Problem Seti 5

PROBLEM SETI· 5
x2
;
x 1
parçal¬ tan¬ml¬ fonksiyonunun
2x + 3;
x<1
x ! 1 iken sa¼
gdan ve soldan limitlerini bulunuz.
Çözüm 1: x < 1 için f (x) = 2x + 3 ise lim ( 2):1 + 3 = 1 bulunur.
Soru 1: f (x) =
x!1
1 için f (x) = x2 ise lim+ (1)2 = 1
x
x!1
Sa¼
gdan ve soldan limitleri var ve eşit oldu¼
gundan bu parçal¬tan¬ml¬fonksiyonun limiti 1’dir.
Kural 1: lim f (x) limitinin mevcut olmas¬ için, a noktas¬nda sa¼
gdan ve
x!a
soldan limitleri mevcut ve eşit olmal¬d¬r.
lim f (x) = lim f (x) = L , lim f (x) = L
x!a+
Soru 2:
x!a
x!a
lim
x! 1
3x2 +2x+1
x2 +4
limitini hesaplay¬n¬z.
Çözüm 2: Pay ve payday¬x2 ’ye bölelim
3x2 +2x+1
x2 +4
x! 1
lim
lim 12
x! 1 x
= lim
x! 1
2
3+ x
+ x12
1+ x42
1
: lim 1
x! 1 x x! 1 x
= lim
Dolay¬s¬yla lim
x! 1
3x2 +2x+1
x2 +4
x2 +x
2
x!0 3x +4x
Soru 3: lim
= 0:0 = 0,
= lim
x! 1
1
x! 1 x
= 2 lim
lim 42
x! 1 x
3+0+0
1+0
= 2:0 = 0
1
2
x! 1 x
= 4 lim
= 4:0 = 0
= 3 bulunur.
limitini hesaplay¬n¬z.
x2 +x
2 +4x
3x
x!0
Çözüm 3: lim
2
x! 1 x
ise, lim
=
(0)2 +(0)
3(0)2 +4(0)
=
0
0
belirsizli¼
gine ulaş¬l¬r.
0
Kural 2: 1
gi, limit yok demek de¼
gildir. Sadece limitin
1 veya 0 belirsizli¼
varl¬g¼¬n¬¬n (ve varsa de¼
gerinin) kesre ba¼
gl¬oldu¼
gunu gösterir.
x2 +x
2
x!0 3x +4x
lim
x(x+1)
x!0 x(3x+4)
= lim
x+1
x!0 3x+4
yaz¬labilir. Buradan lim
= lim
lim x+1
x!0
lim 3x+4
x!0 x!0
=
1
4
bulunur.
x2 + 1
;
x 0
x + 1;
x<0
x = 0 noktas¬nda sürekli oldu¼
gunu gösteriniz.
Soru 4: f (x) =
1
parçal¬tan¬ml¬fonksiyonunun
Çözüm 4: x = 0 için f (x) = (0)2 + 1 = 1 oldu¼
gundan lim f (x) limitinin
x!a
var oldu¼
gunu ve bunun da 1 oldu¼
gunu göstermeliyiz.
lim f (x) = lim+ (0)2 + 1 = 1 ve lim f (x) = lim
x!0+
x!0
x!0
x!0
(0) + 1 = 1 elde edilir.
Böylece fonksiyonun sa¼
gdan ve soldan limiti var ve eşit oldu¼
gundan, bu
fonksiyonun limiti 1’dir.
lim f (x) = 1 = f (0) oldu¼
gundan fonksiyon x = 0 noktas¬nda süreklidir.
x!0
Kural 3: Bir fonksiyonun sürekli olmas¬için, şu üç koşulu sa¼
glamas¬
gerekir:
a)f (a) tan¬ml¬olmal¬d¬r,
b) lim f (x) = lim f (x) olmal¬d¬r
x!a+
x!a
c) lim f (x) = f (a) olmal¬d¬r.
x!a
x+1
x2 ;
sürekli olup olmad¬g¼¬n¬gösteriniz.
;
Soru 5: g(x) =
x>0
x 0
fonksiyonunun x = 0 için
Çözüm 5: lim f (x) = lim (0) + 1 = 1 ve lim f (x) = lim (0)2 = 0 olur.
x!0+
x!0+
x!0
x!0
Sa¼
gdan ve soldan limit de¼
gerleri vard¬r ancak ayn¬ de¼
gildir. Dolay¬s¬yla
parçal¬tan¬ml¬g(x) fonksiyonu x = 0 noktas¬nda sürekli de¼
gildir.
Soru 6: f (x) = x2 +
p
7
x fonksiyonu x = 4 noktas¬nda sürekli midir?
Çözüm 6: x = 4 için f (4) = 16 +
lim+ f (x) = lim+ x2 +
x!4
p
x!4
lim f (x) = lim x2 +
x!4
7
p
x!4
7
p
3 tan¬ml¬d¬r.
x = 16 +
p
x = 16 +
3 ve
p
3 sa¼
gdan ve soldan limiti var ve
ayn¬d¬r.
lim x2 +
x!4
p
7
x = 16 +
p
3 = f (4) oldu¼
gundan bu fonksiyon x = 4 nok-
tas¬nda süreklidir.
Soru 7: g(x) =
sürekli midir?
1
x2
;
x<1
x 1
1
x;
2
fonksiyonu x = 1 noktas¬nda
1
1
Çözüm 7:x = 1 noktas¬nda f (1) =
lim f (x) = lim+
x!1+
x!1
1
x
= 1 oldu¼
gundan tanml¬d¬r.
= 1 ve lim f (x) = lim 1
x!1
x!1
x2 = 0 elde edilir.
Dolay¬s¬yla sa¼
gdan ve soldan limitleri farkl¬oldu¼
gundan bu fonksiyonun x = 1
noktas¬nda limiti yoktur.
8x 16
x!2 x 2
Soru 8: lim
limitini hesaplay¬n¬z.
8x 16
x!2 x 2
x!2
h > 0 için
lim 8x 16
x!2
=
Çözüm 8: lim f (x) = lim
lim x 2
x!2
=
0
0
elde edilir.
lim f (x) yaz¬l¬r. x ! 2’ye giderken h ! 0’a gidece¼
ginden
x!2+h
sa¼
gdan ve soldan limitlerine bakal¬m
8(2+h) 16
h!0 (2+h) 2
= lim
8(2 h) 16
h!0 (2 h) 2
= lim
lim f (x) = lim
x!2+h
lim f (x) = lim
x!2 h
h!0
16+8h 16
2+h 2
8h
h
h!0
8h
h!0 h
= lim
= 8 elde edilir.
= 8 elde edilir.
Sonuç olarak sa¼
gdan ve soldan limitleri var ve ayn¬oldu¼
gundan, bu fonksiyonun limiti vard¬r ve 8’dir.
8x 16
x!2 x 2
lim f (x) = lim f (x) = lim
x!2+
x!2
1
1
x+2
Soru 9: lim f (x) = lim
x! 2 x+2
x! 2
Çözüm 9: lim
1
1
x+2
x! 2 x+2
h > 0 için
lim
x! 2+h
=8
limitini hesaplay¬n¬z.
1
+ 12
( 2)
(
2)+2
x! 2
= lim
f (x) yaz¬l¬r. x !
sa¼
gdan ve soldan limitlerine bakal¬m
lim
f (x) =
x! 2+h
1
lim 4+2h
=
h!0
lim
1
4
1
4
x! 2+h x+2
0
0
sonucu elde edilir.
2’ye giderken h ! 0’a gidece¼
ginden
=
1
+ 12
( 2+h)
(
2+h)+2
h!0
=
=
1
+ 12
( 2 h)
(
2
h)+2
h!0
=
lim
lim
h!0
h
4+2h
h
=
elde edilir.
f (x) =
x! 2 h
lim 4 1 2h =
h!0
1
1
x+2
lim
=
1
1
x+2
lim
x! 2 h x+2
lim
lim
h!0
4
h
2h
h
=
elde edilir.
Sa¼
gdan ve soldan limitleri vard¬r ve ayn¬oldu¼
gundan bu fonksiyonun limiti
vard¬r ve 14 ’tür.
Soru 10: lim f (x) = lim
x!0
x!0
p
4+x 2
x
limit de¼
gerini hesaplay¬n¬z.
3
p
Çözüm 10: lim
x!0
h > 0 için
x!0+h
4+h 4
lim p
h!0 h( 4+h+2)
lim
p
x!0 h
lim
h!0
p
lim
4+x 2
x
=
1
4
4+x 2
x
=
4+x 2
x
= lim
h!0
=
belirsizli¼
gidir.
p
h!0
4+(0+h) 2
(0+h)
,
p
4 + h + 2 ile çarpal¬m
elde edilir. Soldan limite bak¬lacak olursa
= lim
4p h 4
h( 4 h+2)
0
0
1
4
p
4+(0 h) 2
(0 h)
= lim
p
h!0
4 h 2
,
h
p
4
h + 2 ile çarpal¬m
sonucu elde edilir. Sa¼
gdan ve soldan limitleri var ve
ayn¬oldu¼
gundan bu fonksiyonun limiti 41 ’tür.
4