DÜZGÜN DAĞILIM Bir X rasgele değişkeni aldığı değerleri eşit olasılıkla alıyorsa düzgün dağılıma sahiptir denir. Düzgün dağılıma sahip bir X rasgele değişkeninin aldığı değerler x = x1 , x2 ,..., xn olmak üzere olasılık fonksiyonu, f ( x) = 1 n , x = x1 , x2 ,..., xn ( x1 < x2 < ... < xn ) olasılık tablosu, x f ( x) x1 1 n ⋯ x2 1 n xn 1 n ⋯ dağılım fonksiyonu, 0 i F ( x) = n 1 , x < x1 , xi ≤ x < xi +1 , i = 1, 2,..., n − 1 x ≥ xn , ve n ∑x 1 1 n E ( X ) = ∑ xi f ( xi ) = ∑ xi = ∑ xi = n n i =1 i =1 i =1 n n i =1 i n =x n n E ( X 2 ) = ∑ x 2 f ( x) = ∑ xi2 f ( xi ) = x i =1 ∑x i =1 2 i n n Var ( X ) = E ( X 2 ) − ( EX ) 2 = ∑ xi 2 i =1 n n − ( x )2 = ∑x i =1 i 2 − nx 2 n n n Var ( X ) = E ( X − EX ) 2 = E ( X − x )2 = ∑ ( xi − x ) 2 f ( xi ) = i =1 n n n n n 2 2 2 ( x − x ) = x − 2 x x + x = xi2 − nx 2 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ i i i i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 ∑ (x − x ) i =1 i n 2 n n i =1 i =1 M X (t ) = E (etX ) = ∑ etx f ( x) = ∑ etxi f ( xi ) = ∑ etxi x 1 tx 1 tx 1 tx 1 = e 1 + e 2 + e 3 + ... + etxn n n n n 1 n , t∈R dır. Özel olarak X ´in aldığı değerler, x = 1, 2,..., n olduğunda, 1 f ( x) = x = 1, 2,..., n n x 1 2 3 ... n 1 1 1 1 f ( x) ... n n n n n n 1 1 1 1 E ( X ) = ∑ x f ( x) = ∑ xi f ( xi ) = ∑ i × = 1× + 2 × + .... + n × n n n n x i =1 xi =1 (n + 1) 2 = n +1 n 2 2 n +1 n n (1² + 2² + ... + ²) − ∑ xi2 − n ⋅ x 2 = 2 Var ( X ) = n n 1 = (1 + 2 + .... + n) = n n⋅ n(n + 1)(2n + 1) n +1 − n 6 2 = n n³ − n n ² − 1 = = 12n 12 2 Örnek 1 Düzgün bir tavla zarı atılması deneyinde üste gelen nokta sayısı X olsun. X ‘in olasılık fnksiynu, f ( x) = 1 6 x = 1, 2,3, 4,5, 6 olasılık tablosu, x 1 f ( x) 1 6 2 1 3 6 4 1 6 5 1 6 olasılık fonksiyonunun grafiği, f(x) 1/6 • • • • • • 1 2 3 4 5 6 x 6 1 6 dağılım fonksiyonu, 0 1 6 2 6 3 F ( x) = P( X ≤ x) = 6 4 6 5 6 1 dağılım fonksiyonunun grafiği, x <1 , , 1≤ x < 2 , 2≤ x <3 , 3≤ x < 4 , 4≤ x<5 x <1 0 , x = , 1≤ x < 6 6 x≥6 1 , , 5≤ x<6 x≥6 , F(x) 1 5/6 4/6 3/6 2/6 1/6 1 beklenen değeri, E( X ) = 2 x 3 4 5 6 7 n +1 6 +1 = = 3.5 2 2 varyansı, Var ( X ) = n ² − 1 35 = ≈ 2,9167 12 12 standart sapması, σX = 35 ≈ 1.7078 12 dır. Bu zarla oynanan bir oyunda üste gelen her nokta için 50 TL kazanıldığında, oyunun dürüst olması için oyun kaç TL´ye oynatılmalıdır? K = 50 X − a a : oyuna giris icin verilen para. Oyunun dürüst olması için E ( K ) = 0 olmalıdır. E ( K ) = 50 E ( X ) − a 0 = 50 × 3.5 − a a = 175 TL Örnek 1 Düzgün dağılıma sahip kesikli bir rasgele değişkenin aldığı değerler, 1.33 1.85 2.16 2.41 2.56 2.81 2.86 2.9 2.96 3.05 3.11 3.12 3.17 3.28 3.32 3.72 4.06 4.18 4.19 5.18 olsun. n =20 olmak üzere, rasgele değişkenin her bir değeri alması olasılığı 1/20 olup olasılık fonksiyonu, 1 f ( x) = , x1 = 1.33 , x2 = 1.85 , ... , x20 = 5.18 20 ve dağılım fonksiyonu, x < 1.33 0 , i , xi ≤ x < xi +1 , i = 1, 2,..., n − 1 = , xi ≤ x < xi +1 , i = 1, 2,...,19 20 , x ≥ xn x ≥ 5.38 1 , dır. Dağılım fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir. 0 i F ( x) = n 1 , x < x1 >> x=[1.33 1.85 2.16 2.41 2.56 >> stairs( x,(1:20)/20 ) 2.81 2.86 2.90 2.96 3.05 3.11 3.12 3.17 3.28 3.32 3.72 4.06 4.18 4.19 5.18]; 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 Dirac Dağılımı (Bir Noktada Yoğunlaşmış Dağılım) (Ω, U , P ) ω Ω X R c (Ω, U , P ) bir olasılık uzayı olmak üzere, X : Ω → R ω → X (ω ) = c gibi bir rasgele değişkenin dağılımına bir noktada yoğunlaşmış dağılım denir. Esasında X rasgele değişkeni c değerini alan sabit bir fonksiyondur. DX ={c} olmak üzere, X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu, f ( x) = 1 , x = c olasılık tablosu, x f ( x) = P ( X = x ) c 1 dağılım fonksiyonu, 0 , x < c F ( x) = 1 , x ≥ c ve E ( X ) = ∑ xf ( x) = c x Var ( X ) = E ( X - Ε( X )) 2 = E ( X - c ) = ∑ ( x - c 2 f ( x) = (c - c) 2 .1 = 0 2 x M X (t ) = Ε(e ) = ∑ e f ( x) = e tx tX ct , t ∈R x dır. c=0 olduğunda sıfır noktasında yoğunlaşmış dağılım ortaya çıkmaktadır. Sıfır noktasında yoğunlaşmış dağılıma Dirac dağılımı denir. (Ω, U , P ) ω Ω X R 0 Dirac dağılımının olasılık fonksiyonu, f ( x) = 1 , x = 0 olasılık tablosu, x f ( x) = P ( X = x ) 0 1 dağılım fonksiyonu, 0 , x < 0 F ( x) = 1 , x ≥ 1 ve E ( X ) = 0 , Var ( X ) = 0 , M X (t ) = 1 , t ∈ R dır. Dirac dağılımının olasılık fonksiyonu ile dağılım fonksiyonunun grafikleri, f(x) 1 x F(x) 1 dır. x Bazı Kesikli Dağılımlar Düzgün Dağılım o.f. m.ç.f. 1 , x = x1 , x2 ,..., xn n xt n ei , t∈R ∑ i =1 n n ∑x ortalama j =1 x= j n n ∑(x − x ) varyans parametre Bernoulli Dağılımı b (1, p ) Binom b ( n, p ) o.f. m.ç.f. n x1 , x2 ,..., xn ∈ R , n ∈ {1,2,...} p x (1 − p ) 1− x , x =0,1 1 − p + pet , t ∈ ℝ p ortalama varyans p (1 − p ) parametre p ∈ (0,1) , n ∈ {1,2,...} o.f. n x n− x p (1 − p ) , x = 0,1,...,n x m.ç.f. ortalama varyans Hipergeometrik i =1 2 i (1 − p + pe ) t n , t∈ℝ np np (1 − p ) parametre p ∈ (0,1) , n ∈ {1,2,...} o.f. a N − a N x n − x n m.ç.f. açık biçimi yok ortalama a N N −n a a × n × × (1 − ) N −1 N N varyans parametre n× N , a, n ∈ {1, 2,...} , a < N , n < N Poisson o.f. e−λ λ x , x = 0,1, 2,... x! m.ç.f. e Geometrik , t ∈R ortalama varyans λ λ parametre o.f. λ ∈ (0, ∞) m.ç.f. Negatif Binom λ et −1 (1 − p ) x −1 p , x =1,2,... pet , 1 − (1 − p ) et t < − ln(1 − p ) ortalama 1 p varyans 1− p p2 parametre o.f. p ∈ (0,1) m.ç.f. ortalama varyans parametre x − 1 k k −r p (1 − p ) , x = k , k + 1,... k − 1 pet t 1 − (1 − p ) e k , t < − ln(1 − p ) k p k (1 − p ) p2 p ∈ (0,1) , k ∈ {1, 2,...}