X - SABİS

TC. SAÜ. FEF. MATEMATİK BÖLÜMÜ
2013–2014 ÖĞR. YILI GÜZ DÖNEMİ
TOPOLOJİ I FİNAL SINAVIDIR.
Sınav Tarihi:
Öğr. No:
Öğr. Adı:
Öğr. Soyadı:
08.01.2014
Notu
SORULAR
1.)
 X ,d 
metrik uzay ve  an n , X de bir dizi olsun. an  a ve an  a ise a  a dır,
gösteriniz.
2.) a) X   ve x0  X için  , X in x0 noktasını kapsayan tüm alt kümelerinin ailesi yani
   A : A   ya da x0  A  olsun.  , X üzerinde topolojik yapı mıdır? Gösteriniz.
b)  X ,  nun kapalı kümelerini belirtiniz.
3.) X  1, 2,3, 4,5 kümesi üzerinde olmak üzere    X , , 1 , 3, 4 , 1,3, 4 , 2,3, 4,5
topolojisi verilsin.
a) Y  2, 4,5 kümesi üzerinde  Y
bünyesel (relatif) topolojisine göre 2, 4,5
noktalarının bütün komşuluklarını yazınız.
b) Y kümesinin  X ,  topolojik uzayına göre içini, dışını ve değme noktalarını bulunuz.
4.)  ve   , X üzerinde iki topoloji ve     olsun. Eğer  X ,  bir Hausdorff uzayı ise
 X ,  
uzayının da bir Hausdorff uzayı olacağını gösteriniz.
5.) a) f : X  Y bire-bir ve sürekli bir fonksiyon, x0  X ve A  X olsun. Eğer x0  A
ise f  x0    f  A  olduğunu gösteriniz.
b)
f : X  Y fonksiyonu sürekli olması için gerek ve yeter şart B  Y için
 
f 1  B   f 1 B olmasıdır, gösteriniz.
Sorular eşit puanlıdır. Sınav Süresi 90 dakikadır.
CEVAPLAR
Başarılar dileriz.