ık·ı de¼g·ıskenl·ı fonks·ıyonlar sınıfında

1
ANKARA ÜN·IVERS ·ITESI·
FEN BI·LI·MLER I· ENSTI·TÜSÜ
DOKTORA TEZI·
·IK ·I DEG
¼ ·IŞKENL ·I FONKSIYONLAR
·
· I·
SINIFINDA BERNSTEIN-CHLODOWSKY TIP
· ·IF OPERATÖRLER D·IZ·ISIN
· ·IN YAKINSAKLIK ÖZELLIKLER
·
·I
L ·INEER POZIT
Ayd¬n I·ZGI·
MAETMAT ·IK ANABI·L ·IM DALI
ANKARA
2004
Her Hakk¬ Sakl¬d¬r
ÖZET
Doktora Tezi
¼ ·IŞKENLI· FONKSI·YONLAR SINIFINDA BERNSTEIN
I·KI· DEG
CHLODOWSKY TI· PI· LI· NEER POZI· TI· F OPERATÖRLER DI·ZI· SI· NI·N
YAKINSAKLIK ÖZELLI· KLERI·
·
Ayd¬n IZG
I·
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Ana Bilim Dal¬
Dan¬şman: Doç. Dr. Ertan ·IBI· KL·I
Bu tez dört bölümden oluşmaktad¬r.
Birinci bölüm giriş k¬sm¬na ayr¬lm¬şt¬r.
·Ikinci bölümde bu tez için gerekli olan temel tan¬m ve teoremler verilmiştir. Ayr¬ca,
çok de¼gişkenli fonksiyonlar için Korovkin tipi bir teorem verilip, ispatlanm¬şt¬r. I· ki
de¼gişkenli fonksiyonlar için tan¬mlanm¬ş olan süreklilik modülünün baz¬ özellikleri
bir lemma olarak verilip, ispatlanm¬şt¬r.
Üçüncü bölümde Bernstein-Chlodowsky polinomlar dizisin bir genelleşmesi ile ilgili
bir makale(I· bikli and Gadjieva,1995) ele al¬nm¬ş ve bu makaledeki sonuçlar Lipschitz s¬n¬f¬ndan olan fonksiyonlar için yeniden ispatlanm¬şt¬r. Ayr¬ca bu polinomlar
dizisinin türevinin yaklaş¬m¬ ile ilgili bir teorem verilip ispatlanm¬şt¬r.
Dördüncü bölüm tezin orjinal k¬sm¬d¬r. Bu bölümde, Bernstein-Chlodowsky polinomlar dizisinin bir genelleşmesi iki de¼gişkenli fonksiyonlar s¬n¬f¬nda tan¬mlanm¬şt¬r.
Bu polinomlar dizisinin ve k¬smi türevlerinin yaklaş¬mlar¬ ve yaklaş¬m h¬zlar¬ ile ilgili
teoremler ispatlanm¬şt¬r.
2004, 68 sayfa
ANAHTAR KELI· MELER: Bernstein-Chlodowsky polinomlar¬, Korovkin Teoremi, Lineer pozitif operatorler, yak¬nsakl¬k h¬z¬, tam süreklilik modülü, k¬smi süreklilik modülü, Lipschitz şart¬, Düzgün yak¬nsakl¬k.
i
ABSTRACT
Ph. D. Thesis
CONVERGENCE PROPERTIES OF SEQUENCES OF BERNSTEIN CHLODOWSKY TYPE LINEAR POSITIVE OPERATORS IN CLASSES OF TWO
VARIABLES FUNCTIONS
Ayd¬n I· ZGI·
Ankara Universitesity
Graduate School of Natural Applied Science
Department of Mathematic
Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Ertan I· B·IKLI·
This thesis consist of four chapters.
The …rst chapter is devoded to the introduction.
·In the second chapter, the fundamental de…nitions and theorems has been given,
which are necessary for this thesis. Furthermore, a Korovkin type theorem has been
given, proved for several variables functions. A lemma, deal with some properties
modulus of continuity of two variables functions, which has been de…ned, has been
given and proved.
In the third chapter, a paper about generalization of the sequence of BernsteinChlodowsky polynomials(Ibikli and Gadjieva, 1995), is studied and the results in the
paper are given as new results for functions which are in Lipschitz class.
The fourth chapter is the original part of the thesis. In this chapter, a generalization
of Bernstein-Chlodowsky s is de…ned in the two variables functions classes. The
theorems about approximation and degree of approximation of these sequence of
polynomial and their partial derivatives has been proved.
2004, 68 page
Key Words: Bernstein-Chlodowsky polynomials, Korovkin theorem, Linear positive operators, order of approximation, complete modulus of continuity, partial modulus of continuity, Lipschitz condition, uniform convergence.
ii
TEŞEKKÜR
Bu çal¬şmay¬ bana veren; bilgi ve tecrübesini, sab¬r ve titizlikle her aşamada hiç
bir yard¬m¬n¬ ve deste¼gini esirgemeyen Dan¬şman hocam Say¬n Doç. Dr. Ertan
·IBI· KLI· 0 ye, engin bilgi ve tecrübesinden faydaland¬ ¼g¬m Say¬n Prof. Dr. Akif HACI0
YEV e, maddi ve manevi destekleriyle hep yan¬mda olan annem ve babam (Sa…ye ve
0
Şeyhmus I· ZGI· ) a ve her ne şekilde olursa olsun yard¬m¬ olan herkese teşekkürü bir
borç bilirim.
Ayd¬n I·ZGI·
Ankara, Şubat 2004
iii
B(M )
C (M)
C b(M )
U Cb (M)
fn ¶ f
½(x; t)
!(±) = !(f; ±)
! 2(±) = !2(f ; ±)
(i)
(i)
! 2 (±) = !2 (f ; ±)
LipM ®
Lip(i)
2;M ®
C O(M )
k¢kC(M)
C nk = (
n
)
k
_
_ IN
_ _I
SIMGELER
DIZ
M kümesi üzerinde tan¬ml¬ ve s¬n¬rl¬ fonksiyonlar¬n s¬n¬f¬.
M kümesi üzerinde tan¬ml¬ ve sürekli fonksiyonlar¬n s¬n¬f¬.
M kümesi üzerinde tan¬ml¬, sürekli ve tüm reel eksende s¬n¬rl¬ fonksiyonlar¬n s¬n¬f¬.
M kümesi üzerinde tan¬ml¬, düzgün sürekli ve tüm reel eksende s¬n¬rl¬ fonksiyonlar¬n s¬n¬f¬.
(fn) fonksiyon dizisi f fonksiyonuna düzgün yak¬nsar:
x = (x1; x2) ile t = (t1; t2) noktalar¬ aras¬ndaki uzakl¬k:
Tek de¼gişkenli ve reel de¼gerli s¬n¬rl¬ f fonksiyonunun süreklilik modülü.
I· ki de¼gişkenli ve reel de¼gerli s¬n¬rl¬ f fonksiyonunun tam
süreklilik modülü
(i = 1; 2) : I· ki de¼gişkenli ve reel de¼gerli s¬n¬rl¬ f fonksiyonunun i ¡ inci bileşene göre süreklilik modülü.
M sabitiyle ®-¬nc¬ mertebeden Lipschitz şart¬n¬ sa¼glayan
tek de¼gişkenli ve reel de¼gerli fonksiyonlar¬n s¬n¬f¬.
(i = 1; 2) M sabitiyle ®-¬nc¬ mertebeden i ¡ inci bileşene
göre Lipschitz şart¬n¬ sa¼glayan iki de¼gişkenli ve reel de¼gerli fonksiyonlar¬n s¬n¬f¬.
M kümesi üzerinde tan¬ml¬, sürekli ve tüm reel eksende(Mf
sadece f fonksiyonuna ba¼gl¬ bir sabit olmak üzere
jf (x)j · Mf (1 + x2)şart¬n¬ sa¼glayan fonksiyonlar¬n s¬n¬f¬.
C(M ) s¬n¬f¬ üzerinde tan¬ml¬ norm.
n in k l¬ kombinasyonu
n!
; (n; k 2 N)
k!(n ¡ k)!
Müzerinde r-nci mertebeye kadar türevi mevcut ve bu tüC r (M ); r = 1; 2; 3:::
revleri sürekli olan fonksiyonlar¬n s¬n¬f¬
R0
[0; 1) s¬n¬rs¬z aral¬ ¼g¬
yani Cnk =
iv
ŞEKI· LLER DI· ZI·NI·
p
Şekil 3.1 f (x) = x5 + x3 + x + x + 2 fonksiyonuna (1.5) polinomlar¬yla
yaklaş¬m gra…¼gi
p
1
Şekil 4.1 f (x; y) =
(x10 + y10 + x) fonksiyonuna (4.5) polinomlar¬yla
100
yaklaş¬m gra…¼gi
v
37
65
I· ÇI· NDEKI· LER
ÖZET
i
ABSTRACT
ii
TEŞEKKÜR
iii
SI· MGELER DI· ZI· N·I
iv
ŞEKI· LLER DI· Z·INI·
v
1:
1:1
1:2
1:3
2:
2:1:
2:1:1:
2:1:2:
2:1:3
2:2:
2:2:1:
2:2:2:
3:
3:1
3:2
4:
4:1
4:2
4:3
GI·RI·Ş
Bernstein Polinomlar¬
Bernstein-Chlodowsky Polinomlar¬
·Iki De¼gşkenli Fonksiyonlar S¬n¬f¬nda Bernstein Polinomlar¬
¼ I·ŞKENLI· FONKSI·YONLAR SINIFINDA
I·KI· DEG
LI· NEER POZI·TI·F OPERATÖRLER VE YAKLAŞMA
PROBLEMI·
I· ki De¼gişkenli Fonksiyonlar S¬n¬f¬
S¬n¬rl¬ kapal¬ bölgelerde sürekli fonksiyonlar s¬n¬f¬
Süreklilik modülü
Lipschitz şart¬
Lineer Pozitif Operatörler
Lineer pozitif operatörler için Korovkin teoremi
m-boyutlu uzaylarda lineer pozitif operatörler için Korovkin
teoremi
GENELLEŞTI· RI· LMI· Ş BERNSTEIN-CHLODOWSKY
POLI· NOMLARININ YAKINSAKLIK ÖZELLI· KLERI·
Teoremler
Örnekler
¼ I· ŞKENLI· FONKSI· YONLAR SINIFINDA
I· KI· DEG
· ILM
·
· BERNSTEIN-CHLODOWSKY
GENELLEŞTIR
IŞ
TI· PI· LI· NEER POZI·TI· F OPERATÖRLER DI·ZI· SI· NI· N
YAKINSAKLIK ÖZELLI·KLERI·
Giriş
Teoremler
Örnek
KAYNAKLAR
ÖZGEÇMI· Ş
vi
1
1
2
3
6
6
6
7
15
17
20
23
27
27
35
38
38
39
62
66
68
1
f := ( x, y )
1
10
+
x
100
10
y
100
+
1
1
x+
100
y
100
n := 4
5
B4 (f, x , y ) := 0.008992195129
6
x + 0.01578100204
7
x + 0.01717529297
8
x + 0.01187667847
x
9
+ 0.004998779297
x
2
+ ( 0.007500000000
2. x + 2. - 0.01500000000
5
2. x + 1. + 0.00001500129700
6
+ 0.008992195129
y + 0.01578100204
+ 0.004998779297
y
)x
7
y + 0.01717529297
8
y + 0.01187667847
y
9
+ (0.001875000000
2. y + 2. + 0.002891135216
+ 0.0003125000000
2. y + 4.
4
- 0.001250000000
2. y + 1. - 0.001250000000
10
2. y + 3.) y + 0.001068725586
x
10
+ 0.001068725586
y
+ (0.0003125000000
2. x + 4. + 0.002891135216
+ 0.001875000000
2. x + 2.
4
- 0.001250000000
2. x + 1. - 0.001250000000
+ (0.002500000000
2. x + 3.) x
2. x + 3. + 0.0004162788391
+ 0.007500000000
2. x + 1.
3
- 0.007500000000
2. x + 2.) x
2
+ ( 0.007500000000
2. y + 2. - 0.01500000000
+ (0.002500000000
2. y + 3. + 0.007500000000
3
(3 / 2 )
y
+ ( 1.907348633
+ (0.01000000000
y
10
-8
- 0.003535533905
2. y + 1. + 1.907348633
+ 0.01000000000
y
(7 / 2 )
10
2. x + 1. ) x + 0.007071067810
-8
(5 / 2 )
+ 0.01060660172
y
(5 / 2 )
+ 0.01060660172
2. y + 2.
- 0.01414213562
x
(9 / 2 )
+ 0.0004419417381
x
)y
(7 / 2 )
- 0.003535533905
x
(9 / 2 )
+ 0.0004419417381
2. y + 1. - 0.007500000000
(3 / 2 )
) y - 0.01414213562
+ 0.0004162788391
2. y + 1. + 0.00001500129700
x
)y
y + 0.007071067810
x
n := 6
7
B6 (f, x , y ) := 0.02013998321
8
x + 0.01688955802
8
+ 0.01688955802
9
x + 0.008274824290
9
y + 0.008274824290
+ (-0.00004629629630
2. y + 4.898979486
- 0.0004629629630
2. y + 2.449489743
y
10
y + 0.001953848380
18. y + 7.348469229
+ 0.00002314814815
7
x + 0.02013998321
10
+ 0.001953848380
x
+ 0.0001157407407
+ 0.0001157407407
y
18. y + 14.69693846
18. y + 29.39387692
- 0.00004629629630
18. y + 36.74234614
6
+ 0.01459270462 ) y
+ (0.001408857181
- 0.002777777778
18. y + 7.348469229
- 0.008333333333
2. y + 2.449489743
4
+ 0.0006944444444
18. y + 29.39387692
+ 0.004166666667
+ (-0.006804138176
18. y + 14.69693846
+ 0.006804138176
18. y + 14.69693846 ) y
18. y + 7.348469229
3
+ 0.0001357234593
+ 0.006804138176
+ (0.000003284093284
2. y + 2.449489743 ) y
- 0.008333333333
18. y + 7.348469229
2
+ 0.004166666667
18. y + 14.69693846 ) y
-9
+ ( 3.076234347 10
(3 /2)
+ 0.004082482906
(7 /2)
- 0.009622504490 x
18. y + 7.348469229) y - 0.01732050808 x
(3 /2 )
- 0.01732050808 y
(7 /2)
- 0.009622504490 y
+ 0.01767766952
(9/2 )
+ 0.002946278254 x
(5 /2 )
x
+
(9 /2)
+ 0.002946278254 y
(5/2 )
0.01767766952 y
(11 /2 )
- 0.0004811252245 x
(13 /2 )
+ 0.00003273642505 x
+ (0.006804138176 18. x + 7.348469229 - 0.006804138176
18. x + 14.69693846
3
x
+ 0.0001357234593 + 0.006804138176
2. x + 2.449489743)
-9
+ ( 0.004082482906 18. x + 7.348469229 + 3.076234347 10 ) x
+ (-0.00004629629630 18. x + 36.74234614 + 0.01459270462
+ 0.0001157407407 18. x + 14.69693846 - 0.0004629629630 2. x + 2.449489743
+ 0.0001157407407 18. x + 29.39387692 + 0.00002314814815 2. x + 4.898979486
6
- 0.00004629629630 18. x + 7.348469229) x
+ (-0.0005670115146 18. x + 29.39387692 + 0.0005670115146 18. x + 7.348469229
+ 0.003402069088 2. x + 2.449489743 + 0.0001134023029 18. x + 36.74234614
5
+ 0.006221714727 - 0.001134023029 18. x + 14.69693846) x
+ (-0.002777777778 18. x + 7.348469229 - 0.008333333333 2. x + 2.449489743
+ 0.0006944444444 18. x + 29.39387692 + 0.004166666667 18. x + 14.69693846
4
+ 0.001408857181) x
+ (0.004166666667 18. x + 14.69693846 - 0.008333333333
18. x + 7.348469229
2
+ 0.000003284093284) x
+ (0.006221714727 + 0.0005670115146 18. y + 7.348469229
+ 0.003402069088 2. y + 2.449489743 - 0.0005670115146 18. y + 29.39387692
- 0.001134023029
18. y + 14.69693846 + 0.0001134023029
( 11 / 2 )
- 0.0004811252245 y
9
5
( 13 / 2 )
+ 0.00003273642505 y
n
B8 (f, x , y ) :=
18. y + 36.74234614) y
+ 0.007071067810
y
+ 0.007071067810
x
:= 8
9
10
0.01065270763 x + 0.01065270763 y + 0.002788112089 x
+ 0.002788112089 y
10
+ (0.00008544921875 2. x + 2.828427124 + 0.000001220703125 2. x + 5.656854248
- 0.000004882812500 8. x + 19.79898987 + 0.01903777057
- 0.00003417968750 8. x + 14.14213562 + 0.00003417968750 2. x + 4.242640686
- 0.000004882812500 8. x + 2.828427124 - 0.00003417968750 8. x + 8.485281372
+ 0.00003417968750
+ (0.0004833737761
+ 0.00009667475521
+ 0.00001381067932
8
2. x + 1.414213562) x
8. x + 8.485281372 - 0.0009667475521
8. x + 2.828427124 + 0.01941482249
8. x + 19.79898987 - 0.0005800485313
2. x + 2.828427124
2. x + 1.414213562
7
- 0.0001933495104 2. x + 4.242640686 + 0.0002900242656 8. x + 14.14213562) x
+ (-0.0008203125000 8. x + 14.14213562 + 0.004101562500 2. x + 1.414213562
- 0.0008203125000 8. x + 2.828427124 + 0.0002734375000 2. x + 4.242640686 + 0.01175810013
6
+ 0.004101562500 2. x + 2.828427124 - 0.002734375000 8. x + 8.485281372) x
+ (0.0007733980417 8. x + 14.14213562 - 0.007733980417 2. x + 2.828427124 + 0.004096931297
+ 0.003866990209 8. x + 2.828427124 + 0.007733980417 8. x + 8.485281372
5
- 0.01546796083 2. x + 1.414213562) x
+ (0.005468750000 2. x + 2.828427124 + 0.0007431138307 - 0.01093750000
8. x + 2.828427124
4
- 0.01093750000 8. x + 8.485281372 + 0.03281250000 2. x + 1.414213562) x
+ (0.006187184334 8. x + 8.485281372 - 0.03712310600 2. x + 1.414213562 + 0.00005663904236
3
+ 0.01856155300 8. x + 2.828427124) x
+ (0.01750000000 2. x + 1.414213562 - 0.01750000000 8. x + 2.828427124 + 0.000001089870930
(3/2 )
2
-10
) x + (8.429369701 10
+ 0.007071067810 8. x + 2.828427124) x - 0.02000000000 x
(7 /2)
- 0.01750000000 x
(3 /2 )
- 0.02000000000 y
(7 /2)
(9/2 )
+ 0.007733980417 x
(5 /2 )
x
+
(9 /2)
+ 0.007733980417 y
(5/2 )
- 0.01750000000 y
+ 0.02474873734
0.02474873734 y
+ (0.000001220703125 2. y + 5.656854248 - 0.00003417968750 8. y + 8.485281372
+ 0.01903777057 + 0.00003417968750 2. y + 4.242640686
+ 0.00003417968750 2. y + 1.414213562 + 0.00008544921875 2. y + 2.828427124
- 0.00003417968750 8. y + 14.14213562 - 0.000004882812500 8. y + 2.828427124
8
- 0.000004882812500 8. y + 19.79898987) y
+ (0.00001381067932 8. y + 19.79898987 + 0.0004833737761 8. y + 8.485281372
+ 0.01941482249 - 0.0009667475521 2. y + 2.828427124 + 0.00009667475521 8. y + 2.828427124
- 0.0005800485313 2. y + 1.414213562 - 0.0001933495104 2. y + 4.242640686
7
+ 0.0002900242656 8. y + 14.14213562) y
+ (-0.002734375000 8. y + 8.485281372 + 0.004101562500
- 0.0008203125000 8. y + 2.828427124 - 0.0008203125000
2. y + 1.414213562
8. y + 14.14213562 + 0.01175810013
6
+ 0.004101562500 2. y + 2.828427124 + 0.0002734375000 2. y + 4.242640686) y
+ (0.007733980417 8. y + 8.485281372 + 0.0007733980417 8. y + 14.14213562
- 0.007733980417 2. y + 2.828427124 + 0.004096931297 + 0.003866990209 8. y + 2.828427124
5
- 0.01546796083 2. y + 1.414213562) y
+ (-0.01093750000 8. y + 8.485281372 + 0.005468750000
2. y + 2.828427124 + 0.0007431138307
4
+ 0.03281250000 2. y + 1.414213562 - 0.01093750000 8. y + 2.828427124) y
+ (0.01856155300 8. y + 2.828427124 + 0.00005663904236 - 0.03712310600 2. y + 1.414213562
3
+ 0.006187184334
+ (0.01750000000
8. y + 8.485281372) y
2. y + 1.414213562 - 0.01750000000 8. y + 2.828427124 + 0.000001089870930
(11 /2 )
2
-10
y
) + (8.429369701 10
+ 0.007071067810 8. y + 2.828427124) y - 0.002187500000 x
(13 /2 )
+ 0.0003866990209 x
(17 /2 )
+ 0.000001726334915 x
(11 /2 )
- 0.002187500000 y
(17 /2 )
+ 0.000001726334915 y
(13 /2 )
+ 0.0003866990209 y
(15 /2 )
- 0.00003906250000 x
+ 0.007071067810
y
(15 /2 )
+ 0.007071067810
x
- 0.00003906250000 y
n
:= 10
(19 /2 )
B10 (f, x , y)
:= -0.000002236067977 y
-8 (21 /2)
+ 7.071067810 10
y
(3 /2 )
- 0.02236067977 x
(7 /2)
- 0.02683281572
- 0.02683281572
(3 /2 )
(9/2 )
x
- 0.02236067977 y
+ 0.01484924240 x
+
(7 /2)
(5 /2 )
(5/2 )
y
+ 0.03181980514 x
+ 0.03181980514 y
(9 /2)
0.01484924240 y
-7
+ (0.003513745419 - 1.000000000 10
50. y + 15.81138830
-7
+ 4.500000000 10
50. y + 126.4911064 - 0.00001260000000 2. y + 3.162277659
- 0.000001200000000 50. y + 47.43416488 - 0.000001200000000 50. y + 110.6797181
-7
-7
+ 4.500000000 10
50. y + 31.62277659 - 1.000000000 10
50. y + 142.3024947
+ 0.000002100000000 50. y + 63.24555318 + 0.000002100000000 50. y + 94.86832977
10
-8
+ 5.000000000 10
2. y + 6.324555318) y
-7
+ (0.000002846049893 50. y + 15.81138830 + 3.162277659 10
50. y + 142.3024947
+ 0.00001138419957 50. y + 110.6797181 - 0.00002656313234 50. y + 94.86832977
+ 0.01223765612 - 0.00001138419957 50. y + 31.62277659
+ 0.0001992234925 2. y + 3.162277659 - 0.000002846049893 50. y + 126.4911064
9
- 0.00003984469850 50. y + 63.24555318 + 0.00002656313234 50. y + 47.43416488) y
+ (-0.0002520000000 50. y + 47.43416488 - 0.00003600000000 50. y + 15.81138830
+ 0.01957207969 + 0.0001260000000 50. y + 94.86832977 - 0.001260000000 2. y + 3.162277659
+ 0.000004500000000 50. y + 126.4911064 - 0.00003600000000 50. y + 110.6797181
8
+ 0.0003150000000 50. y + 63.24555318 + 0.0001260000000 50. y + 31.62277659) y
+ (-0.0002656313234 50. y + 94.86832977 + 0.003984469850 2. y + 3.162277659
+ 0.01761264339 + 0.001328156617 50. y + 47.43416488 - 0.001328156617 50. y + 63.24555318
+ 0.0002656313234 50. y + 15.81138830 + 0.00003794733191 50. y + 110.6797181
7
- 0.0007968939701 50. y + 31.62277659) y
+ (0.003150000000 50. y + 31.62277659 - 0.006300000000 2. y + 3.162277659
+ 0.0002100000000 50. y + 94.86832977 + 0.009293686172
- 0.001260000000 50. y + 15.81138830 + 0.003150000000 50. y + 63.24555318
6
- 0.004200000000 50. y + 47.43416488) y
+ (0.003984469850 2. y + 3.162277659 - 0.003984469850
+ 0.007968939701 50. y + 47.43416488 - 0.007968939701
50. y + 63.24555318 + 0.002789621766
50. y + 31.62277659
5
+ 0.003984469850 50. y + 15.81138830) y
+ (-0.008400000000 50. y + 15.81138830 + 0.01260000000
- 0.008400000000 50. y + 47.43416488 + 0.0004319572266
50. y + 31.62277659
4
+ 0.002100000000 50. y + 63.24555318) y
+ (-0.009000000000 50. y + 15.81138830 + 0.004500000000
50. y + 31.62277659
(11 /2)
(13 /2)
(17 /2)
-7 2
+ 4.588867188 10 ) y - 0.005634891302 x
+ 0.001484924240 x
+ 0.00003181980514 x
(17 /2 )
+ 0.00003181980514 y
+ (0.00002797133411 + 0.003794733191
50. y + 47.43416488
3
+ 0.01138419957
50. y + 15.81138830 - 0.01138419957 50. y + 31.62277659) y
-10
+ ( 3.088161776 10
+ 0.003162277659 50. y + 15.81138830) y
+ (0.003794733191 50. x + 47.43416488 + 0.01138419957 50. x + 15.81138830
3
+ 0.00002797133411 - 0.01138419957 50. x + 31.62277659) x
+ (0.007968939701 50. x + 47.43416488 - 0.007968939701 50. x + 31.62277659
+ 0.003984469850 2. x + 3.162277659 + 0.002789621766 + 0.003984469850 50. x + 15.81138830
5
- 0.003984469850 50. x + 63.24555318) x
+ (0.01260000000 50. x + 31.62277659 - 0.008400000000
+ 0.002100000000 50. x + 63.24555318 - 0.008400000000
50. x + 15.81138830
50. x + 47.43416488
4
+ 0.0004319572266) x
+ (0.004500000000
-7
50. x + 31.62277659 + 4.588867188 10
2
- 0.009000000000
50. x + 15.81138830) x
(11 /2 )
-10
+ ( 3.088161776 10
+ 0.003162277659 50. x + 15.81138830) x - 0.005634891302 y
(13 /2 )
+ 0.001484924240 y
+ (0.000002100000000 50. x + 94.86832977 - 0.00001260000000 2. x + 3.162277659
-8
+ 5.000000000 10
2. x + 6.324555318 + 0.000002100000000 50. x + 63.24555318
-7
+ 4.500000000 10
50. x + 31.62277659 - 0.000001200000000 50. x + 110.6797181
-7
-7
+ 4.500000000 10
50. x + 126.4911064 - 1.000000000 10
50. x + 142.3024947
-7
- 1.000000000 10
50. x + 15.81138830 - 0.000001200000000 50. x + 47.43416488
10
+ 0.003513745419) x
+ (-0.0002520000000 50. x + 47.43416488 - 0.001260000000 2. x + 3.162277659
+ 0.0001260000000 50. x + 94.86832977 - 0.00003600000000 50. x + 110.6797181
- 0.00003600000000 50. x + 15.81138830 + 0.0003150000000 50. x + 63.24555318
+ 0.01957207969 + 0.000004500000000 50. x + 126.4911064
8
+ 0.0001260000000 50. x + 31.62277659) x
+ (0.00003794733191 50. x + 110.6797181 + 0.001328156617 50. x + 47.43416488
- 0.0002656313234 50. x + 94.86832977 + 0.003984469850 2. x + 3.162277659
- 0.001328156617 50. x + 63.24555318 + 0.01761264339 + 0.0002656313234 50. x + 15.81138830
7
- 0.0007968939701 50. x + 31.62277659) x
+ (-0.006300000000 2. x + 3.162277659 + 0.009293686172
+ 0.003150000000 50. x + 31.62277659 + 0.0002100000000 50. x + 94.86832977
- 0.004200000000 50. x + 47.43416488 + 0.003150000000 50. x + 63.24555318
6
- 0.001260000000 50. x + 15.81138830) x
+ (-0.00002656313234 50. x + 94.86832977 + 0.000002846049893 50. x + 15.81138830
+ 0.00002656313234 50. x + 47.43416488 + 0.0001992234925 2. x + 3.162277659
- 0.00001138419957 50. x + 31.62277659 + 0.00001138419957 50. x + 110.6797181
-7
+ 3.162277659 10
50. x + 142.3024947 + 0.01223765612
- 0.000002846049893
50. x + 126.4911064 - 0.00003984469850
50. x + 63.24555318) x
(15 /2 )
- 0.0002683281572 x
+ 0.007071067810 y + 0.007071067810
(15 /2)
-8 (21 /2)
+ 7.071067810 10 x
- 0.0002683281572 y
>
>
>
>
>
9
(19 /2)
x
- 0.000002236067977 x
5
f := x
3
x + x +x+
4
x+2
1
2
5x + 3x +1+
2
x
{0}
n := 4
(9 / 2 )
5
B4 (f, x ) := 2. + 0.5537109375
+ (0.1875000000
x + 0.04419417381
x
2. x + 2. - 0.1250000000
2. x + 3. + 0.6982421875
4
2. x + 1.) x - 0.3535533905
- 0.1250000000
+ 0.03125000000
2. x + 4.
(7 / 2 )
x
3
+ ( 0.7500000000
2. x + 1. + 0.2500000000
2. x + 3. - 0.7500000000
2. x + 2. + 1.184570312 ) x
(5 / 2 )
+ 1.060660172
2
+ (-1.500000000
x
2. x + 1. + 0.7500000000
2. x + 2. + 0.3916015625 ) x
(3 / 2 )
- 1.414213562
+ (1.033203125
x
+
2. x + 1. ) x + 0.7071067810
x
n := 9
( 19 / 2 )
B9 (f, x ) := 2. - 0.00003592474627
x
+ (0.002133821064
2. x + 2. + 0.001066910532
18. x + 30. - 0.00007620789514
+ 0.0003048315806
18. x + 42. + 0.00007620789514
18. x + 48.
18. x + 6. - 0.0003048315806
18. x + 12.
9
+ 0.00002540263171
2. x + 6. - 0.002133821064
2. x + 4. - 0.001066910532
18. x + 24. ) x
( 17 / 2 )
+ 0.0009699681495
x
+ (0.006401463192
- 0.01280292638
18. x + 12. + 0.01600365798
18. x + 30. - 0.03840877915
18. x + 24. + 0.01920438957
2. x + 2. - 0.001828989483
2. x + 4.
18. x + 42.
( 15 / 2 )
8
- 0.001828989483
18. x + 6. + 0.0002286236854
+ (-0.05761316872
2. x + 4. + 0.05761316872
+ 0.01920438957
18. x + 6. + 0.2880658436
18. x + 48. ) x - 0.01163961779
18. x + 30. - 0.05761316872
2. x + 2. - 0.09602194787
x
18. x + 12.
18. x + 24.
( 13 / 2 )
7
+ 0.002743484225
18. x + 42. ) x + 0.08147732455
+ (0.05761316872
2. x + 4. + 0.2880658436
x
18. x + 12. - 0.1152263374
18. x + 30.
6
- 0.1152263374
18. x + 6. - 1.152263374
2. x + 2. + 0.2880658436
18. x + 24. ) x
( 11 / 2 )
- 0.3666479606
x
+ (0.08641975309
18. x + 30. + 0.7613454504
- 0.4320987654
18. x + 24.
5
+ 2.592592593
2. x + 2. - 0.8641975309
18. x + 12. + 0.4320987654
18. x + 6.) x
(9 / 2 )
+ 1.099943882
+ (0.6460048011
x
+ 1.555555556
18. x + 12. + 0.2592592593
18. x + 24. - 3.111111111
2. x + 2.
(7/2 )
4
18. x + 6.) x - 2.199887764 x
- 1.037037037
+ ( 1.555555556
2. x + 2. - 1.555555556
18. x + 12. + 1.555555556
18. x + 6. + 1.122513717) x
(5 /2)
+ 2.828427124 x
+ (-1.333333333
18. x + 6. + 0.2573302469 + 0.6666666667
+ (0.5000000000
18. x + 6. + 1.014274691) x + 0.7071067810
2
18. x + 12.) x
(3 /2)
- 2.121320343 x
n
B11 (f, x ) :=
2. - 0.000001323808708
x
:= 11
(23 /2)
x
+ (-0.00003931511282 242. x + 437.7944723 + 0.000004680370574 242. x + 656.6917084
+ 0.00003931511282 242. x + 364.8287269 + 0.00001404111172 242. x + 218.8972361
-7
- 0.00001404111172 242. x + 583.7259630 - 9.360741148 10
242. x + 729.6574538
-7
+ 9.360741148 10
2. x + 6.633249580 + 0.00002808222345 242. x + 510.7602177
-7
- 0.00002808222345 242. x + 291.8629815 + 9.360741148 10
242. x + 72.96574538
(21 /2)
11
- 0.000004680370574 242. x + 145.9314908) x + 0.00004829634458 x
+ (0.0006519673892 242. x + 291.8629815 - 0.0003725527938 242. x + 218.8972361
- 0.00003104606615 242. x + 656.6917084 + 0.000003104606615 242. x + 729.6574538
+ 0.0006519673892 242. x + 437.7944723 + 0.0001397072977 242. x + 583.7259630
- 0.0007823608671 242. x + 364.8287269 - 0.00003104606615 242. x + 72.96574538
+ 0.0001397072977
242. x + 145.9314908 - 0.0003725527938
242. x + 510.7602177) x
(19 /2 )
- 0.0008009042683 x
+ (-0.0004633566869 242. x + 583.7259630 + 0.001853426748 242. x + 510.7602177
+ 0.0004633566869 242. x + 72.96574538 - 0.004324662409 242. x + 437.7944723
+ 0.00005148407633 242. x + 656.6917084 - 0.001853426748 242. x + 145.9314908
+ 0.006486993617 242. x + 364.8287269 + 0.004324662409 242. x + 218.8972361
291.8629815) x
9
(17 /2 )
- 0.006486993617 242. x +
+ 0.007968896856 x
+ (0.03585820641 242. x + 291.8629815 + 0.01434328256 242. x + 437.7944723
+ 0.0005122600915 242. x + 583.7259630 - 0.004098080732 242. x + 510.7602177
- 0.004098080732 242. x + 72.96574538 - 0.02868656513 242. x + 364.8287269
+ 0.01434328256
242. x + 145.9314908 - 0.02868656513
242. x + 218.8972361) x
8
(15 /2 )
- 0.05285968170 x
+ (-0.02378564326 242. x + 437.7944723 + 0.003397949037 242. x + 510.7602177
+ 0.07135692976 242. x + 364.8287269 + 0.02378564326 242. x + 72.96574538
+ 0.1189282163 242. x + 218.8972361 - 0.07135692976 242. x + 145.9314908
7
(13 /2 )
- 0.1189282163 242. x + 291.8629815) x + 0.2454420231 x
+ (0.01577761082 242. x + 437.7944723 + 0.2366641623 242. x + 145.9314908
+ 0.2366641623 242. x + 291.8629815 - 0.3155522164 242. x + 218.8972361
10
3
- 0.09466566491
242. x + 72.96574538 - 0.09466566491
242. x + 364.8287269) x
6
(11 /2 )
- 0.8140390985 x
+ (-0.2616420758 242. x + 291.8629815 + 0.05232841517 242. x + 364.8287269
+ 0.5232841517 242. x + 218.8972361 + 0.2616420758 242. x + 72.96574538 + 0.7993093026
(9/2 )
5
- 0.5232841517 242. x + 145.9314908) x + 1.928473040 x
+ (0.1239669421 242. x + 291.8629815 + 0.6124095232 + 0.7438016529
- 0.4958677686
242. x + 218.8972361 - 0.4958677686
242. x + 145.9314908
242. x + 72.96574538) x
4
(7 /2)
- 3.198010744 x
+ (-0.6167277501
242. x + 145.9314908 + 1.105512772 + 0.2055759167
3
+ 0.6167277501
+ ( 0.2272727273
242. x + 218.8972361
(5/2 )
242. x + 72.96574538) x + 3.535533905 x
242. x + 145.9314908 + 0.2318179940 - 0.4545454545
242. x + 72.96574538) x
(3 /2)
- 2.345207879 x
>
+ (1.011621901 + 0.1507556723
242. x + 72.96574538) x + 0.7071067810
x
2
1. GI·RI·Ş
1.1 Bernstein Polinomlar¬
Weierstrass 1885 y¬l¬nda, [a; b] aral¬¼g¬ üzerinde tan¬ml¬ reel de¼gişkenli her sürekli f
fonksiyonuna cebirsel bir polinomla yaklaş¬labilece¼gini ispatlam¬şt¬r. Yani, her
" > 0 ve her x 2 [a; b] için
jPn(x) ¡ f(x)j < "
olacak şekilde bir Pn(x) =
n
P
ak xk polinomunun varl¬¼g¬n¬ göstermiştir
k=0
Bernstein 1912 y¬l¬nda, [0; 1] aral¬¼
g¬ üzerinde tan¬ml¬ reel de¼gerli sürekli bir f fonksiyonuna yaklaşan polinomun tipi hakk¬nda daha aç¬k bir teorem ispatlam¬şt¬r. Bunu
aşa¼
g¬daki polinomlar dizisini kullanarak göstermiştir:
Bn (f; x) =
n
X
k
f ( )Cnkxk (1 ¡ x)n¡k
n
k=0
; 0 · x · 1:
(1.1)
Daha sonraki y¬llarda bu polinomlar dizisi Bernstein polinomlar¬ olarak an¬lmaya
başlanm¬şt¬r. Bu polinomlar için key… " > 0 verildi¼ginde, [0; 1] aral¬¼g¬n¬n her bir x
noktas¬nda ve 8 n > n0(") için
jBn(f ; x) ¡ f (x)j < "
(1.2)
eşitsizli¼gi sa¼glanacak biçimde n 0=n0 (") say¬s¬ vard¬r[Hac¬yev ve Hac¬saliho¼glu, 1995;
Lorentz, 1953; Eisenberg and Wood, 1972]. Bu da gösteriyor ki f fonksiyonunun sadece [0; 1] aral¬¼g¬nda bulunan rasyonel noktalar¬ndaki de¼geri bilindi¼gi takdirde onun
di¼ger noktalar¬ndaki de¼gerleri Bn (f; x) in de¼gerlerinden çok az fark etmektedir. Sürekli fonksiyonlar¬n bir alt s¬n¬f¬ olan Lipschitz s¬n¬f¬nda, Bernstein polinomlar¬ için
(1.2) eşitsizli¼ginden daha iyi eşitsizlikler elde edilebilir. Örne¼gin Lorentz(1953),
1
0 < ® · 1 olmak üzere f 2 LipM ® şart¬n¬ sa¼gland¬¼g¬ takdirde [0; 1] aral¬¼g¬n¬n her
bir x noktas¬nda
jBn(f ; x) ¡ f (x)j · M
µ
¶®
x(1 ¡ x) 2
n
(1.3)
eşitsizli¼gi ile yak¬nsaman¬n h¬z¬n¬ göstermiştir.
1912 y¬l¬ndan bu yana bu polinomlara ait pek çok çal¬şma yap¬lm¬ş ve halen de devam etmektedir. Bu çal¬şmalardan en çok bilinen ve bugünkü çal¬şmalara kaynakl¬k
0
edenlerden biri, 1953 y¬l¬nda G. G. Lorentz in yazm¬ş oldu¼
gu ”Bernstein Polynomials” adl¬ kitapt¬r.
1.2. Bernstein-Chlodowsky Polinomlar¬
Chlodowsky 1937 y¬l¬nda, [0; 1) aral¬¼g¬ üzerinde aşa¼g¬daki polinomlar dizisini tan¬mlam¬ş ve yaklaş¬m özelliklerini incelemiştir: (bn );
lim bn = 1 ve lim
bn
=0
n
şartlar¬n¬ sa¼
glayan pozitif reel terimli monoton artan bir dizi ve
Bn¤(f;
x) =
n
X
f(
k=0
olmak üzere
Ln(f ; x) =
kbn k x k
x
)C n ( ) (1 ¡ )n¡k
n
bn
bn
8
<
Bn¤ (f; x);
: f(x);
; 0 · x · bn
(1.4)
0 · x · bn
x > bn :
Ln : C ([0; 1)) ! B ([0; 1)) şeklinde bir dönüşüm oldug¼u aç¬kt¬r.
Klasik Bernstein polinomlar¬n¬n çok araşt¬r¬lm¬ş olmas¬na ve bu araşt¬rmalar¬n bugüne
kadar devam etmesine karş¬n bu polinomlar¬n s¬n¬rs¬z genişleyen bir aral¬¼ga genelleşmesi olan (1.4) polinomlar¬ çok az incelenmiştir. Bunun nedeni n ! 1 iken [0; bn ]
aral¬¼g¬n¬n [0; 1) yar¬m eksenine dönüşmesi ve bundan dolay¬ klasik Korovkin teore2
minin geçerli olmamas¬ndan kaynaklanmaktad¬r.
1995 y¬l¬nda E. A. Gadjieva ve E. ·Ibikli taraf¬ndan ® ¸ 0; ¯ > 0 ; ® + ¯ = 1 olmak
üzere
Bn®;¯(f ;
x) =
n
X
f(®x + ¯
k=0
kbn k x k
x
)Cn ( ) (1 ¡ )n¡k
n
bn
bn
; 0 · x · bn
(1.5)
şeklinde x noktas¬na ba¼gl¬ dü¼gümleri olan Bernstein-Chlodowsky polinomlar¬n¬n bir
genelleşmesi verilip, bu dizinin yak¬nsakl¬k özellikleri ve yak¬nsakl¬k mertebesi incelenmiştir. (1.1), (1.4) deki operatörlerinin her biri, f hangi tipte fonksiyon olursa olsun, f nin tipine ba¼gl¬ olmayan ve derecesi n den büyük olmayan birer polinomdurlar.
(1.5) teki operatörler ise f özel olarak bir polinom ise, polinomdur, aksi halde polinom de¼gildir.
Ayr¬ca (1.5) teki operatörde f m¡inci dereceden bir polinom ise, bu operatörün derecesi de n + m den büyük olmayan bir polinomdur. 1997 y¬l¬nda a¼g¬rl¬kl¬ uzaylarda
(1.4) polinomlar¬n¬n yaklaş¬m özellikleri E.A. Gadjieva ve E.I· bikli taraf¬ndan incelenmiş. 1998 y¬l¬nda A. D. Gadjiev, R. O. Efendiev ve E. I· bikli, Bernstein-Chlodowsky
polinomlar¬n¬n bir başka genelleşmesi olan
n
[jX
m j]
x
kbn
x
x
k
Bn;m (f; x) = (1 + (m ¡ 1) )
f(
)C n¡(m¡1)k
( )k (1 ¡ )n¡mk
bn k=0
n ¡ (m ¡ 1)k
bn
bn
(1.6)
polinomlar dizisini tan¬mlay¬p yak¬nsakl¬k özelliklerini incelemişlerdir.
1.3. ·Iki De¼
gişkenli Fonksiyonlar S¬n¬f¬nda Bernstein Polinomlar¬
Bernstein polinomlar¬n¬n iki de¼gişkenli fonksiyonlar s¬n¬f¬nda yaklaş¬m¬ ilk defa D.
D. Stancu taraf¬ndan 1969 y¬l¬nda sabit üçgensel bölgelerde incelenmiştir:
Bn(f ; x; y) =
n X
n¡k
X
k=0
k j
j
f( ; )Cnk Cn¡k
xk yj (1 ¡ x ¡ y)n¡k¡j
n
n
j=0
3
(1.7)
Burada ¢ = f(x; y) : x ¸ 0; y ¸ 0; x + y · 1g olmak üzere (1.7) polinomlar¬
¢ bölgesi üzerinde incelenmiştir.
Stancu bu makalesinde, ¢ üzerinde sürekli bir f fonksiyonu için, süreklilik modülü
!(±) =
max
(x1 ; y1 ); (x 2; y2)2¢
jx2 ¡x 1j+jy2¡y1j·±
jf(x2; y2 ) ¡ f (x1; y1)j
(1.8)
olmak üzere
1
jBn(f ; x; y) ¡ f(x; y)j · 2!( p )
n
(1.9)
jf (x2; y2) ¡ f(x1 ; y1 )j · N[jx2 ¡ x1j ® + jy2 ¡ y1 j® ]; ® > 0
(1.10)
yaklaş¬m¬n h¬z¬n¬ ve
şart¬n¬ sa¼glayan, ¢ üzerinde tan¬ml¬ f fonksiyonlar¬ için de
2N
jBn(f; x; y) ¡ f (x; y)j · p ®
n
(1.11)
yaklaş¬m¬n h¬z¬n¬ veren Teoremleri ispatlam¬şt¬r.
1988 y¬l¬nda Martinez S = [0; 1] £ [0; 1] olmak üzere S bölgesi üzerinde sürekli ve
reel de¼gerli f fonksiyonlar¬ için iki de¼gişkenli Bernstein polinomlar¬n¬ bir karesel
bölgede
Bn;m(f ; x; y) =
n X
m
X
k=0
k j
j k j
f( ; )Cnk Cm
x y (1 ¡ x)n¡k (1 ¡ y)m¡j
n
n
j=0
(1.12)
şeklinde tan¬mlay¬p yaklaş¬mlar¬n¬ ve yaklaş¬m h¬zlar¬n¬ incelemiştir.
!(±; ´) =
max
(x1 ; y1 ); (x2 ; y2 )2S
jx 2¡x 1j·±; jy2 ¡y1j·´
!(1)(±; 0) =
max
(x 1; y1); (x2 ; y2 )2S
jx 2¡x1 j·±
4
jf (x2; y2) ¡ f(x1 ; y1 )j
(1.13)
jf (x2; y2) ¡ f(x1; y1 )j
(1.14)
! (2)(0; ´) =
max
(x1 ; y1 );(x2; y2)2S
jy2¡y1j·´
jf(x2 ; y2 ) ¡ f (x1; y1)j
(1.15)
olmak üzere
3
1
1
1
1
jBn;m (f; x; y) ¡ f (x; y)j · [!(1) ( p ; 0) + !(2)(0; p ) + !( p ; p )] (1.16)
2
n
m
n
m
oldu¼gunu göstermiştir. Burada !(±; ´) f fonksiyonunun tam süreklilik modülü,
!(1)(±; 0) ve !(2)(0; ´) s¬ras¬yla f fonksiyonunun 1¡inci ve 2¡nci k¬smi süreklilik
modülleridir.
Bernstein tipi polinomlar üzerine yap¬lan çal¬şmalar elbette burada belirtilenlerle
s¬n¬rl¬ de¼gildir. Burada s¬ralayamayaca¼g¬m¬z pek çok çal¬şma mevcuttur.
Ancak yap¬lan literatür taramas¬nda görülmüştür ki Bernstein-Chlodowsky polinomlar¬n¬n, iki de¼gişkenli fonksiyonlar için tan¬mlan¬p incelendig¼i bir çal¬şma hemen
hemen yok gibidir.
Bu çal¬şmam¬zda Bernstein-Chlodowsky polinomlar¬n¬n, iki deg¼işkenli fonksiyonlar
için (1.5)
Bn®;¯(f ; x) =
n
X
f(®x + ¯
k=0
kbn k x k
x
)Cn ( ) (1 ¡ )n¡k
n
bn
bn
; 0 · x · bn
polinomlar¬ tipinde bir genelleşmesi tan¬mlanm¬ş ve baz¬ yaklaş¬m özellikleri ve yaklaş¬m h¬zlar¬ incelenmiştir.
5
¼ I·ŞKENLI· FONKSI·YONLAR SINIFINDA LI· NEER
2. I·KI· DEG
POZI·TI· F OPERATÖRLER VE YAKLAŞMA PROBLEMI·
Bu bölümde, çal¬şmam¬zda yararlanaca¼g¬m¬z temel tan¬m ve teoremler verilecektir.
Burada Lemma 2.2 ve Teorem 2.3 ilk defa ifade ve ispat edilmiştir.
2.1. ·Iki De¼
gişkenli Fonksiyonlar S¬n¬f¬
Tan¬m 2.1: X µ R ; Y µ R olmak üzere f : X £ Y ! R; f : (x; y) ! z;
(z 2 R) şeklinde tan¬ml¬ fonksiyonlar¬n oluşturdu¼gu s¬n¬fa X £ Y üzerinde tan¬ml¬
iki reel de¼
gişkenli ve reel de¼
gerli fonksiyonlar s¬n¬f¬ ad¬ verilir.
M = X £ Y dersek, M üzerinde sürekli fonksiyonlar¬n s¬n¬f¬ genelde C(M ) ile gösterilir ve
sup jf (x; y)j
(2.1)
(x;y)2M
ifadesi C(M ) üzerinde bir norm tan¬mlar ve bu norm kfkC(M) ile gösterilebilir.
Burada Cb (M) ile, M üzerinde sürekli ve tüm R de s¬n¬rl¬ fonksiyonlar¬n s¬n¬f¬ ve
UCb (M ) ile M üzerinde düzgün sürekli ve tüm R de s¬n¬rl¬ fonksiyonlar¬n s¬n¬f¬ gös-
terilmektedir. Ayr¬ca C r (M ); ( r = 1; 2; 3; : : ) ile r ¡ nci mertebeye kadar türevi
mevcut ve bu türevleri de sürekli olan fonksiyonlar¬n s¬n¬f¬ gösterilmektedir.
2.1.1. S¬n¬rl¬ kapal¬ bölgelerde sürekli fonksiyonlar s¬n¬f¬
A > 0, B > 0, ve R0 = [0; 1) olmak üzere DAB = [0; A] £ [0; B] ve
R20 = R0 £ R0 olsun. C(DAB ) s¬n¬f¬nda norm
kfkC(DAB ) = max
(x;y)2DAB
şeklinde tan¬mlanabilir.
6
jf (x; y)j
(2.2)
Tan¬m 2.2:
s : N £ N ! C(DAB )
s : (n; m) ! fnm
şeklinde tan¬mlanan s fonksiyonuna iki indisli bir fonksiyon dizisi ad¬ verilir.
Tan¬m 2.3: (fnm ); C(DAB) de bir dizi ve f 2 C (DAB ) olsun. E¼ger
lim kfnm ¡ f kC(DAB ) = 0
n!1
m!1
(2.3)
ise, bu takdirde (fnm) dizisi f fonksiyonuna DAB üzerinde yak¬nsakt¬r denir.
Tan¬m 2.4: E¼ger her " > 0 ve her (x; y) 2 DAB için n; m > N oldu¼gunda
jfnm (x; y) ¡ f(x; y)j < "
(2.4)
olacak şekilde bir N = N(") say¬s¬ mevcut ise, (fnm) dizisi DAB de f fonksiyonuna
düzgün yak¬nsakt¬r denir.
Bu çal¬şmada düzgün yak¬nsama
fnm ¶ f
(n ! 1; m ! 1)
ile gösterilmektedir.
Gösterilebilir ki
lim kfnm ¡ fkC(DAB ) = 0 , DAB de fnm ¶ f
n!1
m!1
d¬r. Bu ise, C (DAB ) s¬n¬f¬nda (2.2) normuna göre yak¬nsakl¬k, düzgün yak¬nsakl¬k ile
denk oldu¼gunu gösterir.
7
2.1.2. Süreklilik modülü
Tan¬m 2.5: (Lorentz, 1966) I½ R s¬n¬rl¬ bir aral¬k ve f :I! R s¬n¬rl¬ bir fonksiyon
olsun. Key… ± > 0 için
!(±) = !(f; ±) = sup jf (x) ¡ f (t)j
(2.6)
jx¡tj·±
x;t2I
şeklinde tan¬mlanan fonksiyona,f fonksiyonunun süreklilik modülü denir.
(2.6) dan, ± n¬n bir fonksiyonu olarak, !(±) n¬n negatif olmayan bir fonksiyon oldu¼gu
aç¬kt¬r. Yine (2.6) da x ¡t = h al¬n¬p ¢hf(t) = f(t + h) ¡f (t) gösterimi kullan¬l¬rsa
!(±) = sup j¢hf (t)j
(2.7)
jhj·±
t;t+h2I
olur.
f ve g ayn¬ I½ R s¬n¬rl¬ aral¬¼g¬ üzerinde tan¬ml¬ ve s¬n¬rl¬ fonksiyonlar olmak üzere
!(f; ±) · !(g; ±)
eşitsizli¼gi sag¼lan¬yorsa f fonksiyonun süreklilik modülü g fonksiyonun süreklilik modülünden daha incedir denir.
Süreklilik modülünün baz¬ özellikleri aşa¼g¬daki lemmada verilmiştir. (viii) inci özellik hariç, di¼ger tüm özellikler ispatlar¬yla birlikte bir çok kaynakta bulunmaktad¬r.
Burada ispatlar¬n¬ vermeyece¼giz, sadece (viii ) in ispat¬ verilecektir.
Lemma 2. 1: ( Altomare and Campiti, 1994) I½ R s¬n¬rl¬ bir aral¬k ve f ; I üzerinde
tan¬ml¬ s¬n¬rl¬ bir fonksiyon olsun.
(i) !(±) , ± ¸ 0 n¬n monoton artan bir fonksiyonudur.
(ii) m 2 N için !(m±) · m!(±)
(iii ) ¸ > 0 için !(¸±) · (1 + ¸)!(±):
8
(iv) f 2 Cb(I) ) lim+ !(±) = 0:
±!0
(v ) f 2 UC b(I) , lim+ !(±) = 0:
±!0
(vi) !(±) = 0 , f ´sabit
(vii) ± 1 < ± 2 iken
!(± 2)
!(± 1)
· 2:
±2
±1
d¬r ve buradan f hemen hemen her yerde sabit olmad¬kça
lim+
±!0
!(±)
>0
±
d¬r.
(viii ) (± n) s¬f¬ra yak¬nsayan pozitif terimli bir dizi ve Cf ; f fonksiyonu ve (± n) dizisine bag¼l¬ bir sabit olmak üzere
!(± n) ¸ Cf :± n
(ix) I üzerinde f türevlenebilir ve f 0 s¬n¬rl¬ ise
!(±) · C:±
d¬r.
I·spat:
(viii ) in ispat¬ için (iii ) kullan¬lacak. (± n), s¬f¬ra yak¬nsayan pozitif terimli bir dizi
olsun. Böylece
!(f; 1) = !(1) = !(±n
1
1
1 + ±n
) · (1 + ):!(± n) =
:!(± n)
±n
±n
±n
yaz¬labilir. Buradan da
!(± n) ¸
±n
:!(1)
1 + ±n
yaz¬labilir. (±n ) s¬f¬ra yak¬nsayan bir dizi oldu¼gundan 1 + ±n · C olacak şekilde bir
9
C sabiti vard¬r. Böylece
1
1
±n
¸
olaca¼g¬ndan !(±n ) ¸ :!(1) olur.
1 + ±n
C
C
!(1)
= Cf al¬n¬rsa
C
!(± n) ¸ Cf :± n
elde edilir. Burada Cf in f fonksiyonu ve (±n ) dizisine ba¼gl¬ bir sabit oldug¼una
dikkat edilmelidir.¥
Süreklilik modülünün tan¬m¬ kullan¬larak f; I aral¬¼g¬nda s¬n¬rl¬ ise, ± = jhj al¬nd¬¼g¬nda
jf (t + h) ¡ f (t)j · !(jhj)
elde edilir. (iii) kullan¬larak !(jhj) = !(±
s¬k kullanaca¼g¬m¬z
jhj
jhj
) · (1 +
):!(±) elde edilir. Böylece
±
±
jf (t + h) ¡ f(t)j · !(±):(1 +
jhj
)
±
(2.8)
eşitsizli¼gini elde ederiz.
Şimdi de iki de¼
gişkenli fonksiyonlar s¬n¬f¬nda tan¬mlanan süreklilik modülünü verelim.
Tan¬m 2. 6: (Bak:Martinez, 1989) D ½ R2 s¬n¬rl¬ bir bölge ve f , D üzerinde tan¬ml¬
reel de¼gerli s¬n¬rl¬ bir fonksiyon olsun. K ½ D kompakt bir bölge ve x = (x1;x2 );
s
2
P
t = (t1; t2) olmak üzere ½(x; t) =
(xk ¡ tk)2 olsun. Bu takdirde her ± > 0 için
k=1
(2.9)
!2 (±) = ! 2(f; ±) = sup jf (x) ¡ f (t)j
x;t2K
½(x;t)·±
fonksiyonuna f fonksiyonunun tam süreklilik modülü denir.
00
00
x0 = (x1 ; y) ve t0 = (x2; y) , x = (x; y1) ve t = (x; y2 ) olsun. Bu takdirde
(1)
!(1)
2 (±) = !2 (f ; ±) =
sup
x 0;t0 2K
0 0
½(x ; t )·±
(2)
!(2)
2 (±) = !2 (f ; ±) =
00
jf(x0 ) ¡ f(t0)j ;
sup
00
x ; t 2K
00 00
½(x ;t )·±
10
¯
¯
00
00 ¯
¯
f(x
)
¡
f(
t
)
¯
¯
(2.10)
(2.100)
fonksiyonlar¬na s¬ras¬yla f fonksiyonunun 1¡inci k¬smi süreklilik modülü ve 2¡inci
k¬smi süreklilik modülü denir. Burada ½(x0; t0) = jx1 ¡ x2 j ve
00
00
½(x ; t ) = jy1 ¡ y2j olaca¼g¬ aşikard¬r. (2.9) da xk = tk + hk ve h = (h1; h2 ) al¬n¬rsa
x = t + h olur.
s
Yine ½(h) =
2
P
k=1
h2k al¬n¬rsa
!2(±) = !2(f; ±) = sup jf(t + h) ¡ f(t)j
t+h;t2K
½(h) ·±
olur. Burada ¢hf (t) = f (t + h) ¡ f (t) gösterimi kullan¬l¬rsa
(2.11)
!2(±) = sup j¢hf(t)j
t+h;t2K
½(h) ·±
00
00
00
00
Benzer şekilde h0 = (h1 ; 0) , x0 = t0 + h0 ; h = (0; h2) ; x = t + h al¬narak
0
0
0
00
00
00
00
¢h0 f (t ) = f(t +h0 )¡f(t ) ve ¢h00 f(t ) = f(t +h )¡f (t ) gösterimleri kullan¬l¬rsa
(2.10) ve (2.100 ) dan
¯
¯
¯ 0 0 ¯
(1)
!(1)
(±)
=
!
(f;
±)
=
sup
¢
f
(t
)
¯
¯;
h
2
2
(2.12)
x0 ;t0 2K
jh1j·±
¯
¯
(2)
¯¢ 00 f(t00 )¯
!(2)
(±)
=
!
(f;
±)
=
sup
¯
¯
2
2
h
00 ; 00
(2.120)
x t 2K
jh2 j·±
elde edilir.
Lemma 2. 2: D ½ R2 s¬n¬rl¬ bir bölge, K ½ D kompakt bir alt bölge ve
f 2 B(D) (B(D) : D kümesi üzerinde tan¬ml¬ ve s¬n¬rl¬ fonksiyonlar¬n s¬n¬f¬) olsun. f
fonksiyonunun !2 (f; ±) = !2(±) tam süreklilik modülü için aşag¼¬daki özellikler sag¼lan¬r.
(i) !2(±) , monoton artan bir fonksiyondur.
(ii) m 2 N için ! 2(m±) · m!2 (±) .d¬r.
(iii ) ¸ > 0 için !2(¸±) · (1 + ¸)!2(±) d¬r.
11
(iv) f 2 C(D) ) lim+ ! 2(±) = 0:
±!0
(v ) f 2 UC (D) , lim+ !2(±) = 0:
±!0
(vi) !2(±) = 0 , f ´sabit .
(vii) ± 1 < ± 2 iken
!2(± 2)
!2(± 1)
·2
±2
±1
d¬r ve buradan f hemen hemen her yerde sabit olmad¬kça
lim+
±!0
!2 (±)
>0
±
d¬r.
(viii ) (± n) s¬f¬ra yak¬nsayan pozitif terimli bir dizi ve Cf ; f fonksiyonu ve (± n) dizisine bag¼l¬ bir sabit olmak üzere
!2(± n ) ¸ Cf :± n
d¬r.
I·spat: t = (t1 ; t2); h = (h1; h2 ) olsun.
(i)± 1 · ± 2 olsun.
A1 = ft + h j t; t + h 2 K; ½(h) · ±1g ve A2 = ft + h j t; t + h 2 K; ½(h) · ±2g
kümelerini tan¬mlayal¬m. A1 µ A2 olaca¼g¬ aç¬kt¬r. Küme genişledikçe supremum
artabilece¼ginden (azalmayaca¼g¬ndan)
!2(±1) · !2(± 2)
elde edilir.
12
(ii)
¯ m¡1
¯
¯X
¯
¯
jf (t + mh) ¡ f(t)j = ¯
f(t + (k + 1)h) ¡ f (t + kh)¯¯
¯ k=0
¯
m¡1
X
·
k=0
jf(t + kh + h) ¡ f (t + kh)j
!2 (m±) = sup jf (t + u) ¡ f(t)j ; u = (u1; u2)
t;t+u2K
½(u)·m±
olup u = mh al¬n¬rsa,
!2 (m±) =
·
=
sup
t;t+mh2K
½(h)·±
sup
jf(t + mh) ¡ f(t)j
m¡1
X
t;t+mh2I k=0
½(h)·±
m¡1
X
sup
t;t+mh2I
k=0
½(h)·±
jf(t + kh + h) ¡ f(t + kh)j
jf(t + kh + h) ¡ f(t + kh)j
elde edilir. Toplam alt¬ndaki her bir ifade !2 (±) d¬r. Böylece !2 (m±) · m!2 (±) elde
edilir.
(iii ) ¸ > 0 ise m · ¸ < m + 1 olacak şekilde bir m 2 N vard¬r. (i ) ve (ii) den
! 2(m±) · !2(¸±) · ! 2((m + 1)±) · (m + 1)! 2(±)
olup 1 + m · 1 + ¸ oldu¼gundan !2 (¸±) · (1 + ¸)!2(±) elde edilir.
(iv) f 2 C(D) olsun. Bu takdirde her " > 0 için bir ´ > 0 vard¬r ki,
t; t + h 2 K ve ½(h) < ´ oldu¼gunda jf(t + h) ¡ f(t)j < " olur. (2.11) de
± < ´ al¬nd¬¼g¬nda ! 2(±) < " elde edilir. Yani her " > 0 için öyle bir ´ > 0 vard¬r ki
± < ´ oldu¼gunda ! 2(±) < " d¬r. Bu da
lim !2 (±) = 0
±!0
13
demektir.
(v ) ()):(iv ) ten aç¬kt¬r.
(():lim !2 (±) = 0 olsun. Bu takdirde her " > 0 için öyle bir ´ > 0 vard¬r ki
±!0
± < ´ oldu¼gunda ! 2(±) < " d¬r.Yani
sup j¢hf(t)j < "
t+h;t2K
½(h) ·±
olur. Bu ise her t; t + h 2 K ve ½(h) < ± · ´ için do¼gru oldu¼gundan, f düzgün
süreklidir, demektir.
(vi) ()) : ! 2(±) = 0 olsun. Bu takdirde (2.11) den
jf (t + h) ¡ f (t)j = 0
ve bu-
radan f (t + h) = f (t) elde edilir. t ; K n¬n key… bir eleman¬ oldu¼gundan f sabittir.
(() : f sabit olsun. Bu takdirde her x 2 K için f(x) = C olacak şekilde bir C sabiti
vard¬r. Bu takdirde her t 2 K; ½(h) · ± için f (t + h) = f(t) = C olaca¼g¬ndan
!2(±) =
sup jf (t + h) ¡ f (t)j = 0
t2I;jhj·±
elde edilir.
(vii). (iii) kullan¬larak
!2(± 2) = ! 2(±1
±2
±
± + ±2
) · (1 + 2 )! 2(±1 ) = 1
!2(±1)
±1
±1
±1
eşitsizli¼gi yaz¬labilir. ±1 < ± 2 ) ±1 + ±2 < 2± 2 olaca¼g¬ndan
!2 (±2 ) ·
elde edilir. Buradan da lim
±!0
2± 2
!(± 2)
!(±1 )
!2(± 1) )
·2
±1
±2
±1
!(±)
> 0 elde edilir.
±
(viii ) (iii ) kullan¬larak
!2 (f; 1) = !2 (1) = !2(± n
1
1
1 + ±n
) · (1 + )!2 (±n ) =
!2 (±n )
±n
±n
±n
14
eşitsizli¼gi yaz¬labilir ve buradan
!2(± n) ¸
±n
!2 (1)
1 + ±n
elde edilir. (±n ) s¬f¬ra yak¬nsayan bir dizi oldu¼gundan 1 + ±n · C olacak şekilde bir
1
1
±
C sabiti vard¬r. Böylece
¸
olaca¼g¬ndan !2(± n) ¸ n !(1) olur.
1 + ±n
C
C
! 2(1)
= C f al¬n¬rsa
C
!2(± n ) ¸ Cf :± n
elde edilir. Burada Cf in f fonksiyonu ve (±n ) dizisine ba¼gl¬ bir sabit oldu¼
guna
dikkat edilmelidir.
2.1.3. Lipschitz şart¬
Tan¬m 2. 7: (Lorentz, 1966) Key… [a; b] s¬n¬rl¬ aral¬ ¼g¬nda tan¬ml¬ f fonksiyonu için
j¢hf(t)j · M jhj®
;0 < ® · 1
(2.13)
eşitsizli¼gi sa¼glan¬yorsa, f fonksiyonu [a; b] aral¬¼g¬nda M sabitiyle ®¡¬nc¬ mertebeden Lipschitz şart¬n¬ sa¼
gl¬yor denir. M sabitiyle ®¡inci mertebeden Lipschitz
şart¬n¬ sa¼
glayan fonksiyonlar¬n s¬n¬f¬ LipM ® ile gösterilir. (2.13) te t; t + h 2 [a; b] ve
jhj · ± üzerinden supremum al¬n¬rsa
!(±) · M:± ®
(2.14)
elde edilir. M ; ± dan ba¼g¬ms¬z bir sabittir.
D ½ R2 s¬n¬rl¬ bir bölge ve f , D üzerinde tan¬ml¬ reel de¼gerli bir fonksiyon olsun. Bu
takdirde K ½ D kompakt bölgesinde h = (h1 ; h2) ve t = (t1; t2 ) olmak üzere
j¢hf (t)j · C(½(h))® ;
15
0<® ·1
(2.15)
şart¬ sa¼glan¬yorsa f fonksiyonu K bölgesinde C sabitiyle ®¡¬nc¬ mertebeden Lipschitz şart¬n¬ sa¼
gl¬yor denir. Bu şart¬ sa¼glayan fonksiyonlar¬n s¬n¬f¬ Lip2;C ® ile
gösterilir. Benzer şekilde h = (h1; 0) ve t = (t1; t2)
j¢hf(t)j · C1 jh1 j®
;
0 <® ·1
(2.16)
şart¬n¬ sa¼glan¬yorsa f fonksiyonu K bölgesinde 1-inci de¼
gişkene göre C 1 sabitiyle ®¡¬nc¬ mertebeden Lipschitz şart¬n¬ sa¼
gl¬yor denir. Bu fonksiyonlar¬n s¬·
n¬f¬ Lip(1)
gişkene göre de Lipschitz şart¬ benzer şekilde
2;C1 ® ile gösterilir. Ikinci de¼
tan¬mlanabilir.
(2.15) te t; t + h 2 K ve ½(h) · ± üzerinden supremum al¬n¬rsa
! 2(±) · C:±®
(2.17)
; 0<®·1
ve (2.16) da t; t + h 2 K ve jh1 j · ± üzerinden supremum al¬n¬rsa
(1)
!2 (±) · C1 :± ® ;
(2.18)
0<®·1
elde edilir. Burada C ve C 1 ; ± dan ba¼g¬ms¬z sabitlerdir.
(2.13) ten, lim j¢hf(t)j = 0 olaca¼g¬ aç¬kt¬r. Bu ise [a; b] aral¬¼
g¬ üzerinde f 2 LipM ®
h!0
ise f 2 C[a; b] oldu¼
gunu gösterir. Benzer şekilde (2.15) ten lim j¢hf (t)j = 0 elde
½(h)!0
edilir. Yani f 2 Lip2;C ® ise, f 2 C (K) d¬r.Yine (2.16) dan lim j¢hf (t)j = 0 elde
edilir. Yani f 2
Lip(1)
2;C1 ®
jhj!0
ise f , K bölgesinde 1-inci bileşene göre sürekli demektir.
(2.11) de ± = ½(h) al¬n¬rsa j¢hf (t)j · !(½(h)) olur.
!2(½(h)) = !2(±
½(h)
½(h)
) · (1 +
)!2 (±)
±
±
yaz¬labilece¼ginden
j¢hf(t)j · (1 +
16
½(h)
)! 2(±)
±
(2.19)
elde edilir. Benzer şekilde (2.13) te ± = jh1j al¬n¬rsa j¢h f(t)j · !(jh1j ) olur.
(1)
(1)
!2 (jh1j ) · !2 ( ±
jh1j
(jh1j) (1)
) · (1 +
)! 2 (± )
±
±
yaz¬labilece¼ginden
j¢hf(t)j · (1 +
(jh1j) (1)
)! (± )
±
(2.20)
elde edilir. Bu son iki eşitsizlik te s¬k kullanaca¼g¬m¬z eşitsizliklerdir.
2.2. Lineer Pozitif Operatörler
Aşa¼g¬daki Tan¬m 2.8. ve Tan¬m 2.9 bir çok kaynakta bulunmaktad¬r. Buradaki
00
00
00
00
tan¬mlar Musayev ve Alp, (2000) in Fonksiyonel Analiz adl¬ kitab¬ndan al¬nm¬şt¬r.
Tan¬m 2. 8: X ve Y boş olmayan kümeler ve D ½ X olsun. D nin her bir
eleman¬na Y nin bir eleman¬n¬ karş¬l¬k getiren kurala D den Y ye bir operatör veya
dönüşüm denir.
D ye L operatörünün tan¬m kümesi denir ve genellikle D(L) ile gösterilir.
R(L) = fy 2 Y j y = L(x); x 2 D(L)g
kümesine L operatörünün görüntü kümesi denir.
Tan¬m 2. 9: X ve Y ayn¬ bir K cismi üzerinde iki lineer uzay ve
L : X ! Y operatörü verilsin. E¼ger D(L), X in bir alt uzay¬ ve
8x; y 2 D(L) ve 8a; b 2 K için L(ax + by) = aL(x) + bL(y)
şart¬ sa¼glan¬yorsa L operatörü lineerdir denir.
Bu çal¬şma boyunca X ve Y lineer uzaylar¬n¬ fonksiyon s¬n¬‡ar¬ olarak ele alaca¼g¬z.
17
X ; tan¬m kümesi A ve Y , tan¬m kümesi B olan fonksiyonlar¬n s¬n¬‡ar¬ olsun.
L : X ! Y bir operatör olsun: f 2 X in L operatörü alt¬ndaki görüntüsünün bir
x 2 B noktas¬ndaki de¼geri, kaynaklarda genellikle
L(f (t); x) = g(x)
şeklinde kullan¬lmaktad¬r. K¬sal¬k için genelde L(f; x) = g(x) yaz¬l¬r.
Tan¬m 2. 10: (Korovkin, 1960) Negatif olmayan her f fonksiyonu için
L(f ; x) ¸ 0; x 2 B
şart¬n¬ sa¼glayan L : X ! Y operatörüne pozitif operatör denir.
Yani L bir pozitif operatör ise,
X + = ff 2 X j 8t 2 A için f(t) ¸ 0g ; Y + = fg 2 Y j 8x 2 B için g(x) ¸ 0g
olmak üzere, her f 2 X + için L(f; x) 2 Y + olacakt¬r.
Hem lineer hem de pozitif olan operatöre lineer pozitif operatör denir.
Yaklaş¬mlar teorisinde lineer pozitif operatörlerin önemli bir yeri vard¬r.
E¼ger her t 2 A ve her f1; f2 2 X için f1(t) ¸ f2(t) ise, f1(t) ¡ f2 (t) ¸ 0 olur. Bu
takdirde L , bir lineer pozitif operatör ise,
L(f1 ¡ f2 ; x) ¸ 0
yani L(f1 ; x) ¡ L(f2 ; x) ¸ 0
ve buradan
L(f1; x) ¸ L(f2; x)
(2.21)
elde edilir. Bu da lineer pozitif operatörlerin monoton azalmayan olduklar¬n¬ gösterir.
18
Yine L bir lineer pozitif operatör olsun. Her t 2 A için
¡ jf (t)j · f(t) · jf(t)j
oldu¼gundan
¡L(jfj ; x) · L(f ; x) · L(jfj ; x)
olur ve buradan
(2.22)
jL(f ; x)j · L(jf j ; x)
elde edilir. (Bak: Hac¬saliho¼glu ve Hac¬yev, 1995)
Tan¬m 2. 11: (Lorentz, 1966) L; X normlu lineer uzay¬ndan Y normlu lineer
uzay¬na tan¬ml¬ bir lineer operatör olsun. (X üzerindeki norm k:kX ve Y üzerindeki
norm k:kY ile gösterilmek üzere) E¼ger
kL(f; x)kY · C kfkX
olacak şekilde bir C pozitif say¬s¬ mevcutsa, L operatörüne s¬n¬rl¬ operatör denir. Bu
şart¬ sa¼glayan C say¬lar¬n¬n in…mumuna (alt s¬n¬rlar¬n¬n en büyü¼
güne) L operatörünün
normu denir ve kLkX!Y veya k¬saca kLk ile gösterilir. Bu durumda
°
°
°
°
kL(f; x)kY
f
°
kLk = sup
= sup °L(
; x) °
°
kfkX
kfkX
f6=0
f6=0
Y
= sup kL(f ; x)kY
(2.23)
(2.24)
kf kX =1
eşitlikleri sa¼glan¬r.
L : C[a; b] ! B[a; b] lineer pozitif operatör olsun. Eg¼er L , f 2 C [a; b] fonksiyonunun
[a; b] aral¬¼g¬ d¬ş¬ndaki de¼gerlerinden ba¼g¬ms¬z ise
kLk =
sup
kf kC[a;b]=1
kL(f; x)kC[a;b]
°
°
°
°
°
·
sup °L( max jf (t)j ; x)°
°
a·t·b
kf k
=1
C[a;b]
= kL(1; x)kC[a;b]
19
C[a;b]
d¬r. Ayr¬ca k1kC[a;b] = 1 oldu¼gundan
kLk =
sup
kf kC [a;b]=1
kL(f; x)kC[a;b] ¸ kL(1; x)kC[a;b]
olur ve böylece
(2.25)
kLk = kL(1; x)kC[a;b]
eşitli¼gi sa¼glan¬r.
E¼ger L operatörü f fonksiyonunun [a; b] aral¬¼g¬ d¬ş¬ndaki de¼gerlerine ba¼g¬ml¬ ise, bu
durumda
M = maxfkfkC[a;b] ; sup jf(x)jg
x=
2[a;b]
olmak üzere
kLk · M kL(1; x)kC[a;b]
olur. Böylece L : C [a; b] ! C[a; b] lineer pozitif operatörünün normu için
kL(1; x)kC[a;b] · kLk · M kL(1; x)kC[a;b]
(2.26)
eşitsizli¼gi elde edilir. (Bak: Hac¬saliho¼glu ve Hac¬yev, 1995)
2.2.1. Lineer pozitif operatörler için Korovkin teoremi
1952 y¬l¬nda H.Bohman, toplam şeklindeki lineer pozitif operatörler dizisinin [0; 1]
aral¬¼g¬nda sürekli bir f fonksiyonuna yaklaşma problemini incelemiştir.
Göstermiş ki ; x 2 [0; 1] ; 0 · ®k;n · 1 olmak üzere , genel terimi
Ln (f; x) =
n
X
f(®k;n):pk;n (x)
k=0
; pk;n (x) ¸ 0
(2.27)
olan dizinin [0; 1] üzerinde n ! 1 iken f fonksiyonuna düzgün olarak yaklaşmas¬
için gerek ve yeter şart
Ln(tr ; x) ! xr ; r = 0; 1; 2
20
(2.28)
olmas¬d¬r.
Burada operatörlerin de¼geri f fonksiyonunun [0; 1] aral¬¼g¬ d¬ş¬ndaki de¼gerlerinden
ba¼g¬ms¬zd¬r.
0
1953 y¬l¬nda Korovkin, Bohman ¬n şartlar¬n¬n genel halde de geçerli olduklar¬n¬ aşa¼g¬
daki teoremle göstermiştir.
Teorem 2. 1. (P. P. Korovkin, 1960): Lineer pozitif (Ln ) operatörler dizisi için
(2.28)şartlar¬ [a; b] aral¬¼g¬nda düzgün olarak sa¼glan¬yorsa , bu takdirde C [a; b] de olan
(a da soldan ve b de sa¼gdan sürekli) ve tüm reel eksende s¬n¬rl¬ olan her bir f fonksiyonu için
Ln (f; x) ¶ f(x)
olur.
I·spat: f s¬n¬rl¬ oldu¼gundan her x için jf(x)j · M olacak şekilde bir M > 0 say¬s¬
vard¬r. O halde her t; x 2 [a; b] için
jf(t) ¡ f (x)j · 2M
(2.29)
olur . f 2 C[a; b] oldu¼gundan her " > 0 öyle bir ± > 0 vard¬r ki , x 2 [a; b]; t 2 R ve
jt ¡ xj < ± oldug¼unda
jf (t) ¡ f(x)j < "
(2.30)
2M
(t ¡ x)2 ¸ 0 oldu¼gundan (2.30) un sa¼g taraf¬na eklenebilir. Bu takdirde
±2
t 2 R; x 2 [a; b]; jt ¡ xj < ± için
olur.
jf(t) ¡ f (x)j < " +
2M
(t ¡ x) 2
±2
elde edilir.
E¼ger jt ¡ xj ¸ ± ise ,
(t ¡ x)2
¸ 1 olaca¼g¬ndan (2.29) dan
±2
jf(t) ¡ f (x)j · 2M ·
21
2M
2
2 :(t ¡ x)
±
(2.31)
olur. Sa¼g tarafa " > 0 eklenebilir.
(2.31) eşitsizli¼gi sa¼glan¬r.
Böylece her t 2 R; ve her x 2 [a; b] için
Lineer pozitif operatörlerin özelliklerinden
Ln (f(t); x) ¡ f (x) = Ln (f(t); x) ¡ Ln(f(x); x) + Ln(f (x); x) ¡ f(x)
= Ln (f(t) ¡ f (x); x) + f(x)[Ln (1); x) ¡ 1]
yaz¬labilece¼ginden
jLn (f(t); x) ¡ f (x)j · jLn (f(t) ¡ f (x); x)j + jf(x)j j[Ln(1); x) ¡ 1j
· Ln(jf(t) ¡ f (x)j ; x) + jf(x)j j[Ln (1); x) ¡ 1j
2M
· " + 2 :Ln ((t ¡ x)2; x) + jf(x)j j[Ln(1; x) ¡ 1j
±
olur. Ayr¬ca
Ln((t ¡ x)2 ; x) = Ln(t2; x) ¡ 2xLn (t; x) + x2 :Ln(1; x)
= [Ln (t2 ; x) ¡ x2] ¡ 2x[Ln(t; x) ¡ x] + x2:[Ln (1; x) ¡ 1]
olup, (2.28) şartlar¬ndan n ! 1 için [a; b] aral¬¼g¬nda
Ln ((t ¡ x)2; x) ¶ 0 ve böylece jLn (f(t); x) ¡ f(x)j ¶ 0 elde edilir . O halde
n ! 1 için [a; b] aral¬¼g¬nda
Ln (f; x) ¶ f(x)
elde edilir.¥
1962 y¬l¬nda Baskakov, Korovkin teoremindeki f fonksiyonunun tüm reel eksende
s¬n¬rl¬ olma şart¬ yerine, Mf ; f fonksiyonuna ba¼gl¬ bir sabit olmak üzere, her x 2 R
için
jf(x)j · Mf (1 + x2 )
(2.32)
şart¬n¬n sa¼glanmas¬ halinde de , yak¬nsaman¬n düzgün oldu¼gunu ispatlam¬şt¬r.
22
Gerçekten (2.32) şart¬ sa¼gland¬¼g¬nda
jf (t) ¡ f(x)j · Mf (2 + t2 + x2 )
¡
¢
= Mf 2 + (t ¡ x)2 + 2x(t ¡ x) + 2x2
(2.33)
yazabiliriz . f 2 C[a; b] oldu¼gundan (2.30) sa¼glan¬r. E¼ger jt ¡ xj ¸ ± ise,
(t ¡ x)2
¸ 1 olaca¼g¬ndan (2.33) ten
±2
jf(t) ¡ f(x)j · Mf (t ¡ x)2[
elde edilir. C = (
2
2x 2x2
+
1
+
+ 2]
±
±2
±
2
2b 2b2
+
1
+
+ 2 )Mf olmak üzere, her t 2 R ve x 2 [a; b] için
±
±2
±
jf(t) ¡ f (x)j · " + C:(t ¡ x)2
(2.34)
elde edilir. (2.31) de oldu¼gu gibi, burada da lineer pozitif operatörlerin özellikleri
kullan¬larak [a; b] üzerinde
Ln (f; x) ¶ f(x)
elde edilir.
2.2.2. m-Boyutlu uzaylarda lineer pozitif operatörler için Korovkin teoremi
Korovkin teoremini, Akif HACIYEV Rm de ifade ve ispat etmiştir:
Teorem 2. 2:(Hac¬yev ve Hac¬saliho¼glu,1995) D ½ Rm s¬n¬rl¬ bir bölge olmak üzere
Cb(D) ile , D bölgesinde sürekli ve tüm Rm de s¬n¬rl¬ reel de¼gerli fonksiyonlar¬n uzay¬
gösterilsin. E¼
ger (Ln ) lineer pozitif operatörler dizisi, K ½ D kompakt bölgesinde
n ! 1 için
Ln(1; x) ¶ 1
Ln (ti ; x) ¶ xi
i = 1; 2; 3; :::; m
23
(2.35)
Ln(jtj2 ; x) ¶ jxj2
şeklindeki (m + 2) tane şart¬ sa¼gl¬yorsa, key… f 2 Cb(D) için K üzerinde
n ! 1 iken
Ln (f; x) ¶ f(x)
olur. (Burada jxj 2 =
m
P
k=1
x2k d¬r.)
Bu teoremdeki f fonksiyonunun tüm Rm de s¬n¬rl¬ olmas¬ şart¬ yerine, Mf ; f fonksiyonuna ba¼gl¬ bir sabit olmak üzere
jf (x)j · Mf (1 + jxj 2)
(2.36)
şart¬n¬n sa¼glanmas¬ halinde de yak¬nsaman¬n düzgün olarak sa¼glanaca¼g¬n¬ gösteren
bir teorem verelim.
Teorem 2. 3: D ½ Rm s¬n¬rl¬ bir bölge olmak üzere D bölgesinde sürekli, reel de¼gerli
ve tüm Rm de (2.36) şart¬n¬ sa¼glayan fonksiyonlar¬n s¬n¬f¬n¬ CO(D) ile gösterelim.
E¼ger(Ln) lineer pozitif operatörler dizisi, K ½ D kompakt bölgesinde n ! 1 için
(2.35) şartlar¬n¬ sa¼gl¬yorsa, key… f 2 C O(D) için K üzerinde n ! 1 iken
Ln (f; x) ¶ f(x)
olur.
I·spat: f 2 CO (D) olsun. Bu takdirde f sürekli oldu¼
gundan her t; x 2 D ve her
" > 0 için jt ¡ xj < ±oldu¼gunda jf(t) ¡ f (x)j < " olacak şekilde bir ± > 0 say¬s¬ vard¬r. t 2 Rm; x 2 K olmak üzere jt ¡ xj ¸ ± olsun. Bu takdirde (2.36) şart¬ndan
dolay¬
jf (t) ¡ f(x)j · Mf (2 + jtj 2 + jxj 2)
= Mf (2 + jt ¡ xj2 + 2x:(t ¡ x) + 2 jxj2)
24
2
= Mf (2 + jt ¡ xj + 2
m
X
k=1
xk:(tk ¡ xk) + 2 jxj 2)
yazabiliriz. Cauchy-Schwartz eşitsizli¼
ginden
v
v
uX
uX
m
u
um
2
2t
t
jf (t) ¡ f(x)j · Mf (2 + jt ¡ xj + 2
xk
(tk ¡ xk )2 + 2 jxj 2)
k=1
k=1
2
· Mf (2 + jt ¡ xj + 2 jxj jt ¡ xj + 2 jxj 2)
jt ¡ xj2
elde dilir. jt ¡ xj ¸ ± oldu¼gundan
¸ 1 olur. Böylece
±2
jf(t) ¡ f(x)j · Mf jt ¡ xj2 (
2
2
2
+
1
+
jxj
+
jxj2 )
2
2
±
±
±
Mf
jt ¡ xj2 (2 jxj 2 + 2± jxj + 3)
2
±
Mf
·
jt ¡ xj2 (4 jxj 2 + 4± jxj + ± 2 + 3)
2
±
Mf
=
jt ¡ xj2 [(2 jxj + ± )2 + 3]
2
±
·
olur. x 2 K ise , jxj · C1 olacak şekilde bir C1 > 0 say¬s¬ vard¬r. Buradan
M
C = 2f [(2C1 + ± )2 + 3] al¬r ve fonksiyonun süreklili¼ginden elde edilen eşitsizli¼gi
±
de gözönüne al¬rsak, her x 2 K ve her t 2 Rm için
jf(t) ¡ f (x)j · " + C jt ¡ xj 2
elde edilir.
jt ¡ xj 2 = jtj 2 ¡ 2
m
X
k=1
xk :tk + jxj 2
oldu¼gu gözönüne al¬n¬rsa , lineer pozitif operatörlerin özelliklerinden
Ln (f(t); x) ¡ f (x) = Ln (f(t); x) ¡ Ln(f(x); x) + Ln(f (x); x) ¡ f(x)
= Ln (f(t) ¡ f (x); x) + f(x)[Ln (1); x) ¡ 1]
25
yazabiliriz. Buradan
jLn(f(t); x) ¡ f (x)j · jLn (f(t) ¡ f (x); x)j + jf(x)j jLn (1; x) ¡ 1j
· Ln(jf(t) ¡ f (x)j ; x) + jf (x)j jLn(1; x) ¡ 1j
· " + C Ln (jt ¡ xj 2 ; x) + jf (x)j jLn(1; x) ¡ 1j
m
X
2
· " + C [Ln(jtj ; x) ¡ 2
xk :Ln (tk ; x) + jxj 2 Ln(1; x)]
k=1
+ jf (x)j jLn(1; x) ¡ 1j
2
2
· " + C [Ln(jtj ; x) ¡ jxj ) ¡ 2
m
X
k=1
xk :(Ln(tk ; x) ¡ xk )
+ jxj2 (Ln (1; x) ¡ 1) + jf (x)j jLn (1; x) ¡ 1j
elde edilir. Böylece (2.35) şartlar¬ gözönüne al¬nd¬¼g¬nda K üzerinde n ! 1 için
jLn(f (t); x) ¡ f(x)j ¶ 0 yani, Ln (f; x) ¶ f (x) sa¼glan¬r.¥
Tnm(f (t1; t2 ); x; y) lineer pozitif operatörler dizisini göz önüne alal¬m. Burada
X ½ R2 kompakt bir küme ,f : X ! R bir fonksiyon ve (x; y) 2 X d¬r.
Teorem 2. 4. (Volkov, 1957): (Tnm ) lineer pozitif operatörler dizisi için
lim kTnm(1; x; y) ¡ 1kC(X) = 0
n!1
m!1
lim kTnm(t1; x; y) ¡ xkC(X) = 0
n!1
m!1
lim kTnm(t2; x; y) ¡ ykC(X) = 0
°
°
°Tnm(t21 + t22; x; y) ¡ (x2 + y2)°
lim
=0
C(X)
n!1
n!1
m!1
m!1
şartlar¬ sa¼
gland¬¼g¬ takdirde, her hangi bir f 2 Cb (X) için
lim kTnm (f; x; y) ¡ f(x; y)kC(X) = 0
n!1
m!1
d¬r.
26
3. GENELLEŞTI· RI· LMI· Ş BERNSTEIN-CHLODOWSKY
POLI·NOMLARININ YAKINSAKLIK ÖZELLI· KLER·I
Bu bölümde, 1995 y¬l¬nda E. I· bikli ve E.A. Gadjieva taraf¬ndan incelenen (1.5)
Bn®;¯(f ;
x) =
n
X
f(®x + ¯
k=0
kbn k x k
x
)Cn ( ) (1 ¡ )n¡k
n
bn
bn
; 0 · x · bn
operatörler dizisi ile ilgili çal¬şmalar verilecektir. Ayr¬ca, türevi mevcut ve sürekli
0
olan f fonksiyonlar¬ (yani f 2 C 1 ([0; A])) için bu operatörlerin türevinin f fonksiyonuna yak¬nsamas¬ incelenecektir.
Ayr¬ca bu k¬s¬mda ad¬ geçen çal¬şmadaki eşitsizliklerin f 2 LipM ® durumunda da
geçerli oldu¼gu ispatlanm¬şt¬r.
bn
= 0 şartlar¬n¬ sa¼glayan pozitif terimli bir dizi olsun.
n!1
n!1 n
® ¸ 0; ¯ > 0 ve ® + ¯ = 1 ve R0 = [0; 1) ve A > 0 key… bir reel say¬ olmak üzere
(bn ) , lim bn = 1; lim
C([0; A]) ile, [0; A] aral¬¼g¬ üzerinde sürekli fonksiyonlar¬n s¬n¬f¬, CO([0; A]) ile, tüm
reel eksende
jf(x)j · Mf (1 + x2 )
şart¬n¬ sa¼glayan ve C([0; A]) da olan fonksiyonlar¬n s¬n¬f¬ gösterilmektedir. Mf ; sadece
f fonksiyonuna ba¼gl¬ bir sabittir.
3.1 Teoremler
Lemma 3. 1: (I· bikli and Gadjieva, 1995)
Bn®;¯ (1; x) = 1
Bn®;¯(t; x) = x
Bn®;¯ (t2; x) = x2 + ¯ 2
d¬r.
27
x(bn ¡ x)
n
Lemmadaki eşitlikler hesaplamalarla gösterilebilir.
Sonuç 3.1:(I· bikli and Gadjieva, 1995) f 2 CO(R0) (veya f 2 Cb(R0)) ise,
herhangi bir s¬n¬rl¬ [0; A] aral¬¼g¬ üzerinde
lim B®;¯
n (f ; x) = f(x)
(3.1)
n!1
eşitli¼gi düzgün olarak sa¼glan¬r.
I·spat: Lemma 3.1 kullan¬larak, n ! 1 için
° ®;¯
°
°Bn (1; x) ¡ 1°
= 0
C([0; A])
° ®;¯
°
°Bn (t; x) ¡ x°
= 0
C([0; A])
° ®;¯ 2
°
°Bn (t ; x) ¡ x2 °
= max
C([0; A])
¯
¯
¯ 2 x(bn ¡ x) ¯
¯¯
¯
¯
0·x·A ¯
n
b
· ¯ 2A n ! 0
n
oldu¼gu görülür. Böylece, Korovkin teoreminin şartlar¬ sa¼gland¬¼g¬ndan (3.1) eşitli¼gi
düzgün olarak sa¼glan¬r.¥
Aşa¼g¬daki teoremde !1+A ile [0; 1 + A] aral¬¼g¬ üzerinde f fonksiyonunun süreklilik
modülü gösterilmektedir.
Teorem 3.1: (I· bikli and Gadjieva, 1995) f 2 CO(R0) ise, bu takdirde herhangi bir
s¬n¬rl¬ [0; A] aral¬¼g¬ üzerinde
eşitsizli¼gi vard¬r.
¯ ®;¯
¯
¯Bn (f; x) ¡ f(x)¯ · C! 1+A
Ãr
bn
n
!
Burada C; n den ba¼g¬ms¬z bir sabittir.
I·spat: x 2 [0; A] için
k
k
E1 = fk j ®x + ¯ bn ¸ 1 + Ag; E2 = fk j ®x + ¯ bn · 1 + Ag
n
n
28
(3.2)
kümelerini tan¬mlayal¬m. Lemma 3.1 den
¯ n
¯
·
¸µ ¶
n
¯ X X
¯
¯ ®;¯
¯
k
n
x
x
k
n¡k ¯
¯Bn (f; x) ¡ f(x)¯ = ¯¯ (
+
) f (®x + ¯ bn) ¡ f(x)
( ) (1 ¡ ) ¯
¯
¯
n
k bn
bn
k2E1
k2E2
¯ n ·
¯
¸µ ¶
¯X
k
n x k
x n¡k ¯¯
¯
· ¯
f (®x + ¯ bn) ¡ f(x)
( ) (1 ¡ ) ¯
¯ k2E
n
k bn
bn
¯
¯ 1n ·
¸
¯X
k
¯
+¯
f (®x + ¯ bn) ¡ f(x)
¯ k2E
n
¯
µ ¶2
n x k
x n¡k ¯¯
£
( ) (1 ¡ ) ¯
k bn
bn
= In(1) + In(2)
(3.3)
yaz¬labilir.
Şimdi In(1) ve In(2) ifadelerini ayr¬ ayr¬ inceliyelim.
f 2 CO(R0) oldu¼gundan
¯ µ
¶
¯
·
¸
¯
¯
k
k
2
2
¯f ®x + ¯ bn ¡ f(x)¯ · Cf 2 + (®x + ¯ bn) + x
¯
¯
n
n
·
k
· Cf (®x + ¯ bn ¡ x)2
n
¸
k
2
+2x(®x + ¯ bn ¡ x) + 2(1 + x )
n
olacak şekilde bir Cf ¸ 1 say¬s¬ vard¬r. k 2 E1 , x 2 [0; A] için
¯
¯
¯®x + ¯ k bn ¡ x¯ ¸ 1 oldu¼gundan, C 1 = 2:Cf (A + 2)2 olmak üzere
n
¯ µ
¶
¯
·
¸2
¯
¯
¡
¢
k
k
¯f ®x + ¯ bn ¡ f (x)¯ · Cf (® ¡ 1)x + ¯ bn :2: x2 + 4x + 4
¯
¯
n
n
·
¸2
k
2
· 2Cf (A + 2) (® ¡ 1)x + ¯ bn
n
·
¸2
k
= C1 (® ¡ 1)x + ¯ bn
n
elde edilir. Böylece, Lemma 3.1 kullan¬larak [0; A] üzerinde
In(1)
¸2 µ ¶
n ·
X
k
n x k
x
· C1
(® ¡ 1)x + ¯ bn
( ) (1 ¡ )n¡k
n
k bn
bn
k=1
29
= C1 ¯2
x(bn ¡ x)
bn
bn
· C1¯ 2A = C2
n
n
n
bn
= 0 oldu¼gundan yeterince büyük n ler için
n!1 n
Ãr !
r
r
bn
bn
bn
bn
0
·
olur. Lemma 2.1(viii ) den !1+A
¸ Cf
olacak şekilde f
n
n
n
n
bn 0
C2
0
fonksiyonu ve
e ba¼gl¬ bir Cf > 0 say¬s¬ vard¬r. Böylece C 3 = 0 olmak üzere
n
Cf
olur. C2 = C1 ¯2 A d¬r. lim
In(1) · C3 !1+A
Ãr
bn
n
!
(3.4)
elde edilir.
Süreklilik modülünün özelliklerinden, k 2 E2 , x 2 [0; A] için
¯ µ
¶
¯
µ¯
¯¶
¯
¯
¯
¯
k
k
¯f ®x + ¯ bn ¡ f(x)¯ · !1+A ¯®x + ¯ bn ¡ x¯
¯
¯
¯
¯
n
n
¯
¯¸
·
¯
1 ¯¯
k
· !1+A (± n) 1 + ¯®x + ¯ bn ¡ x¯¯
±n
n
yaz¬labilir. Böylece, Lemma 3.1 ve Cauchy-Schwartz eşitsizli¼gi kullan¬larak
In(2) ·
·
·
·
olur. ± n =
r
"
#
¯µ ¶
n ¯
¯ n x k
1 X ¯¯
k
x
!1+A (± n) 1 +
®x + ¯ bn ¡ x¯¯
( ) (1 ¡ )n¡k
±n k=0 ¯
n
k bn
bn
v
2
3
u n
µ ¶
X
1u
k
n x k
x
!1+A (± n) 41 + t (®x + ¯ bn ¡ x)2
( ) (1 ¡ )n¡k 5
± n k=0
n
k bn
bn
"
#
r
1
x(b
¡
x)
n
!1+A (± n) 1 +
¯2
±n
n
"
r #
1 p
bn
!1+A (± n) 1 + ¯ A
±n
n
p
bn
ve C4 = 1 + ¯ A al¬n¬rsa
n
In(2)
r
· C4! 1+A(
30
bn
)
n
(3.5)
elde edilir. C = C 3 +C4 al¬n¬rsa, (3.3) te (3.4) ve (3.5) kullan¬larak (3.2) elde edilir.¥
0
Aşa¼g¬daki teoremde $1+A ile f fonksiyonunun [0; 1 + A] aral¬¼g¬nda süreklilik modülü
gösterilmektedir.Yani,
0
$1+A(f ; ±) =
sup
t;x2[0;1+A]
jt¡xj·±
¯ 0
¯
0
¯
¯
¯ f (t) ¡ f (x)¯ :
Bu Teoremde gösterilmiştir ki, e¼ger f 2 C 1(R0) ise, (1.5) operatörlerinin yak¬nsama
h¬z¬, f 2 C (R0 ) fonksiyonlar¬na olan yak¬nsama h¬z¬ndan daha fazlad¬r.
Teorem 3. 2: (I· bikli and Gadjieva, 1995) f 2 CO(R0) ve tüm reel eksende Mf ; f
fonksiyonuna ba¼gl¬ bir sabit olmak üzere
¯ 0 ¯
¯
¯
¯f (x) ¯ · Mf (1 + x)
(3.6)
şart¬n¬ sa¼glayan sürekli bir türeve sahip olsun. Bu takdirde s¬n¬rl¬ [0; A] aral¬¼g¬
üzerinde
¯ ®;¯
¯
¯ Bn (f ; x) ¡ f (x)¯ · M
r
r
bn
bn
$ 1+A(
)
n
n
(3.7)
d¬r. Burada M , n den ba¼g¬ms¬z bir sabittir.
Sonuç 3.2: f 2 LipM ® (0 < ® · 1) ise , bu takdirde herhangi bir s¬n¬rl¬ [0; A] aral¬¼g¬
üzerinde
®
¯ ®;¯
¯
¯Bn (f; x) ¡ f(x)¯ · M ( bn ) 2
n
d¬r.
(3.8)
I·spat:(2.17) ve (3.2) den sonuç aç¬kt¬r.¥
0
Sonuç 3.3: f 2 LipM ® (0 < ® · 1) ise , bu takdirde herhangi bir s¬n¬rl¬ [0; A] aral¬¼g¬
üzerinde
d¬r.
1+®
¯ ®;¯
¯
b
n
¯Bn (f; x) ¡ f(x)¯ · M ( ) 2
n
I·spat: (2.17) ve (3.7) den sonuç aç¬kt¬r.¥
31
C 1([0; A]) da olan ve tüm reel eksende s¬n¬rl¬ veya (3.11) şart¬n¬ sa¼glayan f fonksiyonlar¬ için
0
0
[Bn®;¯(f ; x)] ¶ f (x)
oldu¼gunu göstermek için aşa¼g¬daki operatöre ihtiyac¬m¬z olacakt¬r. n > 1 için
Pn(f (t); x) =
n¡1
X
f (Unk (x))'kn¡1 (x)
k=0
0 · x · bn
operatörünü göz önüne alal¬m. Burada
k
Unk(x) = ®x + ¯ bn
n
ve
'kn (x)
µ ¶
n x k
x
=
( ) (1 ¡ )n¡k
k bn
bn
d¬r.
Pn(f ; x) operatörler dizisinin aşa¼g¬daki eşitlikleri sa¼glad¬¼g¬ hesaplamalarla gösterilebilir.
Pn (1; x) = 1
Pn (t; x) = x ¡ ¯
x
n
Pn (t2 ; x) = x2 + ¯ 2
n ¡ 1 x(bn ¡ 3x)
x2(2n® ¡ ¯)
+¯
n
n
n2
d¬r.
Sonuç 3.1 e benzer şekilde ispatlanabilir ki ; f 2 CO(R0) ise, bu takdirde herhangi
bir s¬n¬rl¬ [0; A] aral¬¼g¬ üzerinde
lim Pn (f(t); x) = f (x)
n!1
eşitli¼gi düzgün olarak sa¼glan¬r.
32
(3.9)
0
Böylece f mevcut ve sürekli, tüm R0 da (3.14) şart¬ sa¼glan¬yorsa, [0; A] üzerinde
0
0
(3.10)
lim P n(f (t); x) = f (x)
n!1
eşitli¼gi düzgün olarak sa¼glan¬r.
0
Teorem 3. 3: f 2 C 1 (R0 ) ve tüm R0 da Mf ; f fonksiyonuna ba¼
gl¬ bir sabit olmak
üzere
¯ 0 ¯
¯
¯
¯f (x) ¯ · Mf (1 + x)
(3.11)
şart¬n¬ sa¼glayan (veya f ; tüm R0 da s¬n¬rl¬) bir fonksiyon olsun.Bu takdirde s¬n¬rl¬
0
bir [0; A] üzerinde
0
0
(3.12)
lim [Bn®;¯ (f; x)] = f (x)
n!1
eşitli¼gi düzgün olarak mevcuttur.
I·spat:
[Bn®;¯ (f; x)]
0
= ®
n
X
0
f (Unk (x))'kn (x) + ¯
k=0
bn
) ¡ f (Unk (x))
n
'kn¡1 (x)
bn
¯
n
n¡1 f (U k (x) + ¯
X
n
k=0
0
= ®B®;¯
n (f ; x) + ¯g n(x)
Sonuç 3.1 in şartlar¬ mevcut oldu¼
gundan, Lemma 3.1 kullan¬ld¬¼g¬nda,
0
0
lim Bn®;¯(f ; x) = f (x)
n!1
eşitlig¼inin [0; A] üzerinde düzgün olarak sag¼land¬g¼¬n¬ görebiliriz. O halde her " > 0 ,
her n > n0 ve her x 2 [0; A] için
¯
¯
"
0
¯ ®;¯ 0
¯
¯Bn (f ; x) ¡ f (x)¯ <
2®
olacak şekilde bir n0 2 N vard¬r.
bn
) ¡ f (t)
n
; x)
bn
¯
n
f (t + ¯
g n(x) = Pn (
33
(3.13)
0
şeklinde yaz¬labilir. f mevcut oldu¼gundan her (hn ); lim hn = 0 dizisi için
n!1
f (t + hn ) ¡ f (t)
0
= f (t)
n!1
hn
lim
olur. hn = ¯
bn
al¬nabilir. Böylece her " > 0 , her n > n1 ve her t 2 R0 için
n
¯
¯
¯
bn
¯
¯ f(t + ¯ ) ¡ f(t)
¯
0
"
¯
¯
n
¯
¡ f (t)¯ <
bn
¯
¯ 4¯
¯
¯
¯
n
olacak şekilde bir n1 2 N vard¬r. Yine her " > 0 , n > n 2 ve her x 2 [0; A] için
(3.10) dan
¯
¯
"
0
0
¯
¯
¯Pn (f (t); x) ¡ f (x)¯ <
4¯
olacak şekilde bir n2 2 N vard¬r.
bn
) ¡ f(t)
0
n
¯gn (x) ¡ ¯f (x) = ¯[Pn(
; x) ¡ Pn(f (t); x)
b
¯ n
n
0
0
+Pn(f (t); x) ¡ f (x)]
0
f(t + ¯
yaz¬labilece¼ginden, n 3 = maxfn1 ; n2 g olmak üzere, her n > n3 için
¯
¯
¯
bn
¯
¯
¯
¯
¯
f
(t
+
¯
)
¡
f
(t)
0
0
¯
¯
¯
¯
n
¡ f (t)¯ ; x)
¯¯g n(x) ¡ ¯f (x)¯ · ¯Pn (¯
bn
¯
¯
¯
¯
¯
n
¯
¯
0
0
¯
¯
+¯ ¯Pn (f (t); x) ¡ f (x)¯
"
"
"
· ¯( +
)=
4¯
4¯
2
elde edilir. Böylece n4 = maxfn0; n3 g olmak üzere, her n > n4 için
¯
¯
¯
¯
¯
¯
0
0
0
0
0
¯ ®;¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ [Bn (f; x)] ¡ f (x)¯ · ® ¯Pn (f ; x) ¡ f (x) ¯ + ¯ ¯ gn (x) ¡ f (x)¯
"
"
< ®( ) + = "
2®
2
34
olur. Böylece ispat tamamlanm¬şt¬r.¥
3.2. ÖRNEKLER:
xn
olan dizi [0; 1] aral¬¼g¬ üzerinde
n
0
f(x) = x fonksiyonuna düzgün yak¬nsak olmas¬na rag¼men fn (x) = 1 ¡ xn¡1 olup
Örnek 1. Genel terimi fn (x) = x ¡
0
( fn(x)) dizisi
8
< 1;
g(x) =
: 0;
x 2 [0; 1)
x=1
0
fonksiyonuna noktasal yak¬nsakt¬r ve [0; 1] aral¬¼g¬ üzerinde g(x) 6= f (x) oldu¼gu
görülmektedir. Bu da gösteriyor ki düzgün yak¬nsak bir dizinin terimlerinin türeviyle
oluşan yeni dizi düzgün yak¬nsak olmak zorunda de¼gildir. Bernstein polinomlar¬yla
oluşturulan dizi bu durumlar¬ her zaman ortadan kald¬rd¬¼g¬n¬ yukar¬daki Teorem 3.3
ten görmekteyiz.
Örnek 2. (1.5) polinomlar¬nda ® = ¯ =
p
1
; bn = n al¬p
2
p
f (x) = x5 + x3 + x + + x + 2
fonksiyonuna olan yaklaş¬mlar¬ [0; 2] aral¬¼g¬ üzerinde n = 4; 9; 11; için gra…k şekil
0
3.1 de gösterilmiştir.
35
aaa
36
aa
37
¼ I·ŞKENLI· FONKSI·YONLAR SINIFINDA GENELLEŞT·I4. I·KI· DEG
R·ILMI· Ş BERNSTEIN-CHLODOWSKY TI·PI· LI· NEER POZI· T·IF
· IS
· IN
· IN
· YAKINSAKLIK ÖZELLIKLER
·
OPERATÖRLER DIZ
I·
4.1.Giriş
Bu bölümde (1.5) lineer pozitif operatörler dizisine benzer şekilde, iki de¼gişkenli
fonksiyonlar s¬n¬f¬nda aşa¼g¬daki şekilde lineer pozitif operatörler dizisi tan¬mlanm¬şt¬r.
Tan¬mlanm¬ş olan bu operatörlerin baz¬ yak¬nsakl¬k özelliklerini ve yak¬nsakl¬k h¬zlar¬
incelenmiştir.
(bn ),negatif olmayan ve monoton artan reel say¬lar¬n bir dizisi,
lim bn = 1 ; lim
n
bn
=0
n
(4.1)
özelliklerine sahip olsun.
0 · t · bn olmak üzere
' kn(t)
=
Cnk
µ
t
bn
¶k µ
t
1¡
bn
¶n¡k
(4.2)
ve
k
j
© k;j
n;m(x; y) = ' n(x):'m(y)
(4.3)
®i ¸ 0; ¯ i > 0 ; ®i + ¯i = 1; i = 1; 2
(4.4)
olsun. Ayr¬ca
olsun. Şimdi inceliyece¼
gimiz lineer pozitif operatörler dizisinin genel terimini ifade
38
edelim:
Bn;m (f; x; y) =
n X
m
X
k=0
k
j
f(®1x + ¯ 1 bn; ®2 y + ¯ 2 bm)© k;j
n;m(x; y)
n
m
j=0
(4.5)
K¬sal¬k için gerekti¼gi yerlerde
k
j
Unk (t) := ®1 t + ¯1 bk ; Vmj (t) := ®2t + ¯ 2 bm
n
m
(4.6)
k¬saltmalar¬n¬ kullanaca¼g¬z.
n
X
'kn (x) = 1
;
n X
m
X
k=0 j =0
© k;j
n;m(x;
'jm (y) = 1
(4.7)
j=0
k=0
oldu¼gundan
m
X
n
m
X
X
k
y) = (
' n(x))(
'jm (y)) = 1
k=0
(4.8)
j=0
d¬r.
D µ R20 olmak üzere Cb(D) ile,D üzerinde sürekli ve tüm R20 de s¬n¬rl¬ fonksiyonlar¬n
s¬n¬f¬n¬; UC b(D) ile, D üzerinde düzgün sürekli ve tüm R20 de s¬n¬rl¬ fonksiyonlar¬n
s¬n¬f¬n¬ gösterelim. Ayr¬ca M f ; f fonksiyonuna ba¼
gl¬ bir sabit iken
jf(x; y)j · Mf (1 + x2 + y2 )
olmak üzere, C0 (D) ile, D üzerinde sürekli ve tüm R20 de (4.9) şart¬n¬ sa¼glayan
fonksiyonlar¬n s¬n¬f¬n¬ ve U C0(D)ile, D üzerinde düzgün sürekli ve tüm R20 de
(4.9) şart¬n¬ sa¼glayan fonksiyonlar¬n s¬n¬f¬n¬ gösterelim.
t = (t1; t2 ) 2 R20 olmak üzere, jtj2 = t21 + t22 ve A > 0 ; B > 0 s¬n¬rl¬ say¬lar
olmak üzere DAB = [0; A] £ [0; B] olsun.
39
(4.9)
4.2. Teoremler
Lemma 4.1 :
Bn;m (1; x; y) = 1
(4.10)
Bn;m(t1; x; y) = x
(4.11)
Bn;m(t2; x; y) = y
(4.12)
x(bn ¡ x)
y(bm ¡ y)
+ ¯ 22
n
m
x(b
¡
x)
Bn;m(t21; x; y) = x2 + ¯ 21 n
n
y(b ¡ y)
Bn;m(t22; x; y) = y2 + ¯22 m
m
Bn;m(t1 + t2; x; y) = x + y
Bn;m(t21 + t22; x; y) = x2 + y2 + ¯ 21
(4.13)
(4.14)
(4.15)
(4.16)
d¬r.
Lemmadaki eşitlikler hesaplamalarla gösterilebilir.
Teorem 2.2 den, iki de¼gişkenli fonksiyonlar s¬n¬f¬nda, lineer pozitif opreratörler dizisi
için Korovkin teoreminin şartlar¬ (4.10), (4.11), (4.12) ve (4.13) tir.
Sonuç 4.1 : f 2 Cb (DAB) veya f 2 CO (DAB) ise, DAB üzerinde
lim Bn;m(f ; x; y) = f(x; y)
n!1
m!1
eşitli¼gi düzgün olarak sa¼glan¬r.
I·spat: Lemma 4. 1 kullan¬larak m; n ! 1 için
kBn;m(1; x; y) ¡ 1kC(DAB ) = 0
kBn;m (t1; x; y) ¡ xkC(DAB ) = 0
kBn;m (t2; x; y) ¡ ykC(DAB ) = 0
40
(4.17)
°
°
°Bn;m (t21 + t22; x; y) ¡ (x2 + y2)°
=
C(DAB )
¯
¯
¯ 2 x(bn ¡ x)
¯
y(b
¡
y)
m
2
¯ ¯1
¯
+ ¯2
¯
¯
n
m
max
(x;y)2DAB
· ¯21 A
bn
b
+ ¯ 22B m ! 0
n
m
elde edilir. Teorem 2. 2 ve Teorem 2. 3 ten ispat tamamlanm¬ş olur.¥
0
0
Aşa¼g¬daki teoremde, A = 1 + A; B = 1 + B olmak üzere, tam süreklilik modülü
DA0 B0 bölgesi üzerinde ele al¬nmaktad¬r. Bu Teoremde (4.5) operatörlerinin yak¬nsakl¬k h¬zlar¬n¬ tam süreklilik modülü yard¬m¬yla belirledik
Teorem 4.1: f 2 CO(R20) olsun. Bu takdirde key… A > 0; B > 0 ve
(x; y) 2 DAB olmak üzere, yeter derecede büyük n ve m ler için
r
jBn;m (f ; x; y) ¡ f(x; y)j · C:!2 (
bn bm
+ )
n
m
(4.18)
eşitsizli¼gi sa¼glan¬r.
I·spat: (x; y) 2 DAB için aşa¼g¬daki kümeleri tan¬mlayal¬m.
0
0
0
0
0
0
0
0
E1 = f(k; j) j Unk(x) ¸ A ; Vmj (y) ¸ B g
E2 = f(k; j) j Unk(x) · A ; Vmj (y) ¸ B g
E3 = f(k; j) j Unk(x) ¸ A ; Vmj (y) · B g
E4 = f(k; j) j Unk(x) · A ; Vmj (y) · B g
(4.10) dan
jBn;m (f; x; y) ¡ f (x; y)j ·
n X
m
X
¯
¯
¯f(Unk (x); Vmj (y)) ¡ f (x; y)¯ ©k;j
n;m (x; y)
j
k
(k; j)2 E1
n X
m
X
¯
¯
¯f (Unk (x); Vmj (y)) ¡ f(x; y)¯ ©k;j
n;m (x; y)
+
k
j
(k; j)2 E2
41
n X
m
X
¯
¯
¯f (Unk (x); Vmj (y)) ¡ f(x; y)¯ ©k;j
+
n;m (x; y)
+
j
k
(k; j)2 E3
n X
m
X
j
k
(k; j)2 E4
¯
¯
¯f (Unk (x); Vmj (y)) ¡ f(x; y)¯ ©k;j
n;m (x; y)
(1)
(2)
(3)
(4)
= In;m
+ In;m
+ In;m
+ In;m
(4.19)
eşitsizli¼gini yazabiliriz.
(i)
Şimdi In;m
; (i = 1; 2; 3; 4) ifadelerini s¬ra ile ele alal¬m:
(1)
In;m
: f 2 CO(R20) oldu¼gundan, (4.9) dan
¯
¯
¯f(Unk (x); Vmj (y)) ¡ f(x; y)¯ · Mf [2 + (Unk (x))2 + (Vmj (y))2]
yaz¬labilir. Böylece
jf(Un;k (x); Vm;j (y)) ¡ f (x; y)j · M f [2 + (Unk(x) ¡ x)2 + (Vmj (y) ¡ y)2
+2x(Unk(x) ¡ x) + 2y(Vmj (y) ¡ y)
+2(x2 + y2)]
· M f [2 + (Unk(x) ¡ x)2 + (Vmj (y) ¡ y)2
¯
¯
¯
¯
+2x ¯Unk(x) ¡ x¯ + 2y ¯Vmj (y) ¡ y¯
+2(x2 + y2)]
yaz¬labilir. (x; y) 2 DAB ve(k; j) 2 E1 için
¯ k
¯
¯Un (x) ¡ x¯ ¸ 1
¯
¯
; ¯Vmj (y) ¡ y¯ ¸ 1
oldu¼gundan
¯ k
¯
¯Un (x) ¡ x¯ · (Unk (x) ¡ x) 2 + (Vmj (y) ¡ y)2
42
(4.20)
¯ j
¯
¯Vm (y) ¡ y ¯ · (Unk (x) ¡ x) 2 + (Vmj (y) ¡ y)2
(4.21)
olup, buradan
¯
¯
¯f(Unk (x); Vmj (y)) ¡ f (x; y)¯ · Mf [3 + 2x + 2y + 2(x2 + y2 )]
£[(Unk (x) ¡ x)2 + (Vmj (y) ¡ y)2]
· 4:Mf (2x + 2y + 1)2
£[(Unk (x) ¡ x)2 + (Vmj (y) ¡ y)2]
· 4:Mf (2A + 2B + 1)2
£[(Unk (x) ¡ x)2 + (Vmj (y) ¡ y)2]
olur. Son olarak C 1 = 4:Mf (2A + 2B + 1)2 olarak seçilirse
¯
¯
¯f(Unk(x); Vmj (y)) ¡ f (x; y)¯ · C1:[(Unk (x) ¡ x)2 + (Vmj (y) ¡ y)2]
(4.22)
elde edilir. Lemma 4.1 den
n X
m
X
k=0 j=0
2
[(Unk (x) ¡ x)2 + (Vmj (y) ¡ y)2]© k;j
n;m(x; y) = ¯ 1
x(bn ¡ x)
y(b ¡ y)
+ ¯ 22 m
n
m
elde edilir. Böylece C2 = C1(¯ 21A + ¯ 22B) olmak üzere
(1)
In;m
· C1 (¯21 A
bn
bm
bn bm
+ ¯ 22B ) · C 1(¯ 21A + ¯ 22B)( + )
n
m
n
m
yani
(1)
In;m
· C2 (
bn bm
+ )
n
m
elde edilir.
(2)
In;m
; (x; y) 2 DAB ve (k; j) 2 E2 için
¯ k
¯
¯Un (x) ¡ x¯ · 1
¯
¯
; ¯Vmj (y) ¡ y¯ ¸ 1
43
(4.23)
oldu¼gundan (4.20) ve (4.21) eşitsizlikleri yine geçerlidir. Böylece (4.22) eşitsizli¼gi de
yaz¬labilece¼ginden
(2)
In;m
· C2 (
bn bm
+ )
n
m
(4.24)
elde edilir.
(3)
In;m
; (x; y) 2 DAB ve (k; j) 2 E3 için
¯ k
¯
¯Un (x) ¡ x¯ ¸ 1
¯
¯
; ¯Vmj (y) ¡ y¯ · 1
oldu¼gundan (4.20) ve (4.21) eşitsizlikleri yine geçerlidir. Böylece (4.22) eşitsizli¼gi de
yaz¬labilece¼ginden
(3)
In;m
· C2 (
bn bm
+ )
n
m
(4.25)
elde edilir.
(4)
In;m
; (x; y) 2 DAB ve (k; j) 2 E4 olsun. DA0 B0 bölgesi üzerinde tam süreklilik modü-
lünün (2.19) özelli¼ginden
q
¯
¯
¯f (Unk (x); Vmj (y)) ¡ f(x; y) ¯ · !2 (±n;m )[1 + 1
(Unk (x) ¡ x)2 + (Vmj (y) ¡ y)2]
±n;m
eşitsizli¼gini yazabiliriz. Cauchy-Schwartz eşitsizli¼gi ve Lemma 4.1 kullan¬larak
n X
m ½
X
·
! 2(± n;m): 1 +
k=0 j =0
"
= !2 (±n;m ): 1 +
2
1
±n;m
1
q
± n;m
n X
m q
X
(Unk (x)
k=0 j=0
¡
x)2 +
(Vmj (y)
¡
y)2
¸¾
© k;j
n;m(x; y)
#
(Unk (x) ¡ x)2 + (Vmj (y) ¡ y)2©k;j
n;m (x; y)
v
3
uX
n X
m
u
1 t
= !2 (±n;m ): 41 +
[(Unk (x) ¡ x)2 + (Vmj (y) ¡ y)2]© k;j
n;m(x; y)5
± n;m k=0 j=0
"
#
r
1
2 x(b n ¡ x)
2 y(b m ¡ y)
= !2 (±n;m ): 1 +
¯1
+ ¯2
±n;m
n
m
44
"
#
b
b
n
m
· !2(±n;m ): 1 +
¯ 21A + ¯22 B
±n;m
n
m
"
#
r
q
1
b
b
n
· !2(±n;m ): 1 +
¯ 21A + ¯ 22B
+ m
±n;m
n
m
elde dilir. ± n;m =
r
1
r
bn bm
+
seçilirse,
n
m
(4)
In;m
· (1 +
q
¯ 21A +
r
¯ 22B) ! 2(
bn bm
+ )
n
m
(4.26)
elde edilir.
(1)
(2)
(3)
In;m
+ In;m
+ In;m
· 3C2(
bn bm
+ )
n
m
bn bm
+
! 0 (n ! 1; m ! 1) oldu¼gundan yeter derecede büyük n ve m ler
n
m
r
bn bm
bn bm
için
+
·
+
olur. Lemma 2. 1 (viii) den Cf ; f fonksiyonu ve
n
m
n
m
r
b
b
( n + m ) dizisine bag¼l¬ bir sabit olmak üzere,
n
m
olup,
r
! 2(
d¬r. Böylece
bn bm
+ ) ¸ Cf :
n
m
r
bn bm
+
n
m
r
C
bn bm
2
(1)
(2)
(3)
In;m
+ In;m
+ In;m
·3
! 2(
+ )
Cf
n
m
elde edilir. O halde C = (1 +
(1)
p
¯ 21A + ¯ 22B) + 3
C2
al¬nd¬g¼¬nda (4.18) elde edilir.¥
Cf
(2)
Aşa¼g¬daki teoremde $ 2 ve $2 ile, s¬ras¬ ile DA0 B0 bölgesi üzerinde
k¬smi süreklilik modülü ve
0
@f
in birinci
@x
@f
nin ikinci k¬smi süreklilik modülü gösterilmek
@y
0
tedir. (A = 1 + A; B = 1 + B)
Bu Teoremde gösterdik ki, e¼
ger f fonksiyonunun
@f
@f
ve
k¬smi türevleri mevcut
@x
@y
ve bu türevleri sürekli ise, (4.5) operatörünün f fonksiyonuna yak¬nsama h¬z¬, k¬smi
45
türevleri mevcut olmayan fakat sürekli olan fonksiyonlara yaklaşma h¬z¬ndan daha
incedir.
Teorem 4. 2: f : R20 ! R fonksiyonunun tüm R20 de
mevcut olsun. E¼ger f 2 CO (R20);
@f
@f
ve
k¬smi türevleri
@x
@y
@ f @f
,
2 C(R20 ) ve (Mf ; Nf f fonksiyonuna
@x @y
ba¼gl¬ sabitler olmak üzere)
¯
¯
¯ @f(x; y) ¯
¯
¯
¯ @x ¯ · Mf (1 + x + y)
şartlar¬ sa¼glan¬yorsa (veya
DAB üzerinde
¯
¯
¯ @ f(x; y) ¯
¯
¯ · Nf (1 + x + y)
; ¯
@y ¯
(4.27)
@f @f
,
2 Cb(DAB ) ise), key… A > 0; B > 0 için
@x @ y
"
r
bn bm
+
)
n
m
#
r
r
bn bm (1) bn bm
+
+ $2 (
+
)
(4.28)
n
m
n
m
"
r
bn bm
(1)
jBn;m (f; x; y) ¡ f (x; y)j · N !2 (
+ )
n
m
#
r
r
bn bm (2) bn bm
+
+ $2 (
+
)
(4.29)
n
m
n
m
"
r
r
bn bm
b
b
(1)
(2)
jBn;m (f; x; y) ¡ f (x; y)j · L !2 (
+ ) + !2 ( n + m )
n
m
n
m
(
r
r
bn bm
b
b
(1)
+
+
$2 ( n + m )
n
m
n
m
)#
r
b
b
(2)
+$2 ( n + m )
(4.30)
n
m
jBn;m (f; x; y) ¡ f (x; y)j · M
!(2)
2 (
d¬r.
I·spat: Belirlenmiş her bir y 2 [0; B] için Ortalama De¼ger Teoremine göre öyle bir »
46
vard¬r ki (», x ile Un;k (x) aras¬ndad¬r.)
@f (»; y) f(Un;k (x); y) ¡ f(x; y)
=
@x
Un;k (x) ¡ x
eşitli¼gi sa¼glan¬r. Buradan
@f(x; y)
@x
@f
(»; y) @f(x; y)
+(Unk (x) ¡ x)[
¡
]
@x
@x
f (Unk (x); y) ¡ f(x; y) = (Unk (x) ¡ x)
olur. Ayr¬ca
f(Unk (x); Vmj (y)) ¡ f(x; y) = [f (Unk (x); Vmj (y)) ¡ f(Unk (x); y)]
+[f (Unk (x); y) ¡ f(x; y)]
yazabiliriz. Lemma 4. 1 den
jBn;m(f ; x; y) ¡ f(x; y)j ·
n X
m
X
¯
¯
¯f(Unk(x); Vmj (y)) ¡ f (Unk (x); y)¯ © k;j
n;m(x; y)
k=0 j=0
n X
m
X
+
k=0 j =0
¯
¯
¯ f(Unk (x); y) ¡ f (x; y)¯ ©k;j
n;m (x; y)
= qn;m (x; y) + rn;m (x; y)
(4.31)
yazabiliriz.
Şimdi Teorem 4. 1 deki Ei; i = 1; 2; 3; 4 kümelerini göz önüne alal¬m.
0
B
qn;m (x; y) = @
n
X
m
X
k
j
(k; j)2 E 1
¯
: ¯f (Unk (x);
+
n
X
m
X
+
n
X
m
X
+
n
X
k
j
k
j
k
j
(k; j)2 E2
(k; j)2 E3
(K; j)2 E4
¯
Vmj (y)) ¡ f(Unk (x); y)¯ ©k;j
n;m (x; y)
(2)
(3)
(4)
= q(1)
n;m + qn;m + qn;m + qn;m
1
m
X
C
A
(4.32)
2
q(i)
¼undan, (4.9)
n;m; i = 1 ; 2; 3; 4 ifadelerini s¬ra ile ele alal¬m. f 2 CO(R 0) oldug
47
dan
¯
¯
£
¤
¯f (Unk (x); Vmj (y)) ¡ f(Unk (x); y)¯ · Mf 2 + 2(Unk (x))2 + (V mj (y))2 + y2
£
· Mf 2 + 2(Unk (x) ¡ x)2 + (Vmj (y) ¡ y)2
+4x(Unk (x) ¡ x) + 2y(Vmj (y) ¡ y)
¤
+2(x2 + y2 )
£
· Mf 2 + 2(Unk (x) ¡ x)2 + (Vmj (y) ¡ y)2
¯
¯
¯
¯
4x ¯ Unk (x) ¡ x¯ + 2y ¯ Vmj (y) ¡ y¯
¤
+2(x2 + y2 )
¯
¯
yazabiliriz. (k; j) 2 E1 için ¯ Unk (x) ¡ x¯ ¸ 1 ve jVmj (y) ¡ yj ¸ 1 oldu¼
gundan
(4.20) ve (4.21) eşitsizlikleri yine do¼grudur. Böylece (x; y) 2 DAB için,
C3 = 2Mf (A + B + 2)2 al¬n¬rsa
¯
¯
£
¤
¯ f(Unk (x); Vmj (y)) ¡ f(Unk (x); y) ¯ · Mf (Unk (x) ¡ x)2 + (Vmj (y) ¡ y)2
£
¤
£ 2 + 2 + 4x + 4y + 2(x2 + y2 )
£
¤
· (Unk (x) ¡ x)2 + (Vmj (y) ¡ y)2
£2Mf (x + y + 2)2
£
¤
· (Unk (x) ¡ x)2 + (Vmj (y) ¡ y)2
£2Mf (A + B + 2)2
£
¤
= C3 (Unk (x) ¡ x)2 + (Vmj (y) ¡ y)2 (4.33)
elde edilir. Lemma 4. 1 ve (4.9),(4.10) dan
n X
m
X
£
k=0 j=0
¤
y(b ¡ y)
2 x(bn ¡ x)
(Unk (x) ¡ x)2 + (Vmj (y) ¡ y)2 ©k;j
+ ¯ 22 m
n;m (x; y) = ¯ 1
n
m
bn
bm
+ ¯22 B
n
m
b
bm
n
· (¯ 21A + ¯ 22B)( + )
n
m
· ¯ 21A
48
olup C 4 = C3(¯ 21A + ¯ 22B) al¬n¬rsa
(1)
qn;m
· C4 (
bn bm
+ )
n
m
(4.34)
elde edilir. (k; j) 2 E2 için jVm;j(y) ¡ yj ¸ 1 ve (k; j) 2 E3 için
jUn;k (x) ¡ xj ¸ 1 oldu¼gundan (4.33) eşitsizli¼gi yine do¼gru olup, ayn¬ yoldan
q(2)
n;m · C4(
bn bm
bn bm
+ ) ; q(3)
+ )
n;m · C4(
n
m
n
m
elde edilir.
(k; j) 2 E4 olsun. Bu takdirde (2.10) dan
¯
¯
¯ j
¯
¯f(Unk (x); Vmj (y)) ¡ f(Unk (x); y)¯ · !(2)
¯
¯
2 ( Vm(y) ¡ y )
jVmj (y) ¡ yj
· !(2)
(±
):[1
+
]
n;m
2
± n;m
yaz¬labilir. Lemma 4. 1 ve Cauchy-Schwartz eşitsizli¼gi kullan¬larak,
(x; y) 2 DAB için
q(4)
n;m
"
#
m
X
¯
¯
1
(2)
¯Vmj (y) ¡ y¯ 'jm (y)
· ! 2 (±n;m ) 1 +
±n;m j=0
2
v
3
uX
m
u
1 t
4
· ! (2)
(Vmj (y) ¡ y)2 'jm (y)5
2 (±n;m ) 1 +
±n;m j=0
"
#
r
1
(2)
2 y(b m ¡ y)
· ! 2 (±n;m ) 1 +
¯2
±n;m
m
#
b
m
·
1+
¯ 22B
±n;m
m
"
#
r
p
1
bn bm
(2)
· ! 2 (±n;m ) 1 +
¯ B
+
±n;m 2
n
m
! (2)
2 (±n;m )
"
1
49
r
(4.35)
elde edilir. ±n;m =
r
bn bm
+
al¬nd¬¼g¬nda
n
m
p
(2)
q(4)
n;m · (1 + ¯ 2 B)!2
Ãr
bn bm
+
n
m
!
(4.36)
elde edilir.
(2)
(3)
q(1)
n;m + qn;m + qn;m · 3C4(
bn bm
+ )
n
m
bn bm
+
! 0 (n ! 1 ; m ! 1 ) oldu¼
gundan yeter derecede büyük n ve m ler
n
m
r
bn bm
bn bm
için
+
·
+
olup, Lemma 2. 1(viii) den
n
m
n
m
ve
! (2)
2
Ãr
bn bm
+
n
m
!
¸ Cf :
d¬r. Böylece
(1)
(3)
qn;m
+ q(2)
n;m + qn;m
C4 (2)
· 3 !2
Cf
r
bn bm
+
n
m
Ãr
bn bm
+
n
m
!
p
C
elde edilir. C5 = 1 + ¯ 2 B + 3 4 olmak üzere
Cf
q4n;m(x; y) · C5!(2)
2
Ãr
bn bm
+
n
m
!
(4.37)
olur.
Şimdi (x; y) 2 DAB için aşa¼g¬daki kümeleri tan¬mlayal¬m.
0
0
K1 = f(k; j) j Unk(x) ¸ A g ; K2 = f(k; j) j Unk (x) · A g
¯ n m
¯
¯X X
¯
¯
¯
rn;m(x; y) = ¯
(f(Unk (x); y) ¡ f (x; y))©k;j
(x;
y)
¯
n;m
¯ k=0 j=0
¯
¯
¯
n X
m
¯ @f (x; y) X
¯
¡ k
¢
¯
¯
· ¯
Un (x) ¡ x © k;j
(x;
y)
¯
n;m
¯ @x
¯
K=0 j=0
50
¯ n m
¯
·
¸
¯X X ¡
¯
¢
@f(»;
y)
@f
(x;
y)
¯
¯
+¯
Unk(x) ¡ x
¡
©k;j
(x;
y)
¯
n;m
¯
¯
@x
@x
j=0
k=0
son ifadede mutlak de¼ger içindeki ilk ifade Lemma 4. 1 den s¬f¬rd¬r. Böylece
¯ n m
¯
·
¸
¯X X ¡
¯
¢
@f
(»;
y)
@f(x;
y)
¯
¯
k
k;j
rn;m (x; y) · ¯
Un (x) ¡ x
¡
© n;m(x; y)¯
¯
¯
@x
@x
k=0 j=0
0
1
¯
¯
n X
m
n X
m
X
X
¯ k
¯ ¯ @f(»; y) @f (x; y) ¯ k;j
¯ ©n;m (x; y)
A ¯Un (x) ¡ x¯ ¯¯
· @ ;
+
¡
¯
@x
@x
(k;j ) 2K
(k;j) 2K
1
=
r(1)
n;m
+
2
r(2)
n;m
(2)
yaz¬labilir. r(1)
n;m ve rn;m ifadelerini s¬ra ile ele alal¬m.
@f
2 C(R20) oldu¼gu için
@x
(4.27) den
¯
¯
¯ @f (»; y) @f(x; y) ¯
¯
¯ · M f [2 + ³ + x + 2y]
¡
¯ @x
@x ¯
· M f [2 + (³ ¡ x) + 2(x + y)]
· M f [j³ ¡ xj + 2(1 + x + y)]
¯
¯
yaz¬labilir. Ayr¬ca j³ ¡ xj · ¯Unk (x) ¡ x¯ ; (k; j) 2 K 1 ve (x; y) 2 DAB için
jUn;k (x) ¡ xj ¸ 1 oldu¼gu gözönüne al¬n¬rsa , C6 = Mf [1 + 2(A + B + 1)] olmak üzere
¯
¯
¯ @f (»; y) @ f(x; y) ¯
¯
¯
¯
¯ · Mf ¯ Unk (x) ¡ x¯ [1 + 2(1 + x + y)]
¡
¯ @x
@x ¯
¯
¯
· Mf [1 + 2(A + B + 1)] ¯ Unk (x) ¡ x¯
¯
¯
· C6 ¯ Unk (x) ¡ x¯
elde edilir. Buradan, Lemma 4. 1 kullan¬larak
r(1)
n;m
· C6
n X
m
X
¡ k
¢2
Un (x) ¡ x ©k;j
n;m (x; y)
k=0 j=0
= C6 ¯21
x(bn ¡ x)
b
· C6¯ 21A n
n
n
51
· C6 ¯21 A(
olur.
bn bm
+
)
n
m
(4.38)
¯
¯
¯
¯
(k; j) 2 K2 için ¯Unk (x) ¡ x¯ · 1 ve yine j³ ¡ xj · ¯Unk (x) ¡ x¯ oldu¼gu
gözönüne al¬n¬rsa,
¯
¯
¯ @f(»; y) @f (x; y) ¯
¯
¯ · $(1)
¡
2 (j³ ¡ xj)
¯ @x
@x ¯
¡¯ k
¯¢
¯
¯
· $(1)
U
(x)
¡
x
2
n
·
¸
¯
1 ¯¯ k
(1)
¯
· $2 (± n;m ) 1 +
U (x) ¡ x
± n;m n
yaz¬labilir. Lemma 4. 1 ve Cauchy-Schwartz eşitsizli¼gi kullan¬larak,
(x; y) 2 DAB için
r(2)
n;m
·
·
·
·
¸
n X
m ·
X
¯ k
¯
1
k
2
¯ Un (x) ¡ x¯ +
(Un (x) ¡ x) ©k;j
n;m (x; y)
±
n;m
k=0 j=0
2v
3
uX
n
n
X
u
4t (Unk (x) ¡ x)2 'kk (x) + 1
$(1)
(Unk (x) ¡ x)2'kk (x)5
2 (±n;m )
±
n;m
k=0
k=0
"r
#
1 2 x(bn ¡ x)
(1)
2 x(b n ¡ x)
$2 (±n;m )
¯1
+
¯
n
± n;m 1
n
"
#
r
p
bn
1 2 bn
$(1)
+
¯ A
2 (±n;m ) ¯1 A
n
±n;m 1 n
$(1)
2 (±n;m )
#
bn bm
1 2 bn bm
·
¯1 A
+
+
¯ A( +
)
n
m
± n;m 1 n
m
"
#
r
r
p
bn bm (1)
1 2
bn bm
·
+
:$2 (± n;m) ¯ 1 A +
¯ A
+
n
m
± n;m 1
n
m
$(1)
2 (± n;m)
elde edilir. ±n;m =
r
r(2)
n;m
"
p
r
bn bm
+
seçilirse
n
m
p
· [¯1 A + ¯21 A]
r
bn bm (1)
+ :$2
n
m
52
Ãr
bn bm
+
n
m
!
(4.39)
elde edilir.
Süreklilik modülünün özelliklerinden ve (4.38) tan
r(1)
n;m
r
r
bn bm bn bm
·
+ :
+
n
m
nà m
!
r
r
C6¯ 21A bn bm (1)
bn bm
·
+
:$
+
n
m 2
n
m
C (1)
0
C6 ¯21 A
fx
@f
olacak şekilde,
ve
@x
r
bn bm
+
ifadelerine ba¼gl¬ bir Cf(1)
> 0 say¬s¬ vard¬r. Böylece
0
x
n
m
Ãr
!
bn bm (1)
bn bm
rn;m (x; y) ·
+ : $2
+
n
m
n
m
Cf(1)
0
x
Ãr
!
r
p
b
b
b
b
n
+[¯ 1 A + ¯ 21A] n + m ):$(1)
+ m
2
n
m
n
m
C6¯ 21A
olur ve C7 =
C6¯ 21A
(1)
Cf0
r
p
+ ¯1 A + ¯ 21A al¬n¬rsa
x
rn;m(x; y) · C7
r
bn bm (1)
+ :$2
n
m
Ãr
bn bm
+
n
m
!
(4.40)
elde edilir. (4.37) ve (4.40) den
jBn;m (f; x; y) ¡ f(x; y)j ·
Ãr
C5! (2)
2
+C7
r
bn bm
+
n
m
!
bn bm (1)
+ :$2
n
m
Ãr
bn bm
+
n
m
!
olur. M = maxfC5; C 7g al¬n¬rsa
"
!
bn bm
jBn;m(f ; x; y) ¡ f(x; y)j · M
+
n
m
Ãr
!#
r
bn bm (1)
bn bm
+
+ :$ 2
+
n
m
n
m
(2)
[! 2
53
Ãr
elde edilir.
Belirlenmiş her bir x 2 [0; A] için Ortalama De¼ger Teoremine göre öyle bir ´ vard¬r
ki (´; y ile Vmj (y) aras¬ndad¬r.)
@f (x; ´)
f(x; Vmj (y)) ¡ f(x; y)
=
@y
Vmj (y) ¡ y
eşitli¼gi sa¼glan¬r. Buradan
@f(x; ´)
@y
@f(x; y)
= (Vmj (y) ¡ y)
@y
·
¸
@f(x; ´) @f(x; y)
j
+(V m(y) ¡ y)
¡
@y
@y
f (x; Vmj (y)) ¡ f(x; y) = (Vmj (y) ¡ y)
olur. Ayr¬ca
f (Unk (x); Vmj (y)) ¡ f(x; y) = f (Unk (x); Vmj (y)) ¡ f(x; Vmj (y))
+f(x; Vmj (y)) ¡ f(x; y)
yaz¬labilir. Lemma 4. 1 den
jBn;m (f; x; y) ¡ f(x; y)j ·
n X
m
X
¯
¯
¯ f(Unk (x); Vmj (y)) ¡ f(x; Vmj (y))¯ ©k;j
n;m (x; y)
k=0 j=0
¯ n m
¯
¯X X £
¯
¤
¯
¯
j
k;j
+¯
f(x; Vm(y)) ¡ f (x; y) © n;m(x; y)¯
¯
¯
j =0
k=0
= ªn;m (x; y) + © n;m(x; y)
yazabiliriz. Teoremin (4.28) eşitsizli¼ginin ispat¬ndaki yöntemin ayn¬s¬ kullan¬larak
(4.29) eşitsizli¼gi elde edilir. L =
1
maxfM; Ng al¬nd¬¼g¬nda da, (4.28) ve (4.29)
2
dan (4.30) elde edilir.¥
54
DAB üzerinde
@f
@f(x; y)
Bn;m(f ; x; y) ¶
@x
@x
@f
@f(x; y)
lim
B (f ; x; y) ¶
n!1 @y n;m
@y
m!1
lim
n!1
m!1
oldu¼gunu göstermek için aşa¼g¬daki lemmaya ihtiyac¬m¬z vard¬r.
Pn;m(f (t1; t2); x; y) =
n¡1 X
m
X
f (Unk (x); Vmj (y)© k;j
n¡1;m (x; y)
k=0 j=0
Sn;m(f (t1; t2); x; y) =
n m¡1
X
X
f(Unk (x); Vmj (y)©k;j
n;m¡1(x; y)
k=0 j=0
olsun.
Lemma 4. 2:
Pn;m(1; x; y) = 1; Sn;m (1; x; y) = 1
x
Pn;m(t1; x; y) = x ¡ ¯ 1 ; Pn;m (t2 ; x; y) = y
n
y
Sn;m(t1; x; y) = x; Sn;m (t2 ; x; y) = y ¡ ¯ 2
m
n ¡ 1 x(bn ¡ 3x)
x2(2n®1 ¡ ¯ 1)
Pn;m (t21 + t22; x; y) = x2 + y2 + ¯21
+ ¯ 21
n
n
n2
y(bm ¡ y)
+¯22
m
x(bn ¡ x)
m ¡ 1 x(bm ¡ 3y)
Sn;m (t21 + t22; x; y) = x2 + y2 + ¯21
+ ¯22
n
m
m
2(2m® ¡ ¯ )
y
2
2
+¯22
m2
d¬r.
Lemmadaki eşitlikler hesaplamalarla gösterilebilir.
Sonuç 4. 1 e benzer şekilde gösterilebilir ki, f 2 Cb (DAB ) veya f 2 CO (DAB) ise,
55
DAB üzerinde
lim Pn;m (f(t2; t2); x; y) = f(x; y)
n!1
m!1
lim Sn;m (f(t2; t2); x; y) = f(x; y)
n!1
m!1
eşitlikleri düzgün olarak sa¼glan¬r.
Teorem 4. 3: f; tüm R20 de sürekli
@f
@f
ve
k¬smi türevleri mevcut ve (Mf ile
@x
@y
Nf ; f fonksiyonuna ba¼gl¬ sabitler olmak üzere)
¯
¯
¯ @f(x; y) ¯
2
2
¯
¯
¯ @x ¯ · Mf (1 + x + y )
¯
¯
¯ @f (x; y) ¯
¯ · Nf (1 + x2 + y2)
; ¯¯
@y ¯
(4.41)
@f
@f
ve
; R20 de s¬n¬rl¬) olan bir fonksiyon olsun. Bu takdirde aşa¼
g¬daki lim@x
@y
itler key…
(veya
A > 0; B > 0 için DAB üzerinde düzgün olarak mevcuttur.
@f
@f(x; y)
Bn;m(f ; x; y) =
@x
@x
@f
@f(x; y)
lim
B
(f
;
x;
y)
=
n;m
n!1
@y
m!1 @y
lim
n!1
m!1
(4.42)
(4.43)
·
Ispat:
n P
m @f(U k(x); V j (y))
P
@f
n
m
Bn;m(f; x; y) = ®1
© k;j
n;m(x; y)
k
@x
@Un (x)
k=0 j=0
bn j
k
; Vm (y)) ¡ f(Unk(x); Vmj (y))
n¡1
m f (Un (x) + ¯ 1
PP
n
+¯1
:©k;j
n;m (x; y)
b
n
k=0 j=0
¯1
n
= qn;m (x; y) + rn;m (x; y)
qn;m(x; y) = ®1Bn;m (
56
@f (t1 ; t2)
; x; y)
@t1
olup, Lemma 4. 1 in şartlar mevcut oldu¼gundan Sonuç 4. 1 den
lim q (x;
n!1 n;m
m!1
y) = ®1
@f(x; y)
@x
eşitli¼gi düzgün olarak sa¼glan¬r. O halde her " > 0 ve her n > n0 için
¯
¯
¯
¯ "
@
f(x;
y)
¯qn;m (x; y) ¡ ®1
¯<
¯
@x ¯ 2
(4.44)
olacak şekilde bir n0 2 N say¬s¬ vard¬r.
rn;m(x; y) = ¯1 Pn;m(
şeklinde yaz¬labilir.
f (t1 + ¯1 bnn ; t2) ¡ f (t1; t2)
; x; y)
¯ 1 bnn
@f
mevcut oldu¼gundan her (hn ), lim hn = 0 dizisi için,
n!1
@x
f(t1 + hn; t2) ¡ f(t1; t2 ) @f(t1; t2 )
=
n!1
hn
@t1
lim
olur. hn = ¯1
n > n1 için
bn
al¬nd¬¼g¬nda da ayn¬ eşitlik mevcuttur. Böylece her " > 0 ve her
n
¯
¯
¯ f(t + ¯ bn ; t ) ¡ f(t ; t ) @ f(t ; t ) ¯
"
¯ 1
2
1
2
1n
1
2 ¯
¡
<
¯
¯
b
¯
¯ 4¯1
@t1
¯ 1 nn
(4.45)
olacak şekilde bir n1 2 N say¬s¬ vard¬r.
Yine her " > 0 ve her n > n2 için
¯
¯
¯
¯
@f(t
;
t
)
@f
(x;
y)
1
2
¯P n;m(
¯< "
;
x;
y)
¡
¯
@t1
@x ¯ 4¯ 1
(4.46)
olacak şekilde bir n2 2 N say¬s¬ vard¬r.
b
f (t1 + ¯ 1 n ; t2) ¡ f(t1; t2 )
@f (x; y)
n
rn;m (x; y) ¡ ¯1
= ¯1 [Pn;m (
; x; y)
bn
@x
¯1
n
57
@f (t1; t2)
; x; y)
@t1
@f (t1 ; t2)
@f (x; y)
+Pn;m(
; x; y) ¡
]
@t1
@x
¡Pn;m (
yaz¬labilece¼ginden;
¯
¯
¯
¯
bn
¯
¯
@f(x;
y)
¯rn;m (x; y) ¡ ¯ 1
¯ · ¯ 1 ¯¯ Pn;m ( f (t1 + ¯ 1 n ; t2) ¡ f (t1; t2) ; x; y)
¯
@x ¯
¯
¯ 1 bnn
¯
¯
@f (t1 ; t2)
¡Pn;m (
; x; y)¯¯
@t1
¯
¯
¯
¯
@f(t
;
t
)
@f(x;
y)
1
2
¯
+¯ 1 ¯¯Pn;m (
; x; y) ¡
@t1
@x ¯
¯
¯
¯ f (t + ¯ bn ; t ) ¡ f (t ; t ) @f(t ; t ) ¯
2
1
2
¯ 1
1
2 ¯
1n
· ¯1 Pn;m(¯
¡
¯ ; x; y)
bn
¯
¯
@t1
¯1 n
¯
¯
¯
¯
@f
(t
;
t
)
@
f(x;
y)
1
2
¯
+¯ 1 ¯¯Pn;m (
; x; y) ¡
@t1
@x ¯
yaz¬labilir. n3 = maxfn1; n2g olmak üzere her " > 0 her n > n3 için (4.45) ve
(4.46) dan
elde edilir.
¯
¯
¯
¯
@f
(x;
y)
¯rn;m (x; y) ¡ ¯1
¯ < ¯ 1( " ) + ¯ 1( " ) = "
¯
@x ¯
4¯1
4¯ 1
2
¯
¯ ¯
¯ @f
¯ ¯
@
f(x;
y)
¯ Bn;m(f ; x; y) ¡
¯ = ¯ qn;m(x; y) ¡ ®1 @f (x; y)
¯ @x
@x ¯ ¯
@x
¯
@f (x; y) ¯¯
+rn;m (x; y) ¡ ¯1
@x ¯
¯
¯
¯
¯
@f
(x;
y)
¯
· ¯¯qn;m(x; y) ¡ ®1
¯
@x
¯
¯
¯
¯
@f (x; y) ¯
+ ¯¯rn;m (x; y) ¡ ¯1
@x ¯
olup, n4 = maxfn 0; n 3g olmak üzere her " > 0 her n > n4 için
(m ! 1 iken ) (4.44) ve (4.47) den
¯
¯
¯ @f
¯ " "
@f
(x;
y)
¯ Bn;m (f; x; y) ¡
¯< + ="
¯ @x
@x ¯ 2 2
58
(4.47)
elde edilir. Böylece (4.42) ispatlanm¬ş oldu.
n P
m @f (U k (x); V j (y))
P
@f
n
m
Bn;m (f; x; y) = ®2
©k;j
n;m (x; y)
k(x)
@y
@U
k=0 j =0
n
bm
k
j
k
j
n m¡1
P
P f(Un (x); Vm (y) + ¯ 2 m ) ¡ f (Un (x); Vm (y)) k;j
+¯2
:©n;m (x; y)
bm
k=0 j=0
¯2
m
= sn;m (x; y) + zn;m(x; y)
s n;m(x; y) = ®2Bn;m (
@ f(t1; t2)
; x; y)
@t1
şeklinde yaz¬labilir. Sonuç 4. 1 in şartlar¬ mevcut oldu¼gundan, Lemma 4. 1. de kullan¬larak
lim s (x; y) = ®2
n!1 n;m
m!1
@f (x; y)
@y
eşitli¼ginin düzgün olarak sa¼gland¬¼g¬ görülür. O halde her " > 0 ve her
m > m0 için (n ! 1 iken)
¯
¯
¯
¯
¯ sn;m (x; y) ¡ ®2 @f(x; y) ¯ < "
¯
@y ¯ 2
olacak şekilde bir m0 2 N say¬s¬ vard¬r.
zn;m(x; y) = ¯ 2Sn;m(
şeklinde yaz¬labilir.
bm
) ¡ f(t1; t2)
m
; x; y)
bm
¯2
m
f(t1; t2 + ¯2
@f
mevcut oldu¼gundan, her (hm ), lim hm = 0 dizisi için
m!1
@y
f (t1 ; t2 + hm ) ¡ f (t1 ; t2) @f (t1 ; t2)
=
m!1
hm
@t2
lim
59
(4.48)
olur. hm = ¯ 2
bm
al¬nabilir. Böylece her " > 0 ve her m > m1 için
m
¯
¯
¯
bm
¯
¯ f(t1; t2 + ¯ 2 ) ¡ f(t1; t2 ) @f (t ; t ) ¯
"
¯
1
2 ¯
m
¡
<
¯
¯
b
¯
¯ 4¯ 2
@t2
¯
¯2 m
¯
m
(4.49)
olacak şekilde m1 2 N say¬s¬ vard¬r.
Yine her " > 0 ve her m > m2 için (n ! 1 iken)
¯
¯
¯
¯
@f(t
;
t
)
@f(x;
y)
1
2
¯ Sn;m (
¯< "
;
x;
y)
¡
¯
@ t2
@y ¯ 4¯ 2
(4.50)
olacak şekilde bir m2 2 N say¬s¬ vard¬r.
b
f (t1 ; t2 + ¯ 2 n ) ¡ f(t1; t2 )
@f(x; y)
n
zn;m (x; y) ¡ ¯ 2
= ¯ 2[Sn;m(
; x; y)
bm
@y
¯2
m
@f (t1 ; t2)
¡Sn;m (
; x; y)
@t2
@f(t1; t2 )
@f (x; y)
+Sn;m(
; x; y) ¡
]
@t2
@y
yaz¬labilece¼ginden
¯
b
¯
¯
¯
¯
f(t1; t2 + ¯ 2 n ) ¡ f(t1; t2 )
¯
¯
@f
(x;
y)
n
¯ zn;m(x; y) ¡ ¯ 2
¯ · ¯ 2 ¯¯Sn;m(
¯
bn
@y ¯
¯
¯
¯2
¯ n
¯
@f (t1 ; t2)
¡
; x; y)¯¯
@t2
¯
¯
¯
¯
@f(t
;
t
)
@f
(x;
y)
1
2
¯
+¯ 2 ¯¯Sn;m(
; x; y) ¡
@t2
@y ¯
¯
¯
¯ f(t ; t + ¯ bn ) ¡ f(t ; t ) @f (t ; t ) ¯
1
2
¯ 1 2
1
2 ¯
2 n
· ¯ 2Sn;m (¯
¡
¯ ; x; y)
bn
¯
¯
@t2
¯2 n
¯
¯
¯
@f (t1; t2)
@f (x; y) ¯¯
+¯2 ¯¯Sn;m (
; x; y) ¡
@t2
@y ¯
yaz¬labilir. m3 = fm1; m2g olmak üzere her " > 0 ve her m > m3 için
60
(n ! 1 iken) (4.51) ve (4.52) den
elde edilir.
¯
¯
¯
¯
¯zn;m (x; y) ¡ ¯2 @f (x; y) ¯ < ¯ 2 " + ¯ 2 " = "
¯
@y ¯
4¯ 2
4¯2
2
¯
¯
¯ @f
¯
@f(x;
y)
¯ Bn;m (f; x; y) ¡
¯ =
¯ @y
¯
@y
(4.51)
¯
¯
¯sn;m (x; y) ¡ ®2 @f(x; y)
¯
@y
¯
@f(x; y) ¯¯
+z n;m(x; y) ¡ ¯ 2
@y ¯
¯
¯
¯
@f(x; y) ¯¯
¯
· ¯sn;m (x; y) ¡ ®2
@y ¯¯
¯
¯
@f(x; y) ¯¯
+ ¯¯zn;m (x; y) ¡ ¯ 2
@y ¯
olup, m4 = maxfm0 ; m3g olmak üzere her " > 0 ve her m > m4 için
(n ! 1 iken) (4.50) ve (4.53) den
¯
¯
¯ @f
¯ " "
@f
(x;
y)
¯ Bn;m (f; x; y) ¡
¯< + ="
¯ @y
@y ¯ 2 2
elde edilir. Böylece (4.45) ispat edilmiş oldu.¥
Sonuç 4. 2: DAB bölgesinde f 2 Lip2;C ® (0 < ® < 1) ise, yeter derecede büyük
n ve m ler için
®
bn bm
jBn;m(f; x; y) ¡ f (x; y)j · C:( +
)2
n
m
(4.54)
d¬r.
I·spat: (2.17) ve Teorem 4.1 den elde edilir.
Sonuç 4. 3: DAB bölgesinde f;
@f @f
(2)
;
2 Lip(1)
2;M ® \ Lip2;M ®
@ x @y
(0 < ® < 1) ise, bu takdirde yeter derecede büyük n ve m ler için
2
3
®
1+®
b
b
b
b
jBn;m (f; x; y) ¡ f (x; y)j · M: 4( n + m ) 2 + ( n + m ) 2 5
n
m
n
m
61
(4.55)
d¬r.
I·spat: (2.18) ve Teorem 4. 2 den elde edilir.
4.3. Örnek
Örnek: f(x; y) =
bn =
p
1
1
1
(x10 + y10 + x) fonksiyonuna ®1 = ®2 = ; ¯ 1 = ¯ 2 = ;
100
2
2
p
n olmak üzere (4.6) polinomlar¬yla [0; 2] £ [0; 2] bölgesinde
(n; m) = (4; 4); (6; 6); (8; 8); (10; 10) için gra…klerini çizip yaklaş¬m¬ inceliyelim.
62
aaa
63
aaa
64
65
KAYNAKLAR
Altomare, F. and Campiti, M., (1993), Korovkin-type Approximation Theory and
its Applications. Walter de Gruyter, Berlin, New York.
E. A. Gadjieva, E. ·Ibikli, (1995), On Generalization of Bernstein-Chlodowsky Polynomials, Hacettepe Bulletin of Natural Sciences and Engineering /Volume
24/pp. 31-40.
E. ·Ibikli, E. A. Gadjieva, (1995), The Order of Approximation of some Unbounded
Functions by the Sequence of Positive Linear Operators, Turkish J.of Math.
Vol:19, No: 3.
E. ·Ibikli, (1997), Bernstein-Chlodowsky Polinomlar¬yla A¼
g¬rl¬kl¬ Yaklaş¬m, Sakarya
Matematik Sempozyumu, Adapazar¬.11-13 Eylül.
Erwin Kreyszig, (1978), Introductory Functional Analysis with Applications, Toronto.
A. D. Gadjiev, R. O. Efendiev, E. I· bikli, (1998), Generalized Bernstein-Chlodowsky
Polynomials, Rocky Mountain Journal of Mathematics, Vol: 28, No:4.
Korovkin, P. P, (1960), Linear Operators and Approximation Theory, Hindustan
Publishing Corp., Delhi.
H. H. Hac¬saliho¼glu and A. Hac¬yev, (1995), Lineer Pozitif Operatörler Dizilerinin
Yak¬nsakl¬¼g¬, Ankara.
A. Gadjiev and E. ·Ibikli, (1999), The Weighted Approximation by Bernstein-Chlodowsky Polynomials. Indian J. Pure Appl. Math., 30(1): 83-87, January.
Lorentz, G. G., ( 1953), Bernstein Polynomials, Univ. of Toronto Press., Toronto.
Lorentz, G. G. , (1966), Approximation of Functions, Syracuse Univ. , Toronto.
Butzer, P. L. (1954), On the Extension of Bernstein Polynomials to the In…nite In66
terval, Proc. Amer. Math. Soc., 5,pp. 547-553.
Butzer, P. L. and Nessel. R. J. (1971), Fourier Analysis and Approximation, New York.
Mehmedov, R. (1967), Fonksiyonlar¬n Lineer Pozitif Operatörler ile Yak¬nlaşmas¬,
Bakü.
Martinez, F. L. (1989) Some Properties Of Two-Dimensional Bernstein Polynomials.
Journal of Approximation Theory, 59, 300-306.
Volkov, V. I. (1957), On the convergence of sequences of linear positive operators in
the space of two variables. Dokl. Akad. Nauk. SSSr(N.S), 115, 17-19.
Eisenberg, S. and Wood, B. (1972), Approximation of analytic functions by Bernstein
Type operators, Journal of Approximation Theory, 6; 242-248.
Bohman, H. (1952) On approximation of continuous and of analytic functions, Ark.
Mat. , 2; 43-52.
Musayev, B. ve Alp, M.(2000) Fonksiyonel Analiz, Balc¬ Yay¬nlar¬, Mithatpaşa C.
No: 43/8 K¬z¬lay/ANKARA.
Bernstein, S. N. (1912/13) Demonstration du Th·eoreme de Weierstrass fond·ee sur le
calcul des probabilites.
· Comm. Soc. Math. Vol: 13, P: 1-2.
67
ÖZGEÇMI· Ş
0
1965 Y¬l¬nda Midyat0 ta do¼gdu. ·Ilk, Orta ve Lise Ö¼grenimini Midyat ta tamam0
lad¬. 1988 y¬l¬nda Gazi Üniversitesi Gazi E¼gitim Fakültesi Matematik Bölümü nden
mezun oldu. Şubat 1989-Şubat 1994 aras¬nda Milli E¼gitim Bakanl¬¼g¬; Ba¼
glum ·Ilkö¼
gre0
tim Okulu nda (Keçiören/ Ankara) ö¼gretmen olarak çal¬şt¬. Şubat 1994 te Harran
0
Üniversitesi Fen ve Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü nde Araşt¬rma Görevlisi
olarak göreve başlad¬. 1996 y¬l¬nda Yüksek Lisans ö¼grenimini, Harran Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü0nde tamamlad¬.
0
Halen Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Bölümü nde Doktora
çal¬şmas¬ yapmak üzere Araşt¬rma Görevlisi olarak çal¬şmaktad¬r.
68