sayısal analiz vize cevaplar 19/04/2010

SAYISAL ANALİZ VİZE CEVAPLAR 19/04/2010 Soru1’i hiçbir öğrenci yapamadığından puanlama sistemi tüm öğrencilerin lehine olacak şekilde değiştirilmiştir. İlk sorunun puanı 19’a düşürülmüş, 2. Sorunun puanı ise 46’a çıkarılmış, 3. Sorunun puanı aynı bırakılmıştır. 1. Sorunun Cevabı Newton Rapson Yöntemi Kullanılır , x 2 önce ) é ¶ f ( x 1önce ê
¶x 1 ê
ê ¶g ( x 1 önce , x 2 önce ) ê
¶x 1 ë
¶f ( x 1 önce , x 2 önce ) ù
é f ( x 1 önce , x 2 önce ) ù
ú é Dx 1 ù
¶x 2 ê
ú
ú
ú
= - êê
ê
ú
ú
¶g ( x 1 önce , x 2 önce ) ú
ê
ú
ê
D
x g ( x , x ) ú ë 2 û
ë 1 önce 2 önce úû
¶x 2 û
x1sonra= x1önce+ D x1 x2sonra= x2önce+ Dx2 Çözüm: Yukarıdaki denklemin yazılması 10 puan NEWTON RAPSON YÖNTEMİ İLE DOĞRUSAL OLMAYAN DENKLEM SİSTEMİNİN KÖKÜNÜ BULMA 1.iterasyon X1= 6.238 , X2= ­1.857 Hata1= 5.238 , Hata2= 2.857 2.iterasyon X1= 4.168 , X2= ­3.873 Hata1= 2.070 , Hata2= 2.016 3.iterasyon X1= 2.825 , X2= ­3.172 Hata1= 1.343 , Hata2= 0.701 4.iterasyon X1= 2.060 , X2= ­2.811 Hata1= 0.765 , Hata2= 0.360 4.iterasyonda aşağıdaki sonuçlar bulunur: X1= 2.060059 , X2= ­2.811070 Doru sonucun bulunması 9 puan.
2. Sorunun Cevabı Cramer yöntemi: Çözüm: x(1)= 1.000000 , x(2)= ­1.000000 , x(3)= 1.000000 , Her doğru sonuç 7 puan. Gauss Yok Etme Yönetmi: x k=
M ö
1 æ
ç w kN - å w kj x j ÷ (k=M­1, M­2, …..,1)
÷
w kk çè
j = k +1 ø
ÇÖZÜM: Yok etme işlemi sonrası matris (10 puan) w = 1.0000 2.0000 1.0000 0 0 ­2.0000 1.0000 3.0000 0 0 0.5000 0.5000 x(1)= 1.000000 , x(2)= ­1.000000 , x(3)= 1.000000 , Her doğru sonuç 5 puan. Çözüm 3. LAGRANGE YÖNTEMİ İLE EĞRİ UYDURMA KULLANILIR N
P(x)=L1(x) y1+ L2(x) y2+...................... LN(x) yN = å L k ( x ) y k k = 1
Lk(x)=
N (x - x 1 ) (x - x 2 )(x - x 3 ) .......... ... (x - x N )
(x - x i )
=Õ
(x k - x 1 ) (x k - x 2 )(x k - x 3 ) .......... ... (x k - x N ) i =1 (x k - x i )
i ¹ k Çözüm: L(1)= 1.000 L(2)= ­5.000 L(3)= 10.000 L(4)= ­10.000 L(5)= 5.000 Bu polinom değerlerine göre X=5 için Y=266.000000 dir. Doğru yöntem sonucu 5 puan, Y değeri 5 puan, her L değeri 5 puan. Toplam 35 puan.