parçalı fonksiyonların bileşkesi temel gökçe

PARÇALI FONKSİYONLARIN BİLEŞKESİ
TEMEL GÖKÇE
PARÇALI FONKSİYONLARIN BİLEŞKESİ
1. Durum : g(x) ≤ 0 olması;
Herhangi iki parçalı fonksiyonun
bileşkelerini bulmak için, bu fonksiyonların
birinin tanım kümesi ile diğerinin değer
kümesinin kesişim aralıklarında bileşke
işlemi uygulanır.
a) x ≤0 iken g(x)= x+4≤0 ⟶x ≤-4 old.
aralık bulunmalı.
ÖRNEK 1:
x ≤-4 için
R den R ye f ve g fonksiyonları için;
f(g(x))= f(x+4)=2(x+4)+3= 2x+11 olur.
x ≤0 ve x ≤-4 ün kesişim aralığı x ≤-4 tür.
O halde
2x+3 , x ≤ 0
b) x >0 iken g(x)= 3x+6 ≤0 ⟶x ≤-2 old.
aralık bulunmalı.
1-4x , x >0
x >0 ve x ≤-2 eşitsizliklerinin kesişimleri
boş kümedir. O halde bu durumlarda bileşke
fonksiyonun kuralı yoktur.
x+4 , x≤0
2. Durum : g(x) > 0 olması;
f(x)=
g(x)=
a) x ≤0 iken g(x)= x+4 >0 ⟶x >-4 old.
aralık bulunmalı.
3x+6 , x >0
x ≤0 ve x >-4 ün kesişim aralığı -4 <x ≤0
dır.
olduğuna göre fog (x) in kuralını bulalım.
O halde
-4 <x ≤0 için
ÇÖZÜM 1:
f(g(x))= f(x+4)=1- 4.(x+4)= -4x -15 olur.
2.g(x) +3 , g(x) ≤ 0
b) x >0 iken g(x)= 3x+6 >0 ⟶x >-2 old.
aralık bulunmalı.
1-4.g(x) ,
x >0 ve x >-2 nin kesişim aralığı x>0 dir.
fog(x)= f (g (x) )=
g(x) >0
O halde
x>0 için
O halde kuralı bulmak için, g(x) ≤0 ve
g(x)>0 durumlarını ayrı ayrı inceleyip,
fonksiyonların alt aralıklarının kesişim
yerlerini bulmalıyız.
f(g(x))= f(x+4)=1- 4.(3x+6)= -12x -23
olur.
~1~
23 Aralık 2011 Cuma
PARÇALI FONKSİYONLARIN BİLEŞKESİ
Kutucuklar içersindeki durumları
birleştirirsek
TEMEL GÖKÇE
ÇÖZÜM 1:
( )+
, g(x) ≥ 0
fog(x)= f (g (x) )=
2x+11
fog(x)=
-4x -15
-12x -23
,
x ≤-4 ise
,
-4 <x ≤0 ise
,
x<0 ise
g(x)+1 ,
g(x) <0
O halde kuralı bulmak için, g(x) ≥0 ve
g(x)<0 durumlarını ayrı ayrı inceleyip,
fonksiyonların alt aralıklarının kesişim
yerlerini bulmalıyız.
1. Durum : g(x) ≥ 0 olması;
bileşke fonksiyonun kuralıdır.
a) x ≥1 iken g(x)= x-3≥0 ⟶x ≥3 old. aralık
bulunmalı.
ÖRNEK 2:
x ≥1 ve x ≥3 eşitsizliklerinin kesişim aralığı
x ≥3 aralığıdır.
R den R ye f ve g fonksiyonları için;
O halde
+
,
x≥0
x ≥3 için,
f(x)=
x+1
,
x -3
f(g(x))= f(x-3)=(
olur.
x <0
,
,
6 + 10
b) x<1 iken g(x)= x-1≥0 ⟶x ≥ 1 old. Aralık
bulunmalı.
x ≥1
x<1 ve x ≥ 1 eşitsizliklerinin kesişimleri boş
kümedir. O halde bu durumlarda bileşke
fonksiyonun kuralı yoktur.
g(x)=
x -1
3) + 1=
x <1
2. Durum : g(x) < 0 olması;
a) x ≥1 iken g(x)= x-3<0 ⟶x <3 old. aralık
bulunmalı.
olduğuna göre fog (x) in kuralını bulalım.
x ≥1 ve x <3 eşitsizliklerinin kesişim aralığı
1≤ x<3 aralığıdır.
O halde
1≤ x<3 için
f(g(x))= f(x-3)=(x-3)+1= x-2 olur.
~2~
23 Aralık 2011 Cuma
PARÇALI FONKSİYONLARIN BİLEŞKESİ
TEMEL GÖKÇE
b) x<1 iken g(x)=x-1<0⟶ x<1 olduğu
aralık bulunmalı.
x<1 ve x<1 eşitsizliklerinin kesiştiği aralık
yine x<1 dir.
O halde
x<1 için
f(g(x))=f(x-1)=x-1+1=x olur.
Kutucuklar içersindeki durumları
birleştirirsek;
fog(x)=
x
,
x <1 ise
x-2
,
1≤x<3 ise
+
,
3≤ x
ise
bileşke fonksiyonun kuralıdır.
~3~
23 Aralık 2011 Cuma