olasılık problemler ıv

ST165-01-02-OLASILIK I
08/11/2012
OLASILIK PROBLEMLER IV
(OLASILIK
1.
X
FONKSYONLARI, OLASILIK YO‡UNLUK FONKSYONLARI VE DA‡ILIM FONKSYONLARI
)
sürekli raslant de§i³keninin olaslk yo§unluk fonksiyonu a³a§da verilmi³tir:
fX (x)
Buna göre,
Çözüm :
P X ≤ b = 2P X > b
= 2x , 0 ≤ x ≤ 1 ise
= 0
, di§er x de§erleri
olacak biçimde bir
b
için
says bulunuz.
Olaslklar:
P X≤b
P X>b
b
Z
=
0
1
Z
=
b
b
2xdx = x2 0 = b2
1
2xdx = x2 b = 1 − b2
olur. Bu durumda,
P X ≤ b = 2P X > b
2
2
b = 2 ∗ (1 − b )
=⇒
r
olarak bulunur.
2.
X
0<b<1
olaca§ için,
b=
r
2
b =
3
2
=⇒
=⇒
b=±
2
3
2
'tür.
3
sürekli raslant de§i³keninin olaslk yo§unluk fonksiyonu a³a§da verilmi³tir:
fX (x)
(a)
a
= ax
, 0 ≤ x ≤ 1 ise
= a
, 1 ≤ x ≤ 2 ise
= a(3 − x) , 2 ≤ x ≤ 3 ise
= 0
, di§er x de§erleri
için
sabitini bulunuz.
(b) Bulunan
a
1
5
5
P
≤ X ≤ /X ≤
2
3
3
de§erini yerine koyarak,
ko³ullu olasl§n bulunuz.
Çözüm :
(a)
X
sürekli raslant de§i³keninin tanm kümesi üzerinden,
alnd§nda bire e³ittir. Bu durumda,
a
fX (x)
olaslk yo§unluk fonksiyonunun integrali
sabiti
+∞
Z
fX (x)dx
=
1 −→ −∞ :
fX (x)dx
=
1
a(3 − x)dx
=
1
=
1
=
1
Alt Snr,
+∞ :
Üst Snr
−∞
1
Z
2
Z
0
fX (x)dx +
1
1
Z
2
Z
axdx +
0
3
Z
fX (x)dx +
2
3
Z
adx +
1
2
1
3
ax2 x2 2
+
ax|
+
a
3x
−
1
2 0
2 2
a
5a
+ a + 3a −
2
2
HACETTEPE ÜNVERSTES, STATSTK BÖLÜMÜ
=⇒
a=
1
2
1
ST165-01-02-OLASILIK I
OLASILIK PROBLEMLER IV
olarak elde edilir. Buna göre,
X
08/11/2012
sürekli raslant de§i³keninin olaslk yo§unluk fonksiyonu:
fX (x)
=
=
=
=
x
2
1
2
3−x
2
0
,
0≤x≤1
ise
,
1≤x≤2
ise
,
2≤x≤3
ise
,
di§er
x
de§erleri için
olarak yazlr.
(b)
fX (x)
olaslk yo§unluk fonksiyonuna göre, ko³ullu olaslk:
Z 1
Z 5/3
x
1
1
5
dx +
dx
≤X≤
2
2
2
3
1/2
1
= Z 1
Z 5/3
5
x
1
P X≤
dx +
dx
3
2
2
0
1
1
x 5/3
x2 5
1
1
1
+ ∗
1
−
∗
−
1
+
4 1/2
2 1
4
4
2
3
5/3 =
2 1
1
5
1
x
x + ∗
−1
+ 4
2
3
4 0
2 1
25
48 = 25
7
28
12
P
1
5
5
≤ X ≤ /X ≤
2
3
3
P
=
=
=
olarak elde edilir.
3.
X
kesikli raslant de§i³keninin olaslk fonksiyonu a³a§da verilmi³tir:
pX (x)
(a)
A
(b)
X 'in
x−1
3
= A
4
= 0
,
x = 1, 2, 3, . . .
,
di§er
x
ise
de§erleri için
sabitinin de§erini bulunuz.
da§lm fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm :
(a)
X
kesikli raslant de§i³keninin tanm kümesindeki tüm de§erlerin olaslklar toplam bire e³ittir.
durumda,
A
Bu
sabiti
+∞
X
pX (x)
=
1
=
1
=
1
x=1
+∞ x−1
X
3
A
4
x=1
0 1 2 3
3
3
3
3
A
+
+
+
+ ...
4
4
4
4
1
A
1 − 34
4A
HACETTEPE ÜNVERSTES, STATSTK BÖLÜMÜ
=
1
−→
=
1
=⇒
3
≤1
4
1
A=
4
oldu§u için
2
ST165-01-02-OLASILIK I
OLASILIK PROBLEMLER IV
olarak elde edilir. Buna göre,
X
08/11/2012
kesikli raslant de§i³keninin olaslk fonksiyonu:
pX (x)
1
4
0
=
=
x−1
3
4
,
x = 1, 2, 3, . . .
,
di§er
x
ise
de§erleri için
olarak yazlr.
(b)
X 'in
da§lm fonksiyonu,
alt snrndan
x
de§erine
FX (x)
FX (x) = P X ≤ x 'tir. FX (x)'i elde etmek
kadar pX (x) olaslk fonksiyonunun toplam
=
=
=
x
X
amacyla,
X 'in
tanm kümesinin
alnr:
pX (t)
t=1
x
X
3 x−1 1 3 0 3 1 3 2
1 3 t−1
=
+
+
+ ... +
4 4
4 4
4
4
4
t=1
x
3 x
1 1− 4
3
=1−
4
4
1 − 34
Buna göre, da§lm fonksiyonu a³a§daki gibi ifade edilir:
FX (x)
X 'in
=
1−
=
=
0
1
x
3
4
,
x = 1, 2, 3, . . .
,
,
x < 1 ise
x → +∞
ise
ise
tanm kümesinin üst snr da§lm fonksiyonuna konuldu§unda, elde edilen de§er bire e³it ol-
maldr. Böylece, bulunan da§lm fonksiyonunun do§ru elde edilip edilmedi§i kontrol edilir:
+∞
3
4
| {z }
FX (+∞) = 1 −
=1
=⇒
(Ko³ul sa§lanm³tr.)
(4+∞ ) de§eri, (3+∞ ) de§erinden
daha hzl büyümektedir. Bu nedenle,
sayi = 0
±∞
4.
X
kuralindan sfra e³it olur.
kesikli raslant de§i³keninin olaslk fonksiyonu a³a§da verilmi³tir:
pX (x)
(a)
a
= 2ax
, x = 1, 2, 3 ise
= a(1 + 2x) , x = 4, 5, 6, 7 ise
= 0
, di§er x de§erleri
için
sabitini bulunuz.
(b) Bulunan
a
de§erini yerine koyarak,
P X =2
olasl§n ve
P X < 3/X ≤ 4
ko³ullu olasl§n
bulunuz.
(c)
X 'in
da§lm fonksiyonunu bulunuz.
(d)
X 'in
da§lm fonksiyonunu yardmyla,
P X≥5
olasl§n bulunuz.
Çözüm :
(a)
X
kesikli raslant de§i³keninin tanm kümesindeki tüm de§erlerin olaslklar toplam bire e³ittir.
HACETTEPE ÜNVERSTES, STATSTK BÖLÜMÜ
Bu
3
ST165-01-02-OLASILIK I
durumda,
a
OLASILIK PROBLEMLER IV
08/11/2012
sabiti
7
X
pX (x)
=
1
a(1 + 2x)
=
1
X
7−3
3
X
2a
x +
a 1 + 2(x + 3)
=
1
=
1
=
1
=
1
x=1
3
X
2ax +
x=1
x=1
7
X
x=4
x=4−3
X
4
3∗4
+
2a
7a + 2ax
2
x=1
4∗5
12a + 7a ∗ 4 + 2a
2
60a
olarak elde edilir. Buna göre,
X
=⇒
a=
1
60
kesikli raslant de§i³keninin olaslk fonksiyonu:
pX (x)
=
=
=
x
30
1 + 2x
60
0
,
x = 1, 2, 3
,
x = 4, 5, 6, 7
,
di§er
x
ise
ise
de§erleri için
olarak yazlr.
(b)
X
kesikli raslant de§i³keninin olaslk fonksiyonuna göre,
1
2
=
P X=2 =
30
15
ve
2
X
x
30
x=1
1
3
∗ (1 + 2)
P 1≤X≤2
2
30
30
P X < 3/X ≤ 4 =
= 3
=
=
=
1
1+2∗4
21
7
X x
P X≤4
∗ (1 + 2 + 3) +
+ p(4)
30
60
60
30
x=1
olarak elde edilirler.
(c)
pX (x)
olaslk fonksiyonu, parçal bir fonksiyondur.
Bu nedenle,
FX (x) = P X ≤ x
da§lm
fonksiyonuda parçal bir fonksiyon olacaktr. Parçal da§lm fonksiyonunu elde etmek için,
pX (x)
olaslk fonksiyonunun her bir parças ayr ayr dü³ünülecektir:
1.
Parça:
FX (x) =
x
X
t=1
pX (t) =
x
X
x ∗ (x + 1)
t
1 x ∗ (x + 1)
=
=
, x = 1, 2, 3
30
30
2
60
t=1
HACETTEPE ÜNVERSTES, STATSTK BÖLÜMÜ
ise
4
ST165-01-02-OLASILIK I
2.
OLASILIK PROBLEMLER IV
08/11/2012
Parça:
FX (x)
x
X
=
pX (t)
t=1
=
x
3
X
X
1 + 2t
t
+
30
60
t=4
t=1
=
FX (3) +
x−3
X
t=4−3
3∗4
+
60
=
x−3
X
t=1
1 + 2(t + 3)
60
7 + 2t
60
x−3
X 1
12
+
t
7 ∗ (x − 3) + 2
60
60
t=1
(x − 3) ∗ (x − 2)
12
1
+
7x − 21 + 2
60
60
2
1
7x − 9 + (x − 3) ∗ (x − 2)
60
=
=
=
x2 + 2x − 3
, x = 4, 5, 6, 7
60
=
ise
Buna göre, da§lm fonksiyonu a³a§daki gibi ifade edilir:
FX (x)
=
=
=
=
X 'in
x ∗ (x + 1)
60
x2 + 2x − 3
60
0
1
,
x = 1, 2, 3
,
x = 4, 5, 6, 7
,
,
x<1
x≥7
ise
ise
ise
ise
tanm kümesinin üst snr da§lm fonksiyonuna konuldu§unda, elde edilen de§er bire e³it ol-
maldr. Böylece, bulunan da§lm fonksiyonunun do§ru elde edilip edilmedi§i kontrol edilir:
FX (7) =
(d)
X 'in
72 + 2 ∗ 7 − 3
=1
60
=⇒
(Ko³ul sa§lanm³tr.)
da§lm fonksiyonu yardmyla,
P X ≥ 5 = 1 − P X ≤ 4 = 1 − FX (4) = 1 −
42 + 2 ∗ 4 − 3
60
=
13
20
olarak elde edilir.
5.
X
sürekli raslant de§i³keninin olaslk yo§unluk fonksiyonu a³a§da verilmi³tir:
fX (x)
=
=
x+3
56
0
, 0≤x≤8
,
di§er
x
de§erleri için
X 'in
da§lm fonksiyonu yardmyla,
Çözüm :
X 'in
da§lm fonksiyonu,
P X ≤ 5/2 ≤ X ≤ 7
ise
FX (x) = P X ≤ x
HACETTEPE ÜNVERSTES, STATSTK BÖLÜMÜ
'tir.
ko³ullu olasl§n bulunuz.
FX (x)'i
elde etmek amacyla,
X 'in
tanm
5
ST165-01-02-OLASILIK I
OLASILIK PROBLEMLER IV
kümesinin alt snrndan
Z
x
de§erine kadar
x
x
Z
fX (t)dt =
FX (x) =
0
0
fX (x)
08/11/2012
olaslk yo§unluk fonksiyonunun integrali alnr:
t+3
1
dt =
56
56
x t2
3x
1 2
x2
+ 3t
+
=
x + 6x
=
2
112
56
112
0
(1)
(1) denklemine göre, da§lm fonksiyonu a³a§daki gibi ifade edilir:
FX (x)
1 2
x + 6x
112
0
1
=
=
=
X 'in
,
0≤x≤8
,
,
x≤0
x≥8
ise
ise
ise
tanm kümesinin üst snr da§lm fonksiyonuna konuldu§unda, elde edilen de§er bire e³it olmaldr.
Böylece, bulunan da§lm fonksiyonunun do§ru elde edilip edilmedi§i kontrol edilir:
FX (8) =
1 2
64 + 48
8 +6∗8 =
=1
112
112
=⇒
(Ko³ul sa§lanm³tr.)
Ko³ullu olaslk:
P 2≤X≤5
F (5) − FX (2)
= X
P X ≤ 5/2 ≤ X ≤ 7 =
=
FX (7) − FX (2)
P 2≤X≤7
1
112
1
112
52 + 6 ∗ 5 −
72 + 6 ∗ 7 −
1
112
1
112
22 + 6 ∗ 2
13
=
25
22 + 6 ∗ 2
olarak elde edilir.
6.
X
sürekli raslant de§i³keninin olaslk yo§unluk fonksiyonu a³a§da verilmi³tir:
fX (x)
(a)
fX (x)'in
, 0 ≤ x ≤ 1 ise
, 1 ≤ x ≤ 2 ise
, di§er x de§erleri
= ax
= a
= 0
olaslk yo§unluk fonksiyonu olmas için
a
sabiti ne olmaldr?
(b) Bulunan
(c)
X 'in
a
de§erini yerine koyarak,
1 1
2
P X≤ / ≤X≤
2 3
3
X 'in
ko³ullu olasl§n bulunuz.
da§lm fonksiyonunu bulunuz.
(d)
için
da§lm fonksiyonu yardmyla,
3
P X≤
2
olasl§n bulunuz.
Çözüm :
(a)
fX (x)'in
olaslk yo§unluk fonksiyonu olabilmesi için,
Z
+∞
(2)
fX (x)dx = 1
−∞
e³itli§i sa§lanmaldr.
(2) denkleminde integralin alnd§
tanm bölgesini ifade etmektedir. Bu durumda,
Z
1
Z
fX (x)dx +
0
a
(−∞, +∞)
aral§,
X
raslant de§i³keninin
sabiti
2
fX (x)dx
=
1
adx
=
1
1
ax2 + ax|21
2 0
=
1
1
1
Z
Z
axdx +
0
2
1
HACETTEPE ÜNVERSTES, STATSTK BÖLÜMÜ
=⇒
a=
2
3
6
ST165-01-02-OLASILIK I
OLASILIK PROBLEMLER IV
olarak elde edilir. Buna göre,
X
08/11/2012
sürekli raslant de§i³keninin olaslk yo§unluk fonksiyonu:
fX (x)
2x
3
2
3
0
=
=
=
,
0≤x≤1
ise
,
1≤x≤2
ise
,
di§er
x
de§erleri için
olarak yazlr.
(b)
fX (x)
olaslk yo§unluk fonksiyonuna göre, ko³ullu olaslk:
Z 1/2
1
1
P
≤X≤
3
2
2
1 1
1/3
= Z 2/3
= P X≤ / ≤X≤
2 3
3
1
2
P
≤X≤
3
3
1/3
1/2
2 2
x2 1
− 13
2
3 1/3
5
=
= 2 2 =
2 2/3
12
2
x 2
xdx
− 13
3
3
3 1/3
2
xdx
3
olarak elde edilir.
(c)
fX (x)
olaslk yo§unluk fonksiyonu, parçal bir fonksiyondur.
da§lm fonksiyonuda parçal bir fonksiyon olacaktr.
için,
1.
fX (x)
FX (x) = P X ≤ x
Parçal da§lm fonksiyonunu elde etmek
olaslk yo§unluk fonksiyonunun her bir parças ayr ayr dü³ünülecektir:
Parça:
x
Z
FX (x) =
Z
x
fX (t)dt =
0
2.
Bu nedenle,
0
2t
2
dt =
3
3
x t2 x2
=
2 0
3
, 0≤x≤1
ise
Parça:
x
Z
FX (x)
=
fX (t)dt
0
Z x
2
2t
dt +
dt
3
1 3
0
x 2t FX (1) +
3 1
Z
=
=
1
12
2
+ ∗ (x − 1)
3
3
2x − 1
, 1≤x≤2
3
=
=
ise
Buna göre, da§lm fonksiyonu a³a§daki gibi ifade edilir:
FX (x)
x2
3
2x − 1
3
0
1
=
=
=
=
X 'in
,
0≤x≤1
ise
,
1≤x≤2
ise
,
,
x<0
x≥2
ise
ise
tanm kümesinin üst snr da§lm fonksiyonuna konuldu§unda, elde edilen de§er bire e³it ol-
maldr. Böylece, bulunan da§lm fonksiyonunun do§ru elde edilip edilmedi§i kontrol edilir:
FX (2) =
(d)
X 'in
2∗2−1
=1
3
=⇒
(Ko³ul sa§lanm³tr.)
da§lm fonksiyonu yardmyla,
3
P X≤
2
3
2∗ −1
3
2
2
= FX
=
=
2
3
3
olarak elde edilir.
HACETTEPE ÜNVERSTES, STATSTK BÖLÜMÜ
7
ST165-01-02-OLASILIK I
7.
X
OLASILIK PROBLEMLER IV
08/11/2012
sürekli raslant de§i³keninin olaslk yo§unluk fonksiyonu a³a§da verilmi³tir:
fX (x)
(a)
X 'in
da§lm fonksiyonunu bulunuz.
(b)
X 'in
da§lm fonksiyonu yardmyla,
x
1 − 500
= 500
e
= 0
P X > 300
,
,
x>0
x≤0
ise
ise
olasl§n bulunuz.
Çözüm :
(a)
FX (x) = P X ≤ x da§lm fonksiyonunu elde etmek amacyla, X 'in tanm kümesinin alt snrndan x
de§erine kadar fX (x) olaslk yo§unluk fonksiyonunun integrali alnr:
− t x Z x
Z x
t x
x
t
1
1 − 500
e 500 − 500
dt =
=
−e
= 1 − e− 500
FX (x) =
fX (t)dt =
e
1 500 − 500
0
0
0 500
0
Buna göre, da§lm fonksiyonu a³a§daki gibi ifade edilir:
FX (x)
X 'in
x
1 − e− 500
0
1
=
=
=
,
,
,
x > 0 ise
x ≤ 0 ise
x → +∞
ise
tanm kümesinin üst snr da§lm fonksiyonuna konuldu§unda, elde edilen de§er bire e³it ol-
maldr. Böylece, bulunan da§lm fonksiyonunun do§ru elde edilip edilmedi§i kontrol edilir:
+∞
FX (+∞) = 1 − e− 500 = 1 − e−∞ = 1 −
1
=1−
e+∞
1
+∞
| {z }
sayi
= 1 =⇒
(Ko³ul sa§lanm³tr.)
= 0 kuralndan
±∞
sfra e³it olur.
(b)
X
sürekli raslant de§i³keninin da§lm fonksiyonu yardmyla,
300
3
P X > 300 = 1 − P X ≤ 300 = 1 − FX (300) = 1 − 1 − e− 500 = e− 5
olarak bulunur.
8. Bir futbol topunun yrtlmadan önce bir takmn maçlarnda kullanlma says,
gösterilmektedir.
X 'in
x
1
pX (x) = B
3
= 0
(a)
B
X
raslant de§i³keni ile
olaslk fonksiyonu a³a§da verilmi³tir:
,
x = 0, 1, 2, 3, . . .
,
di§er
x
ise
de§erleri için
sabitinin de§erini bulunuz.
(b) Bulunan
B
de§erini yerine koyarak,
(c) Futbol topunun
n (n > 0,
X 'in
da§lm fonksiyonunu bulunuz.
tamsay) maçtan fazla oynadktan sonra yrtlmas olasl§n bulunuz.
Çözüm :
(a)
X
kesikli raslant de§i³keninin tanm kümesindeki tüm de§erlerin olaslklar toplam bire e³ittir.
HACETTEPE ÜNVERSTES, STATSTK BÖLÜMÜ
Bu
8
ST165-01-02-OLASILIK I
OLASILIK PROBLEMLER IV
08/11/2012
durumda,
+∞
X
pX (x)
=
1
=
1
=
1
=
1
−→
1
≤1
3
=
1
=⇒
B=
x=0
+∞
X
x
1
3
x=0
0 1 2 3
1
1
1
1
B
+
+
+
+ ...
3
3
3
3
1
B
1 − 31
3
B
2
olarak elde edilir. Buna göre,
X
B
oldu§u için
2
3
kesikli raslant de§i³keninin olaslk fonksiyonu:
pX (x)
2
3
0
=
=
x
1
3
,
x = 0, 1, 2, 3, . . .
,
di§er
x
ise
de§erleri için
olarak yazlr.
(b)
FX (x) = P X ≤ x da§lm fonksiyonunu elde etmek amacyla, X 'in
de§erine kadar pX (x) olaslk fonksiyonunun toplam alnr:
FX (x)
=
=
tanm kümesinin alt snrndan
x
x
X
x
1 x X
2 1 t
2 1 0 1 1 1 2
=
+
+
+ ... +
pX (t) =
3 3
3 3
3
3
3
t=0
t=0
x+1
x+1
1
2 1− 3
1
=1−
1
3
3
1− 3
Buna göre, da§lm fonksiyonu a³a§daki gibi ifade edilir:
FX (x)
X 'in
=
1−
=
=
0
1
x+1
1
3
,
x = 0, 1, 2, 3, . . .
,
,
x < 0 ise
x → +∞
ise
ise
tanm kümesinin üst snr da§lm fonksiyonuna konuldu§unda, elde edilen de§er bire e³it ol-
maldr. Böylece, bulunan da§lm fonksiyonunun do§ru elde edilip edilmedi§i kontrol edilir:
+∞
1
3
| {z }
FX (+∞) = 1 −
=1
=⇒
(Ko³ul sa§lanm³tr.)
(1+∞ ) de§eri, (3+∞ ) de§erinden
daha hzl büyümektedir. Bu nedenle,
sayi = 0
±∞
(c)
X 'in
kuralindan sfra e³it olur.
da§lm fonksiyonu yardmyla,
n+1 n+1
1
1
=
P X > n = 1 − P X ≤ n = 1 − FX (n) = 1 − 1 −
3
3
olarak bulunur.
9.
X
sürekli raslant de§i³keninin olaslk yo§unluk fonksiyonu a³a§da verilmi³tir:
fX (x)
= kx2
= 0
HACETTEPE ÜNVERSTES, STATSTK BÖLÜMÜ
, 0 ≤ x ≤ 1 ise
, di§er x de§erleri
için
9
ST165-01-02-OLASILIK I
(a)
k
OLASILIK PROBLEMLER IV
08/11/2012
sabitinin de§erini bulunuz.
1
3
(b)
P X≤
(c)
X 'in
da§lm fonksiyonunu bulunuz.
(d)
X 'in
da§lm fonksiyonu yardmyla,
olasl§n bulunuz.
P
1
3
≤X≤
1
2
olasl§n bulunuz.
Çözüm :
(a)
X
sürekli raslant de§i³keninin tanm kümesi üzerinden,
alnd§nda bire e³ittir. Bu durumda,
1
Z
k
1
Z
kt2 dt = k
fX (x)dx =
0
0
fX (x)
olaslk yo§unluk fonksiyonunun integrali
sabiti
1 t3 k
= =1
3 0
3
=⇒
k=3
olarak elde edilir.
(b)
X 'in
olaslk yo§unluk fonksiyonu yardmyla,
3 31 3
Z 1/3
Z 1/3
1
x 1
1
P X≤
=
fX (x)dx =
3x2 dx = 3
=
=
3
3
3
27
0
0
0
olur.
(c)
FX (x) = P X ≤ x da§lm fonksiyonunu elde etmek amacyla, X 'in tanm kümesinin alt
de§erine kadar fX (x) olaslk yo§unluk fonksiyonunun integrali alnr:
3 x Z x
Z x
t FX (x) =
fX (t)dt =
3t2 dt = 3
= x3 , 0 ≤ x ≤ 1 ise
3 0
0
0
= 0
, x ≤ 0 ise
= 1
, x ≥ 1 ise
X 'in
snrndan
x
tanm kümesinin üst snr da§lm fonksiyonuna konuldu§unda, elde edilen de§er bire e³it ol-
maldr. Böylece, bulunan da§lm fonksiyonunun do§ru elde edilip edilmedi§i kontrol edilir:
FX (1) = 13 = 1 =⇒
(d)
X
(Ko³ul sa§lanm³tr.)
sürekli raslant de§i³keninin da§lm fonksiyonu yardmyla,
P
1
3
≤X≤
3 3
1
1
1
1
1
1
1
19
=P X≤
−P X ≤
= FX
− FX
=
−
=
2
2
3
2
3
2
3
216
olarak bulunur.
10.
X
kesikli raslant de§i³keninin olaslk fonksiyonu a³a§da verilmi³tir:
pX (x)
(a)
k
(b)
P X≥3
(c)
X 'in
= kx
= 0
, x = 1, 2, 3, 4, 5 ise
, di§er x de§erleri için
sabitini bulunuz.
olasl§n bulunuz.
da§lm fonksiyonunu bulunuz.
(d) b ³kknda belirtilen olasl§ da§lm fonksiyonu yardmyla bulunuz.
(e)
P 3≤X≤4
olasl§n bulunuz.
HACETTEPE ÜNVERSTES, STATSTK BÖLÜMÜ
10
ST165-01-02-OLASILIK I
OLASILIK PROBLEMLER IV
08/11/2012
Çözüm :
(a)
X
kesikli raslant de§i³keninin tanm kümesindeki tüm de§erlerin olaslklar toplam bire e³ittir.
durumda,
k
Bu
sabiti
5
X
5
X
1
5∗6
= 15k = 1 =⇒ k =
pX (x) =
kx = k
2
15
x=1
x=1
olarak elde edilir. Buna göre,
X
kesikli raslant de§i³keninin olaslk fonksiyonu:
pX (x)
=
=
x
15
0
,
x = 1, 2, 3, 4, 5
,
di§er
x
ise
de§erleri için
olarak yazlr.
(b)
X
kesikli raslant de§i³keninin olaslk fonksiyonuna göre,
5
5
X
X
3+4+5
12
x
P X≥3 =
pX (x) =
=
=
15
15
15
x=3
x=3
bulunur.
(c)
FX (x) = P X ≤ x da§lm fonksiyonunu elde etmek amacyla, X 'in
de§erine kadar pX (x) olaslk fonksiyonunun toplam alnr:
FX (x) =
x
X
t=1
pX (t) =
x
X
t
1 x ∗ (x + 1)
=
15
15
2
t=1
=
=
=
X 'in
tanm kümesinin alt snrndan
x ∗ (x + 1)
30
0
1
,
x = 0, 1, 2, 3, . . .
,
,
x < 0 ise
x → +∞
x
ise
ise
tanm kümesinin üst snr da§lm fonksiyonuna konuldu§unda, elde edilen de§er bire e³it ol-
maldr. Böylece, bulunan da§lm fonksiyonunun do§ru elde edilip edilmedi§i kontrol edilir:
FX (5) =
(d)
X 'in
5∗6
=1
30
=⇒
(Ko³ul sa§lanm³tr.)
da§lm fonksiyonu yardmyla,
4
2∗3
=
P X ≥ 3 = 1 − P X < 3 = 1 − P X ≤ 2 = 1 − FX (2) = 1 −
30
5
olarak bulunur.
(e)
X 'in
da§lm fonksiyonu yardmyla,
4∗5
2∗3
7
P 3 ≤ X ≤ 4 = P 2 < X ≤ 4 = P X ≤ 4 − P X ≤ 2 = FX (4) − FX (2) =
−
=
30
30
15
olarak elde edilir.
HACETTEPE ÜNVERSTES, STATSTK BÖLÜMÜ
11