Analiz II ödev 2

ANALİZ II Ödev (Matematik Böl.)
6.05.2016
1. Aşağıdaki serilerin yakınsaklık aralıklarını bulunuz.
(a)

 1n1  x  1n
n 1
n


(a)

n 1

(a)

3n3  x  1
n 1
2n

(e)
  1
n
(b)
n
(b)
(ı)
(d)
n x
(j)
n 4  16
(h)
 1n  x  2 n
n 1
n10n
n 1
3n


(f)


n 1

 x2  1 


 5 
n
(k)
n
 1n  x  12n
2n  1

 1n 10n  x  10 n
n 1
n!


n ! x  5 
n 1
2n

(i)
2 n 1
xn
n
n 1
n 1

2n3  2 x  1

2 n
 2 x  1n


n 1




n
n
1  x 1 


2n  1  x  1 
n 1
n 1
(g)


5n
n ! x  5 
1  x 1 


n x 
n 1
 2n  1 2 x  12n1


(b)
1
n 1
(c)


 3  x n
n 1
n3

n
2. Aşağıdaki fonksiyonları, karşılarında verilen noktalarda Taylor serisine açınız.
(a) f  x  
(c) f  x  
(e) f  x  
(g)
2
,
x2
(b) f  x  
 x  1
1
 x  1 x  2 
,
 x  0
1
,
 2 x  1 x  1
f  x   e2 x 1,
(ı) f  x   cos x,
 x  1
 x  
 x  0
1
2

,
x 1 x  1
(d) f  x   e2 x ,
 x  0
 x  1
(f) f  x   sin 3 x,
 x   
(h) f  x   e x1,
 x  2


(i) f  x   sin x,  x  
2

3. (a) f  x   x 4  4 x 2  2 x  1 fonksiyonunu  x  2  ’nin kuvvetlerinde yazın.
(b) f  x   x6  x5  x 4  x3  x 2  x  1 fonksiyonunu  x  1 ’in kuvvetlerinde yazın.
  ax
4.





3

 b dx  ?
2
arcsin x
1  x2

dx  ?
x  arctan  3 x 
1 9x
dx
x2  4 x
2
?
 2  dx  ?

 6 x2  5x  6

x2  2 x  2

arcsin xdx
?
1 x

dx
?
cos x  2sin x  5

1 x
3
dx  ?
1 x


x dx

4  x4

x2




?
 
arctan e x dx
ex
?


?
 cos xdx  ?
(b)
0
n
1
6. lim  n  k   1  x2 dx olduğunu gösterin.
2
n k 1
7. İspatlayınız:
2
0

2x
x2  2 x  1
xe x dx

1 ex
?
dx  ?
?
x3 x
4

3


6
x  x
5
7
dx  ?
2 x
arcsin 
 1 x
cos4 x  sin 4 x
 sin xdx  ?
0
?
cos 2 x dx
5. Belirli integral tanımını kullanarak aşağıdaki integralleri çözünüz.
(a)
e2  e2 x
x 2  4 x dx  ?

?
4
b



x3  4 dx
?
x
b
e x dx
sin 4  3 x  cos3  3 x  dx  ?
3sin x  4 cos x  3
cos2 x  sin 4 x
1  x3
2
x sin x dx  ?

dx  ?
dx
x arcsin xdx
1 x
16  x 4
  x ln x   ln  ln x    ?
?
 cos x  2sin x  dx  ?
dx
x5 dx
3

sin  3x  5 cos  x  1 dx  ?
arcsin xdx
dx
?
1 x  4 1 x
dx  ?
x ln x
8 xdx

dx  ?
?
 x2  2 x  3
 x 2  2 x  3 dx  ?
8 x

dx

?
x 2
2
dx

?
e2  e2 x
x 2  6 x  10
dx  ?
?
e x dx
x4  4
cos  ln x  dx
?
x

4  x2


x2
arctan x
dx


3
dx  ?
x 2  6 x  10 dx  ?
2x 1
 x2  4  x2  2 dx  ?
?


 dx  ?

x3dx
1  2 x 
ln  tan x 
dx  ?
sin 2 x
2 3
?
n

n
(a) lim
k 1
n
1
 ln 2
n  k 1

n
(b) lim
k 1
k
n
2

1
2
n
1
(c) lim
n
n
 kp
p 1

k 1
1
1 p
8. Limitleri hesaplayınız:
x
(a) lim
0
x 0
x
 
3
 sin t dt
x
4
sin 2 x  2 esin t dt
?
0
 
(b) lim
x0
arctan x 2
?
0
e x  1   earctan t dt
x
(c) lim
1  cos x
x0
?
(d) lim
x0
0
x
1 e
2
(x )
e
(t 2 )
dt  ?
x
9. Belirli integralleri hesaplayın:

2

(a)
0

(b)

1





e2
sin x dx


 ?  Cevap : 
4
sin x  cos x

2
0
(d)



?
a

b
 Cevap :


2
2
2

a  b sin x
2a a 2  b 2

dx
2
0
 
x arcsin x 2 dx
1  x4
(c)
dx
 x ln3 x  ?
e
3

 Cevap : 
8


2 
 ?  Cevap :


144 

10. a  0 ve f ,   a , a  aralığında integrallenebilir olsun.
a
(a) f,
a
  a, a  da bir çift fonksiyon ise  f  x  dx  2 f  x  dx
a
, gösterin.
0
a
(b) f,
  a, a  da bir tek fonksiyon ise  f  x  dx  0
, gösterin .
a
11. f,   a , a  da sürekli bir fonksiyon ise
a

a
 
a
 
f x 2 dx  2 f x 2 dx , gösterin.
0
Gülseren ÇİÇEK