1.2 Altnet - Zafer ERCAN

1.2. Altnet
1.2
7
Altnet
Bu bölümde altnet kavramı tanıtılarak bazı temel sonuçlar verilecektir. Altnet
kavramı altdizi kavramının bir genellemesidir. Tanım aşağıda:
Tanım 1.5. (Moore, 1939) f : I → X bir net, J directed küme ve, σ : J → I
artan1 bir fonksiyon olsun. Her i ∈ I için f (j) ≥ i olack biçimde bir j ∈ J var
ise, f ◦ σ’ye f ’nin bir altneti2 denir.
X bir topolojik uzay, f : I → X bir net olmak üzere, f ’nin bir F kuyruğu,
bir i ∈ I için
F = Fi = {f (j) : j ≥ i}
biçiminde tanımlanmıştı. Ux , x’i içeren açık kümelerin kümesi olsun.
f → x =⇒ ∀i ∈ I, ∀U ∈ Ux , Fi ∩ U 6= ∅
olduğu bariz. Ama bu gerektirmenin ters yönü, genel olarak doğru değildir.
Gerektirmenin sağtarafının sağlanması durumunda x’e f ’nin yığılma noktası
denir. Yani:
Tanım 1.6. X bir topolojik uzay olsun. x ∈ X ve f : I → X bir net olmak
üzere, x’i içeren her açık küme, f netinin her kuyruğu ile kesişiyor ise, x’e
f ’nın bir yığılma noktası denir.
Bir netin yığılma noktası o netin bir limit noktası olması gerekmese de, bir
altnetinin limit noktasıdır.
Teorem 1.5. (X, X ) bir topolojik uzay, f : I → X bir net ve x ∈ X verilsin.
Aşağıdakilerin denktir.
(i) x ∈ ∩j∈I {f (i) : i ≥ j}
(ii) x, f netinin bir yığılma noktasıdır.
(iii) f ’nin x’e yakınsayan altneti vardır.
Kanıt: (i) =⇒ (ii): i ∈ I ve x ∈ U açık kümesi verilsin. x ∈ {f (j) : j ≥ i}
olduğundan, {f (j) : j ≥ i} ∩ U 6= ∅ dır. Dolayısı ile bazı j ≥ i için xj ∈ U dır.
(ii) =⇒ (iii): Ux , x’i içeren açık kümelerin kümesi olsun. J = Ux × I kümesi,
(U, i) ≤ (V, j) :⇐⇒ V ⊂ U, i ≤ j
1
I ve J boşkümeden farklı iki küme, ≤I , I üzerinde bir ilişki ve ≤J , J üzerinde bir ilişkı
olsun. f : I → J fonksiyonu, x≤I y iken f (x)≤J f (y) oluyor ise, f ’ye artan fonksiyon denir.
2
Literatürde altnet (subnet) tanımı standart değildir. Burada kullanılan tanım
Willard’nın kitabından alınmıştır.
8
1. Yakınsama
ilişkisine göre yönlü bir kümedir. ,
σ : J → I, σ(U, i) = i
olarak tanımlıyalım. f ◦ sigma’nın, f ’nin bir altneti f ◦ sigma → x olduğu
barizdir.
(iii) =⇒ (i): f ◦ σ : J → X, f ’nin bir altneti ve f ◦ σ → x özelliğinde olsun. U
açık ve x ∈ U olsun. i0 ∈ I verilsin. σ(j0 ) ≥ i0 olacak biçimde j0 ∈ J seçelim.
F0 = {(f ◦ σ)(j) : j ≥ j0 }
olmak üzere,
F0 ⊂ Fσ(j0 ) ⊂ Fi0
F0 , f ◦ σ netinin kuyruğu olduğundan U ∩ F0 6= ∅ ve dolayısı ile U ∩ Fi0 6= ∅
dır. x ∈ Fi0 olduğu gösterilmiş olur. i0 ∈ I’nın keyfi olmasından (i) elde edilir.
Bir topolojik uzayda yakınsak her netin altneti de aynı noktaya yakınsar.
Bunu bütünleyen teotem aşağıdadır.
Teorem 1.6. X bir topolojik uzay, f : I → X bir net ve x ∈ X verilsin.
Aşağıdakilerin denkliğini gösteriniz.
(i) f → x.
(ii) g, f ’nin bir altneti ise, h → x özelliğinde g’nin altneti h vardır.
Kanıt: (i) =⇒ (ii): bariz.
(ii) =⇒ (i): f 6→ x olsun. Her i ∈ I için i ≤ k(i), f (k(i)) 6∈ U özelliğinde x’i
içeren açık U kümesi vardır.
J = {(i, k(i)) : i ∈ I}
kümesi
(i, k(i)) ≤ (j, k(j)) ⇐⇒ i ≤ j, k(i) ≤ k(j)
sıralamasına göre yönlü bir kümedir.
σ : J → I, σ((i, k(i)) = k(i)
olmak üzere g = f ◦ σ, f ’nin bir altnetidir. varsayı gereği g’nin h → x
özelliğinde altneti h vardır. α : M → J olmak üzere
h=g◦α=f ◦σ◦α
biçimdedir. Her m ∈ M için h(m) 6∈ U dır. Bu h → x olması ile çelişir. O
halde f → x dir.
Alıştırmalar
1.10. Bir topolojik uzayda bir dizinin altnetinin bir altdizi olması gerekmediğini gösteriniz.