MATEMAT‹K

1 . B Ö L Ü M
MATEMAT‹K
Derginin bu say›s›nda Ba¤›nt› ve Fonksiyon konusunda çözümlü sorular yer almaktad›r. Bu konuda, ÖSS’de
ç›kan sorular›n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar›, sorular›m›z›n çözümü içinde hat›rlatmay› amaçlad›k. ÖSS’de bu konudan ortalama 2 soru ç›kmaktad›r. Derginin bundan sonraki say›s›nda ‹fllem ve Modüler
Aritmetik konusu ele al›nacakt›r.
SORU
SORU
(5–x, 32x+2) = (125, 3–2y) ise,
A = {x| 2 ≤ x ≤ 5 ve x ∈ Z}
B = {x| 2 < x < 4 ve x ∈ R} kümeleri veriliyor.
xy . yx çarp›m› kaçt›r?
A) – 9
8
B) – 8
9
C) 8
9
D) 9
8
AxB kümesinin grafi¤i afla¤›dakilerden hangisidir?
E) 9
B
A)
4
• • • •
4
• • • •
2
• • • •
2
• • • •
O
2
O
2
ÇÖZÜM
(5–x, 32x+2) = (125, 3–2y)
‹ki s›ral› ikili eflit ise, 1. ve 2. bileflenleri karfl›l›kl› olarak
eflit olmal›d›r. Buradan,
5–x = 125 ⇒ 5–x=53 ⇒ x = –3 ve
32x+2 = 3–2y ⇒ 2x+2 = –2y ⇒ –4 =–2y ⇒ y=2 bulunur.
C)
A
3
4
5
B
4
xy.yx = (–3)2. (2)–3 = 9 . 1 = 9 olur.
8
8
3
2
O
•
•
•
•
•
•
2
5
A = {1, 2, 3, 4} kümesinde tan›ml› 7 elemanl› kaç tane yans›yan ba¤›nt› yaz›labilir?
B) 186
C) 190
D) 220
E) 286
3
4
5
B
4
3
2
A
•
•
•
•
•
•
2
5
A
O
B
E)
SORU
A
D)
Yan›t : D
A) 164
B
B)
4
• • • •
2
• • • •
O
2
A
3
4
5
ÇÖZÜM
A = {x| 2 ≤ x ≤ 5 ve x ∈ Z} = {2, 3, 4, 5} ve
B = {x| 2 < x < 4 ve x ∈ R} oldu¤undan,
A x B kümesinin grafi¤i 1. bileflenleri x = 2, x = 3,
x = 4 ve x = 5 do¤rular› ile ordinatlar› (ikinci bileflenleri), 2 <y < 4 aras›ndaki bölgenin kesiflimi olur.
ÇÖZÜM
AxA kümesi 16 elemandan oluflacakt›r. Bu kümeden 7
elemanl› bir alt küme seçmemiz isteniyor. Seçece¤imiz bu alt kümede (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) ikililerinin bulunmas› gerekiyor. Çünkü, ba¤›nt›n›n yans›yan olmas›
isteniyor. Öyleyse, 16–4 = 12 elemanl› bir kümeden,
7– 4=3 elemanl› bir alt küme seçece¤iz. Koflulu sa¤layan ba¤›nt› say›s›,
Yan›t : A
SORU
12 = 12! = 10.11.12 = 220 olur.
3
3! . 9!
3.2.1
A dan R ye f ( x ) = x + 5 + 7–x fonksiyonunun en
genifl tan›m kümesinde kaç tane tamsay› vard›r?
Yan›t : D
11.
A) 11
3
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
f(x)= x+5 + 7–x
(f+g) fonksiyonunun tan›m kümesi, f ve g fonksiyonlar›n›n tan›m kümelerinin kesiflimi olur.
fonksiyonunun tan›ml› olmas› için kök içleri negatif olmamal›d›r.
Öyleyse, x + 5 ≥ 0
ve 7– x ≥ 0 olmal›d›r.
x ≥ –5 ve 7 ≥ x yani –5 ≤ x ≤ 7 olmal›d›r.
En genifl tan›m kümesi, [–5 , 7] kapal› aral›¤›d›r. Bu kümede, 7– (–5)+1= 13 tane tamsay› vard›r.
k ∈ R olmak üzere, (k . f) (x) = k . f (x) ve
(f+g) (x) = f(x) + g(x) biçiminde tan›mlan›r. Buradan,
(2f+g) (–2) = 2. f(–2) +g(–2) = 2. 5+4 = 14 tür.
(2f+g) (3) = 2. f(3) + g(3) = 2. (–3) + 2 = –4 olur.
2f+g = {(–2 , 14) (3 , –4)} bulunur.
Yan›t : C
Yan›t : A
SORU
SORU
2x–3
f(x–1) = 2
fonksiyonu için,
R–{0} → R tan›ml› f fonksiyonu
2f(x) – f 1 = 2x eflitli¤ini sa¤lad›¤›na göre,
x
f(2x) in f(x) türünden efliti afla¤›dakilerden hangisidir?
A)
f 2(x)
2
B) 2 f 2(x)
D)
f(x)
4
f(2) de¤eri kaçt›r?
C) 8f 2(x)
E)
A) – 1
f(x)
8
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
ÇÖZÜM
2 f(x) – f 1 = 2x eflitli¤inde x yerine s›ras›yla,
x
ÇÖZÜM
f(x–1) = 22x–3
f(x–1) =22x–3 eflitli¤inde x yerine x–1 fonksiyonunun
tersi olan (x+1) i yazarsak,
f(x+1–1)=22(x+1)–3 ⇒ f(x) = 22x–1 bulunur.
Buradan, 2f(x)=22x elde edilir.
f(2x) = 22(2x)–1 = 24x–1 olur.
f(2x) = 24x–1 i f(x) türünden yazal›m:
f(2x) te 22x yerine 2.f(x) yaz›l›rsa,
f(2x) = 24x–1 = (22x)2 . 2–1 = [ 2.f(x)]2 . 2–1
f(2x) = 2 . f2(x) bulunur.
x = 2 ve x = 1 yaz›l›rsa,
2
2 f(2) – f 1 = 4 ve
2
2f 1
2
– f 2 = 1 bulunur.
1. eflitli¤i 2 ile çarp›p 2. eflitlikle taraf tarafa toplad›¤›m›zda,
4 f(2) – 2f 1 = 8
2
– f(2) + 2f 1 = 1
2
+
Yan›t : B
3f(2) = 9 ⇒ f(2) = 3 bulunur.
Yan›t : E
SORU
SORU
f ve g (1–1) ve örten fonksiyonlard›r.
f = {(–2, 5), (1, 4), (3, –3)}
g = {(–2, 4), (2, 1), (3, 2)} ise,
Bir f fonksiyonu ∀x ∈ N için,
f(x+1) = f(x) + 5 eflitli¤ini sa¤lamaktad›r.
2.f + g afla¤›dakilerden hangisidir?
A) {(–2, 14), (3, –4)}
B) {(–2, 14), (3, –1)}
C) {(–2, 9), (3, –4)}
D) {(–2, 14), (1, –4)}
f(0) = 2 ise,
f(30) de¤eri kaçt›r?
E) {(1, 14), (3, –4)}
11.
A) 152
4
B) 150
C) 148
D) 146
E) 144
ÇÖZÜM
SORU
f(x+1) = f(x) + 5
f: [4, +∞) → [–1, +∞) tan›ml›
eflitli¤inde x yerine 0 dan 29 a
kadar do¤al say›lar› yaz›p taraf tarafa toplad›¤›m›zda,
f(x) = x2–8x+15 ise,
f(1) = f(0) + 5
f(2) = f(1) + 5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
+ f(30) = f(29) + 5
f(30) = f(0) +30 . 5
f–1(x) afla¤›dakilerden hangisidir?
= 2 + 150 = 152 bulunur.
ÇÖZÜM
Yan›t : A
y = f(x) = x2–8x+15 fonksiyonunda,
A) 4– x–1
B) –4– x+1
D) – 4+ x+1
C) 4+ x+1
E) – 4– x–1
f: [4, +∞) → [–1, +∞) tan›ml›
x yerine y, y yerine x yazarsak,
x = y2 –8y + 15
eflitli¤in her iki taraf›na 1 eklersek,
x+1=y –8y+16 ⇒ x+1= (y–4)2 ⇒
2
x+1 =
SORU
(y–4) 2 ⇒ x+1 = y–4 bulunur.
f–1 : [–1 ; +∞) → [4; +∞) olaca¤›ndan,
f: R–{2} → R – {–1} olmak üzere,
ax–2
f(x+1) =
fonksiyonu bire bir ve örten ise,
bx+3
y ≥ 4 tür. |y–4| = y – 4 olur.
a kaçt›r?
Yan›t : C
A) 1
2
B) 1
C) 3
2
D) 2
x+1 = y – 4 ⇒ y = 4 + x+1 bulunur.
E) 3
ÇÖZÜM
SORU
f: R–{2} → R – {–1}
f(x+1) =
(fof)(x) = 3f(x) – 2
ax–2
de x yerine x–1 yaz›larak,
bx+3
f(x–1+1) =
(gof)(x) = 4–g(x) ise,
ax–a–2
a x–1 –2
bulunur.
=
bx–b+3
b x–1 + 3
g(1) kaçt›r?
En genifl tan›m kümesi R–{2} oldu¤undan,
A) –1
f(x), x=2 için tan›ms›zd›r (x=2 payday› s›f›r yapar).
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
b.2–b+3 = 0 ⇒ b +3=0 ⇒ b=–3 bulunur.
ÇÖZÜM
f fonksiyonu (1–1) örten oldu¤undan,
f–1 de fonksiyondur.
(fof)(x) = 3f(x) – 2 oldu¤undan,
f–1 : R–{–1} → R–{2} olur.
f (f(x)) = 3 (f(x)) –2 ⇒ f(x) = 3x–2 olur.
b–3 x –a–2
f (x) =
bx – a
g (f(x)) = 4–g (x) ⇒ g(3x–2) = 4–g(x) eflitli¤inde, x=1
–1
yaz›l›rsa,
f–1 (x) fonksiyonunun en genifl tan›m kümesi
g(3.1–2) = 4 – g(1)
R–{–1} oldu¤undan, (x = –1 payday› s›f›r yapar.)
11.
b . (–1) –a = 0 ⇒ a = –b olur. b yerine –3 yazarsak,
g(1) = 4 – g(1) ⇒ 2 . g (1) = 4
a = 3 bulunur.
g(1) = 2 bulunur.
Yan›t : E
Yan›t : D
5
SORU
SORU
f ve g fonksiyonlar› için,
f(x) = x2 + 4x
f(x+2) = 2x–2 ve g(2x–5) = 4x–5 ise,
(fog)(x) = x2 + 6x + 5 oldu¤una göre,
(gof)–1 (1) de¤eri kaçt›r?
A) 1
B) 2
g(x) afla¤›dakilerden hangisi olabilir?
C) 3
D) 4
E) 5
A) x+1
B) x+2
C) x+3
D) x+4
E) x+5
ÇÖZÜM
f(x+2) = 2x–2 ve g(2x–5) = 4x–5 veriliyor.
ÇÖZÜM
(gof)–1 = f–1og–1 ve g(a) = b ⇒ g–1(b) = a özelliklerin-
f(x)= x2+4x
den yararlanal›m:
ve (fog) (x) = x2+6x+5 veriliyor.
f(g(x))= x2+6x+5 eflitli¤inde g(x) i f(x) te yerine yazal›m:
(gof)–1 (1) = (f–1og–1) (1) olur.
g2(x) + 4 . g(x) = x2 + 6x+5 eflitli¤inin her iki taraf›na 4
g–1(1) i bulal›m:
eklersek,
g(2x–5) = 4x–5 ise, g–1(4x–5) = 2x–5 tir.
4x – 5 = 1 ⇒ x = 3 yazarsak,
2
g2(x) +4. g(x) +4 = x2+ 6x+9 olur.
(g(x)+ 2)2 = (x+3) 2 ⇒
(g(x) + 2) 2 =
(x+3) 2
g–1 4 . 3 – 5 = 2 . 3 – 5 ⇒ g –1 (1) = –2 bulunur.
2
2
|g(x) + 2| = |x+3| bulunur.
f–1(–2) yi bulal›m:
g(x) + 2 = x+3 ⇒ g(x) = x + 1
f(x+2) = 2x–2 ⇒ f–1 (2x–2) = (x+2) olur. Burada,
g(x) +2 = –x–3 ⇒ g(x) = –x–5 olur.
2x–2 = –2 ⇒ x = 0 yazarsak,
Seçeneklerde, x+1 oldu¤undan, yan›t, x+1 dir.
–1
f
(2.0–2) = 0+2 ⇒
f–1
(–2) = 2 bulunur.
Yan›t : A
Yan›t : B
SORU
SORU
f= 12 3
3 12
2
f(x) = – 2x + 8x – 4
g–1oh = f koflulunu sa¤layan h fonksiyonu afla¤›-
Buna göre, g(–3) de¤eri kaçt›r?
A) –2
dakilerden hangisidir?
D) 3
2
C) 1
E) 5
2
A) 1 2 3
1 32
f(x)= – 2x2+8x– 4= –2 (x2–4x+2)⇒ x 2 –4x + 2 = f(x)
–2
ve g(f(x)) = x2 –4x+2 dir.
Burada, x 2 –4x + 2 yerine, –
C) 1 2 3
1 23
E) 1 2 3
21 3
ÇÖZÜM
f= 12 3
3 12
f(x)
yaz›l›rsa,
2
f(x)
⇒ g(x) = – x
2
2
(–3) 3
g(–3) = –
=
bulunur.
2
2
ve g = 1 2 3
213
veriliyor.
g–1oh = f ⇒ go (g–1oh) = gof ⇒ h = gof olur.
olur.
h= 12 3 o 1 2 3 = 12 3
2 13
3 12
3 21
Yan›t : D
11.
B) 1 2 3
312
D) 1 2 3
3 21
ÇÖZÜM
g(f(x)) = –
permütasyon fonk-
siyonlar› veriliyor.
(gof) (x) = x2–4x+2 fonksiyonlar› veriliyor.
–3
B)
2
ve g = 1 2 3
213
Yan›t : D
6
bulunur.
SORU
SORU
y
fiekilde, f(x) fonksiyonunun
grafi¤i verilmifltir.
f(x)
O
1
–3
g(x) =
x
3
y
f(x)
f(x+1)+f(x–3)
f(2x–1)
4
eflitli¤inde g(3) = 1 oldu¤una göre,
x
O
–3
f(2) kaçt›r?
Grafik, f(x) fonksiyonuna aittir.
A) 15
(fof)(2x–1) = –3 koflulunu sa¤layan farkl› x de¤erlerinin toplam› kaçt›r?
A) –3
B) –2
C) –1
D) 1
B) 12
C) 10
D) 8
E) 4
ÇÖZÜM
f(x) do¤rusal fonksiyon oldu¤undan,
E) 2
f(x) = ax+b , f(0) = 4 ⇒ 0 + b = 4 ⇒ b = 4 bulunur.
f(x)=ax+4 olur.
ÇÖZÜM
g(3) = 1 verildi¤inden,
Grafik incelendi¤inde, f fonksiyonuna ait noktalar;
g(3)=
(–3, 0), (0,–3), (1, 0), (3, 0) d›r.
f(4)+f(0) (4a+4)+(4)
= 1 ⇒ a = 4 bulunur.
=
f(5)
5a+4
f(f(2x–1)) = –3
Buradan, f(x) = 4x+4 ve f(2) = 4.2 + 4 = 12 bulunur.
f de görüntüsü –3 olan say› s›f›r oldu¤undan,
Yan›t : B
f(2x–1) = 0 olur.
Görüntüsü, s›f›r olan x de¤erleri için,
2x–1 = –3 ⇒ x = –1 ,
SORU
2x–1 = 1 ⇒ x = 1
fiekilde, f ve g
fonksiyonlar›n›n
grafikleri verilmifltir.
2x–1 = 3 ⇒ x = 2 olur.
Yan›t : E
y
f(x)
6
2
–3
O
SORU
y
Grafik, f(x) fonksiyonuna
aittir.
3
x
g(x)
Buna göre, (gof)–1(6)+(f–1og)(2) toplam› kaçt›r?
f(x)
A) –3
B) 0
C) 2
D) 3
E) 6
(fog–1)–1(x) = 2x2–9x+3 ise,
ÇÖZÜM
5
g(0) de¤eri kaçt›r?
x
O
f(x) fonksiyonuna ait noktalar
(–3, 0) ve (0,2) oldu¤undan,
A) 2
B) 3
C) 5
D) 7
f(–3)=0⇒f–1(0)=–3 ve
E) 8
f(0)=2⇒ f–1(2) = 0 olur.
ÇÖZÜM
–1 –1
–1
g(x) do¤rusunun denklemi,
x +y =1 ⇒ 2x+y=6
3 6
–1
(fog ) (x) = (gof )(x) = g (f (x)) tir.
g(0) soruldu¤undan,
⇒ y = 6–2x bulunur.
f–1(x) = 0 ⇒ f(0) = x = 5 tir.
–1
g(f (x)) = 2x2 – 9x + 3 eflitli¤inde
Buna göre,
(gof)–1(6) + (f–1og) (2)
= (f–1og–1)(6) + f–1 (g (2) ) = f–1 (g–1(6)) + f–1 (g (2) )
= f–1(0) + f–1 (2) = –3 + 0 = –3 bulunur.
x = 5 yazal›m:
g(f–1(5)) = 2 . 52 – 9 . 5 + 3
g(0) = 50 – 45 + 3 = 8 bulunur.
Yan›t : A
Yan›t : E
11.
7