7.4. Tekillik Fonksiyonları

Elektrik Devre Temelleri
14
TEKİLLİK FONKSİYONLARI
Doç. Dr. M. Kemal GÜLLÜ
Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği
Kocaeli Üniversitesi
7.4. Tekillik Fonksiyonları
• Birinci dereceden devrelere bağlanan ani bir
kaynak sonucunda devrenin analizini yapmak için
kullanılan fonksiyonlardır.
• Anahtarlama fonksiyonu olarak da bilinirler.
• En çok kullanılanlar:
1) Birim Basamak Fonksiyonu (Unit Step Function)
2) Birim Dürtü Fonksiyonu (Unit Impulse Function)
3) Birim Rampa Fonksiyonu (Unit Ramp Function)
1- Birim Basamak Fonksiyonu
• u(t) ile gösterilir. t’nin negatif değerlerinde “0”
pozitif değerlerinde “1” değerini alır
• t=0 da tanımsızdır (süreksizlik)
1- Birim Basamak Fonksiyonu
• Zamanda t0 kadarlık öteleme:
0, t  t0
u  t  t0   
1, t  t0
• t0 < 0 ise zamanda ilerleme oluşur:
1- Birim Basamak Fonksiyonu
• Basamak fonksiyonu akım ya da gerilimdeki ani
değişimi ifade etmek için kullanılır. Örneğin;
• Devrede kullanımı:
veya
1- Birim Basamak Fonksiyonu
• Akım kaynağı:
veya
2- Birim Dürtü Fonksiyonu
• Birim basamak fonksiyonunun türevi birim
dürtü fonksiyonudur. 𝛿(𝑡) ile gösterilir.
Delta fonksiyonu
olarak
da bilinir.
0
t0


  t    tanımsız t  0
 0
t 0

• Birim dürtü yanıtı, çok kısa süreli ve birim alana sahip bir darbe
olarak ifade edilebilir.
2- Birim Dürtü Fonksiyonu
• Dürtü fonksiyonları birim değerden farklı değerlere de
sahip olabilirler.
• Dürtü fonksiyonu aşağıdaki fonksiyonları şu şekilde etkiler:
• Sonuç olarak; bir fonksiyon birim dürtü fonksiyonu ile tümleştirildiğinde
yalnızca dürtünün bulunduğu noktada fonksiyon bir değer alır.
2- Birim Rampa Fonksiyonu
• Birim basamak fonksiyonu u(t)’ nin integralidir.
0, t  0
r t   
 t, t  0
Örnek 7.6
• dv(t)/dt = ?
Örnek 7.7
• v(t) = ?
Örnek 7.8
• Aşağıdaki integralleri hesaplayın.
7.5. RC Devresinin Basamak Yanıtı
• RC devreye DC kaynak aniden uygulandığında,
uygulanan gerilim ya da akım kaynağı basamak
fonksiyonu ile modellenebilir.
• Devrenin yanıtı da basamak yanıtı olarak bilinir.
• Kapasitör üzerindeki
başlangıç gerilimi:
• Devreye KAK uygulandığında:
• t>0 için:
7.5. RC Devresinin Basamak Yanıtı
• Denklem düzenlendiğinde:
• Her iki tarafın integrali alındığında:
7.5. RC Devresinin Basamak Yanıtı
• Tam Yanıt:
7.5. RC Devresinin Basamak Yanıtı
• Eğer kapasitörün başlangıç değeri sıfır ise
(şarj edilmemiş):
• Kapasitörden geçen akım:
7.5. RC Devresinin Basamak Yanıtı
• RC devrenin basamak yanıtını bulmak için
gerekenler;
1- Kapasitörün ilk gerilimi (𝑉0 )
2- Kapasitörün son gerilimi (𝑉𝑠 )
3- Zaman sabiti (𝜏)
(Depolanan Enerji) (Bağımsız Kaynak)
Kısaca RC devrelerinin toplam yanıtı;
Devrenin Toplam Yanıtı
• 2. gösterim:
Toplam Yanıt = Geçici Yanıt + Kalıcı Durum Yanıtı
(Geçici kısım)
(Kalıcı kısım)
Örnek 7.10
• Anahtar uzun süreliğine A konumunda iken t=0’da B konumuna
getiriliyor. v(t) ifadesini bulun ve t=1 s ile t=4 s için değerini
hesaplayın.
• t<0:
• t>0:
Örnek 7.11
• Anahtar uzun süreliğine kapalı iken t=0’da açılıyor. i(t), v(t) ?
• t<0:
• t>0:
7.6. RL Devresinin Basamak Yanıtı
Vs  iR  v
it 
t
di
R


i 0 Vs 0 L dt
 i
R
Vs
R Rt
ln
V
L
i  0  s
R
i t  
Vs  iR  L
di
dt
Vs
L di
i 
R
R dt
it 
R
 V 
ln  i  s    t
R  i 0
L

Vs 
Vs   RL t
i t     i  0   e
R 
R
di
R
  dt
V
L
i s
R
V 
V 
R


ln  i  t   s   ln  i  0   s    t
R
R
L


Vs 
Vs   RL t
i t     i  0   e
R 
R
7.6. RL Devresinin Basamak Yanıtı
7.6. RL Devresinin Basamak Yanıtı
• RL devrelerinin basamak yanıtını
bulabilmek için;
1- t=0 daki 𝐼0 akımı
2- Kalıcı durum akımı 𝑖𝑠
• Eğer 𝐼0 =0 olursa;
3- Zaman sabiti
• Bobindeki gerilimin ifadesi:
Örnek 7.12
• Anahtar uzun süreliğine kapalı iken t=0’da açılıyor. i(t)=?
• t<0:
• t>0:
Örnek 7.13
• Anahtar uzun süreliğine açık iken t=0’da kapanıyor. i(t)=?
• t<0 (S1-S2 açık):
• 4>t>0 (S1 kapalı):
Örnek 7.13
• T>4 (S1-S2 kapalı):
Örnek 7.14
• v(0) = 3 V, Rf = 80 kΩ, R1 = 20 kΩ, C = 5 uF, v0(t)=?