1.6 Tümden Metriklesebilir Topolojik Uzaylar

1.6. Tümden Metrikleşebilir Topolojik Uzaylar
1.6
23
Tümden Metrikleşebilir Topolojik Uzaylar
X = (−1, 1) üzerindeki Euclidean metrik d olmak üzere, d tarafından üretilen
topoloji τd olsun. ”τd topolojisi bir tam metrik tarafından üretilen topoloji
midir?” sorusunun yanıtı evettir. Gerçekten, X üzerinde,
p(x, y) = |arctanx − arctany|
eşitliği ile tanımlanan metrik tamdır ve τd topolojisini üretir. Bu gözlem sonucu
aşağıdaki tanım anlamlıdır.
Tanım 1.11. Topolojisi tam metrik tarafından üretilebilen topolojik uzaya
tümden metrikleşebilir uzay denir.
Aşağıdaki teoremin bir sonucu olarak tam metrik uzayın altuzayların tam
metrikleşebilir olması için gerekli ve yeterli koşulu belirleyebiliriz.
Teorem 1.17. (Lavrentieff Teorem) X ve Y tam metrik uzaylar, A ⊂ X ve
B ⊂ Y olmak üzere f : A → B bir homeomorfizma olsun. u∗ : A∗ → B ∗
homeomorfizma, A ⊂ A∗ ⊂ X, B ⊂ B ∗ ⊂ Y özelliğinde Gδ -kümeler A∗ ve B ∗
vardır.
Kanıt: Öncelikle not edelim:K bir topolojik uzay, T , K’de bir Gδ -küme ve
M , T ’de bir Gδ -küme ise, M , T ’de bir Gδ -kümedir. Ayrıca bir metrik uzayın
kapalı alt kümesi Gδ kümedir.
Yukarıdaki gözlem nedeniyle A = X ve B = Y olduğunu varsayabiliriz.
Teorem ??? gereği,
A ⊂ A1 ⊂ X ve B ⊂ B1 ⊂ Y
kümeleri sırasıyla X ve Y ’de Gδ -kümeler olmak üzere, f ’nin sürekli genişlemesi
f ∗ : A1 → X ve g = f −1 ’nin sürekli genişlemesi g ∗ : B1 → X vardır.
A∗ = {x ∈ A1 : f ∗ (x) ∈ B1 }
ve
B ∗ = {y ∈ B1 : g ∗ (y) ∈ A1 }
kümeleri, sırasıyla X ve Y ’de Gδ -kümelerdir. Ayrıca A ⊂ A∗ ve B ⊂ B ∗
olduğu açıktır. x ∈ A ve y ∈ B için,
g ∗ (f ∗ (x)) = g ∗ (h(x)) = g(h(x)) = x
ve
f ∗ (g ∗ (y)) = f ∗ (g(y)) = f (g(y)) = y
24
1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi
dir. x ∈ A∗ verilsin. A’nın kapanışı X olduğundan, A’nın A∗ daki kapanışı A∗
dır. x ∈ A∗ verilsin. xn → x özelliğinde A’da (xn ) dizisi vardır. f ∗ ve g ∗ ’nın
sürekliliğinden,
x = lim xn = lim g ∗ (f ∗ (xn )) = g ∗ (f ∗ (x))
dir. Benzer biçimde her y ∈ B ∗ için
y = f ∗ (g ∗ (y))
dir. Şimdi u = f ∗ |A∗ ’nın istenilen özellikte homeomorfizma olduğunu söyleyebiliriz.
Yukarıdaki teoremin bir sonucu aşağıdadır.
Sonuç 1.18. (Mazurkiewicz, 1916) Bir metrik uzayın tam metrikleşebilir alt
uzayı Gδ -kümedir.
Kanıt: (X, d) bir metrik uzay ve A ⊂ X tam metrikleşebilir uzay olsun.
Yani, A üzerinde tanımlı bir tam metrik p tarafından üretilen topoloji ile, A
alt uzayının metrik topolojisi aynı olsun. K, X uzayının metrik tamlaması
olsun. i : (A, p) → (A, d) bir homeomorfizmadır. Yukarıdaki teorem gereği,
i’nin tanım kümesi A’da olan A∗ , Gδ -küme ve değer kümesi K’da Gδ -küme
B ∗ olan bir homeomorfizma genişlemesi i∗ vardır. Ancak i = i∗ olacağından,
A = i(A) = i(A∗ ) = B ∗ ,
K’da bir Gδ kümedir. A ⊂ X olduğundan da, A kümesi X’nin bir Gδ -kümesidir.
Teorem 1.19. (Alexandroff, 1924) X metrikleşebilir uzay olsun. Aşağıdakiler
denktir.
(i) X tümden metrikleşebilir uzaydır.
(ii) X bir tam metrik uzay (M, p)’nın Gδ -uzayına homeomorfiktir.
Kanıt: (i) =⇒ (ii) olduğu bariz.
(ii) =⇒ (i): X’i (M, p) metrik uzayının altuzayı olarak görebiliriz. Önce X’i
K uzayında açık olduğunu varsayalım.
f : X → R, f (x) =
1
p(x,M \X)
olarak tanımlıyalım. f ’nin sürekli olduğu bariz.
P ∗ : X × X → R, p∗ (x, y) = p(x, y) + |f (x) − f (y)|
1.6. Tümden Metrikleşebilir Topolojik Uzaylar
25
olarak tanımlansın. (X, p∗ )’nin bir metrik uzay olduğu barizdir. Ayrıca, (xn ),
X’de bir dizi ve x ∈ X için
p∗ (xn , x) → 0 ⇐⇒ p(xn , x) → 0
olduğunu not edelim.
(i) (X, p∗ ) uzayı tamdır: (xn ), (X, p∗ ) uzayında Cauchy dizisi olsun. > 0
verilsin.
n ≥ N =⇒ |f (xn ) − f (xN )| < özelliğinde N ∈ N vardır.
p(xN ,M \G)
, p(x1 , M \ X), ..., p(xN , M \ X)}
0 < δ = min{ p(x
N ,G\X)+1
olmak üzere, her n için
xn ∈ Mδ = {x ∈ M : p(x, M \ X)}
dir.Mδ , M ’nin kapalı bir kümesi olduğundan, (Mδ , p) tam metrik altuzaydır. (xn ), (Mδ , p)’de Cauchy olduğundan, bir x ∈ Mδ için xn → x dir.
p(x, M \ X) ≥ δ > 0 olmasında da, x 6∈ M \ X, yani x ∈ X dir. Buradan
(X, p) uzayında xn → x dir. f ’nin sürekli olması da kullanılarak,
p∗ (xn , x) = p(xn , x) + |f (xn ) − f (x)| → 0
dır. Böylece, (X, p∗ ) uzayın tam olduğu gösterilmiş olur.
(ii) Aşağıda tanımlanan fonksiyon
i : (X, p∗ ) → (X, p), i(x) = x
fonsiyon homeomorfizmadır: Bariz.
Böyece istenilen, X’nin, M ’nin bir açık kümesi olma durumunda istenilen
kanıtlanmış olur. Şimdi, X, M uzayında Gδ -küme oldun. (Un ), X’de açık
kümelerin bir dizisi olmak üzere, X = ∩n Un olsun. Un ’lerin her biri tümden
metrikleşebilir olduğundan, ve sayılabilir tane tümden metrikleşebilir uzayların
Q
çarpım uzayı tümden metrikleşebilir olmasından (Theorem ??? ), Y = n Un
çarpım uzayı tümden metrikleşebilir uzaydır. Y ’nin altuzayı,
∆ = {(xn ) ∈ Y : x1 = x2 = ...}
kapalı olduğundan, tümden metrikleşebilir altuzaydır.
g : X → ∆, g(x) = (x)
olarak tanımlanan fonksiyon homeomorfizmadır ve kanıtı tamamlar.