MK 132 Matematik II/ MK 108 Analiz II ARA SINAV C¸ ¨OZ¨UMLER 1

MK 132 Matematik II/ MK 108 Analiz II
ARA SINAV ÇÖZÜMLER
1
1
1. lim+ (ex − 1) ln x , 00 belirsizliği var. ln(ex − 1) ln x =
x→0
ln(ex −1)
,
ln x
∞
∞
belirsizliği var.
ex
xex
. 00 belirsizliği var.
x
x→0
x→0 e − 1
x
Tekrar L’ Hospital Kuralını deneyelim. limx→0+ (x+1)e
= limx→0+ (x + 1) = 1
ex
ln(ex − 1)
1
olduğundan, L’ Hospital in Kuralı gereği, lim+
= 1 olur. (ex − 1) ln x =
x→0
ln x
x
exp( ln(eln x−1) ) ve exp, 1 de sürekli olduğundan, (Bileşkenin Limiti Teoreminden)
1
lim+ (ex − 1) ln x = exp(1) = e olur.
L’ Hospital Kuralını kullanalım.
lim+
ex −1
1
x
= lim+
x→0
x
x
2
, 1∞ belirsizliği var. ln 1 + x2 = x ln 1 + x2 , 0 · ∞ be2. (a) lim 1 +
x→+∞
x
ln 1 + x2
2
0
lirsizliği var. lim x ln 1 +
= lim
,
belirsizliği var. L’
1
x→+∞
x→+∞
x
0
x
− x22 /(1 + x2 )
2
Hospital’ in Kuralını kullanalım. lim
= lim 2 1 +
=2
x→+∞
x→+∞
x
− x12
x
olur. 1 + x2 = exp(x ln 1+ x2 ) ve
xexp, 2 de sürekli olduğundan, Bileşkenin
2
= exp(2) = e2 bulunur.
Limiti Teoreminden, lim 1 +
x→+∞
x
√
1
1
(b) f (x) = x için f (9) = 3, f 0 (9) = 16 , f 00 (9) = − 108
, f 000 (9) = 648
1
1
P2 (x) = 3 + 16 (x − 9) − 216
(x − 9)2 + 3888
(x − 9)3 olur.
√
1
1
+ 3888
bulunur.
10 = f (10) ≈ P2 (10) = 3 + 16 − 216
3. (a)
∞
X
n2n
n=1
3n
=
serisi için an+1
an Oran testinden,
∞
X
n2n
n=1
(b)
∞
X
n=1
3n
(n+1)2n+1 3n
3n+1
n2n
=
2(n+1)
, lim 2(n+1)
3n
3n
=
2
3
< 1 olduğundan,
serisi (mutlak) yakınsaktır.
2n
pozitif terimli bir seridir:
n2 − n + 1
∞
X
1
(Harmonik seri) pozitif
n
n=1
∞
X
2n
de
terimli ve ıraksak olduğundan, Karşılaştırma Testinden,
2
n
−
n
+
1
n=1
ıraksaktır. P
P∞ 1
(2. Çözüm) ∞
n=1 bn =
n=1 n olsun. Her iki seri de pozitif terimlidir.
an
2n2
lim bn = lim n2 −n+1 = lim 1− 12+ 1 = 2 olur. 0 < 2 < ∞ olduğundan, Limit
n
n2
P∞
P∞ 1
Karşılaştırma testinden, iki seri aynı karakterdedir.
n=1 bn =
n=1 n
∞
X
2n
(Harmonik seri) ıraksak olduğundan,
de ıraksaktır.
2−n+1
n
n=1
Her n ∈ N için
4. (a)
2n
n2 −n+1
≥
2n
n2
= 2
∞
X
nxn
1
n
dir.
, x = 0 için (merkezde) kuvvet serisi yakınsaktır. x 6= 0 için
n=0
Un+1 nxn
Un = 3n olsun. Oran testi kullanacağız. (Yukarıdaki gibi) lim Un =
3n
1
lim (n+1)
|x| = 13 |x| olur. Oran testinden, 13 |x| < 1 için kuvvet serisi mut3n
lak yakınsak, 31 |x| > 1 için kuvvet serisi ıraksaktır. Yani |x| < 3 için
kuvvet serisi mutlak yakınsak, |x| > 3 için kuvvet serisi ıraksaktır. Bu da
yakınsaklık yarıçapının 3 olması demektir.
1
1
(b) f (x) = x x olsun. her n ∈ N için f (n) = n n = an olur.
itinde ∞0 belirsizliği vardır. (ln x
∞
∞
belirsizliği vardır.
1
x
lim
1
x
=
1
x
ln x =
ln x
x
1
lim x x lim-
x→+∞
ln x
) lim
limitinde
x→+∞ x
1
= 0 olduğundan L’ Hospital in
x→+∞ x
= lim
x→+∞ 1
ln x
1
= 0 olur. x x = exp( lnxx ) ve exp, 0 da sürekli
Kuralından, lim
x→+∞ x
1
olduğundan, lim x x = exp(0) = 1 olur. Fonksiyon Limiti/Dizi Limit
x→+∞
1
ilişkisi teoreminden, lim n n = 1 bulunur.
n→∞
cos n
−1
n
1
= 0 (|cos x| ≤ 1 olduğundan) Her n ∈ N için n+1
≤ cos
≤ n+1
n+1
n→∞ n + 1
±1
dir. limn→∞ n+1
= ±1
= 0 olduğu için, Sıkıştırma (Sandviç) teoreminden
∞
cos n
lim
= 0 olur.
n→∞ n + 1
∞
X
3n (x − 1)n
olsun. f (5) (1) i (f nin 1 deki 5. türevi) hesaplayınız.
(b) f (x) =
n!
n=0
verilen 1 merkezli kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı (Oran Testinden)
∞ olarak bulunur. ∞ > 0 olduğundan, Kuvvet Serilerinin Terim-Terime
(n)
Türevlenebilmesi Teoreminin sonucu olarak (Her n ∈ N için) an = f n!(1)
n
dir. an = 3n! olduğu için f (5) (1) = 5!a5 = 35 olur.
P
xn
İkinci çözüm: Her x ∈ R için doğru olan ex = ∞
n=0 n! eşitliğinde, x yerine
P
3n (x−1)n
3(x − 1) yazılarak, e3(x−1) = ∞
= f (x) elde edilir. Buradan da
n=0
n!
(5)
5
f (1) = 3 kolayca elde edilir.
5. (a) lim
2