1 = = . = = , 0,4 = a3 = aaa ) + ( ) = 2. 8 1000 + 64

a≠ 0 için
𝑎−1 =
1
dır.
𝑎
1
22
1
4
=
=
1 1
1
1 + 4𝑚
4+ 1
4+𝑚
4
𝑚
1
= .
4
4 1+4𝑚
=
1+4m=13,
2
0,2= 10
1
1+4𝑚
=
4m=12,
2.(0,2)3 + (0,4)3 = 2.(
1
13
m=3
a3 = a.a.a
4
0,4 = 10
,
1
4
2 3
4 3
) + (10)
10
= 2.
8
64
16 + 64
80
+
=
=
1000 1000
1000
1000
= 0,08
İkinci kesrin paydasını karekökten kurtaralım.
(Paydayı rasyonel yapalım)(Pay ve paydayı
paydanın eşleniği ile çarpalım)[(1-√𝑎)(1+√𝑎)=1-a]
1 + √𝑎
𝑎
1 + √𝑎
𝑎(1 + √𝑎)
−
=
−
1−𝑎
1−𝑎
1 − √𝑎
(1 − √𝑎)(1 + √𝑎)
=
=
1 + √𝑎 𝑎 + 𝑎√𝑎 1 + √𝑎 − 𝑎 − 𝑎√𝑎
−
=
1−𝑎
1−𝑎
1−𝑎
1−𝑎+√𝑎(1−𝑎)
1−𝑎
1+√𝑎 =
5
3
,
=
(1−𝑎)(1+√𝑎)
1−𝑎
5
2
= 1 + √𝑎
4
√𝑎 = 3 − 1 = 3 , a=9
Sayıları çözümleyelim:
(100A+10B+D)-(100B+10B+C)=294
100(A-B)+D-C=294
D-C farkı 94 olamayacağından:
A-B=3 VE
D-C=-6 DIR.
10A+C-(10B+D)=10(A-B)+C-D
= 10.3+6=36
a2 – a = b2- b
a2 – b2 = a – b
(a – b)(a + b) = a – b
a+b=1
İki tarafın karesini alalım.
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 = 12
a2 + 2(-1) + b2 = 1
a2 + b2 = 3
2x = (2.3)x+y-1 = 2x+y-1.3x+y-1
2x = 2x.2y-1.3x.3y-1
3x.2y-1.3y-1 = 1
3x.(2.3)y-1 = 1
3x.6y-1 = 1
3x =
1
6𝑦−1
= 61-y
x+y<0<x<y+z
x+y<x
ve
eşitsizliğinde;
y<0
x + y < y + z ve x < z
0<x
dır.
Bu üç eşitsizlik birleştirildiğinde;
y<x<z
a+b =
bulunur.
𝑥
𝑦
+ 𝑥+𝑦
𝑥−𝑦
𝑥+𝑦)+𝑦(𝑥−𝑦)
= 𝑥((𝑥−𝑦)(𝑥+𝑦)
𝑥 2 +2𝑥𝑦−𝑦 2
=
𝑥 2 −𝑦 2
𝑥 2 +2𝑥𝑦−𝑦 2
a+b-1=
𝑥 2 −𝑦 2
𝑥2 +2𝑥𝑦−𝑦2 −𝑥2 +𝑦2
𝑥2 −𝑦2
=
=
a.b=
2𝑥𝑦
𝑥 2 −𝑦 2
𝑥
𝑦
.
=
𝑥−𝑦 𝑥+𝑦
𝑎+𝑏−1
𝑎.𝑏
=
2𝑥𝑦
𝑥2 −𝑦2
𝑥𝑦
𝑥2 −𝑦2
[(𝑛+1)!]2 +(𝑛!)2
[(𝑛+1)!]2 −(𝑛!)2
=
𝑥𝑦
𝑥 2 −𝑦 2
=
2𝑥𝑦
𝑥 2 −𝑦
.
2
𝑥 2 −𝑦 2
𝑥𝑦
[(𝑛+1)𝑛!]2 +(𝑛!)2
= [(𝑛+1).𝑛!]2
−(𝑛!)2
(𝑛 + 1)2 (𝑛!)2 + (𝑛!)2
(𝑛 + 1)2 (𝑛!)2 − (𝑛!)2
=
=
(𝑛!)2 ((𝑛 + 1)2 + 1)
(𝑛!)2 ((𝑛 + 1)2 − 1)
𝑛2 +2𝑛+2
𝑛2 +2𝑛
n2 + 2n -120 = 0
(n – 10)(n +12) = 0
n = 10
−1
=
61
60
=2
|x-y|=|y-x|
Mutlak değer özelliği.
y - |x-y| = y - |y-x| = y -|1| = y – 1 = 2
y=3
y–x=1 ⇒ 3–x=1 ⇒ x=2
x+y=2+3=5
OKEK(2,3,5) = 2.3.5 = 30
2x = 3y = 5z = 30k
x = 15k,
y = 10k,
z = 6k
x + y+ z = 15k + 10k + 6k = 31k < 100
k = 3 için; x+ y + z = 31.3 =93
A = 13+26+39+ … +169
= 13(1+2+3+ … + 13)
1+2+3+ … + 13 =
𝑛(𝑛+1)
=
A = 13.13.7
2
13.14
2
=
13(13+1)
2
= 13.7
0lur ki A’yı tam bölen
asal sayılar 13 ve 7 dir. 13+7 = 20
Ardışık tek sayılar: 2x+1 , 2x+3 , 2x+5 ,
(2x-5)+(2x-3)+(2x-1)+(2x+1)+(2x+3)
+(2x+5) = 12x
12x = 4.(2x+5) , 12x = 8x + 20,
2x =20,
x = 10
2x + 5 = 2.10 + 5 = 25
√3 + √5 ≠ √8
p≡ 0,
Yanlış
√5 + √3 ≠ √2
q≡ 0,
Yanlış
√3. √5 = √15
r≡ 1,
𝐷𝑜ğ𝑟𝑢
p⇒ (𝑞⋀𝑟) ≡ 0 ⇒ (0⋀1) ≡ 0 ⇒ 0 ≡ 1
p∧ (𝑟 ∨ 𝑞) = 0 ∧ (1 ∨ 0) = 0 ∧ 1 = 0
(p∨ 𝑞) ∧ 𝑟 = (0 ∨ 0) ∧ 1 = 0 ∧ 1 = 0
r⇒ (𝑝 ∧ 𝑞) = 1 ⇒ (0 ∧ 0) = 1 ⇒ 0 = 0
p∧ (𝑟 ⇒ 𝑞) = 0 ∧ (1 ⇒ 0) = 0 ∧ 0 = 0
Olabilecek sıralamalar:
2<6<a<9<b
b = 10, ….
2<6<a<b<9
b=8
2<b<a<6<9
b = 3, 4
b<2<a<6<9
b=1
b , 5 olamaz.
EBOB (a,b) = d
a = d.x
ve
ise
b = d.y dir.
d, a ve d yi böler.
a2 = d2.x2 ; d2 sayısı, a2 sayısını böler.
a2+b=d2.x+d.y=d(d.x+y) ; d2 sayısı,
a2+b sayısını bölmez.
a2 + b2=d2.x+d2.y=d2(x2+y2) ; d2 sayısı
a2 + b2 sayısını böler.
I ve III her zaman doğrudur.
Toplamın en büyük olması için;
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=3+4+5+6=18
(en büyük, farklı dört değer)
Toplamın en büyük olması için;
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1+2+3+4=10
(en küçük, farklı dört değer)
18 -10 = 8
4∆1 ≠ 1 △ 4
1 ∉ 𝑀(4)
4∆2 = 2 △ 4 = 4
2 ∈ 𝑀(4)
4∆3 ≠ 3∆4
3 ∉ 𝑀(4)
4∆4 = 4∆4 = 3
4 ∈ 𝑀(4)
4∆5 = 5∆4 = 2
5 ∈ 𝑀(4)
M(a)={b∈A | a∆𝑏 = 𝑏∆𝑎}
M(4) = {2, 4, 5}
İki basamaklı en büyük doğal sayı: 99
x – y = 65
⇒
x = 65 + y
y’ nin en küçük değeri: 10
x = 65 + 10 =75
x’ in en küçük değeri: 75
75 ≤ 𝑥 ≤ 99
x’in alabileceği doğal sayı değerleri
99 – 75 + 1 = 25 tanedir.

37 + 2 = 39 = 3.13


59 + 2 = 61
67 + 2 = 69 = 3.23
73 + 2 = 75 = 3.25
83 + 2 = 85 = 5.17

73 Chen asalı değildir.
I. f(a+b)=2(a+b)=2a+2b
f(a)=2a, f(b)=2b, f(a).f(b)=2a.2b
2a + 2b ≠2a.2b
II. f(a+b)=2a+b=2a.2b
f(a)=2a,
f(b)=2b , f(a).f(b)=2a.2b
2a+b = 2a.2b
YALNIZ II
III. f(a+b)=(a+b)2=a2+2ab+b2
f(a)=a2, f(b)=b2 , f(a).f(b)=a2.b2
a2+2ab+b2 ≠ a2.b2
𝐷
A+2
A+
𝐷
2
𝐷
2
Ahmet’in zamlı maaşı
+ D = 2.A
+ D =2.A – A
3𝐷
=𝐴
2
2.A = 3.D
2009, 2010 ve 2011 yıllarında elde
ettiği karlar sırasıyla x, y ve z olsun.
25
2012 yılında: z + z.100 =
İlk ortalama =
𝑥+𝑦+𝑧
3
5𝑧
4
=4
x+y+z=12
İkinci ortalama =
12+
4
5𝑧
4
5𝑧
4
= 4,5
=6
𝑥+𝑦+𝑧+
5𝑧
4
4
⇒ 12 +
5𝑧
4
= 4,5
= 18
⇒ z = 4,8
Erkek farelere günde: 24:12=2 adet,
2.0,5=1 gram ilaç,
Dişi farelere günde: 24:8=3 adet,
3.1=3 gram ilaç verilmiş.
x tane erkek fare ve y tane dişi fare;
x.1 + y.3 = 85
x.2 + y.3 = 95 taraf tarafa çıkarırsak
x = 10,
10 +3y = 85 ,
y =25
x + y = 10 + 25 = 35 fare.
Sınıfa getirilen malzeme sayısı;
36+36+36=108
Sınıfta bulunan öğrenci sayısı = x olsun
Dağıtılan malzeme sayısı;
3x+2x+x=6x
6x +42 = 108,
x = 11 öğrenci var.
11.2=22 kalemtraş dağıtılmış.
36 – 22 = 14 kalemtraş artmış.
20-08-2008 den sonraki
ilk simetrik gün 20-09-2009 dur.
Bir yıl, bir ay sonraki tarih.
10.36 =360 gün =1 yıl
36 gün = 1 ay
360 +36 =396 gün sonra olur.
Ali: A+B den B yi, B+D den D yi ve
A+B+C den de C yi bulur.
Banu: A+B den A yı, B+D den D yi ve
A+B+C den de C yi bulur.
Can; A+B+C den A+B yi bulur. Başka bir
şey bulamaz.
Doğa: B+D den B yi, A+B den A yı ve
A+B+C den de C yi bulur.
Paylaşım şu şekillerden biri ile olur.
1-1-3 :C(5,1).C(4,1).C(3;3)=5.4.1=20
1-2-2 :C(5,1).C(4,2).C(2,2)=5.6.1=30
1-3-1 :C(5,1).C(4,3).C(1,1)=5.4.1=20
20 + 30 + 20 = 70 Farklı şekilde.
Olabileceklerin kümesi (Örnek uzayı)
E ={(5,10),(6,9),(7,8),(8,7),(9,6),(10,5)}
İstenenlerin kümesi (Olay)
A ={(7,8),(8,7)}
Olasılık: P(A) =
𝑠(𝐴)
𝑠(𝐸)
2
1
6
3
= =
Çubuklara takılan toplam boncuk sayısı:
1+2+3+4+5+6+7+ … +n =
n = 20 için;
20.(20+1)
2
𝑛(𝑛+1)
2
dir.
= 210
olur.
Çubuk sayısı 5 olduğundan,
20:5 = 4 tam turda 20 boncuk
V. çubuğa takılır.
220 – 210 = 10 kalan boncuk sayısı.
O boncuklar da I. çubuğa takılır.
SORU İPTAL EDİLDİ…
Her turda V. Çubuğa takılan boncuk
sayısının bir fazlası I. çubuğa takılarak
denmeli idi.
YOL = HIZ x ZAMAN
İkizkenar üçgenin dik kenar
uzunluklarını birer birim alısak;
Ayça: 1+1=2 br.
Barış: √12 + 12 = √2 br.
Cem:
√2
.𝜋
2
br. yol alır.
Ayça: 2/4 = 1/2 saatte,
Barış: √2/2 saatte,
Cem:
√2
. 𝜋: 3
2
saatte yarışı bitirir.
1 √2 √2𝜋
<
<
2
2
6
Olduğundan;
Ayça, Barış, Cem varış sırasıdır.
Ayşe ile Kemalin boylarına x dersek;
Bora, Kemal’den 2 cm. kısa: x – 2
Mehmet, Ayşe’den 3 cm. uzun: x + 3
Elif, Mehmet’ten 6 cm. uzun: x+3 + 6
x + 9 = 174
Elif.
x = 165 Ayşe ile Kemal.
x + 3 = 168 Mehmet.
x – 2 = 163 Bora.
Ortalama =
163+165+165+168+174
=
5
167
ABCD yamuğunda:
70o+2y=180o
Y = 55o
BCDE paralelkenarında: 55o + x = 180o
x = 125o
𝑥𝑥
Azalan kısım: A(EOF)=
2
= 18 br2
x = 6 br.
Sondan başa gidelim:
K3 karesinin bir kenar uzunluğu 27 br.
ise, küçük karelerinden birinin boyu:
27:3 = 9 br. dir.
2. şekilde; K2 nin kenarı 4’e
ayrıldığından, K2 nin kenarı: 4.9=36 br.
olur.
K2 de küçük karelerden birinin boyu:
36:3 = 12 br. dir.
1. şekilde; K1 in kenarı 4’e ayrıldığından,
K1 in kenarı: 4.12 =48 br. olur.
48 :3 =16 br. küçük karelerin boyu.
16.4 = 64 = a
VEYA:
𝑎
4
.3 =
27𝑎
64
3𝑎
4
= 27
,
K1 için.
3𝑎
4
4
.3=
9𝑎
16
a = 64 br. bulunur.
, K2 için ve
9𝑎
16
4
.3 =
27𝑎
64
K3 için.
OT⊥PT Teğet, yarıçapa değme
noktasında diktir.
OTP dik üçgeninde Pisagordan;
42 + |TP|2 =62
|TP|2 =20
|TP| = 2√5 cm.
Silindirin hacmi = 𝜋𝑟 2 ℎ
5 dakikada akan su miktarı = 𝜋32 . 2
1 dakikada akan su miktarı = 18𝜋/5
x dakikada: x.(18𝜋/5) = 𝜋.22.h
x.(18𝜋/5) = 𝜋. 32.(h-2)
Taraf tarafa eşitlersek;
4𝜋. ℎ = 9𝜋(ℎ − 2)
4h = 9h – 18,
h = 18/5
Yerine yazılırsa;
x.(18𝜋/5) = 4𝜋. (18/5)
x = 4 dakika.
BCD, 30o-120o-30o ikizkenar üçgeni: |BD|=4√3 = |PL|
KPL dik üçgeninde pisagordan: x2 = 12 +(4√3)2 ,
x2 =49 ,
x = 7 cm.
İki nokta arasındaki uzaklık:
√(𝑥1 − 𝑥2 )2 + (𝑦1 − 𝑦2 )2
|OB|=√(8 − 0)2 + (4 − 0)2 = √64 + 16 = √80 = 4√5
|AC|=√(5 − 3)2 + (0 − 4)2 = √4 + 16 = √20 = 2√5
|OB|+|AC| = 4√5 + 2√5 = 6√5
TH⊥AB çizildiğinde; |TH|=|OC|=1
COA≅THA (AKA)
|AH|=|OA|=2
ATB dik üçgeninde Öklid bağıntısından:
|TH|2=|AH|.|HB|
12 = 2.|HB|
|HB|=1/2
B noktasının apsisi= |OA|+|AH|+|HB|
= 2 + 2 + ½ = 9/2
LYS’ DE BAŞARILAR… 