matematık ıı

MATEMATİK II
EK PROBLEMLER
YRD.DOÇ.DR. JETA ALO
1. BELİRSİZ İNTEGRAL
Özellikler
1.
2.
∫ dx = x + c
∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx
x n+1
+c
n +1
3.
n
∫ x dx =
4.
∫
5.
∫ e dx = e + c
∫ cos xdx = sin x + c
∫ sin xdx = cos x + c
∫ ( f ( x ) ± g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx
6.
7.
8.
9.
n ≠ −1
dx
= ln x + c
x
x
x
dx
∫ 1+ x
2
= arctan x + c
Örnekler
1.
∫(x
5
+ 4 x 2 + 5 )dx =
2
 x

2. ∫  2e + 5 x 3 dx =


dx
3. ∫
=
x x
x3 − 2 x + 4
x3
(=
dx
=
− 2 x + ln x + c )
∫ x
3
e2 x + 1
5. ∫
( = e x − e− x + c )
dx
ex
1
6. ∫ cos 2 xdx = ∫ (1 + cos 2 x )dx =
2
4.
1
2. Değişken dönüşümünü
x = u ( x ) değişken dönüşümü yapılırsa
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( u ) du
bulunur.
5 − 2x = u
1
1 u10
1 (5 − 2x )
1. ∫ ( 5 − 2 x ) dx = −2dx = du = − ∫ u 9 du = −
=−
+c
2
2 10
2
10
1
dx = − du
2
10
9
dx
2.
∫ ( x − 2)
3.
∫
3
dx
2 − 5x
2 − x2 = u
xdx
−
1
2
1
2
1 du
1
1u
= −2 xdx = du = − ∫
= − ∫ u du = −
= − 2 − x2 + c
1
2
2
2
u
2− x
1
2
xdx = − du
2
4.
∫
5.
∫ sin ( 2 x + 6 ) dx
( u = 2x + 6 )
6.
∫ 2 x cos ( x
( x2 + 5 = u )
7.
∫
8.
∫
9.
∫
2
2
+ 5 ) dx
ln x
dx
x
3
( ln x = u )
1 − x 2 dx
( u = sin x )
5 + 2 cos x sin xdx =
( u = cos x )
2
3. Kısmi integrasyon formülü
∫ u ⋅ dv = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du
b
b
∫ u ⋅ dv = ( u ⋅ v ) a − ∫ v ⋅ du
b
a
a
ln x = u
dv = xdx
dx
= du
x
x2
v=
2
1 2
1
x ln x − ∫ xdx =
2
2
1.
∫ x ln xdx =
2.
∫ ln xdx =
3.
∫ x ( ln x )
4.
∫
5.
∫x e
6.
∫ x cosx dx =
7.
∫x e
8.
∫ cos ( ln x ) dx =
( u = cos ( ln x ) , dv = dx )
9.
∫ arctan xdx =
( u = arctan x, dv = dx )
2
( u = ln x, dv = dx )
( u = ( ln x ) , dv = xdx )
dx =
2
ln x
dx =
x3
2 x
( u = ln x, dv =
1
dx )
x3
( u = x 2 , dv = e x dx )
dx =
( u = x 2 , dv = cos dx )
2
3 x2
=
dx = ∫ x 2 xe x dx =
2
( u = x 2 , dv = xe x dx )
2
3
4.Rasyonel fonksiyonların integralleri
P ( x)
( deg P ( x ) = n, deg Q ( x ) = m ) -
∫ Q ( x ) dx,
a)
tipindeki integraller
n ≥ m ise polinom bölmesi yapılır
P ( x)
R ( x)
= B ( x) +
Q ( x)
Q ( x)
b) m > n ise
P ( x)
P ( x)
Aα
A1
A2
=
=
+
+ .. +
2
β
α
α
2
Q ( x ) ( x − a ) ( x + px + q )
( x − a) ( x − a)
( x − a)
+
M β x + Nβ
M 1 x + N1
M 2 x + N2
+
+ ... +
β
2
2
x + px + q ( x 2 + px + q )
( x2 + px + q )
basit kesirler toplamı şeklinde yazılabilir.
dx
A
B
= +
+ 5x x x + 5
1.
∫x
2.
x3dx
∫ x2 + x + 1
3.
∫ ( x − 2 )( x + 1)( x − 1)
2
(
1 2
2
2x +1
)
x −x+
arctan
2
3
3
xdx
x 2 dx
4.
∫ ( x − 3)( x − 1)
5.
∫ x(x
6.
∫
2
xdx
+ x + 1)
2
xdx
( x − 2 ) ( x 2 + x + 1)
2
4
5. İrasyonel fonksiyonların integralleri
∫ R ( x,
n
)
ax + b dx tipindeki integralleri hesaplamak için ax + b = t n dönüşümü yapılır.
4 + 3x = t 3
1.
2.
t3 − 4
t3 − 4 2
1  t6
t3 
=∫
t dt =  − 4  + c
3
3
3 6
3
2
dx = t dt
3
∫ x 4 + 3xdx = x =
dx
∫ (1 + x )
( x = t2 )
x
3.
∫ 1+
dx
x −1
( = 2 x − 1 + 2 ln( x − 1 + 1) )
4.
∫ 1+
x
( = x − 2 x + 2 ln 1 + x )
5.
∫
x
dx
dx
3
3x + 1 − 1
(
(=
3
( 3x + 1)
2
5
)
2
+ 3 3 x + 1 + ln 3 3x + 1 − 1 )
6. Trigonometrik fonksiyonların integralleri
x
∫ R ( sin x, cos x ) dx tipindeki integralleri hesaplamak için tan 2 = t dönüşümü yapılır. Buradan
sin x =
2t
1+ t2
cos x =
1− t2
1+ t2
ve dx =
2dt
1+ t2
bulunur.
x

 tan 2 
2 3
(=
arctan 
)
3
 3 


dx
1. ∫
2 + cos x
cos xdx
2.
∫ 1 + cos x
3.
∫ sin x + cos xdx
( = x − tan x )
sin xdx
(=
x 1
− ln ( sin x + cos x ) )
2 2
7. Belirli integral
F ( x ) ' = f ( x ) ise
b
∫ f ( x ) dx = F ( x )
b
a
= F (b) − F ( a )
a
y = f ( x ) eğrisi ve x-ekseni ile sınırlı x = a 'dan x = c ' ye kadar alan
c
Alan = ∫ f ( x ) dx ile hesaplanır
a
6
Özellikler:
a)
b)
c
b
c
a
a
b
b
f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
∫
b ∈ ( a, c ) için
a
a
b
a
c)
∫ f ( x ) dx = 0
a
Örnekler: Aşağıdaki alanları hesaplayınız
he
1. y = x 2 + 2 x + 1 eğrisi x = 0, x = 2 doğruları ve x -ekseni
2. y = ( x − 1) − 1 eğrisi x = −1, x = 1 doğruları ve x -ekseni
2
İki eğri altında kalan bölgenin alanı
7
b
Alan = ∫  g ( x ) − f ( x )  dx
a
Aşağıdaki problemlerde İki eğri arasında kalan bölgeyi çiziniz sonra da alanını bulunuz
1.
y1 = x 2
y2 = x + 2 ;
2.
y1 = x 2 + 1 ve
3.
y1 = x3
ve
ve
y2 = − x + 3 ;
y2 = 3 x ;
x = −1 'den
x = 1'e kadar
x = −1 'den
x = 1'e kadar
x = 0 'dan
x = 2 'e kadar
1
Alan = ∫
0
8
(
3
)
2
(
)
x − x3 dx + ∫ x3 − 3 x dx
1