1 Definitions and True/False - 20 puan

IKT 415 - SPRING 2013 - Quiz 1
Ayça Özdog̃an
Strategic Form (Normal form) Games
1
Definitions and True/False - 20 puan
1. Diyelim ki G =< N, Ai , ui > bir normal form game olsun. Herhangi bir i oyuncusunun
hareketi (action of player i) ai ile, tüm oyuncuların seçtikleri hareket profili (action profile)
a = (a1 , a2 , ..., an ) = (ai , a−i ) ile gösterilsin. Define the following terms.
(a) Nash equilibrium:
(b) Strictly dominated action for player i:
2. Bu oyun için aşag̃ıdaki ifadelerin dog̃ru ya da yanlış oldug̃unu belirtin. Dog̃ruysa ispat, yanlış
ise ters örnek gösterin. State whether the following statements are true or false. Prove if it
is true and give a counter example if it is false.
(a) Every finite normal form game has a pure strategy Nash equilibrium.
Her sonlu normal form oyunun pure Nash dengesi vardır.
(b) Every finite normal form game has a completely mixed strategy Nash equilibrium.
Her sonlu normal form oyunda tamamen mixed (pure olmayan) bir Nash dengesi vardır.
1
2
Nash dengesinin eksiklikleri (Drawbacks) - 10 puan
Consider the following 3-player game where player 1 chooses {U, D}; player 2 chooses {L, R} and
player 3 chooses {T able1, T able2}. Answer the following questions.
U
D
L
2, 2, −4
−4, −4, 1
R
−4, −4, 1
1, 3, 8
U
D
L
2, 2, 7
−4, −4, 1
R
−4, −4, 1
−1, −1, 1
1. What are the pure strategy Nash equilibria. Saf strateji Nash dengelerini bulun.(5 puan)
2. First show that Nash equilibria may not be immune to coalitional deviations. Then, find pure
strategy strong Nash equilibria of this game.
Hint: Strong Nash equilibrium strengthens Nash equilibrium by adding the requirement
that a strategy profile has to be immune to coalitional deviations. (5 puan)
2
3
Baskınlık, denge hesaplaması (domination, computing equilibrium) - 20 puan
T
M
B
L
2, 5
0, 0
1, 1
R
0, 0
5, 2
1, 1
1. Let p be the probability player 1 plays T and q be the probability that player 2 plays L.
What is the range of values p can take so that the mixture of T and M strictly dominates B,
i.e. find the set of mixed strategies that strictly dominates B? (5 puan)
2. Given that B is strictly dominated by a mixture of T and M , find and draw the best responses
of each player and the set of all (pure and mixed) NE. (15 puan)
3
4
Market games - 25 puan
Cournot competition: Consider the Cournot duopoly game with linear demand P (Q) = 250 − Q,
where Q is the total quantity, i.e. Q = q1 +q2 . Each firm has constant marginal cost ci , Ci (qi ) = 10qi .
Each firm simultaneously chooses a quantity level to produce. P (Q) = 250 − Q olarak talep eg̃risi
verilmiş bir piyasada oynanan Cournot oyununu düşünelim. Bu firmaların marginal maliyetleri
c1 = c2 = 10 olsun. Firmalar üretim miktarlarını eş zamanlı seçmekteler.
1. Write down the strategic form of this game.
Bu market oyununu normal form oyun şeklinde yazın.
2. Find the Cournot-Nash equilibrium (q c , q c ) of this game.
Nash dengesini (q c , q c ) bulun.
4
5
First-price and second-price sealed bid auctions - 25 puan
Two bidders are involved in a first-price and second-price auction where the valuations for the
object is v1 > v2 > 0. Bidders simultaneously submit a bid, which can be any nonnegative number,
and the highest bidder wins. In case of a tie, the lowest index individual gets the object. In the
first-price auction, if bidder i bids bi and wins the object, then her payoff is vi − bi , while is she
loses her payoff is 0. In the second-price auction, the winner pays the second highest price, i.e. b−i
(since there are only two players), and her payoff is vi − b−i .
Bir ihaleye iki kişi giriyor. Ihale edilen nesnenin degeri teklif verenler icin sırasıyla v1 > v2 > 0.
Teklif verenler es zamanlı olarak kapalı bir zarfa negatif olmayan bir sayı yazıyorlar ve en yuksek
sayıyı yazan ihaleyi kazanıyor. Aynı sayıyı yazdıklarında dusuk indeksli kişi nesneyi kazanıyor.
Ilk-fiyat ihalesinde kazanan yazdıgı miktarı ihale yapana vermek zorunda kalıyor. Bu durumda
kazancı vi − bi oluyor. Ikinci-fiyat ihalesinde kazanan ikinci en yuksek fiyatı yani b−i ’yi vermek
durumunda kalıyor. Bu durumda kazancı vi − b−i oluyor.
1. Show that truthtelling (b1 , b2 ) = (v1 , v2 ) is a Nash equilibrium in the second-price auction;
whereas it is NOT in the first-price. Herkesin objenin gerçek deg̃erini söylemesinin, ikincifiyat ihalesinde Nash dengesi oluşturdugu halde; ilk-fiyat ihalesinde oluşturmadıg̃ını gösterin.
2. Show that first-price auction is efficient (in every NE the player who values the object most
gets the object); whereas there may be equilibria when the second-price auction is NOT efficient. Ilk-fiyat ihalesinin her dengesinde objeyi en çok isteyen objeyi elde ederken; ikinci-fiyat
ihalesinde bunun dog̃ru olmayabileceg̃ini gösterin.
3. Revenue equivalence: Show that in the undominated NE of both auctions, the auctineer gets
exactly the same revenue! Kazanç eşitlig̃i: Bu ihalelerin domine edilmeyen Nash dengelerinde,
ihaleyi yapanın iki ihale sonucunda da aynı getiriye sahip olacag̃ını gösterin.
5
6
BONUS - 20 puan
Bertrand competition: Suppose that instead of fighting over the quantities, these firms are
fighting over the price, i.e. they choose p1 and p2 .
Diyelim ki firmalar retim miktarı seçerek rekabet etmek yerine fiyat rekabetine giriyorlar. Daha
düşük fiyatı veren firma bütün talebi karşılıyor. Eg̃er iki firma aynı fiyati vermişse piyasadaki talebi
bölüşüyorlar. Bu firmaların marjinal maliyetleri c1 = c2 = 10 olsun. Piyasadaki talep fonksiyonu
aşag̃ıdaki gibi verilsin.
Q = 250 − p
1. Write down the strategic form of this game. Bu market oyununu normal form seklinde yazin.
2. Compute and draw the best responses of the players. En iyi tepki fonksiyonlarını bulun ve
çizin.
3. Find the Nash equilibrium. Nash dengesini bulun.
6