158 2 2 2 2 O halde 6 + a + b + c $ ^ a + b + ch dir. 2 2 2 2 2 2 6 + a + b + c $ a + b + c + 2^ab + bc + cah 2^ab + bc + cah # 6 & ab + bc + ca # 3 elde edilir. 6.7 YENİDEN DÜZENLEME EŞİTSZİLİĞİ Oldukça kullanışlı bir eşitsizliktir. Özellikle simetrik fonksiyonlarda kullanılır. a1 # a2 # a3 # ... # an, b1 # b2 # b3 # ... # bn artan sırada dizilmiş reel sayılar olsun. ^a1, a2, a3, ..., anh dizisinin herhangi bir permütasyonu ^a1y , a2y , a3y , ..., a ny h olmak üzere, y y y y a1 b1 + a2b2 + a3b3 + ... + an bn $ a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + ... + a n bn dir. Bu eşitsizliğe yeniden düzenleme eşitsizliği denir. İspat: b1 # b2 # b3 # ... # bn olsun. s 2 r olmak üzere S ve S’ toplamlarını aşağıdaki gibi ifade edelim. S = a1 b1 + a2b2 + a3b3 + ... + arbr + ... + asbs + ... + an bn y S = a1 b1 + a2b2 + a3b3 + ... + asbr + ... + arbs + ... + an bn y S - S = arbr + asbs - asbr - arbs = ^bs - brh^as - arh dir. bs - br $ 0 olduğunu y biliyoruz. S $ S olması için as $ ar olmalıdır. İşleme bu şekilde devam edersek, S maksimum değerini a1 # a2 # a3 # ... # an durumunda alır. Problem : a, b, c reel sayılar olmak üzere, 2 2 2 a + b + c $ ab + bc + ca olduğunu gösteriniz. 3 3 3 Çözüm : f (a, b, c) = a + b + c fonksiyonu a, b, c göre simetriktir. ( f, a, b, c nin tüm permütasyonları için invaryanttır. f (a, b, c) = f (a, c, b) = ... = f (c, b, a) ) O halde genelliği bozmadan a $ b $ c olsun. ^ a, b, ch ve ^ a, b, ch dizileri için, 2 2 2 aa + bb + cc $ ab + bc + ca & a + b + c $ ab + bc + ca bulunur. ( 2. çarpan durumundaki ^ a, b, ch yerine sağ tarafta ^b, c, ah permütasyonunu kullandık. ) 159 Problem : a, b, c reel sayılar olmak üzere, 3 3 3 2 2 2 a +b +c $ a b+b c+c a olduğunu gösteriniz. 3 3 3 Çözüm : f (a, b, c) = a + b + c fonksiyonu a, b, c göre simetriktir. O halde 2 2 2 2 2 genelliği bozmadan a $ b $ c olsun. a $ b $ c dir. ^ a , b , c 2 h ve ^a, b, ch dizileri için yeniden düzenleme eşitsizliğini uygulayalım. 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 a a+b b+c c $ a b+b c+c a & a +b +c $ a b+b c+c a bulunur. Uygulamalar: 1.) a, b birbirinden farklı pozitif reel sayılar olmak üzere, 3 3 2 2 a +b 2 a b+b a olduğunu gösteriniz. Problem : (Nesbitt Eşitsizliği ) a, b, c pozitif reel sayılar olmak üzere, a + b + c $ 3 b+c c+a a+b 2 olduğunu yeniden düzenleme eşitsizliğini kullanarak gösteriniz. Çözüm : f (a, b, c) = a + b + c fonksiyonu a, b, c göre simetriktir. O b+c c+a a+b halde genelliği bozmadan a $ b $ c olsun. a + b $ a + c $ b + c dir. Buradan 1 $ 1 $ 1 elde edilir. 1 , 1 , 1 `b+ j ve ^a, b, ch dizileri b+c c+a a+b c c+a a+b için iki kez yeniden düzenleme eşitsizliğini uygulayalım. a + b + c $ b + c + a b+c c+a a+b b+c c+a a+b a + b + c $ c + a + b b+c c+a a+b b+c c+a a+b Bu iki eşitsizlik taraf tarafa toplnaırsa, 2` a + b + c c + c+a + a+b j $ bb + b+c c+a a+b c+a a+b +c 2` a + b + c a + b + c $ 3 j$ 3 & b+ b+c c+a a+b c c+a a+b 2 bulunur. 160 Problem : a1, a2, a3, ..., an ! R+, s = a1 + a2 + a3 + ... + an olmak üzere, an a1 a2 $ n + + ... + s - a1 s - a2 s - an n-1 olduğunu yeniden düzenleme eşitsizliğini kullanarak gösteriniz. Çözüm :Verilen ifade a1, a2, a3, ..., an ye göre simetriktir. O halde genelliği bozmadan a1 $ a2 $ a3 $ ... $ an olsun. O halde s - a1 # s - a2 # 1 $ 1 $ s - a1 s - a2 ... $ ... # s - an ve 1 , 1 , ..., 1 1 dir. ^ a1, a2, a3, ..., anh ve ` j s - a1 s - a2 s - an s - an dizileri için yeniden düzenleme eşitsizliği uygulayalım. an a3 an a1 a2 a2 a1 $ + + ... + + + ... + + s - a1 s - a2 s - an s - a1 s - a2 s - an - 1 s - an an a3 a1 a2 a4 a1 a2 $ + + ... + + + ... + + s - a1 s - a2 s - an s - a1 s - a2 s - an - 1 s - an .................................................................................................................................................. an an an - 2 a a1 a2 a1 $ + + ... + + + ... + + n-1 s - a1 s - a2 s - an s - a1 s - a2 s - an - 1 s - an (n - 1) defa yeniden düzenleme eşitsizliği uygulamış olduk. Bu eşisizlikler taraf tarafa toplanırsa, an a2 + + ... + j s - a1 s - a2 s - an a + a3 + ... + an a + a4 + ... + a1 a + a2 + a3 + ... + an - 1 $ 2 + 3 + ... + 1 s - a1 s - a2 s - an ^n - 1h` a1 a2 + a3 + ... + an = s - a1, a3 + a4 + ... + a1 = s - a2, a1 + a2 + ... + an - 1 = s - an eşitliklerini kullanalım. ^n - 1h` a1 s - a1 + an s-a a2 s-a s-a + ... + j $ s - a1 + s - a2 + ... + s - an s - a2 s - an 1 2 n = 1 + 1 + ... + 1 1 44n2 44 3 tan e & ^n - 1h` an a1 a2 + + ... + j=n s - a1 s - a2 s - an bulunur. n = 4 için formülü kullanırsak, a b c d $ 4 olduğunu söyleyebiliriz. + + + b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c 3 Uygulamalar: 1.) a1, a2, a3, ..., an ! R+, s = a1 + a2 + a3 + ... + an olmak üzere, 2 s + s + ... + s $ n s - a1 s - a2 s - an n-1 olduğunu yeniden düzenleme eşitsizliğini kullanarak gösteriniz. 161 Problem : a, b, c pozitif reel sayılar olmak üzere, 2 2 2 2 2 2 a + c + b + a + c + b $ 2^a + b + ch b c a olduğunu yeniden düzenleme eşitsizliğini kullanarak gösteriniz. Çözüm : f (a, b, c) = 2 2 2 2 2 2 a + c + b + a + c + b fonksiyonu a, b, c ye göre simetrik b c a 1 $ 1 $ 1 dir. Buradan 1 $ 1 $ 1 c b a c b a tir. O halde genelliği bozmadan a $ b $ c olsun. 2 2 ve ^ a , b , c 2 2 a 1 +b b 2 1 2 a +b c 2 h dizileri için iki kez yeniden düzenleme eşitsizliğini uygulayalım. 1 + c2 1 $ b2 1 + c2 1 + a2 1 = b + c + a c a b c a 1 + c2 1 $ a2 1 + b2 1 + c2 1 = a + b + c a b a b c Bu iki eşitsizlik taraf tarafa toplnaırsa, 2 2 2 2 2 2 a + c + b + a + c + b $ 2^a + b + ch bulunur. b c a Problem : x, y, z pozitif reel sayılar olmak üzere, 3 3 3 x + y + z $ x+y+z yz zx xy olduğunu yeniden düzenleme eşitsizliğini kullanarak gösteriniz. 3 Çözüm : f (x, y, z) = 3 3 x + y + z fonksiyonu x, y, z ye göre simetriktir. O halde yz zx xy 3 3 genelliği bozmadan x $ y $ z olsun. x $ y $ z ^ x3, y3, z3h ve ` 1 , 1 , 1 j dizileri , 1 $ 1 $ 1 3 yz zx xy dir. Buradan için yeniden düzenleme eşitsizliğini uygulayalım. yz zx xy 3 2 3 2 3 2 x + y + z = x3 1 + y3 1 + z3 1 $ x3 1 + y3 1 + z3 1 = x + y + z yz zx xy yz zx xy xy yz zx y z x 2 Şimdide 2 2 x + y + z ifadesi için yeniden düzenleme eşitsizliği uygulayalım. Burada y z x 2 dikkat etmemiz gereken f (x, y, z) = 2 2 x + y + z fonksiyonu x, y, z ye göre simetrik y z x değil döngüseldir. (cyclic) x $ y $ z ve z $ y $ x durumlarının ikisinide incelememiz gerekir. 2 2 i.) x $ y $ z olsun. x $ y $ z , 1$1 $ 1 2 z y x 2 2 dir. ^ x , y , z için yeniden düzenleme eşitsizliğini uygulayalım. h ve ` 1 , 1 , 1 j dizileri 2 z y x 162 2 2 2 2 2 2 x + y + z $ y + z + x = y + z + x bulunur. y z x y z x 2 2 ii.) z $ y $ x olsun. z $ y $ x , 1 $1 $1 2 x y z 2 2 dir. ^ z , y , x h ve ` 1 , 1 , 1 j dizileri 2 x y z için yeniden düzenleme eşitsizliğini uygulayalım. 2 2 2 2 2 2 y y z z + + x $ x + + = x + z + y bulunur. O halde, x y z x z y 3 3 3 x + y + z $ x + y + z dir. Eşitlik x = y = z durumunda sağlanır. yz zx xy Uygulamalar: 1.) a, b, c ! R+ olmak üzere, + 2.) a, b, c ! R olmak üzere, 1 + 1 + 1 $ a + b + c olduğunu gösteriniz. 2 2 2 abc a b c 2 2 2 a + b + c $ b + c + a olduğunu gösteriniz. 2 2 2 a b c b c a Problem : x, y, z pozitif reel sayılar olmak üzere, x 2 2 2 2 2 - z2 + y - x + z - y $ 0 y+z z+x x+y olduğunu yeniden düzenleme eşitsizliğini kullanarak gösteriniz. Çözüm : 2 2 2 2 2 2 y z x + y + z olduğunu göstermek $ + x + y+z z+x x+y y+z z+x x+y yeterlidir. f (x, y, z) = x 2 2 2 2 2 - z2 + y - x + z - y $ 0 fonksiyonu x, y, z y+z z+x x+y ye göre simetrik değil döngüseldir. x $ y $ z ve z $ y $ x durumlarının ikisinide incelememiz gerekir. 2 2 i.) x $ y $ z olsun. x $ y $ z 2 , 2 2 2 1 $ 1 $ 1 dir. ^ x , y , z h ve y+z z+x x+y 1 , 1 , 1 `y+ j dizileri için yeniden düzenleme z z+x x+y 2 2 2 2 2 eşitsizliğini uygulayalım. 2 y z x + y + z bulunur. $ + x + y+z z+x x+y y+z z+x x+y 2 2 ii.) z $ y $ x olsun. z $ y $ x 2 , 2 2 2 1 $ 1 $ 1 dir. ^ z , y , x h ve x+y z+x y+z 1 , 1 , 1 `x+ j dizileri için yeniden düzenleme y z+x y+z 2 2 2 2 eşitsizliğini uygulayalım. 2 2 y y z z bulunur.Eşitlik x = y = z duru $ + + x + x + x+y z+x y+z x+y z+x y+z munda sağlanır. 163 3 3 3 Problem : a, b, c ! R+ olmak üzere, a + b + c $ 3abc olduğunu gösteriniz. 3 3 3 Çözüm : f (a, b, c) = a + b + c fonksiyonu a, b, c ye göre simetriktir. Genelliği boz madan a $ b $ c varsayalım. ^ a, b, ch, ^ a, b, ch, ^ a, b, ch dizileri için yeniden düzenleme eşitsizliği uygulayalaım. aaa + bbb + ccc $ abc + bca + cab = 3abc bulunur. Problem : a, b, c $ 1 olmak üzere, a b c b c a a b c $a b c olduğunu gösteriniz. a b c Çözüm : f (a, b, c) = a b c fonksiyonu a, b, c ye göre simetriktir. Genelliği bozmadan a b c a $ b $ c varsayalım. a b c ifadesinin ln ’ini alalım. a b c ln^a b c h = alna + blnb + clnc dir. a $ b $ c olduğundan lna $ lnb $ lnc dir. ^a, b, ch ve ^lna, lnb, lnch dizileri için yeniden düzenleme eşitsizliği uygulayalım. alna + blnb + clnc $ alnc + blna + clnb elde edilir. alna + blnb + clnc $ alnc + blna + clnb + e ln^aa bb cch $e ln^ca ab bch a b c a b c &a b c $c a b bulunur. Problem : x1 # x2 # x3 # ... # xn ve y1 # y2 # y3 # ... # yn iki sayı dizisi olsun. " z1, z2, z3, ..., zn , sayısı dizisi " y1, y2, y3, ..., yn , dizisinin bir permütasyonu olmak üzere, ^ x1 - y1h2 + ^ x2 - y2h2 + ... + ^ xn - ynh2 $ ^ x1 - z1h2 + ^ x2 - z2h2 + ... + ^ xn - znh2 olduğunu gösteriniz. ( IMO - 1975 ) Çözüm : n n n i=1 i=1 i=1 n n i=1 n i=1 n ^ x1 - y1h2 + ^ x2 - y2h2 + ... + ^ xn - ynh2 = / xi2 - 2 / xi yi + / yi2 n ^ x1 - z1h2 + ^ x2 - z2h2 + ... + ^ xn - znh2 = / xi2 - 2 / xi zi + / zi2 n olduğundan / i=1 2 xi n n - 2/ xi yi + / i=1 i=1 2 yi i=1 n $ / i=1 2 xi -2 / xi zi + / zi2 eşitsziliğinin i=1 i=1 doğru olduğunu göstermek yeterlidir. Gerekli sadeleştirmeler yapılırsa, n n i=1 i=1 / xi yi $ / xi zi elde edilir. Bu eşitsizlik yeniden düzenleme eşitsizliğinin kendisidir.