Kavrama~14 - Salih YILDIZ

Kavrama ~ 14
Ç özüml er
1. x  (m,n) için
f(x)<0, f′(x)>0 [ f(x) artan ]
4. f(x)=x3–kx2+3x–1
f′(x)=3x2–2kx+3>0 olması için   0 olmalıdır.

I.
 =(–2k)2–4.3.3<0
4k2–36<0  k2<9–3<k<3 bulunur.
 1  f (x)
 0 artan

  2
 f(x)  f (x)

II.
 f (x)  4.f (x).f (x)  0 artan
III.
 f (x)  4.f
IV.
 f (x)  3.f
V.
 f(x)  f (x). x  f(x).1
 0 artan
 x  


x2
4
3

4
3


2
3

(x).f (x)  0 azalan


(x).f (x)  0 artan





5. f(x) 
(m  3) 3 m 2
1
x  x x
3
2
2
fonksiyonunun teğetlerinin eğim açısı geniş açı
ise fonksiyon azalandır.
f′(x)=(m–3)x2–mx–1<0 olması için
m–3<0 ve   0 olmalıdır.

m<3 ve m2–4(m–3).(–1)<0
m2+4m–12<0  m=–6, m=2
–∞
m=–6
m=2
–
+
+∞
+
–6<m<2 bulunur.
m<3 ve  6<m<2 koşulunu sağlayan bölge 


 yine  6<m<2 olur.

2. f(x)=1+sinx+cosx
f′(x)=cosx–sinx>0
cosx>sinx

0<x<
iken cosx>sinx olduğundan bu aralıkta
4
artandır.
6. ( , 2) aralığında f(x) artan ve f′(x)>0 dır.
(–2,2) aralığında f(x) azalan ve f′(x)<0 dır.
(2,  ) aralığında f(x) artan ve f′(x)>0 dır.
f′(–2)=0 [ x=–2 de yerel maksimum vardır.]
f′(2)=0 [ x=2 de yerel minimum vardır.]
I. f ( 4)  f (1) doğrudur.

3.
f′(x)=(x–2)2(x–1).x<0
iken f(x) azalandır.
(x–2)2(x–1).x<0
x=0
+
x=1
–
x=2
+
II.
III.
f (0)  f ( 5) doğrudur.
IV.
f(1)  f (1) yanlıştır.
V.
f( 5)  f ( 5) doğrudur.

Çift Kat Kök
–∞

3
f     f (2) doğrudur.
2
0
+∞
+

0
(0,1) aralığında azalandır.
176




Kavrama ~ 14
7. f(x) 
ax  4
x 1
Çözümler
fonksiyonu
azalmayan
9.
bir
y
fonksiyon ise f′(x)0 olmalıdır.
a.(x  1)  (ax  4)
0
(x  1)2
a  4
(x  1)2
–4
–2
–––
––
 0 –a–40a–4 bulunur.
–
––
+
0
f′(x)
++
++
+
+
3
x
( ,0) aralığında f′(x)<0 ve f(x) azalan
(0,  ) aralığında f′(x)>0 ve f(x) artan
f′(0)=0, x=0 noktasında yerel minimum vardır.
I.
II.
f ( 2)  f (0) yanlıştır.

0
 1
f( 1)  f    yanlıştır.
 2
[( ,0 ) aralığında azalan]
III. f(1)<f(2) doğrudur.
[( 0,  ) aralığında artan]
IV. “(0,3] aralığında artandır.” doğrudur.
V. “[–4,0 ) aralığında azalandır.” doğrudur.
8. f(x)=
x3 x 2

 2x  1
3
2
10. x  [1,5]
x=–1
+
x=2
–
f′(x)<0
ise
f(x)
azalandır.
x=1 için f(1) en büyük,
x=5 için f(5) en küçük olur.
O halde, f(2)>f(5) kesinlikle doğrudur.
f′(x)=x2–x–2<0  x=–1, x=2
–∞
için
+∞
+
–1<x<2 bulunur.
177
fonksiyonu
Kavrama ~ 15
1. a.
Ç özüml er
f(x)=x3–6x
f′(x)=3x2–6
f′′(x)=6x=0
x=0
–
b. f(x)=–x4+4
f′(x)=–4x3
f′′(x)=–12x2<0
konkavdır.
Tanım
aralığında
+


dönüm noktasıdır.
f(x)=3–x
f′(x)=3–x
f′′(x)= (3–xln3.(–1))(ln3.(–1))=3–x(ln3)2>0 olur.
Tanım aralığında konvekstir.
c.
b. f(x)=(x–1)4
f′(x)=4.(x–1)3
f′′(x)=12(x–1)2=0
x=1(Çift kat kök)
+
d. f(x)=lnx
1
f′(x)=
x
+


dönüm noktası yoktur.
c.
olur.
f′′(x)= 
f(x)=x4+8x3
f′(x)=4x3+24x2
f′′(x)=12x2+48x=0
x2+4x=0
x=–4
x=0
–
+
1
x2
<0 olduğundan tanım aralığında
konkavdır.
e.
f(x)=sinx
f′(x)=cosx
f′′(x)=–sinx
(–,0) aralığında f′′(x)>0 olduğundan konvekstir.
(0,) aralığında f′′(x)<0 olduğundan konkavdır.
+



x=–4 ve x=0 dönüm noktalarıdır.
d. f(x)=x.(x–1)3
f′(x)=(x–1)3+x.3.(x–1)2.1
f′′(x)=3(x–1)2+3.(x–1)2+3x.2.(x–1)
f′′(x)=6(x–1)2+6x(x–1)=0
6(x–1)[x–1+x]=0
(x–1).[2x–1]=0
x=
+

x=
1
2
x=1
–

+

1
ve x=1 de dönüm noktası vardır.
2
f(x)=6–3x2
f′(x)=–6x
f′′(x)=–6<0 sürekli
dönüm noktası yoktur.
e.
konkav
3.
olduğundan
y
2
0
–2
f(x)=x2+4x+3
f′(x)=2x+4
f′′(x)=2>0 olduğundan
konvekstir.
2. a.
tanım
2 4
x
Yerel minimum noktası (2,2) dir. Bu nokta
x–y+k+1=0 doğrusu üzerinde ise
2–2+k+1=0k=–1 bulunur.
aralığında
178
Kavrama ~ 15
Çözümler
4.
8. x=a da mutlak minimum
x=c de yerel maksimum
x=f de yerel minimum
x=h de mutlak maksimum vardır.
(a,d) aralığında konkav (  )
(d,h) aralığında ise konvekstir. (  )
y
+
++
++
+ +
+
+
+
+ +
–5 +
–3 –1 0
f′(x)
x
( , 5) aralığında f(x) azalan
( 5,  ) aralığında f(x) artan
f′′(–3)=0, x=–3 dönüm noktası
f′′(–1)=0, x=–1 dönüm noktasıdır.
I. “(–5,0) aralığında sürekli artandır.” doğrudur.
II. “–5<x<–3 aralığında f′(x) artan olduğundan
f′′(x)>0 ve konveks olur.” doğrudur.
III. “–3<x<–1 aralığında f′(x) azalan olduğundan
f′′(x)<0 ve konkav olur.” doğrudur.
IV. “x=–3 te dönüm noktası vardır.” doğrudur.
V. “x=–3 ve x=–1 de dönüm noktası olduğundan
–3<x<–1 aralığında dönüm noktası yoktur.”
yanlıştır.
9. f(x)=ax3–2ax2+x+1
f′(x)=3ax2–4ax+1 fonksiyonunun
değeri 5 olduğundan
2
[ f′′(x)=6ax–4a=0  x  ]
3
2
x
için y=5 olur.
3
5. f(x)=–x2+4x+m  f′(x)=–2x+4=0x=2 olur.
x=2 için y=–1 mutlak maksimum değeri
olduğundan –1=–22+4.2+m  –1=4+m  m=–5
bulunur.
3
maksimum
2
2
2 2
5= a.    2a       1
3
3 3
10 8a 8a
90 8a  24a




3
27 9
27
27
90
45
90=–16a  a= 
 a= 
bulunur.
16
8
6. f(x)=–x4+x3+(m–2)x2+3
f′(x)=–4x3+3x2+2(m–2)x
f′′(x)=–12x2+6x+2(m–2)<0
–6x2+3x+(m–2)<0
 <032–4.(–6).(m–2)<0
9+24m–48<0
39
13
m<
m<
bulunur.
24
8
7. f(x)=x3–ax2+bx–2
x=–1 de bükeylik yön değiştirdiği için f′′(–1)=0
olur.
x=–1 de teğetinin eğim açısı 45 olduğundan,
f′(–1)=tan45=1 dir.
f′(x)=3x2–2ax+b , f′′(x)=6x–2a
f′(–1)=3.(–1)2–2a(–1)+b=1
3+2a+b=1  2a+b=–2
f′′(–1)=6.(–1)–2a=02a=–6a=–3
2a+b=–22.(–3)+b=–2b=4 olur.
a+b=–3+4=1 bulunur.
10. f(x)=x3–mx2+nx–3
f′(x)=3x2–2mx+n
f′(–1)=3.(–1)2–2m(–1)+n=02m+n=–3
f′(5)=3.52–2m.5+n=0  –10m+n=–75
2m+n=–3 (I)
–10m+n=–75 (II)
(I) ve (II) denklemleri
çözüldüğünde m=6 ve n=–15 olur.
m+n=6+(–15)=–9 bulunur.
179
Kavrama ~ 16
Ç özüml er
1. f(x)=x3+x2–5x+2
f′(x)=3x2+2x–5=0
5.
2r
2
+5 x  
3x
5
(–1,2)
3
r
x
x
–1x=1(–1,2)
x=–1 için f(–1)=–1–1+5+2=5
3
x
2r
2r
 2x  2r  8
Çevre=
2
2
x=1 için f(1)  1  1  5.1  2  1
x=2 için f(2)=8–4–10+2=–4
minimum değeri: –4
maksimum değeri: 5 bulunur.
2x=8–2r–r
Alan=A=
2.
a
b
r
r 2
 x.2r
2
A=
r 2
 (8  2r  r).r
2
A=
r 2
 8r  2r 2  r 2
2
A′=r+8–4r–2r
A′=8–4r–r=0
b
8
4
16
Uzun kenar: 2r=
bulunur.
4
8–r(4+)=0  r 
a
2a+b=60b=60–2a
A=a.b=a.(60–2a)=60a–2a2
A′=60–4a=0a=15
b=60–2.15=30
A=a.b=15.30=450 cm2 bulunur.
6.
y
D
3.
x2–(1–m)x–m=0
A
T=(x1)2+(x2)2=(x1+x2)2–2x1.x2
=(1–m)2–2.(–m)
=1–2m+m2+2m=m2+1
T′=2m=0m=0 bulunur.
C
x x
x2
9 =h
–6
B
x
6
f(x)=4–
x
2
x
9
(2x  12).h
Alan=A=
2

x2 
A=(x+6).  4  

9 


x2 
 2x 
A′= 1.  4 
  (x  6).   


9 
 9 

4. f(x)=x(x+2)=x2+2x
A(x0,y0)=A(x0, (x0)2+2x0)
T=x0+y0=x0+(x0)2+2x0
T=(x0)2+3x0
3
T′=2x0+3=0  x0= 
2
A′= 4 
x 2 2x 2 12x


9
9
9
A′= 4 
x 2 4x

0
3
3
12–x2–4x=0  x2+4x–12=0  x=–6, x=2
uzunluk negatif olmayacağından x=2 olur.
2
3
 3
 3 9
y0=     2.    =  3  
4
 2
 2 4
 3 3
A   ,   bulunur.
 2 4
h= 4 
180
x2
4 32
 4 
br bulunur.
9
9
9
Kavrama ~ 16
Çözümler
7.
9. f(0)=f(1)
–1=1+(m–1)–1m=0
f(x)=x2+(0–1)x–1=x2–x–1
1
f′(x)=2x–1=0x= olur.
2
y
x
x
y
y
x
3x+4y=12 cm y 
Alan=A=
y
12  3x
4
2
x=
x2 3
 y2
4
1
1
5
 1  1
 y  f       1 
2
2
2
2
4
   
1 5
 2 ,  4  noktası Rolle teoremine uyan noktadır.


2
A=
x 2 3  12  3x 


4
 4 
A′=
x 3
 12  3x   3 
 2
.  
2
 4   4
A′=
x 3 36  9x

0
2
8
4x 3  36  9x  0
x( 4 3 +9)=36
36
cm olmalıdır.
x
4 3 9
10. f(x)=x2(x–2)=x3–2x2
f′(x)=3x2–4x
f(2)  f(0)
f′(x)=3x2–4x=
[ f(2)=0 ve f(0)=0 ]
20
00
0
3x2–4x=
2
8.
A
G
B
D
K
2
H
6
F
E
C
x(3x–4)=0
x=0  (0,2)
4
x= (0,2)
3
DEFG dikdörtgeninin alanı en çok ABC
üçgeninin alanının yarısı kadar olabilir. O halde,
 2.6 
A(ABC)  2 
A(DEFG)=

 3 br2 bulunur.
2
2
olduğundan
teoremini sağlayan x 0 
181
ortalama
4
bulunur.
3
değer
Kavrama ~ 17
Ç özüml er
sin x
1
cos x

cosx=0x=  k düşey asimptotları bulunur.
2
7. f(x)  x2  4x  3  2x  1
1. f(x)= sin x 
y  1. x 
4
 2x  1
2.1
y  x  2  2x  1
y1=x+2+2x–1=3x+1
y2=–x–2+2x–1=x–3 bulunur.
3
2. y  x 2 
x 1
x+1=0x=–1 düşey asimptot
y=x2 eğri asimptot olur.
8. y  3
x 1
x  2m
2m  1
f(x)= 3x  m  1 
x  2m
2m  1
f(x)= (3x  1  m) 
x  2m
x–4=0x=4 düşey asimptot
 4x 3 
lim 3 x  4   3 4  9  y=9 yatay asimptot

x  


3. f(x)= 3x  m 
Kesiştiği nokta (4,9) noktası olur. Koordinatları
toplamı 4+9=13 bulunur.
y=3x+1–m=3x+51–m=5  m=–4
x–2m=0x=2m=2.(–4)=–8 düşey asimptot
4. f(x)  2
3x 1
x 1
2
9. f(x)=sinx.e–x+mx+n–1
sin x
f(x)=(mx+n–1) 
ise
ex
 3x
2
 3x 1
lim 2 x 1  3 x   23  30 =8+1=9 bulunur.

x  


5. f(x) 
eğik asimptotu y=mx+n–1 olur.
y=mx+n–1=–2x+3
mx=–2xm=–2 ve n–1=3n=4
m+n=–2+4=2 bulunur.
ln(2x  10)
x2  4
x2+4=0x2  4
ln(2x+10)
ifadesi
2x+10=0x=–5
tanımsızdır.
O halde düşey asimptotu: x=–5 olur.
6. y 
4x  3
x 4
için
10. f(x) 
ax  5
fonksiyonunun grafiğinin simetrik
2x  b
olduğu nokta düşey ve yatay asimptotlarının
kesim noktasıdır.
b
2x–b=0 x 
2
a
 ax  5  a
lim 
2y2
x   2x  b 
mx  n
xm
x+m=0x=–m düşey asimptot
 mx  n 
lim 
  m y=m yatay asimptot
x   x  m 
b
a
b a
 2 , 2   (1,6)  2  1 b=2 ve 2  6 a=12


(–m,m) noktası y=3x+4 doğrusu üzerinde ise
m=3.(–m)+4  4m=4m=1 bulunur.
a.b=12.2=24 bulunur.
182
Kavrama ~ 18
Ç özüml er
1. f(x)=a.(x+2).(x–1)(x–2)
x=0 için y=–2 olduğundan
–2=a.(2)(–1)(–2)
1
a=  olur.
2
1
f(x)=  (x  2)(x  1)(x  2) bulunur.
2
4. f(x)= log
1.
x8
x 1
x8
0
x 1
x=–8
x=–1
–
+
+
Tanım kümesi:R–[–8,–1]
2. x+8=0x=–8
x+1=0x=–1 de düşey asimptot vardır.
x8
lim log
 log1  0  y  0
da
x 
x 1
yatay
asimptot vardır.
3. x=0 için y=log8 , y=0 x tanımsızdır.
y
log8
2. I. ( , 1) aralığında f(x) artan
–8
–1
x
(–1,2) aralığında f(x) azalan
(2,  ) aralığında f(x) artan
II. x=–1 de yerel maksimum
x=2 de ise yerel minimum vardır.
III. ( ,p) aralığında f(x) konkavdır. (  )
(p,  ) aralığında f(x) konvekstir. (  )
5. f(1)=2 , f′(1)=mt=
2
1
2
g(2x)=x.f(x)  g′(2x).2=1.f(x)+x.f′(x)
x=1  g′(2).2=f(1)+1.f′(1)
2 1 3

g′(2)=
bulunur.
2
2
6.
3. f(x)=x3–x
1. Tanım kümesi: R
2. x=0y=0 ve y=00=x(x2–1)
x=0, x=–1 ve x=1
1
1
2
3. f′(x)=3x –1=0x= 
ve x= 
3
3
x= 
1
x=
f′(x)
+
++
+
+
++
–
–4
–1
–
–
I. ( , 4)
3
–
+
max
min
y
1
–1
1
x
aralığında f′(x)<0 olduğundan f(x)
olduğundan f′′(x)>0, konvekstir. (  )
( 1,2) aralığında f′(x) azalan olduğundan
3

2
f(x) artandır.
II. x=–4 te yerel minimum vardır.
x=2 de işaret değişmediğinden ekstremum nokta
değildir.
III. ( , 1)  (2,  )
aralığında f′(x) artan


+
++
azalandır.
( 4,2)  (2,  ) aralığında f′(x)>0 olduğundan
1
3
+
y
1
x
3
f′′(x)<0, konkavdır. (  )
183
Kavrama ~ 18
Çözümler
7. I. ( , 3)  (1,3)
aralığında
f(x)
artan
9.
y
olduğundan I. madde doğrudur.
II. x=–3 te yerel maksimum vardır. (Artarken
azalmaya geçtiğinden) Doğrudur.
III. x=3 için f(3)=5 fonksiyonunun alabileceği en
büyük değer olduğundan mutlak maksimum
değeri 5 tir. Doğrudur.
5
7
IV. f     f    Yanlıştır.
2
 
2
++
+ +
+ ++
+
+ 4 x
++
+
+
+
––
– –2 –1
3
1
–
–
–
y=f′(x)
x=–2
–
x=1
+
+
x=4
–
+

min


(Ar tan) (Azalan)
+

max
x=–2 ve x=4 noktaları ekstremum noktalarıdır.
3 3
V. f     f   Yanlıştır.
2 2

(Ar tan)

10.
8.
y
y
max
+
++ ++
+
++
–– –2
–
2
++
D.N.
++
–
+
x
min
x
y=f(x)
f(x) fonksiyonunun 5 tane ekstremum noktası, 4
tane de dönüm noktası vardır.
x=2
+
D.N.
D.N. D.N.
min
I.
x=–2
max
max
f′′(x)
+
Dönüm
noktasıdır.
Dönüm noktası
değildir.
II. ( , 2 ) aralığında f′′(x)<0 olduğundan f(x)
konkavdır.(  )
( 2,2)  (2, ) aralığında f′′(x)>0 olduğundan
f(x) konvekstir.(  )
184