A - Bölüm_02_Özel Tanımlı Fonk..qxp

Özel Tanýmlý Fonksiyonlar
log 2 (y + 2) = x bulunur. Buradan
1. PARÇALI FONKSÝYON
f −1 (x) = log 2 (x + 2) olup,
f −1 (6) = log 2 (6 + 2) = log 2 8 = log 2 2 3 = 3
bulunur.
Taným :
Taným kümesinin aralýklarýnda ayrý birer
fonksiyon olarak tanýmlanan fonksiyonlara
parçalý fonksiyonlar denir.
II. yol :
6 = 2x − 2
x ≤ a ise
⎧ f(x) ,
⎪
⎪
y = ⎨ g(x) , a < x < b ise
⎪
x ≥ b ise
⎪
⎩ h(x) ,
8 = 2x
d) x > 3 için, fonksiyonu sabit olduðundan
görüntü kümesi tek bir reel sayýdýr.
alt aralýklarýn uç noktalarý olan x = a, x = b
.... noktalarýna parçalý fonksiyonun kritik
noktalarý, ayrýca f(x), g(x), h(x) .... fonksiyonlarýna da parçalý fonksiyonun dallarý
denir.
Yani (3, ∞) aralýðýndaki tüm sayýlarýn görüntüsü tek bir sayýya eþittir.
Dolaysýyla f (3, ∞) = 1 dir.
Örnek 2
Örnek 1
⎧
⎪
⎪
f(x) = ⎨
⎪
⎪
⎩
ise x = 3 bulunur.
2
x +3 ,
⎧ mx + 2
, x≥1
⎪
⎪ 2
f(x) = ⎨ x + 1
⎪ 2
⎪
⎩ nx − x , x < 1
x ≤ −1 ise
2 x − 2 , − 1 < x ≤ 3 ise
1
,
x ≥ 3 ise
fonksiyonu için f(1) = 4 ve f(−1) = 2 ise,
m + n toplamýnýn deðeri kaçtýr?
biçiminde bir fonksiyon tanýmlanýyor.
Çözüm
− 2) = ?
a) f(20) + f(2) + f(−
x ≥ 1 ise
b) (fofof) (0) deðerini bulunuz.
c) −1 < x ≤ 3 için f
−1
(6) = ?
f(1) =
m .1 + 2
12 + 1
=4
m + 2 = 4 . 2 ise m = 6
d) x > 3 için f(x) in görüntü kümesini bulunuz.
x < 1 ise f(−1) = n(−1) 2 −(−1) = 2
n + 1 = 2 ise n = 1
Çözüm
ise m + n = 6 + 1 = 7 bulunur.
Yukarýda, parçalý fonksiyonda verilen aralýklara göre soruyu çözelim.
a) f(20) = 1
f(2) = 2 2 − 2 = 2
f(−2) =
(−2) 2
+3=7
Örnek 3
⎧⎪ x + 3 , x ≥ 1
f(x) = x + 1 , g(x) = ⎨
⎪⎩ 2x − 3 , x < 1
Bunlarý toplarsak
f(20) + f(2) + f(−2) = 1 + 2 + 7 = 10
fonksiyonlarý verildiðine göre, (fog)(x) i
bulunuz.
bulunur.
b) fofo ( f(0) ) = fof(−1)
= f ( f(−1) )
= f(4)
f(0) =
2o
− 2 = −1
Çözüm
f(−1) = (−1)3 + 3 = 4
x ≥ 1 ise (fog)(x) = f( g(x) ) = g(x) + 1
f(4) = 1
= x + 3 + 1 = x + 4
= 1 bulunur.
x < 1 ise (fog)(x) = f( g(x) ) = g(x) + 1
c) −1 < x ≤ 3 için f(x) = 2 x − 2 þeklinde
= 2x − 3 + 1 = 2x − 2
olup, buradan x’i yalnýz býrakalým.
y = 2 x − 2 ise y + 2 = 2 x olup, her iki
tarafýn 2 tabanýna göre logaritmasýný
alalým.
⎧ x +4 , x ≥1
ise (fog)(x) = ⎪⎨
⎪⎩ 2x − 2 , x < 1
45
Özel Tanýmlý Fonksiyonlar
Örnek 4
Çözüm
⎧⎪ 2x − 3 , x > 2
f(x) = ⎨
⎪⎩ x − 1 , x ≤ 2 ise
Verilen aralýklarda üç farklý fonksiyonun
grafiði çizilir. y = −x grafiði çizilir x < −1
kýsmý taranýr.
−
f 1 (x) in eþiti kaçtýr?
y = x − 2 fonksiyonunun grafiði çizilir x ≥ 1
kýsmý alýnýr.
Çözüm
Parçalý fonksiyonun tersinin tanýmlý olabilmesi için parçalý fonksiyonun tanýmlý olduðu aralýkta bire-bir ve örten olmalýdýr. Ayrýca
kritik noktadaki deðerleri birbirine eþit olmalýdýr. Yani,
−1 ≤ x < 1 aralýðýnda f(x) = 2 olduðu bilinmektedir.
Buna göre;
y
y = −x
2 . 2 − 3 = 2 − 1
2
1 = 1 olmalý.
f
−1
⎧ x+3
, x >1
⎪
(x) = ⎨ 2
⎪
⎩ x +1 , x ≤ 1
y = x−2
1
−1
x
−1
−2
þeklinde ayrý ayrý tersleri alýnýr.
Not:
Örnek 7
x = 1 ters fonksiyonun sýnýr deðeri olduðuna dikkat ediniz.
Örnek 5
f : R → R ,
⎧
⎪
⎪
⎪
f(x) = ⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎧⎪ x − 1 , x > 1
f(x) = ⎨
⎪⎩ x + 2 , x ≤ 1
grafikleri ayrý ayrý çizilerek istenilen yerler
taranýr.
grafiðidir.
y = x−1
−2
−1
Örnek 6
f : R → R ,
1
f(x) = x + 1
f(x) = x2 − 1
A(0, 1) , B(−1, 0)
tepe noktasý (0, 1)
noktalarýndan geçen
olan bir paraboldür.
bir doðrudur.
y = x+2
Bu fonksiyonlarýn verilen aralýklarda grafiklerini
çizdiðimizde
y
2
bölgeler f(x) in
x 2 − 1 , x < 0 ise
Yukarýdaki örneklere benzer þekilde çözüm
yapalým.
x > 1 ise y = x − 1 ve x ≤ 1 ise y = x + 2
þekildeki taralý
, x = 0 ise
Çözüm
Çözüm
Buna göre;
1
2
fonksiyonunun grafiðini çiziniz.
fonksiyonunun grafiðini çiziniz.
y
x + 1 , x > 0 ise
x
1
1
2
1
−1
, x < −1
⎧−x
⎪
⎪
f(x) = ⎨ 2
, −1 ≤ x < 1
⎪
⎪
⎩ x −2 , x ≥1
x
−1
x > 0 için doðruyu , x < 0 için parabolün
alýndýðýna dikkat ediniz.
fonksiyonunun grafiðini çiziniz.
46
Özel Tanýmlý Fonksiyonlar
Örnek 1
2. MUTLAKDEÐER FONKSÝYON
f(x) = |4 + |x − |1 − x||
Taným :
x < 0 ise f(x) fonksiyonunu düzenleyiniz.
Çözüm
⎧ f(x) , f(x) > 0
⎪
⎪
f(x) = ⎨
0 , f(x) = 0
⎪
⎪
⎩ − f(x) , x < 0
x < 0 olduðundan |1 − x| = 1 − x olur.
f(x) = |4 + |x − 1 + x||
= |4 + |2x − 1||
veya daha açýk bir ifadeyle
x < 0 olduðundan |2x − 1|= −2x + 1
⎧ x −3 , x > 3
⎪
⎪
g(x) = x − 3 = ⎨
0 , x =3
⎪
⎪
⎩− x + 3 , x < 3
f(x) = |4 − |2x − 1| = |5 − 2x|
x < 0 olduðundan f(x) = |5 − 2x|
= 5 − 2x bulunur.
þeklinde de tanýmlanan
|f|: A → R + ∪ {0} fonksiyonuna mutlakdeðer fonksiyonu denir.
Örnek 2
f(x) = x + |x − 2| fonksiyonunu parçalý
fonksiyon þeklinde yazýnýz.
Mutlak deðeri bir uzunluk olarak ele alýp
incelemiþtik, burada ise mutlakdeðeri bir
fonksiyon olarak inceleyip, grafiklerini
çizeceðiz.
Çözüm
Mutlakdeðer fonksiyonunun içini sýfýr yapan
deðer kritik nokta olduðundan
x > 2 ise,
|x − 2| = x − 2
Uyarý :
⇒
f(x) = x + x − 2
= 2x − 2
Mutlakdeðer fonksiyonunun içini sýfýr yapan
noktalar fonksiyonun kritik noktalarýdýr. Bu
fonksiyonlar incelenirken önce kritik noktalara göre parçalý biçimde yazýlýr.
x < 2 ise,
|x − 2| = −x + 2 ⇒ f(x) = x − x + 2 = 2
x = 2 için,
f(x) = 2 + |2 − 2| = 2
Mutlakdeðer Fonksiyonun Özellikleri
1)
2)
3)
|f(x)| = |−f(x)|
⎧⎪ 2x − 2 , x > 2
f(x) = ⎨
2 , x ≤ 2 dir.
⎪⎩
|f(x) . g(x)| = |f(x)|.|g(x)|
f(x)
f(x)
=
g(x)
g(x)
|f(x)|n = |f n (x)|
5)
|f(x) + g(x)| ≤ |f(x)|+|g(x)|
2m
Örnek 3
, g(x) ≠ 0
4)
6)
Buna göre f(x) in parçalý fonksiyon þeklinde yazýlmýþ hali,
f(x) = x 2 − 6x + 9 − x
fonksiyonunu parçalý fonksiyon þeklinde
yazýnýz.
Çözüm
x 2 − 6x + 9 = (x − 3)2 = x − 3
f(x)2m =|f(x)| , (m ∈ Z + )
f(x) = x − 3 − x
iþaretlerini inceleyelim.
47
Özel Tanýmlý Fonksiyonlar
x
0
−∞
3
Örnek 5
+∞
x−3
−
−
+
x
−
+
+
f(x) = |x − 2|
çiziniz.
fonksiyonunun grafiðini
Çözüm
Buna göre fonksiyonu tanýmlayalým.
Mutlakdeðerin içini sýfýr yapan deðer x = 2
olup bu nokta fonksiyonun kritik noktasýdýr.
x < 0 ise f(x) = −x + 3 − (−x)
x = 2 nin saðýnda ve solunda fonksiyon
farklý tanýmlanýr ve parçalý þekilde yazýlýr.
= −x + 3 + x = 3
0 < x < 3 ise f(x) = −x + 3 −x
= −2x + 3
x > 2 ise |x − 2| = x − 2
⇒ f(x) = x − 2
x > 3 ise f(x) = x − 3 − x = −3
x < 2 ise |x − 2| = −x + 2 ⇒ f(x) = −x + 2
Ayrýca kritik noktalara bakalým.
olduðundan,
x = 0 için f(0) = |0 − 3| − |0| = 3
x = 3 için f(3) = |3 − 3| − |0| = −3
Buna göre;
3 , x≤0
⎧
⎪⎪
f(x) = ⎨− 2x + 3 , 0 < x < 3
⎪
−3 , x ≥ 3
⎪⎩
x
y = −x+2
y = −x + 2 nin grafiðini incelediðimizde
y = x − 2 nin ox eksenine göre simetriðinin
alýnmýþ hali y = −x + 2 grafiði olduðu görülür.
x − x +1 −1
Bundan dolayý f(x) fonksiyonunun tamamý
mutlakdeðer içinde ise, mutlakdeðerin
içinin grafiði çizilip ox eksenine göre simetriði alýnýrsa |f(x)| fonksiyonunun grafiði
elde edilmiþ olur.
x
fonksiyonunun en sadeleþtirilmiþ halini
bulunuz.
Çözüm
Örnek 6
Mutlakdeðerin içini tamkare yapalým.
f(x) = |x 2 − 1|
çiziniz.
2
| x − 2 x + 1 + x | −1
f(x) =
x
fonksiyonunun grafiðini
Çözüm
2
Önce f(x) in iþaretini inceleyelim.
|( x − 1) + x | − 1
x
x
( x − 1)2 + x > 0 olduðundan
f(x)
( x − 1)2 + x − 1
f(x) =
x
−∞
+
1
−1
−
+∞
+
⎧ x 2 − 1 , x ≤ − 1 veya x ≥ 1 ise
⎪
f(x) = ⎨
⎪⎩ −(x 2 − 1) , − 1 < x < 1 ise
2
=
2
y = x − 2 nin grafiði ile
R + da tanýmlý,
=
2
Uyarý :
Örnek 4
f(x) =
y = x−2
−2
þeklinde yazýlýr.
f(x) =
y
⎧x − 2 , x > 2
⎪⎪
f(x) = ⎨ 0 , x = 2
⎪
⎪⎩ − x + 2, x < 2
x − 2 x +1 + x − 1
x
Bu fonksiyonun grafiði f(x) = x 2 − 1 parabolünün x ≤ −1 ile x ≥ 1 þartýna uyan
parçasý ile f(x) = −x 2 + 1 parabolünün
−1 < x < 1 þartýna uyan parçasýnýn birleþimidir.
x ( x − 1)
x
f(x) = x − 1 bulunur.
48
Özel Tanýmlý Fonksiyonlar
Belirtilen aralýklarda grafikleri çizelim.
Pratik olarak f(x) parabolü ve x ekseni
altýnda kalan kýsmýn yine x eksenine göre
simetriði alýndýðýnda |f(x)| in grafiði çizilmiþ olur.
y
y
y =
x2
− 1 in tepe
1
noktasý (0, −1) olup,
x eksenini kestiði yer-
2
−1
ler x = −1 ve x = 1 dir.
x
2
x
1
−1
Buna göre grafik yukarýdaki gibi çizilmiþ
olur.
Örnek 9
y
f(x) fonksiyonunun
grafiði yanda veril-
Örnek 7
miþtir.
f(x) = x − |x − 2| fonksiyonunun grafiðini çiziniz.
2
x
f(x)
Çözüm
Mutlakdeðerin içini sýfýr yapan kritik nokta
x = 2 dir.
g(x) =
x > 2 ise f(x) = x − (x − 2) = x − x + 2 = 2
fiðini çiziniz.
x < 2 ise f(x) = x +(x − 2) = 2x − 2
Çözüm
y = 2
f(x) in grafiðinden yararlanarak iþaretini
inceleyelim.
y
y = 2x − 2 in
1
[f(x) + |f(x)|] fonksiyonunun gra2
y=2
grafiklerini çizip
x
istenilen yerleri
1
2
taradýðýmýzda
x
f(x)
−2
yandaki grafik
0
−∞
2
+
−
+∞
−
buna göre g(x) ’i tanýmlayalým.
elde edilmiþ olur.
~
x < 0 ve x > 2 ise f(x) < 0 ve mutlakdeðerin tanýmýndan g(x) = 1/2 [ f(x) − f(x) ]
ise g(x) = 0 dýr.
~
0 ≤ x ≤ 2 ise g(x) = 1/2 (f(x) + f(x))
Örnek 8
f(x) =
|2 − x |
+ x +1
2−x
fonksiyonunun grafiðini çiziniz.
g(x) =
Çözüm
x
2
−∞
2−x
+
2f(x)
= f(x) dir.
2
buna göre g(x) in grafiði ,
+∞
−
y
−(2 − x)
+ x +1 = x
2−x
x > 2 ise
f(x) =
x = 2 ise
f(x) = tan ýmsýzdýr.
x < 2 ise
f(x) =
0
2−x
+ x +1 = x + 2
2−x
49
2
x