ZAMAN SKALALARI ÜZERĠNDE ÜSTEL FONKSĠYONUN

ZAMAN SKALALARI ÜZERĠNDE
ÜSTEL FONKSĠYONUN ÖZELLĠKLERĠ VE
BAZI UYGULAMALARI
Hülya BĠÇĠCĠOĞLU
YÜKSEK LĠSANS TEZĠ
MATEMATĠK
GAZĠ ÜNĠVERSĠTESĠ
FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
MAYIS 2009
ANKARA
Hülya BĠÇĠCĠOĞLU tarafından hazırlanan Zaman Skalaları Üzerinde Üstel
Fonksiyonun Özellikleri ve Bazı Uygulamaları adlı bu tezin Yüksek Lisans tezi
olarak uygun olduğunu onaylarım.
Yrd. Doç. Dr. Adil MISIR
Tez DanıĢmanı, Matematik Anabilim Dalı
Bu çalıĢma, jürimiz tarafından oy birliği ile Matematik Anabilim Dalında Yüksek
Lisans tezi olarak kabul edilmiĢtir.
Prof. Dr. Bahri TURAN
Matematik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi
Yrd. Doç. Dr. , Adil MISIR
.
Matematik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi
Yrd. Doç. Dr. , A. Feza GÜVENĠLĠR
Matematik Anabilim Dalı, Ankara Üniversitesi
Tarih:
14/05/2009
Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini
onamıĢtır.
Prof. Dr. Nail ÜNSAL
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
TEZ BĠLDĠRĠMĠ
Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranıĢ ve akademik kurallar çerçevesinde elde
edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu
çalıĢmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf
yapıldığını bildiririm.
Hülya BĠÇĠCĠOĞLU
v
ZAMAN SKALALARI ÜZERĠNDE ÜSTEL FONKSĠYONUN ÖZELLĠKLERĠ
VE BAZI UYGULAMALARI
(Yüksek Lisans Tezi)
Hülya BĠÇĠCĠOĞLU
GAZĠ ÜNĠVERSĠTESĠ
FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
Mayıs 2009
ÖZET
Zaman skalası ortaya çıkmasından bugüne matematik dünyasında büyük bir
ilgi odağı olmuĢtur.
Ayrıca bu çalıĢma sahası geniĢ bir uygulama alanına
sahiptir. Öncelikle zaman skalası kavramı ve zaman skalaları üzerinde delta
türev, delta integral ve üstel fonksiyon kavramları analiz edildi. Daha sonra
belli baĢlı istenen cebirsel özellikleri koruyan bir zaman skalası logaritması
geliĢtirildi. Özellikle zaman skalası üsteli için tersi rol oynayan ve doğrusal
olmayan operatör çalıĢıldı. Ġlk olarak skaler durum iĢleme kondu, onu matris
durumu takip etti. Son olarak bazı uygulamalara yer verilmiĢtir.
Bilim Kodu
: 204.1.138
Anahtar Kelimeler : Zaman Skalası, Zaman Skalasında Üstel Fonksiyon
Sayfa Adedi
: 42
Tez Yöneticisi
: Yrd. Doç. Dr. Adil Mısır
vi
THE PROPERTIES AND SOME APPLICATIONS OF EXPONENTIAL
FUNCTIONS OVER THE TIME SCALES
(M.Sc. Thesis)
Hülya BĠÇĠCĠOĞLU
GAZI UNIVERSITY
INSTITUTE OF SCINCE AND TECHNOLOGY
May 2009
ABSTRACT
The time scale has been a focus of interest in the world of mathematics since it
was discovered. Moreover, it has a large field of application. Firstly the concept
of time scale and delta differential and delta integral on the time scale, and the
concept of exponential functions are defined. After then we develop a time scale
logarithm that preserves certain desirable algebraic properties. In the
particular, a nonlinear operator is developed that acts as an inverse for the time
scale exponential in a certain sense. The scalar case is treated first, with a
treatment of matrix case following. Finally we present several applications.
Science Code
: 204.1.138
Key Words
: The Time Scale, Exponential Function on the Time Scale
Page Number
: 42
Adviser
: Asst. Prof. Dr. Adil Mısır
vii
TEġEKKÜR
Bu çalıĢmayı yürütebilmem için değerli yardımlarını esirgemeyen tez yöneticim
Sayın Yrd. Doç. Dr. Adil MISIR‟a teĢekkür ederim.
viii
ĠÇĠNDEKĠLER
Sayfa
ÖZET ………………………………………………………………………………..iv
ABSTRACT ………………………………………………………………………….v
TEġEKKÜR …………………………………………………………………………vi
ĠÇĠNDEKĠLER ……………………………………………………………………..vii
ġEKĠLLERĠN LĠSTESĠ ……………………………………………………………..ix
ÇĠZELGELERĠN LĠSTESĠ …………………………………………………………..x
SĠMGELER …………………………………………………………………………xi
1. GĠRĠġ ……………………………………………………………………………...1
2. TEMEL KAVRAMLAR ………………………………………………………….3
2.1.Zaman Skalası …………………………………………………………………3
3. DELTA TÜREV VE TÜREVLENEBĠLĠRLĠK …………………………………8
3.1.Türevlenebilirlik …….………………………………………………………...8
4. ĠNTEGRAL ……………………………………………………………………...12
4.1. rd-Süreklilik ve Özellikleri ………………………………………………….12
5. BĠRĠNCĠ MERTEBEDEN LĠNEER DĠNAMĠK DENKLEMLER ……………...17
5.1. Hilger Kompleks Düzlemi …………………………………………………..17
5.2. Yeni Toplama Grubu ……………....………………………………………..20
5.3. Üstel Fonksiyon ……………………………………………………………..24
6. ZAMAN SKALASI LOGARĠTMASI …………………………………………..32
ix
Sayfa
6.1. Skaler Durum ……………………………………………………………….....32
6.2. Matris Durum ………………………………………………………………...36
KAYNAKLAR ……………………………………………………………………..41
ÖZGEÇMĠġ ………………………………………………………………………...42
x
ġEKĠLLERĠN LĠSTESĠ
ġekil
Sayfa
ġekil 2.1. Noktaların Ģematik sınıflandırılması ………………………………………5
ġekil 2.2. Bazı zaman skalaları ……………………………………………………....7
ġekil 5.1. Hilger kompleks düzlemi ………………………………………………...18
ġekil 5.2. Hilger kompleks sayıları …………………………………………………19
xi
ÇĠZELGELERĠN LĠSTESĠ
Çizelge
Sayfa
Çizelge 2.1. Noktaların sınıflandırılması …………………………………………….4
Çizelge 2.2. Zaman skalasına örnekler ………………………………………………7
Çizelge 5.1. Toplamsal tersler ……………………………………………………...22
xii
SĠMGELER VE KISALTMALAR
Bu çalıĢmada kullanılmıĢ bazı simgeler, açıklamaları ile birlikte aĢağıda
sunulmuĢtur.
Simgeler
Açıklama
𝕋
Zaman Skalası
ℝ
Reel Sayılar Kümesi
ℤ
Tam sayılar Kümesi
ℕ
Doğal Sayılar Kümesi
∑
Toplam Sembolü
∏
Çarpım Sembolü
𝐶𝑟𝑑 (𝐴, 𝐵)
A kümesinden B kümesine rd-sürekli fonksiyonların
kümesi
ℛ 𝐴, 𝐵
A kümesinden B kümesine regresif fonksiyonların
kümesi
∈
Elemanıdır.
O
BileĢke
.∆
Delta türev
𝑏
∫𝑎 . ∆
a noktasından b noktasına Delta integral
1
1. GĠRĠġ
Fark denklemler teorisi, matematiğin sistematik olarak geliĢmesiyle birlikte ortaya
çıkan ilk teorilerden birisidir. Bu teori, zamana bağlı ayrık olayların matematiksel
ifadesinde kullanılmıĢtır.
Fark denklemler birçok doğa olayını ifade etmekte
kullanılır. Bununla birlikte fark denklemler diferansiyel denklemlerin nümerik
çözümlerinin incelenmesinde de kullanılır. Yani, verilen bir diferansiyel denklemin,
ayrık benzeri olan fark denklem ifade edilir ve bu fark denklem, diferansiyel
denklemin çözümünün yapısını araĢtırmak için incelenir. Bu nedenledir ki fark
denklem teorisi ve diferansiyel denklem teorisi birbirine çok yakın ve paralel olarak
geliĢmektedir. Fark denklem teorisi ile diferansiyel denklem teorisi arasında çok
fazla benzerlikler olduğu kadar çok önemli farklılıkları da vardır. Örneğin, birinci
mertebeden bir diferansiyel denklemin salınımlı olan çözümleri yok iken bu
denkleme iliĢkin fark denklemi salınımlı çözümlere sahip olabilmektedir.
Fark denklemler teorisi yaklaĢık olarak sekiz asırlık çalıĢmalar sonunda sistematik
bir hale gelmiĢken,
diferansiyel denklemler teorisi dört asırdır çalıĢılmaktadır.
Diferansiyel denklemler teorisinin daha kısa süredir çalıĢılmasının sebebi,
doğa
olaylarının kesiksiz olduğunun var sayılmasıdır. Bu yüzden, diferansiyel denklemler
teorisi; fizik, kimya, biyoloji, astronomi, ekonomi ve diğer bilimlere ait matematiksel
ifade yöntemi olarak kullanılır. Ancak zaman sürekli olarak ilerlese de, olaylarının
kendi içinde süreklilik ve süreksizlik hallerinin aynı anda varlığı bir gerçektir.
Dolayısıyla, her matematiksel olayı diferansiyel denklemlerle ve fark denklemlerle
ifade etmek mümkün değildir.
Fark denklemler Fibonacci tarafından çalıĢma konusu olarak dikkate alınmıĢtır ve
onun çok baĢarılı çalıĢmaları sonucunda birçok matematikçi daha sonralarda bu
ilginç alana yönelmiĢtir. Örneğin, Laplace sabit katsayılı homojen doğrusal fark
denklemleri,
Guichard ise aynı denklemin homojen olmayan özel hallerini ve
Gelgrum bu denklemlerin çözümlerinin asimptotik davranıĢını inceleme konusu
olarak seçmiĢtir.
2
Diferansiyel denklemler teorisi ise Leibnitz ve Newton tarafından baĢlatılıp, Claurit,
Frobenious, Euler ve diğer birçok matematikçi tarafından geliĢtirilmiĢtir.
Bu teoriye adını veren Leibnitztir.
Yukarıda değinildiği gibi, doğa olayları ne tam olarak sürekli ne de tam olarak
kesiklidir. Dolayısıyla, olaylara iliĢkin denklemlerin modellemelerinde yeni bir
teoriye ihtiyaç duyulmaktadır. ĠĢte bu teorinin adı Zaman Skalasıdır. Zaman skalası
teorisi ile birlikte, hem süreklilik hem de süreksizlik içeren olayların denklemlerinin
matematiksel modellemesi formülize edilebilmektedir. Zaman skalası üzerinde
tanımlı bu denklemlere dinamik denklemler denir. Dinamik denklemler zaman
skalasının özel durumlarında, fark denklem ya da diferansiyel denklem haline
dönüĢür ve Kuantum fiziğinde ortaya çıkan kuantum fark denklemine de dönüĢür.
Böylece fark denklem ve diferansiyel denklem için ayrı ayrı sonuçlar vermek yerine,
keyfi zaman skalaları için geçerli birleĢtirilmiĢ sonuçlar verilebilir.
3
2. TEMEL KAVRAMLAR
2.1. Zaman Skalası
2.1. Tanım
ℝ reel sayılar kümesinin herhangi bir kapalı alt kümesine bir zaman skalası denir[2]
ve 𝕋 ile gösterilir. Bu küme üzerindeki metrik ℝ′ deki alıĢıldık metrik olarak
alınacaktır, yani s,t∈ 𝕋 d(s,t)=|s-t| olarak alınacaktır.
2.1. Örnek
ℝ,{a},[a,b],ℤ, Cantor kümesi ve 𝑞 ℤ = 𝑞 ℤ ∪ 0 kümeleri kapalı kümelerdir. Bu
kümeleri zaman skalalarına örnek olarak verebiliriz.
Q ,(a,b],(a,b) zaman skalası olmayan kümelerdir.
2.2. Tanım
𝕋 bir zaman skalası olsun. t ∈ 𝕋 için
𝜍: 𝕋 → 𝕋
𝑡 → 𝜍 𝑡 = inf{𝑠 ∈ 𝕋; 𝑠 > 𝑡} ile tanımlı 𝜍 operatörüne ileri sıçrama
operatörü denir[2].
2.2. Örnek
𝕋=ℤ,
𝜍: ℤ → ℤ
𝑛 → 𝜍 𝑛 = inf{𝑠 ∈ ℤ ; 𝑠 > 𝑛}
= inf 𝑛 + 1, 𝑛 + 2, 𝑛 + 3, … … = 𝑛 + 1 (n ‟den n+1‟e sıçramıĢ oldu)
2.3. Tanım
𝕋 bir zaman skalası ,𝑡 ∈ 𝕋 olsun
𝜌: 𝕋 → 𝕋
t → 𝜌(t)=sup{s∈ 𝕋 ; 𝑠 < 𝑡} ile tanımlı 𝜌 operatörüne geri sıçrama operatörü denir[2].
2.3. Örnek
𝕋= ℤ
𝜌 𝑛 = sup 𝑠 ∈ ℤ; 𝑠 < 𝑛
4
= sup . . , 𝑛 − 3, 𝑛 − 2, 𝑛 − 1, =𝑛 − 1
(n‟den n-1‟e geri sıçramıĢ oluyoruz)
2.4. Örnek
𝕋 = ℝ , 𝜍: ℝ → ℝ
𝑡 → 𝜍 𝑡 = inf 𝑠 ∈ ℝ ; 𝑠 > 𝑡 = inf 𝑡, ∞ = 𝑡
biçiminde
olur
ki
bu
operatörüyle özdeĢtir.
2.4. Tanım
Tanım2.2 ve Tanım2.3‟e göre zaman skalasının elemanları aĢağıdaki gibi
sınıflandırılır:
(i) 𝜍 (t) =t ise, t ∈ 𝕋 elemanına sağ yoğun denir.
(ii) 𝜍 (t)> 𝑡 ise, t ∈ 𝕋 elemanına sağ saçılımlı denir.
(iii) ρ (t)= 𝑡 ise, t ∈ 𝕋 elemanına sol yoğun denir.
(iv) ρ (t)< 𝑡 ise, t ∈ 𝕋 elemanına sol saçılımlı denir [2].
Ayrıca hem sağ saçılımlı hem sol saçılımlı noktalara ise izole noktalar denir.
Noktaların sınıflandırılması Çizelge 2.1 de, Noktaların Ģematik gösterimi ise
ġekil 2.1 de gösterilmiĢtir.
Çizelge 2.1. Noktaların sınıflandırılması
t sağdan saçılımlı
𝜍 (t)> 𝑡
t sağdan yoğun
𝜍 (t) =t
t soldan saçılımlı
ρ (t)<t
t soldan yoğun
ρ (t)= 𝑡
t izole
ρ (t)<t< 𝜍 (t)
t yoğun
ρ (t)=t= 𝜍 (t)
birim
5
t1 sağdan yoğun ve soldan yoğun
t1
t2 soldan yoğun ve sağdan saçılımlı
t2
t3 sağdan yoğun ve soldan saçılımlı
t3
t4 sağdan ve soldan saçılımlı(izole)
t4
ġekil 2.1. Noktaların Ģematik sınıflandırılması
2.5. Tanım
𝜇:𝕋 → [0, ∞)
𝑡→𝜇 𝑡 =𝜍 𝑡 −𝑡
ile tanımlı 𝜇 fonksiyonuna grainess(granül) fonksiyonu denir[2].
2.5. Örnek
AĢağıdaki dört durumu inceleyelim
(i) Eğer 𝕋 = ℝ alınırsa her 𝑡 ∈ ℝ için
𝜍 𝑡 = inf s ∈ ℝ: s > 𝑡 = inf t, ∞ = t
benzer Ģekilde
𝜌 𝑡 = sup s ∈ ℝ: s < 𝑡 = sup −∞, t = t olur.
Burada her t ∈ ℝ noktası yoğundur. µ fonksiyonu her t ∈ 𝕋 için,
𝜇 𝑡 = 0 olarak bulunur.
(ii) Eğer 𝕋 = ℤ alınırsa her 𝑡 ∈ ℤ için
𝜍 t = inf s ∈ ℤ: s > 𝑡 = inf t + 1, t + 2, t + 3, … = t + 1
benzer Ģekilde
𝜌 t = sup s ∈ ℤ: s < 𝑡 = sup t − 1, t − 2, t − 3, … = t − 1
olarak bulunur.
Burada her t ∈ ℤ noktası izole noktadır. 𝜇 fonksiyonu
Her t ∈ 𝕋 için, 𝜇(𝑡) = 1 olur.
6
(iii) 𝕋 = 2n : n ∈ ℤ ⋃ 0 kümesini düĢünelim.
Yığılma noktası olan 0 kümeye dahil olduğu için kapalı kümedir.
t = 2n olacak Ģekilde ∂n ∈ ℤ vardır .
O halde ς t = 2n+1 = 2t olarak bulunur.
Benzer Ģekilde
1
ρ t = 2n−1 = 2 t olur.
Burada her t ∈ 𝕋 noktası izole noktadır.
𝜇 fonksiyonu her t ∈ 𝕋 için μ t = ς t − t olduğundan
𝜇 𝑡 = 𝑡 olarak bulunur.
(iv) 𝕋 =
n: n ∈ ℕ0 olsun.
t = n olacak Ģekilde ∂n ∈ ℕ0 vardır.
O halde 𝜍 𝑡 = n + 1 = t 2 + 1 olur.
Benzer Ģekilde
n = 0 için ρ 0 = 0 n ≥ 1 için ρ t = t 2 − 1 olur.
2.6. Tanım
𝕋 zaman skalası verildiginde 𝕋𝐾 , 𝕋′nin m‟de sol-saçılımlı bir maximumu varsa
𝕋𝐾 = 𝕋\ 𝑚 diğer hallerde 𝕋𝐾 = 𝕋 ile tanımlanır.
Bu tanımı kısaca
𝕋𝐾 =
𝕋 − 𝑠𝑢𝑝𝕋 ,
𝕋
,
𝑠𝑢𝑝𝕋 < ∞ 𝑠𝑜𝑙𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑎çı𝑙ı𝑚𝑙ı
𝑠𝑢𝑝𝕋 = ∞ 𝑑𝑖ğ𝑒𝑟 𝑑𝑢𝑟𝑢𝑚𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎
ile de verebiliriz[2].
AĢağıdaki ġekil 2.2 de bazı zaman skalaları gösterilmiĢtir. Çizelge 2.2 de zaman
skalasına örnekler verilmiĢtir. Burada farklı zaman skalası alındığında, buna karĢılık
𝜇(𝑡) granül fonksiyonu, 𝜍(𝑡) ileri fark operatörü ve 𝜌(𝑡) geri fark operatörü
hesaplanmıĢtır.
7
ℝ
ℤ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
𝑕ℤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ġekil 2.2. Bazı zaman skalaları
Çizelge 2.2. Zaman skalasına örnekler
𝕋
𝜇(𝑡)
𝜍(𝑡)
𝜌(𝑡)
ℝ
0
t
t
ℤ
1
t+1
t-1
𝑕ℤ
h
t+h
t-h
𝑞ℕ
(q-1)t
qt
𝑡
2ℕ
T
2𝑡
𝑡
ℕ20
2 𝑡+1
( 𝑡 + 1)2
𝑞
2
𝑡 − 1)2
8
3. DELTA TÜREV VE TÜREVLENEBĠLĠRLĠK
3.1. Türevlenebilirlik
3.1. Tanım
𝑓: 𝕋 → ℝ fonksiyonu verilsin. 𝑡 ∈ 𝕋𝐾 olsun. Verilen her
ℰ > 0 sayısı için t‟nin bir 𝑈 (∂𝛿 > 0 𝑖ç𝑖𝑛 U= 𝑡 − 𝛿, 𝑡 + 𝛿 ∩ 𝕋 𝑜𝑙𝑎𝑐𝑎𝑘 ş𝑒𝑘𝑖𝑙𝑑𝑒)
komĢuluğu var ve her 𝑠 ∈ 𝑈 için
|f(𝜍(t))-f(s)-𝑓 ∆ 𝑡 𝜍 𝑡 − 𝑠 ≤ ℰ 𝜍 𝑡 − 𝑠| eĢitsizliği sağlanıyorsa
𝑓 ∆ (𝑡)‟ye f‟nin t-noktasındaki Hilger türevi (∆-delta türevi) denir[2].
3.1. Sonuç
f :𝕋 → ℝ fonksiyonunun her t ∈ 𝕋𝐾 için
lim
𝑠→𝑡
𝑠≠𝜍 (𝑡)
𝑓 𝜍 𝑡 − 𝑓(𝑠)
𝜍 𝑡 −𝑠
Limiti mevcut ise bu limite f fonksiyonunun Delta türevi veya Hilger türevi denir ve
𝑓 ∆ ile gösterilir[2].
Ayrıca her 𝑡 ∈ 𝕋𝐾 için 𝑓 ∆ 𝑡 mevcut ise f fonksiyonu 𝕋𝐾 da delta(Hilger)
türevlenebilirdir denir. Biz bundan sonra buna kısaca türevlenebilir diyeceğiz.
Tezde aksi belirtilmedikçe, türev terimi ile delta türev kastedilecektir ve
𝑓 ∆ : 𝕋𝐾 ⟶ ℝ ile de f nin delta türevini göstereceğiz.
3.1. Örnek
Eğer f:𝕋 → ℝ fonksiyonu her t ∈ 𝕋 için f(t)= 𝛼 ise f ∆ t ≡ 0 olur.
Burada 𝛼 ∈ ℝ sabittir. Gerçekten her 𝜀 > 0 ve 𝑠 ∈ 𝕋 için
|f ς t
− f s − 0. ς t − s | ≤ ε|ς t − s|,
olması sebebiyle doğrudur. Yani sabitin türevi 0 dır.
3.2. Örnek
Eğer f:𝕋 → ℝ fonksiyonu her t ∈ 𝕋 için f t = t ise f ∆ t ≡ 1 olur. Gerçekten her
𝜖 > 0 ve her 𝑠 ∈ 𝕋 için
9
f ς t
− f s − 1. (ς t − s) = ς t − s − (ς t − s) = 0 ≤ ε ς t − s ,
olması sebebiyle doğrudur.
3.1. Teorem
Kabul edelim ki; f : 𝕋 → ℝ bir fonksiyon ve t Є 𝕋K olsun. O zaman, aĢağıdakiler
geçerlidir:
(i) f fonksiyonu t noktasında türevlenebilir ise f fonksiyonu t noktasında süreklidir.
(ii ) f fonksiyonu t noktasında sürekli ve t noktası sağ saçılımı ise f fonksiyonu t
noktasında türevlenebilirdir ve
f ς t −f t
f Δ (t)=
µ t
sağlanır.
(iii) t sağ yoğun olmak üzere f fonksiyonu t noktasında türevlenebilir olması için
gerek ve yeter koĢul
lim f
s→t
t ‒f(s)
t‒s
limitinin var olmasıdır. Bu durumda f ∆ (t) =
lim f(t)−f(s)
s → t t−s
dir.
(iv)f fonksiyonu t noktasında türevlenebilir ise
f(ς(t)) = f (t) + µ(t)f ∆ (t) elde edilir[2].
Ġspat:
(i) f fonksiyonu t‟de türevlenebilir ve 0<𝜀<1 olsun.
𝜀 ∗ = 𝜀. [1 + 𝑓 ∆ 𝑡 + 2𝜇 𝑡 ]−1 olarak tanımlansın.
𝑓 𝜍 𝑡
− 𝑓 𝑠 − 𝑓 ∆ 𝑡 (𝜍 𝑡 − 𝑠) ≤ 𝜀 ∗ 𝜍 𝑡 − 𝑠
olacak Ģekilde t noktasının U komĢuluğu vardır. Böylece
her 𝑠 ∈ 𝑈 ∩ (𝑡 − 𝜀 ∗ , 𝑡 + 𝜀 ∗ ) için
𝑓 𝑡 −𝑓 𝑠
= 𝑓 𝜍 𝑡
− 𝑓 𝑠 − 𝑓∆ 𝑡 𝜍 𝑡 − 𝑠 ) − 𝑓 𝜍 𝑡
− 𝑓 𝑡 − 𝜇 𝑡 𝑓∆ 𝑡
+ 𝑡 − 𝑠 𝑓∆ 𝑡 |
≤ 𝜀 ∗ 𝜍 𝑡 − 𝑠 + 𝜀 ∗𝜇 𝑡 + 𝑡 − 𝑠 𝑓∆ 𝑡
≤ 𝜀 ∗ 1 + 2𝜇 𝑡 + 𝑓 ∆ 𝑡
=𝜀
elde edilir. Bu sonuç f fonksiyonunun sürekli olduğu sonucunu verir.
(ii) f fonksiyonu t noktasında sürekli ve t noktasında sağdan saçılımlı olsun.
Süreklilik tanımından;
10
𝑓 𝜍 𝑡 − 𝑓(𝑠) 𝑓 𝜍 𝑡 − 𝑓(𝑡) 𝑓 𝜍 𝑡 − 𝑓(𝑡)
=
=
𝑠→𝑡
𝜍 𝑡 −𝑠
𝜍 𝑡 −𝑡
𝜇(𝑡)
lim
yazılır. 𝜀 > 0 için
𝑓 𝜍 𝑡 − 𝑓(𝑠) 𝑓 𝜍 𝑡 − 𝑓(𝑡)
−
≤𝜀
𝜍 𝑡 −𝑠
𝜇(𝑡)
olur. Her 𝑠 ∈ 𝑈 olacak Ģekilde t noktasının bir U komĢuluğu vardır. Her 𝑠 ∈ 𝑈 için
𝑓 𝜍 𝑡
− 𝑓(𝑠) −
𝑓 𝜍 𝑡 − 𝑓(𝑡)
𝜍 𝑡 −𝑠 ≤𝜀 𝜍 𝑡 −𝑠
𝜇(𝑡)
elde edilir. Böylece;
𝑓∆ 𝑡 =
𝑓 𝜍 𝑡 − 𝑓(𝑡)
𝜇(𝑡)
yazılır.
(iii) f fonksiyonu t noktasında türevlenebilir ve t noktasında sağda yoğun olsun.
Bu taktirde 𝜀 > 0 için her 𝑠 ∈ 𝑈 olacak Ģekilde t noktasının bir U komĢuluğu vardır.
Böylece
𝑓 𝜍 𝑡
− 𝑓(𝑠) − 𝑓 ∆ (𝑡) 𝜍 𝑡 − 𝑠 ≤ 𝜀 𝜍 𝑡 − 𝑠
yazılabilir. 𝜍 𝑡 = 𝑡 olduğundan,
𝑓 𝑡 − 𝑓(𝑠) − 𝑓 ∆ 𝑡 (𝑡 − 𝑠) ≤ 𝜀 𝑡 − 𝑠 , ∀𝑠 ∈ 𝑈
𝑓 𝑡 − 𝑓(𝑠)
− 𝑓 ∆ (𝑡) ≤ 𝜀
𝑡−𝑠
elde edilir. Böylece aranan 𝑠 ∈ 𝑈 , 𝑠 ≠ 𝑡 için
𝑓 𝑡 − 𝑓(𝑠)
𝑠→𝑡
𝑡−𝑠
𝑓 ∆ 𝑡 = lim
olur.
(iv) Eğer 𝜍 𝑡 = 𝑡 ise 𝜇 𝑡 = 0 olur ve
𝑓 𝜍 𝑡
= 𝑓 𝑡 + 0. 𝑓 ∆ 𝑡 yazılır.
Diğer taraftan eğer 𝜍(𝑡) > 𝑡 ise; (ii)‟nin yardımıyla
𝑓 𝜍 𝑡
=𝑓 𝑡 +𝜇 𝑡
elde edilir[2].
𝑓 𝜍 𝑡 −𝑓 𝑡
= 𝑓 𝑡 + 𝜇 𝑡 𝑓 ∆ (𝑡)
𝜇 𝑡
11
3.2. Teorem
Kabul edelim ki;
f,g : 𝕋 → ℝ fonksiyonları t ∈ 𝕋K noktasında türeve sahip olsunlar.
O zaman, aĢağıdakiler geçerlidir:
(i) 𝑓 + 𝑔 ∶ 𝕋 → ℝ
toplamı t noktasında türevlenebilirdir ve
(𝑓 + 𝑔 ) ∆ (t)=𝑓 ∆ (t) +𝑔∆ (t) dır.
(ii) fg : 𝕋 → ℝ çarpımı t noktasında türevlenebilirdir ve
(𝑓𝑔)∆ (t) = 𝑓 ∆ (t) g (t) +f (𝜍(t)) 𝑔∆ (t) dır.
Burada, fg = gf olduğuna da dikkat edilmelidir.
(iii)𝑓 𝑡 𝑓 (𝜍 𝑡 ) ≠ 0 olmak üzere, 1/f fonksiyonu t noktasında türeve sahiptir ve
1 ∆
𝑓
(t) = −
𝑓∆ 𝑡
𝑓 𝑡 𝑓 𝜍 𝑡
dır[2].
12
4. ĠNTEGRAL
4.1. rd-Süreklilik ve Özellikleri
4.1. Tanım
Bir f : 𝕋 → ℝ fonksiyonunun sağ yoğun noktalarındaki sağdan limiti var (sonlu) ve
sol yoğun noktalarındaki soldan limiti var(sonlu) ise f fonksiyonuna düzenlidir denir
[2].
4.2. Tanım
Bir f:𝕋 → ℝ fonksiyonu sağ yoğun noktalarında sürekli ve sol yoğun noktalarındaki
soldan limiti var ise f fonksiyonuna rd-sürekli denir.
f : 𝕋 → ℝ Ģeklindeki rd-sürekli fonksiyonların kümesi 𝐶𝑟𝑑 (𝕋 , ℝ) ile gösterilir.
f ∈ 𝐶𝑟𝑑 (𝕋 , ℝ) ve 𝑓 ∆ ∈ 𝐶𝑟𝑑 (𝕋 , ℝ) ifadelerini sağlayan fonksiyonların
oluĢturdukları küme ise
1
𝐶𝑟𝑑
(𝕋 , ℝ) ile gösterilir[2].
4.3. Tanım
Bir f :𝕋 → ℝ fonksiyonu, bir D ⊂ 𝕋𝐾 bölgesi için, her t ∈D noktalarında
türevlenebilir ve 𝕋𝐾 \𝐷 bölgesi sağ saçılımlı nokta içermeyen sayılabilir bir küme
ise f fonksiyonuna D bölgesinde ön-türevlenebilir denir[2].
4.1. Teorem (Ortalama değer teoremi)
f,g fonksiyonları 𝕋 üzerinde tanımlanmıĢ reel değerli fonksiyonlar ve ikisi de aynı
D bölgesinde ön-türevlenebilir olsun. O zaman her t ∈ D için
f ∆ (t) ≤ g ∆ (t) eĢitsizliği sağlanırsa, t ≥ s olmak üzere her t, s ∈ 𝕋 için
f t −f s
≤g t − g s
eĢitsizliği geçerlidir [2].
4.1. Sonuç
f,g :𝕋 → ℝ fonksiyonları aynı D bölgesinde ön-türevlenebilir ve U ⊂ 𝕋, baĢlangıç
ve bitiĢ noktaları sırasıyla t,s ∈ 𝕋 olan kompakt bir aralık olsun. O zaman,
sup
f t − f (s) ≤
f ∆ (η) t − s
ηϵU K ∩ ℝ
13
sağlanır [2].
4.2. Teorem
f düzenli olsun. Bu takdirde her t ∈ D için D türevlenebilir bölgesiyle
ön-türevlenebilir ve F ∆ (t) = f (t) olacak biçimde bir F fonksiyonu vardır[2].
4.4. Tanım
f : 𝕋 → ℝ fonksiyonu düzenli olsun. O zaman, Teorem 4.2‟ deki gibi olan her F
fonksiyonuna f „ nin ön-antitürevi denir. Bu durumda, c keyfi bir sabit olmak üzere,
𝑓 𝜂 ∆𝜂 = 𝐹 𝑡 + 𝑐
Ģeklinde tanımlanan ifadeye düzenli f fonksiyonunun belirsiz integrali denir. Cauchy
integrali ise
𝑡
𝑓(𝜂)∆𝜂 = 𝐹 (𝑡) − 𝐹 (𝑠)
𝑕𝑒𝑟 𝑡, 𝑠 ∈ 𝕋
𝑠
ile tanımlıdır[2].
4.3. Teorem
Her rd-sürekli fonksiyonun bir anti-türevi vardır.
Özel olarak, bir t 0 ∈ 𝕋 ve her t ∈ 𝕋 için
t
F (t)=∫to f (η)∆η
ile tanımlı fonksiyon, f fonksiyonunun anti-türevidir [2].
4.4. Teorem
f ∈ ∁rd 𝕋 ve t ∈ 𝕋K olmak üzere,
ς t
f η Δη = μ t f t
t
sağlanır [2].
4.5. Teorem
f Δ ≥ 0 ise f fonksiyonu azalmayandır[2].
14
4.6. Teorem
r,s,t ∈ 𝕋, ⋋∈ ℝ ve f,g ∈ ∁rd (𝕋) olsun. O zaman, aĢağıdaki özellikler doğrudur:
𝑡
𝑡
𝑡
𝑡
𝑡
(i)
∫𝑠 𝑓 + 𝑔 𝜂 Δ𝜂 = ∫𝑠 𝑓 𝜂 Δ𝜂 + ∫𝑠 𝑔 𝜂 Δ𝜂
(ii)
∫𝑠 ⋋ 𝑓 𝜂 Δ𝜂 =⋋ ∫𝑠 𝑓 𝜂 Δ𝜂
(iii)
∫𝑠 𝑓 𝜂 Δ𝜂 = − ∫𝑡 𝑓(𝜂)Δ𝜂
(iv)
∫𝑠 𝑓 𝜂 Δ 𝜂 = ∫𝑠 𝑓 𝜂 Δ𝜂 + ∫𝑟 𝑓(𝜂)Δ𝜂
(v)
∫𝑠 𝑓 𝜍 𝜂 𝑔Δ 𝜂 Δ𝜂 = 𝑓𝑔 𝑡 − 𝑓𝑔 𝑠 − ∫𝑠 𝑓 Δ 𝜂 𝑔 𝜂 Δ𝜂[2].
𝑡
𝑠
𝑡
𝑟
𝑡
𝑡
𝑡
4.7. Teorem
t,s ∈ 𝕋 ve f ∈ ∁rd (𝕋) olsun. AĢağıdakiler doğrudur.
𝕋 = ℝ ise
(i)
t
t
f η Δη =
s
f η dη
s
dır.
(ii) 𝕋 sadece izole(hem sağ hem sol saçılımlı) noktalardan oluĢuyorsa,
t
f η η=
f η μ(η)
η∈[t,s)
s
olur[2].
4.5. Tanım
t 0 ∈ 𝕋 sup𝕋=∞ ve f ∈ ∁rd ([t 0 , ∞)𝕋 ) olsun. O zaman, [t 0 , ∞)𝕋 üzerindeki belirsiz
integral
t
∞
f η Δ𝜂 ≔ lim
t0
t→∞
f(τ)Δτ
t0
15
ile tanımlıdır.
Eğer bu limit mevcut ise belirsiz integral yakınsaktır, aksi halde de ıraksaktır
denir[2].
4.6. Tanım
𝕋 bir zaman skalası ve 𝜈: 𝕋 → ℝ kesin olarak artan bir fonksiyon ve 𝕋 = 𝜈 𝕋 bir
zaman skalası olsun. 𝜍 ile 𝕋 üzerindeki sıçrama fonksiyonunu ve ∆ ile 𝕋 üzerindeki
türevi gösterelim. Bu durumda 𝜈 ∘ 𝜍 = 𝜍 ∘ 𝜈 olur[2].
4.8. Teorem
𝜈: 𝕋 → ℝ kesin olarak artan bir fonksiyon ve 𝕋 = 𝜈 𝕋 bir zaman skalası olsun.
𝑤: 𝕋 → ℝ alalım. Eğer 𝜈 Δ (t) ve 𝑤 Δ 𝜈 𝑡
𝑡 𝜖 𝕋𝐾 için varsa,
(𝑤 ∘ 𝜈)Δ = (𝑤 Δ ∘ 𝜈)𝜈 Δ olur[2].
4.9. Teorem
Kabul edelim ki, f: 𝕋 → ℝ kesin artan bir fonksiyon ve 𝕋:=f(𝕋) bir zaman skalası
olsun. Bu durumda g∈ ∁rd (𝕋, ℝ) ve f ∈ ∁1rd (𝕋, ℝ) olmak üzere, her t,s∈ 𝕋 için
𝑓 (𝑡)
𝑡
𝑔 ∘ 𝑓 −1 (𝜁)Δ 𝜁
𝑔 𝜂 𝑓 Δ 𝜂 Δ𝜂 =
𝑠
𝑓(𝑠)
olur [2].
4.10. Teorem
Teorem 2.28 deki Ģartlar altında 𝕋 = 𝕋 ise
f(t)
t
g ∘ f −1 (η)∆ η
g η f Δ η Δη =
s
f(s)
olur [2].
4.11. Teorem (Ara değer teoremi).
f : 𝕋 → ℝ fonksiyonu sürekli olsun. t,s∈ 𝕋 ve t,s∈ 𝕋 ve t > s olmak üzere,
16
f (s) f (t) < 0
sağlanıyorsa
f(r)=0 veya f(r)f(ς(r)) < 0
olacak Ģekilde r ∈ [s, t) 𝕋 vardır [2].
4.12. Teorem (Leibnitz kuralı).
s ∈ 𝕋K ve f : 𝕋 × 𝕋K → ℝ fonksiyonu, her r> s ve r∈ 𝕋K olmak üzere (r,r)
noktasında sürekli ve
f Δ (r, ∙) ∈ ∁rd ([s, ς r ]𝕋 ) olsun.
O zaman;
t
𝑔 𝑡 =
f t, n Δη
s
ile tanımlanırsa
𝑡
∆
𝑓 𝛥 𝑡, 𝜂 𝛥𝜂 + 𝑓 𝜍 𝑡 , 𝑡
𝑔 𝑡 =
𝑠
sağlanır [2].
Yukarıdaki teoremde türev birinci mertebeden uygulanmaktadır.
17
5. BĠRĠNCĠ MERTEBEDEN LĠNEER DĠNAMĠK DENKLEMLER
5.1. Hilger Kompleks Düzlemi
5.1.Tanım
𝑓: 𝕋 × ℝ2 ⟶ ℝ bir fonksiyon olsun. Birinci mertebeden dinamik denklem
𝑦 ∆ = 𝑓(𝑡, 𝑦, 𝑦 𝜍 )
(5.1)
Ģeklinde tanımlanır. Eğer 𝑓1 ve 𝑓2 fonksiyonları için
𝑓 𝑡, 𝑦, 𝑦 𝜍 = 𝑓1 𝑡 𝑦 + 𝑓2 (𝑡) veya 𝑓 𝑡, 𝑦, 𝑦 𝜍 = 𝑓1 𝑡 𝑦 𝜍 + 𝑓2 (𝑡)
Ģeklinde tanımlanırsa, bu taktirde EĢ.5.1. dinamik denklemine lineer denklem denir.
Eğer 𝑦: 𝕋 ⟶ ℝ fonksiyonu EĢ.5.1. in çözümü ise, bu takdirde her 𝑡 ∈ 𝕋𝐾 için
𝑦 ∆ 𝑡 = 𝑓(𝑡, 𝑦 𝑡 , 𝑦 𝜍 𝑡 )
denklemini sağlar[2].
ġimdi Hilger kompleks düzleminin tanımı verilecektir.
5.2. Tanım
h>0 olmak üzere, Hilger karmaĢık sayıları, Hilger ekseni, Hilger yedek ekseni ve
Hilger sanal çemberi sırasıyla aĢağıdaki gibi tanımlıdır.
1
ℂ𝑕 := 𝑧 ∈ ℂ: 𝑧 ≠ − 𝑕 ,
1
ℝ𝑕 ≔ 𝑧 ∈ ℂ𝑕 : 𝑧 ∈ ℝ 𝑣𝑒 𝑧 > − 𝑕 ,
1
𝔸𝑕 ≔ 𝑧 ∈ ℂ𝑕 : 𝑧 ∈ ℝ 𝑣𝑒 𝑧 < − 𝑕 ,
1
1
𝕀𝑕 ≔ 𝑧 ∈ ℂ𝑕 : 𝑧 + 𝑕 = 𝑕 .
h=0 için ℂ0 ≔ ℂ, ℝ0 ≔ ℝ, 𝕀0 ≔ 𝑖ℝ 𝑣𝑒 𝔸0 ≔ ∅ ile tanımlıdır[2].
18
Ah
1
0
Rh
h
Ih
ġekil 5.1. Hilger kompleks düzlemi
5.3. Tanım
h>0 ve z ∈ ℂh olsun.
z‟nin Hilger reel kısmı; 𝑅𝑒𝑕 𝑧 ≔
𝑧𝑕 +1 −1
𝑕
z‟nin Hilger imajiner kısmı; 𝐼𝑚𝑕 𝑧 ≔
𝐴𝑟𝑔 𝑧𝑕 +1
𝑕
ile tanımlıdır[2].
Burada Arg(z), z‟nin esas argümentidir.(−𝜋 < 𝐴𝑟𝑔 𝑧 < 𝜋)
Ayrıca 𝑅𝑒𝑕 𝑧 ve 𝐼𝑚𝑕 𝑧
1
− 𝑕 < 𝑅𝑒𝑕 𝑧 < ∞ ve −
𝜋
𝑕
𝜋
< 𝐼𝑚𝑕 𝑧 ≤ 𝑕 eĢitsizliklerini sağlar.
5.4. Tanım
𝜋
𝜋
− 𝑕 < 𝑤 ≤ 𝑕 olsun. Hilger‟in pür imajiner sayısı 𝑖𝑤
𝑖𝑤 =
𝑒 𝑖𝑤 𝑕 −1
𝑕
ile tanımlanır[2].
𝑧 ∈ ℂ𝑕 için 𝑖𝐼𝑚𝑕 𝑧 ∈ 𝕀𝑕 olur.
(5.2)
19
iR
z
iImhz
1
Rehz
R
h
ġekil 5.2. Hilger kompleks sayıları
5.1. Teorem
𝜋
𝜋
Eğer − 𝑕 < 𝑤 ≤ 𝑕 ise
𝑖𝑤
2
4
= 𝑕 2 𝑠𝑖𝑛2
𝑤𝑕
2
Ġspat:
EĢ. 5.2 yi kullanarak
𝑖𝑤
=
2
= (𝑖𝑤)(𝑖𝑤)
𝑒 𝑖𝑤 𝑕 −1
𝑒 𝑖𝑤 𝑕 −1
𝑕
𝑕
2−𝑒 𝑖𝑤 𝑕 −𝑒 −𝑖𝑤 𝑕
=
𝑕2
2
= 2 (1 − cos 𝑤𝑕 )
𝑕
olur[2].
(5.3)
20
4
=𝑕 2 𝑠𝑖𝑛2
𝑤𝑕
2
sonucunu elde ederiz.
5.2. Yeni Toplama Grubu
5.5. Tanım
ℂ𝑕 üzerindeki “circle plus” toplama ⨁ iĢlemi
𝑧 ⊕ 𝑤 ≔ 𝑧 + 𝑤 + 𝑧𝑤𝑕 ile tanımlanır[2].
5.2. Teorem
(ℂ𝑕 ,⊕) bir Abel grubu olur[2].
Ġspat:
𝑧, 𝑤 ∈ ℂ𝑕 ve 𝑧 ⊕ 𝑤 karmaĢık sayılardır.
𝑧⊕𝑤 ≠ −
1
𝑕
1 + 𝑕 𝑧 ⊕ 𝑤 = 1 + 𝑕(𝑧 + 𝑤 + 𝑤𝑧𝑕)
= 1 + 𝑕𝑧 1 + 𝑕𝑤
≠0
ℂ𝑕 ⊕ iĢlemi altında kapalıdır.
𝑧 ⊕ 0 = 0 ⊕ 𝑧 = 𝑧 olduğundan 0, ⊕ için toplamsal özdeĢ olur. 𝑧 ∈ ℂ𝑕 için 𝑧 nin
⊕ altında ters toplamını bulmak için
𝑧⊕𝑤 = 0
𝑧 + 𝑤 + 𝑧𝑤𝑕 = 0
Böylece;
𝑤=−
𝑧
1 + 𝑧𝑕
⊕ iĢlemi altında z‟nin toplamsal tersi olur. (ℂ𝑕 ,⊕) gruptur. Aynı zamanda
𝑧 ⊕ 𝑤 = 𝑧 + 𝑤 + 𝑧𝑤𝑕
=𝑤 + 𝑧 + 𝑤𝑧𝑕 = 𝑤 ⊕ 𝑧
değiĢme özelliği olduğundan (ℂ𝑕 ,⊕) Abel gruptur.
21
5.3. Teorem
𝑧 ∈ ℂ𝑕 için
𝑧 = 𝑅𝑒𝑕 𝑧 ⊕ 𝑖𝐼𝑚𝑕 𝑧 olur[2].
Ġspat:
𝑧 ∈ ℂ𝑕
𝑅𝑒𝑕 𝑧 ⊕ 𝑖𝐼𝑚𝑕 𝑧 =
𝑧𝑕 + 1 − 1
𝐴𝑟𝑔(𝑧𝑕 + 1)
⊕𝑖
𝑕
𝑕
=
𝑧𝑕 + 1 − 1 exp 𝑖𝐴𝑟𝑔 𝑧𝑕 + 1
⊕
𝑕
𝑕
−1
=
𝑧𝑕 + 1 − 1 exp 𝑖𝐴𝑟𝑔 𝑧𝑕 + 1
+
𝑕
𝑕
−1
+
𝑧𝑕 + 1 − 1 exp 𝑖𝐴𝑟𝑔 𝑧𝑕 + 1
𝑕
𝑕
=
1
𝑧𝑕 + 1 − 1 + exp 𝑖𝐴𝑟𝑔 𝑧𝑕 + 1
𝑕
+
𝑧𝑕 + 1 − 1 (exp 𝑖𝐴𝑟𝑔 𝑧𝑕 + 1
=
=
1
𝑧𝑕 + 1 exp 𝑖𝐴𝑟𝑔 𝑧𝑕 + 1
𝑕
−1
𝑕
−1
− 1)
−1
𝑧𝑕 + 1 − 1
=𝑧
𝑕
5.6. Tanım
𝑛 ∈ ℕ ve 𝑧 ∈ ℂ𝑕 üzerinde ⊙ iĢlemi
𝑛 ⊙ 𝑧 = 𝑧 ⊕ 𝑧 ⊕ 𝑧 ⊕ 𝑧 ⊕ … ⊕ 𝑧 Ģeklinde tanımlanır.
Bu son denklemde sağ tarafta n tane terim vardır. Bu nedenle
𝑛⊙𝑧=
(𝑧𝑕 + 1)𝑛
𝑕
22
Ģeklinde olur[2].
5.7. Tanım
⊕ iĢlemi altında z ∈ ℂ𝑕 ‟nin toplamsal tersi
−𝑧
⊝ 𝑧 ≔ 1+𝑧𝑕
olur.
Bu durumda ℂ𝑕 üzerindeki “circle minus” çıkarma ⊝ iĢlemini
𝑧 ⊝ 𝑤 ≔ 𝑧 ⊕ (⊝ 𝑤) ile tanımlarız[2].
(5.4)
5.4. Teorem
𝑧, 𝑤 ∈ ℂ𝑕 ve 𝑕 ≥ 0 için aĢağıdaki özellikler sağlanır.
(𝑖) 𝑧 ⊝ 𝑧 = 0
𝑧−𝑤
(ii) 𝑧 ⊝ 𝑤 = 1+𝑤𝑕
(iii) Eğer 𝑕 = 0 ise 𝑧 ⊝ 𝑤 = 𝑧 − 𝑤
(iv) 𝑧 ∈ ℂ𝑕 ise 𝑧 =⊝ 𝑧
(𝑣) ⊝ 𝑖𝑤 = 𝑖𝑤
AĢağıdaki Çizelge 5.1 de bazı toplamsal ters örnekleri verilmiĢtir.
Çizelge 5.1. Toplamsal Tersler
𝑧
⊝𝑧
0
1
−
0
1
1+𝑕
i
1
𝑖−𝑕
1
𝑕
1
−
2𝑕
2
𝑕
2
−
𝑕
−
𝑖−1
𝑕
𝑖+1
−
𝑕
5.8. Tanım
Eğer 𝑧 ∈ ℂ𝑕 ise z nin genelleĢtirilmiĢ karesi
z
𝑧2
:= −𝑧 ⊖ 𝑧 = 1+𝑧𝑕
Ģeklinde tanımlanır[2].
(5.5)
23
5.9.Tanım
π
π
h 0 olmak üzere, ξ:ℂh → ℤh ≔ z ∈ ℂ: − h < Im(z) ≤ h silindir dönüĢümü
ξh z ≔
z
,h = 0
1
log 1 + zh , h > 0
h
(5.6)
ile tanımlıdır.
Ters silindir dönüĢümü ξh−1 : ℤh → ℂh ise
ξ−1
h z ≔
z,
1
h
,h = 0
(ezh − 1), h > 0
(5.7)
Ģeklindedir[2].
Burada Log esas logaritma fonksiyonudur. h=0 için 𝜉0 𝑧 = 𝑧 olur[2].
h>0 olduğunda ℤ𝑕 silindir olur. Sınır çizgileri
𝜋
𝐼𝑚 𝑧 = −
𝑕
ve
𝜋
𝐼𝑚 𝑧 =
𝑕
Ģeklindedir.
5.10. Tanım
ℤ𝑕 üzerindeki toplama iĢlemi 𝑧, 𝑤 ∈ ℤ𝑕
𝑧 + 𝑤: = 𝑧 + 𝑤
𝑚𝑜𝑑
2𝜋𝑖
𝑕
ile tanımlanır[2].
5.5. Teorem
Silindir dönüĢümü ξh , (ℂ𝑕 , ⨁) dan (ℤ𝑕 , +) ya bir grup homomorfizmasıdır.
Buradaki + iĢlemi ℤ𝑕 üzerinde EĢ. (5.8) de tanımlanan iĢlemdir.
Ġspat:
𝑕 > 0 ve 𝑧, 𝑤 ∈ ℂ𝑕 olsun.
(5.8)
24
𝜉𝑕 𝑧⨁𝑤 =
1
𝐿𝑜𝑔(1 + 𝑧⨁𝑤 𝑕)
𝑕
1
𝐿𝑜𝑔(1 + 𝑧𝑕 + 𝑤𝑕 + 𝑧𝑤𝑕2 )
𝑕
1
= 𝐿𝑜𝑔 1 + 𝑧𝑕 1 + 𝑤𝑕
𝑕
1
1
= 𝐿𝑜𝑔 1 + 𝑧𝑕 + 𝐿𝑜𝑔(1 + 𝑤𝑕)
𝑕
𝑕
=
= 𝜉𝑕 (𝑧) + 𝜉𝑕 (𝑤)
Bu 𝑕 > 0 durumunu ispatlar. h=0 için aĢikardır.
5.3. Üstel Fonksiyon
Üstel fonksiyonu tanımlamadan önce bazı gerekli tanımlamaları verelim.
5.11.Tanım
𝑝: 𝕋 → ℝ bir fonksiyon olsun.
Eğer her 𝑡 ∈ 𝕋𝐾 için 1 + 𝜇 𝑡 𝑝 𝑡 ≠ 0 özelliği sağlanıyorsa 𝑝 fonksiyonuna
regresifdir denir.
Bütün regresif ve rd-sürekli 𝑓: 𝕋 → ℝ fonksiyonların kümesini
ℛ = ℛ 𝕋 = ℛ(𝕋, ℝ) ile göstereceğiz[2].
5.6. Teorem
ℛ, her 𝑡 ∈ 𝕋𝐾 , 𝑝, 𝑞 ∈ ℛ için ⊕ iĢlemi altında Abel gruptur.
𝑝 ⊕ 𝑞 = 𝑝 𝑡 + 𝑞 𝑡 + 𝜇 𝑡 𝑝 𝑡 𝑞(𝑡)
Bu grup regresif grup olarak adlandırılır.
5.12. Tanım
𝑝, 𝑞 ∈ ℛ için ⊖ 𝑝 ve 𝑝 ⊖ 𝑞 fonksiyonları her 𝑡 ∈ 𝕋𝐾 için
⊝ 𝑝 𝑡 := −
𝑝(𝑡)
1 + 𝜇 𝑡 𝑝(𝑡)
𝑝⊖𝑞 𝑡 ≔ 𝑝⊕ ⊖𝑞
Ģeklindedir[2].
(5.9)
𝑡
(5.10)
25
5.7. Teorem
𝑝, 𝑞 ∈ ℛ için EĢ.5.10 da tanımlanan ⊖ iĢlemi aĢağıdaki özellikleri sağlar.
(𝑖) 𝑝 ⊖ 𝑝 = 0
(ii) ⊖ ⊖ 𝑝 = 𝑝
(iii) 𝑝 ⊖ 𝑞 ∈ ℛ
𝑝−𝑞
(iv) 𝑝 ⊖ 𝑞 = 1+𝜇𝑡
(v) ⊖ 𝑝 ⊖ 𝑞 = 𝑞 ⊖ 𝑝
(vi) ⊖ 𝑝 ⊕ 𝑞 = ⊖ 𝑝 ⊕ (⊖ 𝑞)
5.13. Tanım
p ∈ ℛ 𝕋, ℝ olmak üzere zaman skalası üzerinde üstel fonksiyon her t,s ∈ 𝕋 için
𝑡
𝑒𝑝 𝑡, 𝑠 ≔ 𝑒𝑥𝑝
𝜉𝜇
𝜏
(𝑝 𝜏 )Δτ
(5.11)
𝑠
ile tanımlıdır[2].
Buradaki ξh z EĢ. 5.6 da tanımlanan silindir dönüĢümüdür.
5.1.Yardımcı Teorem
Eğer 𝑝 ∈ ℛ ise her 𝑟, 𝑠, 𝑡 ∈ 𝕋 için
𝑒𝑝 𝑡, 𝑟 𝑒𝑝 𝑟, 𝑠 = 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑠)
semigroup(yarı grup) özelliği sağlanır[2].
Ġspat:
𝑝 𝜖 ℛ 𝑣𝑒 𝑟, 𝑠, 𝑡 ∈ 𝕋 olsun.
EĢ. 5.11 den
𝑡
𝑒𝑝 𝑡, 𝑟 𝑒𝑝 𝑟, 𝑠 = exp
𝑟
𝜉𝜇
𝑟
𝜏
𝑝 𝜏 Δτ exp
𝜉𝜇
𝑠
𝜏
𝑝 𝜏 Δτ
26
𝑡
= 𝑒𝑥𝑝
𝑟
𝜉𝜇
𝜏
𝑝 𝜏 Δτ +
𝑟
𝜉𝜇
𝜏
𝑝 𝜏 Δτ
𝑠
𝑡
= 𝑒𝑥𝑝
𝜉𝜇
𝑝 𝜏 Δτ
𝜏
𝑠
= 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑠)
Teorem 4.6‟ nın (iv) Ģıkkından yararlandık.
5.14. Tanım
𝑝 ∈ ℛ ise birinci basamaktan dinamik denklem,
𝑦∆ = 𝑝 𝑡 𝑦
(5.12)
regresif olarak tanımlanır.
5.8. Teorem
𝑒𝑝 (. , 𝑡0 )
𝑦∆ = 𝑝 𝑡 𝑦
𝑦 𝑡0 = 1
𝑡0 ∈ 𝕋
(5.13)
baĢlangıç değer probleminin çözümüdür.
Ġspat:
𝑡0 ∈ 𝕋𝐾 ve 𝑦 ∆ = 𝑝 𝑡 𝑦 denklemi regresif olduğundan
𝑒𝑝 𝑡0 , 𝑡0 = 1
olur.
𝑒𝑝 𝑡 , 𝑡0 , 𝑦 ∆ = 𝑝 𝑡 𝑦 𝑡
𝑡 ∈ 𝕋𝐾 dinamik denklemini sağlar.
Ġki durum vardır.
1.Durum: 𝜍 𝑡 > 𝑡 Yardımcı Teorem 5.1 den
𝜍 𝑡
𝑒𝑝∆ 𝑡, 𝑡0 =
exp (∫𝑡
0
𝜉𝜇
𝑟
𝑡
(𝑝 𝜏 )∆𝜏) − exp(∫𝑡 𝜉𝜇
0
𝜇 𝑡
𝑟
(𝑝 𝜏 )∆𝜏)
27
𝜍 𝑡
=
=
exp (∫𝑡
𝜉𝜇
(𝑝 𝜏 )∆𝜏) − 1
𝑟
𝜇 𝑡
𝑒 𝜉𝜇
𝑟
𝑝 𝑡 𝜇 (𝑡)
−1
𝜇(𝑡)
= 𝜉𝜇−1𝑡 (𝜉𝜇
𝑡
𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 )
𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 )
𝑝 𝑡 . 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 )
= 𝑝 𝑡 . 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 )
2. Durum: 𝜍 𝑡 = 𝑡 Yardımcı Teorem 5.1 i kullanarak
𝑦 𝑡 −𝑦 𝑠 −𝑝 𝑡 𝑦 𝑡 𝑡−𝑠
= 𝑒𝑝 𝑡, 𝑡0 − 𝑒𝑝 𝑠, 𝑡0 − 𝑝 𝑡 𝑒𝑝 𝑡, 𝑡0 𝑡 − 𝑠
= 𝑒𝑝 𝑡, 𝑡0
1 − 𝑒𝑝 𝑠, 𝑡0 − 𝑝 𝑡 𝑡 − 𝑠
= 𝑒𝑝 𝑡, 𝑡0
1−
𝑡
𝑠
𝑡
𝜉𝜇
𝜏
𝑝 𝜏 ∆𝜏 − 𝑒𝑝 𝑠, 𝑡 +
𝑠
𝜉𝜇
𝜏
𝑝 𝜏 ∆𝜏 − 𝑝 𝑡 (𝑡 − 𝑠)
𝑡
≤ 𝑒𝑝 𝑡, 𝑡0
1−
𝜉𝜇
𝜏
𝑝 𝜏 ∆𝜏 − 𝑒𝑝 𝑠, 𝑡
𝑠
𝑡
+ 𝑒𝑝 𝑡, 𝑡0
𝜉𝜇
𝜏
𝑝 𝜏 ∆𝜏 − 𝑝 𝑡 (𝑡 − 𝑠)
𝑠
𝑡
≤ 𝑒𝑝 𝑡, 𝑡0
1−
𝜉𝜇
𝜏
𝑝 𝜏 ∆𝜏 − 𝑒𝑝 𝑠, 𝑡
𝑠
𝑡
+ 𝑒𝑝 𝑡, 𝑡0
[𝜉𝜇
𝜏
𝑝 𝜏
− 𝜉0 (𝑝 𝑡 )∆𝜏
𝑠
ifadesi elde edilir. 𝜀 > 0 olsun. Burada U, t‟nin komĢuluğudur. Böylece en son
eĢitsizliğin sağ tarafı 𝜀 𝑡 − 𝑠 den küçük olur.
𝜍 𝑡 = 𝑡 ve 𝑝 ∈ 𝐶𝑟𝑑 olduğundan,
lim 𝜉𝜇
𝜏→𝑡
𝜏
𝑝 𝜏
= 𝜉0 (𝑝 𝑡 )
olur. Bu 𝑈1 in t komĢuluğunu gösterir.
𝜀
𝜉𝜇 𝜏 𝑝 𝜏 − 𝜉0 (𝑝 𝑡 ) <
3 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 )
𝑠 ∈ 𝑈1 olduğunda,
∀𝜏 ∈ 𝑈1
28
𝑡
𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 ) .
𝜉𝜇
𝑝 𝜏
𝜏
− 𝜉0 (𝑝 𝑡 ) ∆𝜏 <
𝑠
𝜀
𝑡−𝑠
3
(5.14)
Daha sonra L‟Hospital kuralı ile
1 − 𝑧 − 𝑒 −𝑧
=0
𝑧→0
𝑧
lim
Elde edilir. Eğer s∈ 𝑈2 ise t nin 𝑈2 komĢuluğu vardır
𝑡
1 − ∫𝑠 𝜉𝜇
𝜏 𝑝
𝑡
∫𝑠 𝜉𝜇 𝜏
𝜀 ∗ = 𝑚𝑖𝑛 1,
𝜏 ∆𝜏 − 𝑒𝑝 (𝑠, 𝑡)
(𝑝 𝜏 )∆𝜏
< 𝜀∗
𝜀
1 + 3 𝑝 𝑡 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 )
𝑠 ∈ 𝑈 = 𝑈1 ∩ 𝑈2 EĢ. 5.14 ü kullanarak
𝑡
𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 ) . 1 −
𝑡
𝜉𝜇
𝑝 𝜏 ∆𝜏 − 𝑒𝑝 (𝑠, 𝑡) < 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 ) 𝜀 ∗
𝜏
𝑠
𝜉𝜇
𝜏
(𝑝 𝜏 )∆𝜏
𝑠
𝑡
≤ 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 ) . 𝜀
∗
𝜉𝜇
𝜏
𝑝 𝜏
− 𝜉0 (𝑝 𝑡 ) ∆𝜏 + 𝑝(𝑡) 𝑡 − 𝑠
𝑠
𝑡
≤ 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 ) .
𝜉𝜇
𝜏
𝑝 𝜏
− 𝜉0 (𝑝 𝑡 ) ∆𝜏 + 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 ) 𝜀 ∗ 𝑝(𝑡) 𝑡 − 𝑠
𝑠
𝜀
𝑡 − 𝑠 + 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 ) 𝜀 ∗ 𝑝(𝑡) 𝑡 − 𝑠
3
𝜀
𝜀
≤ 𝑡−𝑠 + 𝑡−𝑠
3
3
≤
=
2𝜀
3
𝑡 − 𝑠 bulunur.
5.9. Teorem
Eğer EĢ.5.12 regresif ise EĢ.5.13‟ün tek çözümü 𝑒𝑝 . , 𝑡0 olur[2].
Ġspat:
y EĢ.5.13‟ün çözümü olsun. Teorem 3.2 ile
𝑦
𝑒𝑝 . , 𝑡0
∆
𝑡 =
𝑦 ∆ 𝑡 𝑒𝑝 𝑡, 𝑡0 − 𝑦 𝑡 𝑒𝑝∆ (𝑡, 𝑡0 )
𝑒𝑝 𝑡, 𝑡0 𝑒𝑝 (𝜍 𝑡 , 𝑡0 )
29
=
𝑝 𝑡 𝑦 𝑡 𝑒𝑝 𝑡, 𝑡0 − 𝑦 𝑡 𝑝 𝑡 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 )
=0
𝑒𝑝 𝑡, 𝑡0 𝑒𝑝 (𝜍 𝑡 , 𝑡0 )
Elde edilir. Böylece
𝑦(𝑡)
𝑦(𝑡0 )
1
≡
= =1
𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 ) 𝑒𝑝 (𝑡0 , 𝑡0 ) 1
ve
𝑦 = 𝑒𝑝 . , 𝑡0
olur.
5.10. Teorem
𝑝, 𝑞 ∈ ℛ ise
(i) 𝑒0 𝑡, 𝑠 ≡ 1 ve 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡) ≡ 1
(ii) 𝑒𝑝 𝜍 𝑡 , 𝑠 = 1 + 𝜇 𝑡 𝑝 𝑡 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑠)
(iii)
1
𝑒𝑝 (𝑡,𝑠)
= 𝑒⊝𝑝 (𝑡, 𝑠)
(iv) 𝑒𝑝 𝑡, 𝑠 = 𝑒
1
𝑝 (𝑠,𝑡)
= 𝑒⊝𝑝 (𝑠, 𝑡)
(v) 𝑒𝑝 𝑡, 𝑠 𝑒𝑝 𝑠, 𝑟 = 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑟)
(vi) 𝑒𝑝 𝑡, 𝑠 𝑒𝑞 𝑡, 𝑠 = 𝑒𝑝⊕𝑞 (𝑡, 𝑠)
𝑒 (𝑡,𝑠)
(vii) 𝑒𝑝 (𝑡,𝑠) = 𝑒𝑝⊝𝑞 (𝑡, 𝑠)
𝑞
(viii)
1
∆
𝑒𝑝 (.,𝑠)
𝑝(𝑡)
= − 𝑒 𝜍 (.,𝑠) [2]
𝑝
olur.
5.11. Teorem
𝑝 ∈ ℛ ve 𝑡0 ∈ 𝕋 olsun.
(i) Eğer 𝕋𝐾 üzerinde 1+𝜇 𝑡 𝑝(𝑡) > 0 ise her 𝑡 ∈ 𝕋 için 𝑒𝑝 𝑡, 𝑡0 > 0 olur.
(ii) Eğer 𝕋𝐾 üzerinde 1+𝜇 𝑡 𝑝(𝑡) < 0 ise her 𝑡 ∈ 𝕋 için 𝑒𝑝 𝑡, 𝑡0 = 𝛼 𝑡, 𝑡0 (−1)𝑛 𝑡
olur.
30
Burada
𝑡
𝛼 𝑡, 𝑡0 : = 𝑒𝑥𝑝
𝑡0
𝑙𝑜𝑔 1 + 𝜇 𝜏 𝑝(𝜏)
∆𝜏 > 0
𝜇(𝜏)
ve
𝑛𝑡 =
[𝑡0 , 𝑡)
[𝑡, 𝑡0 )
𝑒ğ𝑒𝑟 𝑡 ≥ 𝑡0
𝑒ğ𝑒𝑟 𝑡 < 𝑡0
olacaktır[2].
5.15. Tanım
ℛ′nin tüm pozitif regresif elementlerinin kümesi ℛ +
ℛ + = ℛ + 𝕋, ℝ = 𝑝 ∈ ℛ: 1 + 𝜇 𝑡 𝑝 𝑡 > 0 𝑕𝑒𝑟 𝑡 ∈ 𝕋 𝑖ç𝑖𝑛
ile tanımlanır[2].
5.2. Yardımcı Teorem
ℛ + ℛ ′ nin bir alt grubudur[2].
Ġspat:
ℛ + ⊂ ℛ ve 0 ∈ ℛ + olduğu açıktır.
Buradaki 0 bir her 𝑡 ∈ 𝕋 için 𝑓(𝑡) ≡ 0 olacak Ģekilde bir fonksiyondur.
𝑝, 𝑞 ∈ ℛ + olsun. 𝕋 üzerinde
1 + 𝜇𝑝 > 0 𝑣𝑒 1 + 𝜇𝑞 > 0 olduğundan,
1 + 𝜇 𝑝 ⊕ 𝑞 = 1 + 𝜇𝑝 1 + 𝜇𝑞 > 0 olur.
Dolayısıyla 𝑝 ⊕ 𝑞 ∈ ℛ + dır.
ġimdi 𝑝 ∈ ℛ + olsun. 𝕋 üzerinde 1 + 𝜇𝑝 > 0 dir.
Böylece 𝕋 üzerinde
1+𝜇 ⊖𝑝 =1−
𝜇𝑝
1
=
>0
1 + 𝜇𝑝 1 + 𝜇𝑝
olduğundan ⊖ 𝑝 ∈ ℛ + olur.
Bu hesaplamalar ℛ + nın ℛ ′ nin bir alt grubu olduğunu gösterir.
31
5.12. Teorem (Üstel fonksiyonun iĢareti).
f ∈ ℛ ve t 0
𝕋 olsun. O zaman,
(i) f ∈ ℛ + ise, her t ∈ 𝕋 için ef t, t 0 > 0 olur.
(ii) 1+ μ(t) f(t)<0 ifadesini sağlayan t
ef t, t 0 ef ς t , t 0 ) < 0 olur[2].
𝕋K noktaları için
32
6. ZAMAN SKALASI LOGARĠTMASI
6.1. Skaler Durum
Zaman skalası logaritması geliĢimi uzun bir süredir açık bir problemdir. Bu alandaki
bazı araĢtırmacıların olasılıkları kısaca göz önünde bulundurmalarına rağmen,
definitif logaritma ve onun seçimi ile ilgili çok az Ģey ortaya konuldu.
𝕋=ℝ üzerindeki adi logaritmayı göz önüne aldığımızda, ele almaya değer ilk
mantıklı soru, zaman skalası logaritmasının hangi istenilir özellikleri almasıdır.
Özellikle, biz logaritmanın bilinen cebirsel özelliklerini mi veya bilinen kalkülüs
özelliklerini mi korumasını isteyip istemediğimize karar vermeliyiz. Zaman skalası
üzerindeki kalkulüsün doğal yapısından dolayı her iki özelliğinde korunabilmesine
pek olanak yoktur. Amacımız bu çalıĢmada A(t) matrisi için 𝑒𝐴 𝑡, 𝑠 = 𝐵
matris
eĢitliğini çözmek ve cebirsel logaritma özelliklerini koruyan logaritma geliĢtirmeye
çalıĢmak olacaktır. Diğer bir deyiĢle üstelin tersi olarak rol oynayan logaritma
geliĢtirmek olacaktır.
Elbette ki, özellikle ters ile ne demek isteniyor bunu belirlemeliyiz. Ne de olsa
𝑓 𝑡 = 𝑒𝐴 𝑡, 𝑠 fonksiyonunun genellikle örten olmasına gerek yoktur. Buna ek
olarak bizim motivasyonumuz yukarıda bahsedildiği gibi üsteli bir fonksiyon
almaktansa
ℛ (𝕋,ℝ) üzerinde rol oynayan operatör olarak ele almamız avantajlı
olacaktır. Yani p ∈ ℛ (𝕋,ℝ) için biz Ϝ: ℛ (𝕋,ℝ) ⟶ 𝐶𝑛1 (𝕋,ℝ) operatörü(doğrusal
olmayan) tanımlarız. (Burada ℛ (𝕋,ℝ) ⨁ altında regresif olarak sağ yoğun sürekli
fonksiyonların kümesi ve 𝐶𝑛1 (𝕋,ℝ)‟ da sıfırdan farklı delta diferansiyellenebilen
fonksiyonların kolleksiyonudur.) Üstelik bu terimler ıĢığında düĢünmek bize bu
operatörün sözde tersini araĢtırma olanağı sağlar. Bütün bunların ıĢığında
aĢağıdakiler ortaya çıkar.
6.1. Tanım
𝑔: 𝕋 ⟶ ℝ bir diferansiyellenebilen sıfırdan farklı fonksiyon için, g‟nin logaritma
tanımı (Gerçekte, g üzerinde bir doğrusal olmayan operatör), log 𝕋 𝑔(𝑡)
33
𝑔 ∆ (𝑡)
log 𝕋 𝑔(𝑡)=
ile tanımlanır[5].
𝑔 (𝑡)
(6.1)
Logaritmanın bu tanımı aslında bize üstel bir sol tersini
log 𝕋 𝑒𝑝 𝑡, 𝑠 =
(𝑒𝑝 (𝑡,𝑠))∆
𝑒𝑝 (𝑡,𝑠)
=
𝑝𝑒𝑝 (𝑡,𝑠)
𝑒𝑝 (𝑡,𝑠)
= 𝑝(𝑡)
olarak verir.
Bizim logaritma tanımımız 𝐶𝑛1 (𝕋,ℝ) üzerinde doğrusal olmayan operatör meydana
getirir. AĢağıdaki teoremin gösterdiği gibi logaritma bir bakımdan sağ ters olarak rol
oynar. Böylece yukarıda iddia edildiği gibi üstel için biz aslında yalancı ters
meydana getirdik.
6.1. Teorem
Eğer f(t) bir sıfırdan farklı diferansiyellenebilen fonksiyon ise
f(s)=fs olmak üzere
𝑒log 𝕋 𝑓 𝑡, 𝑠 =
1
𝑓𝑠
𝑓 𝑡
(6.2)
olur [5].
Ġspat.
𝑔 𝑡 = log 𝕋 𝑓 𝑡 =
𝑓 ∆ (𝑡)
𝑓(𝑡)
ve 𝑓 𝑠 = 𝑓𝑠 olsun.
Bu iki eĢitlik ODE(Adi Dinamik Denklem) baĢlangıç koĢulu ile 𝑓(𝑡) içinde
yazılabilir. IVP(BaĢlangıç Değer Problemi) 𝑓 ∆ = 𝑔𝑓, 𝑓 𝑠 = 𝑓𝑠 „nin çözümü;
𝑓 𝑡 = 𝑓𝑠 𝑒𝑔 𝑡, 𝑠 = 𝑓𝑠 𝑒𝑓 ∆ 𝑡, 𝑠 = 𝑓𝑠 𝑒log 𝕋 𝑓 (𝑡, 𝑠)
𝑓
olur. Böylece teorem ispatlanır.
6.2. Teorem
Sıfırdan farklı, diferansiyellenebilir
𝑓: 𝕋 ⟶ ℝ ve 𝑔: 𝕋 ⟶ ℝ fonksiyonları için
log 𝕋 𝑓 𝑡 𝑔 𝑡 = log𝕋 𝑓(𝑡) ⊕ log 𝕋 𝑔(𝑡)
ve
𝑓(𝑡)
log 𝕋 𝑔(𝑡) = log 𝕋 𝑓(𝑡) ⊖ log 𝕋 𝑔(𝑡)
34
olur[5].
Ġspat.
Ġlk iddia Ģöyledir;
log 𝕋 𝑓 𝑡 𝑔 𝑡 =
=
(𝑓 𝑡 𝑔 𝑡 )∆ 𝑓 ∆ 𝑡 𝑔 𝑡 + 𝑓 𝜍 𝑡 𝑔∆ (𝑡)
=
𝑓 𝑡 𝑔(𝑡)
𝑓 𝑡 𝑔(𝑡)
𝑓∆ 𝑡 𝑔 𝑡 + 𝑓 𝑡 + 𝜇 𝑡 𝑓∆ 𝑡
𝑔∆ 𝑡
𝑓 𝑡 𝑔 𝑡
=
𝑓 ∆ 𝑡 𝑔 𝑡 + 𝑓 𝑡 𝑔∆ 𝑡 + 𝜇 𝑡 𝑓 ∆ 𝑡 𝑔∆ 𝑡
𝑓 𝑡 𝑔 𝑡
=
𝑓 ∆ (𝑡) 𝑔∆ (𝑡)
𝑓 ∆ 𝑡 𝑔∆ 𝑡
+
+𝜇 𝑡
= log 𝕋 𝑓(𝑡) ⊕ log 𝕋 𝑔(𝑡)
𝑓(𝑡)
𝑔 𝑡
𝑓 𝑡 𝑔 𝑡
Ġkinci iddia;
1 ∆
(
)
1
𝑔∆ (𝑡)
𝑔 𝑡
log 𝕋
=
=−
1
𝑔(𝑡)
𝑔(𝜍 𝑡 )
𝑔(𝑡)
𝑔∆ (𝑡)
𝑔 (𝑡)
𝑔(𝑡)
=−
=−
=⊖ log𝕋 𝑔(𝑡)
∆
𝑔∆ (𝑡)
𝑔 𝑡 + 𝜇 𝑡 𝑔 (𝑡)
1 + 𝜇(𝑡)
𝑔(𝑡)
∆
Böylece ikinci iddia birinciden sonra gelir, oran
𝑓(𝑡)
𝑔(𝑡)
1
„yi 𝑓(𝑡) ve 𝑔(𝑡) fonksiyonlarının
çarpımı olarak düĢündük.
Bir önceki teoremi ispatlamak için neden cebirsel argüman kullanılmadığı merak
edilebilir. Fakat , (ℛ (𝕋,ℝ),⊕) 𝑣𝑒 (𝐶𝑛1 (𝕋,ℝ),∙) her ikisi de bir gruptur. Yinede
unutmamalıyız ki yukarıda tanımlanan operatör F için F‟nin görüntü kümesi
𝐶𝑛1 𝕋, ℝ nin codomaini değildir, fakat bu yerin bir alt sınıfıdır. Böylece
35
𝐶𝑛1 𝕋, ℝ kümesi fonksiyonların bir alt grubuna kısıtlandığı zaman Ϝ: ℛ (𝕋,ℝ) ⟶ 𝐶𝑛1
(𝕋,ℝ), 𝐹 𝑝 𝑡
= 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑠) ve 𝐺: 𝐶𝑛1 ⟶ ℝ 𝕋, ℝ , 𝐺 𝑝 𝑡
= log 𝕋 𝑝 𝑡 operatörleri
grup izomorfizmi olacaktır. Belki önceki teoremin kanıtı 𝐶𝑛1 (𝕋, ℝ)‟ de ki
fonksiyonların tüm alt sınıfı için geçerlidir ve bu daha genel bir sonuçtur. (Aslında
bu gerçeğin ıĢığında G‟nin domainini gereksiz yere sınırlamaya gerek yoktur.)
Operatörü bu Ģekilde tanımladığımız için, eğer 𝑔 ve 𝑔∆ reel değerli ise logaritma reel
değerlidir, eğer 𝑡 ∈ 𝕋 için 𝑔 𝑡 = 0 olursa logaritma tanımsızdır ve 𝑔 𝑡 iki kez
diferansiyellenebilir ise logaritma diferansiyellenebilirdir. Sıfırdan farklı her sabit
fonksiyonun logaritması sıfırdır, dolayısıyla birçok fonksiyon aynı logaritmaya sahip
olacağından logaritma fonksiyonu birebir değildir. Bu da bize logaritmanın
fonksiyonların sabit çarpanları arasında ayrım göstermediğini bildirir. Yani 𝑓 𝑡 ve
𝑔 𝑡 = 𝑐𝑓(𝑡) fonksiyonları aynı logaritmaya sahiptir.
log 𝕋 𝑐𝑓 𝑡 = log𝕋 𝑐 ⊕ log 𝕋 𝑓 𝑡 = 0 ⊕ log 𝕋 𝑓 𝑡 = log 𝕋 𝑓 𝑡
Matris durumunu incelemeden önce, logaritmanın gerçekten ne temsil ettiğini
düĢünelim. Bu soruya cevap vermek için 𝕋 = ℝ „de logaritmanın ne olduğunu
belirleyelim. Bu zaman skalası üzerinde
log 𝕋 𝑔 𝑡 =
𝑔 ∆ (𝑡)
𝑔 (𝑡)
=
𝑔 ′ (𝑡)
𝑔(𝑡)
𝑑
= 𝑑𝑡 𝑙𝑛 𝑔(𝑡) ,
olduğundan zaman skalası logaritması ℝ‟deki logaritmanın rolünü oynamaz, fakat
onun türevidir.
36
6.2. Matris Durum
𝐴 𝑡 matrisi için 𝑒𝐴 (𝑡, 𝑠) = 𝐵 denklemini çözmek için matrise odaklanalım. [2] ve
[3] numaralı kaynaklarda tanımlandığı gibi 𝑒𝐴 (𝑡, 𝑠) matrisi
𝑋∆ = 𝐴 𝑡 𝑋 , 𝑋 𝑠 = 𝐼
(6.3)
lineer diferansiyel denklem sistemini çözer. Burada A(t) 𝑛 × 𝑛 tipinde sürekli
regresif bir matristir.
Üstel operatörün tersini tanımlamak için aĢağıdaki tanıma bakalım.
6.2. Tanım
Diferansiyellenebilir ve tersinir olan(invertible) B(t) için, B(t)‟nin logaritmasını
log 𝕋 𝐵 𝑡 = 𝐵∆ 𝑡 . 𝐵−1 𝑡
(6.4)
ile tanımlanır[5].
Tanımdan görmek kolaydır ki matris logaritması 𝕄𝔪 𝐶𝑛1 𝕋, ℝ
olmayan bir operatördür, 𝐶𝑛1 𝕋, ℝ
için doğrusal
içinde m×m diferansiyellenebilir ve tersi
alınabilir(invertible) matrislerin sınıfıdır. Üstel matris tanımımızdan,
log 𝕋 𝑒𝐴 𝑡, 𝑠 = 𝑒𝐴∆ 𝑡, 𝑠 𝑒𝐴−1 𝑡, 𝑠 = 𝐴(𝑡)
olduğunu görürüz.
Böylece logaritma sol terste rol oynamaz. Sağ terse gelince o da aĢağıda ki gibidir.
6.3. Teorem
B(t) diferansiyellenebilir ve tersinir bir matris(invertible), B(s)=𝐵𝑠 olsun. Eğer 𝐵𝑠
log 𝕋 𝐵(𝑡) ise
𝑒𝑙𝑜𝑔 𝕋 B(t,s)=𝐵𝑠−1 𝐵(𝑡)
olur[5].
Ġspat.
C(t)=log 𝕋 𝐵 𝑡 = 𝐵∆ 𝑡 𝐵−1 (𝑡) ve 𝐵 𝑠 = 𝐵 𝑠 olsun. Önceden olduğu gibi, bu iki
denklem B(t) de birinci basamaktan bir lineer ODE sistemi olarak yazılabilir.
IVP de
𝐵∆ = 𝐶𝐵, 𝐵 𝑠 = 𝐵𝑠
37
olur.
Bu IVP‟ nin çözümü;
𝐵 𝑡 = 𝐵𝑠 𝑒𝐶 𝑡, 𝑠 = 𝐵𝑠 𝑒𝐵∆𝐵 −1 𝑡, 𝑠 = 𝐵𝑠 𝑒log 𝕋 𝐵 (𝑡, 𝑠)
olur.
Böylece iddia önceden olduğu gibi gösterilmiĢ olur.
6.4. Teorem
A(t) ve B(t) diferansiyellenebilir ve tersinir matrisler olsun. Eğer A(t), B(t) ve𝐵 ∆ (𝑡)
ile değiĢimli(commuttative) iseler ;
log 𝕋 𝐴 𝑡 𝐵 𝑡 = log𝕋 𝐴(𝑡) ⊕ log 𝕋 𝐵(𝑡)
ve biz eğer 𝐵(σ(t)) ve 𝐵∆ (𝑡) ile değiĢebileceğini düĢünürsek,
log 𝕋 𝐴 𝑡 𝐵−1 𝑡 = log 𝕋 𝐴(𝑡) ⊖ log𝕋 𝐵(𝑡)
elde ederiz[5].
Ġspat:
A(t) ile B(t) ve 𝐵∆ (𝑡)‟nin komütatiflik varsayımından ilk eĢitlik aĢağıda ki gibi
yazılabilir.
log 𝕋 𝐴 𝑡 𝐵 𝑡 = 𝐴 𝑡 𝐵 𝑡
∆
= 𝐴∆ 𝑡 𝐵 𝜍 𝑡
= 𝐴∆ 𝑡
(𝐴 𝑡 𝐵 𝑡 )−1
+ 𝐴 𝑡 𝐵∆ 𝑡
𝐵 𝑡 + 𝜇 𝑡 𝐵∆ 𝑡
(𝐵−1 𝑡 𝐴−1 𝑡 )
𝐵−1 𝑡 𝐴−1 𝑡
+ 𝐵∆ 𝑡 𝐵−1 𝑡
= 𝐴∆ 𝑡 𝐴−1 𝑡 + 𝐵∆ 𝑡 𝐵−1 𝑡 + 𝜇 𝑡 𝐴∆ 𝑡 𝐴 𝑡 𝐵∆ 𝑡 𝐵−1 (𝑡)
= log 𝕋 𝐴(𝑡) ⊕ log𝕋 𝐵(𝑡).
Ġkinci eĢitlik ise birinci eĢitlik yardımıyla;
log 𝕋 𝐴 𝑡 𝐵−1 𝑡 = log 𝕋 𝐴(𝑡) ⊕ log𝕋 𝐵−1 (𝑡)
= log 𝕋 𝐴 𝑡 ⊕ ((𝐵−1 𝑡 )∆ 𝐵(𝑡))
= log 𝕋 𝐴 𝑡 ⊕ (−(𝐵 𝜍 𝑡 )−1 𝐵∆ (𝑡))
= log 𝕋 𝐴 𝑡 ⊕ −𝐵∆ 𝑡
𝐵 𝑡 + 𝜇 𝑡 𝐵∆ 𝑡
= log 𝕋 𝐴 𝑡 ⊕ −𝐵∆ 𝑡 𝐵−1 𝑡
= log 𝕋 𝐴 𝑡 ⊝ 𝐵∆ 𝑡 𝐵−1 𝑡
−1
(𝐼 + 𝜇 𝑡 𝐵∆ 𝑡 𝐵−1 𝑡 )−1
= log 𝕋 𝐴(𝑡) ⊝ log 𝕋 𝐵(𝑡)
38
olarak yazılabilir.
Skaler durumda doğru olduğu gibi, cebirsel argümanları kullanabileceğimiz mevcut
matrisin bileĢenleri olan fonksiyonların sınıfını kısıtlayabilirdik. Fakat böyle yaparak
sonucun genelliğinin bir kısmını kaybedecektik.
Matris logaritmasının henüz bir matris ile sabitin çarpımı için incelenmediğini
belirtelim. Bu gösterir ki sabit matris logaritması Teorem 6.3 den ve
log 𝕋 𝜆𝐵 𝑡 = log 𝕋 𝜆𝐼𝐵 𝑡 = log𝕋 𝜆𝐼 ⊕ log 𝕋 𝐵 𝑡 = 0 ⊕ log 𝕋 𝐵 𝑡 = log 𝕋 𝐵(𝑡)
olmasından dolayı sıfırdır.
Eğer 𝕋 = ℝ ise log𝕋 𝐵(𝑡) sıradan matris logaritması değil, onun türevidir. Yani,
𝑑
log 𝕋 𝐵 𝑡 = 𝐵∆ 𝑡 𝐵−1 𝑡 = 𝐵′ 𝑡 𝐵−1 𝑡 = 𝑑𝑡 log𝕋 𝐵(𝑡),
𝑡
ile son denklem 𝕋 = ℝ için, eğer A(t) ve∫𝑠 𝐴 𝜏 𝑑𝜏 yer değiĢtirirse(commute), EĢ.6.3
𝑡
denkleminin çözümü 𝑋 𝑡 = 𝑒 ∫𝑠 𝐴
𝜏 𝑑𝜏
olur.
ġimdi matris logaritmasının bir baĢka hoĢ cebirsel yapısını vereceğiz. Yani, benzeĢik
dönüĢümlerin muhafaza etme yeteneğini.
6.5. Teorem
Eğer 𝐵 𝑡 = 𝑃𝐶(𝑡)𝑃−1 ile 𝑃 𝑣𝑒 𝑃−1 sabit matrisler ise;
log 𝕋 𝐵 𝑡 = 𝑃 log 𝕋 𝐶(𝑡)𝑃−1 olur[5].
Ġspat:
log𝕋 𝐵 𝑡 = log 𝕋 𝑃𝐶 𝑡 𝑃−1 = (𝑃𝐶 𝑡 𝑃−1 )∆ (𝑃𝐶 𝑡 𝑃−1 )−1
= 𝑃𝐶 ∆ 𝑡 𝑃−1 𝑃𝐶 −1 𝑡 𝑃−1
= 𝑃𝐶 ∆ 𝑡 𝐶 −1 𝑡 𝑃−1 = 𝑃 log 𝕋 𝐶 𝑡 𝑃−1 .
Birkaç örneğe bakmadan önce önemli diğer bir sonuca da değinmek gerekir. Direk
matris logaritmasının tanımından sonra gelen diagonal matris logaritması, köĢegende
her bir fonksiyonun logaritmasının matrisi olarak tanımlanır. Bu gerçekten hareketle
Teorem 2.3 ile birleĢince hesaplanabilen faydalı bir araç oluĢturur.
39
6.1. Örnek
3
B=𝑒𝐴 𝑡, 𝑠 =
1
1
1
𝑒 𝑡, 0 + 4 𝑒5 (𝑡, 0)
4 1
− 4 𝑒1 𝑡, 0 + 4 𝑒5 (𝑡, 0)
− 4 𝑒1 𝑡, 0 + 4 𝑒5 (𝑡, 0)
𝑒 𝑡, 0 + 4 𝑒5 (𝑡, 0)
4 1
3
3
1
3
matrisini
düĢünelim.
B‟nin özdeğerleri 𝜆1 𝑡 = 𝑒1 𝑡, 0 ve 𝜆2 𝑡 = 𝑒5 𝑡, 0
𝑣1 =
özvektörleri
−1
1
1
ve 𝑣2 =
3
1
dır.
Bu durumda,
3
−4
log 𝕋 𝑒1 (𝑡, 0)
0
3
3
0
log 𝕋 𝑒5 (𝑡, 0
1
4
1
−1
A=log 𝕋 𝐵=
1
1
−1 3 1
=
1 1 0
3
0 −4
3
5
4
1
4
3
=
4
2
3
1
4
3
4
1
4
olarak bulunur.
6.2. Örnek
B = 𝑒𝐴 𝑡, 0
𝑒−3 𝑡, 0 (𝑐𝑜𝑠
=
2
1−3𝜇
𝑡, 0 + 𝑠𝑖𝑛
−𝑒−3 𝑡, 0 𝑠𝑖𝑛
2
1−3𝜇
𝑡, 0 )
2 (𝑡, 0)
1−3𝜇
2𝑒−3 𝑡, 0 𝑠𝑖𝑛
𝑒−3 𝑡, 0 (𝑐𝑜𝑠
2
1−3𝜇
B‟nin özdeğerleri 𝜆1 𝑡 = 𝑒−3 𝑡, 0 (𝑐𝑜𝑠
𝑡, 0 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛
𝜆2 𝑡 = 𝑒−3 𝑡, 0 (𝑐𝑜𝑠
𝑡, 0 − 𝑖 𝑠𝑖𝑛
2
1−3𝜇
2
1−3𝜇
özvektörleri
Bu durumda
𝑣1 =
−1 − 𝑖
1
ve 𝑣2 =
−1 + 𝑖
dır.
1
2
1−3𝜇
2
1−3𝜇
2 (𝑡, 0)
1−3𝜇
𝑡, 0 − 𝑠𝑖𝑛
(𝑡, 0)
(𝑡, 0)
2
1−3𝜇
𝑡, 0 )
40
𝐴=
log 𝕋(𝑒−3 𝑡, 0 𝑒
log 𝕋 𝐵=
𝑡, 0 )
2𝑖
1−3𝜇
0
1
𝑖
2
log 𝕋(𝑒−3 𝑡, 0 𝑒 −2𝑖 𝑡, 0 ) − 1 𝑖
2
0
1−3𝜇
2𝑖
1
−3 ⊕ 1−3𝜇
0
0
−3 ⊕ 1−3𝜇
−1 − 𝑖
=
1
−1 + 𝑖
1
−1 − 𝑖
=
1
−1 + 𝑖 −3 + 2𝑖
1
0
−2𝑖
1
𝑖
0
2
−3 − 2𝑖 − 1 𝑖
2
2
1
𝑖
2
1
1
−2𝑖
1
2
1
2
2
1
+2𝑖
1
−2𝑖
1
+2𝑖
1
−2𝑖
=
−1
−2
4
−5
1
1
+2𝑖
2
1
2
1
−2𝑖
41
KAYNAKLAR
[1] Agarwal,R.P., Bohner,M., O'Regan,D., Peterson,A.,”Dynamic equations on time
scales”, A survey, J. Comput. Appl. Math., 4:1-26(2002).
[2] Bohner, M. and Peterson, A., ”Dynamic equations on time scales: An
introduction with applications”, Birkhäuser Boston, 1-78 (2001).
[3] Bohner, M. ve Peterson, A., ”Advances in dynamic equations on time scales”,
Birkhäuser, Boston, 1-80 (2003).
[4] Hilger, S.,”Ein Maßkettenkalkül mit Anwendung auf
Zentrumsmannigfaltigkeiten”, Ph.D. Thesis, Universitat Würzburg, 3-28 (1998)
[5] Jackson, B. “The Time Scale Logarithm” , Department of Mathematics,Baylor
University, USA, 1-7 (2007)
42
ÖZGEÇMĠġ
KiĢisel Bilgiler
Soyadı, adı
: BĠÇĠCĠOĞLU, Hülya
Uyruğu
: T.C.
Doğum tarihi ve yeri
: 02.04.1976 Daday
Medeni hali
: Evli
Telefon
: 0(366) 215 21 81
e-mail
: hulyabicicioglu@hotmail.com
Eğitim
Derece
Eğitim Birimi
Lisans
Balıkesir Ün./ Necatibey Eğitim Fak./
Mezuniyet tarihi
1997
Matematik Öğretmenliği
Lise
Göl Anadolu Öğretmen Lisesi/Kastamonu
Yabancı Dil
Ġngilizce
Hobiler
Santranç, Bilgisayar teknolojileri
1993