öss matematik türev fasikülü 1

ÖSS
MATEMATİK
TÜREV FASİKÜLÜ
1
Hazırlayan : Ömer Kasap
ÖSS – TÜREV KONU ANLATIMI
1
Hazırlayan : Ömer Kasap
ÖSS – TÜREV KONU ANLATIMI
2
Tanım :
olmak üzere ;
a, b
f: [a,b] ￫ R fonksiyonu verilmiş olsun.
x0
(a, b)
için xlimx0
f ( x)
x
f ( x0 )
limiti reel
x0
sayı ise , bu limite f fonksiyonunun x0 noktasındaki
df
dy
f
'(
x
),
(
x
),
0
0
türevi denir.
dx
dx şekillerinde ifade edilebilir.
f:R￫R , f ( x)
x 2 fonksiyonunun x=3
noktasındaki türevini bulalım.
Bu soruyu türevin tanımını kullanarak çözeceğim.
Genel bağıntı xlimx0
f ( x)
x
f ( x0 )
olduğuna göre :
x0
f ( x) f (3) x 2 f (3)
lim
x 5
x 3
x 3
x 2 32 ( x 3)( x 3)
(x
x 3
( x 3)
Hazırlayan : Ömer Kasap
ÖSS – TÜREV KONU ANLATIMI
3)
6
3
Sağdan & Soldan Türev :
f: [a,b] ￫ R fonksiyonu verilmiş olsun.
x0
(a, b)
Sağdan Türev :
f ( x)
lim
x x
x
0
f ( x0 )
limiti eğer bir reel sayı ise , bu
x0
limit değerine f fonksiyonunun
x0
noktasındaki sağdan
türevi denir.
Soldan Türev :
lim
x
x0
f ( x)
x
f ( x0 )
limiti eğer bir reel sayı ise , bu
x0
limit değerine f fonksiyonunun
x0
noktasındaki soldan
türevi denir.
Hazırlayan : Ömer Kasap
ÖSS – TÜREV KONU ANLATIMI
4
1. f '( x0
türevlidir.
)
2. f fonksiyonu
süreklidir.
f '( x0 )
x0
ise f fonksiyonu
noktasında türevli ise
x0
x0
noktasında
noktasında
3. f fonksiyonu x0 noktasında sürekli olduğu halde ,
noktasında türevli olmayabilir.
x0
Türev Alma Kuralları :
1)Sabit fonksiyonun türevi :
f : R ￫ R , f(x)=c=R ise f’(x)=c’= 0
2) Kuvvetin Türevi :
f:R￫R
f ( x)
xn
f '( x)
(n).x ( n
1)
Hazırlayan : Ömer Kasap
ÖSS – TÜREV KONU ANLATIMI
5
3)İki Fonksiyonun Toplamının & Farkının Türevi :
f : R ￫ R ve g : R ￫ R ; türevlenebilen fonksiyonlar olmak
üzere ;
[ f ( x)
g ( x)]'
f '( x)
g '( x)
4)Çarpımın Türevi :
Sabit sayı ile çarpım ise ;
f:R￫R ,c
[c. f ( x)]'
R
c. f '( x)
İki fonksiyonun çarpımı ise ;
[ f ( x).g ( x)]'
f '( x).g ( x)
Hazırlayan : Ömer Kasap
ÖSS – TÜREV KONU ANLATIMI
f ( x).g '( x)
6
5) Bölümün Türevi :
f ( x)
f '( x).g ( x) f ( x).g '( x)
[
]'
g ( x)
[ g ( x)]2
g ( x) 0
6) Mutlak Değer Fonksiyonlarının Türevi :
y = | f(x) | ise
f ( x)
0
ise
y'
f ( x)
0
ise
y'
f '( x)
f '( x)
olur.
NOT:
Mutlak değer fonksiyonunun içini sıfır yapan
noktalarda türev yoktur.(Çift katlı kökler hariç)
Hazırlayan : Ömer Kasap
ÖSS – TÜREV KONU ANLATIMI
7
6) Signum ( işaret ) Fonksiyonlarının Türevi :
f(x)=sgn [ g(x) ] ise
i)
ii)
g(x) = 0  f’(x)= Yoktur.
g(x)
0  f’(x)= 0
7) Tam Değer ( Kısım ) Fonksiyonlarının Türevi :
f ( x)
i) g(x)
ii) g(x)
g ( x)
ise ;
Z ise f’(x) yoktur.
Z ise f’(x) = 0 dır.
8) Bileşke Fonksiyonlarının Türevi :
h( x )
h '( x)
fog ( x) f [ g ( x)]
g '( x). f '[ g ( x)]
Hazırlayan : Ömer Kasap
ÖSS – TÜREV KONU ANLATIMI
8
8) Köklü Fonksiyonlarının Türevi :
f ( x)
f ( x)
f '( x)
n
m
[ g ( x)]
[ g ( x)]
ise ;
m
n
m
(
1)
m
n
[ g ( x)]
.g '( x)
n
olur.
9) Logaritma Fonksiyonlarının Türevi :
f ( x)
f '( x)
log a x olsun ;
1
log a e
x
ln x
1
f '( x)
log e e
x
1
x.ln a
olur.
f ( x)
1
x
Hazırlayan : Ömer Kasap
ÖSS – TÜREV KONU ANLATIMI
9
10) Üstel Fonksiyonların Türevi :
f ( x)
ex
x
f '( x)
e
f ( x)
ax
f '( x)
x
a .ln a
g ( x)
u
f ( x)
au
f '( x)
u '.a u .ln a
11) Trigonometrik Fonksiyonların Türevi :
f ( x)
f ( x)
sin x
cos x
f '( x) cos x
f '( x)
sin x
f ( x)
tan x
f '( x) 1 tan 2 x
f ( x)
cot x
f '( x)
sec 2 x
(1 cot 2 x)
1
cos 2 x
cos ec 2 x
1
sin 2 x
NOT:
Eğer x yerine x ’e bağlı bir u fonksiyonu olsaydı ,
yaptığımız işlemleri u’ nun türevi ile çarpacaktık.
Hazırlayan : Ömer Kasap
ÖSS – TÜREV KONU ANLATIMI
10
12) Ters Fonksiyonların Türevi :
A, B
f
(f
1
:B
1
)'
R, f : A
B
fonksiyonunun tersi
A olsun.
1
f '( x) olur.
13) Ters Trigonometri Fonksiyonların Türevi :
u x ‘ e bağlı bir değişken olmak üzere ;
f ( x)
arcsin u
f '( x)
f ( x)
arccos u
f '( x)
f ( x)
arctan u
f ( x)
arc cot u
Hazırlayan : Ömer Kasap
ÖSS – TÜREV KONU ANLATIMI
u'
1 u2
u'
1 u2
u'
f '( x)
1 u2
u'
f '( x)
1 u2
11
14) Parametrik Fonksiyonların Türevi :
t
olmak üzere , t ye bağlı x = f ( t ) , y = f ( t )
denklemleri ile belirtilen fonksiyonlara parametrik
fonksiyon denir.Parametrik fonksiyonların türevi şu şekilde
bulunur :
dy
dx
dy dt
.
dt dx
dy
dt
dx
dt
y'
x'
15) n. Mertebeden Türevi :
y
f ( x)
dy
f'
1.Mertebeden
dx
d2y
f ''
2.Mertebeden
dx 2
d3y
f '''
3.Mertebeden
3
dx
.
f
n
dny
n.Mertebeden
n
dx
Hazırlayan : Ömer Kasap
ÖSS – TÜREV KONU ANLATIMI
12
16) Logaritmik Türevi :
Bir üstel fonksiyonda taban ve kuvvet x e bağlı birer
fonksiyon ise Logaritmik türev alınır.
y x cos x
y' ?
Bu tip sorularda her iki tarafın ln’i alınır.
İşlem sırası şöyle :
y
x cos x
ln y ln x cos x
y'
[cos x.ln x]'
y
y'
[( sin x) ln x
y
y'
y'
1
cos x. ]
x
cos x
( y )[( sin x).(ln x)
]
x
cos x
cos x
( x )[( sin x).(ln x)
]
x
Hazırlayan : Ömer Kasap
ÖSS – TÜREV KONU ANLATIMI
13
17) Kapalı Fonksiyonların Türevi :
F(x,y) = 0 denkleminden y = f ( x ) gibi en az bir
fonksiyon elde edilebiliyorsa F(x,y) = 0 fonksiyonuna
kapalı fonksiyon denir.
Kapalı fonksiyonların türevi ,
y'
dy
dx
Fx
dir.
Fy
Fx : x e göre türev demek ( x değişken y sabit )
Fy : y ye göre türev demek ( y değişken x sabit )
TÜREVİN LİMİT PROBLEMLERİNE UYGULANMASI
L’HOSPİTAL KURALI
lim
x
a
f ( x)
0
ifadesi
g ( x)
0 ya da
belirsizliği şeklinde ise
L’Hospital kuralı uygulanır.
f ve g türevlenebilen fonksiyonlar olsun ;
lim
x
a
f ( x)
0
g ( x) ifadesi 0 ya da
lim
x
a
ise ,
f ( x)
f '( x)
lim
g ( x) = x a g '( x) dır.
Hazırlayan : Ömer Kasap
ÖSS – TÜREV KONU ANLATIMI
14
TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI
Şekildeki y = f ( x ) fonksiyonuna A( x1 , y1 )
noktasından çizilen teğetin eğimi , fonksiyonunun o
noktadaki birinci türevine eşittir.
Teğetin fonksiyonu A( x1 , y1 ) noktasında sürekli
değilse, bu noktada teğetten söz edilemez.
Hazırlayan : Ömer Kasap
ÖSS – TÜREV KONU ANLATIMI
15
A( x1 , y1 ) noktasında ;
Teğetin eğimi = mt
f '( x1 ) dir.
1
m
Normalin eğimi = n
f '( x1 ) olur.
Teğetin Denklemi :
(y
y1 )
f '( x1 ).( x
x1 )
Normalin Denklemi :
(y
y1 )
x3
y
(
1
).( x
f '( x)
x1 )
2 x 1 eğrisi üzerindeki A(1,3)
noktasından çizilen normalin eğimi kaçtır?
Normalin eğimi demek 1. türevinin çarpmaya
göre tersinin (-) ile çarpımıdır.( mT .mN
y'
3x 2
2
f '(1) 3.12
mT 1
mN
1)
2
1
1
Hazırlayan : Ömer Kasap
ÖSS – TÜREV KONU ANLATIMI
16
KARIŞIK ÖRNEKLER
f ( x) ( x
f '( x) ?
f '( x)
f '( x)
f '( x)
3)(2 x 1)
1(2 x 1) ( x 3)(2)
2x 1 2x 6
4x 5
( x3 2)
f ( x)
(2 x 2 1)
f '( x) ?
f '( x)
f '( x)
f '( x)
(3 x 2 )(2 x 2 1) ( x3
(2 x 2 1) 2
(6 x 4
3x 2 4 x 4
(2 x 2 1) 2
2)(4 x)
8 x)
2 x 4 3x 2 8 x
(2 x 2 1) 2
Hazırlayan : Ömer Kasap
ÖSS – TÜREV KONU ANLATIMI
17
fonksiyonunun x = 4 noktasındaki
türevini bulunuz.
f:
f ( x)
x 2 16
Konu anlatım kısmında mutlak değeri söylemiştik.
Hatırlayalım.Mutlak değerin içini sıfır yapan
noktalarda türev yoktu.Yani 4 noktasında türev
yoktur.(İSPAT: Sağdan ve soldan türevler farklıdır.)
6x 2
fonksiyonu için f’(3) ve f’(4) değerlerini
10
bulunuz.
f ( x)
6.3 2
x = 3 için ,
10
2
olduğu için
f '(3) Yoktur.
6.4 2
x = 4 için , 10
13
5
olduğu için
f '(4) 0
Hazırlayan : Ömer Kasap
ÖSS – TÜREV KONU ANLATIMI
18
( x3
f ( x)
5)4
[( x3
f '( x)
x 1
, fonksiyonu için f’(1) kaçtır?
5) 4 ]'
4.(1 5)3 (3.1)
f ( x)
f '( x)
f ( x)
f '( x)
f '( x)
f '( x)
3
3x 2
?
3
3x 2
(3x 2
4.( x3
4.63.3
5)3 .(3 x 2 )
12.63
x
x
x)
1
3
1
( 1)
1
(3x 2 x) 3 .(6 x 1)
3
(6 x 1)
3( 3 (3 x 2
x) 2 )
Hazırlayan : Ömer Kasap
ÖSS – TÜREV KONU ANLATIMI
19
f ( x)
f '(1)
f ( x)
f '( x)
ln( x3
?
5x2 )
ln( x3
5x2 )
3x 2 10 x
x3 5 x 2
13
6
f '(1)
( x2 5 x )
f ( x) 5
f '(0) ?
f ( x)
f '( x)
f '(0)
( x2 5 x )
5
(2 x
5).5
( x2 5 x )
.ln 5
( x 2 5 x 1)
5
Hazırlayan : Ömer Kasap
ÖSS – TÜREV KONU ANLATIMI
.ln 5
20
f ( x) cos 2 ( x 2 16)
f '(4) ?
f ( x)
cos 2 ( x 2 16)
f '( x)
f '(4)
2.cos( x 2 16).( ) sin( x 2 16).(2 x)
2.1.( ).0.8 0
f ( x)
f '( )
4
arctan(sin x)
?
f ( x)
arctan(sin x)
cos x
f '( x)
1 sin 2 x
f '( )
4
2
2
1
1
2
Hazırlayan : Ömer Kasap
ÖSS – TÜREV KONU ANLATIMI
2 2
.
2 3
2
3
21
F ( x, y)
x2
3y2
xy
0,
F ( x, y ) x 2 3 y 2 5 x 3 y xy
dy
2x 5 y
2x y 5
dx
6y 3 x 6y x 3
0
dy
dx
5x 3 y
?
f ( x) x x
f '( x) ?
y
f ( x)
ln y ln x x
y'
x.ln x
y
y'
xx
ln x
y.[ln x 1]
Hazırlayan : Ömer Kasap
ÖSS – TÜREV KONU ANLATIMI
1
x.
x
x x [ln x 1]
22
x 2 16
lim(
)
x 4
x 4
?
Bu tip sorular iki yolla yapılabilir.Birincisi çarpanlarına
ayırma , ikincisi de L’Hospital kuralı.
x 2 16
lim(
)
x 4
x 4
sin 2 x
lim
x 0
x
?
sin 2 x
lim
x 0
x
sin 2.0
0
Hazırlayan : Ömer Kasap
ÖSS – TÜREV KONU ANLATIMI
2x
1
0
0
2.4
8
2.cos 2 x
1
2
23
Şekilde y = f ( x ) eğrisinin bir parçası ile A(1,k)
noktasındaki teğeti olan g ( x ) fonksiyonunun grafiği
verilmiştir.h ( x ) = f ( x ) . g ( x ) ise h’(1) kaçtır ?
2x 6
g(x) in denklemi : g ( x)
A(1,k) g(x) in üstünde olduğundan k=4 olur.
1 noktasındaki g(x) ve f(x) in teğeti -2 dir.
h( x) f ( x).g ( x)
h '( x) f '( x).g ( x) f ( x).g '( x)
h '(1) f '(1).g (1) f (1).g '(1)
h '(1) ( 2).4 4.( 2)
16
Hazırlayan : Ömer Kasap
ÖSS – TÜREV KONU ANLATIMI
24