MT 131 ANAL˙IZ I F˙INAL SINAVI C¸ ¨OZ¨UMLER 1. (a) f(x) = x 3 + 2x

MT 131 ANALİZ I
FİNAL SINAVI ÇÖZÜMLER
1
4
4 1 2 2
2 2
1. (a) f (x) = x 3 + 2x 3 , f ′ (x) = x 3 + x− 3 = x− 3 (2x + 1) = 0 Kritik sayılar: x = 0 ve x = − 21
3
3
3
4 −5
4 −2 4 −5
′′
3
3
3
f (x) = x − x = x (x − 1) = 0 Büküm noktası adayları: x = 0 ve x = 1
9
9
9
1
−2
0
1
− 12 de yerel minimum var.
′
f
− | + k
+
0 da yerel ekstremum yok.
Grafik ց | ր k
ր
0 ve 1 de büküm noktası var.
f ′′
+
k − | +
(0 da düşey teğetin varlığına dikkat edin)
Grafik
⌣
k ⌢ | ⌣
(b) f (x) = x5 + x3 + 2 = 0 için x = −1 bulunur. f ′ (x) = 5x4 + 3x2 ve g ′(0) =
2. (a) lim
x→0
Arcsin x − Arctan x
de
x sin2 x
√ 1
1−x2
−
1
1+x2
sin2 x + 2x sin x cos x
=
0
0
lim =
1
8
olur.
belirsizliği var. L’Hospital in Kuralını deneyelim.
1
1−x2
−
1
(1+x2 )2
(sin2 x + 2x sin x cos x)
√ 1
1−x2
+
1
1+x2
=
Limitin Temel özelliği ve Limit Teoremlerinden:
x→0
1
f ′ (−1)
3+x2
(1−x2 )(1+x2 )2
sin x 2
x
sin x
1
+ 2 x cos x √1−x
2 +
1
1+x2
=
3+x2
(1−x2 )(1+x2 )2
sin x 2
x
1
+ 2 sinx x cos x √1−x
2 +
1
1+x2
1
bulunur.
2
L’Hospital in Kuralından
Arcsin x − Arctan x
1
= bulunur.
2
x→0
2
x sin x
lim
(b) cos
x
y
+ x2 y = 1 Kapalı Türev alma yöntemi ile:
x
y − xy ′
− sin
+ 2xy + x2 y ′ = 0
y
y2
1
sin
y
1
x
x
x
′
2
′
= sin
− 2xy den y =
y x + 2 sin
y
y
y
y
x2 +
3. (a) Düşey Asimptotlar: fonksiyon x 6= ±1 için süreklidir.
x
y
x
y2
− 2xy
sin xy
x = −1 de 00 belirisizliği var. L’Hospital in Kuralı kullanılarak (veya kullanmadan) limx→−1
bulunur. x = −1 de düşey asimptot yoktur. limx→1+
√
1+ 5
2
√
3
2x+1−x
x2 −1
2
x −1
√
3
2x+1−x
√
3
2x+1−x
x2 −1
= 0 ve 1 in hemen sağında (tam
√
3
> 0 olduğundan, limx→1+ 2x+1−x
= +∞ olur x = 1
x2 −1
q
√
3 2
3
+ x13 − 1
2x + 1 − x
x2
=0
= lim
de düşey asimptot vardır. Yatay Asimptot: lim
x→±∞
x→±∞
x2 − 1
x − x1
olduğu için y = 0 doğrusu biricik yatay asimtottur.( Başka bir asimptot da olamaz.)
olarak: 1 < x <
için)
1
=
1
6
(b) lim+
x→1
1
x−1
ln x
limitinde ∞0 belirsizliği var. ln
da (x → 1+ iken) 0 · ∞ belirsizliği vardır.
ln x
1
x−1
lim+ −
x→1
= − ln x ln(x − 1) olur. Burada
ln(x − 1)
1
ln x
∞
∞
limitinde
belirsizliği var.
L’Hospital in Kuralını uygulayayalım.
1
ln x
x−1
x ln x = 1·1·0 = 0 (Parantez içindeki limitin 1 oluşu bir teorem idi)
lim − − 1 = lim+
x→1+
x→1
x−1
x
(ln x)2
(limx→1+
ln x
x−1
limx→1+ ln
= 1 olduğu L’Hospital’in Kuralı ile de görülebilir.) L’Hospital in Kuralından,
ln x ln x 1
1
+
= 0 olur. limx→1 ln x−1
= 0 ve exp, 0 da sürekli olduğundan,
x−1
Bileşkenin limiti teoreminden
lim
x→1+
4. (a) tan(Arcsin x) =
sin(Arcsin x)
cos(Arcsin x)
=
1
x−1
x
cos(Arcsin x)
ln x
= exp(0) = 1 olur
olur. Arcsin x ∈ [− π2 , π2 ] ve bu aralıkta cos fonksiy-
onunun değerleri negatif olmadığı (ve cos2 (Arcsin x) + sin2 (Arcsin x) = 1 olduğu) için,
√
x
cos(Arcsin x) = 1 − x2 olur . Dolayısıyla, tan(Arcsin x) = √1−x
2 olur.
√
4
(b) f (x) =
3
7
3 −4
x , f ′′′ (x) =
x, a = 16 olsun. f ′ (x) = 14 x− 4 , f ′′ (x) = − 16
1
−
3
21 − 11
x 4.
64
21
P3 (x) = 2 + 21!5 (x − 16) + 2!211 (x − 16)2 + 23!17 (x − 16)3
√
4
15 = f (15) ≈ P3 (15) = 2 − 215 − 2312 − 2718 bulunur.
(4)
f (c)
4
Kalanlı Taylor Teoreminden, Hata= |R3 | = (15 − 16) olacak şekilde bir 15 < c < 16
4!
15
15
231
3
(4)
olduğu için c 4 > (23 ) 4 > 211 olur. Tüm
sayısı vardır. f (c) = −
15 dir. c > 15 > 2
256c
4
bunlar yerine konduğunda, Hata<
elde edilir.
Silindirin hacmi maksimum yapılacak. Silindirin hacmi=V = πr 2 h. Ben-
5−h
r
5.
77
222
zer üçgenlerden,
5−h
5
konulduğunda: V =
h
=
r
4
5π
(4r 2
4
Bu eşitlikten, h = 5 −
yapılacak. f ′ (r) =
4
5π
(8r
4
bulunur.
5π
(4r 2
4
− 3r 2 ) olur.
− r 3 ), (0, 4) aralığında maksimum
8
3
0
Bu fonksiyonun (0, 4) aralığındaki biricik kritik sayısı r =
oluşundan (ve f nin
8
3
Yerine
− r 3 ) maksimum yapılacak. Değişkenin değer
alabileceği aralık:(0, 4) Yani, f (r) =
r
5r
4
8
3
dür.
f ′ (r) |
+
|
4
−
|
| ր | ց |
de sürekli oluşundan, f, (0, 4) aralığındaki maksimum değerine r = 38 de
erişir. Daha sonra da h =
5
3
bulunur.
2