1.2 Normal Uzaylar ve Urysohn Lemma

1.2. Normal Uzaylar ve Urysohn Lemma
1.2
7
Normal Uzaylar ve Urysohn Lemma
Bir topolojik X uzayının ayrık A ve B kümeleri için A ⊂ U ve B ⊂ V
özelliğinde açık ve ayrık U ve V k kümeler var ise, A ve B kümeleri açık
kümelerle ayrılabilir denir. Bu tanıma göre Hausdorff X uzayının düzenli
olması için gerekli ve yeterli koşul, biri tek elemanlı olmak üzere iki ayrık ve kapalı kümenin açık kümelerle ayrılabilir olmasıdır. Bu gözlemde ”tek elemanlı”
olma koşulu çıkrtılırsa geriye kalan normal uzayın tanımı olacaktır. Tanımdan
normal uzay kavramının düzenli uzay kavramını genelleyen bir yapı olduğunu
söyleyebileceğiz. Daha da fazlası olarak, Urysohn Lemma’nın bir sonucu olarak
her normal uzayın tümüyle düzenli olduğu gösterilmiş olacaktaır. Ama tersi
doğru değildir!
Bu kısımda normal uzay kavramı tanıtılacaktır. Ayrıca Hausdorff uzayların
uzayların kapalı alt uzayda tanımlı gerçel değrli sınırlı sürekli fonksiyonların
bütün uzaya genişleyebilme durumu için gerekli ve yeterrli koşulun, uzayın
normal olması gerektiği kanıtlanacaktır.
Normal uzayın tanımı aşağıdaki gibidir.
Tanım 1.3. (Tietze (1923) ve Alexandroff ve Urysohn (1924)) X, T1 -uzay ve
ayrık kapalı her küme açık kümelerle ayrılabiliyor ise, X’e normal uzay denir
Örnekler
1.13. Metrik uzaylar normal uzaylardır. Gerçekten (X, d) bir metrik uzay ve A ve B, X’nin
ayrık ve kapalı kümeleri olsun.
f (x) = d(x, A) − d(x, B)
olarak tanımlıyalım. f sürekli fonksiyonlar olduklarından U = f −1 ((0, ∞) ve V =
f −1 ((−∞, 0)) kümeleri açık ve ayrıktır. Ayrıca A ⊂ V ve B ⊂ U dır.
Normal uzayların Hausdorff olduğu barizdir. Üstelik düzenli uzaylardır. Aşağıdaki
iki teoremin bir sonucu olarak normal uzayların tümüyle düzenli uzaylar olduğunu
söyleyebileceğiz. Aşağıdaki kullanışlı teoremin kanıtı kolaydır ve okuyucuya
bırakımıştır.
Teorem 1.3. X bir T1 -uzayı olsun. Aşağıdakiler denktir.
(i) X normal uzaydır.
(ii) F kapalı, U açık kümeler ve F ⊂ U ise F ⊂ V ⊂ V ⊂ U özelliğinde açık
V ümesi vardır.
Teorem 1.4. (Urysohn Lemma, Uryhson (1925)) (X, τ ) Hausdorff topolojik
uzay olsun. Aşağıdakiler denk olduklarını gösteriniz.
(i) X normal uzaydır.
8
1. Normal Uzaylar
(ii) Ayrık ve kapalı iki küme sürekli fonksiyonlarla ayrılabilir.
Kanıt: (ii) =⇒ (i): bariz.
(i) =⇒ (ii): A ve B, X’nin ayrık ve kapalı iki alt kümesi olsun.
N = { 2kn : n ∈ N, 1 ≤ k ≤ 2n − 1}
olarak tanımlıyalım.
k
2n
∈ N için
n
n
2 −2
2 −1
A ⊂ U ( 21n ) ⊂ U ( 22n ) ⊂ ...U ( 2mn ) ⊂ U ( m+1
2n )...U ( 2n ) ⊂ U ( 2n ) ⊂ X \ B (∗n )
özelliğinde
U : N ∪ {0, 1} → τ
fonksiyon tanımlıyacağız. Öncelikle
U (0) = ∅ ve U (1) = X
olarak tanımlıyalım. Her n ∈ N için
An = { 2kn : 1 ≤ k ≤ 2n − 1}
olarak tanımlansın. An ⊂ An+1 , N = ∪n An ve
n+1
1
3
An+1 \ An = { 2n+1
, 2n+1
, ..., 2 2n+1−1 }
olduğunu not edelim. U fonksiyonunun N1 ’e olan kısıtlanışını
A ⊂ U ( 211 ) ⊂ U ( 211 ) ⊂ X \ B
özelliğinde tanımlıyabiliriz. U fonksiyoununun An ’e kısıtlamasının tanımlandığını
varsayalım. (Burada ∗n ’nin sağlandığını varsayıyoruz.)
k
2n+1
∈ An+1 \ An
verilsin. Aşağıdakilerden sadece bir tanesi gerçekleşir:
•
k
2n+1
=
1
2n+1
1
durumunda, U ( 2n+1
) açık kümesini
k
k
A ⊂ U ( 2n+1
) ⊂ U ( 2n+1
) ⊂ U ( 21n ).
özelliğinde,
•
k
2n+1
=
2n+1 −1
2n+1
k
için U ( 2n+1
) açık kümesini
n
k
k
U ( 2 2−1
n ) ⊂ U ( 2n+1 ) ⊂ U ( 2n+1 ) ⊂ X \ B
özelliğinde ve
1.2. Normal Uzaylar ve Urysohn Lemma
•
9
k
k
n
< 2n+1
< m+1
2n (1 ≤ m < m + 1 ≤ 2 − 1) durumunda ise, U ( 2n+1 )
açık kümesini,
m
2n
k
k
U ( 2mn ) ⊂ U ( 2n+1
) ⊂ U ( 2n+1
) ⊂ U ( m+1
2n )
özelliğinde tanımlayabiliriz.
Böylece ∗n+1 sağlanmış olunur. Tümevarımla U fonksiyonunu tanımlamış oluruz. Böylece U fonksiyonu N ∪ {0, 1}’den τ ’ya tanımlanmış olur.
f : X → [0, 1]
fonksiyonu
f (x) = inf{ 2kn : n ∈ N, 0 ≤ k ≤ 2n , x ∈ U ( 2kn )}
olarak tanımlıyalım. x ∈ A verilsin. Her n ∈ N ve A ⊂ U ( 21n ) olduğundan
f (x) ≤ 21n ve dolayısıyla f (x) = 0 dır. Yani, f (A) ⊂ {0}. x ∈ B, ise x ∈ U ( 2kn )
olma durumu sadece ve sadece k = 2n için gerçekleşir. Böylece f (x) = 1,
böylece f (B) ⊂ {1} olduğu gösterilmiş olur. f ’nin sürekli olduğunu göstermek
0
0
0
kanıtı tamamlayacaktır. Öncelikle r, r ∈ N ve r < r ise U (r) ⊂ U (r ve
r ∈ N ve f (x) < r olduğunda x ∈ U (r) olduğunu not edelim. x ∈ X verilsin.
• f (x) = 1 durumu için: > 0 verilsin.
1−<
m
2n
<
m+1
2n
<1
özelliğinde m,n ∈ N seçelim. U = X \ U ( 2mn ) diyelim. x ∈ U ve
f (U ) ⊂ (f (x) − , f (x) + )
olduğu barizdir. Böylece f , f (x) = 1 özelliğindeki x ∈ X noktalarında
süreklidir.
• f (x) = 0 durumu için: > 0 olsun. 21n < özelliğinde n ∈ N seçelim.
x ∈ U ( 21n ) ve f (U ( 21n ) ⊂ (−, ) dır. Bu, f ’nin f (x) = 0 özelliğindeki
x ∈ X noktalarında sürekli olduğunu söyler.
• 0 < f (x) < 1 durumu için:
m−1
2n
< f (x) ≤
m+1
2n ,
m + 1 ≤ 2n
özelliğinde m,n ∈ N seçebiliriz.
m−1
U = U ( m+1
2n ) \ U ( 2n
10
1. Normal Uzaylar
diyelim. x ∈ U ve
f (U ) ⊂ (f (x) − , f (x) + )
olduğunu göstermek zor değildir. Böylece kanıt tamamlanmış olur.
Şimdi açağıdaki sonuç barizdir.
Sonuç 1.5. Normal uzay tümüyle düzenlidir.
Yukarıdaki teoremin bir sonucu olarak aşağıdaki önemli teoremi verebiliriz.
Teorem 1.6. (Tietze-Urysohn Teorem, Urysohn (1925)) X Hausdorff topolojik uzay olsun. Aşağıdakilerin denkliğini kanıtlayınız.
(i) X normal uzaydır.
(ii) X’nin kapalı alt uzayları Cb -gömülebilir.
Kanıt: (i) =⇒ (ii). K, X’nin kapalı altuzayı olsun. A ve B, K’da sürekli
fonksiyonlarla ayrılabilir olsun. Yani,
f (A) ⊂ {0} ve f (B) ⊂ {1}
0 ≤ f ≤ 1 özelliğinde f ∈ Cb (K) fonksiyonu var olsun. A ve B’nin X
uzayındaki kapanışları K’nın alt uzayıdır. Ayrıca
f (A) ⊂ {0} ve f (B) ⊂ {1}.
Dolayısıyla A ve B, X’de ayrık kapalı kümelerdir. Uryhsoh Lemma gereği
f ’nin sürekli genişlemesi g ∈ Cb (X) vardır ve
g(A) ⊂ {0} ve g(B) ⊂ {1}
sağlanır. Böylece A ve B kümeleri sürekli fonksiyonlarla ayrılabilir. Uryshon
Genişleme Teoremi (Teorem ???) gereği, K, Cb -gömülebilir.
(ii) =⇒ (i). A ve B, X’de boşkümeden farklı ayrık kapalı kümeler olsunlar.
K = A ∪ B diyelim. f : K → [0, 1], f = χB olarak tanımlansın. f sürekli ve
sınırlıdır. Varsayımdan f ’nin sürekli genişlemesi g : X → [0, 1] vardır.
g(A) ⊂ {0} ve g(B) ⊂ {1}
sağlanır. Bu kanıtı tamamlar.
Alıştırmalar
1.14. X, T1 -uzay olsun. Aşağıdakilerin denkliğini gösteriniz.
(i) X normal uzaydır.
(ii) X’nin kapalı her alt uzayı C-gömülebilir.
1.15. Bir topolojik X uzayında sayılabilir tane açık kümenin arakesiti olatak yazılan kümeye
Gδ -küme denir. X bir normal uzay ve G ⊂ X için aşağıdakilerin denkliğini gösteriniz.
(i) G kapalı Gδ -kümedir.
(ii) G bir sıfı kümedir.