6 1. Tümüyle Düznli Hausdorff Uzaylar 1.2 Tümüyle Düzenli Topolojik Uzaylarda Sürekli Fonksiyonlar Halkası ve Kapalı Taban X topolojik uzay olmak üzere X’den R’ye tanımlı sürekli fonksiyonlar kümesini C(X) ile göstermiştik. Noktasal cebirsel işlemlere göre (noktasal toplama ve noktosal çarpma) C(X) bir cebirdir. Ayrıca noktasal sıralamadan gelen sıralamaya göre bir Riesz cebirdir. Özelikkle fonksiyonel analizde C(X) vektör uzayı önemli bi öznedir. Bu kısımda verilen bir X topolojik uzayı için C(X) ve C(Y ) Riesz cebirlerini izomorfik yapan tümüyle düzenli Y topolojik uzayının varlığını göstereceğiz. Bunun sonucu olarak C(X) vektör uzayının ve cebirinin yapısını anlamak daha kolay olacaktır. Dolayısıyla C(X) cebirini çalışırken X’i tümüyle düzenli almak genelliği bozmayacaktır. Önce aşağıdaki teoreme ihtiyacımız var. Teorem 1.3. (X, τ ) bir topolojik uzay olsun. Aşağıdakiler denktir. (i) X tümüyle düzenlidir. (ii) τ , Hausdorff ve bir F ⊂ RX tarafından üretilen topolojidir. Kanıt: (i) =⇒ (ii): F = C(X) ya da F = Cb (X) almak yeterlidir. (i) =⇒ (ii): K, X uzayında kapalı olsun. x ∈ X \ K verilsin. Bu durumda x ∈ ∩ni=1 f −1 ((ai , bi ) ⊂ X \ K olacak biçimde fi ∈ F ’ler vardır. fi (x) ∈ (ai , bi ) olduğundan her i için gi (fi (x)) = 1 ve gi ((ai , bi )c ) ⊂ {0} olacak biçimde gi : R → R sürekli fonksiyonlar vardır. h : X → R, h = (g1 ◦ f1 )...(gn ◦ fn ) olarak tanımlıyalım. g ∈ C(X), g(x) = 1 ve f (X \ K) ⊂ {0} olduğu barizdir. Bu kanıtı tamamlar. Aşağıdaki teoremin kanıtı okuyucuya bırakılmıştır. Teorem 1.4. (X, τ ) bir topolojik uzay ve F ⊂ C(X) tarafından X üzerinde üretilen topoloji τ ’ye eşit olsun. Y bir topolojik uzay ve σ : Y → X fonksiyonu için aşağıdakiler denktir. (i) σ süreklidir. (ii) her f ∈ F için f ◦ σ : Y → R süreklidir. 1.2. Tümüyle Düzenli Topolojik Uzaylarda Sürekli Fonksiyonlar Halkası ve Kapalı Taban 7 Şimdi aşağıdaki temel teoremi verebiliriz. Teorem 1.5. Verilen her topolojik uzay (X, τX ) için öyle bir tümden düzenli (Y, τY ) topolojik uzayı vardır ki, C(X) ve C(Y ) Riesz cebir izomorfiktir. Kanıt: x, y ∈ X için, ≡ ilişkisi x ≡ y ⇐⇒ ∀f ∈ C(X), f (x) = f (y) olarak tanımlansın. ≡ ilişkisinin bir denklik ilişkisi olduğu açıktır. Her x ∈ X için [x], x’nin denklik sınıfını göstermek üzere, Y = X/≡ = {[x] : x ∈ X} σ : X → Y , σ(x) = [x] olarak tanımlansın. F = {g ∈ RY : g ◦ σ ∈ C(X)} olmak üzere, τY , Y üzerinde F tarafından üretilen topoloji olsun. Aşağıdakiler gerçekleşir: (i) F ⊂ C(Y ) olduğu bariz. (ii) Yukarıdaki teorem gereği σ süreklidir. (iii) Y , Hausdorff-uzayıdır: Y ’de [x] 6= [y] olsun. Bu x 6≡ y demektir. Tanımdan bir f ∈ C(X) için f (x) 6= f (y) dir. g : Y → R fonksiyonu g([x]) = f (x) olarak tanımlıyalım. Bu g ◦ σ = f ∈ C(X) dir. F ’nin tanımından g ∈ C(Y ) dir ve g([x]) 6= g([y]) dir. Bu Y ’nin Hausdorff olduğunu kanıtlar. (iv) Y , tümüyle düzenlidir: Y Hausdorff ve topolojisi F ⊂ RY tarafından üretilmiş olmasından dolayı Teorem ??? gereği tümüyle düzenlidir. (v) F = C(Y ): f ∈ C(Y ) verilsin. σ sürekli olduğundan, f ◦ σ ∈ C(X) ve F ’nin tanımı gereği f ∈ F dir. (vi) π : C(Y ) → C(X), π(f ) = f ◦ σ olarak tanımlanan fonksiyonun Riez cebir izomorfizma olduğu açıktır. Bu kanıtı tamamlar. X bir topolojik uzay ise, f ∈ C(X) olmak üzere Z(f ) = {x ∈ X : f (x) = 0} 8 1. Tümüyle Düznli Hausdorff Uzaylar kümesine sıfır küme denir. Teorem 1.6. X, T2 -uzay olsun. Aşağıdakiler denktir. (i) X tümüyle düzenli. (ii) X uzayında sıfır kümelerin kümesi, kapalı kümeler tabanıdır. Yani, X’nin kapalı kümeleri sıfır kümelerin arakesitleridir. Kanıt: (i) =⇒ (ii): K ⊂ X kapalı olsun. Her k ∈ X \ K için fk (k) = 1 ve fk (K) ⊂ {0} özelliğinde fk ∈ C(K) vardır. K = ∩k∈X\K Z(fk ) olsuğu barizdir. (ii) =⇒ (i): K ⊂ X kapalı ve x ∈ X \ K verilsin. Varsayım gereği K = ∩i∈I Z(fi ) özellig̈inde fi ∈ C(X)’ler vardır. Ayrıca 0 ≤ fi ≤ 1 seçebiliriz. x 6∈ K olduğundan bir i ∈ I için x 6∈ Z(fi ), yani fi (x) 6= 0 dır. fi (K) ⊂ {0} olduğu da barizdir. Bu kanıtı tamamlar. Alıştırmalar 1.8. (X, τ ) bir topolojik uzay olsun. X üzerinde Cb (X) ve C(X) tarafından üretilen topolojilerin eşit (τ ∗ ile gösterelim) ve τ topolojisinden daha kaba olduğunu, yani τ ∗ ⊂ τ olduğunu gösteriniz. 1.9. X bir topolojik uzay ve Y tümüyle düzenli topolojik uzay ve C(X) ve C(Y ) cebirleri cebir izomorfizma olsunlar. Cb (X) ve Cb (Y ) cebirlerinin izomorfik olduklarını gösteriniz.