Analiz I Ödev 1 Son Teslim: 09/10/2013

02/10/2013
Analiz I
Ödev 1
Son Teslim: 09/10/2013
1. A³a§daki ifadelerin do§ru veya yanl³ oldu§unu belirleyiniz.
2.
a2 + b2 ≥ 2ab
a.
a, b ∈ R
ise
b.
a, b ∈ R
ve her
c.
a, b ∈ R − {0}
d.
f −1 (B) = ∅
a1 , a2 , b1 , b2 ∈ R
ε>0
a
ise |
b
için
+
B=∅
ise
b
|
a
ve
|a.b| ≤ |a|.|b|
a≤b+ε
≥2
dir.
a<b
ise
dir.
dir.
dir.
ise
(a1 b1 + a2 b2 )2 ≤ (a21 + a22 ).(b21 + b22 )
(Cauchy-Schwarz E³itsizli§i)
ve
q
q
p
2
2
2
2
(a1 + b1 ) + (a2 + b2 ) ≤ a1 + a2 + b21 + b22
(Minkowski E³itsizli§i)
oldu§unu gösteriniz.
3. A³a§daki her bir kümenin inmumunu ve supremumunu bulunuz.
a.
E = {x ∈ R | x2 − 2x + 3 > x2
b.
E = { pq | p2 < 5q 2
ve
c.
E = {x ∈ R |
her
n∈N
için
x=1+
d.
E = {x ∈ R |
her
n∈N
için
x=
e.
E = {2 −
4. Her bir
(−1)n
n2
ve
x > 0}.
p, q > 0}.
1
n
(−1)n
}.
n
n
+ (−1) }.
| n ∈ N}.
a ∈ R ve her bir n ∈ N için |a − rn | <
1
ko³ulunu sa§layan bir rasyonel saynn
n
bulunabilece§ini ispatlaynz.
5.
A, B ⊆ Y
ve
f :X→Y
olsun. A³a§dakileri gerçekleyiniz.
a.
f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B)
dir.
b.
f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B)
dir.
c.
f −1 (A/B) = f −1 (A)/f −1 (B)
dir.