dzdydx

BOLGEDE INTEGRASYON
y=B
x= D
y= A
x =C
∫ ∫ f ( x, y)dxdy ,
A)
Seklindeki integrallerde integral bolgesi bir dikdortgendir.
y B A D C x Bu durumda integrasyon sirasinin bir onemi yoktur. Once x’e gore yada once y’ye gore integral alinsa sonuc ayni olur.
y=B
x= D
x=D
y=B
y= A
x =C
x =C
y= A
∫ ∫ f ( x, y)dxdy = ∫ ∫ f ( x, y)dydx
B)
Integrasyonun x sinirlari sabit ise once y’ye gore integral alinir.
y y=h(x)
C)
y =h ( x )
x= A
y= g ( x )
∫
y=g(x)
x B A x= B
∫ f ( x, y)dydx Integrasyonun y sinirlari sabit ise once x’ye gore integral alinir.
y D x=p(y)
x=q ( y )
y =C
x= p( y )
∫
x=q(y)
x C D)
y=D
∫ f ( x, y)dxdy
Integrasyonun x ve y sinirlari sabit olnuyor ise bolge parcalara ayrilir her parcanin ayri integrali alinir ve toplanir.
y h(x,y)=0
g(x,y)=0
x y= h(x)
HATALI
YAZIMLAR
∫
y= g (x)
y = h ( x )
x= q ( y )
y = g ( x)
x= p ( y )
∫
∫
f ( x , y ) dxdy
x= B
∫
f ( x , y ) dxdy
x= A
seklindeki integraller
,
x = q ( y )
y = D
x = p ( y )
y = C
∫
anlamsizdir, hatalidir.
∫
f ( x , y ) dydx
--------------------------------------------------------- ------------------------------------
Problemin degisik cozumleri mevcuttur.
Cozum 1)
y y=2x2 y=x2 2
y y=2x
y
y=4x P y=x2 B2 B1
x x
x Sorulan integral P alani uzerindeki integraldir. Bu integral P=B1+B2 oldugu aciktir. Dolayisiyla B1 ve B2 yi hesaplar sonra
P= B1+B2 hesaplariz.
Cozum 2)
y y=2x2 y=x2 2
y y=2x
y
y=4x P y=x2 M N
x
x x Sorulan integral P alani uzerindeki integraldir. Bu integral P=M-N oldugu aciktir. Dolayisiyla once N ve M yi hesaplariz
sonra P=M-N yi hesaplariz.
Cozum 2.b)Yukaridaki integralde integral sinirlarini degistirerek once x e sonra y ye gore integral alarak da hesaplayabiliriz.
y x= y / 2 x= y y x= y / 2
y
x=y/4 x= y x=y/4 x=y/4
P M N
x x
x N=
y =8
x= y / 4
y =0
x= y / 2
∫
y =16 x = y / 4
∫ ( x + y + 1)dxdy ,
M=
∫
y =0
∫ ( x + y + 1)dxdy ,
N=13.8667, M=100.2667, P=M-N=86.4
x= y
----------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------Cozum 3)
y=x2 y=2x2 y=2x2
y y y=4x y=4x
J
Q K
x x
Sorulan integral Q alani uzerindeki integraldir. Bu integral P=K+J oldugu aciktir. Dolayisiyla K ve J yi hesaplar sonra
P= K+J yi hesaplariz.
232)Bir cismin agirligi σ(x,y)=x2y olarak degisiyor. Asagidaki noktalardaki agirliklari bulun. A(2,3), B(5,6), C(0,0)
Cevap: A(2,3), x=2, y=3, σ(x,y)= x2y = 223 =12
: B(5,6), x=5, y=6, σ(x,y)= 52 6=150
-------------------- ----------------------------------------------- ---------------------------x=B
Alan=
∫
x= A
y=h(x)
∫ dydx
→ Kutle
,
y=g (x)
Agirlik Merkezi
xM =
yM =
x=B
y=h(x)
x= A
x=B
y=g (x)
y=h(x)
x= A
y=g (x)
∫
∫
M=
x=B
y=h(x)
x= A
y=g (x)
∫
∫ x σ ( x , y ) dydx
∫ σ ( x , y ) dydx
=
x=B
y=h(x)
x= A
y= g (x)
∫
∫ x σ ( x , y ) dydx
M
∫ σ ( x , y ) dydx
x=B
y=h(x)
x=B
y=h(x)
x= A
x=B
y= g (x)
y=h(x)
x= A
y= g (x)
x= A
y=g (x)
∫
∫
∫
y σ ( x , y ) dydx
∫ σ ( x , y ) dydx
=
∫
∫
y σ ( x , y ) dydx
M
UC KATLI INTEGRALLER
x=B
y=h( x)
z=w( x, y )
y =D
x=q ( y ) z =w( x, y )
x= A
y= g ( x )
z=u ( x, y )
y=C
x= p ( y ) z =u ( x, y )
∫
y =4 z
z =8
∫
z =5
∫
∫ f (x, y, z)dzdydx,
x = yz
∫ (xe
∫
2
y =sin( z ) x = y + z
yz
∫
∫
∫
f ( x, y, z)dzdxdy,
z=F
y =n ( z )
z=E
y = m ( z ) x =r ( y , z )
∫
∫
x =t ( y , z )
∫
f ( x, y, z )dxdydz
)
+ cos( xyz) dxdydz
3
Ornek
x =2
J=
y =5 x 2
z = x2 + y
∫ ∫
x =0
∫ (4x
y =4 x
z =1
y =5 x 2
z = x2 + y
2
z + y)dzdydx
integralini hesaplayin.
Cozum
x =2
J=
∫ ∫
x =0
x =2
y =5 x 2
x =0
y =4 x
∫ (4x z + y)dzdydx= ∫ ∫
2
y =4 x
z =1
⎛ z=x + y 2
⎞
⎜
(4x z + y)dz ⎟dydx
∫
⎜ z =1
⎟
⎝
⎠
2
Ic integrali hesaplayalim.
z = x2 + y
z = x2 + y
z = x2 + y
⎛ 2 z2
⎞
2
2 2
⎜
⎟
+
=
+
(
4
x
z
y
)
dz
4
x
yz
=
2
x
z
+
yz
= 2x 2 ( x 2 + y)2 + y( x 2 + y) − 2x 212 + y1
∫z=1
⎜
⎟
z
=
1
2
⎝
⎠ z =1
2
4
2
2
2
= 2x ( x + 2x y + y ) + ( yx + y 2 ) − (2x 2 + y) = 2x6 + 4x 4 y + 2x 2 y 2 + yx2 + y 2 − 2x 2 − y
Ustte yerine yerlestirelim.
x =2
J=
[
)
y =5 x 2
∫ ∫
x =0
(
(2x6 + 4x 4 y + 2x 2 y 2 + yx2 + y 2 − 2x 2 − y)dydx
y =4 x
⎛ y =5x
⎞
J = ∫ ⎜ ∫ (2x6 + 4x 4 y + 2x 2 y 2 + yx2 + y 2 − 2x 2 − y)dy⎟dx
⎜
⎟
x =0 ⎝ y = 4 x
⎠
y ye bagli ic integrali hesaplayalim
x =2
2
y =5 x 2
∫
(2x6 + 4x 4 y + 2x 2 y 2 + yx2 + y 2 − 2x 2 − y)dy
y =4 x
y =5 x 2
⎛
y2
y3 y 2
y3
y2 ⎞
= ⎜⎜ 2x6 y + 4x 4 + 2x 2 + x 2 + − 2x 2 y − ⎟⎟
2
3 2
3
2 ⎠ y =4 x
⎝
⎛
(5x 2 )2
(5x 2 )3 (5x 2 )2 2 (5x 2 )3
(5x 2 )2 ⎞
⎟
x +
= ⎜⎜ 2x6 (5x 2 ) + 4x 4
+ 2x 2
+
− 2x 2 (5x 2 ) −
2
3
2
3
2 ⎟⎠
⎝
2
3
⎛ 6
(4x)2 2 (4x)3
(4x)2 ⎞
4 (4x)
2 (4x)
2
⎟ =K(x)
x +
− ⎜⎜ 2x (4x) + 4x
+ 2x
+
− 2x (4x) −
2
3
2
3
2 ⎟⎠
⎝
K(x) ifadesi integralde yerine konularak
x =2
J=
∫
K ( x)dx
x =0
Interali hesaplanirsa
J=456.321 bulunur.
]
UC KATLI INTEGRALDE SINIRLAR
--------------------- --------------Aciklamalar
x=3: sayi dogrusu uzerinde bir noktadir
0 3 Tek degiskenli integraller
b
∫
dx = x |ab = b − a
b
x2
1
x dx =
= (b 2 − a 2 )
2 a 2
a
∫
x=3: x,y ekseninde bir dogrudur
y a
b
3 ∫
x a
x=3: x,y,z ekseninde bir duzlemdir
b
∫
z a
b
∫
a
b
y
3 ∫
a
x b
∫
a
Hacim formulu
x = x2
y = f 2 (x ) z = g 2 (x, y )
x = x1
y = f 1 (x ) z = g 1 (x, y )
∫
∫
∫
b
b
b
x n +1
x dx =
n +1 a
1
∫ x dx = ln x
n
b
a
a
b
(ax + b) n +1
(ax + b) dx =
a(n + 1) a
n
e px
e dx =
p
b
b
∫
px
a
a
e f(x) f ' (x) dx = e f(x)
b
a
b
1
cos(ax)dx = sin(ax)
a
a
b
1
sin(ax)dx = − cos(ax)
a
a
dz dy dx
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------A)
x= B
y=D
z =F
x= A
y =C
z=E
∫ ∫
∫ f ( x, y, z )dzdxdy ,
Seklindeki integrallerde integral bolgesi bir dikdortgen prizmasidir.
z F E A B x C D
y Bu durumda integrasyon sirasinin bir onemi yoktur. Once x’e gore, once y’ye gore, once z ye gore integral alinsa
sonuc ayni olur.
x=B
y=D
z=F
x= A
y =C
z=E
∫
∫ ∫
f ( x, y, z )dzdxdy =
y=D
z =F x=B
y =C
z =E x= A
∫ ∫ ∫
f ( x, y, z )dxdzdy =
z = F x=B
y=D
z =E x= A
y =C
∫ ∫ ∫
f ( x, y, z )dydxdz
------------------------------- ------------ ----------------------- ----------UC KATLI INTEGRAL UYGULAMALARI
Hacim Hesabi
Hacim=
x=B
y =h( x)
z = w( x, y )
x= A
y = g ( x)
z =u ( x, y )
∫
∫
∫ dzdydx,
z=u(x,y) z = ─∞ dan gelirken hacmi hesaplanacak bolgeye ilk temas eden yuzey denklemi.
z=w(x,y)
hacmi hesaplanacak bolgeden cikip z=+∞ a giderken cikista temas eden yuzey denklemi .
y=g(x) hacmi hesaplanacak bolgenin x-y duzlemindeki izdusumunu alalim. Izdusum bir yuzeydir. y = ─∞ dan
gelirken bu yuzeye ilk temas eden egri denklemi y=g(x) dir.
y=h(x) hacmi hesaplanacak bolgenin x-y duzlemindeki izdusumunu alalim. Izdusum bir yuzeydir. Bu
yuzeyden cikip y = +∞ a giderken cikista temas edilen egri denklemi.
x=A, x=B izdusumun x eksenindeki sinirlari.
ORNEK 435)Sekildeki dikdortgenler prizmasinin hacmini hesaplayin.
z F E C D
A y B COZUM:
x Hacim=
x=B
y =h( x)
z = w( x, y )
x= A
y = g ( x)
z =u ( x, y )
∫
∫
∫ dzdydx,
z bolgeden cikip z=+∞ a giderken cikista temas eden
yuzey z=F duzlemidir. F E z = ─∞ dan gelirken ilk karsilasilan yuzey z=E
duzlemidir. y x x ve y sinirlarini bulmak icin hacmin x-y duzlemindeki izdusumunu aliriz.
z Iki boyutda gosterim D
C
C D
A y
y B A
B x x y yuzeyden cikip y = +∞ a giderken
cikista temas edilen egri y=D
dogrusudur.
D
C
B
A x
y = ─∞ dan gelirken yuzeye ilk
temas eden egri y=C dogrusudur Benzer sekilde x = ─∞ dan gelirken yuzeye ilk temas eden nokta x=A, yuzeyden cikip x=+ ∞ za giderken son
temas noktasi x=B dir.
H=
H=
x=B
y =D
z =F
x=B
y =D
x= A
y=C
z =E
x= A
y=C
x=B
y =D
x=B
x= A
y=C
x= A
∫ ∫
∫ dzdydx= ∫
∫ ∫ (F − E) dydx = ∫
H = (F − E )(D − C)(B − A)
∫
x=B
⎛ z=F ⎞
⎜ ∫ dz ⎟ dydx = ∫
⎟
⎜
x= A
⎝ z =E ⎠
y =D
∫
y=C
(z ) dydx
z =F
z =E
x=B
⎛ y =D ⎞
(F − E)⎜⎜ ∫ dy⎟⎟dx = ∫ (F − E)(D − C)dx
x= A
⎝ y=C ⎠
Ornek: x+y+z=2 , x=0, y=0, z=0 duzlemleri tarafindan sinirlanan dortyuzlu icine yerlestirilen cismin hacim
integralini yazin.
x degiskeni 0<x<2 arasinda degismektedir.
x1=0, x2=2
y degiskeni x ekseni (y=0) ile x+y=2 dogrusu arasinda degismektedir. f1(x)=0. f2(x)=2-x
z degiskeni x-y duzlemi (z=0) ile x+y+z=2 duzlemi arasinda degismektedir. g1(x,y)=0. g2(x,y)=2-x-y
hacim formulu.
------------------------------------------------------- ----------------------------------------------
Hacim=
x=B
y =h( x )
z = w( x, y )
x= A
y = g ( x)
z =u ( x, y )
∫
∫
Agirlik Merkezi
∫ dzdydx,
yM =
yM =
M=
x=B
y=h( x) z=w( x, y )
x= A
x=B
y = g ( x ) z =u ( x , y )
y=h( x)
z=w( x, y )
x= A
y=g ( x)
∫
xM =
→ Kutle
∫
x=B
y =h( x )
z = w( x, y )
x= A
y = g ( x)
z =u ( x, y )
∫
∫
∫σ (x, y, z)dzdydx
∫
∫ xσ ( x , y , z ) dzdydx
∫
∫ σ ( x , y , z ) dzdydx
x= B
y=h ( x) z =w( x, y )
x= A
y = g ( x ) z =u ( x , y )
∫
=
∫
∫ xσ ( x , y , z ) dzdydx
M
z =u ( x , y )
x=B
y=h( x) z=w( x, y )
x=B
y=h( x) z=w( x, y )
x= A
x=B
y = g ( x ) z =u ( x , y )
y=h( x)
z=w( x, y )
x= A
y = g ( x ) z =u ( x , y )
x= A
y=g ( x)
∫
∫
∫
∫ yσ ( x , y , z ) dzdydx
∫
∫ σ ( x , y , z ) dzdydx
=
∫
∫
∫ yσ ( x , y , z ) dzdydx
M
z =u ( x , y )
x=B
y=h( x) z=w( x, y )
x= B
y=h( x) z=w( x, y )
x= A
x=B
y = g ( x ) z =u ( x , y )
y=h( x)
z=w( x, y )
x= A
y = g ( x ) z =u ( x , y )
x= A
y=g ( x)
∫
∫
∫
∫ zσ ( x , y , z ) dzdydx
∫
∫ σ ( x , y , z ) dzdydx
=
∫
∫
∫ zσ ( x , y , z ) dzdydx
M
z =u ( x , y )
---------------------------- ------------------------------------------- --------------------------- ----
Duzlemde Kartezyen ve Kutupsal Koord. Sist.
Duzlemde bir noktanin x,y ile belirtilmesi kartezyen
koordinat sistemi olur.
Bir noktanin r(genlik,uzunluk.mesafe) ve θ (aci) ile
belirtilmesi kutupsal koordinat sistemi olur.
-3
y
r
θ
r= x 2 + y 2
y
θ=tan-1
x
x
4
5
530
3
b)x=-3, y=4, Î r= x 2 + y 2 = (−3) 2 + 42 =5,
y
θ=tan-1 =tan-1(4/(-3)) =180-53.10=1270
x
-1270
-4
d)x=3, y=-4, Î r= x 2 + y 2 = 32 + (−4) 2 =5,
y
θ =tan-1 =tan-1(-4/3) =-53.10=360-53=307
x
tan-1(z): arg tan(z) demektir.
P611) Asagidaki kartezyen koordinat sisteminde verilen
noktalari kutupsal koordinat sisteminde belirtin. a)(3,4)
b)(-3,4), c)(-3.-4), d)(3,-4)
Cozum:
a)x=3, y=4, Î r= x 2 + y 2 = 32 + 42 =5,
y
θ=tan-1 =tan-1(4/3) = 53.10
x
530
5
x=r cos θ
y=r sin θ
2330
2330
3070
3
53
0
5
-4
----------------- ----------------------- --------------------P613) Asagidaki kutupsal koordinat sisteminde verilen
noktalari kartezyen koordinat sisteminde belirtin.
a)(r=3, θ=450) b)(r=3, θ=2250)
c)(r=10, θ=2250), d)(r=10, θ=-600),
Cozum:
a)θ=450, r=3
x= r cos(450) = 3 0.707=2.12
y= r sin(450) = 3 0.707=2.12
2.12
3
450
5
530
2.12
4
1270
-3
c)x=-3, y=-4, Î r= x 2 + y 2 = r= (−3) 2 + (−4) 2 =5,
y
θ=tan-1 =tan-1(-4/(-3)) =180+53.10=2330=360-2330=x
1270
b)θ=2250, r=3
x= r cos(2250) = 3 (-0.707 = - 2.12
y= r sin(2250) = 3 (-0.707) = - 2.12
-2.12
2250
450
3
-2.12
c)θ=2250, r=10
x= r cos(2250) = 10 (-0.707 = - 7.07
y= r sin(2250) = 10 (-0.707) = - 7.07
-7.07
2250
450
450
10
b)Dogru uzerinde orijinden r kadar git ve noktayi bul.
-7.07
3
d)θ=-600, r=10
x= r cos(-600) = 10 0.5 = 0.5
y= r sin(-600) = 10 (-0.86) = - 8.6
0.5
600
-8.6
10
Kutupsal koordinatlarda gosterim:
Kutupsal koordinatlarda verilen bir noktayi koordinat
sisteminde gostermek icin uc turlu yol ile cozebiliriz.
Birinci yol: onceki problemde oldugu gibi kartezyen
koordinat sistemine cevir ve x,y noktalarini bul.
450
P618) Asagidaki kutupsal koordinat sisteminde verilen
noktalari koordinat sisteminde gosterin.
a)A (r=3, θ=00) b) B(r=3, θ=300) c) C(r=3, θ=450),
d)D (r=3, θ=600) e)E (r=3, θ=900)
Cozum: noktalarin hepsinde r=3 dur o halde noktalar
r=3 yaricapli cember uzerinde bulunacaktir.
-3
3
θ=00, θ=300, θ =450, θ=600 θ=900
acilarin cemberi kestigi noktalar aranan noktalardir.
Ikinci yol: a) merkezi orijinde olan r yaricapli bir daire
ciz. b) x ekseni ile θ 0 lik aci yapan dogrunun daireyi
kestigi noktayi bul.
-3
Ucuncu yol: a) x eksenine θ 0 lik aci yapan dogruyu ciz.
b)Dogru uzerinde orijinden r kadar git ve noktayi bul.
-3
θ=300
-3
θ=450
-3
θ=600
-3
θ=900
P617) Asagidaki kutupsal koordinat sisteminde verilen
noktalari koordinat sisteminde gosterin. a) (r=3, θ=450)
θ=00
Ikinci yol: ile cozelim.
r=3 yaricapli daire ciz.
-3
3
x ekseni ile θ=450 lik aci yapan dogru ciz.
Ucuncu Yol a) x eksenine 45 0 lik aci yapan dogruyu
ciz.
P617) Asagidaki kutupsal koordinat sisteminde verilen
noktalari koordinat sisteminde gosterin.
a)A (r=3, θ=00) b) B(r=3, θ=300)
d)D (r=3, θ=600) e)E (r=3, θ=900)
f)F (r=3, θ=1200) g) G(r=3, θ=1800)
h) H(r=3, θ=2250), j)J (r=3, θ=2700) k)K (r=3, θ=3300) Kutupsal koordinatlarda Grafik Cizimi.
Derece olarak belirtilmemise ϴ devamli olarak radyan
Cozum: noktalarin hepsinde r=3 dur o halde noktalar
alinir.
r=3 yaricapli cember uzerinde bulunacaktir.
Ornek 312 : r= ϴ, grafigini cizin.
E
D
F
ϴ(radyan) 0 0.1 1.57 3.14 6.28 10
B
ϴ(derece) 0 5.7 90
180 360 572
G
A
r
0 0.1 1.57 3.14 6.28 10
H
K
J
P623) Asagidaki kutupsal koordinat sisteminde verilen
noktalari koordinat sisteminde gosterin.
a)A (r=3, θ=600) b)B (r=6, θ=600)
a)C (r=9, θ=600) a)D (r=12, θ=600)
Cozum. noktalarin hepsi θ=600 lik aci dogrusu
uzerindedir.
D
C
1.57
6.28
3.14
Ornek 313: r=1+cos(ϴ), grafigini cizin.
ϴ(derece) 0
r
2
45
1.7
90
1
135
0.3
180
0
225
0.3
270
1
B
y
A
600
1
2
------------------------------ ----------------------------y=f(x) ve r=g(θ) fonksiyonlarinin donusumu.
x=r cos θ
y=r sin θ
y
r
θ
x
r= x 2 + y 2
y
θ=tan-1
x
P231) y3=x2+3, ise r=f(θ) nedir.
Cozum: x=r cos θ, y=r sin θ konulursa,
(r sin θ)3 = (r cos θ) 2+3,
P231) y2=-x2+16, ise r=f(θ) nedir.
Cozum:
(r sin θ)2 = -(r cos θ) 2+10,
(r sin θ)2 + (r cos θ) 2=10,
r2 sin2 θ + r2 cos2 θ =10,
r2 (sin2 θ + cos2 θ) =10,
r2 (1) =10,
r2 =10,
θ ne olursa olsun r= 10 dur. su halde aranan fonksiyon
bir cemberdir.
--------------------- --------------------------------------
-1
x
315 360
1.7 2
Kutupsal koordinatlar
Ornek 312 : r=ϴ, grafigini cizin.
ϴ(radyan) 0 0.1 1.57 3.14 6.28 10
ϴ(derece) 0 5.7 90
180 360 572
r
0 0.1 1.57 3.14 6.28 10
Ornek 323. r=f(ϴ)=a ise. Asagidaki bolge icin alan
formulunu yazin.
y
1.57
6.28
3.14
r
a
Ornek 313: r=1+cos(ϴ), grafigini cizin.
ϴ(derece) 0
r
2
45
1.7
90
1
135
0.3
180
0
225
0.3
270
1
315 360
1.7 2
θ = 360
r =b
θ =0
r =a
∫
∫
b
x
rdr dθ
-------------------------------------------- Tek katli Integralin anlami f(x) egrisi ile x ekseni
arasinda kalan alandir.
y
1
2
x
-1
Kutupsal koordinatlarda integrasyon.
Integral alinan alan kutupsal koordinatlara uygun ise
sekil dairesel veya kutupsal formda basit oluyor ise
bu metod tatbik edilir.
f(x)
x1
-------------------------------------------- - ---Cift katli Integralde f1(x) egrisi ile f2(x) egrileri
arasindaki bolgede integral hesaplanir.
Ornek 315. r=f(ϴ)=a ise. Asagidaki bolge (daire) icin
alan formulunu yazin.
f1(x)
y
x1
r
f2(x)
x = x2
∫
θ
=0
∫
r =a
∫
x2
a
x
θ = 360
x2
rdr dθ
r =0
Ornek 315. r=f(ϴ)=a ise. Asagidaki bolge (daire
parcasi) icin alan formulunu yazin.
x = x1
y = f 2 (x )
∫
g(x, y)dy dx
y = f1 (x )
ozel olarak g(x,y)=1 ise integral sonucu alani verir.
----------------------------------- -----------------kutupsal koordinatlarda da benzer durum vardir.
θ=θ2
∫
θ = θ1
r = f 2 (θ )
∫ θ g(r, θ)dr
r = f1 ( )
dθ
f2(ϴ)
y
f1(ϴ)
r
x
g(r,ϴ)=r ise integral sonucu alani verir.
Ornek 351: a yaricapli cember ile b yaricapli cember
arasinda kalan alani hesaplayin.
y
f2(ϴ)=b
r
f1(ϴ)=a
Alan=
θ = 2π
r =b
=0
r =a
∫
θ
∫
x
rdr dθ =π(b2-a2)
Ornek 352. 2 yaricapli cember ile r=2(1+cos ϴ) egrisi
arasinda kalan alani hesaplayin. ϴ bu soruda φ
olarak gosterilmis.
Koordinat Donusumleri
c)x=-3, y=-4, Î r= x 2 + y 2 = r= (−3) 2 + (−4) 2 =5,
1)Duzlemde Kartezyen koordinat sistemi
y
2)Duzlemde kutupsal koordinat sistemi
θ=tan-1 =tan-1(-4/(-3)) =180+53.10=2330=360x
3)Uzayda Kartezyen koordinat sistemi
0
0
233
=-127
4)Uzayda Silindirik koordinat sistemi
5)Uzayda Kuresel koordinat sistemi
-------- -------------------------------Duzlemde Kartezyen ve Kutupsal Koord. Sist.
2330
Duzlemde bir noktanin x,y ile belirtilmesi kartezyen
2330
-3
koordinat sistemi, r(genlik,uzunluk.mesafe) ve θ (aci)
530
-1270
ile belirtilmesi kutupsal koordinat sistemi olur.
5
-4
x=r cos θ
y=r sin θ
y
r
d)x=3, y=-4, Î r= x 2 + y 2 = 32 + (−4) 2 =5,
θ
r= x 2 + y 2
y
x
θ=tan-1 =tan-1(-4/3) =-53.10=360-53=307
-1 y
θ=tan
x
x
tan-1(z): arg tan(z) demektir.
Ornek Asagidaki kartezyen koordinat sisteminde
verilen noktalari kutupsal koordinat sisteminde
belirtin. a)(3,4) b)(-3,4), c)(-3.-4), d)(3,-4)
Cozum:
a)x=3, y=4, Î r= x 2 + y 2 = 32 + 42 =5,
y
θ=tan-1 =tan-1(4/3) = 53.10
x
4
5
530
3
b)x=-3, y=4, Î r= x 2 + y 2 = (−3) 2 + 42 =5,
y
θ=tan-1 =tan-1(4/(-3)) =180-53.10=1270
x
5
530
-3
4
1270
3070
3
53
-4
0
5
Uzayda Silindirik Koordinat Sistemi
r= ( −1) 2 + ( −2) 2 = 2.23
y
-1
ϴ=tan-1(-2/-1)=180+63=2430
r
ϴ
x
-2
z
z
3
1
2
1
y
θ
x
2
θ
x
z
3
-1
-2
y
x
Ornek Problem. Asagidaki kartezyen noktalari
silindirik koordinata cevirin.
a)(1,2,3), b)(-1,-2,3)
Cozum. a)x=1, y=2, z=3,
Silindirik koordinatlarda z=z yani z=3 dur.
Uzayda Kuresel Koordinat Sistemi
r= 12 + 22 = 2.23
ϴ=tan-1(2/1)=630
2
r
ϴ
1
b)(-1,-2,3)
r= ( −1) 2 + ( −2) 2 = 2.23
ϴ=tan-1(-2/-1)=180+63=2430
Kuresel(ρ, ϕ, θ), Silindirik(r,θ,z), Kartezyen(x,y,z)
arsindaki bagintilar.
y
HACIM FORMULLERI
Ornek Problem. Asagidaki kartezyen noktalari
silindirik ve kuresel koordinatlara cevirin.
a)(1,2,3), b)(-1,-2,3)
Cozum. a)x=1, y=2, z=3,
Silindirik koordinatlarda z=z yani z=3 dur.
r= 12 + 22 = 2.23
ϴ=tan-1(2/1)=630
2
r
ϴ
1
Kuresel koordinatlar icin
ρ = x 2 + y 2 + z 2 = z 2 + ρ 2 =3.74
z= ρ cos(ф) Æ ф= arg cos(z/ρ)
ф= arg cos(3/3.74)=36.660
ϴ = 630 (silindirik koordinat ile ϴ aynidir)
Cozum. b)x=-1, y=-2, z=3,
Silindirik koordinatlarda z=z yani z=3 dur.
-1
r= (−1) 2 + (−2) 2 =2.23
ϴ
r
ϴ=tan-1(-2/-1)=180+63
-2
= 2430= -1170
Kuresel koordinatlar icin
ϴ = 2430 (silindirik koordinat ile ϴ aynidir)
ρ = x 2 + y 2 + z 2 = z 2 + ρ 2 =3.74
ф= arg cos(z/ρ) =arg cos(3/3.74)=36.660
a
b
2
=ab-cd,
Hatirlatma:determinat:
c
d
5
Ornek:
=2x6-5x4=-8,
4
6
Jakobien Hesabi
P441)
x=u+2v,
xu
y=3u+4v
xv
J=
1
2
=
yu
yv
=1x4-3x2=-2
3
P442) x=u2+v3,
xu
xv
J=
2u
4
y=cos(u)+sin(2v)
2v
=
yu
yv
balci128 ornek
=4ucos(2v) + 2vsin(u)
- sin(u) 2cos(2v)
KOORDINAT DONUSUMLERINDE ALAN HACIM HESABI