a.¨u. fen fak¨ultes˙ı matemat˙ık b¨ol¨um¨u mat116

A. Ü. FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ
MAT116 SOYUT MATEMATİK II ARASINAV ÇÖZÜMLERİ
1. S = {x ∈ R : x ∈
/ Q} olmak üzere, S kümesi reel sayıların bilinen çarpma işlemine göre
kapalı mıdır? Araştırınız.
√
√ √
Çözüm: 2 ∈ S için 2 · 2 = 2 ∈
/ S olduğundan, S kümesi reel sayıların bilinen çarpma
işlemine göre kapalı değildir.
2. f : Z5 → Z5 fonksiyonu f (x) = 3x şeklinde tanımlanıyor. f fonksiyonu bir permütasyon
mudur? Araştırınız.
Çözüm: f fonksiyonunun permütasyon olması için gerek ve yeter şart birebir ve örten
fonksiyon olmasıdır. x, y ∈ Z5 olmak üzere; f (x) = f (y) olsun. Bu durumda 3x = 3y dir.
Böylece 2 · 3x = 2 · 3y olup x = y elde edilir. Sonuç olarak f fonksiyonu birebirdir. Z5
sonlu ve f fonksiyonu birebir olduğundan örten fonksiyondur. Dolayısıyla f fonksiyonu
bir permütasyondur.
3. A kümesi üzerinde birleşme özelliğine sahip işlemi veriliyor. A kümesinin işlemine göre
birim elemanı e olmak üzere a ∈ A için a a1 = e ve a2 a = e olsun. Bu durumda a1 = a2
midir? Araştırınız.
Çözüm: işlemi A kümesi üzerinde birleşme özelliğine sahip olduğundan,
a1 = e a1 = (a2 a) a1 = a2 (a a1 ) = a2 e = a2
elde edilir.
4. f : Z8 → Z2 × Z4 fonksiyonu f ([x]8 ) = ([x]2 , [x]4 ) şeklinde tanımlanıyor. f −1 (([1]2 , [3]4 ))
kümesini belirleyiniz.
Çözüm:
f −1 (([1]2 , [3]4 )) =
=
=
=
=
şeklindedir.
{[x]8 ∈ Z8
{[x]8 ∈ Z8
{[x]8 ∈ Z8
{[x]8 ∈ Z8
{[3]8 , [7]8 }
:
:
:
:
f ([x]8 ) = ([1]2 , [3]4 )}
([x]2 , [x]4 ) = ([1]2 , [3]4 )}
[x]2 = [1]2 ve [x]4 = [3]4 }
x ≡ 1 mod(2) ve x ≡ 3 mod(4)}