ANKARA ÜN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙ITÜSÜ

ANKARA ÜNI·VERSI·TESI·
FEN BI·LI·MLERI· ENSTI·TÜSÜ
YÜKSEK LI·SANS TEZI·
BAZI DI·FERENSI·YEL ve FARK DENKLEMLERI·NI·N
ORTOGONAL POLI·NOM ÇÖZÜMLERI·
Zeliha KOCAMAN
MATEMATI·K ANABI·LI·M DALI
Ankara, 2012
Her hakk¬sakl¬d¬r.
TEZ ONAYI
Zeliha KOCAMAN taraf¬ndan haz¬rlanan “Baz¬Diferensiyel ve Fark Denklemlerinin
Ortogonal Polinom Çözümleri” adl¬tez çal¬şmas¬03/10/2012 tarihinde aşa¼
g¬daki jüri
taraf¬ndan oy birli¼
gi/oy çoklu¼
gu ile Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal¬’nda YÜKSEK LI·SANS TEZI· olarak kabul edilmiştir.
Dan¬şman : Doç. Dr. Fatma TAŞDELEN YEŞI·LDAL
Jüri Üyeleri :
Başkan: Doç. Dr. Nuri ÖZALP
Üye : Doç. Dr. Fatma TAŞDELEN YEŞI·LDAL
Üye : Doç. Dr. Ali OLGUN
Yukar¬daki sonucu onaylar¬m.
Prof. Dr. Özer KOLSARICI
Enstitü Müdürü
i
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
BAZI DI·FERENSI·YEL ve FARK DENKLEMLERI·NI·N ORTOGONAL POLI·NOM
ÇÖZÜMLERI·
Zeliha KOCAMAN
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal¬
Dan¬şman: Doç. Dr. Fatma TAŞDELEN YEŞI·LDAL
Bu tez alt¬bölümden oluşmaktad¬r.
Birinci bölüm giriş k¬sm¬na ayr¬lm¬şt¬r.
I·kinci bölümde, reel fark denklemleri tan¬t¬lm¬ş ve bu denklemlerin özde¼
gerleri elde
edilmiştir.
Üçüncü bölümde, reel fark denklemlerinin polinom çözümleri verilmiş, bu çözümlerin
sa¼
glad¬g¼¬rekürans ba¼
g¬nt¬s¬elde edilmiştir.
Dördüncü bölümde, reel fark denklemlerinin self adjoint hali elde edilmiş, ortogonallik
özelli¼
gi incelenmiştir.
Beşinci bölümde, pozitif tan¬ml¬ortogonal polinom çözümler s¬n¬‡and¬r¬lm¬şt¬r.
Alt¬nc¬bölümde, pozitif tan¬ml¬ortogonal polinom çözümlerin özellikleri incelenmiştir.
Ekim 2012, 77 sayfa
Anahtar Kelimeler: Reel fark denklemleri, Ortogonal polinom çözümler, Rodrigues
formülü
ii
ABSTRACT
Master Thesis
ORTHOGONAL POLYNOMIAL SOLUTIONS of DIFFERENTIAL EQUATIONS
and REAL DIFFERENCE EQUATIONS
Zeliha KOCAMAN
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Fatma TAŞDELEN YEŞI·LDAL
This thesis consists of six chapters.
The …rst chapter is devoted to the introduction.
In the second chapter, reel di¤erence equations have been presented and eigenvalues
of these equations have been obtained.
In the third chapter, polynomial solutions of reel di¤erence equations have been given
and recurrence relation which these solutions satisfy have been obtained.
In the fourth chapter, self adjoint form of reel di¤erence equations have been obtained
and their orthogonality have been examined.
In the …fth chapter, positive de…nite orthogonal polynomial solutions have been classi…ed.
In the sixth chapter, characteristics of positive de…nite orthogonal polynomial solutions
have been examined.
October 2012, 77 pages
Key Words: Reel di¤erence equations,Orthogonal polynomial solutions,Rodrigues formula
iii
TEŞEKKÜR
Çal¬şmam¬n her aşamas¬nda görüş ve önerileriyle beni yönlendiren ve bana her konuda
yard¬mc¬ olan say¬n hocam Doç. Dr. Fatma TAŞDELEN YEŞI·LDAL’a, destek ve
görüşlerini esirgemeyen sevgili arkadaşlar¬m Araş. Gör. Emrah Sercan YILMAZ’a,
¼
Murat DEMI·RCI·OGLU’
na , yüksek lisans yapt¬g¼¬m süre boyunca verdi¼
gi burs ile beni
destekleyen TÜBI·TAK’a ve çal¬şmalar¬m s¬ras¬nda bana anlay¬ş gösteren sevgili aileme
en içten sayg¬ve teşekkürlerimi sunar¬m.
Zeliha KOCAMAN
Ankara, Ekim 2012
iv
I·ÇI·NDEKI·LER
ÖZET.........................................................................................................................ii
ABSTRACT...............................................................................................................iii
TEŞEKKÜR...............................................................................................................iv
1.
GI·RI·Ş.............................................................................................................1
2.
TEMEL KAVRAMLAR ve ÖN BI·LGI·LER...........................................2
2.1
Reel Fark Denklemleri.....................................................................................2
3.
POLI·NOM ÇÖZÜMLER...........................................................................5
3.1
(2.1.10) Fark Denkleminin Polinom Çözümleri................................................5
4.
FARK DENKLEMLERI·NI·N SELF ADJOI·NT FORMU...................25
4.1
(2.1.10) Fark Denkleminin Self Adjoint Formu................................................25
4.2
(2.1.10) Fark Denkleminin Ortogonallik Özelli¼
gi.............................................27
5.
POZI·TI·F TANIMLI ORTOGONAL POLI·NOM ÇÖZÜMLERI·N
SINIFLANDIRILMASI........................................................................................31
5.1
' (x) Polinomunun Durumuna Göre Polinom Çözümlerinin S¬n¬‡and¬r¬lmas¬..31
6.
POZI·TI·F TANIMLI ORTOGONAL POLI·NOM ÇÖZÜMLERI·NI·N
ÖZELLI·KLERI·.......................................................................................................35
6.1
(2.1.10) Fark Denkleminin Ortogonal Polinom Çözümlerinin Özellikleri.........35
KAYNAKLAR...........................................................................................................77
ÖZGEÇMI·Ş...............................................................................................................78
v
1. GI·RI·Ş
Diferensiyel denklemler uzun süredir çal¬ş¬lmaktad¬r ve birçok bilimdal¬nda uygulamas¬
vard¬r. Ancak yak¬n geçmişte diferensiyel denklemlerde görülen süreksizlik halleri, fark
denklemleri kullan¬larak ortadan kald¬r¬lmak istenmiştir. Bu nedenle diferensiyel ve
fark denklemlerinin çözümlerinin karakteristi¼
gi önemli yer tutmaktad¬r.
Bu tezde reel fark denklemlerinin en genel özellikleri incelenmiştir. Reel fark denklemlerinin ortogonal polinom çözümleri elde edilmiş, bu çözümlerin sa¼
glad¬g¼¬ rekürans
ba¼
g¬nt¬s¬bulunmuştur. Ayr¬ca reel fark denkleminin self adjoint formu elde edilmiş, ortogonallik özelli¼
gi incelenmiştir. Daha sonra pozitif tan¬ml¬ortogonal polinom çözümler s¬n¬‡and¬r¬lm¬ş ve her durum için a¼
g¬rl¬k fonksiyonlar¬ve Rodrigues formülü elde
edilmiştir.
1
2. TEMEL KAVRAMLAR ve ÖN BI·LGI·LER
2.1 Reel Fark Denklemleri
P, R reel say¬lar üzerindeki polinom uzay¬n¬göstersin. 1949 y¬l¬nda W. Hahn taraf¬ndan $q;! şeklinde lineer bir operatör aşa¼
g¬daki şekilde tan¬mlam¬şt¬r.
Tan¬m 2.1.1: p 2 P; ! 2 R; x 2 Rn
($q;! p) (x) lineer operatörü
n
!
1 q
o
ve 8q 2 Rn f 1; 0g olmak üzere
p (qx + !)
qx + !
($q;! p) (x) =
p (x)
x
(2.1.1)
şeklinde tan¬mlan¬r. E¼
ger (2.1.1)’de (q; !) = (1; 1) al¬n¬rsa
($1;1 p) (x) = p (x + 1)
olup, buradaki
e; f; g; "; ;
n
p (x) =
p(x)
operatörüne fark operatörü denir.
2 R ve " 6= 0; '(x) = ex2 + 2f x + g ve (x) = 2"x +
'(x) $2q;! yn (x) + (x) ($q;! yn ) (x) =
n yn
olmak üzere
(2.1.2)
(qx + !)
denklemi ile tan¬mlanan özde¼
ger problemini gözönüne alal¬m. Burada
n
özde¼
gerlerini
hesaplayabilmek için aşa¼
g¬daki temel tan¬mlar¬verelim.
2 N+ = N [ f0g olmak üzere, bir
Tan¬m 2.1.2:
say¬)
8
<
[ ]q := [ ] =
dir. Burada [ 1] =
1 q 1
1 q
=
1
;
q
[0] =
1 q
1 q
:
; q 6= 1 ise
;
1 q0
1 q
tamsay¬s¬n¬n q analo¼
gu (temel
q = 1 ise
= 0 d¬r.
Lemma 2.1.1: ($q;! p) (x) ; (2.1.1) ile tan¬mlanan operatör olmak üzere n = 2; 3; :::
için
$2q;! (xn ) = [n] [n
dir. Burada R (x) en fazla (n
1] xn
2
+ R (x)
3)-üncü dereceden bir polinomdur.
I·spat: (2.1.1) eşitli¼
ginde p (x) = xn al¬n¬r ve
an
bn = (a
= (a
b) an
b)
n 1
X
1
an
+ an 2 b + ::: + bn 2 a + bn
1 k k
b ;
k=0
2
a; b 2 R [x]
1
oldu¼
gu gözönüne al¬n¬rsa
(qx + !)n
$q;! (x ) =
(qx + !)
xn
x
Pn 1
x] k=0
(qx + !)n
(qx + !) x
n
=
=
[(qx + !)
n 1
X
(qx + !)n
1 k
1 k
xk
xk
k=0
= (qx + !)n
q n 1 xn
=
+ qxn
= (q n
1
= [n] xn
1
1
1
+ (qx + !)n
x + ::: + (qx + !) xn
+ r1 (x) + q n 2 xn
+ rn 1 (x) + xn
+ ::: + q + 1)xn
1
2
1
1
2
+ xn
1
+ r2 (x) + :::
1
+ r(x)
(2.1.3)
+ r (x)
elde edilir. Burada r1 (x); r2 (x); :::; rn 1 (x) en fazla (n
2)-inci dereceden polinomlar
olup, r(x) = r1 (x) + r2 (x) + ::: + rn 1 (x) denirse r (x)in (n
2)-inci dereceden bir
polinom olaca¼
g¬aç¬kt¬r.
(2.1.3) eşitli¼
ginin her iki yan¬na $q;! operatörü uygulan¬rsa
$2q;! (xn ) = $q;! [n] xn
= [n] [n
bulunur. Burada R (x) en fazla (n
1
1] xn
+ r (x)
2
(2.1.4)
+ R (x)
3)-üncü dereceden bir polinomdur.
Bu ise ispat¬tamamlar.
Lemma 2.1.2:
ex2 + 2f x + g $2q;! (xn ) + (2"x + ) $q;! (xn ) =
n
(qx + !)n
(2.1.5)
ise, bu durumda
n
=
[n]
(e [n
qn
(2.1.6)
1] + 2")
dir.
I·spat: (2.1.2) denkleminde yn (x) = xn al¬n¬r ve (2.1.3), (2.1.4) eşitlikleri gözönüne
al¬n¬rsa (2.1.2) denklemi
ex2 + 2f x + g
[n] [n
1] xn
2
+ R(x) + (2"x + ) [n] xn
1
+ r(x) =
n
(qx + !)n
(2.1.7)
3
şekline dönüşür. Burada xn nin katsay¬lar¬karş¬laşt¬r¬l¬rsa
n
=
[n]
(e [n
qn
1] + 2")
özde¼
geri elde edilir.
(2.1.6) ile verilen özde¼
gerler (2.1.5) denkleminde yerine yaz¬l¬rsa
ex2 + 2f x + g
$2q;! yn (x) + (2"x + ) ($q;! yn ) (x) =
[n]
(e [n
qn
1] + 2") yn (qx + !)
(2.1.8)
olur.
Özel olarak (q; !) = (1; 1) al¬n¬rsa (2.1.8) denklemi
ex2 + 2f x + g
2
yn (x) + (2"x + ) ( yn ) (x) = n (e (n
1) + 2") yn (x + 1)
(2.1.9)
yani
' (x)
2
yn (x) +
(x) ( yn ) (x) =
şekline dönüşür.
4
n yn
(x + 1)
(2.1.10)
3. POLI·NOM ÇÖZÜMLER
3.1 (2.1.10) Fark Denkleminin Polinom Çözümleri
Tan¬m 3.1.1:
2
' (x)
yn (x) +
(x) ( yn ) (x) =
n yn
(x + 1)
özde¼
ger probleminin monik polinom çözümleri x; c 2 R için
yn (x) =
n
X
x+c
;
k
an;k
k=0
an;n = n!; n = 0; 1; 2; 3; :::
(3.1.1)
şeklindedir.
Lemma 3.1.1: (3.1.1) ile verilen yn (x) monik polinom çözümlerinin katsay¬lar¬olan
an;k lar, c katsay¬s¬n¬n
e (c + 1)2
2f (c + 1) + g =
eşitli¼
gini sa¼
glamas¬koşuluyla k = n
(n
1; n
k) (e (n + k
e (k
1
2; n
2" (c + 1) +
(3.1.2)
3; :::; 0 için
1) + 2") an;k
c)2 + 2f (k
1
c) + g an;k+1
(3.1.3)
= 0
dir.
I·spat: Bu lemman¬n ispat¬için öncelikle aşa¼
g¬daki eşitlikleri gösterelim.
yn (x) = yn (x + 1) yn (x)
n
X
x+c+1
=
an;k
k
k=0
n
X
an;k
k=0
x+c
k
x+c+1
x+c+1
x+c+1
+ (an;1 )
+ (an;2 )
+ :::
0
1
2
x+c
x+c
x+c
(an;0 )
+ (an;1 )
+ (an;2 )
+ :::
0
1
2
x+c
x+c+1
x+c
x+c+1
= 0 + an;1
+ an;2
1
1
2
2
x+c+1
x+c
+::: + an;n
n
n
n
X
x+c
=
an;k
(3.1.4)
k
1
k=1
=
(an;0 )
5
ve
2
yn (x) =
( yn (x)) =
(yn (x + 1)
yn (x))
= yn (x + 2) 2yn (x + 1) + yn (x)
n
n
n
X
X
X
x+c+2
x+c+1
x+c
=
an;k
2
an;k
+
an;k
k
k
k
k=0
k=0
k=0
!
n
n
X
X
x+c+2
x+c+1
=
an;k
an;k
k
k
k=0
k=0
!
n
n
X
X
x+c+1
x+c
an;k
an;k
k
k
k=0
k=0
=
n
X
an;k
k=1
=
n
X
k=2
an;k
x+c+1
k 1
x+c
k 2
n
X
an;k
k=1
x+c
k 1
(3.1.5)
olup, (3.1.1), (3.1.4), (3.1.5) eşitlikleri (2.1.9) denkleminde yerine yaz¬l¬rsa
!
!
n
n
X
X
x
+
c
x
+
c
an;k
an;k
ex2 + 2f x + g
+ (2"x + )
k
2
k 1
k=2
k=1
!
n
X
x+c+1
an;k
= n (e (n 1) + 2")
(3.1.6)
k
k=0
elde edilir.
(3.1.6) denkleminde c = 0 al¬n¬rsa
2
ex + 2f x + g
= n (e (n
n
X
an;k
k=2
n
X
1) + 2")
k=0
an;k
x
k
2
+ (2"x + )
n
X
an;k
k=1
x+1
k
x
k
1
(3.1.7)
bulunur.
x
x2
x
k
1
x
k 2
x+1
k
x
k
2 x
k
x
x
+ (k 1)
k
k 1
x
k (k 1)
+ (k 1) (2k
k
x
x
+
k
k 1
x+1
x
x
=
k
k
k 1
x
x
=
k 1
k 2
= k
=
=
=
=
6
3)
x
k
1
+ (k
2)2
x
k
2
eşitlikleri (3.1.7) denkleminde yerine yaz¬l¬rsa
e(
+
n
X
k=2
n
X
X
x
1)
+
an;k (k
k
k=2
n
an;k k (k
x
2)2
an;k (k
k
k=2
n
X
+2f
an;k (k
x
1)
+g
+
n
X
x
an;k
k=2
n
X
k
k
x
an;k
k
k=1
= n (e (n
+ 2"
2
x
3)
k
1
)
2
k=2
1) (2k
+
1
n
X
an;k (k
2)
k=2
n
X
!
x
k
X
x
an;k k
+
an;k (k
k
k=1
k=1
2
n
1)
x
k
1
!
1
1) + 2")
n
X
an;k
k=0
x+1
k
(3.1.8)
elde edilir.
(3.1.8) denkleminde
x
k
l¬terimlerin katsay¬lar¬karş¬laşt¬r¬l¬rsa
e an;k k (k
1) + an;k+2 k 2
1) + an;k+1 k (2k
+2f (an;k+1 k + an;k+2 k) + gan;k+2 + 2" (an;k k + kan;k+1 )
+ an;k+1
= n (e (n
(3.1.9)
1) + 2") (an;k + an;k+1 )
bulunur. (3.1.9) eşitli¼
gi düzenlenirse
(n
k) (e (n + k
+ (en (n
1)
1) + 2") an;k
k (2k
1) + 2" (n
k)
2f k
) an;k+1
ek 2 + 2f k + g an;k+2
(3.1.10)
= 0
üç terimli rekürans ba¼
g¬nt¬s¬elde edilir.
(3.1.6) denkleminde c 6= 0 al¬n¬p benzer işlemler yap¬l¬rsa
0 = (n
k) (e (n + k
+fen (n
+2"c
e (k
1) + 2") an;k
1) + 2" (n
2f k
k)
ek (2k
1
2")
gan;k+1
c)2 + 2f (k
7
c) + g an;k+2
(3.1.11)
elde edilir.
(3.1.11) denkleminde s (k) = (n
t (k + 1) =
c)2 + 2f (k
e (k
1) + 2") ve
k) (e (n + k
c) + g al¬n¬rsa
0 = s (k) an;k + fs (k + 1) + t (k) + e (c + 1)2
2f (c + 1) + g
gan;k+1 + t (k + 1) an;k+2
+2" (c + 1)
(3.1.12)
bulunur.
E¼
ger e (c + 1)2
2f (c + 1) + g =
eşitli¼
gi sa¼
glan¬rsa (3.1.12) denklemi
2" (c + 1) +
(3.1.13)
0 = (s (k) an;k + t (k) an;k+1 ) + (s (k + 1) an;k+1 + t (k + 1) an;k+2 )
şekline dönüşür.
(3.1.13) denkleminde k = n
0 = s (n
1 al¬n¬rsa
1) an;n
+ t (n
1
1) an;n + s (n) an;n + t (n) an;n+1
olup, s (n) = 0 ve an;n+1 = 0 oldu¼
gu gözönüne al¬n¬rsa
s (n
1) an;n
1
+ t (n
1) an;n = 0
elde edilir. R (k) = s (k) an;k + t (k) an;k+1 al¬n¬rsa
R (n
1) = s (n
1) an;n
1
+ t (n
(3.1.14)
1) an;n = 0
bulunur.
(3.1.13) denkleminde k = n
2 al¬n¬p, (3.1.14) eşitli¼
gi gözönüne al¬n¬rsa
0 = s (n
2) an;n
0 = R (n
2) + R (n
0 = R (n
2)
2
+ t (n
2) an;n
1
+ s (n
1) an;n
1
+ t (n
1) an;n
1)
(3.1.15)
elde edilir.
Benzer şekilde devam edilirse k = n
1; n
2; n
3; :::; 0 için
R (k) = s (k) an;k + t (k) an;k+1 = 0
bulunur. O halde c katsay¬s¬n¬n
e (c + 1)2
2f (c + 1) + g =
8
2" (c + 1) +
eşitli¼
gini sa¼
glamas¬koşuluyla k = n
(n
k) (e (n + k
1) + 2") an;k
1; n
2; :::; 0 için
e (k
1
c)2 + 2f (k
1
c) + g an;k+1 = 0
(3.1.16)
iki terimli rekürans ba¼
g¬nt¬s¬elde edilir. Bu ise istenilendir.
Lemma 3.1.2: (3.1.2) ile verilen eşitli¼
gi sa¼
glamayan c katsay¬lar¬için
ec2
eşitli¼
ginin sa¼
glanmas¬koşuluyla k = n
(n
1; n
2; :::; 0 için
1) + 2") bn;k + ek 2 + 2 (ec
k) (e (n + k
(3.1.17)
2f c + g = 0
f + ") k + 2"c
bn;k+1
(3.1.18)
= 0
dir.
I·spat: (2.1.9) denkleminde bn;n = n! olmas¬ koşuluyla yn (x) =
yaz¬l¬r,
x+c+k
k
2 x+c+k
k
x+c+k
x
k 1
x+c+k
x2
k 2
2
x+c+k
k 2
(x + 1) + c + k
k
2
x
2
2
2
2
=
=
=
=
=
=
=
Pn
k=0 bn;k
x+c+k 2
k 1
x+c+k 2
k 2
x+c+k 2
x+c+k
k
+ (1 c)
k
k 1
x+c+k 2
k (k 1)
k
x+c+k 2
+ (k 1) (1 2c)
k 1
x+c+k 2
+c2
k 2
x+c+k 2
x+c+k
(k 1)
c
k 1
k 1
x+c+k 1
k
x+c+k 2
x+c+k 2
+
k
k 1
9
x+c+k 2
k
2
2
eşitlikleri gözönüne al¬n¬rsa, (2.1.9) denklemi
n
X
2
ex + 2f x + g
bn;k
k=2
n
X
+ (2"x + )
x+c+k
k 1
bn;k
k=1
= n (e (n
1) + 2")
x+c+k
k 2
n
X
k=0
e(
n
X
bn;k [k (k
x+c+k
k
1)
k=2
2
x+c+k 2
])
k 2
n
X
x+c+k
+2f
bn;k (k 1)
k 1
k=2
!
n
X
x+c+k 2
+g
bn;k
k 2
k=2
2
x+c+k
k
bn;k
+ (k
2
1) (1
1
;
x+c+k
k 1
2c)
2
+c2
n
X
+2"
+
k=1
n
X
bn;k
bn;k
k=1
= n (e (n
x+c+k
k
k
x+c+k
k 1
1) + 2")
n
X
2
bn;k
k=0
2
x+c+k
c
k 1
2
!
x+c+k
c)
k 1
2
!
2
+ (1
!
x+c+k
k
2
x+c+k
+
k 1
2
!
(3.1.19)
şekline dönüşür.
(3.1.19) denkleminde katsay¬lar karş¬laşt¬r¬l¬rsa
n
X
(n
k) (e (n + k
1) + 2")
k=0
+
n
X
[(e (k
1) + 2") (k
x+c+k
k
1) + 2 (k
1
1) (ec
k=1
n
X
k=2
= 0
ec2
2f c + g
x+c+k
k 2
2
bn;k
f ) + 2"c
]
x+c+k
k 1
2
bn;k
bn;k
(3.1.20)
bulunur. (3.1.20) denkleminde
ec2
2f c + g = 0
10
eşitli¼
ginin sa¼
glanmas¬koşuluyla k = n
0 = (n
2; :::; 0 için
1; n
k) (e (n + k
1) + 2") bn;k
+ [k (ek + 2") + 2k (ec
f ) + 2"c
] bn;k+1
iki terimli rekürans ba¼
g¬nt¬s¬elde edilir. Bu ise istenilendir.
; P polinomlar uzay¬nda tan¬ml¬ve n = 1; 2; ::: için
Lemma 3.1.3:
[1] = 1;
(3.1.21)
[yn ] = 0
koşullar¬n¬sa¼
glayan lineer bir operatör olmak üzere 8p 2 P polinomlar¬için
[' (x
1) ( p) (x) +
(x
1) p (x)] = 0
(3.1.22)
ve 8m; n 2 f0; 1; 2; :::g için
[' (x
1) ( ym ) (x) ( yn ) (x)] =
[yn (x) ym (x)]
n
(3.1.23)
eşitliklerini sa¼
glar. Burada yn ler (2.1.10) denkleminin monik polinom çözümleridir.
I·spat:
p (x) =
n
X
ak yk (x) ;
k=0
şeklinde bir p
ak 2 R
(3.1.24)
polinomu tan¬mlayal¬m. Burada p (x) polinomu
p (x) = ( p ) (x
1) = p (x)
p (x
1)
(3.1.25)
eşitli¼
gini sa¼
glas¬n.
(3.1.24) eşitli¼
gi (2.1.10) denkleminde yerine yaz¬l¬rsa
2
' (x)
= ' (x)
n
X
p
(x) +
ak
2
yk
k=0
=
n
X
(x) ( p ) (x)
n
X
(x) + (x)
ak ( yk ) (x)
k=0
ak ' (x)
2
yk (x) +
(x) ( yk ) (x)
k=0
=
n
X
ak
k yk
(3.1.26)
(x + 1)
k=0
11
elde edilir. (3.1.26) eşitli¼
ginde x yerine x
' (x
1)
( p (x
= ' (x 1) p (x) +
n
X
=
ak k yk (x)
1 al¬n¬r, (3.1.25) eşitli¼
gi yerine yaz¬l¬rsa
1)) +
(x
(x
1) ( p ) (x
1)
1) p (x)
(3.1.27)
k=0
bulunur. (3.1.27) denkleminin her iki taraf¬na
operatörü uygulan¬r, (3.1.21) koşulu
gözönüne al¬n¬rsa
[' (x
1) p (x) +
(x
1) p (x)] =
"
= a0
n
X
ak
k yk
(x)
k=0
0 :1 +
n
X
ak
#
k
[yk (x)]
k=1
= a0 :0:1 +
n
X
ak
k :0
k=1
= 0
elde edilir ki bu ise (3.1.22) eşitli¼
gidir.
(2.1.10) eşitli¼
ginde x yerine x
' (x
2
1)
yn (x
1 al¬n¬rsa
1) +
(x
1) ( yn ) (x
1) =
n yn
(x)
olup, bu denklemin her iki taraf¬ym (x) ile çarp¬l¬rsa
' (x
1)
2
yn (x
1) ym (x) +
(x
1) ( yn ) (x
1) ym (x) =
n yn
(x) ym (x)
(3.1.28)
elde edilir.
(p1 (x) p2 (x)) = ( p1 ) (x) p2 (x) + p1 (x + 1) ( p2 ) (x)
eşitli¼
ginde
( yn ) (x
ve ym (x) = p2 (x)
1) = p1 (x)
al¬n¬rsa
(( yn ) (x
1) ym (x))
( yn ) (x) ( ym ) (x) =
2
yn (x
1) ym (x)
(3.1.29)
bulunur. (3.1.29) eşitli¼
gi (3.1.28) denkleminde yerine yaz¬l¬rsa
n yn
(x) ym (x) = ' (x
= ' (x
+ (x
1)
2
yn (x
1) ym (x) +
1) f (( yn ) (x
1) yn (x
1) ym (x))
1) ym (x)
12
(x
1) ( yn ) (x
1) ym (x)
( yn ) (x) ( ym ) (x)g
(3.1.30)
elde edilir.
(3.1.30) eşitli¼
ginin her iki taraf¬na
operatörü uygulan¬r, p (x) =
yn (x
1) ym (x)
al¬n¬r ve (3.1.22) eşitli¼
gi gözönüne al¬n¬rsa
[
n yn
(x) ym (x)] =
[' (x
1) ( p) (x) +
[' (x
= 0
(x
1) p (x)]
1) yn (x) ym (x)]
[' (x
1) yn (x) ym (x)]
elde edilir ki bu ise (3.1.23) eşitli¼
gidir.
Lemma 3.1.4: (Düzgünlük Koşulu) N , herhangi bir pozitif tamsay¬ olmak üzere
aşa¼
g¬daki cümleler denktir.
1) 8n = 0; 1; 2; :::; N için (2.1.10) ile verilen özde¼
ger probleminin bir yn çözümü vard¬r.
2) 8m; n 2 f01; 2; :::; N g için m 6= n ise
m
6=
n
dir.
Lemma 3.1.5: (2.1.10) ile verilen fark denkleminin monik polinom çözümleri olan
yn ler, n = 0; 1; 2; ::: için düzgünlük koşulunu sa¼
glas¬n. O halde
lineer operatörü
m; n 2 f0; 1; 2; :::g için
[ym yn ] = 0;
m 6= n
(3.1.31)
koşulunu sa¼
glar.
I·spat: (3.1.23) eşitli¼
ginde n ve m indislerinin yerleri de¼
giştirilirse
[' (x
1) ym (x) yn (x)] =
n
[yn (x) ym (x)]
[' (x
1) yn (x) ym (x)] =
m
[ym (x) yn (x)]
(3.1.32)
elde edilir. (3.1.32) eşitlikleri taraf tarafa ç¬kart¬l¬rsa
0=(
n
m)
[yn (x) ym (x)]
bulunur. Düzgünlük koşuluna göre m 6= n için
m
6=
[yn (x) ym (x)] = 0
olup, (3.1.31) eşitli¼
gi gerçeklenir.
13
n
(3.1.33)
oldu¼
gu gözönüne al¬n¬rsa
Lemma 3.1.6: (2.1.10) ile verilen fark denkleminin monik polinom çözümleri olan yn
ler, n = 1; 2; ::: için
yn+1 (x) = (x
cn )yn (x)
dn yn
1
(3.1.34)
(x)
üç terimli rekürans ba¼
g¬nt¬s¬n¬sa¼
glar.
I·spat: Bu lemman¬n ispat¬için öncelikle aşa¼
g¬daki lemmalar¬n ispat¬n¬vermeliyiz.
Lemma 3.1.7: N 2 f1; 2; 3; :::g olacak şekilde bir say¬d¬r. n = 0; 1; 2; :::; N
1 için
yn2 6= 0 ve
(3.1.35)
2
yN
=0
koşullar¬sa¼
glans¬n. Bu durumda (2.1.10) denkleminin monik polinom çözümleri olan
yn ler, n = 0; 1; 2; :::; N + 1 için
yn+1 (x) = (x
cn ) yn (x)
dn y n
1
(3.1.36)
(x)
üç terimli rekürans ba¼
g¬nt¬s¬n¬sa¼
glar ve bu durumda dN = 0 d¬r.
I·spat: yn+1 (x) ; n = 0; 1; 2; ::: için
yn+1 (x) = xyn (x) +
n
X
(n)
ak yk (x) ;
k=0
(n)
ak 2 R
(3.1.37)
şeklinde yaz¬labilir.
v 2 f0; 1; 2; :::; n
2g olmak üzere (3.1.37) eşitli¼
ginin her iki yan¬yv (x) ile çarp¬l¬rsa,
yn+1 (x) yv (x) = xyn (x) yv (x) +
n
X
(n)
ak yk (x) yv (x)
(3.1.38)
k=0
elde edilir.
(3.1.38) denkleminde xyv (x) yerine (3.1.37) eşitli¼
ginden elde edilen
Pv
(v)
yv+1 (x)
m=0 am ym (x) ifadesi yaz¬l¬rsa
!
v
n
X
X
(n)
yn+1 (x) yv (x) = yn (x) yv+1 (x)
y
(x)
+
ak yk (x) yv (x)
a(v)
m m
m=0
= yn (x) yv+1 (x)
v
X
a(v)
m yn
m=0
bulunur.
14
k=0
(x) ym (x) +
n
X
(n)
ak yk (x) yv (x)
k=0
(3.1.39)
(3.1.39) denkleminin her iki taraf¬na
[yn+1 (x) yv (x)] =
operatörü uygulan¬rsa
v
X
[yn (x) yv+1 (x)]
a(v)
[yn (x) ym (x)]
m
m=0
+
n
X
(n)
ak
k=0
v
X
0 = 0
[yk (x) yv (x)]
(n)
a(v)
m :0 + av
yv2
(3.1.40)
2g için
gu gözönüne
[yv2 ] 6= 0 oldu¼
m=0
elde edilir. (3.1.40) eşitli¼
ginde v 2 f0; 1; 2; :::; n
(n)
aln¬rsa av = 0 bulunur. Bu de¼
ger (3.1.37) denkleminde yerine yaz¬l¬rsa
yn+1 (x) = xyn (x) +
= xyn (x) +
n
X
v=0
n
X2
av(n) yv (x)
(n)
av(n) yv (x) + an 1 yn
1
(x) + a(n)
n yn (x)
v=0
(n)
= xyn (x) + 0 + an 1 yn
1
(x) + a(n)
n yn (x)
(n)
x + a(n)
yn (x) + an 1 yn
n
=
1
(3.1.41)
(x)
elde edilir.
(3.1.41) eşitli¼
ginde cn =
(n)
an
ve dn =
(n)
1
an
al¬n¬rsa (3.1.36) ile verilen rekürans
ba¼
g¬nt¬s¬na ulaş¬l¬r.
(3.1.36) denkleminde n = N al¬n¬r, denklemin her iki yan¬yN
1
(x) ile çarp¬l¬rsa
2
dN y N
1
(x)
yN +1 (x) yN
1
(x) = (x
cN ) yN (x) yN
1
(x)
elde edilir. (3.1.42) denkleminde eşitli¼
gin her iki yan¬na
[yN +1 (x) yN
1
(x)] =
[xyN (x) yN
operatörü uygulan¬rsa
1
(x)]
cn [yN (x) yN
1
(x)]
0
1
(x)]
olup (3.1.31) eşitli¼
gi gözönüne al¬n¬rsa
0=
[xyN (x) yN
dn
2
yN
1
(x)
bulunur. Eşitlik düzenlenip, (3.1.37) denklemi gözönüne al¬n¬rsa
dN =
=
[xyN (x) yN 1 (x)]
2
yN
1 (x)
[yN (x) (xyN 1 (x))]
2
yN
1 (x)
15
(3.1.42)
dn
2
yN
1
(x)
h
yN (x) yN (x)
=
[yN (x) yN (x)]
=
0 0
=0
2
yN
1 (x)
=
PN
(N 1)
ys
s
1
s=0
2
yN
1 (x)
PN 1
s=0
2
yN
1
(N 1)
s
(x)
i
[yN (x) ys (x)]
(x)
elde edilir.
Lemma 3.1.8: (2.1.10) ile verilen fark denkleminin monik polinom çözümleri olan
yn ler (3.1.36) ile verilen üç terimli rekürans ba¼
g¬nt¬s¬n¬ ve n ! 1 için düzgünlük
koşulunu sa¼
glas¬n.
Bu durumda n: dereceden monik polinomlar olan y~n lar n = 0; 1; 2; ::: için
(3.1.43)
yN +n = y~n yN
koşulunu sa¼
glar ve
'
~ (x)
2
y~n (x) + ~ (x) ( y~n ) (x) = ~ n y~n (x + 1)
(3.1.44)
fark denkleminin çözümüdür.
I·spat: k = 0 için y~0 (x) = 1 oldu¼
gu aç¬kt¬r.
k = 1 için, (3.1.36) ile verilen üç terimli rekürans ba¼
g¬nt¬s¬nda n = N al¬n¬p, lemma
3.1.7’den dN = 0 oldu¼
gu gözönüne al¬n¬rsa
yN +1 (x) = (x
cN ) yN (x)
= (x
cN ) yN (x)
elde edilir. (3.1.45) denkleminde x
dN y N
1
(x)
(3.1.45)
cN = y~1 (x) al¬n¬rsa
yN +1 (x) = y~1 (x) yN (x)
bulunur.
k = 2 için, (3.1.36) ile verilen üç terimli rekürans ba¼
g¬nt¬s¬nda n = N + 1 al¬n¬p,
(3.1.45) eşitli¼
gi gözönüne al¬n¬rsa
yN +2 (x) = (x
= (x
= ((x
cN +1 ) yN +1 (x)
cN +1 ) (x
cN +1 ) (x
16
dN +1 yN (x)
cN ) yN (x)
cN )
dN +1 yN (x)
dN +1 ) yN (x)
(3.1.46)
elde edilir. (3.1.46) denkleminde (x
cN +1 ) (x
dN +1 = y~2 (x) al¬n¬rsa
cN )
yN +2 (x) = y~2 (x) yN (x)
bulunur. Benzer şeklide devam edilirse k = 0; 1; 2; ::: için yN +k = y~k yN eşitli¼
gi elde
edilir.
(3.1.43) eşitli¼
ginin her iki taraf¬na
fark operatörü uygulan¬rsa
(yN y~k ) = ( yN ) (x) y~k (x) + yN (x + 1) ( y~k ) (x)
(3.1.47)
eşitli¼
gi elde edilir.
(3.1.43) eşitli¼
ginin her iki taraf¬na
fark operatörü iki kez uygulan¬r, (3.1.47) eşitli¼
gi
gözönüne al¬n¬rsa
2
(yN +k ) =
=
=
( (yN y~k ))
(( yN ) (x) y~k (x) + ( y~k ) (x) yN (x + 1))
2
yN (x) y~k (x + 1) + ( yN ) (x) ( y~k ) (x)
+yN (x + 2)
2
y~k (x) + ( y~k ) (x) ( yN ) (x + 1)
(3.1.48)
bulunur. Aşa¼
g¬da verilen eşitlikte (3.1.43) ve (3.1.48) eşitlikleri yerlerine yaz¬l¬rsa,
N +k yN
(x + 1) y~k (x + 1) =
N +k yN +k
= ' (x)
2
= ' (x) f
2
(x + 1)
yN +k (x) +
(x) ( yN +k ) (x)
yN (x) y~k (x + 1) +
+yN (x + 2)
2
y~k (x) +
yN (x) y~k (x)
y~k (x) yN (x + 1) g
+ (x) f yN (x) y~k (x + 1) + yN (x) y~k (x)g
= ' (x) yN (x + 2)
2
y~k (x) +
+' (x) yN (x + 1) +
+~
yk (x + 1) ' (x)
2
y~k (x) f' (x) yN (x)
(x) yN (x) g
yN (x) +
(x) yN (x)
elde edilir. Denklem düzenlenirse
[' (x) yN (x + 2)]
2
y~k (x)
+ y~k (x) [' (x) yN (x) + ' (x) yN (x + 1) +
= (
N +k
N ) yN
(x + 1) y~k (x + 1)
17
(x) yN (x)]
bulunur. Burada
'
~ (x) =
' (x) yN (x + 2)
yN (x + 1)
~ (x) = ' (x) yN (x) + ' (x) yN (x + 1) +
yN (x + 1)
(x) yN (x)
ve
~k =
N +k
n
dir. Bu ise ispat¬tamamlar.
Lemma 3.1.7’den, N 2 f0; 1; 2; 3; :::g olacak şekildeki bir N say¬s¬için dN = 0 olmak
üzere yn polinom çözümleri n 2 f0; 1; 2; :::; N + 1g için (3.1.36) ile verilen üç terimli
rekürans ba¼
g¬nt¬s¬n¬sa¼
glar.
N 0 2 f0; 1; 2; :::g olacak şekildeki bir N 0 say¬s¬için dN 0 = 0 olmak üzere y~n polinom
çözümleri n 2 f0; 1; 2; :::; N 0 + 1g için
y~n+1 (x) = (x
c~n ) y~n
d~n y~n
(3.1.49)
1
üç terimli rekürans ba¼
g¬nt¬s¬n¬sa¼
glar.
(3.1.43) eşitli¼
ginden
yN = yN
yN +1 = y~1 yN
..
.
(3.1.50)
yN +N 0 +1 = y~N 0 +1 yN
bulunur.
(3.1.49) eşitli¼
ginin her iki yan¬yN ile çarp¬l¬rsa
yN y~n+1 (x) = (x
c~n ) yN y~n
d~n y~n 1 yN
olup, lemma 3.1.8’den
yN +n+1 = (x
c~n ) yN +n
d~n yN +n
1
(3.1.51)
elde edilir.
y~0 ; y~1 ; :::; y~N 0 +1 polinom çözümleri (3.1.49) ba¼
g¬nt¬s¬n¬sa¼
glad¬g¼¬için bu çözümlerin yN
ile çarp¬lm¬ş hali olan (3.1.50) çözümleri de (3.1.51) ba¼
g¬nt¬s¬n¬sa¼
glar. Bu durumda,
18
(2.1.10) ile verilen fark denkleminin polinom çözümleri olan yn ler n = 0; 1; 2; :::; N +
N 0 + 1 için (3.1.36) ba¼
g¬nt¬s¬n¬sa¼
glar.
Benzer şekilde devam edilirse yn lerin n ! 1 için (3.1.34) ile verilen üç terimli
rekürans ba¼
g¬nt¬s¬n¬sa¼
glad¬g¼¬görülür. Bu ise istenilendir.
Lemma 3.1.9: yn (x) ler (3.1.1) eşitli¼
gi ile verilen monik polinom çözümler olmak
üzere
yn+1 (x) = (x
cn )yn (x)
dn yn
1
(x)
üç terimli rekürans ba¼
g¬nt¬s¬ndaki
cn =
n (e (n
1) + 2") (2 (e f ) + ") + (e ") (
2 (e (n 1) + ") (en + ")
2")
ve
dn =
n (e (n 2) + 2")
4 (e (2n 3) + 2") (e (n 1) + ")2 (e (2n
fe (n 1)2 (e (n 1) + 2")2
+2 (n
1) (e (n
+4" g"
1) + 2") (2eg + 2f ("
f +e
2
1) + 2")
f)
(3.1.52)
e )
g
dir.
I·spat: Üç terimli rekürans ba¼
g¬nt¬s¬ndaki cn ; dn katsay¬lar¬n¬bulmak için
yn (x) =
n
X
(n)
ak xk ; a(n)
n = 1; n = 0; 1; :::
(3.1.53)
k=0
eşitli¼
gini kullanaca¼
g¬z.
(1)
1) (3.1.53) eşitli¼
ginde n = 1 al¬n¬rsa y1 (x) = a0 + x bulunur. (3.1.34) ve (3.1.53)
eşitliklerinden
y1 (x) = x
(1)
c 0 = a0 + x
=)
c0 =
(1)
(3.1.54)
a0
ba¼
g¬nt¬s¬elde edilir.
2) (3.1.34) eşitli¼
ginde n = 1 al¬n¬rsa
y2 (x) = (x
c1 )y1 (x)
(3.1.55)
d1 y0 (x)
bulunur. (3.1.53) eşitli¼
ginde n = 2; n = 1 ve n = 0 al¬n¬p (3.1.55) eşitli¼
ginde yerine
yaz¬l¬rsa
(2)
(2)
(2)
a0 + a1 x + a2 x2 = (x
(1)
(1)
c 1 ) a0 + a1 x
19
(0)
d 1 a0
(3.1.56)
(n)
elde edilir. Bu denklemde an = 1 oldu¼
gu gözönüne al¬n¬rsa
(2)
(1)
a0 =
c 1 a0
d1
=)
d1 =
(2)
(1)
a0
(3.1.57)
c 1 a0
bulunur.
(3.1.53) eşitli¼
gindeki polinomlar (3.1.34) eşitli¼
ginde yerine yaz¬l¬rsa
n+1
X
(n+1) k
ak
x
= (x
cn )
k=0
n
X
(n)
ak x k
k=0
n 1
X
(n 1) k
ak
(3.1.58)
x
k=0
elde edilir. (3.1.58) eşitli¼
ginde xn li terimlerin katsay¬lar¬karş¬laşt¬r¬l¬rsa
(n)
1
a(n+1)
= an
n
cn a(n)
n
(n)
1
=)
an(n+1)
c n = an
(3.1.59)
bulunur.
Benzer şekilde (3.1.58) eşitli¼
ginde xn
(n+1)
1
an
(n)
2
= an
(n)
c n an
(n 1)
1
dn an
1
1
li terimlerin katsay¬lar¬karş¬laşt¬r¬l¬rsa
(n)
2
=)
dn = an
(n+1)
1
(n)
an
c n an 1 ;
n = 2; 3; 4; :::
(3.1.60)
elde edilir.
an;n ile an;n
1
(n)
1
katsay¬lar¬aras¬ndaki ba¼
g¬nt¬dan yola ç¬karak an
(n)
2
ve an
katsay¬lar¬n¬
bulaca¼
g¬z.
(3.1.10) denkleminde k yerine n
(n
(n
1 al¬n¬rsa
1)) (e (n + (n
+fe (n (n
+2" (n
e (n
1)
(n
(n
1))
1)
1) + 2") an;n
1) (2 (n
2f (n
1)2 + 2f (n
1)
1)
1
1))
gan;n
1) + g an;n+1
(3.1.61)
= 0
elde edilir. (3.1.61) ba¼
g¬nt¬s¬nda an;n+1 = 0 oldu¼
gu gözönüne al¬n¬rsa
(e (2n
2) + 2") an;n
1
e n2
4n + 3
2" + 2f (n
1) +
an;n = 0
bulunur. Buradan n = 1; 2; 3; ::: için
an;n
1
=
e (n2
4n + 3) 2" + 2f (n
2 (e (n 1) + ")
elde edilir.
20
1) +
an;n
(3.1.62)
(3.1.10) denkleminde k yerine n
(n
(n
2 al¬n¬rsa
2)) (e (n + (n
+fe (n (n
+2" (n
e (n
1)
(n
(n
2))
2)
1) + 2") an;n
2) (2 (n
2f (n
2)2 + 2f (n
2)
2)
2
1))
gan;n
1
2) + g an;n
(3.1.63)
= 0
bulunur. (3.1.63) ba¼
g¬nt¬s¬nda (3.1.62) eşitli¼
gi yerine yaz¬l¬rsa
(e (2n
3) + 2") an;n
2
+ fe (n (n 1) (n 2) (2n 5)) + 4" 2f (n
e (n2 4n + 3) 2" + 2f (n 1) +
an;n
2e (n 1) + "
e (n
2)2 + 2f (n
g
2)
2) + g an;n
= 0
elde edilir.
Buradan n = 2; 3; 4; ::: için
an;n
2
2)2 + 2f (n 2) + g
2 (e (2n 3) + 2")
+ e n2 8n + 10
4" + 2f (n 2) +
(e (n 1) (n 3) 2" + 2f (n 1) + )
gan;n
4 (e (n 1) + ") (e (2n 3) + 2")
= f
e (n
(3.1.64)
bulunur.
(3.1.1) ve (3.1.53) eşitliklerinde xn
1
li terimlerin katsay¬lar¬karş¬laşt¬r¬l¬rsa n = 1; 2; 3; :::
için
(n)
1
an
an;n 1
n (n 1)
(n 1)!
2
an;n 1 n 1
= n
n!
2
an;n 1 n 1
= n
an;n
2
e (n 1) (n 3) 2" + 2f (n 1) +
= n
2 (e (n 1) + ")
n (2 (n 1) (f e) (n + 1) " + )
=
2 (e (n 1) + ")
=
21
n
1
2
(3.1.65)
elde edilir.
(3.1.1) ve (3.1.53) eşitliklerinde xn
2
li terimlerin katsay¬lar¬karş¬laşt¬r¬l¬rsa n = 1; 2; 3; :::
için
(n)
2
an
=
an;n 2
(n 2)!
= n (n
1)
an;n 1 (n 2)
n 3n 1
+
(n 2)! 2
3
4
an;n 2 an;n 1 (n 2) (n 2) (3n
+
an;n
an;n
2
24
1)
2)2 + 2f (n 2) + g
2 (e (2n 3) + 2")
2
+ e n
8n + 10
4" + 2f (n 2) +
(e (n 1) (n 3)) 2" + 2f (n 1) +
g
4 (e (n 1) + ") (e (2n 3) + 2")
(n 2) e (n2 4n + 3) 2" + 2f (n 1) +
2
2 (e (n 1) + ")
(n 2) (3n 1)
)
+
24
n (n 1)
=
4 (e (n 1) + ") (e (2n 3) + 2")
1
f (n + 1) (3n + 2) (e (n 1) + ") (e (2n 3) + 2")
6
en (n 1)2 (e (2n 3) + 2") + e2 (n 1)2 (n 2)2
= n (n
1) (f
2 (2f (n
+2 (f (n
e (n
1) + ) (e (2n
1) + ) (2f (n
3) + n")
(e (n
1) + 2")
1) + ") g
2) + ) + 2g (e (n
(3.1.66)
elde edilir. Şimdi s¬ras¬yla c0 ; cn ; d1 ve dn katsay¬lar¬n¬bulal¬m.
(1)
y1 (x) = x + a0
eşitli¼
gi (2.1.9) denkleminde yerine yaz¬l¬rsa
(1)
ex2 + 2f x + g (0) + (2"x + ) 1 = 2" x + 1 + a0
bulunur. Sabit terimlerin eşitli¼
ginden
(1)
= 2" 1 + a0
olup,
(1)
a0 =
2"
1
elde edilir. Bulunan de¼
ger (3.1.54) eşitli¼
ginde yerine yaz¬l¬rsa
c0 = 1
22
2"
(3.1.67)
bulunur.
(3.1.65) eşitli¼
gi (3.1.59) denkleminde yerine yaz¬l¬rsa n = 1; 2; 3; ::: için
(n)
cn = an 1 a(n+1)
n
n (2 (n 1) (f e) (n + 1) " + )
=
2 (e (n 1) + ")
(n + 1) (2n (f e) ((n + 1) + 1) " + )
2 (e ((n + 1) 1) + ")
n (e (n 1) + 2") (2 (e f ) + ") + (e ") (
=
2 (e (n 1) + ") (en + ")
2")
(3.1.68)
elde edilir.
(3.1.65) eşitli¼
ginde n = 1, (3.1.66) eşitli¼
ginde n = 2 al¬n¬r, (3.1.57) denkleminde yerine
yaz¬l¬rsa
d1 =
(2)
(1)
a0
c 1 a0
4" (f
g") e
=
2
4" (e + 2")
2
bulunur.
(3.1.66) eşitli¼
gi (3.1.60) denkleminde yerine yaz¬l¬rsa
(n)
2
dn = an
=
(n+1)
1
(n)
an
c n an 2
n (n 1)
1) + ") (e (2n
4 (e (n
3) + 2")
1
f (n + 1) (3n + 2) (e (n 1) + ") (e (2n 3) + 2")
6
en (n 1)2 (e (2n 3) + 2c) + e2 (n 1)2 (n 2)2
2 (2f (n
1) + ) (e (2n
3) + n")
(e (n
1) + 2")
1) + ) (2f (n 2) + ) + 2g (e (n 1) + ") g
(n 1) ((n + 1) 1)
4 (e ((n + 1) 1) + ") (e (2 (n + 1) 3) + 2")
1
f ((n + 1) + 1) (3 (n + 1) + 2) (e ((n + 1) 1) + ") (e (2 (n + 1)
6
e (n + 1) ((n + 1) 1)2 (e (2 (n + 1) 3) + 2c)
+ (2f (n
+e2 ((n + 1)
1)2 ((n + 1)
2 (2f ((n + 1)
(e ((n + 1)
+ (2f ((n + 1)
3) + 2")
2)2
1) + ) (e (2 (n + 1)
3) + (n + 1) ")
1) + 2")
1) + ) (2f ((n + 1)
23
2) + ) + 2g (e ((n + 1)
1) + ") g
n (e (n
1) + 2") (2 (e f ) + ") + (e ") (
2")
2 (e (n 1) + ") (en + ")
n (2 (n 1) (f e) (n + 1) " + )
2 (e (n 1) + ")
n (e (n 2) + 2")
=
4 (e (2n 3) + 2") (e (n 1) + ")2 (e (2n 1) + 2")
fe (n 1)2 (e (n 1) + 2")2
+2 (n
+4" (g"
1) (e (n
1) + 2") (2eg + 2f ("
f ) + e 2g
f)
e )
(3.1.69)
elde edilir. Bu ise istenilendir.
24
4. FARK DENKLEMLERI·NI·N SELF ADJOI·NT FORMU
4.1 (2.1.10) Fark Denkleminin Self Adjoint Formu
Tan¬m 4.1.1: f 2 P; ! 2 R; x 2 Rn
(Pq;! f ) (x) operatörü
n
!
1 q
o
ve 8q 2 Rn f 1; 0g olmak üzere
(Pq;! f ) (x) := f (qx + !)
(4.1.1)
ve f^ fonksiyonu
f^ (x) := Pq;!1 f (x) = f ((x
!) =q)
(4.1.2)
şeklinde olsun.
W 2 P olmak üzere, (2.1.2) denkleminin her iki yan¬(Pq;! W ) (x) ile çarp¬l¬rsa
(Pq;! W ) (x) '(x) $2q;! yn (x) + (Pq;! W ) (x) (x) ($q;! yn ) (x)
= (Pq;! W ) (x)
n yn
(4.1.3)
(qx + !)
elde edilir. (4.1.3) denkleminde (4.1.1) eşitli¼
gi yerine yaz¬l¬rsa
(Pq;! W ) (x) '(x) $2q;! yn (x) + (Pq;! W ) (x) (x) ($q;! yn ) (x)
= (Pq;! W ) (x)
n
(4.1.4)
(Pq;! yn ) (x)
bulunur.
($q;! (f1 f2 )) (x) = ($q;! f1 ) (x) f2 (x) + f1 (qx + !) ($q;! f2 ) (x)
(4.1.5)
eşitli¼
ginde f1 = W '
^ ; f2 = $q;! yn al¬n¬rsa
($q;! (W '
^ ($q;! yn ))) (x) = ($q;! (W '
^ )) (x) ($q;! yn ) (x)
+ (W '
^ ) (qx + !) $2q;! yn (x)
= ($q;! (W '
^ )) (x) ($q;! yn ) (x)
+W (qx + !) '
^ (qx + !) $2q;! yn (x)
(4.1.6)
elde edilir. (4.1.6) eşitli¼
ginde, (4.1.1) ve (4.1.2) eşitlikleri gözönüne al¬n¬rsa
($q;! (W '
^ ($q;! yn ))) (x)
= ($q;! (W '
^ )) (x) ($q;! yn ) (x) + (Pq;! W ) (x) '(x) $2q;! yn (x)
bulunur.
25
(4.1.7)
(4.1.3) dekleminin sol yan¬n¬n (4.1.7) denkleminin sa¼
g yan¬na eşit olabilmesi için, yani
(Pq;! W ) (x) '(x) $2q;! yn (x) + (Pq;! W ) (x) (x) ($q;! yn ) (x)
= ($q;! (W '
^ )) (x) ($q;! yn ) (x) + (Pq;! W ) (x) '(x) $2q;! yn (x)
eşitli¼
ginin sa¼
glanabilmesi için
(4.1.8)
(Pq;! W ) (x) (x) = ($q;! (W '
^ )) (x)
olmal¬d¬r. (4.1.8) eşitli¼
ginde (q; !) = (1; 1) al¬n¬rsa
(x)W (x + 1) =
(W (x) ' (x
(4.1.9)
1))
elde edilir. (4.1.3) ve (4.1.7) denklemleri (4.1.8) koşulu alt¬nda tekrar gözönüne al¬¬rsa
(qx + !)
(4.1.10)
(x + 1) yn (x + 1)
(4.1.11)
($q;! (W '
^ ($q;! yn ))) (x) = (Pq;! W ) (x)
n yn
olur. Burada (q; !) = (1; 1) al¬n¬rsa
(W (x) ' (x
1) yn (x)) =
nW
elde edilir. Bu ise (2.1.10) denkleminin self adjoint formudur.
(4.1.9) eşitli¼
ginin sa¼
g yan¬aç¬k olarak yaz¬l¬rsa
W (x + 1) ' (x)
W (x) ' (x
W (x + 1) (' (x)
1) = W (x + 1)
(x)) = W (x) ' (x
' (x)
W (x)
=
W (x + 1)
' (x
(x)
1)
(x)
1)
bulunur. (4.1.12) eşitli¼
ginde ' (x) = ex2 + 2f x + g;
(x) = 2"x +
(4.1.12)
oldu¼
gu gözönüne
al¬n¬rsa
W (x)
ex2 + 2f x + g (2"x + )
=
W (x + 1)
e (x 1)2 + 2f (x 1) + g
D (x + 1)
=
C (x)
elde edilir. Burada D (x) = C (x)
2" (x
1)
dir.
26
; C (x) = e (x
(4.1.13)
1)2 + 2f (x
1) + g
4.2 (2.1.10) Fark Denkleminin Ortogonallik Özelli¼
gi
Tan¬m 4.2.1: N 2 f1; 2; 3; :::g için aşa¼
g¬daki noktalar kümesini ele alal¬m:
xv := A + v;
A 2 R;
v = 0; 1; 2; :::; N + 1
(4.2.1)
ayr¬ca
(4.2.2)
xv+1 = A + v + 1 = xv + 1
dir.
Lemma 4.2.1: N 2 f1; 2; 3; :::g olmak üzere yn polinomlar¬
N
X
W (A + v) ym (A + v) yn (A + v) = 0;
v=0
m 6= n;
m; n 2 f0; 1; 2; :::; N g
(4.2.3)
ortogonallik ba¼
g¬nt¬s¬n¬
W (A
2) = 0 ve W (A + N ) ' (A + N
1) ' (A
1) = 0
(4.2.4)
koşullar¬alt¬nda sa¼
glar.
I·spat: Bu lemman¬n ispat¬için öncelikle aşa¼
g¬daki eşitlikleri gösterelim.
Şimdi
N
X
(f1 (xv )) f2 (xv ) =
+1
[f1 (xv ) f2 (xv )]N
v=0
N
X
f1 (xv+1 ) f2 (xv )
(4.2.5)
v=0
v=0
eşitli¼
gini gösterelim.
(f1 (x) f2 (x)) = f1 (x + 1) f2 (x) + f2 (x) f1 (x)
eşitli¼
ginin her iki yan¬nda
N
X
P
uygulan¬rsa
(f1 (xv ) f2 (xv )) =
v=0
(4.2.6)
N
X
(f1 (xv + 1) f2 (xv ) + f2 (xv ) f1 (xv ))
(4.2.7)
v=0
bulunur. (4.2.7) eşitli¼
ginin sol yan¬na fark operatörü tan¬m¬uygulan¬rsa
(f1 (x0 ) f2 (x0 )) +
= f1 (x1 ) f2 (x1 )
(f1 (x1 ) f2 (x1 )) + ::: +
f1 (x0 ) f2 (x0 ) + f1 (x2 ) f2 (x2 )
+::: + f1 (xN +1 ) f2 (xN +1 )
= (f1 f2 ) (xN +1 )
(f1 (xN ) f2 (xN ))
f1 (x1 ) f2 (x1 )
f1 (xN ) f2 (xN )
(f1 f2 ) (x0 )
+1
= [f1 (xv ) f2 (xv )]N
v=0
(4.2.8)
27
elde edilir.
(4.2.7) ve (4.2.8) denklemlerinin eşitli¼
ginden (4.2.5) eşitli¼
gine ulaş¬l¬r.
(4.1.11) eşitli¼
ginde x yerine x
nW
1 al¬n¬r, eşitli¼
gin her iki taraf¬ym (x) ile çarp¬l¬rsa
(x) yn (x) ym (x) =
(W (x
1) ' (x
2) yn (x
1)) ym (x)
(4.2.9)
bulunur. (4.2.9) eşitli¼
ginde n yerine m al¬n¬p taraf tarafa ç¬kart¬l¬rsa
(
=
m) W
n
(W (x
(W (x
(x) yn (x) ym (x)
1) ' (x
2) yn (x
1) ' (x
1)) ym (x)
2) ym (x
1)) yn (x)
(4.2.10)
elde edilir. (4.2.10) eşitli¼
ginin her iki yan¬n¬n v = 0; 1; 2; :::; N için toplam¬al¬n¬rsa
(
m)
n
N
X
W (xv ) yn (xv ) ym (xv )
v=0
=
N
X
[ (W (xv
1) ' (xv
2) yn (xv
1)) ym (xv )
v=0
(W (xv
1) ' (xv
2) ym (xv
1)) yn (xv ) ]
(4.2.11)
bulunur. (4.2.11) eşitli¼
ginde işlemleri k¬saltmak için
A (xv ) = W (xv
1) ' (xv
2)
alal¬m. O halde (4.2.11) eşitli¼
gi
(
m)
n
N
X
W (xv ) yn (xv ) ym (xv )
v=0
=
N
X
[ (A (xv ) yn (xv
1)) ym (xv )
v=0
(A (xv ) ym (xv
(4.2.12)
1)) yn (xv ) ]
şekline dönüşür.
(4.2.12) eşitli¼
ginin sa¼
g k¬sm¬nda
(f1 f2 ) (x) = f1 (x + 1) f2 (x) + f2 (x) f1 (x)
eşitli¼
gi gözönüne al¬n¬r ve f1 = A (xv ) ; f2 =
28
yn (xv
1) ;
g1 = A (xv ) ; g2 =
ym (xv
1) denirse (4.2.12) eşitli¼
gi
(
m)
n
N
X
W (xv ) yn (xv ) ym (xv )
v=0
=
N
X
2
[ A (xv + 1)
yn (xv
1) +
yn (xv
1) A (xv ) ym (xv )
v=0
2
A (xv + 1)
=
N
X
ym (xv
2
[A (xv + 1)
1) +
yn (xv
ym (xv
1) A (xv ) yn (xv ) ]
2
1) ym (xv )
ym (xv
1) yn (xv )
v=0
+ A (xv ) ( yn (xv
1) ym (xv )
ym (xv
1) yn (xv )) ]
(4.2.13)
şekline dönüşür. (4.2.13) eşitli¼
gini (4.2.5) eşitli¼
gine benzetebilmek için
h1 = A (xv )
h2 =
olmak üzere
2
h2 (xv ) =
yn (xv
1) ym (xv )
yn (xv
1) ym (xv )
2
ym (xv
1) yn (xv )
ym (xv
1) yn (xv ) oldu¼
gunu göster-
meliyiz.
h2 (xv ) =
( yn (xv
=
1) ym (xv )
ym (xv
2
yn (xv ) ym (xv ) + ym (xv )
ym (xv ) yn (xv ) + yn (xv )
2
=
yn (xv
1) ym (xv )
yn (xv )
1) yn (xv ))
yn (xv
2
2
1)
ym (xv
1)
ym (xv
1)
O halde (4.2.13) ve (4.2.12) eşitliklerinden
(
m)
n
N
X
W (xv ) yn (xv ) ym (xv )
v=0
= A (xv ) [ yn (xv
1) ym (xv )
ym (xv
+1
1) yn (xv )]N
v=0
(4.2.14)
elde edilir. (4.2.14) denkleminde A (xv ) ; yn (xv ) ; ym (xv ) de¼
gerleri yerlerine yaz¬l¬rsa
(4.2.14) denklemi
(
n
m)
N
X
W (xv ) yn (xv ) ym (xv )
v=0
= W (xv
[ yn (xv
1) ' (xv
2)
1) ym (xv )
şekline dönüşür.
29
ym (xv
+1
1) yn (xv )]N
v=0
(4.2.15)
m 6= n için
m
6=
n
oldu¼
gundan
W (xN +1
olmal¬d¬r.
1) ' (xN +1
N
X
2) = 0 ve W (x0
1) ' (x0
2) = 0
W (xv ) ym (xv ) yn (xv ) = 0
v=0
olur, bu ise ispat¬tamamlar.
Burada
W (xN +1
W (x0
1) ' (xN +1
1) ' (x0
2) = W (A + N ) ' (A + N
2) = W (A
oldu¼
gu aç¬kt¬r.
30
1) ' (A
2)
1) ; ve
(4.2.16)
5.
POZI·TI·F TANIMLI ORTOGONAL POLI·NOM ÇÖZÜMLERI·N SI-
NIFLANDIRILMASI
5.1 ' (x) Polinomunun Durumuna Göre Polinom Çözümlerinin S¬n¬‡and¬r¬lmas¬
Tan¬m 5.1.1: n = 1; 2; 3; ::: için cn 2 R ve dn > 0 olmak üzere
yn (x + 1) = (x
cn ) yn (x)
dn y n
1
(x)
rekürans ba¼
g¬nt¬s¬n¬ sa¼
glayan polinom çözümlere pozitif tan¬ml¬ ortogonal polinom
denir.
Aşa¼
g¬daki durumlarda fark denkleminin ortogonal polinom çözümleri ' (x) polinomunun derecesine göre incelenecektir.
Durum 1: ' (x) = ex2 + 2f x + g olmak üzere der (') = 0 ise e = f = 0 d¬r ve
özel olarak g = 1 al¬n¬rsa (3.1.52) eşitli¼
ginden
2 (n + 1) "
2"
cn =
;
(5.1.1)
n = 0; 1; 2; :::
ve
dn =
bulunur. n; ";
n
;
2"
n = 1; 2; 3; :::
2 R oldu¼
gundan cn 2 R dir. 2" < 0 için dn > 0 oldu¼
gu görülmektedir.
Durum 2: ' (x) = ex2 + 2f x + g olmak üzere der (') = 1 ise e = 0 d¬r ve özel
olarak 2f = 1 al¬n¬rsa (3.1.52) eşitli¼
ginden
cn =
2n ("
1) + 2"
2"
;
(5.1.2)
n = 0; 1; 2; :::
ve
dn =
bulunur. n; ";
n ((n
1) (2" 1) + 2g"
4"2
)
;
n = 1; 2; ::
2 R oldu¼
gundan cn 2 R dir.
dn > 0 koşulunun sa¼
gland¬g¼¬durumlar incelenecektir.
Durum 2.a: 2"
1 ve 2g"
< 0 olsun.
Bu durumda
dn =
n
((n
4"2
1) (2"
1) + (2g"
d¬r.
31
)) > 0;
2" 6= 0:
Durum 2.b: 2" > 1 ve
2g"
2" 1
N
<
N + 1 olsun.
Bu durumda n = 1; 2; :::; N için
n
(2"
4"2
dn =
1) (n
1) +
(2g"
2"
)
1
>0
d¬r.
Durum 3: ' (x) = ex2 + 2f x + g olmak üzere der (') = 2 için özel olarak e = 1
al¬n¬rsa (3.1.52) eşitli¼
ginden
n (n
cn =
1 + 2") (2 (1 f ) + ") (1 ") [
2 (n 1 + ") (n + ")
2"]
;
n = 0; 1; 2; :::
ve
dn =
n (n 2 + 2")
4 (2n 3 + 2") (n + 1 + ")2 (2n 1 + 2")
f (n 1)2 (n 1 + 2")2 + 2 (n 1) (n 1 + 2") (2g + 2f ("
+4" (g"
2
f )+
(5.1.3)
f)
)
g
bulunur. (5.1.3) eşitli¼
ginde n = 1; 2; ::: için
Dn =
1 + ")2
(n
2 2
2
= (n
1 + ")4
= (n
1 + " + + ) (n
2
= (f
")2
2
= f2
g
2
2
+
2
4
(n
2 2
1 + ")2 +
1+"+
) (n
2 2
2
1+"
+ ) (n
1+"
)
g+
(5.1.4)
al¬n¬rsa
dn =
4 (2n
n (n 2 + 2")
3 + 2") (n + 1 + ")2 (2n
1 + 2")
Dn
olur.
Durum 3.a: " > 0 olsun. Bu durumda
4 (2n
n (n 2 + 2")
3 + 2") (n + 1 + ")2 (2n
1 + 2")
< 0;
n = 1; 2; 3; :::
d¬r. O halde dn > 0 koşulunun sa¼
glanmas¬için Dn < 0 olmas¬gerekir.
(
)2 < (n
1 + ")2 < ( + )2 eşitsizli¼
gi sa¼
glan¬rsa
Dn = (n
1 + ")2
( + )2
32
(n
1 + ")2
(
)2 < 0
(5.1.5)
olur.
Durum 3.b: N 2 f1; 2; 3; :::g ve
1 için 2" =
1<t
n (n 2 + 2")
3 + 2") (n + 1 + ")2 (2n
4 (2n
1 + 2")
t olsun. Bu durumda
2N
> 0;
n = 1; 2; 3; :::; N
d¬r. O halde dn > 0 koşulunun sa¼
glanmas¬için Dn > 0 olmal¬d¬r.
< jn
+
1 + "j ve jn
1 + "j < j
j eşitsizliklerinden sadece biri gerçek-
lendi¼
ginde
Dn = (n
1 + " + + ) (n
1+"+
) (n
1+"
+ ) (n
1+"
)>0
olur.
Durum 3.c: N 2 f1; 2; 3; :::g ve
2
0 veya
Dn = (n
2
1 için 2" =
1<t
t olsun.
2N
6= 0; 1; 2; :::; N + 1 koşullar¬n gerçeklendi¼
ginde
0, "
1 + " + + ) (n
1+"+
) (n
1+"
+ ) (n
1+"
)>0
olur.
Teorem 5.1.1: e; f; g; ";
2 R ve n = 0; 1; 2; ::: için
ex2 + 2f x + g
= n (e (n
2
yn (x) + (2"x + ) ( yn ) (x)
1) + 2") yn (x + 1)
fark denkleminin yn polinom çözümleri aşa¼
g¬daki durumlarda pozitif-tan¬ml¬ortogonaldir.
Durum 1:
e = f = 0; g = 1 ve 2" < 0 ise sonsuz say¬da ortogonal polinomdan
oluşan sistem elde edilir.
Durum 2.a:
1 ve 2g"
e = 0; 2f = 1; 2"
< 0 ise sonsuz say¬da ortogonal
polinomdan oluşan sistem elde edilir.
Durum 2.b:
e = 0; 2f = 1; 2" > 1 ve
N
2g"
2" 1
N + 1 ise N + 1 tane
<
ortogonal polinomdan oluşan sonlu sistem elde edilir.
Durum 3.a:
e = 1; " > 0; j
j < " ve N
1< +
N ise N + 1 tane
"
ortogonal polinomdan oluşan sonlu sistem elde edilir.
Durum 3.b: N 2 f1; 2; 3; :::g olmak üzere e = 1; 2" =
jtj
2
j
j
+
<1+
33
t
2
2N
ve N +
t,
t
<j
2
1<t
j
1 için
eşitsizliklerinden sadece biri gerçeklendi¼
ginde N +1 tane ortogonal polinomdan oluşan
sonlu sistem elde edilir.
Durum 3.c: N 2 f1; 2; 3; :::g olmak üzere e = 1; 2" =
2
0 veya
2
0, "
2N
t,
1<t
1 için
6= 0; 1; 2; :::; N + 1 ise N + 1 tane ortogonal
polinomdan oluşan sonlu sistem elde edilir.
34
6. POZI·TI·F TANIMLI ORTOGONAL POLI·NOM ÇÖZÜMLERI·NI·N ÖZELLI·KLERI·
6.1 (2.1.10) Fark Denkleminin Ortogonal Polinom Çözümlerinin Özellikleri
Aşa¼
g¬daki durumlarda a¼
g¬rl¬k fonksiyonlar¬, an;k katsay¬lar¬hesaplan¬p bunlara karş¬l¬k
gelen polinom çözümler ve Rodrigues formülleri elde edilecektir.
Durum 1: e; f; g; 2" 2 R için e = f = 0, g = 1 ve 2" < 0 ise (4.1.13) eşitli¼
ginden
W (x)
ex2 + 2f x + g (2"x + )
=
W (x + 1)
e (x 1)2 + 2f (x 1) + g
=
2"x
+1
1
= ( 2") x +
2"
(6.1.1)
elde edilir. x = 0; 1; 2; 3; ::: için
W (0)
W (0) W (1) W (x 1)
=
:::
W (x)
W (1) W (2)
W (x)
1
1
1
( 2") 1 +
::: ( 2") x 1 +
= ( 2") 0 +
2"
2"
2"
1
1
1
= ( 2")x 0 +
1+
::: x 1 +
2"
2"
2"
1
1
1
1
1
= ( 2")x
1+
::: x 1 +
1
2"
2"
2"
2"
2"
= ( 2")x
1
= ( 2")x
1
= ( 2")x
1
1+
1
2"
1
2"
1
2"
x
1
2"
1
1+
x+
olup
W (x) =
1
1+
2"
2"
x
::: x
1+
1+
1
2"
1
2"
1
(6.1.2)
2"
1
W (0)
2"
( 2")x x + 2"1
(6.1.3)
bulunur.
(4.2.4) ile verilen s¬n¬r koşullar¬ndan W (A
1 ve W ( 1) = W (0) (2"
1) ' (A
2) = 0 d¬r. Bu eşitlikte ' (x) =
+ 1) oldu¼
gu gözönüne al¬n¬rsa A = 0 için
W ( 1) ' ( 2) = W (0) (2"
= 0
elde edilir. Buradan W (0) 6= 0 için
= 2" + 1
35
+ 1)
d¬r.
(4.2.4) ile verilen s¬n¬r koşullar¬ndan W (A + N ) ' (A + N
1) = 0 d¬r. Bu eşitlikte
A + N = x al¬n¬r ve her iki taraf¬n x ! 1 için limiti al¬n¬rsa
lim W (x) ' (x
x!1
1) =
=
lim W (x)
x!1
1
W (0)
2"
x!1 ( 2")x
x + 2"1
lim
elde edilir. Buradan A = 0 için N ! 1 olur.
(6.1.3) eşitli¼
ginde
= 2" + 1 de¼
geri yerine yaz¬l¬rsa x = 0; 1; 2; 3; :::, 2" < 0 için
1
W (0)
2"
W (x) =
( 2")x x + 2"1
1
=
x
( 2") (x + 1)
= 0
(6.1.4)
elde edilir, bu ise Charlier polinomlar¬n¬n a¼
g¬rl¬k fonksiyonudur. Burada W (0) = 1
dir.
(2.1.9) denkleminde e = f = 0, g = 1 ve
= 2" + 1 de¼
gerleri yerlerine yaz¬l¬rsa
n = 0; 1; 2; ::: için
2
yn (x) + (2" (x + 1) + 1) ( yn ) (x) = 2n"yn (x + 1)
(6.1.5)
olur. (6.1.5) denkleminde
( yn ) (x) = yn (x + 1)
2
yn (x) ;
yn (x) = yn (x + 2)
ifadeleri yerlerine yaz¬l¬r, x yerine x
yn (x + 1) + (2"
2yn (x + 1) + yn (x)
1 al¬n¬rsa, n = 0; 1; 2; ::: için
1) yn (x)
2"xyn (x
1) = 2n"yn (x)
bulunur.
(3.1.34) ile verilen üç terimli rekürans ba¼
g¬nt¬s¬nda (5.1.1) eşitlikleri yerlerine yaz¬l¬rsa
yn+1 (x) =
x
n
1
2"
yn (x)
elde edilir. Burada y0 (x) = 1 ve y1 (x) = x +
36
1
2"
dur.
n
yn
2"
1
(x)
(3.1.3) eşitli¼
ginde e = f = 0; g = 1 al¬n¬rsa
(n
k) (2") an;k
(6.1.6)
an;k+1 = 0
ba¼
g¬nt¬s¬elde edilir. (6.1.6) ba¼
g¬nt¬s¬ndan
an;k+1 = (n
olup, k yerine s¬ras¬yla n
k) 2"an;k
2; :::; 0 de¼
gerleri yerlerine yaz¬l¬r ve an;n = n! oldu¼
gu
1; n
gözönüne al¬n¬rsa
an;n = n!
= 2" (n
(n
1)) an;n
= 2":2" (n
(n
= (2")2 :1:2:an;n
..
.
= (2")n
k
1
2)) an;n
2
2
:1:2::: (n
k) an;k
bulunur. Buradan
an;k =
n!
(2")n
k
(n
k)!
(a + i
1) ;
(6.1.7)
elde edilir.
Tan¬m 6.1.1: (Pochhammer Sembolü)
(a)0 = 1
ve
(a)k =
k
Y
k = 1; 2; 3; :::
i=1
ve
a
k
:=
( a)k
( 1)k ;
k!
k = 0; 1; 2; :::
(6.1.8)
dir.
(6.1.7) ve (6.1.8) eşitliklerinden k = 0; 1; 2; :::; n için
an;k =
n!
n k
(2")
(n
k)!
k
=
(2") n
k!
(2")n k
(2")k ( n)k
( 1)k k!
(2")n k!
1
=
( 1)k ( n)k (2")k
(2")n
=
37
(6.1.9)
olarak elde edilir.
(3.1.1) eşitli¼
ginde c = 0 al¬n¬r ve (6.1.9) ile verilen an;k katsay¬lar¬yerlerine yaz¬l¬rsa
yn (x) =
n
X
k=0
bulunur.
0
@
2 F0
n; x
1
k
k x
n ( 1) ( n)k (2")
k
(2")
1
(6.1.10)
1
X
( n)k ( x)k
(2")k
k!
k=0
; 2"A =
n
X
( n)k ( x)k
=
(2")k
k!
k=0
n ( n)k
X
=
k=0
n
X
=
x
k
( 1)k k!
(2")k
k!
x
k
( n)k ( 1)k (2")k
k=0
(6.1.11)
olup, (6.1.10) ve (6.1.11) eşitliklerinden n = 0; 1; 2; ::: için
0
1
n; x
1
@
yn (x) =
; 2"A
n 2 F0
(2")
elde edilir. Bu ise e = f = 0; g = 1; 2" < 0 olmas¬durumunda (2.1.10) ile verilen
fark denkleminin pozitif tan¬ml¬ortogonal polinom çözümüdür.
Tan¬m 6.1.2: (Rodrigues Formülü)
Kn =
1
n
Y
(e (2n
k
1) + 2")
k=1
olmak üzere
Kn
yn (x) =
W (x)
n
W (x
n)
n
Y
' (x
k
!
1)
k=1
şeklinde tan¬mlan¬r.
(6.1.12)
(6.1.12) eşitli¼
ginde e = f = 0; g = 1 al¬n¬rsa n = 0; 1; 2; ::: için (2.1.10) denkleminin
Rodrigues formülü
yn (x) =
1
n
Y
(2")
1
W (x)
n
(W (x
n) :1)
k=1
=
1
x
(x + 1)
n ( 2")
(2")
38
n
x n
( 2")
1
(x
n + 1)
şeklindedir.
Lemma 6.1.1: (2.1.10) ile verilen denklemin monik polinom çözümleri olan, (3.1.34)
ile verilen üç terimli rekürans ba¼
g¬nt¬s¬n¬sa¼
glayan yn (x) ler için
[1] = 1 ve
[ym yn ] = 0, m 6= n, m; n 2 f0; 1; 2; :::g
olacak şekilde bir lineer operatör vard¬r.
I·spat: n = 1; 2; ::: için
:
y0 ! 1
yn ! 0
olacak şekilde lineer bir operatör tan¬mlayal¬m.
1) y0 = 1 için
[y0 ] = 1 dir.
2) Kabul edelim ki m 6= 0 olsun. O halde m = 1; 2; 3; ::: için
[ym y0 ] =
=
[ym :1]
[ym ]
(6.1.13)
= 0
olur.
3) (3.1.34) ile verilen üç terimli rekürans ba¼
g¬nt¬s¬
xyn (x) = yn+1 (x) + cn yn (x) + dn yn
1
(6.1.14)
(x)
şeklinde yaz¬labilir. (6.1.14) denkleminin her iki taraf¬na
operatörü uygulan¬r,
(6.1.13) eşitli¼
gi gözönüne al¬n¬rsa n = 2; 3; 4; ::: için
[xyn (x)] =
[yn+1 (x)] + cn [yn (x)] + dn [yn
1
(x)]
(6.1.15)
= 0
bulunur.
(6.1.14) eşitli¼
ginin her iki taraf¬x ile çarp¬l¬rsa
x2 yn (x) = xyn+1 (x) + cn xyn (x) + dn xyn
elde edilir. (6.1.16) denkleminin her iki taraf¬na
1
(6.1.16)
(x)
operatörü uygulan¬r, (6.1.15) eşitli¼
gi
gözönüne al¬n¬rsa n = 3; 4; 5; ::: için
x2 yn (x)
=
[xyn+1 (x)] + cn [xyn (x)] + dn [xyn
= 0
39
1
(x)]
bulunur. Benzer şekilde devam edilir ve m < n al¬n¬rsa
[(a0 + a1 x + ::: + xm ) yn ]
[ym yn ] =
= a0 [yn ] + a1 [xyn ] + ::: +
[xm yn ]
(6.1.17)
= 0
elde edilir. Bu ise ispat¬tamamlar.
(6.1.14) eşitli¼
ginin her iki taraf¬yn
xyn (x) yn
1
(x) = yn+1 (x) yn
1
1
(x) ile çarp¬l¬rsa n = 1; 2; 3; ::: için
(x) + cn yn (x) yn
bulunur.
xyn
1
(x) = yn (x) +
n 1
X
i=0
1
(x) + dn yn
1
(x) yn
1
(x) (6.1.18)
si yi (x) , si 2 R
eşitli¼
gi (6.1.18) denkleminde yerine yaz¬l¬rsa
yn (x) yn (x) +
n 1
X
!
si yi (x)
i=0
= yn+1 (x) yn
1
(x) + cn yn (x) yn
olur. Bu denkleminin her iki taraf¬na
1
(x) + dn yn
1
(x) yn
1
(x)
operatörü uygulan¬r, (6.1.17) eşitli¼
gi gözönüne
al¬n¬rsa
[yn (x) yn (x)] +
n 1
X
si [yn (x) yi (x)]
i=0
=
[yn+1 (x) yn
1
(x)] + cn [yn (x) yn
1
(x)] + dn [yn
1
(x) yn
1
(x)]
olup n = 1; 2; 3; ::: için
yn2 = dn
yn2
1
elde edilir. Buradan
yn2
yn2
= dn
= dn dn
1
1
= dn dn 1 dn
yn2
2
= dn dn 1 :::d1
2
yn2
3
y02
= dn dn 1 :::d1 [1]
= dn dn 1 :::d1 :1
n
Y
=
dk
k=1
40
(6.1.19)
bulunur.
P
P
W (x)
d0 = 1
[y] = 1
x=0 W (x) ve
x=0 d0 y alal¬m.
P
1
1) [1] = d10 1
x=0 W (x) = d0 d0 = 1
P
2) [ym yn ] = d10 1
x=0 W (x) ym (x) yn (x) = 0, m 6= n
oldu¼
gundan lemma 6.1.1’den m = n için
1
1 X
[ym yn ] =
W (x) ym (x) yn (x)
d0 x=0
= d1 d2 :::dn
olup eşitlik düzenlenirse
1
X
W (x) ym (x) yn (x) = d0 d1 :::dn
(6.1.20)
m;n
x=0
elde edilir.
1
X
1
1
X
X
( 2")x
( 2")x
=
= exp
d0 :=
W (x) =
(x + 1) x=0 x!
x=0
x=0
1
2"
>0
şeklinde tan¬mlans¬n. Bu eşitlik (6.1.20) eşitli¼
ginde gözönüne al¬n¬rsa
1
X
W (x) yn (x) yn (x) = d0 d1 :::dn
m;n
x=0
= exp
1
2"
1
exp
n!
2"
=
n
( 2")
1 2
n
:::
2" 2" 2"
m;n
m;n
olup m; n = 0; 1; 2; ::: için
1
X
ym (x) yn (x)
x=0
( 2")x x!
1
exp
n!
2"
=
n
( 2")
m;n
elde edilir.
Durum 2.a: e; f; g; 2";
2 R için e = 0; 2f = 1; 2"
1; 2" 6= 0 ve 2g" <
olmas¬
halinde aşa¼
g¬daki durumlar ayr¬ayr¬incelenecektir.
Durum 2.a.1: e = 0; 2f = 1; 2g" < ; 2" < 0 ise (4.1.13) eşitli¼
ginde
W (x)
(1 2") x + g
=
W (x + 1)
x+g 1
x + 1g 2"
= (1 2")
x+g 1
41
(6.1.21)
elde edilir. x = 0; 1; 2; 3; ::: için
W (0)
W (0) W (1) W (x 1)
=
:::
W (x)
W (1) W (2)
W (x)
g
0 + 1 2"
1 + 1g 2"
x 1 + 1g 2"
= (1 2")
(1 2")
::: (1 2")
0+g 1
1+g 1
x 1+g 1
g
g
g
0 + 1 2" 1 + 1 2"
x 1 + 1 2"
= (1 2")x
:::
0+g 11+g 1 x 1+g 1
0 + 1g 2" 0 + 1g 2" 1 + 1g 2" ::: x 1 + 1g
(g 1)
= (1 2")x
g
(0 + g 1) (0 + g 1) (1 + g 1) ::: (x 1 + g
1 2"
= (1
= (1
x
2")
2")x
(g
x 1 + 1g 2" x
(x 1 + g 1) (x
1)
g
1 2"
(g
1 + 1g
1+g
2"
1)
2"
1)
g
1 2"
x+
(x + g
1)
g
1 2"
1)
olup,
(x + g
W (x) = W (0)
x+
g
1 2"
1)
g
1 2"
(g
x
1
1)
1
(6.1.22)
2"
olarak bulunur.
(4.2.4) ile verilen s¬n¬r koşullar¬ndan W (A
x + g ve W ( 1) = W (0) (
1+2"+g
g 2
)
1) ' (A
2) = 0 d¬r. Bu eşitlikte ' (x) =
oldu¼
gu gözönüne al¬n¬rsa A = 0 için
( 1 + 2" + g
g 2
= W (0) ( 1 + 2" + g
W ( 1) ' ( 2) = W (0)
)
(g
2)
)
elde edilir. Buradan W (0) 6= 0 için
g=
2" + 1
olur.
(4.2.4) ile verilen s¬n¬r koşullar¬ndan W (A + N ) ' (A + N
1) = 0 d¬r. Bu eşitlikte
A + N = x al¬n¬r, ve her iki taraf¬n x ! 1 için limiti al¬n¬rsa
lim W (x) ' (x
x!1
1) =
lim W (0)
x!1
g
1 2"
(g
(x + g 1) (x + g 1)
x
1)
x + 1g 2" (1 2")
= 0
elde edilir. Buradan A = 0 için N ! 1 olur.
(3.1.2) eşitli¼
ginde e = 0; 2f = 1; g =
e (c + 1)2
2" + 1 de¼
gerleri yerlerine yaz¬l¬rsa
2f (c + 1) + g =
(c + 1) +
2" + 1 =
42
2" (c + 1) +
2" (c + 1) +
,
olup c = 0 bulunur.
(6.1.22) eşitli¼
ginde g =
2" + 1 de¼
geri yerine yaz¬l¬rsa x = 0; 1; 2; ::: için
(x + g
W (x) = W (0)
x+
1)
g
1 2"
g
1 2"
(g
1
x
1) (1 2")
(x +
2")
(x + 1) (1 2")x
=
(6.1.23)
elde edilir, bu ise Meixner polinomlar¬n¬n a¼
g¬rl¬k fonksiyonudur. Burada W (0) =
1) dir.
(g
(2.1.9) denkleminde e = 0; 2f = 1; g =
(x +
2
2" + 1)
2" + 1 de¼
gerleri yerlerine yaz¬l¬rsa
(6.1.24)
yn (x) + (2"x + ) ( yn ) (x) = 2n"yn (x + 1)
elde edilir. (6.1.24) denkleminde
( yn ) (x) = yn (x + 1)
2
yn (x) = yn (x + 2)
ifadeleri yerlerine yaz¬l¬r, x yerine x
(x +
2") yn (x + 1)
yn (x) ;
2yn (x + 1) + yn (x)
1 al¬n¬rsa, n = 0; 1; 2; ::: için
(2 (1
") x +
2") yn (x) + (1
2") xyn (x
1)
= 2n"yn (x)
bulunur.
(3.1.34) ile verilen üç terimli rekürans ba¼
g¬nt¬s¬nda (5.1.2) eşitlikleri yerlerine yaz¬l¬rsa,
yn+1 (x) =
x
2n ("
1) + 2"
2"
yn (x)
elde edilir. Burada y0 (x) = 1, ve y1 (x) = x
(3.1.3) denkleminde e = 0; 2f = 1; g =
n (1
1+
2"
2") (n 1 +
4"2
2")
yn
1
(x)
d¬r.
2"+1; c = 0 al¬n¬rsa k = n 1; n 2; :::; 0
için
(n
k) (e (n + k
1) + 2") an;k
(n
e (k
1
k) 2"an;k = (k +
43
c)2 + 2f (k
2") an;k+1
1
c) + g an;k+1 = 0
(6.1.25)
iki terimli rekürans ba¼
g¬nt¬s¬ elde edilir. (6.1.25) ba¼
g¬nt¬s¬nda k yerine s¬ras¬yla n
1; n
2; :::; 0 de¼
gerleri yaz¬l¬r ve an;n = n! oldu¼
gu gözönüne al¬n¬rsa
an;n = n!
2" (n (n 1))
=
an;n 1
n 1+
2"
2"
2":2
=
an;n 2
(n +
2") 1 (n +
2") 2
..
.
(2")n k :1:2:3::: (n k)
an;k
=
[(n +
2") 1] ::: [(n +
2") (n k)]
=
(2")n k (n k)!
2")] ::: [(k +
2") + (n
[(k +
(2")n
=
(k +
k
k
1)]
an;k
(n k)!
an;k
2")n k
bulunur. Eşitlik düzenlenirse k = 0; 1; 2; :::; n için
an;k =
n! (k +
(2")
2")n
n k
(n
k
(6.1.26)
k)!
olur. (6.1.26) denkleminde
(2")n
k
n!
(n
k)!
=
( 1)k (2")n
= (n
( 2")k
;
k + 1) (n
k + 2):::(n
= ( n) ::: ( n + k
(
(
2")n
2")k
2)(n
1)n
1) ( 1)k
= ( n)k ( 1)k ;
(
2") ::: (
2" + k
=
(
= (k +
2")n k
1) (
2" + k) ::: (
2") ::: (
2" + k
2" + k + (n
1)
k
1))
eşitlikleri gözönüne al¬n¬rsa
an;k =
n! (k +
(
=
(
(
=
(2")
n k
2")n
(n
k
k)!
2")n ( 2")k
( n)k ( 1)k
k
n
2")k ( 1) (2")
2")n ( n)k
( 2")k
(2")n (
2")k
44
(6.1.27)
elde edilir.
0
@
2 F1
n; x
2"
1
; 2"A =
1
X
( n)k ( x)k (2")k
(
2")k
k!
k=0
n
X
( n)k ( x)k (2")k
=
(
2")k
k!
k=0
=
=
n
X
k=0
n
X
k=0
x
k
( 2")k ( 1)k
k!
2")k ( 1)k
( n)k
(
k!
( n)k
x
( 2")k
k
(
2")k
(6.1.28)
olup, (6.1.27), (6.1.28) eşitlikleri (3.1.1) denkleminde yerlerine yaz¬l¬rsa n = 0; 1; 2; :::
için
yn (x) =
=
n
X
k=0
n
X
k=0
an;k
(
x
k
2")n ( n)k
x
( 2")k
n
(2")
(
2")k
k
n
2")n X ( n)k
x
( 2")k
=
n
(2")
(
2")k
k
k=0
0
1
n; x
(
2")n
@
=
; 2"A
2 F1
n
(2")
2"
(
bulunur. Bu ise e = 0; 2f = 1; 2" < 0 olmas¬durumunda (2.1.10) ile verilen fark
denkleminin pozitif tan¬ml¬ortogonal polinom çözümüdür.
(6.1.12) denkleminde e = 0; 2f = 1; g =
2"+1 de¼
gerleri yerlerine yaz¬l¬r, (6.1.23)
eşitli¼
gi gözönüne al¬n¬rsa
yn (x) =
1
n
Y
(e (2n
k
1) + 2")
1
W (x)
n
W (x
n)
n
Y
k=1
k=1
=
n
Y
1
(e (2n
k
1) + 2")
(x + 1) (1 2")x
(x +
2")
k=1
n
(1
(x n +
2")x n (x
n
Y
2")
' (x
n + 1) k=1
45
k
!
1)
' (x
k
!
1)
(1 2")x (x + 1)
=
(2")n (x +
2")
(1
(x n +
2")x n (x
(1
(x n +
2")x n (x
n
(1 2")x (x + 1)
=
(2")n (x +
2")
n
n
Y
2")
' (x
n + 1) k=1
k
n
Y
2")
(x +
n + 1) k=1
1)
2"
!
!
k)
(6.1.29)
elde edilir. (6.1.29) denkleminde
(x
n+
2")
n
Y
(x +
2"
k)
k=1
=
(x +
2"
n) (x +
=
(x +
2"
(n
=
(x +
2"
1) (x +
=
(x +
2")
2"
n) (x +
1)) (x +
2"
2"
(n
(n
1)) ::: (x +
1)) ::: (x +
2"
2"
1)
1)
..
.
2"
1)
eşitli¼
gi yerine yaz¬l¬rsa (2.1.10) denkleminin Rodrigues formülü
yn (x) =
(1 2")x (x + 1)
(2")n (x +
2")
şeklinde bulunur.
d0 :=
1
X
x=0
(1
(
(1
2" + x)
2")x x!
şeklinde tan¬mlans¬n. (6.1.30) denkleminde
0
1
1
X
2"
1
@
A =
;
(
1 F0
1 2"
k=0
=
1
X
k=0
=
(x +
2")
x n
2")
(x n + 1)
n
(
2")k
(
(6.1.30)
2"))k
(1= (1
k!
2" + k) (1= (1 2"))k
(
2")
k!
1
2")
1
X
x=0
(
(1
2" + x)
2")x x!
1
1
eşitli¼
gi gözönüne al¬n¬rsa
d0
:
=
1
X
x=0
=
(
(
(1
2" + x)
2")x x!
0
2") 1 F0 @
46
2"
;
1
2"
A
=
(
=
(
1
2")
(
1
2") 1
1
2")
2"
2"
2"
2"
(6.1.31)
olur.
(5.1.2) ve (6.1.31) eşitlikleri (6.1.20) denkleminde yerlerine yaz¬l¬rsa 2" < 0,
> 2"
ve m; n = 0; 1; 2; ::: için
1
X
W (x) ym (x) yn (x)
x=0
= d0 d1 d2 :::dn
=
(
2")
=
(
2")
=
(
2")
=
=
(
(1
m;n
1
1
1
2"
2"
2"
2"
2"
2"
n
2" Y
i [(i
i=1
2"
2"
1) (2" 1) + 2g"
4"2
n
1 Y
f i [(i
(4"2 )n i=1
1) (2"
n
1 Y
f i [(2"
(4"2 )n i=1
2") (1 2")n+ 2"
(
2" + n)
n!
2n+ 2"
(
2")
( 2")
n+ 2"
2")
(
2" + n) n!
m;n
2n+ 2"
( 2")
1) (i
]
m;n
1) + 2g"
1
]g
2") + (2"
m;n
1)]g
m;n
m;n
bulunur.
Durum 2.a.2: e = 0; 2f = 1; 2g" < ; 0 < 2" < 1 alal¬m.
(4.2.4) ile verilen s¬n¬r koşullar¬ndan W (A + N ) ' (A + N
1) = 0 d¬r. Bu eşitlikte
A + N = x al¬n¬r ve her iki taraf¬n x ! 1 için limiti al¬n¬rsa
lim W (x) ' (x
x!1
W (0)
1) = lim
x!1
(g
=
1=
6 0
g
1 2"
1)
(x + g 1) x + g 1
x
x + 1g 2" (1 2")
bulunur.
x=
1; 2; ::: için
W (x)
W ( 1) W ( 2) W (x + 1) W (x)
=
:::
W (0)
W (0) W ( 1) W (x + 2) W (x + 1)
1 + 1g 2"
2 + 1g 2"
x + 1g 2"
x
= (1 2")
:::
1 + (g 1) 2 + (g 1) x + (g 1)
1 1g 2"
x 1g 2"
= (1 2") x
:::
1 (g 1)
x (g 1)
g
g
x 1 2" + 1 =
+1
x
1 2"
= (1 2")
( x (g 1) + 1) = (1 (g 1))
47
olup
1 2" g+
1 2"
W (x) = W (0)
(2
g+
x + 1 2"
1
1 2"
( x + 2 g) (1 2")x
g)
(6.1.32)
elde edilir.
(4.2.4) ile verilen s¬n¬r koşullar¬nda A + N = x al¬n¬r ve her iki taraf¬n x !
1 için
limiti al¬n¬rsa
lim W (x) ' (x
1) =
x! 1
lim
(2
x! 1
g+
x + 1 2"
x+g 1
1 2"
( x + 2 g) (1 2")x
1 2" g+
1 2"
W (0)
g)
= 0
elde edilir. Buradan A !
1 olur.
(4.2.4) ile verilen s¬n¬r koşullar¬nda A + N yerine s¬f¬r al¬n¬rsa
W (A + N ) ' (A + N
1) = W (0) ' ( 1)
= W (0) ( 1 + g)
= 0
olup, W (0) 6= 0 için g = 1 bulunur.
(6.1.32) eşitli¼
ginde g = 1 al¬n¬rsa x = 0; 1; 2; ::: için
W (x) =
(r x)
2")x (1
(1
(6.1.33)
x)
elde edilir, bu ise Meixner polinomlar¬n¬n a¼
g¬rl¬k fonksiyonudur. Burada W (0) =
1
;
(r)
r=
2"
1 2"
dur.
(2.1.9) denkleminde e = 0; 2f = 1; g = 1 de¼
gerleri yerlerine yaz¬l¬rsa n = 0; 1; 2; :::
için
(x + 1)
2
yn (x) + (2"x + ) ( yn ) (x) = 2n"yn (x + 1)
di¼
ger bir gösterimle
xyn (x + 1)
(2 (1
") x + 2"
) yn x + ((1
2") x + 2"
) yn (x
1) = 2n"yn (x)
denklemi elde edilir.
(3.1.34) ile verilen üç terimli rekürans ba¼
g¬nt¬s¬nda (5.1.2) eşitlikleri yerlerine yaz¬l¬rsa,
yn (x + 1) =
x
2n ("
1) + 2"
2"
yn (x)
elde edilir. Burada y0 (x) = 1; y1 (x) = x
1+
48
n ((n
1) (1
2")
4"2
2"
dur.
2" + )
yn
1
(x)
(3.1.3) eşitli¼
ginde e = 0; 2f = 1; g = 1; c = 0 al¬n¬rsa k = n
2" (n
1; n
2; :::; 0 için
k) an;k = (k + r) an;k+1
(6.1.34)
iki terimli rekürans ba¼
g¬nt¬s¬elde edilir. (6.1.34) ba¼
g¬nt¬s¬nda k yerine s¬ras¬yla n
1; n
2; :::; 0 de¼
gerleri yaz¬l¬r ve an;n = n! oldu¼
gu gözönüne al¬n¬rsa
an;n = n!
2" (n (n 1))
=
an;n 1
n 1+r
2"
2":2
=
an;n 2
(r + n 1) (r + n 2)
..
.
(2")n k 1:2::: (n k)
an;k
=
(r + n 1) (r + n 2) ::: (r + k)
bulunur. Buradan k = 0; 1; 2; :::; n için
(r)n n!
an;k =
n k
(2")
(r)k (n k)!
(r)n ( n)k
=
( 2")k
(2")n (r)k
(6.1.35)
olur.
(3.1.1) eşitli¼
ginde (6.1.35) ile verilen an;k de¼
gerleri yerlerine yaz¬l¬r ve c =
yn (x) =
=
n
X
k=0
n
X
k=0
an;k
x
r al¬n¬rsa
r
k
(r)n ( n)k
x r
( 2")k
n
(2") (r)k
k
n
(r x)k
(r)n X ( n)k
=
( 2")k
( 1)k
n
(2") k=0 (r)k
k!
=
n
(r)n X ( n)k (r x)k (2")k
(2")n k=0
(r)k
k!
1
(r)n X ( n)k (r x)k (2")k
=
(2")n k=0
(r)k
k!
0
1
n; r x
(r)n
@
; 2"A
=
n 2 F1
(2")
r
elde edilir. Bu ise e = 0; 2f = 1; 0 < 2" < 1 olmas¬durumunda (2.1.10) ile verilen
fark denkleminin pozitif tan¬ml¬ortogonal polinom çözümüdür.
49
(6.1.12) denkleminde e = 0; 2f = 1; g = 1 de¼
gerleri yerlerine yaz¬l¬r, (6.1.33) eşitli¼
gi
gözönüne al¬n¬rsa n = 0; 1; 2; ::: için (2.1.10) denkleminin Rodrigues formülü
yn (x) =
1
n
Y
(e (2n
k
1
W (x)
1) + 2")
n
W (x
n)
n
Y
' (x
k
k=1
1)
!
k=1
1 (1
=
(2")n
2")x (1
(r x)
(1 2")x (1 x)
=
(2")n (r x)
(1 2")x (1 x)
=
( 2")n (r x)
x)
n
(1
n
Y
(r x + n)
(x
2")x n (1 x + n) k=1
k)
!
(r x + n)
( 1)n (n x + 1)
(1 x)
2")x n (1 x + n)
(r x + n)
2")x n (1 x)
n
(1
n
(1
şeklinde bulunur.
d0
:
0
X
=
W (x)
x= 1
=
1
X
(1
x=0
=
=
1
X
(1
x=0
1
X
x=0
=
=
2")x (x + r)
(x + 1)
2")x (x + r)
x!
(r) (r)x
0
(r) 1 F0 @
(1
r
(r)
(2")r
2")x
x!
;1
1
2"A
(6.1.36)
şeklinde tan¬mlans¬n.
(5.1.2) ve (6.1.36) eşitlikleri (6.1.20) denkleminde yerlerine yaz¬l¬rsa 0 < 2" < 1;
> 2"
ve m; n = 0; 1; 2; ::: için
1
X
x=0
W ( x) ym ( x) yn ( x) =
1
X
(1
x=0
2")x (x + r)
ym ( x) yn ( x)
x!
= d0 d1 d2 :::dn m;n
n
(r) Y i [(i
=
(2")r i=1
1) (2" 1) + 2"
]
m;n
2
2
(4" )
n
Y
2"
(r)
n
(1 2") 1 i
=
2n+r ( 1) n!
1 2"
(2")
i=1
50
m;n
(r)
=
n! (1
(2")2n+r
=
2")
n
n
Y
(i
1 + r)
m;n
i=1
(1 2")n
(n + r) n!
(2")2n+r
m;n
elde edilir.
Durum 2.a.3: e = 0; 2f = 1; 2g" < ; 2" = 1 alal¬m.
(3.1.2) eşitli¼
ginde e = 0; 2f = 1 al¬n¬rsa
e (c + 1)2
2f (c + 1) + g =
(c + 1) + g =
2" (c + 1) +
(c + 1) +
g =
bulunur. Di¼
ger taraftan 2g" <
ve 2" = 1 oldu¼
gundan g <
bulunur, bu ise
çelişkidir. Bu durumda (3.1.2) eşitli¼
gini sa¼
glayan bir c katsay¬s¬ mevcut de¼
gildir.
Lemma 3.1.2’den c katsay¬s¬
ec2
2f c + g = 0
eşitli¼
gini sa¼
glar. Bu eşitlikte e = 0; 2f = 1 al¬n¬rsa c = g bulunur.
(4.1.13) eşitli¼
ginde e = 0; 2f = 1; c = g al¬n¬rsa
W (x)
(1 2") x + g
=
W (x + 1)
x+g 1
g
=
x+g 1
(6.1.37)
elde edilir. x = 0; 1; 2; 3; ::: için
W (0)
W (0) W (1) W (x 1)
=
:::
W (x)
W (1) W (2)
W (x)
g
g
g
=
:::
0+g 11+g 1 x 1+g
(g
)x
=
(x + g 1) = (g 1)
1
olup
(x + g 1)
(g 1) (g
)x
(6.1.38)
(4.2.4) ile verilen s¬n¬r koşullar¬ndan W (A + N ) ' (A + N
1) = 0 d¬r. Bu eşitlikte
W (x) = W (0)
bulunur.
A + N = x al¬n¬r ve her iki taraf¬n x ! 1 için limiti al¬n¬rsa
lim W (x) ' (x
x!1
1) =
=
lim
x!1
W (0)
(x + g 1)
(x
(g 1) (g
)x
1
51
1 + g)
olur.
x=
1; 2; ::: için
W (x)
W ( 1) W ( 2)
W (x)
=
:::
W (0)
W (0) W ( 1) W (x + 1)
g
g
g
=
:::
1 + (g 1) 2 + (g 1) x + (g
(
g) x
=
( 1)x (2 g) (3 g) ::: (1 g x)
(
g) x
=
(2 g x) = (2 g)
olup
W (x) =
W (0) (
g)
(2 g
x
(2
x)
1)
g)
(6.1.39)
elde edilir. (4.2.4) ile verilen s¬n¬r koşullar¬nda A + N = x al¬n¬r ve her iki taraf¬n
x!
1 için limiti al¬n¬rsa
lim W (x) ' (x
x! 1
1) =
lim W (0) (2
x! 1
g)
(
g) x (x
(2 g
1 + g)
x)
= 0
bulunur. Buradan A !
1 olur.
(4.2.4) ile verilen s¬n¬r koşullar¬nda A + N yerine s¬f¬r al¬n¬rsa
W (A + N ) ' (A + N
1) = W (0) ' ( 1)
= W (0) (g
1)
= 0
olup, W (0) 6= 0 için g = 1 bulunur.
(6.1.39) eşitli¼
ginde g = 1 al¬n¬rsa x = 0; 1; 2; ::: için
W (x) =
1
(
1)
x
(1
x)
(6.1.40)
elde edilir, bu ise Charlier polinomlar¬n¬n a¼
g¬rl¬k fonksiyonudur. Burada W (0) = 1
dir.
(2.1.9) denkleminde e = 0; 2f = 1; g = 1; 2" = 1 de¼
gerleri yerlerine yaz¬l¬rsa
n = 0; 1; 2; ::: için
(x + 1)
2
yn (x) + (x + ) ( yn ) (x) = nyn (x + 1)
52
di¼
ger bir gösterimle
xyn (x + 1)
(x + 1
) yn (x) + (1
) yn (x
1) = nyn (x)
denklemi elde edilir.
(5.1.2) eşitli¼
ginde g = 1; 2" = 1 al¬n¬r ise n = 1; 2; 3; ::: için
cn = 1
n
ve
dn =
n (1
(6.1.41)
)
bulunur.
(3.1.34) ile verilen üç terimli rekürans ba¼
g¬nt¬s¬nda (6.1.41) eşitlikleri yerlerine yaz¬l¬rsa,
yn+1 (x) = (x + n
1 + ) yn (x) + n (1
olur. Burada y0 (x) = 1 ve y1 (x) = x
) yn
(x)
d¬r.
1+
(3.1.18) eşitli¼
ginde e = 0; 2f = 1; g = 1; c = 1 al¬n¬rsa k = n
(n
1
k) bn;k = (
1; n
1) bn;k+1
2; :::; 0 için
(6.1.42)
iki terimli rekürans ba¼
g¬nt¬s¬elde edilir. (6.1.42) ba¼
g¬nt¬s¬nda k yerine s¬ras¬yla n
1; n
2; :::; 0 de¼
gerleri yaz¬l¬r ve bn;n = n! oldu¼
gu gözönüne al¬n¬rsa
bn;n = n!
n
=
=
=
(n
1)
1
..
.
(n
(n
(
(n
bn;n
1))
1)
k)!
:::
1
(n
(
k)
bn;k
1)
b
k n;k
(
1)n
bn;k
n! (
=
(n
olup
bulunur.
53
1)n
k)!
k
(6.1.43)
yn (x) =
Pn
k=0 bn;k
x+c+k 2
k
eşitli¼
ginde (6.1.43) ile verilen bn;k de¼
gerleri yerine yaz¬l¬r
ve c = 1 al¬n¬rsa
n
X
yn (x) =
x+k
k
bn;k
k=0
n
X
=
1
(
1) ( n)k
1)n
n
X
x+k
k
1
k=0
= (
k
1
n
( n)k (x)k
k=0
(1= (1
k!
1
))k
1
X
(1= (1
))k
n
1)
( n)k (x)k
k!
k=0
1
0
n; x
1 A
1)n 2 F0 @
;
1
= (
= (
elde edilir. Bu ise e = 0; 2f = 1; g = 1; 2" = 1 olmas¬durumunda (2.1.10) ile verilen
fark denkleminin pozitif tan¬ml¬ortogonal polinom çözümüdür.
(6.1.12) denkleminde e = 0; 2f = 1; g = 1 de¼
gerleri yerlerine yaz¬l¬r, (6.1.40) eşitli¼
gi
gözönüne al¬n¬rsa n = 0; 1; 2; ::: için (2.1.10) denkleminin Rodrigues formülü
yn (x) =
1
n
Y
(e (2n
k
1
W (x)
1) + 2")
n
W (x
n)
n
Y
k=1
' (x
k
1)
!
k=1
= (
1)x (1
= ( 1)n (
1
n
x)
1)x
(
(
1)x (1
x)
d0
=
n
n
(1
1)n x
(1 x)
( 1)n (n x + 1)
(1 x)
x + n)
şeklinde bulunur.
:
0
X
W (x)
x= 1
=
=
1
X
x=0
1
X
(
1)
(
1)x
x=0
= e
1
x
(1 + x)
x!
1
(6.1.44)
şeklinde tan¬mlans¬n.
54
(6.1.41) ve (6.1.44) eşitlikleri (6.1.20) denkleminde yerlerine yaz¬l¬rsa 2" = 1;
> 2"
ve m; n = 0; 1; 2; ::: için
0
X
W (x) yn (x) ym (x) =
x= 1
1
X
W ( x) yn ( x) ym ( x)
x=0
= d0 d1 :::dn m;n
n
Y
= e 1
i(
1)
m;n
i=1
= e
1
n! (
1)n
m;n
elde edilir.
Durum 2.b: e = 0; 2f = 1; 2" > 1 ve
N
2g"
2" 1
<
N + 1 olsun.
(3.1.2) eşitli¼
ginde e = 0; 2f = 1 al¬n¬rsa
c+1=
g
1
(6.1.45)
2"
elde edilir.
(4.2.4) ile verilen s¬n¬r koşullar¬nda A = 0 al¬n¬r ve (4.1.12) eşitli¼
gi gözönüne al¬n¬rsa,
0 = W ( 1) ' ( 2)
olup, W (0) 6= 0 için g =
= W (0) (' ( 1)
( 1))
= W (0) (( 1 + g)
(2" ( 1) + ))
2" + 1 dir. (6.1.45) eşitli¼
ginde g =
2" + 1
1 2"
c =
2" + 1 al¬n¬rsa
1
= 0
bulunur.
(4.1.13) eşitli¼
ginde e = 0; 2f = 1 al¬n¬rsa
W (x)
(1 2") x + g
=
W (x + 1)
x+g 1
(1 2") (x + 1)
=
x+
2"
elde edilir.
Durum 2.b.1:
2g"
2" 1
=
2" =
N alal¬m.
55
(6.1.46)
(6.1.46) eşitli¼
ginde
N de¼
geri yerine yaz¬l¬rsa
2" =
W (x)
(1
=
W (x + 1)
2") (x + 1)
x N
(6.1.47)
bulunur.
x = 0; 1; 2; 3; :::; N için
W (0)
W (0) W (x 1)
=
:::
W (x)
W (1)
W (x)
(1 2") 1 (1 2") (x)
:::
=
0 N
(x 1) N
(2" 1)x x!
=
N (N 1) ::: (N (x 1))
(2" 1)x x!
=
N != (N x)!
olup
W (x) =
(2"
1)
1
N!
elde edilir. (6.1.48) eşitli¼
ginde W (0) =
W (x) =
(2"
W (0) N !
(x + 1) (N + 1
x
x
1)
(6.1.48)
x)
al¬n¬rsa x = 0; 1; 2; :::; N için
1
(x + 1) (N + 1
(6.1.49)
x)
elde edilir, bu ise Krowtchouk polinomlar¬n¬n a¼
g¬rl¬k fonksiyonudur.
(2.1.9) denkleminde e = 0; 2f = 1;
N de¼
gerleri yerlerine yaz¬l¬rsa x =
2" =
0; 1; 2; :::; N için
(x
2
N + 1)
yn (x) + (2" (x + 1)
N ) ( yn ) (x) = 2n"yn (x + 1)
di¼
ger bir gösterimle
(x
N ) yn (x + 1)
(2 (1
") + N ) yn (x) + (1
2") xyn
1
(x) = 2n"yn (x)
eşitlikleri elde edilir.
(5.1.2) eşitli¼
ginde e = 0; 2f = 1;
1; 2; ::; N
2" =
N de¼
gerleri yerlerine yaz¬l¬rsa n =
1 için
cn =
2n ("
1) + N
; ve
2"
dn =
bulunur.
56
n (1
2") (n
4"2
1
N)
(6.1.50)
(3.1.34) ile verilen üç terimli rekürans ba¼
g¬nt¬s¬nda (6.1.50) eşitlikleri yerlerine yaz¬l¬rsa
yn+1 (x) =
x
2n ("
1) + N
2"
yn (x)
N
2"
elde edilir. Burada y0 (x) = 1, y1 (x) = x
(3.1.3) denkleminde e = 0; 2f = 1;
2" (n
2" =
k) an;k = (k
n (1
2") (n
4"2
1
N)
yn
1
(x)
dur.
N al¬n¬rsa k = n
N ) an;k+1
1; n
2; :::; 0 için
(6.1.51)
iki terimli rekürans ba¼
g¬nt¬s¬ bulunur. (6.1.51) ba¼
g¬nt¬s¬nda k yerine s¬ras¬yla n
1; n
2; :::; 0 de¼
gerleri yaz¬l¬r ve an;n = n! oldu¼
gu gözönüne al¬n¬rsa
an;n = n!
2":1
an;n 1
(n 1 N )
2":1
2" (n k)
=
:::
an;k
(n 1 N ) (k N )
..
.
(2")n k (n k)!
an;k
=
( N + k) ::: ( N + n 1)
=
(2")n k (n k)!
=
an;k
( N )n = ( N )k
elde edilir. Buradan k = 0; 1; 2; :::; n için
an;k =
=
n! ( N )n
(2")
n k
( N )k (n
( N )n ( n)k ( 2")
(2")n ( N )k
k)!
k
(6.1.52)
olur. (6.1.52) eşitli¼
gi (3.1.1) denkleminde yerine yaz¬l¬rsa n = 0; 1; 2; :::; N için
yn (x) =
n
X
k=0
an;k
x
k
n
X
( N )n ( n)k
x
( 2")k
=
n
(2") ( N )k
k
k=0
n
( N )n X ( n)k
x
( 2")k
=
n
(2") k=0 ( N )k
k
1
( N )n X ( n)k ( x)k
( 2")k
(2")n k=0 ( N )k k!
0
1
n; x
( N )n
@
=
; 2"A
n 2 F1
(2")
N
=
57
bulunur. Bu ise e = 0; 2f = 1;
N olmas¬durumunda (2.1.10) ile verilen
2" =
fark denkleminin pozitif tan¬ml¬ortogonal polinom çözümüdür.
(6.1.12) denkleminde e = 0; 2f = 1;
N de¼
gerleri yerlerine yaz¬l¬r, (6.1.49)
2" =
eşitli¼
gi gözönüne al¬n¬rsa n = 0; 1; 2; :::; N için (2.1.10) denkleminin Rodrigues formülü
!
n
Y
1
1
n
yn (x) = n
W (x n)
' (x k 1)
Y
W (x)
k=1
(e (2n k 1) + 2")
k=1
=
1)x (x + 1) (N + 1
(2")n
(2"
n
(2"
=
1)x
n
(x
(2"
x
(2"
1)
1)x
n
(x
n
Y
1
n + 1) (N + 1
1)x (x + 1) (N + 1
(2")n
(2"
n
=
x)
x + n) k=1
x)
( 1)N
1
n + 1) (N + 1
(x + 1) (N + 1
( 2")n
x)
(x
x + n)
(2"
1)
k
N)
(N + n x + 1)
(N + 1 x)
1
n + 1) (N + 1
n
x n
!
(x
şeklinde bulunur.
N<
Durum 2.b.2:
2" <
W (x) =
N + 1 al¬n¬rsa x = 0; 1; 2; :::; N için
( 1)n (x +
(2"
2") (1
1)x
x)
(6.1.53)
Krowtchouk polinomlar¬n¬n a¼
g¬rl¬k fonksiyonu bulunur.
(6.1.12) denkleminde e = 0; 2f = 1; g =
2" + 1 de¼
gerleri yerlerine yaz¬l¬r, (6.1.53)
eşitli¼
gi gözönüne al¬n¬rsa n = 0; 1; 2; ::: için
yn (x) =
1
n
Y
(e (2n
k
1) + 2")
1
W (x)
n
W (x
n)
n
Y
' (x
!
k
1)
k=1
k=1
=
1
(2")n
n
=
1
(2")n
n
( 1)N (2" 1)x
(x +
2") ( x)
( 1)N
(x
n+
2") ( x + n) Y
(x +
x n
(2" 1)
k=1
n
2"
k)
( 1)N (2" 1)x
(x +
2") ( x)
( 1)N
(x
n+
2") ( x + n)
(x +
x n
(x +
(2" 1)
58
!
2")
2" n)
!
!
x)
=
(2"
(x +
n
(2")
1)x
2") ( x)
(x +
2") (n
(2" 1)x n
n
x)
elde edilir.
Barnes integral formülünden
Zi1
1
2 i
(a + x) (b
zx
x)
dx =
(a + b)
i1
olup, a =
Zi1
(1 + z)a+b
1 al¬n¬rsa
2"; b = 0; z = 2"
1
2 i
za
(x +
2") ( x)
dx =
(2" 1)x
(
2")
i1
bulunur.
( 1)N
d0 :=
2 i
Zi1
(2" 1) 2"
(2") 2"
(6.1.54)
(x +
2") ( x)
dx
(2" 1)x
(6.1.55)
i1
şeklinde tan¬mlayal¬m.
(6.1.55) eşitli¼
ginde (6.1.54) eşitli¼
gi gözönüne al¬n¬rsa
d0 = ( 1)N
= ( 1)
N
2"
2" 1
2"
(
2")
(
(
2" + N )
2")N
2"
2" 1
2"
(6.1.56)
elde edilir.
(5.1.5) ve (6.1.56) eşitlikleri (6.1.20) denkleminde yerlerine yaz¬l¬rsa m; n = 0; 1; 2; :::; N
için
( 1)N
2 i
Zi1
(x +
2") ( x)
yn (x) ym (x) dx
(2" 1)x
i1
= d0 d1 :::dn
= ( 1)
N
= ( 1)N
=
m;n
(
(
2" + N )
2")N
2" 1
2"
(
(
2" + N )
2")N
2" 1
2"
n! ( 1)N +n (
(
2" + N ) (
2")N
n
2" Y
i=1
2"
2")n
( 1)n n!
(2"
(2")2n
2" 1
2"
bulunur.
Durum 3: e; f; g; 2";
2 R için e = 1 alal¬m.
59
i
(2"
(2")2
n+
1) (
2" + (i
1)n (
2")n
2"
1
2"
n
m;n
1))
m;n
m;n
' (x) ;
yaz¬l¬rsa
q
(x) katsay¬lar¬nda = (f
")2
ve
g+
=
p
f2
g de¼
gerleri yerlerine
' (x) = ex2 + 2f x + g
= (x + f )2
f2
= (x + f )2
2
g
= (x + f + ) (x + f
(6.1.57)
)
ve
(x) = 2"x +
")2
= 2"x + (f
= 2" (x + f ) +
f2
g+
2
2
g + 2"f
"2
"2
2
= 2" (x + f
)+
= 2" (x + f
)+( +
")2
(
") (
(6.1.58)
+ ")
bulunur.
(2.1.9) denkleminde e = 1 al¬n¬r ve (6.1.57), (6.1.58) eşitlikleri gözönüne al¬n¬rsa
n = 0; 1; 2; ::: için
(x + f + ) (x + f
+ f2" (x + f
= n (n
2
)
)+( +
yn (x)
") (
+ ")g ( yn ) (x)
1 + 2") yn (x + 1)
elde edilir.
(3.1.2) eşitli¼
ginde e = 1 al¬n¬rsa
(c + 1)2
(c + 1)2 + (2"
2f (c + 1) + g =
2f ) (c + 1) + g
2" (c + 1) +
= 0
olup
c+1 =
( 2 (f
= f
"
= f
"
q
"))
q
( 2 (f
2
(f
")2
60
g+
"))2
4 (g
)
bulunur.
(3.1.3) denkleminde e = 1 al¬n¬rsa, k = n
(n
k) (n + k
2; :::; 0 için
1; n
(k
1
c)2 + 2f (k
1
c) + g an;k+1
= [ (k
1
c)2 + 2f (k
1
c)
1 + 2") an;k =
+g + f 2
2
g
]an;k+1
(k
1
c + f )2
= [(k
1
c + f + ) (k
= [(k + "
+ ) (k + "
=
2
an;k+1
1
c+f
)] an;k+1
)] an;k+1
(6.1.59)
iki terimli rekürans ba¼
g¬nt¬s¬elde edilir. (6.1.59) denkleminde k yerine s¬ras¬yla n
1; n
2; :::; 0 de¼
gerleri yaz¬l¬r ve an;n = n! oldu¼
gu gözönüne al¬n¬rsa
an;n = n!
=
1: (n 1 + 2" + n
+ + n 1) ("
("
..
.
1)
+n
1)
an;n
1
1: (n 1 + 2" + n 1)
("
+ + n 1) ("
+ n 1)
2: (n 1 + 2" + n 2)
:::
("
+ + n 2) ("
+ n 2)
(n k) (n 1 + 2" + k)
an;k
("
+ + k) ("
+ k)
(n k)! [(n 1 + 2")n = (n 1 + 2")k ]
=
[("
+ )n = ("
+ )k ] [("
)n = ("
=
)k ]
an;k
bulunur. Buradan k = 0; 1; 2; :::; n için
an;k =
=
n!
(n
("
("
+ )n ("
)n
(n 1 + 2")k
k)!
(n 1 + 2")n
("
+ )k ("
)k
+ )n ("
)n ( n)k (n 1 + 2")k
( 1)k (6.1.60)
(n 1 + 2")n
("
+ )k ("
)k
olur.
(3.1.1) denkleminde (6.1.60) eşitli¼
gi gözönüne al¬n¬rsa
yn (x) =
n
X
an;k
k=0
=
n
X
x+c
k
an;k ( 1)k
k=0
61
( x c)k
k!
=
n
X
k=0
( 1)k
=
=
=
("
("
("
("
+ )n ("
(n 1 + 2")n
( x c)k
k!
+ )n ("
(n 1 + 2")n
+ )n ("
(n 1 + 2")n
+ )n ("
(n 1 + 2")n
)n
( n)k (n 1 + 2")k
( 1)k
("
+ )k ("
)k
n
)n X ( n)k (n 1 + 2")k ( x c)k 1k
("
+ )k ("
)k k!
k=0
1
)n X ( n)k (n 1 + 2")k ( x c)k 1k
("
+ )k ("
)k k!
k=0
0
n; n 1 + 2"; "
+1 f
)n
@
3 F2
"
+ ;"
x
1
; 1A
(6.1.61)
elde edilir.
(4.1.13) eşitli¼
ginde e = 1 al¬n¬rsa
W (x)
(x + f " + ) (x + f "
=
W (x + 1)
(x 1 + f + ) (x 1 + f
(x + f " + ) (" +
f
=
(x 1 + f + ) (1 +
f
("
f x) (" +
f
=
(x 1 + f + ) (x 1 + f
(x + f " + ) (x + f "
=
(1
f x) (1 +
f
("
f x) (" +
f
=
(1
f x) (1 +
f
)
)
x)
x)
x)
)
)
x)
x)
x)
(6.1.62)
(6.1.63)
(6.1.64)
(6.1.65)
(6.1.66)
bulunur.
Durum 3.a: " > 0; j
j < " ve N
1< +
"(
N ) alal¬m.
(6.1.63) eşitli¼
ginden x = 0; 1; 2; ::: için
W (0) W (x 1)
W (0)
=
:::
W (x)
W (1)
W (x)
(f " + ) (" +
f ) (x 1 + f " + ) (" +
f x + 1)
=
:::
( 1 + f + ) (1 +
f)
(x 2 + f + ) (2 +
f x)
..
.
[ (x + f " + ) = (f " + )] [ (" +
f + 1) = (1 + " +
f x)]
=
[ (x 1 + f + ) = ( 1 + f + )] [ (2 +
f ) = (2 +
f x)]
olup
W (x) =
W (0) (f " + ) (2 +
f ) (x 1 + f + ) (1 + " +
(" +
f + 1) ( 1 + f + )
(x + f " + ) (2 +
62
f
x)
f x)
(6.1.67)
elde edilir.
(6.1.67) eşitli¼
ginde
W (0) =
(" +
(f
f + 1) ( 1 + f + )
" + ) (2
f)
al¬n¬rsa
W (x) =
(x 1 + f + ) (1 + " +
(x + f " + ) (2
f
f
x)
x)
(6.1.68)
bulunur.
Durum 3.a.1: " > 0 ve j
j < ",
" = N alal¬m.
+
(4.2.4) ile verilen s¬n¬r koşullar¬ndan W (A
2) = 0 d¬r. Bu eşitlikte A = 0
1) ' (A
al¬n¬r ve (4.1.12), (6.1.57), (6.1.58) eşitlikleri gözönüne al¬n¬rsa
W ( 1) ' ( 2) = W (0) (' ( 1)
( 1))
= W (0) ( 1 + f + ) ( 1 + f
= W (0) ( 1 + f
")2
= W (0) [( 1 + f
"
)
2" ( 1 + f )
2
+
2
+ "2
2
)( 1 + f
" + )]
elde edilir. Buradan W (0) 6= 0 için
f
" + = 1 ve 1
f+
(6.1.69)
=N
bulunur. Bu iki eşitlik taraf tarafa toplan¬rsa
+
(6.1.70)
"=N
olur.
"+
=
+ 1 ve "
+
=
+1
(6.1.71)
alal¬m. (6.1.69), (6.1.70) ve (6.1.71) eşitliklerinden
2" =
+
+ 2;
2 =
+ N + 1 ve 2 =
+N +1
(6.1.72)
elde edilir.
(6.1.70), (6.1.71), (6.1.72) eşitlikleri (6.1.57) ve (6.1.58) eşitliklerinde gözönüne al¬n¬rsa
' (x) = (x +
+ 2) (x
(x) = 2" (x + f
= ( +
N + 1)
)+( +
+ 2) (x + (f
63
") (
+ ")
1) + 1) + N ( + 1)
= ( +
+ 2) (x
N + 1) + N ( + 1)
= ( +
+ 2) (x + 1) + ( +
= ( +
+ 2) (x + 1) + N (
= ( +
+ 2) (x + 1) + N (
= ( +
+ 2) (x + 1)
+ 2) ( N ) + ( + 1) N
2+
+ 1)
1)
(6.1.73)
( + 1) N
bulunur. (6.1.73) ile verilen eşitlikler (2.1.9) denkleminde yerlerine yaz¬l¬rsa n =
0; 1; 2; ::: için
(x +
= n (n +
+ 2) (x
+
N + 1)
2
yn (x) + f( +
+ 2) (x + 1)
( + 1) N g ( yn ) (x)
+ 1) yn (x + 1)
di¼
ger bir gösterimle
(x +
+ 1) (x
+x (x
= n (n +
N
+
N ) yn (x + 1)
1) yn (x
f(x +
+ 1) (x
N ) + x (x
N
1)g yn (x)
1)
+ 1) yn (x)
elde edilir.
(6.1.61) eşitli¼
ginde (6.1.70), (6.1.71) ve (6.1.72) eşitlikleri gözönüne al¬n¬rsa n = 0; 1; 2; :::
için
0
1 + 2"; "
+ )n ("
+ )n
@
3 F2
(n 1 + 2")n
"
+ ;"
0
1
n; n + + + 1; x
( + 1)n ( N )n
@
=
; 1A
3 F2
(n + + + 1)n
+ 1; N
yn (x) =
("
n; n
bulunur. Bu ise e = 1; " > 0 ve +
+1
f
x
1
; 1A
" = N olmas¬durumunda (2.1.10) denkleminin
pozitif tan¬ml¬ortogonal polinom çözümüdür.
(6.1.68) eşitli¼
ginde (6.1.69), (6.1.71) eşitlikleri gözönüne al¬n¬rsa n = 0; 1; 2; :::; N için
W (x) =
elde edilir. Pozitif tan¬ml¬l¬k için
(x + + 1) ( + N + 1 x)
(x + 1) (N + 1 x)
+ 1 > 0 ve
64
+ 1 > 0 olmal¬d¬r.
(6.1.74)
(6.1.12) denkleminde (6.1.74) eşitli¼
gi yerine yaz¬l¬rsa (2.1.10) denkleminin Rodrigues
formülü
yn (x) =
1
n
Y
(e (2n
k
1) + 2")
1
W (x)
k=1
n
W (x
n)
n
Y
' (x
!
k
1)
k=1
=
1
n
Y
(2n
k
1+
+
+ 2)
1
W (x)
k=1
n
W (x
n)
n
Y
(x +
+1
k) (x
N
k)
k=1
!
1
1
=
(n + + + 1) ::: (2n + + ) W (x)
n
(W (x n) (x + + 1 n) ::: (x + ) ( 1)n (N + 1 x) ::: (N + n
1
(x + 1) (N + 1 x)
=
(n + + + 1)n (x +
1) ( + N + 1 x)
(x + + 1 n)n
(x + + 1 n) ( + N + 1 x + n)
n
( 1)n
(x n + 1) (N + 1 x + n)
(N + 1 x)n
n
( 1) (x + 1) (N + 1 x)
=
(n + + + 1)n (x + + 1) ( + N + 1 x)
(x + + 1) ( + N + n + 1 x)
n
(N + 1 x) (x n + 1)
şeklinde bulunur.
d0
:
=
=
N
X
x=0
N
X
x=0
=
=
=
=
(x +
+ 1) ( + N + 1
x! (N x)!
x)
( + 1) ( + 1)x ( ( + N + 1) = (
( (N + 1) = ( N )x )
N )x ) 1x
x!
( + 1) ( + N + 1) X ( N )x ( + 1)x 1x
(N + 1)
(
N )x x!
x=0
N
( + 1) ( + N + 1) X ( N )x (
(N + 1)
(
x=0
0
N;
( + 1) ( + N + 1)
@
2 F1
(N + 1)
1
( + 1) ( + N + 1) [(
(N + 1)
65
N)
(
+ 1)x 1x
N )x x!
1
+1
; 1A
N
( + 1)]N
N )N
x))
( + 1) ( + N + 1) ( 1 N
(N + 1)
(
=
)N
N )N
( + 1) ( + N + 1) ( + + 2) ::: ( + + N + 1) ( 1)N
(N + 1)
( + 1) ::: ( + N )
( 1)N
( + 1) ( + N + 1) ( + + 2)N
(N + 1)
( + 1)N
( + 1) ( + 1) ( + + N + 2)
>0
(6.1.75)
N!
( + + 2)
=
=
=
şeklinde tan¬mlans¬n.
(5.1.5) ve (6.1.75) eşitlikleri (6.1.20) denkleminde yerlerine yaz¬l¬rsa m; n = 0; 1; 2; :::; N
için
N
X
W (x) yn (x) ym (x)
x=0
= d0 d1 d2 :::dn m;n
( + 1) ( + 1) ( + + N + 2)
=
N ! ( + + 2)
n
n
n
Y
Y Y
( 1)
i
(2" 1 + (i 1))
i=1
n
Y
i=1
n
Y
i=1
(2"
i=1
3 + 2i) (2i
1
n
Y
2 + 2")
(2i
2 + 2") (2i
1 + 2")
i=1
Di
m;n
i=1
( + 1) ( + 1) ( + + N + 2) ( 1)n n! ( + + 1)n
=
N ! ( + + 2)
( + + 1)2n ( + + 2)2n
n
n
Y
Y
(" + + + (i 1))
(" +
+ (i 1))
i=1
i=1
n
Y
n
Y
("
i=1
+ + (i
1))
("
+ (i
1))
m;n
i=1
( + 1) ( + 1) ( + + N + 2) ( 1)n n! ( + + 1)n
N ! ( + + 2)
( + + 1)2n ( + + 2)2n
( + + N + 2)n ( + 1)n ( + 1)n ( N )n m;n
(n + + 1) (n + + 1) ( + n + + N + 2) [ ( + + 1 + n) = ( +
=
( + + 2 + 2n) [ ( + + 1 + 2n) = ( + + 1)]
n
( 1) ( N )n m;n
N!
(n + + 1) (n + + 1) (n + + + 1) (n + + + N + 2) n!
=
m;n
(2n + + + 1) (2n + + + 2) (N n)!
=
elde edilir.
66
+ 1)]
Durum 3.b: N 2 f1; 2; 3; :::g ve 1 < t
t
2
<1+
,N+
t
2
Durum 3.b.1:
<j
1 için 2" =
jtj
2
2N t ve
j
j
+
j eşitsizliklerinden yaln¬zca biri gerçeklensin.
jtj
2
j
j
+
<1+
t
2
ve "
=
N alal¬m.
(6.1.65) eşitli¼
ginden x = 0; 1; 2; ::: için
W (0)
W (0) W (x 1)
=
:::
W (x)
W (1)
W (x)
+ (x 1))
(f " + ) (f "
) (f " + + (x 1)) (f "
:::
=
(1
f ) (1 +
f)
(2
f x) (2 +
f x)
(f " + )x (f "
)x
=
(2
f x)x (2 +
f x)x
[ (f " + + x) = (f " + )] [ (f "
+ x) = (f "
)]
=
[ (1
f ) = (2
f x)] [ (1 +
f ) = (2 +
f x)]
olup
W (x) =
W (0) (f " + ) (f "
) (1
(x + f " + ) (x + f "
) (2
f ) (1 +
f x) (2 +
f)
f
x)
(6.1.76)
elde edilir.
(6.1.76) eşitli¼
ginde W (0) = 1= ( (f
" + ) (f
"
) (1
f ) (1 +
f ))
al¬n¬rsa
W (x) =
(x + f
" + ) (x + f
1
) (2
"
f
x) (2 +
f
x)
(6.1.77)
bulunur.
(4.2.4) ile verilen s¬n¬r koşullar¬nda A = 0 al¬n¬r, (4.1.12), (6.1.57), (6.1.58) eşitlikleri
gözönüne al¬n¬rsa
0 = W (0) (' ( 1)
= W (0) [( 1 + f
( 1))
" + )( 1 + f
"
)]
elde edilir. Bu eşitlikten W (0) 6= 0 için
1) f
" + = 1 ve 1
I·ki eşitlik toplan¬rsa
f = N olsun.
" = N bulunur.
"+ +
=
+ 1 ve "
şeklinde tan¬mlayal¬m.
67
=
+1
(6.1.78)
" + = 1 ve 1 +
2) f
I·ki eşitlik toplan¬rsa
f = N olsun.
" = N bulunur.
+
"+
=
+ 1 ve "
+
=
+1
(6.1.79)
=
+1
(6.1.80)
=
+1
(6.1.81)
şeklinde tan¬mlayal¬m.
3) f
= 1 ve 1
"
f = N olsun.
I·ki eşitlik toplan¬rsa
" = N bulunur.
"
+
=
+ 1 ve " +
şeklinde tan¬mlayal¬m.
4) f
= 1 ve 1 +
"
I·ki eşitlik toplan¬rsa
f = N olsun.
" = N bulunur.
+
"
=
+ 1 ve " + +
şeklinde tan¬mlayal¬m.
(6.1.78), (6.1.79), (6.1.80), (6.1.81) ile verilen eşitliklerin her birinden 2" =
+
+2
elde edilir.
(6.1.78) ve (6.1.79) eşitliklerinden 2 =
(6.1.80) ve (6.1.81) eşitliklerinden
+ N + 1 bulunur.
2 =
(6.1.79) ve (6.1.81) eşitliklerinden 2 =
(6.1.78) ve (6.1.80) eşitliklerinden
+ N + 1 bulunur.
+ N + 1 bulunur.
2 =
+ N + 1 bulunur.
Yukar¬da verilen tüm durumlar (6.1.77) denkleminde gözönüne al¬n¬rsa n = 0; 1; 2; :::; N
için
W (x) =
1
(x + 1) (N + 1
x) (x
N
) (
(6.1.82)
x)
elde edilir.
(6.1.12) denkleminde (6.1.82) eşitli¼
gi yerine yaz¬l¬rsa (2.1.10) denkleminin Rodrigues
formülü
yn (x) =
1
n
Y
(e (2n
k
1) + 2")
1
W (x)
k=1
68
n
W (x
n)
n
Y
k=1
' (x
k
1)
!
=
1
n
Y
(2n
k+
+
+ 1)
1
W (x)
k=1
n
W (x
n
Y
n)
(x +
+1
k) (x
N
k)
k=1
=
1
1
(n + + + 1) ::: (2n + + ) W (x)
n
n
Y
Y
n
W (x n)
(x + + 1 n) ::: (x + )
(x
k=1
=
=
(n +
(
n
(W (x
(n +
n
N
1)
x) (x
N
) (
!
x)n )
x)
1
x + n) (x
(x
( x
n) ::: (x
)n ( 1)n ( 1)n (N + 1
n) ( x
(x + 1) (N + 1
+ 1)n
N
k=1
1
+ 1)n W (x)
1
+
1
+
(n +
n
=
!
n + 1) (N + 1
n N
) (n
x)
)n (N + 1 x)n )
1
(x + 1) (N + 1 x) (x N
) (
x)
+ + 1)n
1
(x n + 1) (N + 1 x) (x n N
) (
x)
şeklinde bulunur.
Dougall’s bilateral toplam¬ndan 2f
1
X
n= 1
=
olup, c = f
1
X
x= 1
=
(1
(c
(c + d a b 1)
a) (d a) (c b) (d
, a=
"
" + ) (x + f
(1
"+
2" yani 2" < 1 için
1
(n + c) (n + d) (1 a
"+ , d=f
(x + f
2 + 1 < 2f
) (1
"
n) (1
(6.1.83)
1
) (2
+ f al¬n¬rsa
1
f
x) (2 +
2")
) (1 " + + ) (1
elde edilir.
f
"
= 1 ve 1
f = N için
d0
:
=
N
X
W (x)
x=0
=
x! (N
x)! (x
69
1
N
n)
b)
1 + + f, b =
"
b
) (
x)
"
+ )
f
x)
1
X
=
x! (N
x= 1
=
1
N
x)! (x
(
) (
1)
1) (
N! ( N
) (
x)
(6.1.84)
)
şeklinde tan¬mlayal¬m.
(5.1.5) ve (6.1.84) eşitlikleri (6.1.20) denkleminde yerlerine yaz¬l¬rsa m; n = 0; 1; 2; :::; N
için
N
X
W (x) ym (x) yn (x)
x=0
= d0 d1 :::dn
=
(
N! ( N
n
Y
i=1
=
m;n
4 (2i
1)
1) (
(
i=1
("
)
( 1) i ((2" 1) + i 1)
Di
3 + 2") (i 1 + 2")2 (2i 1 + 2")
N! ( N
n
Y
(" + + + (i
n
Y
) (
+ + (i
m;n
( 1)n n! ( + + 1)n
) ( + + 1)2n ( + + 2)2n
1)
1) ( ) (
n
Y
1))
(" +
+ (i
1))
+ (i
1))
i=1
1))
i=1
n
Y
("
m;n
i=1
(
1)
N! ( N
1) ( ) ( )
n
( 1) n! ( + + 1)n
( + + N + 2)n ( + 1)n ( + 1)n ( N )n m;n
( + + 1)2n ( + + 2)2n
( 2n
) ( 2n
1) n!
=
m;n
( n
) ( n
) ( n
) ( n N
1) (N n)!
=
bulunur.
Durum 3.b.2:
jtj
2
j
j
+
<1+
t
2
ve "
(6.1.77) eşitli¼
ginde, işlemlerde kolayl¬k sa¼
glamak için f
W (x) =
6=
N alal¬m.
= 1 al¬n¬rsa
"
1
(x + 1) (x + 2 + 1) (1
"
x) (1
"
+
x)
(6.1.85)
elde edilir.
(6.1.12) denkleminde (6.1.85) eşitli¼
gi yerine yaz¬l¬rsa (2.1.10) denkleminin Rodrigues
formülü
70
yn (x) =
1
n
Y
(e (2n
k
1) + 2")
1
W (x)
n
W (x
n)
n
Y
' (x
k
1)
k=1
!
k=1
1
1
n
(W (x n) ( x
)n ( 1)n ( 1)n (N + 1
(n + + + 1)n W (x)
1
(x + 1) (x + 2 + 1)
=
(n + + + 1)n
(1 "
x) (1 "
+
x)
n
n
)n ( 1) ( 1) (N + 1 x)n
n ( x
(
(x n + 1) (x n + 2 + 1)
1
)
(1 "
x + n) (1 "
+
x + n)
(x + 1) (x + 2 + 1) (1 "
x) (1 "
+
x)
=
(n 1 + 2")n
1
n
(
(x n + 1) (x n + 2 + 1)
1
)
(1 "
x) (1 "
+
x)
=
x)n )
şeklinde bulunur.
d0 =
=
=
1
X
W (x)
x=0
1
X
1
x=0
1
X
x= 1
(x + 1) (x + 2 + 1) (1
"
x) (1
"
+
x)
1
(x + 1) (x + 2 + 1) (1
"
x) (1
"
+
x)
şeklinde tan¬mlayal¬m.
(6.1.83) eşitli¼
ginde a = " + + , b = " +
d0 =
(1
" + + ) (1
, c = 2 + 1, d = 1 al¬n¬rsa
(1 2")
) (1 "
"+
) (1
"
)
(6.1.86)
olur.
(5.1.5) ve (6.1.86) eşitlikleri (6.1.20) denkleminde yerlerine yaz¬l¬rsa m; n = 0; 1; 2; :::; N
için
1
X
W (x) yn (x) ym (x)
x=0
= d0 d1 :::dn
m;n
71
=
(1
n
Y
i=1
" + + ) (1
4 (2i
"+
(1 2")
) (1 "
) (1
( 1) i ((2" 1) + i 1)
Di
3 + 2") (i 1 + 2")2 (2i 1 + 2")
"
m;n
(1 2")
) (1 "
=
)
(1 " + + ) (1 " +
+ ) (1 "
n
( 1) n! (2" 1)n
(" + + ) (" +
) ("
+ ) ("
(2" 1)2n (2")2n
(1 2" 2n) (2 2" 2n)
=
(2 2" n) (1 " + +
n) (1 " +
n)
1
m;n
(1 "
+
n) (1 "
n)
)
)
m;n
elde edilir.
Durum 3.b.3: j
j>N+
t
2
alal¬m. Bu durumda
> 0 için
>
>N+
t
2
olur.
(6.1.62) eşitli¼
ginden x = 0; 1; 2; ::: için
W (0)
W (0) W (x 1)
=
:::
W (x)
W (1)
W (x)
(f " + + x 1) (f "
+ x 1)
(f " + ) (f "
)
:::
=
( 1 + f + )( 1 + f
) ( 1 + f + + x 1) ( 1 + f
+ x 1)
(f " + )x (f "
)x
=
( 1 + f + )x ( 1 + f
)x
( 1+f + ) ( 1+f
) (x + f " + ) (x + f "
)
=
(f " + ) (f "
)
(x 1 + f + ) (x 1 + f
)
olup
W (x) =
W (0) (f " + ) (f "
( 1+f + ) ( 1+f
) (x 1 + f + ) (x 1 + f
) (x + f " + ) (x + f "
)
)
(6.1.87)
elde edilir.
(6.1.87) eşitli¼
ginde
W (0) =
( 1+f + ) ( 1+f
(f " + ) (f "
)
)
al¬n¬rsa
W (x) =
(x 1 + f + ) (x 1 + f
(x + f " + ) (x + f "
bulunur. I·şlemlerde kolayl¬k sa¼
glamak için f
W (x) =
"
= 1 al¬n¬rsa
(x + " + + ) (x + " +
(x + 1) (x + 2 + 1)
72
)
)
)
(6.1.88)
olur.
(6.1.12) denkleminde e = 1 al¬n¬r, (6.1.88) eşitli¼
gi gözönüne al¬n¬rsa n = 0; 1; 2; :::; N
için (2.1.10) denkleminin Rodrigues formülü
1
yn (x) =
n
Y
(e (2n
k
1) + 2")
1
W (x)
n
W (x
n)
n
Y
' (x
k
!
1)
k=1
k=1
=
n
Y
1
(n
1 + 2" + (n
k))
1
W (x)
k=1
n
W (x
n)
n
Y
(x
k
1+f + )
k=1
n
Y
(x
k
1+f
)
k=1
(x + 1) (x + 2 + 1)
1
=
(n 1 + 2")n (x + " + + ) (x + " +
(x n + " + + ) (x n + " +
n
(
(x n + 1) (x n + 2 + 1)
(x n 1 + f + )n (x n 1 + f
)n )
1
(x + 1) (x + 2 + 1)
=
(n 1 + 2")n (x + " + + ) (x + " +
(x n + " + + ) (x n + " +
n
(
(x n + 1) (x n + 2 + 1)
(x n + " + + )n (x n + " +
)n )
(x + 1) (x + 2 + 1)
=
(n 1 + 2")n (x + " + + ) (x + " +
(x + " + + ) (x + " +
)
n
(x n 1) (x n + 2 + 1)
!
)
)
)
)
)
şeklinde bulunur.
d0
:
=
1
X
W (x)
x= 1
=
1
X
x=0
(x + " + + ) (x + " +
(x + 1) (x + 2 + 1)
1
X
)
(" + + ) (" + + )x (" +
) (" +
(2 + 1) (2 + 1)x :x!
x=0
0
"+ + ; "+
(" + + ) (" +
)
@
=
2 F1
(2 + 1)
2 +1
=
şeklinde tan¬mlayal¬m.
73
)x
1
; 1A (6.1.89)
Gauss toplam formülünden
2 F1
0
@
a; b
c
olup, a = " + + , b = " +
0
"+ + ; "+
@
2 F1
2 +1
1
; 1A =
(c) (c a
(c a) (c
b)
b)
, c = 2 + 1 al¬n¬rsa
1
(2 + 1) (1 2")
; 1A =
(1 +
"
) (1 +
"+ )
bulunur.
(6.1.90)
(6.1.90) eşitli¼
gi (6.1.89) eşitli¼
ginde gözönüne al¬n¬rsa
d0 =
=
(" + + ) (" +
)
(2 + 1) (1 2")
(2 + 1)
(1 +
"
) (1 +
"+ )
(" + + ) (" +
) (1 2")
(6.1.91)
(1 +
"
) (1 +
"+ )
olur.
(5.1.5) ve (6.1.91) eşitlikleri (6.1.20) denkleminde yerlerine yaz¬l¬rsa m; n = 0; 1; 2; :::; N
için
1
X
W (x) yn (x) ym (x)
x=0
= d0 d1 :::dn m;n
(1 2") (" + + ) (" +
)
=
(1 " + + ) (1 " +
)
n
( 1) n! (2" 1)n
(" + + )n (" +
)n ("
+ )n ("
)n
(2" 1)2n (2")2n
(1 2" 2n) (2 2" 2n) (n + " + + ) (n + " +
) n!
=
(2 2" n) (1 " + +
n) (1 " +
n)
m;n
m;n
elde edilir.
>
> 0 ise
>N+
t
2
olur.
(6.1.66) eşitli¼
ginden x = 0; 1; 2; ::: için
W (0)
W (0) W (x 1)
=
:::
W (x)
W (1)
W (x)
("
f ) (" +
f ) ("
f (x 1)) (" +
f (x 1))
=
:::
(1
f ) (1 +
f ) (1
f (x 1)) (1 +
f (x 1))
(1 + "
f )x (1 + " +
f x)x
=
(2 +
f x)x (2
f x)x
[ ("
f ) = (1 + "
f x)] [ (" +
f ) = (1 + " +
f x)]
=
[ (1
f ) = (2 +
f x)] [ (1 +
f ) = (2
f x)]
74
olup
W (x) =
W (0) (1
(2 +
f ) (1 +
f ) (1 + "
f
f x) (2
f x) ("
x) (1 + " +
f x)
f ) (" +
f)
(6.1.92)
elde edilir.
(6.1.92) eşitli¼
ginde
W (0) =
("
(1
f ) (" +
f ) (1 +
f)
f)
al¬n¬rsa
(1 + "
(2 +
W (x) =
f
f
x) (1 + " +
x) (2
f
bulunur. I·şlemlerde kolayl¬k sa¼
glamak için f +
W (x) =
f x)
x)
= 1 al¬n¬rsa
( x+"+ + ) ( x+"
+ )
( x + 1) ( x + 2 + 1)
olur.
Durum 3.c: N 2 f1; 2; 3; :::g ve
en az biri sanal, "
1 için 2" =
1<t
2N
t ve
veya
den
6= 0; 1; 2; :::; N + 1 alal¬m.
(6.1.77) eşitli¼
ginden
W (x) =
dir. Burada
(x + f
1 2
=0=
" + ) (x + f
1 2
için
=
1
) (2
"
1
+i
2
ve
f
=
1
+i
x) (2 +
2
f
x)
(6.1.93)
yaz¬labilir.
(6.1.12) denkleminde e = 1 al¬n¬r, (6.1.93) eşitli¼
gi gözönüne al¬n¬rsa n = 0; 1; 2; :::; N
için (2.1.10) denkleminin Rodrigues formülü
yn (x) =
1
n
Y
(e (2n
k
1) + 2")
1
W (x)
n
W (x
n)
n
Y
' (x
k
k=1
!
1)
k=1
1
1
(n 1 + 2")n W (x)
n
(W (x n) (x n 1 + f + )n (x n 1 + f
)n )
1
=
(n 1 + 2")n
(x + f " + ) (x + f "
) (2
f x) (2 +
1
(2
f
x)
n
n
(
(x n + f " + ) (x n + f "
)
(2 f +
x)n
)
(2
f x + n) (2 +
f x + n)
=
75
f
x)
(x + f
=
n
(
(x
(2 +
" + ) (x + f
n+f
f
"
(n
) (2
1 + 2")n
1
" + ) (x
1
x) (2
n+f
f
x)
"
f
x) (2 +
f
x)
)
)
şeklinde bulunur.
A!
1 ve N ! 1 için
d0 :=
1
X
(x + f
x= 1
" + ) (x + f
1
) (2
"
f
x) (2 +
f
x)
şeklinde tan¬mlayal¬m.
(6.1.83) eşitli¼
ginde a =
1+
+ f, b =
1
+ f, c = f
"+ , d = f
"
al¬n¬rsa
d0 =
(1
" + + ) (1
"+
(1 2")
) (1 "
+ ) (1
"
)
(6.1.94)
bulunur.
(5.1.5) ve (6.1.94) eşitlikleri (6.1.20) denkleminde yerlerine yaz¬l¬rsa m; n = 0; 1; 2; :::; N
için
1
X
W (x) yn (x) ym (x)
x= 1
= d0 d1 :::dn
=
m;n
(1 2")
) (1 "
(1 " + + ) (1 " +
+ ) (1 "
n
( 1) n! (2" 1)n
(" + + )n (" +
)n ("
+ )n ("
(2" 1)2n (2")2n
(1 2" 2n) (2 2" 2n) n!
=
(2 2" n) (1 " + +
n) (1 "
n)
1
m;n
(1 " +
n) (1 "
+
n)
elde edilir.
76
)
)n
m;n
KAYNAKLAR
R. KOEKOEK, Hypergeometric Orthogonal Polynomials and Their q-Analogues, Springer
Monographs in Mathematics, 95-97
T. S. CHIHARA, An introduction to orthogonal polynomials. Gordon and Breach,
New York, 1978.
W. SCHOUTENS, Stochastics Processes and Orthogonal Polynomials. Lecture Notes
in Stochastics 146, Springer-Verlag,New York, 2000
G. E. ANDREWS and R. ASKEY, Classical Orthogonal Polynomials. 36-62
R. ASKEY and M. E. H. ISMAIL, Recurrence Relations, Continued Fractions and
Orthogonal Polynomials. 300
T. S. CHIHARA, An Introduct¬on to Orthogonal Polynomials. 78-82
G. GASPER and M. RAHMAN, Basic Hypergeometric Series. 35
S. LEWANOWICZ, Recurrence Relations for the Connection Coe¢ cients of Orthogonal Polynomials of a D¬screte Variable. 213-229
77
ÖZGEÇMI·Ş
Ad¬Soyad¬: Zeliha KOCAMAN
Do¼
gum Yeri: Rize
Do¼
gum Tarihi: 12.12.1987
Medeni Hali: Bekar
Yabanc¬Dili: I·ngilizce
E¼
gitim Durumu(Kurum ve Y¬l)
Lise:I·nönü Lisesi(2005)
Lisans:Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü(2009)
Yüksek Lisans:Ankara üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim
Dal¬(Eylül2009-Temmuz 2012)
Çal¬şt¬g¼¬Kurum/Kurumlar ve Y¬l
Devlet Hava Meydanlar¬ I·şletmesi Hava Tra…k Kontrolörü(2012-...)
78