arcsin cos eyx = 1 cos 1 , x − ≤ ≤ ⇒ −∞ ∞ 1 sin 1 , x

Sakarya Fen
Lisesi
ali_ergin@hotmail.com
Ters trigonometrik fonksiyonlar
1- Aşağıdaki fonksiyonların tanım kümelerini bulunuz?
a) y = arcsin (1 − x )
−1 ≤ 1 − x ≤ 1 ⇒
x

b) y = arccos  2 − 
2

−1 ≤ 2 −
− 2 ≤ −x ≤ 0
x
≤1 ⇒
2
−3 ≤ −
−1 ≤ 2 x + x 2 ≤ 1 ⇒
⇒
c) y = arccos ( 2 x + x 2 )
⇒
x
≤ −1
2
0≤ x≤2
⇒
2≤ x≤6
− x 2 − 2 x − 1 ≤ 0 Tüm reel sayılarda sağlanır
x2 + 2 x − 1 ≤ 0
( −1 − 2 )( −1 + 2 ) ≤ 0
 −1 − 2, −1 + 2 


−1 ≤
 2x 
d ) y = arccos 
2 
 1+ x 
2x
≤ 1 ⇒ − 1 − x 2 ≤ 2 x ⇒ − x 2 − 2 x − 1 ≤ 0 Tüm reel sayılarda sağlanır
2
1+ x
⇒ 2 x ≤ 1 + x 2 ⇒ 0 ≤ x 2 − 2 x + 1 Tüm reel sayılarda sağlanır
e) y = arcsin ( cos x )
−1 ≤ cos x ≤ 1 ⇒
f ) y = arccos ( sin 2 x )
−1 ≤ sin 2 x ≤ 1 ⇒
( −∞, ∞ )
( −∞, ∞ )
( −∞, ∞ )
2- Aşağıdaki fonksiyonların tanım kümelerini bulunuz
a ) y = arctan (1 − x 2 )
b) y = arc cot x
c) y = arctan ( log 2 x )
d ) y = arc cot ( e x + e− x )
( −∞, ∞ )
[0, ∞ )
( 0, ∞ )
( −∞, ∞ )
3- Aşağıdaki fonksiyonların değer kümelerini bulunuz
 π
a ) y = arcsin x
0, 2 
 1 
π 
b) y = arccos  −
 ,π 

x
2 

1
 π
c) y = arctan 2
 0, 
x
 2
π 
d ) y = arc cot ( 2 x − x 2 )
 4 , π 
4- Aşağıdaki eşitliklerin doğruluğunu gösteriniz
a ) sin ( arcsin x ) = x
x =t
x ∈ [ −1,1] ise t ∈ [ 0,1]
sin ( arcsin t ) = t = x
Sakarya Fen
Lisesi
ali_ergin@hotmail.com
b) cos ( arcsin x ) = 1 − x 2
 π π
α ∈ − , 
 2 2
arcsin x = α
Bizden istenen cos α dır. sin α = x olduğunu biliyoruz
buradan cos α = 1 − x 2
cos ( arcsin x ) = 1 − x 2
x
c) tan ( arcsin x ) =
x ∈ ( −1,1)
1 − x2
arcsin x = α
x ∈ ( −1,1)
Bizden istenen tan α ve sin α = x ise cos α = 1 − x 2
sin α
x
=
cos α
1 − x2
x
tan ( arcsin x ) =
x ∈ ( −1,1)
1 − x2
tan α =
5- Aşağıdaki soruları çözünüz
1

a ) sin  2 arcsin  = ?
3

1
1
2 2
arcsin = α
sin α =
cos α =
3
3
3
bizden istenen sin 2α olmak üzere sin 2α = 2sin α cos α
1 2 2 4 2
sin 2α = 2. .
=
3 3
9
1 4 2

sin  2 arcsin  =
3
9

1

b) cos  2 arcsin  = ?
3

1
1
2 2
arcsin = α
sin α =
cos α =
3
3
3
bizden istenen cos 2α olmak üzere cos 2α = cos 2 α − sin 2 α
2
 2 2   1 2 7
cos 2α = 
 −   =
3

 3 9
1 7

cos  2 arcsin  =
3 9

Sakarya Fen Lisesi
1

c) tan  2 arcsin  = ?
3

1
1
arcsin = α
sin α =
3
3
ali_ergin@hotmail.com
cos α =
2 2
3
bizden istenen tan 2α olmak üzere tan 2α =
sin 2α
cos 2α
4 2
4 2
tan 2α = 9 =
7
7
9
1 4 2

tan  2 arcsin  =
3
7

1

d ) sin  3arcsin  = ?
3

1
1
arcsin = α
sin α =
3
3
bizden istenen sin 3α olmak üzere sin 3α = 3sin α − 4 sin 3 α
3
1
 1  23
sin 3α = 3. − 4   =
3
 3  27
1  23

sin  3arcsin  =
3  27

1
63 
e) sin  arcsin
=?
8 
4
63
63
arcsin
=α
sin α =
8
8
bizden istenen sin
cos
α
2
=
α
4
cos α =
1
8
olmak üzere
1 + cos α 3
=
2
4
sin
α
4
1 − cos
=
α
2 = 1= 2
2
8
4
1
63 
2
sin  arcsin
 =
8  4
4
6- Aşağıdaki eşitliklerin doğruluğunu gösteriniz
a) cos arccos x = x
arccos x = α
ise
Bizden istenen cos α dır.
α ∈ [ 0, π ] olduğundan istenen cos α olur
cos α = x olduğunu biliyoruz
cos arccos x = x
Sakarya Fen
Lisesi
ali_ergin@hotmail.com
b) sin ( arccos x ) = 1 − x 2
α ∈ [ 0, π ]
arccos x = α
Bizden istenen sin α dır. cos α = x olduğunu biliyoruz
buradan sin α = 1 − x 2
sin ( arccos x ) = 1 − x 2
1 − x2
x ∈ [ −1, 0 ) ∪ ( 0,1)
x
x ∈ [ −1, 0 ) ∪ ( 0,1)
c) tan ( arc cos x ) =
arccos x = α
Bizden istenen tan α ve cos α = x ise sin α = 1 − x 2
sin α
1 − x2
=
tan α =
x
cos α
tan ( arc cos x ) =
1 − x2
x
x ∈ [ −1, 0 ) ∪ ( 0,1)
7- Aşağıdaki soruları çözünüz
1

a ) cos  3arccos  = ?
4

1
1
arccos = α
cos α =
4
4
bizden istenen cos 3α olmak üzere cos 3α = 4 cos3 α − 3cos α
3
1
11
1
cos 3α = 4.   − 3. = −
4
16
4
1
11

cos  3arccos  = −
4
16

1
1
b) sin  arccos  = ?
9
2
1
1
arccos = α
cos α =
9
9
bizden istenen sin
α
2
=
1 2
1
sin  arccos  =
9 3
2
17 
1
c) sin  arc cos  = ?
32 
4
1 − cos α 2
=
2
3
Sakarya Fen Lisesi
17
17
arccos = α
cos α =
32
32
bizden istenen sin
olmak üzere
4
1 − cos
α
1 + cos α 7
α
2 =1
sin =
=
2
2
8
4
2
4
17  1
1
sin  arcsin  =
32  4
4
8- Aşağıdaki eşitliklerin doğruluğunu gösteriniz?
cos
α
α
ali_ergin@hotmail.com
=
a) tan arctan x = x
arctan x = α
Bizden istenen tan α dır.
ise
 π π
α ∈ − , 
 2 2
olduğundan istenen tan α
tan α
 π 
α ∈  − , 0  için − tan α
 2 
 π
α ∈ 0,  için
 2
tan α olur
 π 
tan α = x olduğunu biliyoruz buna göre α ∈  − , 0  için − tan α = − x
 2 
 π
α ∈ 0,  için
 2
tan arctan x = x
1
b) cos ( arctan x ) =
arctan x = α
1 + x2
ise tan α = x
Bizden istenen cos α dır
cos ( arctan x ) =
1
1 + x2
x
c) sin ( arctan x ) =
1 + x2
arctan x = α
ise tan α = x
Bizden istenen sin α dır
sin ( arctan x ) =
x
1 + x2
9- Aşağıdaki soruları çözünüz?
a) sin ( 2 arctan 3) = ?
arctan 3 = α
tan α = 3
bizden istenen sin 2α = 2sin α cos α
3 1
3
=
sin 2α = 2.
10 10 5
3
sin ( 2 arctan 3) =
5
tan α = x olur
Sakarya Fen Lisesi
b) tan ( 2 arctan 3) = ?
arctan 3 = α
ali_ergin@hotmail.com
tan α = 3
bizden istenen tan 2α =
sin 2α
cos 2α
tan 2a =
2 tan a
:)
1 − tan 2 a
3
sin 2α 2sin α cos α
3
tan 2α =
=
= 5 =−
2
4
cos 2α
2 cos α − 1 −
4
5
3
tan ( 2 arctan 3) = −
4
1


c) sin  arctan 3  = ?
2

arctan 3 = α
tan α = 3
bizden istenen sin
α
2
=
1 − cos α
10 − 10
=
2
20
1

d ) cos  arctan 5  = ?
2

arctan 5 = α
tan α = 5
bizden istenen cos
α
=
2
1 + cos α
26 + 26
=
2
52
24 
1
e) cos  arctan  = ?
7 
4
24
17
arctan
=α
tan α =
7
32
bizden istenen cos
cos
α
2
=
α
4
olmak üzere
1 + cos α 4
=
2
5
cos
α
4
1 + cos
=
α
2 = 3
2
10
24 
3
1
cos  arctan  =
7 
10
4
10- Aşağıdaki eşitliklerin doğruluğunu gösteriniz?
a) cot arc cot x = x
arc cot x = α
ise
Bizden istenen cot α dır.
α ∈ ( 0, π ) olduğundan istenen cot α olur
cot α = x olduğunu biliyoruz
cot arc cot x = x
Sakarya Fen
Lisesi
1
b) tan ( arc cot x ) =
x≠0
x
arc cot x = α
cot α = x x ≠ 0
bizden istenen tan α =
tan ( arc cot x ) =
1
x
c) sin ( arc cot x ) =
ali_ergin@hotmail.com
1
1
=
cot α x
x≠0
1
1 + x2
arc cot x = α
cot α = x
1
bizden istenen sin α =
1 + x2
1
sin ( arc cot x ) =
1 + x2
x
d ) cos ( arc cot x ) =
1 + x2
arc cot x = α
cot α = x
x
bizden istenen cos α =
1 + x2
x
sin ( arc cot x ) =
1+ x2
11- Aşağıdaki eşitliklerin doğruluğunu gösteriniz?
a) arcsin x = arccos 1 − x 2
arccos x = arcsin 1 − x 2
arcsin x = arccos y
0 ≤ x ≤1
olsun 0 ≤ x ≤ 1
cos ( arcsin x ) = cos ( arccos y )
cos(arcsin x) = y
arcsin x = α
sin α = x
cos α = 1 − x 2
arcsin x = arccos 1 − x 2
arccos x = arcsin y olsun
0 ≤ x ≤1
sin ( arccos x ) = y
arccos x = α
x = cos α sin α = 1 − x 2
arccos x = arcsin 1 − x 2
x
b) arcsin x = arctan
1 − x2
x
arccos x = arc cot
1 − x2
0 ≤ x <1
Sakarya Fen
Lisesi
c) arcsin x = arc cot
ali_ergin@hotmail.com
1− x
x
2
1 − x2
0 < x ≤1
x
1
1
x
d ) arctan x = arc cot = arcsin
= arccos
2
x
1+ x
1 + x2
1
1
x
= arccos
arc cot x = arctan = arcsin
2
x
1+ x
1 + x2
arccos x = arctan
x>0
12- Aşağıda verilenler yararlanarak diğer ters trigonometrik oranları bulunuz
3
a ) arcsin
5
4
3
4
arccos
arctan
arc cot
5
4
3
12
b) arccos
13
5
5
12
arcsin
arctan
arc cot
13
12
5
5
c) arctan
12
5
12
12
arcsin
arccos
arc cot
13
13
5
3
d ) arc cot
4
4
3
4
arcsin
arccos
arc cot
5
5
3
13- Aşağıdaki eşitliklerin doğruluğunu gösteriniz?
x ∈ [ −1,1]
a) arcsin ( − x ) = − arcsin x
arcsin ( − x ) = α
 π π
α ∈ − , 
 2 2
sin α = − x
− sin α = x
sin ( −α ) = x
arcsin x = −α
arcsin ( − x ) = − arcsin x
α = − arcsin x
x ∈ [ −1,1]
b) arctan ( − x ) = − arctan x
arctan ( − x ) = α
 π π
α ∈ − , 
 2 2
tan α = − x
− tan α = x
tan ( −α ) = x
arctan x = −α
arctan ( − x ) = − arctan x
α = − arctan x
Sakarya Fen Lisesi
c) arccos ( − x ) = π − arccos x
ali_ergin@hotmail.com
x ∈ [ −1,1]
arccos ( − x ) = α
α ∈ [ 0, π ]
cos α = − x
− cos α = x
cos (π − α ) = x
arccos x = π − α
α = π − arccos x
x ∈ [ −1,1]
arccos ( − x ) = π − arccos x
d ) arc cot ( − x ) = π − arc cot x
arc cot ( − x ) = α
α ∈ ( 0, π )
cot α = − x
− cot α = x
cot (π − α ) = x
arc cot x = π − α
α = π − arc cot x
arc cot ( − x ) = π − arc cot x
14- Aşağıda verilenler yararlanarak diğer ters trigonometrik oranları bulunuz
 1
a ) arccos  − 
 3
π − arccos
1
3
2 2

 3 
π − arcsin 
π − arctan 2 2
π − arc cot
 7 
b) arctan  − 
 24 
7
7
 24 
 24 
− arctan
− arcsin
− arccos  
− arc cot  
24
25
 25 
 7 
 7 
c) arc cot  − 
 24 
7
24
7
24
π − arc cot
π − arcsin
π − arccos
π − arctan p
24
25
25
7
15- Aşağıdaki eşitliklerin doğruluğunu gösteriniz?
x ∈ [ 0,1] y ∈ [ 0,1] olmak üzere
a ) arcsin x + arcsin y = arccos
0 ≤ x ≤1
0 ≤ arcsin x ≤
π
2
(
1 − x 2 1 − y 2 − xy
0 ≤ y ≤1
)
0 ≤ arcsin y ≤
0 ≤ arcsin x + arcsin y ≤ π
arcsin x + arcsin y = arccos z
cos ( arcsin x + arcsin y ) = z
cos ( arcsin x ) .cos ( arcsin y ) − sin ( arcsin x ) sin ( arcsin y ) = z
1 − x 2 1 − y 2 − xy = z
arcsin x + arcsin y = arccos
(
1 − x 2 1 − y 2 − xy
)
π
2
2
4
Sakarya Fen
Lisesi
ali_ergin@hotmail.com
(
b) arccos x + arccos y = arccos xy − 1 − x 2 1 − y 2
0 ≤ x ≤1
π
0 ≤ arccos x ≤
0 ≤ y ≤1
2
)
0 ≤ arccos y ≤
π
2
0 ≤ arccos x + arccos y ≤ π
arccos x + arccos y = arccos z
cos ( arccos x + arccos y ) = cos ( arccos z )
cos ( arccos x ) .cos ( arccos y ) − sin ( arccos x ) sin ( arccos y ) = z
xy − 1 − x 2 1 − y 2 = z
(
arccos x + arccos y = arccos xy − 1 − x 2 1 − y 2
)
(
c) arcsin x − arcsin y = arcsin x 1 − y 2 − y 1 − x 2
0 ≤ x ≤1
−
π
π
0 ≤ arcsin x ≤
≤ arcsin x − arcsin y ≤
0 ≤ y ≤1
2
)
≤ arcsin y ≤ 0
π
2
2
arcsin x − arcsin y = arcsin z
sin ( arcsin x + arcsin y ) = sin ( arcsin z )
sin ( arcsin x ) .cos ( arcsin y ) − sin ( arcsin y ) .cos ( arcsin x ) = z
x 1 − y 2 − y 1 − x2 = z
)
(
arcsin x + arcsin y = arcsin x 1 − y 2 − y 1 − x 2
(
d ) arccos x − arccos y = arcsin y 1 − x 2 − x 1 − y 2
0 ≤ x ≤1
−
π
0 ≤ arccos x ≤
≤ arccos x − arccos y ≤
π
2
0 ≤ y ≤1
−
π
2
)
≤ − arccos y ≤ 0
π
2
2
arccos x − arccos y = arcsin z
sin ( arccos x − arccos y ) = sin ( arcsin z )
sin ( arccos x ) .cos ( arccos y ) − sin ( arccos y ) cos ( arccos x ) = z
y 1 − x2 − x 1 − y 2 = z
(
arccos x − arccos y = arcsin y 1 − x 2 − x 1 − y 2
e) arctan x + arctan y = arc cot
1 − xy
x+ y
)
x>0 y>0
Sakarya Fen
Lisesi
ali_ergin@hotmail.com
x>0 y>0
0 < arctan x <
π
0 < arctan y <
2
π
2
0 < arctan x + arctan y < π
arctan x + arctan y = arc cot z
cot ( arctan x + arctan y ) = c ot ( arc cot z )
cot ( arctan x ) cot ( arctan y ) − 1
=z
cot ( arctan x ) + cot ( arctan y )
1 1
. −1
x y
=z
1 1
+
x y
1 − xy
=z
x+ y
1 − xy
x+ y
x− y
f ) arctan x − arctan y = arctan
1 + xy
arctan x + arctan y = arc cot
x>0 y>0
−
π
0 < arctan x <
< arctan x − arctan y <
π
−
2
x>0 y>0
π
2
< − arctan y < 0
π
2
2
arctan x − arctan y = arctan z
tan ( arctan x − arctan y ) = tan ( arctan z )
tan ( arctan x ) − tan ( arctan y )
=z
1 + tan ( arctan x ) .tan ( arctan y )
x− y
=z
1 + xy
x− y
1 + xy
y−x
g ) arc cot x − arc cot y = arctan
1 + xy
arctan x − arctan y = arctan
x>0 y>0
−
π
0 < arc cot x <
< arc cot x − arc cot y <
π
−
2
x>0 y>0
π
2
π
2
2
arc cot x − arc cot y = arctan z
tan ( arc cot x − arc cot y ) = tan ( arctan z )
tan ( arc cot x ) − tan ( arc cot y )
1 + tan ( arc cot x ) .tan ( arc cot y )
1 1
−
x y
=z
1 1
1+ .
x y
=z
y−x
=z
1 + xy
arc cot x − arc cot y = arctan
y−x
1 + xy
< − arc cot y < 0
Sakarya Fen
Lisesi
ali_ergin@hotmail.com
h) arc cot x + arc cot y = arc cot
x>0 y>0
0 < arc cot x <
xy − 1
x+ y
π
x>0 y>0
π
0 < arc cot y <
2
2
0 < arc cot x + arc cot y < π
arc cot x + arc cot y = arc cot z
cot ( arc cot x + arc cot y ) = cot ( arc cot z )
cot ( arc cot x ) .cot ( arc cot y ) − 1
cot ( arc cot x ) + cot ( arc cot y )
=z
xy − 1
=z
x+ y
arc cot x + arc cot y = arc cot
xy − 1
x+ y
16- Aşağıdaki soruları çözünüz?
3
12
a ) arcsin + arcsin
5
13
arcsin x + arcsin y = arccos
(
1 − x 2 1 − y 2 − xy
)
olmak üzere
2
2

3
12
3
 12  3 12 

arcsin + arcsin = arccos 1 −   1 −   − .

5
13
5
 13  5 13 

 16 
= arccos  − 
 65 
b) arccos
7
3
+ arccos
25
5
(
arccos x + arccos y = arccos xy − 1 − x 2 1 − y 2
arccos
)
olmak üzere
2
2
 7 3
7
3
 7 
3 
+ arccos = arccos  . − 1 −   1 −   
 25 5
25
5
 25 
 5  

 3
= arccos  − 
 5
c) arctan 4 + arctan 5
arctan x + arctan y = arc cot
1 − xy
x+ y
arctan 4 + arctan 5 = arc cot
1 − 4.5
 19 
= arc cot  − 
4+5
 9
olmak üzere
Sakarya Fen Lisesi
3
24
d ) arcsin − arcsin
5
25
ali_ergin@hotmail.com
(
arcsin x − arcsin y = arcsin x 1 − y 2 − y 1 − x 2
)
olmak üzere
2
2
3
3
24
 24  24
3 
arcsin − arcsin
= arcsin  1 −   −
1−   
5
5
25
 25  25
 5  

 3
= arcsin  − 
 5
5
7
e) arccos − arccos
13
25
(
arccos x − arccos y = arcsin y 1 − x 2 − x 1 − y 2
) olmak üzere
2
2
 7
5
7
5
5
 7  

arccos − arccos
1−   −
1−  
= arcsin
 25
13
25
13  13

 25  

 36 
= arcsin  −

 325 
f ) arctan 4 − arctan 5
arctan x − arctan y = arctan
x− y
1 + xy
arctan 4 − arctan 5 = arctan
4−5
 1 
= arctan  − 
1 + 4.5
 21 
olmak üzere
g ) arc cot 5 − arc cot 4
arc cot x − arc cot y = arctan
y−x
1 + xy
arc cot 5 − arc cot 4 = arctan
4−5
 1 
= arctan  −

1 + 5.4
 21 
olmak üzere
17- Aşağıdaki eşitliklerin doğruluğunu gösteriniz?
a ) arcsin x + arccos x =
π
2
x ∈ [ −1,1]
arcsin x + arccos x = α
−
−
π
2
π
2
≤ arcsin x ≤
π
0 ≤ arccos x ≤ π
2
≤ arcsin x + arccos x ≤
3π
2
sin α = sin ( arcsin x + arccos x ) = xx + 1 − x 2 1 − x 2 = 1
sin α = 1
⇒ α=
arcsin x + arccos x =
π
2
π
2
Sakarya Fen
Lisesi
ali_ergin@hotmail.com
b) arctan x + arc cot x =
π
2
arctan x + arc cot x = α
−
−
π
2
π
2
< arctan x <
π
0 < arccos x < π
2
< arctan x + arc cot x <
3π
2
tan α = tan ( arctan x + arc cot x ) =
tan ( arctan x ) + tan ( arc cot x )
1 − tan ( arctan x ) .tan ( arc cot x )
1
x =∞
=
1
1 − x.
x
x+
⇒α =
tan α = ∞
arctan x + arc cot x =
π
2
π
2
18- Aşağıdaki denklemleri çözünüz?
a ) 4 arcsin x + arccos x = π
arcsin x + arccos x =
π
olmak üzere
2
3arcsin x + arcsin x + arccos x = π
3arcsin x =
π
2
arcsin x =
arctan x + arc cot x =
π
2
π
6
⇒ sin
π
6
=x=
olmak üzere
3π
2
2 arctan x + 3arctan x + 3arc cot x = 2π
3arctan x + 3arc cot x =
2 arctan x =
π
2
arctan x =
π
4
⇒ tan
c) arctan x + arctan 2 x + arctan 3 x = π
arctan x + arctan 2 x + arctan 3 x = π
arctan 2 x + arctan 3 x = π − arctan x
2 x + 3x
0− x
arctan
= arctan
1 − 2 x.3 x
1 + 0.x
5x
−x
=
⇒ x2 = 1 x = 1
2
1 − 6x
1
π
4
= x =1
1
2
Sakarya Fen Lisesi
1
1 π
a ) arctan + arctan =
2
3 4
1 π
b) arctan 3 − arctan =
2 4
1 π
c) arctan 2 − arctan =
3 4
1
1 π
d ) arctan1 + arctan + arctan =
2
3 2
e) arctan1 + arctan 2 + arctan 3 = π
ali_ergin@hotmail.com
EG = GC = 5 ve EC = 10 olduğundan EGC üçgeninin ikizkenar diküçgen olduğu görülmektedir.
buradan a + b = y =
π
4
olduğu bulunur.
1
1
1 π
olmak üzere arctan + arctan =
eşitliği kolayca bulunur.
2
3
2 4
1
1
π
y + z = arctan 3 z = arctan olmak üzere arctan 3 − arctan = y + z − z = y =
2
2
4
1
1 π
x + y = arctan 2 x = arctan olmak üzere arctan 2 − arctan =
3
3 4
π
1
1 π
1
1 π
y = = arctan1 ve arctan + arctan =
olmak üzere
arctan1 + arctan + arctan =
4
2
3 4
2
3 2
y = a + b = arctan1, c = arctan 2 ve d = arctan 3 olmak üzere arctan1 + arctan 2 + arctan 3 = a + b + c + d = π
a = arctan
1
3
b = arctan