′( x) + s 0 ( x, λ ) f ( x)
(3.35)
ikinci dereceden lineer homojen diferansiyel denklemi elde edilir.
Enerji değerlerinin Eş. 3.33’ de verilen forma sahip olduğunu varsayalım. Sonuç
olarak, λ0(x,λ) ve s0(x,λ) fonksiyonları her bir E ( j ) ’ ye bağlıdır. Eş. 3.33 için
asimptotik iterasyon metodunu uygulayalım. λn(x,λ) ve sn(x,λ) fonksiyonları
λ n = λ n′−1 + s n −1 + λ0 λ n −1 ve s n = s ′n −1 + s 0 λ n −1 eşitlikleri kullanılarak hesaplandıktan
sonra, δ(x,λ) fonksiyonu δ ( x) = s n ( x)λ n +1 ( x) − s n +1 ( x)λ n ( x) = 0 eşitliğinden elde
edilir ve
δ ( x, λ ) = s n ( x, λ )λ n +1 ( x, λ ) − s n +1 ( x, λ )λ n ( x, λ ) = 0
(3.36)
şeklinde yazılır.
Eğer δ(x,λ)’ ı λ=0 civarında seriye açılırsa,
δ ( x, λ ) = δ ( x, 0) +
∞
λ ∂δ ( x, λ )
λ 2 ∂ 2δ ( x, λ )
λ 3 ∂ 3δ ( x, λ )
+
+
+ ...
1! ∂λ λ =0 2! ∂λ 2 λ =0 3! ∂λ 3 λ =0
= ∑ λ k δ ( k ) ( x)
k =0
(3.37)
34
ifadesi elde edilir.
Asimptotik iterasyon metoduna göre δ(x,λ) sıfır olmalıdır; her λ değeri için bu doğru
ise, serinin her bir terimi sıfıra gitmelidir. Yani,
δ ( j ) ( x) =
1 ∂ j δ ( x, λ )
= 0 , j=0,1,2,…
j! ∂λ j
λ =0
(3.38)
şeklindedir.
δ(0)(x)=0 denkleminin çözümü bize E (0) , δ(1)(x)=0 denkleminin çözümü ilk düzeltme
terimi olan E (1) ’ i verir. Bu yöntem, pertürbasyon katsayılarını bulmamızı sağlar.
3.3.2. Dalga fonksiyonu için pertürbasyon açılımı
δ ( x) = s n ( x)λ n +1 − s n +1 ( x)λ n ( x) = 0 ile verilen koşul uygulandığı zaman, Eş 3.35’ in
çözümü
x
⎞ ⎤
⎞⎡
⎛t
⎛ x
⎟
⎜
y ( x) = exp − ∫ αdt ⎢C 2 + C1 ∫ exp⎜ ∫ (λ0 (τ ) + 2α (τ ) )dτ ⎟dt ⎥
⎜
⎟ ⎥
⎜
⎟⎢
⎠ ⎦
⎠⎣
⎝
⎝
kullanılarak
bulunabilir. Bu eşitliğin ilk kısmı tekrar yazılırsa
⎛ x
⎞
f ( x) = C 2 exp⎜ − ∫ α (t , λ )dt ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
ifadesi elde edilir. Burada α ( x, λ ) =
(3.39)
s k ( x, λ )
, k iterasyon sayısı ve C2 bir iterasyon
λ k ( x, λ )
sabitidir. λ=0 civarında α(x,λ)‘ yı tekrar seriye açarsak
∞
α ( x, λ ) = α ( 0 ) ( x) + λα (1) ( x) + λ2α ( 2) ( x) + λ3α (3) ( x) + ... = ∑ λk α ( k ) ( x)
k =0
(3.40)
35
serisi elde edilir.
Burada αj(x), j=0,1,2,…
α ( j ) ( x) =
1 ⎛⎜ ∂ j
j! ⎜⎝ ∂λ j
⎛ s k ( x, λ ) ⎞ ⎞
1 ⎛ ∂ j α ( x, λ ) ⎞
⎜⎜
⎟⎟ ⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
j
⎟
⎠ λ =0
⎝ λ k ( x, λ ) ⎠ ⎠ λ =0 j! ⎝ ∂λ
(3.41)
olarak verilir. Eş. 3.35’ deki f(x) fonksiyonu
∞
f ( x) = C 2 f ( 0 ) ( x) f (1) ( x) f ( 2) ( x) f ( 3) ( x)... = C 2 ∏ f ( k ) ( x)
(3.42)
k =0
şeklini alır ve burada
f
(k )
⎞
⎛ k x (k )
( x) = exp⎜ − λ ∫ (α (t )dt )⎟ , k=0,1,2,3,…
⎟
⎜
⎠
⎝
olarak verilir.
(3.43)
36
4. rν TİPİ POTANSİYELLER İÇİN SCHRÖDİNGER DENKLEMİNİN
ASİMPTOTİK İTERASYON METODU İLE ÇÖZÜMÜ
4.1. Giriş
Bu bölümde radyal Schrödinger denklemi asimptotik iterasyon metodu ile çözüldü.
Burada rν tipi potansiyel kullanılarak denklemin enerji özdeğerleri ve özfonksiyonları
elde edildi. Enerji özdeğerleri hesaplanırken ilk önce radyal Schrödinger
denkleminde bazı dönüşümler yapılarak denklem
y ′′ = λ0 ( x) y ′ + s o ( x) y formuna
dönüştürüldü. sn +1 λn +1 = sn λn = α iterasyon şartı kullanılarak ε değerleri Maple
programı ile hesaplandı. ε = E 4ν
(ν + 2 )
ifadesinden enerji değerleri bulundu.
ν = 1,3, 4,5, 6 değerleri için hesaplanan özdeğerler n=0,1,2,3 ve l=0,1,2,3 için
tablolar halinde verildi. Burada n baş kuantum sayısı ve l yörünge kuantum sayısıdır.
Ayrıca, Mathematica programı ile hesaplanan dalga fonksiyonları gösterildi.
4.2. Enerji Özdeğer Hesabı
Bu bölümün amacı rν tipi potansiyeller için Schrödinger denkleminin enerji
özdeğerlerini asimptotik iterasyon metodu kullanarak göstermektir. rν tipi potansiyel
için radyal Schrödinger denklemi ( = 2 2m = 1 olarak alındı.)
⎡ d 2 l ( l + 1) ν ⎤
+ r ⎥ Ψ = EΨ
⎢− 2 +
r2
⎣ dr
⎦
(4.1)
şeklinde yazılır.
r = u 2 dönüşümü yapılarak Eş. 4.1’ de yerine yazıldığında
⎡ d 2 1 d 4l ( l + 1)
⎤
+
+ 4u 2ν + 2 − 4 Eu 2 ⎥ Ψ = 0
⎢ 2+
2
u
⎣ du u du
⎦
(4.2)
37
ifadesi elde edilir.
1
Dalga fonksiyonu Ψ = u 2 Φ olarak alındığında Eş. 4.2
⎡ d 2 l ′ ( l ′ + 1)
2ν + 2
2⎤
+
−
u
Eu
4
4
⎢ 2+
⎥Φ = 0
u2
⎣ du
⎦
şeklinde yazılır ve burada l ′ = 2l +
(4.3)
1
olarak verilir.
2
Eş. 4.3’ ü boyutsuzlaştırmak için u = u o z dönüşümü yapılarak
⎡ d 2 l ′ ( l ′ + 1) 2ν + 2
⎤
+z
− ε z2 ⎥ Φ = 0
⎢− 2 +
2
z
⎣ dz
⎦
(4.4)
ν
ifadesi elde edilir ve burada ε = E 4ν + 2 olarak verilir.
z →∞, e
−
zν +2
ν +2
ve z → 0 , z l ′+1
şartları altında dalga fonksiyonunu Φ = Φ 0 f = z l ′+1e
(4.5)
−
1
ν +2
zν + 2
f olarak alınır.
Dalga fonksiyonu Eş. 4.4’ de yerine yazılırsa
l ′ + 1⎤
⎡
f ′′( z ) = 2 ⎢ zν +1 −
f ′( z ) + ⎡⎣( 2l ′ + ν + 3) zν − ε z 2 ⎤⎦ f ( z )
⎥
z ⎦
⎣
(4.6)
elde edilir. Böylece bu eşitlik asimptotik iterasyon metodunun uygulandığı
y ′′ = λ0 ( x) y ′ + so ( x) y formuna dönüştürülmüştür.
38
Burada λ0(z) ve s0(z) ifadeleri,
⎡
l ′ + 1⎤
λ0 = 2 ⎢ zν +1 −
ve s0 = zν [ 2l ′ + ν + 3] − ε z 2
⎥
z ⎦
⎣
(4.7)
şeklinde ifade edilir.
Bu noktadan itibaren Eş. 3.6’ daki iterasyon formülleri ve δ ( z ) = λn +1sn − sn +1λn = 0
kuantumlanma şartı kullanılarak, özdeğerler için Çizelge 4.1, Çizelge 4.2, Çizelge
4.3, Çizelge 4.4 ve Çizelge 4.5’ de verilen sonuçlar elde edildi.
Çizelge 4.1. ν=1 için enerji özdeğerleri ( V = r )
n
0
1
2
3
l
0
0
0
0
E
2,338107411
4,087949444
5,520559822
6,786708064
n
0
1
2
3
l
2
2
2
2
E
4,248182257
5,629708394
6,868882332
8,009703852
0
1
2
3
1
1
1
1
3,361254523
4,884451846
6,20762324
7,405667453
0
1
2
3
3
3
3
3
5,050925634
6,332115484
7,504643679
8,597124604
Çizelge 4.2. ν=3 için enerji özdeğerleri ( V = r 3 )
n
0
1
2
3
l
0
0
0
0
E
3,450562690
9,522076464
16,36937255
23,74547144
n
0
1
2
3
l
2
2
2
2
E
9,149017054
16,09735699
23,52918552
31,35000984
0
1
2
3
1
1
1
1
6,191854114
12,75836250
19,91772408
27,52507240
0
1
2
3
3
3
3
3
12,27348743
19,53547666
27,20821120
35,22473432
39
Çizelge 4.3. ν=4 için enerji özdeğerleri ( V = r 4 )
n
0
1
2
3
l
0
0
0
0
E
3,799673030
11,64474551
21,23837292
32,09859769
n
0
1
2
3
l
2
2
2
2
E
8,341364597
14,67632238
21,45208758
28,58250899
0
1
2
3
1
1
1
1
5,645252642
11,63208601
18,15916345
25,09522751
0
1
2
3
3
3
3
3
14,92341152
25,47174420
37,03640515
49,48493845
Çizelge 4.4. ν=5için enerji özdeğerleri ( V = r 5 )
n
0
1
2
3
l
0
0
0
0
E
4,08915923
13,42709054
25,53571641
39,73631700
n
0
1
2
3
l
2
2
2
2
E
12,21366994
24,61864880
38,97270822
55,01140434
0
1
2
3
1
1
1
1
7,847667415
18,84861578
32,12535592
47,26879463
0
1
2
3
3
3
3
3
17,09299667
30,72793173
46,07943965
62,96757030
Çizelge 4.5. ν=6 için enerji özdeğerleri ( V = r 6 )
n
0
1
2
3
l
0
0
0
0
E
4,326849443
14,54682535
27,25381521
44,75818443
n
0
1
2
3
l
2
2
2
2
E
13,35416490
28,07891971
45,55912124
65,47014246
0
1
2
3
1
1
1
1
8,465495989
21,26991616
37,24445052
55,87421472
0
1
2
3
3
3
3
3
18,90272628
35,34642227
54,24031465
75,37466613
40
4.3. Dalga fonksiyonu hesabı
Bu bölümde, enerjiye bağlı ε parametresinin değerleri ve l=0 için hesaplanan dalga
fonksiyonları ekte verildi. Ayrıca bulunan dalga fonksiyonlarının doğruluğu
ispatlandı.
Dalga fonksiyonları hesaplanırken, ilk önce Eş. 4.6’ da verilen f fonksiyonunda yer
alan − ∫ ( sn λn ) dx ifadesi hesaplandı. Bulunan sonuçlar EK–1, EK–2, EK–3, EK–4
ve EK–5’ te verildi. Verilen bu değerler sırasıyla, EK–6, EK–7, EK–8, EK–9 ve EK–
10’ da verilen hesapta kullanıldı ve hesap yapılırken Eş. 4.4 göz önüne alınarak dalga
fonksiyonları elde edildi.
41
5. SONUÇ
Bu tez çalışmasında, rν tipi potansiyel için radyal Schrödinger denkleminin enerji
özdeğerleri ve öz fonksiyonları asimptotik iterasyon metodu kullanarak elde edildi.
Asimptotik
iterasyon
y ′′ = λ0 ( x) y ′ + s o ( x) y
metodu,
şekline
radyal
Schrödinger
s n +1
dönüştürülerek,
λ n +1
=
sn
λn
denkleminin
= α ( x)
şartının
sağlatılmasına dayanır.
Bölüm 4’ de belirtildiği gibi radyal Schrödinger denklemi bazı dönüşümler yapılarak
Eş.
3.1
formuna
λ1 = λ0 ′ + s0 + λ0 2
dönüştürüldü
ve
ve
′
s1 = s 0 + s 0 λ0
λ0
ve
eşitlikleri
s0
ve
fonksiyonları
belirlendi.
δ ( z ) = λn +1sn − sn +1λn = 0
kuantumlanma şartı göz önüne alınarak elde edilen enerji özdeğerleri verildi.
Taban durumu için elde edilen yaklaşık sonuçlar, tam değerler (literatür) [21] ile
birlikte Çizelge 5.1’ de verildi ve sonuçların tam değerlerle uyumlu olduğu görüldü.
Çizelge 5.1. Enerji özdeğerleri ( V = rν , l=0 ve n=0 için)
ν
1
E
2,338107411
E(literatür)
2,33810
3
3,450562690
3,45056
4
3,799673030
3,79967
5
4,089159230
4,08916
6
4,326849443
4,33860
Taban durumları için EK-6, EK-7, EK-8, EK-9 ve EK-10’ da dalga fonksiyonları
verildi. Eş. 4.1’ de verilen Ψ dalga fonksiyonun r → 0 ve r → ∞ ’ da sıfır olma şartı
kullanılarak, verilen dalga fonksiyonlarının grafikleri incelendiğinde Φ dalga
fonksiyonunun da z → 0 ve z → ∞ ’ da sıfıra gittiği görülmüştür. Böylece
sonuçlarımızın doğruluğu ispatlanmıştır. ν = 4 için bulduğumuz dalga fonksiyonun
42
beklenen değeri 4,04935x10-6’ dır. Eş. 4.4’ ü kısaca H Φ = 0 şeklinde yazabiliriz. Bu
ifade göz önüne alınarak dalga fonksiyonun beklenen değerinin sıfıra gitmesi
beklenir ( Φ H Φ = 0 ). Şekil 5.1’ den de görüldüğü üzere dalga fonksiyonunun
beklenen değeri sıfırdır. ν = 4 için beklenen değerin grafiği şekil 5.1’ de verildi.
0.004
0.002
0.5
1
1.5
-0.002
-0.004
-0.006
Şekil 5.1. ν = 4 için beklenen değer
2
43
KAYNAKLAR
1. Ciftci, H., Hall, R. L, ve Saad, N., “Asymptotic iteration method for eigenvalue
problems”, J. Phys. A, 36:11807-11816(2003).
2. Ciftci, H., Hall, R. L, ve Saad, N., “Iterative solution to the Dirac equation”,
Physical Review A, 72:022101-022107(2005).
3. Ciftci, H., Hall, R. L, ve Saad, N., “Perturbation theory in a framework of
iteration methods ”, Physics Letters A, 340:388-396(2005).
4. Ciftci, H., Hall, R. L, ve Saad, N., “Construction of exact solutions to eigenvalue
problems by the asymptotic iteration methods ”, J. Phys. A, 38:1147–
1155(2005).
5. Ciftci, H., Hall, R. L, ve Saad, N., “Sextic anharmonic oscillators and orthogonal
polynomials”, J. Phys. A, 39:8477-8486(2006).
6. Ciftci, H., Hall, R. L, ve Saad, N., “Criterion for polynomial solutions to a class
of linear differential equation of second order”, J. Phys. A, 39:1344513454(2006).
7. Ciftci, H., Boztosun, I., ve Bayrak, O., “Exact analytical solutions to the Kratzer
Potential by the Asymptotic Iteration Method”, Int. J. Quant. Chem., 107:540544(2007).
8. Ciftci, H., Ateser, E., Ugurlu, M., “Study of Schrödinger equation with the linear
potential by the Asymptotic Iteration Method in 3D”, The Chinese Journal of
Physics, 45(3):346-351(2007).
9. Barakat, T., Abodayeh, K., ve Mukheimer, A., “The asymptotic iteration method
for the angular spheroidal eigenvalues”, J. Phys. A, 38:1299-1304(2005).
10. Barakat, T., Abodayeh, K., Abdallah, B., and. Al-Dossary, O.M., “The
asymptotic iteration method for the angular spheroidal eigenvalues with arbitrary
complex size parameter c”, Can. J. Phys., 84(2):121-129(2006).
11. Barakat, T., Abodayeh, K., “Exact solutions for vibrational levels of the Morse
potential via the asymptotic iteration method”, Czechoslovak Journal of Physics,
56:(6)-583-590(2006).
H
12. Barakat, T., “The asymptotic iteration method for the eigenenergies of the
anharmonic oscillator potential V(x)=Ax2α+Bx2”, Phys. Lett. A, 344(6):411-417
(2005).
44
13. Barakat, T., “The asymptotic iteration method for Dirac and Klein-Gordon
equations with a linear scalar potential”, International Journal of Modern
Physics A, 21(19-20):4127-4135(2006).
14. Fernandez, F. M., “Perturbation theory from an iteration method” , Phys. Lett. A,
346:381-383(2005).
15. Fernandez, F. M., “On an iteration method for eigenvalue problems” , J. Phys.
A, 37:6173-6180(2004).
16. Fernandez, F. M., Amore, P., “Comment on an application of the asymptotic
iteration method to a perturbed Coulomb model”, Journal of Physics A:
Mathematical and General, 39(33):10491-10497(2006).
H
17. Durmus, A., Yasuk, F., Boztosun, I., “Exact analytical solution of the Kleingordon equation for the pionic atom by asymptotic iteration method”
International Journal of Modern Physics E, 15 (6): 1243–1262(2006).
H
H
H
18. A. Soylu, O. Bayrak ve I. Boztosun, “The energy eigenvalues of the two
dimensional hydrogen atom in a magnetic field”, International Journal of
Modern Physics E, 15(6):1263-1275(2006)
H
19. Sous, A. J., “Exact Solutions for a Hamiltonian Potential with Two-Parameters
Using the Asymptotic Iteration Method”, Chin. J. Phys., 44:167-171(2006).
20. Karaoğlu,B.,“Yaklaşık yöntemler ve pertürbasyon teorisi”, Kuantum mekaniğine
giriş, Güven yayınları, İstanbul, 150-151(1998).
21. Imbo T., Pagnamenta A., Sukhatme U., “Energy eigenstates of spherically
symmetric potentials using the shifted 1\N expansion ”, Physical Review D,
29(8):1670-1672 (1984).
22. Çiftci, H., “Baryon özellikleri relativistik ve bağımsız kuark modeli çerçevesinde
incelenmesi”, Yüksek Lisans Tezi, Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü,
Ankara, 58-65 (1995).
23. Fernandez, F. M., ve Castro, E. A., “ Eigenvalues from the Riccati equation ”, J.
Phys. A Math. Gen., 20(16):5541-5545(1987).
24. Fernandez, F. M., Ma, Q., Tipping, R. H., “Tihgt upper and lower bounds for
energy eigenvalues of the schrödinger equation”, Phys. Rev. A, 39(4):16051608(1989).
25. Karaoğlu,B.,“Yaklaşık yöntemler ve pertürbasyon teorisi”, Kuantum mekaniğine
giriş, Güven yayınları, İstanbul, 137-142(1998).
45
26. Biswas, S.N., Data, K., Saxena, R.P., Srivastava, P.K., and Varma, V.S., “ The
hill determinant: An application to the anharmonic oscillator ”, Phys. Rev. D,
4(12):3617-3620(1971).
27. Hautod, A., “On the Hill-determinant Method”, Phys. Rev. D, 33(2):437443(1986).
28. Chaudhuri, R. N., ve Mondal, M., “Hill determinant method with a variotional
parameter”, Phys. Rev. A, 40(10):6080-6083(1989).
29. Özçelik, S., “Singuler (r=0) ve diğer kuvvet serisi şeklindeki potansiyeller için
Schrödinger denkleminin çözümleri”, Doktora tezi, Gazi Üniversitesi Fen
Bilimleri Enstitüsü, Ankara, 13-14 (1991).
46
EKLER
47
EK–1 ν=1 için − ∫ ( sn λn ) dx eşitliğinin hesabı
et= 3.711514163
l0= Simplify[2*(x^2-(l+1)/x)];
s0= Simplify[(2*l+4)*x-et*x^2];
l2= Simplify[D[l1,x]+s1+l0*l1];
s2= Simplify[D[s1,x]+s0*l1];
f1= Simplify[s2/l2];
f2= Simplify[s1*l2];
l1= Simplify[l2];
s1= Simplify[s2];
y= N[Integrate[-f1,x]]
Plot [y,{x,0,3}]
1.85576x− 1.25×10−10 HH−2.08174×106+ 626572. L Log@H−1.21677− 1.39205 L + xD −
H2.08174×106+ 626572. L Log@H−1.21677+ 1.39205 L + xD −
6
6
H731351.+ 1.85916×10 L Log@H−1.2099− 0.222712 L + xD −H731351.− 1.85916×10 L
6
Log@H−1.2099+ 0.222712 L +xD + H425326.− 1.98171×10 L Log@H−1.18471− 0.710075 L +xD +
H425326.+ 1.98171×106 L Log@H−1.18471+ 0.710075 L + xD +H4.46489 ×107− 6.07828×107 L
Log@H−0.762067− 1.35966 L +xD + H4.46489×107 +6.07828×107 L Log@H−0.762067+ 1.35966 L+ xD +
8
9
8
9
H4.57165×10 − 1.0193×10 L Log@H−0.15163 − 1.14441 L + xD+ H4.57165×10 + 1.0193×10 L
Log@H−0.15163+ 1.14441 L +xD + H2.28365×109 −1.56602×109 L Log@H0.333496− 0.998844 L +xD +
H2.28365×109+ 1.56602×109 L Log@H0.333496+ 0.998844 L + xD +
H3.46019×109+ 2.80809×107 L Log@H0.805297− 0.743934 L + xD +
9
7
H3.46019×10 − 2.80809×10 L Log@H0.805297+ 0.743934 L + xD +
9
H2.25217×10 + 1.64653×109 L Log@H1.24534− 0.307904 L + xD +
H2.25217×109− 1.64653×109 L Log@H1.24534+ 0.307904 L + xD +
2.50612×109Log@1.84198+ xD + 5.03005×108Log@2.4399+ xDL
2
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
48
EK–2 ν=3 − ∫ ( sn λn ) dx eşitliğinin hesabı
l=1/2
et=7.927311372
l0=Simplify[2*(x^4-(l+1)/x)];
s0=Simplify[(2*l+6)*x^3-et*x^2];
l2=Simplify[D[l1,x]+s1+l0*l1];
s2=Simplify[D[s1,x]+s0*l1];
f1=Simplify[s2/l2];
f2=Simplify[s1*l2];
l1=Simplify[l2];
s1=Simplify[s2];
y=N[Integrate[-f1,x]]
Plot[y,{x,0,3}]
−0.25 HH−0.00410067 − 0.00121999 L Log@H−1.37572 − 1.05955 L +xD −
H0.00410067− 0.00121999 L Log@H−1.37572 +1.05955 L + xD −
H0.125259+ 0.0140701 L Log@H−1.16444 −0.89677 L + xD −
H0.125259− 0.0140701 L Log@H−1.16444 +0.89677 L + xD +
H0.0505026− 0.0351937 L Log@H−0.987046 − 0.500528 L + xD +
H0.0505026+ 0.0351937 L Log@H−0.987046 + 0.500528 L + xD −
H0.00388956+ 0.00615322 L Log@H−0.972888 − 0.156933 L + xD −
H0.00388956− 0.00615322 L Log@H−0.972888 + 0.156933 L + xD +
H0.00864431+ 0.860143 L Log@H−0.911145 − 0.830326 L + xD +
H0.00864431− 0.860143 L Log@H−0.911145 + 0.830326 L + xD +
H0.863705+ 0.792564 L Log@H−0.510403 −0.84511 L + xD +
H0.863705− 0.792564 L Log@H−0.510403 +0.84511 L + xD +
H0.547556+ 0.690207 L Log@H−0.145224 −0.913617 L + xD +
H0.547556− 0.690207 L Log@H−0.145224 +0.913617 L + xD +
H0.339265+ 0.0883229 L Log@H0.212062 − 0.979225 L + xD +
H0.339265− 0.0883229 L Log@H0.212062 + 0.979225 L + xD +
H1.08055+ 0.950858 L Log@H0.435748 − 1.16901 L + xD +
H1.08055− 0.950858 L Log@H0.435748 + 1.16901 L + xD +
H0.124066+ 0.407458 L Log@H0.541078 − 1.45957 L + xD +
H0.124066− 0.407458 L Log@H0.541078 + 1.45957 L + xD +
H1.54886+ 0.0869606 L Log@H0.601394 − 0.71428 L + xD +
H1.54886− 0.0869606 L Log@H0.601394 + 0.71428 L + xD −
H0.000246859− 0.0183438 L Log@H0.618054 − 1.71057 L +xD −
H0.000246859+ 0.0183438 L Log@H0.618054 + 1.71057 L +xD +
H1.23603+ 0.590106 L Log@H0.825002 − 0.373844 L + xD +
H1.23603− 0.590106 L Log@H0.825002 + 0.373844 L + xD +
0.456055Log@0.968563+ xD + 1.68023Log@1.25206 + xD +
0.506819Log@1.59341+ xD + 0.025525Log@1.85301 + xDL
-3.75
-4
-4.25
-4.5
-4.75
0.5
1
1.5
2
2.5
3
49
EK–3 ν=4 için − ∫ ( sn λn ) dx eşitliğinin hesabı
l=1/2
et=9.574576066
l0=Simplify[2*(x^5-(l+1)/x)];
s0=Simplify[(2*l+7)*x^4-et*x^2];
l2=Simplify[D[l1,x]+s1+l0*l1];
s2=Simplify[D[s1,x]+s0*l1];
f1=Simplify[s2/l2];
f2=Simplify[s1*l2];
l1=Simplify[l2];
s1=Simplify[s2];
y=N[Integrate[-f1,x]]
Plot[y,{x,0,3}]
−0.25HH−0.00355252+ 0.00341067 L Log@H−1.43673− 0.865637 L +xD −
H0.00355252+ 0.00341067 L Log@H−1.43673+0.865637 L + xD − H0.0917821−0.147777 L Log@H−1.25511− 0.764915 L+ xD −
H0.0917821+ 0.147777 L Log@H−1.25511+0.764915 L + xD + H0.104929+0.973525 L Log@H−1.0576− 0.651079 L+ xD +
H0.104929− 0.973525 L Log@H−1.0576+0.651079 L + xD + H0.353888+0.173946 L Log@H−0.94318− 0.441149 L+ xD +
H0.353888− 0.173946 L Log@H−0.94318+0.441149 L + xD − H0.00244359+0.0329605 L Log@H−0.923555− 0.14363 L+ xD −
H0.00244359− 0.0329605 L Log@H−0.923555+0.14363 L + xD + H1.37737+0.471808 L Log@H−0.627634− 0.667528 L+ xD +
H1.37737− 0.471808 L Log@H−0.627634+0.667528 L + xD + H1.00196+0.68825 L Log@H−0.291571− 0.823247 L+ xD +
H1.00196− 0.68825 L Log@H−0.291571+0.823247 L + xD + H0.346164−1.58465× 10−15 L Log@H−1.40758×10−16− 1.52152 L + xD +
H0.346164+ 1.58465×10−15 L Log@H−1.40758×10−16+ 1.52152 L + xD+ H0.834331− 4.67792×10−17 L Log@H−1.50635× 10−17− 0.943305 L+ xD +
H0.834331+ 4.67792×10−17 L Log@H−1.50635×10−17+ 0.943305 L + xD+
H1.32523− 1.07248×10−16 L Log@H2.96834×10−17− 1.26291 L + xD + H1.32523+ 1.07248×10−16 L Log@H2.96834×10−17+ 1.26291 L + xD +
H0.0135324+ 3.17452×10
−15
L Log@H2.23954×10 − 1.72203 L + xD + H0.0135324− 3.17452×10
−16
−15
L Log@H2.23954×10 + 1.72203 L + xD +
H1.00196− 0.68825 L Log@H0.291571− 0.823247 L +xD + H1.00196+ 0.68825 L Log@H0.291571+ 0.823247 L + xD +
−16
H1.37737− 0.471808 L Log@H0.627634− 0.667528 L +xD + H1.37737+ 0.471808 L Log@H0.627634+ 0.667528 L + xD −
H0.00244359− 0.0329605 L Log@H0.923555− 0.14363 L +xD − H0.00244359+ 0.0329605 L Log@H0.923555+ 0.14363 L + xD +
H0.353888− 0.173946 L Log@H0.94318− 0.441149 L +xD + H0.353888+ 0.173946 L Log@H0.94318+ 0.441149 L + xD +
H0.104929− 0.973525 L Log@H1.0576− 0.651079 L +xD + H0.104929+ 0.973525 L Log@H1.0576+ 0.651079 L + xD −
H0.0917821+ 0.147777 L Log@H1.25511− 0.764915 L +xD − H0.0917821− 0.147777 L Log@H1.25511+ 0.764915 L + xD −
H0.00355252+ 0.00341067 L Log@H1.43673− 0.865637 L +xD − H0.00355252− 0.00341067 L Log@H1.43673+ 0.865637 L + xDL
-2
-2.5
-3
-3.5
0.5
-4.5
1
1.5
2
2.5
3
50
EK–4 ν=5 için − ∫ ( sn λn ) dx eşitliğinin hesabı
l=1/2
et=11.00720039
l0=Simplify[2*(x^6-(l+1)/x)];
s0=Simplify[(2*l+8)*x^5-et*x^2];
l2=Simplify[D[l1,x]+s1+l0*l1];
s2=Simplify[D[s1,x]+s0*l1];
f1=Simplify[s2/l2];
f2=Simplify[s1*l2];
l1=Simplify[l2];
s1=Simplify[s2];
y=N[Integrate[-f1,x]]
Plot[y,{x,0,3}]
−0.25 HH−0.000777795 + 0.00415785 L Log@H−1.4424 − 0.714744 L +xD −
H0.000777795+ 0.00415785 L Log@H−1.4424 +0.714744 L + xD + H0.00132671 +0.154562 L Log@H−1.29137− 0.645495 L+ xD +
H0.00132671− 0.154562 L Log@H−1.29137+0.645495 L + xD + H0.263069 +0.765828 L Log@H−1.12243 − 0.553777 L+ xD +
H0.263069− 0.765828 L Log@H−1.12243 +0.553777 L + xD + H0.459828 +0.573985 L Log@H−0.942215 − 0.38612 L+ xD +
H0.459828− 0.573985 L Log@H−0.942215 +0.38612 L + xD + H0.0349739 −0.0665949 L Log@H−0.888652 − 0.132305 L+ xD +
H0.0349739+ 0.0665949 L Log@H−0.888652 +0.132305 L + xD + H1.49148 +0.0788918 L Log@H−0.678909 − 0.546104 L+ xD +
H1.49148− 0.0788918 L Log@H−0.678909 +0.546104 L + xD + H1.28371 +0.488025 L Log@H−0.387453 − 0.758072 L+ xD +
H1.28371− 0.488025 L Log@H−0.387453 +0.758072 L + xD + H0.00469309 −0.00542209 L Log@H−0.373986 − 1.58031 L+ xD +
H0.00469309+ 0.00542209 L Log@H−0.373986 +1.58031 L + xD + H0.170245 −0.150819 L Log@H−0.339952 − 1.42057 L+ xD +
H0.170245+ 0.150819 L Log@H−0.339952 +1.42057 L + xD + H0.854157 −0.557613 L Log@H−0.286634 − 1.22487 L+ xD +
H0.854157+ 0.557613 L Log@H−0.286634 +1.22487 L + xD + H0.972797 −0.451413 L Log@H−0.174607 − 0.956143 L+ xD +
H0.972797+ 0.451413 L Log@H−0.174607 +0.956143 L + xD + H0.248611 −0.485242 L Log@H0.0654863 − 0.863608 L + xD+
H0.248611+ 0.485242 L Log@H0.0654863 + 0.863608 L +xD + H0.4003 − 0.670364 L Log@H0.363508− 0.841321 L + xD +
H0.4003+ 0.670364 L Log@H0.363508 + 0.841321 L +xD + H0.0863314 + 0.198141 L Log@H0.638805− 0.858347 L + xD +
H0.0863314− 0.198141 L Log@H0.638805 + 0.858347 L +xD + H1.1311 + 0.657857 L Log@H0.708767− 0.554607 L + xD +
H1.1311− 0.657857 L Log@H0.708767 + 0.554607 L +xD − H0.376154 − 0.44767 L Log@H0.780282− 0.960068 L + xD −
H0.376154+ 0.44767 L Log@H0.780282 + 0.960068 L +xD + H0.766021 + 0.710584 L Log@H0.817296− 0.232238 L + xD +
H0.766021− 0.710584 L Log@H0.817296+ 0.232238 L +xD − H0.0573439 − 0.0352374 L Log@H0.897723− 1.10957 L + xD −
H0.0573439+ 0.0352374 L Log@H0.897723 + 1.10957 L +xD + 1.17435Log@0.953362 + xD−
H0.00144784− 0.000692738 L Log@H1.00171 − 1.24152 L +xD − H0.00144784 + 0.000692738 L Log@H1.00171+ 1.24152 L + xD +
1.09887Log@1.26027+ xD + 0.252557Log@1.46706+xD + 0.00837731Log@1.62937+ xDL
-2
-3
-4
0.5
1
1.5
2
2.5
3
51
EK–5 ν=6 için − ∫ ( sn λn ) dx eşitliğinin hesabı
l=1/2
et=12.23817833
l0=Simplify[2*(x^7-(l+1)/x)];
s0=Simplify[(2*l+9)*x^6-et*x^2];
l2=Simplify[D[l1,x]+s1+l0*l1];
s2=Simplify[D[s1,x]+s0*l1];
f1=Simplify[s2/l2];
f2=Simplify[s1*l2];
l1=Simplify[l2];
s1=Simplify[s2];
y=N[Integrate[-f1,x]]
Plot[y,{x,0,3}]
−0.25 HH0.000763307+ 0.00340669 L Log@H−1.42797− 0.603088 L + xD +H0.000763307 − 0.00340669 L Log@H−1.42797+0.603088 L + xD +
H0.0468368+ 0.124132 L Log@H−1.29992−0.552344 L + xD + H0.0468368−0.124132 L Log@H−1.29992+ 0.552344 L+ xD +
H0.376739+ 0.599897 L Log@H−1.15211−0.482773 L + xD + H0.376739 −0.599897 L Log@H−1.15211+ 0.482773 L+ xD +
H0.573067+ 0.78539 L Log@H−0.96154−0.349603 L + xD + H0.573067−0.78539 L Log@H−0.96154+ 0.349603 L+ xD +
H0.10736− 0.0563975 L Log@H−0.863763 −0.120265 L + xD + H0.10736 +0.0563975 L Log@H−0.863763+ 0.120265 L+ xD +
H1.39523− 0.210133 L Log@H−0.704024−0.460256 L + xD + H1.39523+0.210133 L Log@H−0.704024+ 0.460256 L+ xD +
H0.000763307− 0.00340669 L Log@H−0.603088 −1.42797 L + xD + H0.000763307 +0.00340669 L Log@H−0.603088+ 1.42797 L+ xD +
H0.0468368− 0.124132 L Log@H−0.552344 −1.29992 L + xD + H0.0468368+0.124132 L Log@H−0.552344+ 1.29992 L+ xD +
H0.376739− 0.599897 L Log@H−0.482773 −1.15211 L + xD + H0.376739 +0.599897 L Log@H−0.482773 + 1.15211 L+ xD +
H1.39523+ 0.210133 L Log@H−0.460256−0.704024 L + xD + H1.39523−0.210133 L Log@H−0.460256+ 0.704024 L+ xD +
H0.573067− 0.78539 L Log@H−0.349603−0.96154 L + xD + H0.573067+0.78539 L Log@H−0.349603+ 0.96154 L+ xD +
H0.10736+ 0.0563975 L Log@H−0.120265 −0.863763 L + xD + H0.10736 −0.0563975 L Log@H−0.120265+ 0.863763 L+ xD +
H0.10736− 0.0563975 L Log@H0.120265 − 0.863763 L +xD + H0.10736+ 0.0563975 L Log@H0.120265+ 0.863763 L + xD +
H0.573067+ 0.78539 L Log@H0.349603 − 0.96154 L +xD + H0.573067 − 0.78539 L Log@H0.349603+ 0.96154 L + xD +
H1.39523− 0.210133 L Log@H0.460256 − 0.704024 L +xD + H1.39523 + 0.210133 L Log@H0.460256+ 0.704024 L + xD +
H0.376739+ 0.599897 L Log@H0.482773 − 1.15211 L +xD + H0.376739− 0.599897 L Log@H0.482773+ 1.15211 L + xD +
H0.0468368+ 0.124132 L Log@H0.552344− 1.29992 L +xD + H0.0468368 − 0.124132 L Log@H0.552344+ 1.29992 L + xD +
H0.000763307+ 0.00340669 L Log@H0.603088− 1.42797 L +xD + H0.000763307− 0.00340669 L Log@H0.603088+ 1.42797 L + xD +
H1.39523+ 0.210133 L Log@H0.704024 − 0.460256 L +xD + H1.39523 − 0.210133 L Log@H0.704024+ 0.460256 L + xD +
H0.10736+ 0.0563975 L Log@H0.863763 − 0.120265 L +xD + H0.10736− 0.0563975 L Log@H0.863763+ 0.120265 L + xD +
H0.573067− 0.78539 L Log@H0.96154− 0.349603 L +xD + H0.573067 + 0.78539 L Log@H0.96154+ 0.349603 L + xD +
H0.376739− 0.599897 L Log@H1.15211 − 0.482773 L +xD + H0.376739+ 0.599897 L Log@H1.15211+ 0.482773 L + xD +
H0.0468368− 0.124132 L Log@H1.29992 − 0.552344 L +xD + H0.0468368 + 0.124132 L Log@H1.29992+ 0.552344 L + xD +
H0.000763307− 0.00340669 L Log@H1.42797 − 0.603088 L +xD + H0.000763307+ 0.00340669 L Log@H1.42797+ 0.603088 L + xDL
0.5
-1
-2
-3
-4
-5
1
1.5
2
2.5
3
52
EK–6 ν=1 için dalga fonksiyonu
et= 3.711514163
z= 1.8557570815`x− H0.057145585483099344`− 0.12741298725733924` L
Log@H−0.15162958557454292`− 1.1444124478410338` L +xD −
H0.057145585483099344`+ 0.12741298725733924` L
Log@H−0.15162958557454292`+ 1.1444124478410338` L +xD −
H0.28545657830516746`− 0.19575292782858125` L
Log@H0.3334962012479348`− 0.9988441624641675` L + xD −
H0.28545657830516746`+ 0.19575292782858125` L
Log@H0.3334962012479348`+ 0.9988441624641675` L + xD −
H0.43252334561820643`+ 0.0035101140676459665` L
Log@H0.805297312742078`− 0.7439342835937698` L + xD −
H0.43252334561820643`− 0.0035101140676459665` L
Log@H0.805297312742078`+ 0.7439342835937698` L + xD −
H0.28152133804818913`+ 0.20581623212572825` L
Log@H1.2453413954034096`− 0.3079035465638943` L + xD −
H0.28152133804818913`− 0.20581623212572825` L
Log@H1.2453413954034096`+ 0.3079035465638943` L + xD −
0.31326537527972986`Log@1.8419809886448086`+ xD −
0.0628756397971381`Log@2.4399032718584706`+ xD
z1= Hx^H3ê 2LL∗ Exp@zD∗ Exp@−H1ê3L∗x^3D
d= −D@D@z1,xD, xD+ HH3êH4∗x^2LL + x^4−et∗x^2L ∗z1
t1= NIntegrate@d∗z1, 8x,0,Infinity<D
Plot@z1, 8x,0,5<D
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
2
3
4
Şekil 6.1. ν=1 için dalga fonksiyonu
5
53
EK–7 ν=3 için dalga fonksiyonu
et= 3.711514163
z=
−0.25`HH−0.004100667864519675`− 0.0012199899312150013` L Log@H−1.3757188877269484`− 1.0595493970580467` L +xD −
H0.004100667864519675`− 0.0012199899312150013` L Log@H−1.3757188877269484`+1.0595493970580467` L + xD −
H0.12525850406220088`+ 0.014070078682456143` L Log@H−1.164437092755004`−0.8967704726768465` L + xD −
H0.12525850406220088`− 0.014070078682456143` L Log@H−1.164437092755004`+0.8967704726768465` L + xD +
H0.05050263359214958`− 0.0351937164404166` L Log@H−0.9870461547524002`−0.5005276458968849` L + xD +
H0.05050263359214958`+ 0.0351937164404166` L Log@H−0.9870461547524002`+0.5005276458968849` L + xD −
H0.003889562331650452`+ 0.006153220183953496` L Log@H−0.972888036323778`−0.15693251911125522` L + xD −
H0.003889562331650452`− 0.006153220183953496` L Log@H−0.972888036323778`+0.15693251911125522` L + xD +
H0.008644314246838258`+ 0.8601428294378937` L Log@H−0.9111447125112302`−0.8303261401231086` L + xD +
H0.008644314246838258`− 0.8601428294378937` L Log@H−0.9111447125112302`+0.8303261401231086` L + xD +
H0.8637049072001745`+ 0.7925637178794247` L Log@H−0.5104028659164077`−0.845110146228047` L + xD +
H0.8637049072001745`− 0.7925637178794247` L Log@H−0.5104028659164077`+0.845110146228047` L + xD +
H0.5475555801354796`+ 0.6902071721329286` L Log@H−0.14522397900857276`−0.9136168635265336` L + xD +
H0.5475555801354796`− 0.6902071721329286` L Log@H−0.14522397900857276`+0.9136168635265336` L + xD +
H0.33926530491396467`+ 0.0883228652373624` L Log@H0.21206153927765573`− 0.9792252774357574` L +xD +
H0.33926530491396467`− 0.0883228652373624` L Log@H0.21206153927765573`+ 0.9792252774357574` L +xD +
H1.0805468261178706`+ 0.9508580531031605` L Log@H0.43574799190502256`− 1.1690139802013206` L +xD +
H1.0805468261178706`− 0.9508580531031605` L Log@H0.43574799190502256`+ 1.1690139802013206` L +xD +
H0.1240658553114321`+ 0.4074582016983144` L Log@H0.541077519937618`− 1.4595732158375474` L +xD +
H0.1240658553114321`− 0.4074582016983144` L Log@H0.541077519937618`+ 1.4595732158375474` L +xD +
H1.5488605086193432`+ 0.08696059391737933` L Log@H0.6013937319220273`− 0.7142803935235622` L +xD +
H1.5488605086193432`− 0.08696059391737933` L Log@H0.6013937319220273`+ 0.7142803935235622` L +xD −
H0.0002468589904815388`− 0.018343837015313735` L Log@H0.6180538719284807`− 1.7105682172774272` L +xD −
H0.0002468589904815388`+ 0.018343837015313735` L Log@H0.6180538719284807`+ 1.7105682172774272` L +xD +
H1.2360325089131545`+ 0.5901063104726442` L Log@H0.8250016130519501`− 0.373843866044909` L +xD +
H1.2360325089131545`− 0.5901063104726442` L Log@H0.8250016130519501`+ 0.373843866044909` L +xD +
0.45605524692641736`Log@0.9685625549201226`+ xD + 1.6802347751816982`Log@1.2520609746661302`+xD +
0.506819292614182`Log@1.5934144565985768`+ xD + 0.025524993675865547`Log@1.8530129357583438`+xDL
z1= Hx^H3ê 2LL∗ Exp@zD∗ Exp@−H1ê5L∗x^5D
d= −D@D@z1,xD, xD+ HH3êH4∗x^2LL + x^8−et∗x^2L ∗z1
t1= NIntegrate@d∗z1, 8x,0,Infinity<D
t2= NIntegrate@z1^2, 8x, 0,Infinity<D
Plot@z1, 8x,0,2<D
j= t1êt2
0.015
0.01
0.005
0.5
1
1.5
Şekil 7.1. ν=3 için dalga fonksiyonu
2
54
EK–8 ν=4 için dalga fonksiyonu
et= 9.574576066
z=
−0.25`HH−0.0035525157951182525`+ 0.0034106673725120985` L Log@H−1.436733818041604`− 0.8656369175660619` L +xD −
H0.0035525157951182525`+ 0.0034106673725120985` L Log@H−1.436733818041604`+0.8656369175660619` L + xD −
H0.09178211513148818`− 0.14777657042210326` L Log@H−1.2551057836924082`−0.7649153233081528` L + xD −
H0.09178211513148818`+ 0.14777657042210326` L Log@H−1.2551057836924082`+0.7649153233081528` L + xD +
H0.10492882194944742`+ 0.9735253384843143` L Log@H−1.0575982364902758`−0.6510789290027037` L + xD +
H0.10492882194944742`− 0.9735253384843143` L Log@H−1.0575982364902758`+0.6510789290027037` L + xD +
H0.3538876439026597`+ 0.1739457401506406` L Log@H−0.943180449376331`−0.4411486867881231` L + xD +
H0.3538876439026597`− 0.1739457401506406` L Log@H−0.943180449376331`+0.4411486867881231` L + xD −
H0.0024435865287601444`+ 0.032960500071366465` L Log@H−0.9235549999957323`−0.14362951106921154` L + xD −
H0.0024435865287601444`− 0.032960500071366465` L Log@H−0.9235549999957323`+0.14362951106921154` L + xD +
H1.3773731080286564`+ 0.4718080774454457` L Log@H−0.6276343492074132`−0.6675282973087534` L + xD +
H1.3773731080286564`− 0.4718080774454457` L Log@H−0.6276343492074132`+0.6675282973087534` L + xD +
H1.001961377328458`+ 0.688250079286823` L Log@H−0.2915709919499243`−0.823246506698543` L + xD +
H1.001961377328458`− 0.688250079286823` L Log@H−0.2915709919499243`+0.823246506698543` L + xD +
H0.34616408364648504`− 1.5846460500006454`*^-15 L Log@H−1.4075845886789036`*^-16−1.521516220020583` L + xD +
H0.34616408364648504`+ 1.5846460500006454`*^-15 L Log@H−1.4075845886789036`*^-16+1.521516220020583` L + xD +
H0.8343308285051154`− 4.6779232066175395`*^-17 L Log@H−1.506353174854557`*^-17−0.9433045450277849` L + xD +
H0.8343308285051154`+ 4.6779232066175395`*^-17 L Log@H−1.506353174854557`*^-17+0.9433045450277849` L + xD +
H1.3252272306825097`− 1.0724797067216633`*^-16 L Log@H2.968340892085672`*^-17− 1.2629144470593752` L +xD +
H1.3252272306825097`+ 1.0724797067216633`*^-16 L Log@H2.968340892085672`*^-17+ 1.2629144470593752` L +xD +
H0.013532389658371962`+ 3.1745161065527856`*^-15 L Log@H2.239543367423978`*^-16− 1.7220333433127974` L +xD +
H0.013532389658371962`− 3.1745161065527856`*^-15 L Log@H2.239543367423978`*^-16+ 1.7220333433127974` L +xD +
H1.001961377328458`− 0.688250079286823` L Log@H0.2915709919499243`− 0.823246506698543` L +xD +
H1.001961377328458`+ 0.688250079286823` L Log@H0.2915709919499243`+ 0.823246506698543` L +xD +
H1.3773731080286604`− 0.4718080774455003` L Log@H0.6276343492074213`− 0.6675282973087479` L +xD +
H1.3773731080286604`+ 0.4718080774455003` L Log@H0.6276343492074213`+ 0.6675282973087479` L +xD −
H0.002443586530622188`− 0.03296050006754877` L Log@H0.9235549999956866`− 0.1436295110706176` L +xD −
H0.002443586530622188`+ 0.03296050006754877` L Log@H0.9235549999956866`+ 0.1436295110706176` L +xD +
H0.35388764390163474`− 0.17394574014996175` L Log@H0.943180449376648`− 0.44114868678729274` L +xD +
H0.35388764390163474`+ 0.17394574014996175` L Log@H0.943180449376648`+ 0.44114868678729274` L +xD +
H0.10492882195110692`− 0.9735253384888578` L Log@H1.0575982364899073`− 0.6510789290028628` L +xD +
H0.10492882195110692`+ 0.9735253384888578` L Log@H1.0575982364899073`+ 0.6510789290028628` L +xD −
H0.09178211513050674`+ 0.1477765704228494` L Log@H1.2551057836924797`− 0.7649153233082342` L +xD −
H0.09178211513050674`− 0.1477765704228494` L Log@H1.2551057836924797`+ 0.7649153233082342` L +xD −
H0.0035525157949691873`+ 0.0034106673724031184` L Log@H1.4367338180416216`− 0.8656369175660503` L +xD −
H0.0035525157949691873`− 0.0034106673724031184` L Log@H1.4367338180416216`+ 0.8656369175660503` L +xDL
z1= Hx^H3ê 2LL∗ Exp@zD∗ Exp@−H1ê6L∗x^6D
d= −D@D@z1,xD, xD+ HH3êH4∗x^2LL + x^10−et∗x^2L ∗z1
t1= NIntegrate@d∗z1, 8x,0,Infinity<D
Plot@z1, 8x,0,2<D
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0.5
1
1.5
Şekil 8.1. ν=4 için dalga fonksiyonu
2
55
EK–9 ν=5 için dalga fonksiyonu
et= 11.00720039
z=
−0.25`HH−0.0007777949507723125`+ 0.004157845079223256` L Log@H−1.4423991375866791`− 0.7147435407674458` L +xD −
H0.0007777949507723125`+ 0.004157845079223256` L Log@H−1.4423991375866791`+0.7147435407674458` L + xD +
H0.0013267073036536195`+ 0.15456202195411115` L Log@H−1.291373292350552`−0.6454946527143347` L + xD +
H0.0013267073036536195`− 0.15456202195411115` L Log@H−1.291373292350552`+0.6454946527143347` L + xD +
H0.26306920514421134`+ 0.7658280038392854` L Log@H−1.1224327265544922`−0.5537771945064017` L + xD +
H0.26306920514421134`− 0.7658280038392854` L Log@H−1.1224327265544922`+0.5537771945064017` L + xD +
H0.45982815138084565`+ 0.5739849502075898` L Log@H−0.9422147303405611`−0.38611995215038153` L + xD +
H0.45982815138084565`− 0.5739849502075898` L Log@H−0.9422147303405611`+0.38611995215038153` L + xD +
H0.03497394773374896`− 0.06659491923820823` L Log@H−0.8886515492363058`−0.1323045073173917` L + xD +
H0.03497394773374896`+ 0.06659491923820823` L Log@H−0.8886515492363058`+0.1323045073173917` L + xD +
H1.4914842888345712`+ 0.07889176995599159` L Log@H−0.678908510854872`−0.5461035430906244` L + xD +
H1.4914842888345712`− 0.07889176995599159` L Log@H−0.678908510854872`+0.5461035430906244` L + xD +
H1.2837109069727748`+ 0.48802536586000494` L Log@H−0.3874533493559416`−0.7580724560941998` L + xD +
H1.2837109069727748`− 0.48802536586000494` L Log@H−0.3874533493559416`+0.7580724560941998` L + xD +
H0.0046930868263778385`− 0.005422087415049495` L Log@H−0.37398593783149114`−1.580311053084155` L + xD +
H0.0046930868263778385`+ 0.005422087415049495` L Log@H−0.37398593783149114`+1.580311053084155` L + xD +
H0.17024468089594916`− 0.15081862243604327` L Log@H−0.3399522299049532`−1.4205660629740486` L + xD +
H0.17024468089594916`+ 0.15081862243604327` L Log@H−0.3399522299049532`+1.4205660629740486` L + xD +
H0.8541572590443985`− 0.5576134829019566` L Log@H−0.28663367345630825`−1.2248690272954523` L + xD +
H0.8541572590443985`+ 0.5576134829019566` L Log@H−0.28663367345630825`+1.2248690272954523` L + xD +
H0.9727973206403542`− 0.45141311180245436` L Log@H−0.17460747961350478`−0.9561428541810304` L + xD +
H0.9727973206403542`+ 0.45141311180245436` L Log@H−0.17460747961350478`+0.9561428541810304` L + xD +
H0.24861062072149967`− 0.48524249602916886` L Log@H0.06548633166221528`− 0.8636079901971067` L +xD +
H0.24861062072149967`+ 0.48524249602916886` L Log@H0.06548633166221528`+ 0.8636079901971067` L +xD +
H0.4002996102240232`− 0.670363502723936` L Log@H0.3635080012746633`− 0.8413210635987793` L +xD +
H0.4002996102240232`+ 0.670363502723936` L Log@H0.3635080012746633`+ 0.8413210635987793` L +xD +
H0.08633139760442098`+ 0.19814086618693735` L Log@H0.6388054868094748`− 0.8583469133735148` L +xD +
H0.08633139760442098`− 0.19814086618693735` L Log@H0.6388054868094748`+ 0.8583469133735148` L +xD +
H1.1310954224428214`+ 0.6578571959104688` L Log@H0.708766690312781`− 0.554607472051493` L +xD +
H1.1310954224428214`− 0.6578571959104688` L Log@H0.708766690312781`+ 0.554607472051493` L +xD −
H0.3761538350642641`− 0.4476700132077547` L Log@H0.7802816438370156`− 0.9600680118593528` L +xD −
H0.3761538350642641`+ 0.4476700132077547` L Log@H0.7802816438370156`+ 0.9600680118593528` L +xD +
H0.7660213838381882`+ 0.7105841035177459` L Log@H0.8172955341496814`− 0.23223762616668442` L +xD +
H0.7660213838381882`− 0.7105841035177459` L Log@H0.8172955341496814`+ 0.23223762616668442` L +xD −
H0.05734385177693859`− 0.035237422635439615` L Log@H0.8977228406707556`− 1.109567003390497` L +xD −
H0.05734385177693859`+ 0.035237422635439615` L Log@H0.8977228406707556`+ 1.109567003390497` L +xD +
1.1743524512837609`Log@0.9533615888966331`+ xD −
H0.001447840361131501`− 0.0006927384846587252` L Log@H1.0017144631818484`− 1.2415166841806982` L +xD −
H0.001447840361131501`+ 0.0006927384846587252` L Log@H1.0017144631818484`+ 1.2415166841806982` L +xD +
1.0988714757788534`Log@1.2602741358248932`+ xD + 0.2525574307453974`Log@1.4670595328819445`+xD +
0.008377306700847223`Log@1.6293679927709812`+ xDL
z1= Hx^H3ê 2LL∗ Exp@zD∗ Exp@−H1ê7L∗x^7D
d= −D@D@z1,xD, xD+ HH3êH4∗x^2LL + x^12−et∗x^2L ∗z1
t1= NIntegrate@d∗z1, 8x,0,Infinity<D
Plot@z1, 8x,0,2<D
56
EK–9 (Devam) ν=5 için dalga fonksiyonu
0.15
0.1
0.05
0.5
1
1.5
Şekil 9.1. ν=5 için dalga fonksiyonu
2
57
EK–10 ν=6 için dalga fonksiyonu
et= 12.23817833
z=
−0.25`HH0.0007633072637153197`+ 0.003406691780707641` L Log@H−1.4279686984466025`− 0.603087690494917` L + xD +
H0.0007633072637153197`− 0.003406691780707641` L Log@H−1.4279686984466025`+0.603087690494917` L + xD +
H0.04683675135694644`+ 0.12413230465194593` L Log@H−1.2999185275708849`−0.5523444178001484` L + xD +
H0.04683675135694644`− 0.12413230465194593` L Log@H−1.2999185275708849`+0.5523444178001484` L + xD +
H0.3767385245344496`+ 0.5998972659339616` L Log@H−1.1521077452691806`−0.48277284593032127` L + xD +
H0.3767385245344496`− 0.5998972659339616` L Log@H−1.1521077452691806`+0.48277284593032127` L + xD +
H0.5730667213635819`+ 0.7853898266868811` L Log@H−0.9615403169646187`−0.3496029084665224` L + xD +
H0.5730667213635819`− 0.7853898266868811` L Log@H−0.9615403169646187`+0.3496029084665224` L + xD +
H0.10736003802636987`− 0.05639751335850396` L Log@H−0.8637629744088174`−0.12026488755845402` L + xD +
H0.10736003802636987`+ 0.05639751335850396` L Log@H−0.8637629744088174`+0.12026488755845402` L + xD +
H1.3952346574770875`− 0.21013253969183318` L Log@H−0.7040236502931848`−0.46025582332329873` L + xD +
H1.3952346574770875`+ 0.21013253969183318` L Log@H−0.7040236502931848`+0.46025582332329873` L + xD +
H0.0007633072639667386`− 0.0034066917800984406` L Log@H−0.6030876904948771`−1.4279686984466273` L + xD +
H0.0007633072639667386`+ 0.0034066917800984406` L Log@H−0.6030876904948771`+1.4279686984466273` L + xD +
H0.04683675135779369`− 0.12413230465428424` L Log@H−0.5523444178003158`−1.2999185275708962` L + xD +
H0.04683675135779369`+ 0.12413230465428424` L Log@H−0.5523444178003158`+1.2999185275708962` L + xD +
H0.3767385245318784`− 0.5998972659380278` L Log@H−0.48277284593024516`−1.1521077452687802` L + xD +
H0.3767385245318784`+ 0.5998972659380278` L Log@H−0.48277284593024516`+1.1521077452687802` L + xD +
H1.3952346574780654`+ 0.2101325396914783` L Log@H−0.46025582332312764`−0.7040236502932614` L + xD +
H1.3952346574780654`− 0.2101325396914783` L Log@H−0.46025582332312764`+0.7040236502932614` L + xD +
H0.573066721346583`− 0.7853898266823326` L Log@H−0.3496029084651984`−0.9615403169652034` L + xD +
H0.573066721346583`+ 0.7853898266823326` L Log@H−0.3496029084651984`+0.9615403169652034` L + xD +
H0.10736003802180627`+ 0.05639751334766653` L Log@H−0.12026488756227945`−0.8637629744085235` L + xD +
H0.10736003802180627`− 0.05639751334766653` L Log@H−0.12026488756227945`+0.8637629744085235` L + xD +
H0.10736003802180538`− 0.056397513347667766` L Log@H0.12026488756227921`− 0.8637629744085231` L +xD +
H0.10736003802180538`+ 0.056397513347667766` L Log@H0.12026488756227921`+ 0.8637629744085231` L +xD +
H0.5730667213465599`+ 0.7853898266822891` L Log@H0.34960290846519704`− 0.9615403169652073` L +xD +
H0.5730667213465599`− 0.7853898266822891` L Log@H0.34960290846519704`+ 0.9615403169652073` L +xD +
H1.3952346574779586`− 0.2101325396916196` L Log@H0.4602558233231451`− 0.7040236502932347` L +xD +
H1.3952346574779586`+ 0.2101325396916196` L Log@H0.4602558233231451`+ 0.7040236502932347` L +xD +
H0.3767385245319022`+ 0.5998972659379802` L Log@H0.48277284593024583`− 1.1521077452687853` L +xD +
H0.3767385245319022`− 0.5998972659379802` L Log@H0.48277284593024583`+ 1.1521077452687853` L +xD +
H0.04683675135778867`+ 0.1241323046542627` L Log@H0.5523444178003146`− 1.2999185275708967` L +xD +
H0.04683675135778867`− 0.1241323046542627` L Log@H0.5523444178003146`+ 1.2999185275708967` L +xD +
H0.0007633072639751753`+ 0.0034066917801144152` L Log@H0.6030876904948785`− 1.4279686984466275` L +xD +
H0.0007633072639751753`− 0.0034066917801144152` L Log@H0.6030876904948785`+ 1.4279686984466275` L +xD +
H1.3952346574779597`+ 0.21013253969161858` L Log@H0.7040236502932348`− 0.46025582332314485` L +xD +
H1.3952346574779597`− 0.21013253969161858` L Log@H0.7040236502932348`+ 0.46025582332314485` L +xD +
H0.10736003802180122`+ 0.05639751334768913` L Log@H0.8637629744085197`− 0.1202648875622731` L +xD +
H0.10736003802180122`− 0.05639751334768913` L Log@H0.8637629744085197`+ 0.1202648875622731` L +xD +
H0.5730667213465483`− 0.7853898266822726` L Log@H0.9615403169652087`− 0.3496029084651963` L +xD +
H0.5730667213465483`+ 0.7853898266822726` L Log@H0.9615403169652087`+ 0.3496029084651963` L +xD +
H0.3767385245319085`− 0.5998972659379908` L Log@H1.1521077452687845`− 0.48277284593024666` L +xD +
H0.3767385245319085`+ 0.5998972659379908` L Log@H1.1521077452687845`+ 0.48277284593024666` L +xD +
H0.0468367513578101`− 0.1241323046542508` L Log@H1.2999185275708978`− 0.5523444178003143` L +xD +
H0.0468367513578101`+ 0.1241323046542508` L Log@H1.2999185275708978`+ 0.5523444178003143` L +xD +
H0.0007633072639736639`− 0.003406691780118527` L Log@H1.427968698446627`− 0.6030876904948786` L +xD +
H0.0007633072639736639`+ 0.003406691780118527` L Log@H1.427968698446627`+ 0.6030876904948786` L +xDL
z1= Hx^H3ê 2LL∗ Exp@zD∗ Exp@−H1ê8L∗x^8D
d= −D@D@z1,xD, xD+ HH3êH4∗x^2LL + x^14−et∗x^2L ∗z1
t1= NIntegrate@d∗z1, 8x,0,Infinity<D
Plot@z1, 8x,0,2<D
58
EK–10 (Devam) ν=6 için dalga fonksiyonu
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0.5
1
1.5
Şekil 10.1. ν=6 için dalga fonksiyonu
2
59
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Soyadı, adı
: USLU, Habibe
Uyruğu
: T.C.
Doğum tarihi ve yeri : 13.06.1983 Ankara
Medeni hali
: Bekâr
Telefon
: 0505 401 34 16
e-mail
: habibeuslu@mynet.com
H
Eğitim
Derece
Eğitim Birimi
Yüksek lisans
Gazi Üniversitesi / Fizik
2008
Lisans
Gazi Üniversitesi / Fizik
2004
Lise
Hafsa Sultan Lisesi
2000
Yabancı Dil
İngilizce
Mezuniyet Tarihi