mat.integral. föy.indd

İNTEGRAL - 1
Kurtuluþ Mah. Hakký Yaðcý Cad. - 0276 244 00 83 / UÞAK
İNTEGRAL
U Y A R I
∫ f(x).g(x).dx ≠ ∫ f(x).dx . ∫ g(x).dx
Diferansiyel Kavramı
çarpımı ifade-
leri ayrı ayrı integrallenemezler.
f : A � R, y = f(x) fonksiyonu A da türevlenebilir bir fonksiyon olsun. y nin diferansiyeli dy dir.
dy = f (x).dx
4.
dir.
ı
Belirsiz integralin diferansiyeli integral altındaki ifadeye
eşittir.
d
y = x2 � dy = 2x.dx dir.
∫ f(x).dx
= f(x).dx
y = sinx � dy = ......................
y = lnx � dy = ........................
y = esinx � dy = .......................
Belirsiz İntegral
∫ f(x).dx = x3 + 3x2 – 6x + 4 ise f(5) değeri kaçtır?
Tanım:
F(x) fonsiyonunun türevi f(x) ve diferansiyelide
∫ f(x).dx = F(x)+c
ifadesine belirsiz integral denir.
∫ 3x2.dx = ......................................................................
∫ 4x2.dx = ......................................................................
∫ cosx.dx = ....................................................................
d(F(x)) = f(x).dx
∫ f(x).dx = F(x)+c
F(x) � ilkel fonksiyon
f(x) � integrant
c � integral sabiti denir.
Belirsiz İntegralin Özellikleri
d
dx
1.
Belirsiz integralin türevi integranta eşittir.
d
dx
∫ f(x).dx
= f(x) dir.
2.
∫ a.f(x).dx = a. ∫ f(x).dx
3.
∫ (f(x) + g(x)).dx = ∫ f(x).dx + ∫ g(x).dx
∫ (f(x) – g(x)).dx = ∫ f(x).dx – ∫ g(x).dx
Tüm hakları
’ne aittir.
∫ cos3x.dx
integralinin eşiti nedir?
d
∫ arcsinx.dx
∫ (x2 + 3x + 4).dx = ...............................................................
integralinin eşiti nedir?
∫
2
1 + x2
+
1
sin2x
.dx = ................................................
∫ (3.ex + 3x).dx = ....................................................................
∫
∫
3
�1–x2
.dx = ...................................................................
f(x)
.dx = lnx + 2x2 + c (c sabit) ise f fonksiyonunun
x
x = 1 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
∫
x+1
x2
.dx = ...................................................................
İntegral Alma Kuralları
xn+1
1.
∫ xn.dx =
2.
∫ a.dx = ax + c
3.
∫ ex.dx = ex + c
4.
∫ ax.dx =
5.
∫ sinx.dx = –cosx + c
6.
∫ cosx.dx = sinx + c
7.
∫
8.
∫
9.
∫
10.
∫
1
cos2x
–1
sin2x
1
�1–x2
1
1 + x2
Tüm hakları
n+1
ax
lna
∫ 5cosx.dx = ....................................................................
∫ tan2x.dx integralinin eşiti kaçtır?
+c
+c
.dx = tanx + c
.dx = cotx + c
.dx = arcsinx + c = –arccosx + c
.dx = arctanx + c = –arccotx + c
’ne aittir.
∫
1
�x
+ x . dx integralinin eşiti nedir?
fııı(x) = 10x
f fonksiyonunun A(1, 2) noktasında dönüm noktası vardır.
5
Bu noktadaki teğetinin eğimi
ise f(o) kaçtır?
3
f [a, b] de tanımlı ve her noktada sürekli ve türevli olsun.
b
∫
f(x).dx = F(x) =
a
2
∫
integral denir.
b
a
= F(b) – F(a)
integraline belirli
x2.dx = ........................................................................
0
π/2
∫
cosx.dx = ..................................................................
e3
1
.dx = .....................................................................
x
∫
e2
�
∫
0
b
∫
a
(4x + 3).dx = 45 ve a+b = 3 olduğuna göre, a.b kaçtır?
3x.dx = ......................................................................
π/3
f:R�R
fı(x) = 3x2 + 1 ve f(1) = 4
olduğuna göre, f(7) değeri kaçtır?
1
∫
0
d(arctanx).(x4–1) integralinin eşiti kaçtır?
(2010/LYS)
fıı(x) = 6x – 2
fı(o) = 4
f(o) = 1
koşullarını gerçekleyen f fonksiyonu için f(1) değeri kaçtır?
Tüm hakları
3
∫
2
’ne aittir.
3sin2x.dx +
3
∫
2
3cos2x.dx toplamının eşiti nedir?
UYGULAMA TESTİ - 1
1.
6.fıı(x) = 6x2
d
∫ (x3 + 7x).dx
dx
fı(1) = 2
integralinin sonucu kaçtır? A) x3+6x
B) x3+7x
D) x2+6x
olduğuna göre, f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
x4
5
x4+7
A) + B) C) x4+7
2
3
2
C) x2+7x
E) x3+7
f(1) = 4
D) x4 + 7x + 1
E) x4+5
2
2. f(x) = ∫ d(x2 + 5x – 6) ve f(o) = 6
olduğuna göre, f(1) in değeri kaçtır?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 14
E) 15
7.
∫(x2 – 1) . f(x).dx = x3 – 2x2 + ax
f(o) = 2 olduğuna göre, a kaçtır?
3.
∫ x3.d(lnx)
integralinin sonucu nedir? A) x3+c
4.
1
∫
0
B) x2+c
x4
+c
D) 4
A) 2
B) 1
8. y = f(x) eğrisinin
dir.
2
3
E) –2
noktasındaki teğetinin eğimi 1
E) 1
9. y = f(x) fonksiyonunun A(x, y) noktasındaki teğetinin eğimi y dir.
y = f(x) fonksiyonu B(4, e) noktasından geçtiğine
göre, f(x) fonksiyonu hangisidir?
integralinin sonucu kaçtır? A) ex
π
4
1,
D) –1
x3
C) +c
fıı(x) = 4x olduğuna göre, f(o) kaçtır?
3
E) ln(x3)+c
1
1
2
2
B) –
C) D) A) –
3
3
3
3
arctanx.dy
A) C) 0
B) 0
C) arctanx
B) ex–2
C) ex–3
D) ex – 3
E) ex – 4
D) x3+c
E) x3.dx
π
D) x
E) 2
10. d ∫ x3.dx
5.m2 – n2 = 35 ve
lnm
∫
lnn
integralinin eşiti nedir?
A) 3x2
ex.dx = 5 B) x3
C) 3x2+c
olduğuna göre m.n çarpımı kaçtır? A) 3
Tüm hakları
B) 4
C) 6
’ne aittir.
D) 7
E) 8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
C
C
C
B
E
E
C
E
İNTEGRAL - 2
Kurtuluþ Mah. Hakký Yaðcý Cad. - 0276 244 00 83 / UÞAK
İntegral Alma Yöntemleri
1. Değişken Değiştirme Metodu:
∫ f (x).f(x).dx
ı
∫
tipindeki integrallerin çözümünde kullanılır.
arctanx
1+x2
.dx integralinin sonucu nedir?
f(x) = u dönüşümü yapılır.
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
∫ cos2x.sinx.dx
∫ (x2+1)2.2x.dx
integralinin sonucu nedir?
integralinin sonucu nedir?
∫ �4x2+3 . 8x.dx
∫ esinx.cosx.dx
Tüm hakları
integralinin sonucu nedir?
integralinin sonucu nedir?
’ne aittir.
ln2x
∫
x
∫
4
x.lnx
.dx integralinin sonucu nedir?
.dx integralinin sonucu nedir?
x
∫
∫
.dx integralinin sonucu nedir?
x2+1
∫ tanx.dx
ex – e–x
ex + e–x
integralinin sonucu nedir?
.dx integralinin sonucu nedir?
∫ sin(ax + b).dx =
–1
∫ cos(ax + b).dx =
+1
∫ (tan3x + tanx).dx
integralinin sonucu nedir?
∫ eax+b.dx =
1
a
a
cos(ax + b) + c
sin(ax + b) + c
eax+b + c
a
∫ sin(3x + 4).dx = .................................................................
∫ cos(5x – 2).dx = ................................................................
∫ e7x–4.dx = ............................................................................
f(a) = e3 f(b) = e5 olmak üzere,
1
∫
3x +3.x.dx integralinin sonucu nedir?
2
0
eπ
∫
sin(lnx)
e
π/2
x
b
fı(x)
a
f(x)
∫
.dx integralinin değeri nedir?
(2012-LYS)
f (x)
.dx = ∫ 2.dx eşitliği veriliyor.
[f(x)]2
1
f(o) =
olduğuna göre, f(3) değeri kaçtır?
2
∫
A) –
Tüm hakları
.dx integralinin sonucu nedir?
’ne aittir.
ı
1
4
B)
3
4
C)
3
5
D) –2
E) –1
�π/6
∫
�π/4
2t.dt
7
∫
integralinin sonucu nedir?
1+t4
�49–x2.dx
0
integralinde x = 7sint dönüşümü uygulanırsa hangi integral elde edilir?
(2011-LYS)
Bir f fonksiyonunun grafiğinin x = a noktasındaki teğetinin eği-
∫ x.arctanx.dx
mi 1, x = b noktasındaki teğetinin eğimi ise �3 tür.
f (x) ikinci türev fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli olduıı
a
∫
ğuna göre,
b
9
∫
4
e�x.
B) 1
a
C) 2
D)
1
3
E)
2
3
A) – 1
.dx
�x
integralinde arctanx = u dönüşümü yapılırsa hangi integral elde edilir?
fı(x).fıı(x).dx integralinin değeri kaçtır?
integralinde x = u2 dönüşümü uygulanırsa hangi integral
27
∫
3
1+ �x
3
1– �x
1
.dx
3
elde edilir?
integralinde �x = u dönüşümü yapılırsa hangi integral
elde edilir?
π/6
(2012-LYS)
∫ (arcsinx)2.dx
π/4
(cosx – sinx).dx
integralinde t =
integralinde u = arcsinx dönüşümü uygulanırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
A) ∫ u.sin2 u.du
B) ∫ u.cos2 u.du
D) ∫ u .cosu.du
2
Tüm hakları
∫
C) ∫ u2.sinu.du
E) ∫ u .du
’ne aittir.
2
elde edilir?
π
2
– x dönüşümü yapılırsa hangi integral
UYGULAMA TESTİ - 2
1.
∫ (x2 – x + 2)4 . (2x – 1).dx
1
(2x2 – x)3 + c
4
A)
6.
integralinin sonucu nedir?
B)
1 2
(x – x + 2)5 + c
5
∫ sin2x d(cosx)
1
xcos2x + c
2
D) x cosx + c
B)
C) –sinx +
1
(3x + 2)5 + c
5
1
cos3x + c
3
1
1
C) (3x + 2)4 + c
D)
(3x + 1)4 + c
3
15
1
(3x + 2)5 + c
E)
5
8.
integralinin sonucu nedir?
1
cos3x + c
3
integralinin sonucu nedir?
B)
E) –sinx –
∫ sin2 2x.sin4x dx
sin2x
3 + cos2x
A) ln |3 + cos2x| + c B) ln |cos2x| + c
C) 3ln |3 + cos2x| + c
D) –ln |3 + cos2x| + c
4.
dx integralinin sonucu nedir?
∫
E) –3ln |3 + cos2x| + c
1
x
e
∫
x
1
x
A)x.e + c
D) cosx –
1
cos3x + c
3
integralinin sonucu nedir?
1
sin2 4x + c
4
B)
1
1
sin22x + cosx + c
D) – sin2 2x – cosx + c
3
3
1
E)
sin4 2x + c
4
9.
1
x
dx
∫
integralinin değeri nedir?
3
�a+bx
3
A) �a+bx + c
B) �a+bx + c
3
(a+bx)3 + c
C)
2b
D) B) e + x + c
1
x
1
sin3x + c
3
C) dx integralinin sonucu nedir?
2
B) cosx –
1
sin3x + c
3
1
sin2 2x + sinx + c
A)
4
3.
neye eşittir?
E) x cos2x + c
A) sinx –
1
(3x2 + 2)5 + c
15
A)
∫ f(2x)dx
C) 2x sin2x + c
7.
∫ (3x + 2)4 dx
ise
A) 2x cos2x + c
1
1 2
C) (2x2 – x + 2)5 + c
D)
(x – x + 2)5 + c
5
4
1 2
(x – 2x + 1)5 + c
E)
5
2.
∫ f(x)dx = x.cosx + c
3
2b
3
�(a+bx)2 + c
2
3
(a+bx) 3 + c
2
E)
1
x
C)e + cD) –e + c
1
E) –x.e x + c
π/2
10.
5.
∫ (tan4x + tan2x) dx
1
B) –
tan3x + c
3
1
C) tan2x + tanx + c
3
1
D) tan x +
tanx + c
3
Tüm hakları
E) –
1
tan3x + tanx + c
3
’ne aittir.
0
x
integralinde tan
2
tegral elde edilir?
integralinin sonucu nedir?
1
tan3x + c
A)
3
dx
1 + cosx
∫
A) π/2
∫
0
= t dönüşümü yapılırsa hangi in1
dt
1+t
0
π
∫ dt D) 2
π
∫ dt
C) t
0
∫ dt
B) E) 0
∫
0
1
t.dt
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
A
D
D
A
E
D
E
D
B
İNTEGRAL - 3
Kurtuluþ Mah. Hakký Yaðcý Cad. - 0276 244 00 83 / UÞAK
Kısmi İntegrasyon Yöntemi
∫ f(x).g(x).dx
integralinde
∫ (2x2+5).cos2x.dx
u = f(x)
g(x).dx = dQ
............................
............................
integralini hesaplayınız.
dönüşümü uygulanırsa
∫ u.dQ = u.Q – ∫ Q.du
L
elde edilir.
: Logaritmik Fonksiyon
A : Arcsin, Arccos, Arctan, Arccot
P : Polinomlar
T : Trigonometrik Fonksiyonlar
∫ ln(sinx).cosx.dx
∫
e
1
lnx.dx
∫ x.cosx.dx
integralini hesaplayınız.
Ü : Üstel Fonksiyonlar
∫ e�x.dx
integralini hesaplayınız.
integralini hesaplayınız.
integralini hesaplayınız.
(2011-LYS)
∫ x .e .dx
3
x
integralini hesaplayınız.
∫
1
∫
1
e
e
ln3x.dx = 6 – 2e olduğuna göre,
ln4x.dx integralinin değeri kaçtır?
A) 7e – 16
B) 8e – 18
D) 10e – 26
Tüm hakları
’ne aittir.
C) 9e – 24
E) 11e – 28
Trigonometrik Özdeşliklerden Yararlanarak
İntegral Hesabı
∫ sin x.cos
ise
π/3
∫
0
x.dx integralinde m ve n den herhangi biri tek
sin x + cos x = 1
2
2
π/3
0
özdeşliği kullanılır.
yarım açı formülleri uygulanır.
sin3x
cosx
Tüm hakları
∫
integralinin sonucu nedir?
∫ sin5x.cos3x.dx
∫
cos2x = 1 – 2sin2x
π/4
sin3x.dx
.dx
integralinin sonucu nedir?
integralinin sonucu nedir?
’ne aittir.
integralinde m ve n çift sayı ise
cos2x = 2cos2x – 1
m
0
a)
n
∫ sinnx.cosmx.dx
b)
sin2x.dx
∫ cos22x.dx
∫
sin2x
sin2x
integralini hesaplayınız.
integralini hesaplayınız.
.dx integralini hesaplayınız.
∫ sinax.cosbx.dx
c)
∫ sinax.sinbx.dx
π/4
∫
∫ cosax.cosbx.dx
0
sin2x.sin2x.dx
integralinin sonucu kaçtır?
şeklindeki integrallerde ters dönüşüm formülleri uygulanır.
Ters Dönüşüm Formülleri
cosa.cosb =
1
[cos(a+b) + cos(a–b)]
2
sina.sinb = –
1
[cos(a+b) – cos(a–b)]
2
sina.cosb =
1
[sin(a+b) + sin(a–b)]
2
π/2
∫
0
sin7x.sin5x.dx
4.dx
∫
integralinin sonucu kaçtır?
sin2x.cos2x
integralini hesaplayınız.
π/4
∫
0
Tüm hakları
integralini hesaplayınız.
integralini hesaplayınız.
∫ sin3x.cos2x.dx
∫ sin3x.cos3x.dx
’ne aittir.
cos4x.dx –
π/4
∫
0
sin4x.dx
integralinin sonucu kaçtır?
UYGULAMA TESTİ - 3
1.
∫
2
(x+1).ex.dx
1
B) 2e2–1
A) 2e2
D) e
∫ tan3x.dx
6.
integralinin sonucu kaçtır?
C) 2e2–e
E) 1
integralinin sonucu nedir?
A)tan3x + tanx + c
B) tan2x + x + c
C)tan2x + c
D)
2.
∫ x2.sinx.dx
tan2x
E)
2
tan3x
3
+ ln|cosx| + c
+ ln|cosx| + c
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangi-
sidir?
A)x2.cosx + 2x.sinx + 2cosx + c
7.
B)–x2.cosx + 2x.sinx – 2cosx + c
C)–x2.cosx + 2x.sinx + 2cosx + c
D)x .sinx + 2x.cosx – 2sinx + c
x.lnx.dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangi-
sidir?
A) e2
4
e2+1
B) 4
e–1
D) 4
4.
∫ arctanx.dx
integralinin
sonucu
D) 3�3
E) �3–3
integralinin sonucu aşağıdakilerden han-
1
1
cos5x –
cos3x + c
3
5
A)
B) cos5x + cos3x + c
e2–1
C) 4
e+1
E) 4
C) �3
gisidir?
∫
B) 2
∫ sin5x.dx
8.
1
(tan3x.cot3x).dx integralinin sonucu aşağıdakiler
A) 1
E) x2.cosx – 2x.sinx + x.cosx + c
e
∫
3
den hangisidir?
2
3.
4
C)cos5x + cosx + c
D) 1 cos5x – cos3x + c
5
1
2
E)
cos5x –
cos3x + cosx + c
5
3
aşağıdakilerden
hangisidir?
9.
A) x.arccosx – lnx + c
B) x.arctanx + c
π/6
∫
π/4
sec2x.tanx.dx integralinin sonucu aşağıdakiler-
den hangisidir?
C) x.arctanx + �1–x2 + c
A) 1
B) �3
C) 2�3
D) 2
E) D) x.arctanx – ln(�1–x2) + c
5
2
E) x.arctanx + ln�1+x2 + c
10.
π/4
∫
0
A) 5.
eπ/2
∫
1
A) 1
Tüm hakları
lnx.sin(lnx)
.dx
x
B) 0
cos3x.cosx.dx integralinin değeri kaçtır?
1
B) 3
1
2
1
C) 4
1
D) 5
1
E) 6
integralinin sonucu kaçtır?
C) e2
D) eπ/2–1
’ne aittir.
E) 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
C
B
D
A
E
A
E
A
C
İNTEGRAL - 4
Kurtuluþ Mah. Hakký Yaðcý Cad. - 0276 244 00 83 / UÞAK
Basit Kesirlere Ayırma Yöntemi
∫
ax2 + bx + c
(∆ > 0)
1
1
integralinin sonucu nedir?
x –9
= ......................................................................
x +x
2
1
= ................................................................
x2 – x – 6
∫
.dx tipindeki integraller.
dx
2
= ......................................................................
x –4
2
fı(x)
∫
∫
f(x)
3
x2 – x – 2
.dx = ln(f(x)) + c
.dx integralini hesaplayınız.
∫
2sinx
cos2x + 7cosx + 12
B)
Ax + B
∫
ax2 + bx + c
(∆ > 0)
x+5
x + 4x + 3
2
∫
ex.dx
e2x – 5ex + 6
Tüm hakları
integralinin sonucu kaçtır?
’ne aittir.
.dx
integralinin sonucu nedir?
A)
A
∫
10x
x –x–6
2
.dx tipindeki integraller.
= ...............................................................
.dx
integralinin sonucu nedir?
(1998 - ÖYS)
5x + 2
∫
∫
.dx
x2 – 4
dx
16 + 9x2
.dx
integralinin sonucu nedir?
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3ln|x – 2| + 2 ln|x + 2| + c
B) 5ln|x – 2| – 2 ln|x + 2| + c
C) 2ln|x – 2| + ln|x + 2| + c
D) ln|x – 2| + 3 ln|x + 2| + c
E) 5ln|x2 – 4| + c
C)
dx
∫
ax2 + bx + c
(∆ < 0)
D)
.dx tipindeki integraller.
∫
1+x
2
dx
x2 + 4x + 5
.dx = Arctanx + c
.dx
integralinin sonucu nedir?
x2 + 10x + 28 = ...........................................................
1
Dx2 + Ex + F
(∆ > 0)
.dx tipindeki integraller.
x4 + x x2 + 1
.........
x2 + 2x + 4 = ...............................................................
∫
Ax2 + Bx + C
∫
∫
x3 + x2 + 3
x+1
.dx
integralinin sonucu nedir?
(2007-ÖSS2)
1
x2
0
x+1
∫
A) –
∫
32
1 + 64x2
.dx
.dx
1
+ ln2
2
B) –1 + ln2
D) 2ln2
C) ln2
E) 1 + 2ln2
integralinin sonucu nedir?
E)
∫
Ax + B
ax2 + bx + c
(∆ = 0)
2x
(x + 1)2
Tüm hakları
integralinin değeri nedir?
’ne aittir.
.dx tipindeki integraller.
= ...................................................................
∫
8x
(x – 1)2.(x + 1)
dx
.dx
ÖZEL DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME YÖNTEMİ
1.
�a2 – x2 den başka köklü ifade olmayan integrallerde
x = asint dönüşümü uygulanır.
2.
�x2 – a2
a
cost
4.
∫
dx
sinax
veya
x
=t
2
∫
dx
cosax
Tüm hakları
2
sinx
.dx
integralinin sonucu nedir?
tipindeki integrallerde
2
�1 + t2
x
∫ x . 3�x + 1 . dx
dönüşümü uygulanır.
sinx =
1
∫
de dönüşümü uygulanır.
�a2 + x2 den başka köklü ifade olmayan integrallerde
x = a.tant dönüşümü uygulanır.
t
integralinin eşiti nedir?
den başka köklü ifade bulundurmayan ifadeler
3.
tan
dx
�16 – x2
integralinin sonucu nedir?
x3 + 4
x=
∫
integralinin sonucu nedir?
∫
cosx =
dx =
’ne aittir.
0
2t
1 + t2
1 – t2
1 + t2
2 . dt
1 + t2
integralinin sonucu nedir?
UYGULAMA TESTİ - 4
1.
8
∫
x – 4x – 12
2
.dx
integralinin sonucu nedir?
A) ln|(x + 2) . (x – 6)| + c
|
|
5.
B) ln|(x + 6) . (x – 2)| + c
|
|
|
∫
x2 + 1
.dx
integralinin sonucu nedir?
A) x + 2arctanx + c
B) x – 2arctanx + c
C) x + 2arccotx + c
D) x – 2arccotx + c
7.
E) x + cotx + c
6x
3.
∫
integralinin sonucu nedir?
(x – 2) . (x + 1)
.dx
A) 2ln|x – 2| + 4ln|x + 1| + c
x –1
.dx
∫
B) ln2
1
cosx . sinx
D) 4ln|x – 2| + 2ln|x + 1| + c
E) 2ln|x – 2| + ln|x + 1| + c
4.
∫
integralinin sonucu nedir?
x3 + 2x
A)
B)
C)
D)
E)
Tüm hakları
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
3
integralinin sonucu nedir?
∫
E) ln|sinx| + ln|cosx| + c
dx
9 + 16x2
.dx
integralinin sonucu nedir?
A) arccosx + c
B) arccotx + c
C) arctanx + c
D)
∫
1
arctan
6
E)
7x + 3
.dx
(x – 1)2 . (x + 1)
3x
4
1
4x
arctan
+c
12
3
+c
integralinin sonucu nedir?
A) ln|x + 2| + c
B) ln|x – 1| + 2x + c
C) ln|x – 1| + c
D) ln
x–1
| x+1
|+
8x
x–1
| x+1
|+
1
+c
1–x
5
+c
1–x
E) ln
∫
integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
1 – x4
.dx
A)5ln|x2 + 3) + c
B) 3ln|(1 – x) . (x2 + 1)| + c
| xx ++ 11 | + c
(1 – x).(x + 1)
D)2.ln|
|+c
x+1
C)4.ln
2
2
ln|x| – ln|x2 + 2| + c
E) 3.ln|(x – 1) . (x2 + 1)| + c
[ln|x| – ln|x + 2| + c]
2
’ne aittir.
D) ln
9.
1
ln|x| +
. ln|x2 + 2| + c
4
1
ln|x| –
. ln|x2 + 2| + c
4
[ln|x| + ln|x2 + 2| + c]
1
2
D) ln|tanx| + c
dx
D) ln
C) ln|cotx| + c
B) 4ln|x – 2| – 2ln|x + 1| + c
C) 4ln|x + 1| + 2ln|x + 1| + c
.dx
3
2
B) ln|cosx| – ln|sinx| + c
8.
C) ln
A) ln|sinx| – ln|cosx| + c
2.
2
2
A) ln3
6.
x2 – 1
2
∫
integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
x+1
x–6
C)ln
+ c
D) ln
+c
x–6
x+2
x–2
E) ln
+c
x+6
|
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
D
B
D
B
C
A
D
E
D
10
İNTEGRAL - 5
Kurtuluþ Mah. Hakký Yaðcý Cad. - 0276 244 00 83 / UÞAK
BELİRLİ İNTEGRAL
π/4
∫
F.[a.b] aralığında tanımlı ve integrallenebilir bir fonksiyon
0
b
b
a
a
∫ f(x).dx = F(x)
3tanx.(1 + tan2x).dx
integralinin sonucu kaçtır?
= F(b) – F(a)
Özellikler:
2)
3)
4)
5)
a
∫ f(x).dx = 0
a
b
a
a
b
∫ f(x).dx = – ∫ f(x).dx
a < c < b olmak üzere,
b
b
a
a
b
c
b
a
a
c
∫ f(x).dx = ∫ f(x).dx + ∫ f(x).dx
f(2) = 4
∫ k.f(x).dx = k. ∫ f(x).dx
b
∫ f(x) . g(x).dx
a
≠
b
b
a
a
∫ f(x).dx . ∫ g(x).dx
6)
| ∫ f(x).dx| ≤
7)
f fonksiyonu sürekli ve tek fonksiyon ise
8)
f fonksiyonu sürekli ve çift fonksiyon ise
b
b
a
a
f(–6) = 5 olmak üzere,
∫ f(x).dx
a
a
–a
0
∫ f(x).dx = 2 . ∫ f(x).dx
a
∫ f(x).dx = 0
–a
1)
2
f(x) – x.fı(x)
–6
f2(x)
∫
∫
1
∫
π/4
cos2x.dx
Tüm hakları
integralinin eşiti kaçtır?
dir.
2
π/2
.dx
integralinin sonucu nedir?
’ne aittir.
20
∫
15
f(5x + 10).dx = 10 ise
f(x).dx integralinin eşiti kaçtır?
5
3
4
2
∫
0
–1
3, x > 1
olduğuna göre,
x+1, x ≤ 1
f(x) =
f(x)
3x.f(x).dx integralinin sonucu nedir?
3
y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre,
3
d(f3(x))
–1
f2(x)
∫
.dx
integralinin değeri kaçtır?
(2010-LYS)
3 – x, x < 2
f(x) =
2x – 3, x ≥ 2
3/2
∫
1/2
|x2 – x|.dx
integralinin değeri kaçtır?
için
3
∫
1
f(x + 1).dx integralinin değeri kaçtır?
A) 2
d
dx
B) 4
e2
∫
–π2/4
∫
π/2
|sinx|.dx
Tüm hakları
integralinin eşiti kaçtır?
’ne aittir.
C) 6
arctanx
.dx
lnx
2
�3+1
0
2
∫ (x3 – 3x2).dx +
3π/2
ise,
∫
D) 8
E) 10
integralinin sonucu kaçtır?
(3x – 1).dx
integralinin toplamının sonucu kaçtır?
İntegralin Türevi
2
∫ (7x3 – 14x + 5).dx
F(x) =
integralinin sonucu kaçtır?
–2
–π/2
sinx
x + 16
4
.dx
f(x) çift fonksiyon,
∫
–7
3.f(x).dx
7
∫
0
f(x).dx = 9
olduğuna göre
integralinin değeri kaçtır?
5
–5
0
∫
3
1
7
x
fı(x).fıı(x).dx integralinin eşiti nedir?
Tüm hakları
2x+1
∫
x
dir.
(t3 + 1).dt ise fı(1) değeri kaçtır?
d
dx
2x
∫
x
cost.dt
ifadesinin eşiti nedir?
d1 : y = –2x + 10
d1
d2
1
integralinin türevi
y
f(x)
3
f(x).dx
integralinin sonucu nedir?
π/2
0
∫
u(x)
Fı(x) = f(v(x)) . vı(x) – f(u(x)) . uı((x)
f(x) =
∫
v(x)
’ne aittir.
d2 : y = 3x – 7
olmak üzere,
x
lim
x�3
∫ (t3 + 3t2 + 10).dt
3
x–3
limitinin değeri kaçtır?
UYGULAMA TESTİ - 5
1.
�e
sin(π lnx)
∫
.dx
6.
x
integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
1
1
C) –
π
π
B) –
2
A) –π
1
D) π
2
∫
0
|x2 – x|.dx
A) 0
B) 1
2.
∫
–2012π
1
2
fı
(cos x – πx ).sinx.dx
2
C) E) π
7. f(x) =
2012π
integralinin sonucu kaçtır?
2
2x
d
dx
∫
t.lnt.dt
x
kaçtır?
A) 6
B) 4
B) –2π+1
C) 0
D) π2–1
C) e+1
D) e
E) 2
E) e2+1
y
1
dx
∫
1 + e–x
integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
0
A) 0
B) 1
4. f(x) =
2
∫
–1
A) –1, x ≤ 0
x2 , x > 0
e+1
D) ln
2
C) 2
E) ln(e–1)
olmak üzere,
91
B) 15
101
C) 15
0
–2
f
1
x
2
Yukarıdaki fonksiyon f fonksiyonuna aittir. g(x) =
x
∫
5
f(t).dt
fonksiyonunun yerel maximum nok-
tasının apsisi kaçtır?
A) –3
B) –2
C) 0
D) 1
E) 2
9. f(x) = 2x + 3 olmak üzere,
x2.f(x).dx değeri kaçtır?
91
5
–3
E) 5
olduğuna göre,
8.
5
D) 2
integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) –π–1
3.
3
2
7
∫
34
D) 9
5
17
E) 6
d(f–1(x))
A) –2
dx
1 + e–2
integralinin sonucu kaçtır?
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
10. f(x) = xx olduğuna göre,
5. f(0) = 1 ve f(2) = 4 olmak üzere,
2
∫
0
∫
–1
B) 20
C) 21
’ne aittir.
D) 22
d(f(x)) ifadesinin değeri kaçtır?
A) 0
f2(x).fı(x).dx integralinin değeri kaçtır?
A) 19
Tüm hakları
1
E) 23
B) 1
C) 2
D) –1
E) –2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
C
D
B
C
C
E
C
D
C