Leyla Yıldırım

Leyla Yıldırım
Bölüm 3
10.10.12
BÖLÜM 3
FİZİKSEL SİSTEMLERİN SERBEST SALINIMLARI
BASİT HARMONİK HAREKET (BHH)
Cisimlerin elastik özellikleri ile ilgili olarak kuvvet-yer değiştirme ilişkisi Robert Hooke tarafından
basit bir şekilde ifade edilmiştir. Örneğin yay-cisim sistemi için, denge konumundan x kadar
sıkıştırılarak veya gerilerek uzaklaştırılmış yay, ucuna tutturulmuş cisme, Hook yasasına göre,
F =  kx ile verilen geri çağırıcı bir kuvvet uygular. Bu örnekte olduğu gibi, yer değiştirme ile orantılı
bir geri çağırıcı kuvvetin etkisindeki cisimler BHH yaparlar.
3.1. Kütle-Yay Sistemi
Yay sabiti k olan bir yayın ucuna m kütleli bir cisim bağlanarak,
denge noktası etrafında

şeklinde bir geri çağırıcı
kuvvetin etkisi ile BHH yapmaktadır.
3.1.1. Yatayda Kütle-Yay sistemi
Böyle bir sistemde kinetik enerjiyi m kütleli cisim taşırken,
potansiyel enerji yayda depolanacaktır.

Bu ifadedeki () işareti geri çağırıcı kuvvet olduğunu,
’nin
yönünün ’in değişim yönü ile ters olduğunu göstermeketdir.
Bu denklemin çözümü:
: uzanım
: genlik
: açısal frekans (
) ( :frakans, : periyot,
√
)
: faz sabiti
1
Leyla Yıldırım
Bölüm 3
10.10.12
3.1.2. Düşeyde Kütle-Yay sistemi
⏟
Şekil 3.2
Şekil 3.3. Düşeyde hareket yapan kütle-yay sistemi ve BHH hareketi
yapan bir cismin x, v, a grafikleri.
Paralel Bağlı Yaylar
 Paralel bağlı yaylardaki uzama miktarı birbirine eşittir. Yayların kütleye
uyguladığı toplam kuvvet her iki yayın uyguladığı kuvvetlerin toplamına eşittir.
 Yaylar paralel bağlandığında toplam yay sabiti, yayların yay sabitlerinin toplamına eşittir.
Seri Bağlı Yaylar
 Yayları uç uca eklediğimizde seri bağlamış oluruz.
 Seri bağlı
yaylarda
herbir
yay üzerine ortaya
çıkacak kuvvet
eşittir.
 Yaylar seri bağlandığında, toplam uzama her iki yaydaki uzamanın toplamına
eşittir.
2
Leyla Yıldırım
Bölüm 3
10.10.12
3.1.3. Basit Harmonik Harekette Enerji
BHH yapan bir kütle yay sisteminin toplam mekanik enerjisi
ifadesi ile verilir. BHH yapan bir cismin herhangi bir andaki uzanım değeri
ve hızı,
dir.
olduğundan herhangi bir t anındaki hız,
Cisim denge durumundan geçerken
√
( )
√
olur.
en büyük hıza, dolayısıyla en büyük kinetik enerjiye sahip
olur. Cisim dönme noktalarında geçerken
ise en büyük potansiyel enerjiye sahip olur.
Kinetik enerjinin maksimum değeri potansiyel enerjinin maksimum değerine eşittir ve bu değer
herhangi bir andaki toplam enerjiye eşittir.
Cisim denge durumundan geçerken
olacağından,
elde edilir. Bu cismin hareketteki
en büyük hızıdır.
Bu durumda kinetik enerji de en büyük olacağından,
dir.
değeri yukarıdaki bağıntıda yerine konursa,
sonucuna varılır.
Cismin
herhangi
bir
andaki
kinetik
ve
potansiyel
toplamı,
kinetik
zamanda
enerjilerinin
maksimum
enerjiye
aynı
maksimum
potansiyel enerjiye eşit
olacaktır.
3
Leyla Yıldırım
Bölüm 3
10.10.12
K
U
E
Şekil 3.4. BHH yapan bir cismin uzanım, kinetik enerji (k.e.), potansiyel enerji (p.e.) ve toplam
enerjinin (E) zamanla ve yer değiştirmeye göre değişim grafiği.
3.2.1. Basit Sarkaç
Bir ucundan tespit edilmiş ℓ uzunluğundaki hafif iplikle taşınan m
kütleli noktasal bir cismin oluşturduğu düzeneğe basit sarkaç denir.
Basit sarkaç denge konumundan küçük bir θ açısı kadar
uzaklaştırılıp serbest bırakılırsa mg yerçekimi kuvvetiyle ipteki T
gerilmesinin etkisi altında düşey bir düzlemde periyodik salınımlar
yapılır. Kütleye etki eden geri çağırıcı kuvvet
açısının küçük (5°den küçük) olması halinde,
durumda geri çağırıcı kuvvet,
⁄
ifadesi ile verilir.
olur. Şu halde küçük
olup,
’dir. Bu
uzanımları için geri
getirici kuvvet uzanımla orantılıdır. Dolayısıyla
bu şart altında basit sarkacın hareketi basit
harmonik hareket’tir. θ açısının küçük değerleri
için
4
Leyla Yıldırım
Bölüm 3
10.10.12
(BHH)
Bu denklemin çözümü:
: Açısal uzanım
: Açısal genlik
√
√
√
Periyot (veya frekans) kütleden bağımsızdır.
3.2.2. Basit Sarkacın Enerjisi
,
,
θ açısının küçük (5°den küçük) olması halinde, Sinθ≈θ olup,
Dik üçgenden
Küçük açılı salınımlar için
olacağından
alınabilir [
].
Potansiyel enerji :
Kinetik enerji:
Mekanik enerji:
Mekanik enerjiyi maksimum potansiyel enerji cinsinden ifade edersek :
(A genlik)
5
Leyla Yıldırım
Bölüm 3
10.10.12
3.2.3. Burulma Sarkacı
Küçük açılı burulmalar için geri çağırıcı tork
yazılabilir. Burada K, telin burulma sabitidir.
I: diskin eylemsizlik momenti (disk düzlemine dik ve
kütle merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik
momenti Ik..m. = (MR2)/2).
(BHH)
Burada
Denklemin çözümü:
√
√
,
3.2.4. Fiziksel Sarkaç
(küçük açılı salınım)
(BHH)
⁄
⁄
Çözüm:
√
,
√
veya
√
,
√
6
Leyla Yıldırım
Bölüm 3
10.10.12
3.2.5. Yüzen Cisimler İçin Basit Harmonik Hareket
Cisim serbest bırakıldığında titreşim hareketi yapar.
y
: yüzen cismin kütlesi
: kesit alanı
h
: sıvının yoğunluğu
(yer değiştiren sıvının ağırlığı)
(a) Cisim yüzüyor
(b) y kadar bastırılmış
(BHH)
√
;
√
Şekil-a’da batan kısım h olduğundan Archimed ilkesi gereği
yazabiliriz.
Bu değeri periyot (veya freakns) ifadesinde yerine yazarak;
√
ve
√
elde ederiz.
3.2.6. Esneklik ve Young Modülü
Katı cisimlerin esneklik özelliklerinin incelenmesi ile atomlar ve moleküller arasındaki bağlayıcı
kuvvetler hakkında bilgi elde edilebilir. Özel koşullarda büyütülen tek-kristaller, esneklik açısından
anizotropik özellik gösterirler. Farklı kristal doğrultularında ultrases hızı ve esneklik sabitlerinin
ölçülmesi ile esneklik özellikleri ve bağlar hakkında yorumlar yapılabilir.
Hiç esneklik göstermeyen bir katı maddenin varlığı düşünülemez. Her cisim, üstüne uygulanan
kuvvete, ancak belirli bir ölçüye kadar dayanabilir. Uygulanan cismin özelliklerine bağlı kalma
koşuluyla, cismin dayanabilme yeteneği, boyut, biçim ya da hacim değişikliği olarak ortaya çıkar.
Kuvvet uygulanan kuvvet ortadan kalktığında, cisim, yeniden eski büyüklüğünü ve biçimini kazanırsa,
esneklikten söz edilebilir. Bütün katı ve sıvılar, belirli sınırlara kadar esneklik özelliği gösterir. Bu
sınıra esneklik sınırı denir. Young Modülü (elastisite modülü), malzemenin kuvvet altında elastik şekil
değiştirmesinin ölçüsüdür.
7
Leyla Yıldırım
Bölüm 3
10.10.12
Aynı malzemeden yapılmış, kalınlıkları (kesitleri) farklı iki çelik tel, bir tavana bağlanır ve uçlarına
eşit ağırlıklar asılırsa, ince olan tel daha fazla uzama gösterir. Bunun nedeni, ince telin kesitinde birim
alana uygulanan kuvvetin, kalın telinkine uygulanandan fazla olmasıdır. Kuvvetin, bu kesitin alanına
oranına zor (stress) denir.
Önceki örnekte ele alınan çelik teller, bu kez aynı kalınlıkta, ama değişik boyda seçilirse, uzun olan
telde daha çok uzama oluşacaktır. Çekme gerilmesinin boyca uzama oranına bölümü, Young
modülünü verir ve yukarıdaki iki durum için de aynıdır.
Mühendislikte, basma ve çekme zorlamaları etkisi altında çalışacak malzemelerin seçiminde, Young
modülü büyük önem taşır. Sözgelimi, bir köprünün tasarımında direklerin ne kadar yüke dayanacağını,
dolayısıyla seçilecek malzemenin Young modülünü, bilmek gerekir.
Bir çubuğun veya yayın gerilmesini ele alarak esneklik ve Young modülünü irdeleyelim.
Denge durumunda böyle bir sistemin davranışı aşağıdaki gibi tarif edilebilir;
1.
Yanda verilen şekildeki gibi bir ucu
duvara tutturulmuş çubuğun diğer
ucuna bir F kuvveti uygulanması
durumda
noktalarının
çubuğun
yer
değişik
değiştirmesi
bu
noktaların sabit uca olan uzaklıkları
ile orantılıdır. Çubuğun bir ucuna
uygulanan F kuvveti çubuğun tüm
uzunluğu boyunca F büyüklüğünde
bir gerilme meydana getirir.
Belli bir kesit alana sahip çubuk ya da tel şeklindeki bir cisimde kuvvet etkisi altındaki l uzama
miktarı cismin kuvvet uygulanmadan önceki boyu l0 ile orantılıdır. Boyutsuz olan l/l0 oranına
zorlnama (strain) denir.
2.
Değişik kesit alanlara sahip çubuk şeklindeki cisimler için aynı zorlanma, şekilde görüldüğü gibi
kesit alanlara orantılı uygulanan kuvvetlerle de meydana getirilebilir. F/A oranına zor denir ve
basınç boyutundadır.
3.
Eğer zorlanma çok küçük ise (kuvvet uygulanmadan önceki uzunluk olan l0 değerinin %0.1’inden
küçük) zor ve zorlanma arasındaki ilişki Hook kanununa göre lineerdir.
8
Leyla Yıldırım
Bölüm 3
10.10.12
Young modülü için
(küçük gerilmelerde)


ya da
yazabiliriz. F kuvveti, x ise uzamayı gösterirsek, yukarıdaki ifadeyi
şeklinde de yazabiliriz. İfadedeki (
) terimine
dersek, yaya bağlı bir kütle için yazdığımız geri
çağırıcı kuvvet ifadesini elde ederiz. Bu durumda sistem BHH yapar.
√
Hareketin periyodu
ifadesi ile verilir.
Örneğin 1 kg’lık bir kütle 1 m uzunluğunda ve 1 mm çapındaki bir çelik tele asılmış ise (çelik için
Y=20x1010 N/m2) periyot değerini bulalım.
√
,
Eğer m kütleli cisim biraz önce bahsedilen tele asılmış ve statik denge sağlanmış iken
denklemler buna göre yazılırsa,
olur. Bu ifade periyot eşitliğinde yerine konulursa,
√
elde edilir. Bulunan bu sonuç h
uzunluğunda bir sarkacın periyot ifadesi ile aynıdır. Bu ifade, tel ya da ucuna asılmış kütle hakkında
hiçbir bilgiye sahip olmaksızın statik uzama ölçümleri ile periyodun hesaplanmasına oldukça basit bir
yol temin eder.
9
Leyla Yıldırım
Bölüm 3
10.10.12
3.2.7. Elektrik Devrelerinde Osilasyonlar
İndüktans (L) ve kapasitans (C) içeren bir devre BHH salınım özellikleri gösterir. Bu tür devreleri
laboratuarlarda inceleyeceğiz.
devre denklemi
olduğunu kullanırsak
diyelim
(BHH)
elde edilir. Bu denklem ile
(Kütle yay sistemi) denklemi matematiksel olarak aynıdır.
Çözüm :
√
√
√
ve
İndüktanstan geçen akım:
LC devresi ile Kütle-Yay sistemi arasındaki benzerlikler
1) x  Q
2) k 
3) m  L
4)
5)
√

√

10
Leyla Yıldırım
Bölüm 3
10.10.12
SERBEST TİTREŞİMLERİN BOZULMASI
Sönümlü Hareket ve Sönümlü Harmonik Haraket
Salınan bir sistemin üzerine bir sürtünme kuvveti etki ederse salınım genliği, sürtünme nedeniyle
yavaş yavaş küçülerek sıfır olur. Bu cins salınımlara SÖNÜMLÜ HARMONİK HARAKET denir.
Şimdi sürtünme kuvveti gibi korunumsuz kuvvetlerin işe girmesiyle
serbest titreşim ifadelerinin nasıl değişikliğe uğradığını tartışacağız.
Genellikle sürtünme hava direncinden veya iç kuvvetlerden kaynaklanır.
Sürtünme kuvvetlerinin büyüklüğü çoğu kez hıza bağlıdır. Pek çok
örnekte sürtünme kuvvetinin büyüklüğü hız ile orantılı olup, hız
doğrultusunda, hıza zıt olarak yönelmiştir.
Kütle-yay sistemini yeniden ele alalım. Şekilde görüldüğü gibi yaya asılı
olan bir kütlenin salınım yaparken sıvı dolu bir kap içine batırıldığını
düşünelim. Bu kütle sönümlü hareket yapacaktır.
Şekil 3.12.
KABULLERİMİZ:

Potansiyel enerjinin tümünün, kütlesiz ve hiçbir sürtünme kuvvetinin etkimediği ideal yayda
toplandığı kabul edilecektir.

Kinetik enerjinin tümü salınan m kütlesinde toplandığı kabul edilecek.

Tüm ısı şeklindeki iç enerjinin, kabı dolduran vizkoz sıvıda ortaya çıktığı kabul edilecek.
Sönümlü hareketin denklemi
etki eden
şeklindeki ikinci Newton yasasından elde edilir. Kütleye
kuvveti, geri çağırıcı –
kuvvetlerinin toplamıdır. Burada
şeklindeki kuvvet ile
şeklindeki sürtünme
bir sabit olup sönüm kuvvetinin büyüklüğünün bir ölçüsüdür.
Bu durumda hareket denklemini
(1)
olarak yazabiliriz veya
(2)
olur. Bu denklemi yeniden
(3)
şeklinde düzenlenebilir.
11
Leyla Yıldırım
Bölüm 3
10.10.12
kısaltmaları yapıldığında,
ve
(4)
yazabiliriz. İfadedeki sönüm frekansı boyutunda bir niceliktir, w0 ise sönüm olmadığı durumdaki
serbest titreşimlerin açısal frekansını verir. Bu denklemi kısaca
(5)
şeklinde yazabiliriz. Buradaki ve
dereceden homojen denklemdir.
nicelikleri gerçek ve sabit sayılardır. Sabit katsayılı ikinci
Bu denklem sabit katsayılı ikinci dereceden, lineer, homojen bir diferansiyel denklemdir. Bu
denklemin çözümünü matematik kitaplarından yararlanarak yapabilirsiniz (Ross, Differansiyel
Denklemler, Kenneth Franklin Riley, Michael Paul Hobson, Stephen John Bence, Mathematical
methods for physics and engineering, …).
Bu denklemde
ve
belirlenmesi gereken bir parametre olmak üzere,
ifadeleri denklem (5)’de yerine konulursa,
şeklinde alınırsa ve
(6)
ve
(7)
(8)
elde edilir.
sıfır olamaycağından,
(9)
olmak zorundadır. Bu denkleme karakteristik denklem adı verilir ve bu denklemin çözümünün iki
kökü vardır. Bu kökler,
(
√
)
(10)
(
√
)
(11)
şeklinde yazılabilir.
12
Leyla Yıldırım

Bölüm 3
√
10.10.12
değerine göre bu denklemin çözümünde üç farklı durum söz konusudur.
ve
1

√
2
>0
=0
3
<0
Kiritik Üstü Sönüm
(Over-damped)
Kritik Sönüm
(Critical-damped)
Kritik Altı Sönüm
(Under-damped)
denklemin farklı iki reel kökü
vardır
denklemin eşit iki reel
kökü vardır
denklemin reel kökü yoktur, komplex iki
farklı kökü vardır.
komplex
(
√
)
(
√
)
√
√
⁄
Yukarda tanımlanan üç farklı sönümlü hareketi aşağıdaki şekilde özetlenmiştir.
Kritik sönüm ( )
Kritik üstü sönüm ( )
Kritik altı sönüm ( )
13
Leyla Yıldırım
Bölüm 3
1. Kiritik Üstü Sönümlü Hareket
10.10.12
(Over-Damped)
( )

= √( )
√


ve

olacaktır. Denklem 4 için elde edilecek çözüm



veya
[


]
elde edilir. A ve B katsayıları başlangıç koşullarından bulunabilir.
Bu koşulda [( )
] hareket zamanla üstel olarak söner ve cisim denge konumunda durur. Bu
tip çözüm KRİTİK ÜSTÜ SÖNÜM olarak adlandırılır. Bu durumda hareket SALINIMLI DEĞİLDİR.
2. Kritik Sönümlü Hareket (Critically Damped)
( )
olur. Bu durumda
ve
kökleri için
yazabiliriz. Bu durumda (4) denklemin çözümü için
yazabiliriz. Burada A ve B sabitleri başlangıç koşullarından elde edilir. Zaman ilerledikçe x'in değeri
sıfıra yaklaşır. HAREKET SALINIMLI DEĞİLDİR. Bu tip sönüme KRİTİK SÖNÜM denir.
14
Leyla Yıldırım
Bölüm 3
10.10.12
3. Kritik Altı Sönüm (Sönümlü Harmonik Hareket)
negatif
( )
yani

(
)
√
√
√
√
⁄
√
ve
(
)
(
)
veya
[
( √
( √
)
)]
yazabiliriz. Bu durumda genel çözüm:
ifadesi de denklemin çözümüdür. Burada A ve B başlangıç koşullarından belirlenir. Salınıcı sönümlü
harmonik hareket yapar. Bu ifadeyi sadece sinüse veya cosnüse çevirmek hareketi daha kolay
yorumlamamızı sağlayacaktır. Bunun için,
,
,
√
,
eşitlikleri ile tanımlı iki yeni
ve sabitlerine geçebiliriz.
(
)
=
(
)
15
Leyla Yıldırım
Bölüm 3
10.10.12
[(√
veya
yazabiliriz. Burada
genlik,
⁄
)]
= 0 seçmekte bir sakınca yoktur.
faz sabitidir. Faz sabitini
Bu durumda çözüm için
⁄
[√
]=
yazabiliz. Bu çözümden, cismin bir titreşim hareketi yaptığı, Fakat genliğinin zaman içinde üstel
olarak azaldığı görülür. Sönüm dolaysıyla cismin enerjisi korunmaz.
Hareketin Periyodu:
√
olmalı. Buradan T için
√
√
√
ve frakansı için
√
Eğer b = 0 olursa, periyot ve frekans
√
√
elde ederiz
ve
√
olur. Bu özel durumun basit harmonik harekete (BHH) karşı geldiğini hatırlayalım.
[√
⁄
] 'nin grafiği aşağıda verilmiştir.
16
Leyla Yıldırım
ve
Bölüm 3
10.10.12
ardışık iki genlik olsun. Buralarda cosinüs çarpanı 1'e eşit olur. Bu durumda ardışık iki
genliğin oranı,
Her iki tarafın doğal logaritmasını alalım.
Bu değere logaritmik decrement denir. Logaritmik decrement genliğin azalmasının bir ölçüsüdür.
Birçok sistemdeki salınım hareketi dikkate alındığında (saatlerde olduğu gibi), sönümün çok küçük
hale getirilmesine ihtiyaç vardır. Araba yayalarında olduğu gibi diğer sistemler için salınımlar sorun
oluşturur, bu nedenle yeterli miktarda bir sönüm (kritik sönüm) tercih edilir.
Sönümlü hareketin ortalama ömrü (Zaman Sabiti ) ve kalite faktörü:
sabiti salınımın genliğinin zamanla ne kadar çabuk azalarak sıfıra gittiğinin bir ölçüsüdür.

zamanı salınımın orjinal genliğinin
⁄ 'sine düşmesi için geçen süredir. Bu  süresi salınımların
"ortalama ömrü" olarak adlandırılır.
17
Leyla Yıldırım
Bölüm 3
10.10.12
Büyük b değerleri için, salınımların daha kısa süre içerisinde azalarak yok olduğu söylenebilir.
⁄
[√
⏟
]
(

)
İfadesinde, b arttıkça w değeri azalır, dolayısıyla hareketin periyodu artar. Bu durumda
olduğunda, w=0 olur. b’nin bu değerine kritik b denir ve bk ile gösterilir,
√
. Bu durumda sistem kritik sönümlüdür.
b < bk olduğunda genlik azalmakla birlikte, sistem yine de salınır. Buna kritik altı sönüm denir.
b > bk olduğunda ise, sistem aşırı sönümlüdür. Sönümün şiddeti, herhangi bir salınım olmaksızın
sistemi denge durumuna döndürecek kadar büyüktür.
İlk yer değiştirmenin ardından kütle denge noktasından en fazla bir kez geçer.
genliğinin zamanla değişimini veren
⁄
ifadesinde salınım
üstel fonksiyonun üstü boyutsuz olduğu için t’nin çarpanı
teriminin [zaman-1] boyutunda olması gerekir. Bu nedenle, sönümlü salınımların ortalama
ömrü 
⁄
ile verilir. Bu durumda genlik fonksiyon

şeklinde yazılır.’nun büyük
değerlerinde sönüm yavaş olur.
Sönümü başka bir şekilde,

olarak verilen Q parametresi ile de ifade edilir.
Görüldüğü gibi Q,  ile orantılıdır. Q’nun büyük
değerleri yavaş sönümlere karşı gelir. Q’ya kalite
faktörü denmektedir. Farklı Q değerleri için
x(t)’nin grafikleri yanda verilmiştir.
Sönümlü salınıcı sisteminde kullanılan değişik
malzemelere ait Q değerleri aşağıda tabloda
veriliştir. Q>1 olduğunda kritik altı sönümlü
harmonik hareket oluşur.
Sönümlü salınıcı sistemi
Q değeri
Saat sarkacı
200
Mikrodalga kavite osilatörü
104
Quartz crystal
106
18
Leyla Yıldırım
Bölüm 3
10.10.12
SÖNÜMLÜ HARMONİK HAREKETTE ENERJİ KAYIP ORANI
Sönümlü harmonik hareketin enerjisi sürtünme veya hareketi engelleyici kuvvetler (korunumsuz
kuvvet) nedeniyle azalır. Sistemin toplam mekanik enerjisi E,
dir. Burada kritik altı sönümlü durumu (sönümlü harmonik hareket)
⁄
(√
ele alalım.
)
Bu durumda
eşitliği
durumunda yaklaşık
yazılabilir. Bu durumda
için
yazabiliriz. Buradan hız için
olduğu kabul edildiğine göre, hız ifadesindeki ilk terim ihmal edilerek,
elde ederiz.
yazılabilir. Bu toplam enerji ifadesinde yerine konulursa,
(
)
(
)
olduğuna göre,
[
]
elde ederiz. Burada E0, t = 0 anındaki toplam mekanik enerjidir. Eşitlikten de anlaşılacağı gibi ’nın
boyutu (zaman-1) dir. Enerjinin ilk değerinin 1/e değerine düşmesi için geçen zamana sönüm zamanı
19
Leyla Yıldırım
Bölüm 3
10.10.12
(decay time) veya zaman sabiti (time constant) denir ve  ile gösterilir.

Bu durumda enerji ifadesi

şeklinde yazılabilir. Klasik ve kuantum mekaniğindeki birçok sistemin enerjisi üstel olarak azalır. Bu
tür sistemlerde zaman sabiti  olarak adlandırılır. Böyle sistemlerin enerjisinin zamanla değişimi
üstteki grafikte verilmiştir.
Enerjinin değişim hızı:
(
)
hareket denkleminin
olduğunu hatırlarsak
elde ederiz. Bu bağıntı da enerjin sürekli azaldığını gösterir.
Enerjideki azalma miktarını kalite faktörü Q cinsinden de yazabiliriz.
Buradan faydalanarak
ifadesini yeniden ele alalım.
(t2=t1+T
bir periyot sonraki zaman)
yazabiliriz. Buradan
20
Leyla Yıldırım
Bölüm 3
10.10.12
Enerji değişiminin ilk enerjiye oranı:
⁄
olur. Bu ifade kalite faktörü Q için yeni bir tanımlama getirmektedir.
⁄
(
(
Q’nun büyük değerlerinde sönüm az olur ve
)
(
)
)
alabiliriz.
Örneğin Q=5 için,
(
)
(
)
SÖNÜMLÜ ELEKTRİKSEL OSİLASYONLAR
Daha önce bir LC devresindeki osilasyonları incelemiştik.
Bu devrenin BHH salınımı yaptığını görmüştük. Şimdi
devreye bir R direnci ekleyeceğiz.
Devredeki C kondansatörü VC voltajı ile yüklendiğinde,
kondansatör üzerinde q yükü depolanacaktır. Daha sonra S anahtarı kapatılırsa, devre için
yazabiliriz.
Eşitlikleri yerine konulursa,
21
Leyla Yıldırım
Bölüm 3
10.10.12
Mekanik Elektrik
denklemi elde edilir.
Bu denklem sönümlü harmonik hareket denklemi olan,
denklemi ile aynıdır.
Bu iki denklem karşılaştırıldığında, mekanik sistemdeki büyüklükler
ile RLC elektrik devresindeki büyüklükler arasında benzerlikler yanda
verilmiştir. Bu benzetişimden yararlanarak devre denkleminin çözümü
için
sistemi
Sistemi
x
q
m
L
k
1/C
b
R
=b/m
=R/L
yazabiliriz. Burada q0, kondansatörün başlangıçtaki yüküdür. Bu durum sönümlü harmonik hareketi
incelerken
veya
koşuluna karşı gelmektedir (kritik altı çözüm) yani
yani
olduğu için
dir.
[(
yazabiliriz. Burada
)
]
[(
)
]
, başlangıçtaki voltaj değeridir. Bu sistemin açısal frekansı
olacaktır.
1) Eğer
ise (kritik altı sönüm),
Sistem sönümlü harmonik hareket yapar ve sistemin açısal frekansı
Voltajın genliği
⁄
√
olacaktır.
zaman sabiti ile üstel olarak azalacaktır. R/L’nin boyutu (zaman-1) dir.
2)
koşulu sağlandığında kritik üstü sönüm.
3)
koşulu sağlandığında kritik sönüm olacağı açıktır.
Mekanik sistemde tanımladığımız Q kalite faktörünün karşılığı ise
Örneğin L=10 mH, C=2.5 nF ve R=10  olursa,
√ olacağı açıktır.
Q=200 olacaktır.
Q kalite faktörü kullanılarak mekanik ve elektrik sistemlerinde sönümlü harmonik hareketin denklemi
ve
şeklinde yeniden yazılabilir.
22